19.2.1 矩形（ 1）

两组对边分别平行的四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形是平行四边形A

B C

D

四边形 ABCD

如果AB CD ∥AD BC∥

B

D

ABCD

A

C

平行四边形的性质：

边平行四边形的对边平行；平行四边形的对边相等；

角平行四边形的对角相等；平行四边形的邻角互补；

对角线 平行四边形的对角线互相平分；

平行四边形的判定：

边两组对边分别平行的四边形；两组对边分别相等的四边形；

角 两组对角分别相等的四边形；

对角线 对角线互相平分的四边形；

一组对边平行且相等的四边形；

平行四边形的判定定理：

定义：把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半

中位线定理：

一个角是直角

两组对边分别平行

平行四边形 矩形

情景创设

我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，也，这堂课我们就来研究一种恃殊的平行四边形—— 矩形

第五节矩形菱形

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质的研究：我们已经知道矩形是特殊的平行四边形，因此矩形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质 . 你能说出矩形有哪些性质吗 ?

四、矩形 两条对角线互相平分三、矩形的两组对角分别相等二、矩形的两组对边分别相等一、矩形的两组对边分别平行

五、矩形的邻角互补

A

B C

D

□

命题1:矩形的四个角都是直角；

已知：四边形 ABCD 是矩形

求证：∠ A= B= C= D=90°∠ ∠ ∠

D

CB

A

证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∠ C=90°

∴∠A= C=90° B+ C=180 °∠ ∠ ∠

∴∠B=180 －∠ C=90°

∴∠D= B=90°∠

即∠ A= B= C= D=90°∠ ∠ ∠

已知：四边形 ABCD 是矩形 求证： AC = BD

A

B C

D证明：在矩形 ABCD 中

∵∠ABC = DCB = 90°∠

又∵AB = DC ， BC = CB

∴△ABC DCB≌△ （ SAS ）

∴AC = BD

命题2:矩形的对角线相等；

边

对角线

角

A

B C

D

O

矩形对边平行且相等；

矩形的四个角都是直角；

矩形的对角线相等且平分；

直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，请探讨 OC 与 BD 的关系

O

AD

CB

推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 .

已知△ ABC 中∠ ACB=90° ， AD = BD

求证： CD = AB2

1

证明：延长 CD 到 E 使 DE=CD ，连结 AE 、 BE.

A

BC

D

∵AD = BD ， DE =CD∴ 四边形 ACBE 是平行四边形

E

又∵∠ ACB = 90° ∴ ACBE 是矩形 ∴CE = AB （ ）

由于 CD= CE 所以 CD = AB2

1

2

1

?

返回

O

D

CB

A相等的线段：

AB=CD AD=BC AC=BD OA=OC=OB=OD= AC= BD

2

12

1

相等的角：∠DAB= ABC= BCD= CDA=90° ∠ ∠ ∠

∠AOB= DOC AOD= BOC∠ ∠ ∠

∠OAB= OBA= ODC= OCD ∠ ∠ ∠OAD= ODA= OBC= OCB∠ ∠ ∠ ∠

等腰三角形有： △OAB OBC OCD OAD△ △ △

直角三角形有： Rt ABC Rt BCD Rt CDA Rt DAB△ △ △ △

全等三角形有：

Rt ABC Rt BCD Rt CDA Rt DAB△ ≌ △ ≌ △ ≌ △

△OAB OCD OAD OCB≌△ △ ≌△

已知四边形 ABCD 是矩形

思考：矩形 ABCD 是轴对称图形吗？

它的对称轴有几条？

矩形是中心对称图形吗？对称中心是？

A B

CDE

F

G H.

例 1 ： 如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O ，∠ AOB=60°,AB=4㎝ , 求矩形对角线的长？

解：∵四边形 ABCD 是矩形 ∴ OA=OB

∵∠AOB=60° AOB∴△ 是等边三角形 ∴OA=AB=4( ㎝ )

∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8( ㎝ )

D

CB

AO

AD=4cm

例 2 ：如图，△ ABC 中，∠ ACB=900 ，点 D 、 E 分别为 AC 、 AB 的中点，点 F在 BC 延长线上，且∠ CDF= A∠ ，求证：四边形 DECF 是平行四边形；

A

B

D

C

E

F

• 四边形 ABCD 是矩形

1 若已知 AB=8 ㎝， AD=6 ㎝，

则 AC ＝ ㎝ OB= ㎝

2 若已知∠ CAB=40° ，则∠ OCB=

∠OBA= AOB= AOD= ∠ ∠3 若已知 AC ＝ 10 ㎝， BC=6 ㎝，则矩形的周长＝ ㎝

矩形的面积＝ ㎝ 2

4 若已知 ∠ DOC=120° ， AD ＝ 6 ㎝，则 AC= ㎝

O

DC

BA

5

50°

10

100°40°

12

48

28

80°

试一试

试一试

D

CB

A

┓

已知△ ABC 是 Rt△ ，∠ ABC=Rt∠ ，

BD 是斜边 AC 上的中线

1 若 BD=3 ㎝则 AC ＝ ㎝

2 若∠ C=30° ， AB ＝ 5 ㎝，则 AC ＝ ㎝，

BD ＝ ㎝，∠ BDC ＝

6

5

10

120°

练习：如图四边形 ABCD 中，∠ ABC=ADC=90∠ 0 ， E 是 AC 中点， EF 平分

∠ BED 交 BD 于点 F ，（ 1 ）猜想 EF 与 BD 具有怎样的关系？（ 2 ）试证明你的猜想。

A

B

C

D

E

F

如图，矩形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是 86cm ，对角线的长是 13cm ，那么矩形的周长是多少？

有一个角是直角的平行四边形叫矩形2. 矩形的性质：

对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分 且相等

1. 矩形的定义：

边：角：

对角线：

5.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形 .

3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4. 　矩形的对角线把矩形分成两对全等的　　等腰三角形

总结