結束

Chapter 1 矩陣Chapter 1 矩陣1-1 聯立方程式1-2 矩陣的定義1-3 矩陣的運算1-4 基本列運算1-5 反矩陣1-6 行列式

結束

1-1 聯立方程式

m 個線性方程式、 n 個變數 x1,x2,…,xn 所構成的系統

(1-1)

稱為線性系統 (linear system) 或聯立線性方程式。若 x1

= s1, x2 = s2,……, xn = sn 能滿足聯立方程式 (1-1) 時，我們稱 (s1, s2,…, sn) 為聯立方程式 (1-1) 的解。

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

m m mn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

結束

Example 1

聯立方程式可能有解 ( 一個解或是無限多個解 ) ，亦可能無解。利用消去法 (method of elimination) 解聯立方程式，其利用方程式乘以適當實數後加到另外一個方程式上，以消去某個變數。解聯立方程式：

8224

223

4

321

321

321

xxx

xxx

xxx

結束

Ex. 1 answer

8224

1025

4

321

32

321

xxx

xx

xxx 式 (1) × -3 + 式 (2)

式 (1) × -4+ 式 (3)

826

1025

4

32

32

321

xx

xx

xxx

式 (2) × (-6/5) + 式 (3)

45

2

1025

4

3

32

321

x

xx

xxx

結束

Ex. 1 answer4

5

2

1025

4

3

32

321

x

xx

xxx

式 (2) × (1/5) + 式 (3) ×(5/2)

10

25

2

4

3

32

321

x

xx

xxx

式 (2) + 式 (1)

10

25

2

25

3

3

32

31

x

xx

xx

x3=10 代入式 (1) 與式 (2) ：得 x1=-4 x2 = 2

結束

Ex. 2

解聯立方程式

432

432

321

321

xxx

xxx

結束

Ex. 2 answer432

432

321

321

xxx

xxx

式 (1) × (-2) + 式 (2)

1233

432

32

321

xx

xxx

式 (2)÷3x2=x3-4 代入式 (1)

4

3)4(24324

3

33321

x

xxxxx

則聯立方程式可寫為：( 無限多組解 )

為任意數，ssx

sx

sx

3

2

1

4

4

結束

Ex. 3

解聯立方程式

6622

123

321

321

xxx

xxx

式 (1) × (-2) + 式 (2)

180

123 321

xxx

( 無解 )

結束

1-2 矩陣的定義

由 mn 個實數所構成的 m 列 (row) n 行 (column)長方形數列，稱為 m n 階 (order) 矩陣 (matrix) A 。

(1-2)

1-1

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

結束

為簡便計， m n 矩陣常以符號 A = [aij]mn ，或更

簡單的 [aij] 來表示。在矩陣 A 中第 i 列、第 j

行位置的 aij 稱為矩陣 A 的 (i, j) 元素 (element, or

entry) 。

1-1

1-2 矩陣的定義

結束

矩陣的應用矩陣除了數學、物理、工程、經濟或管理應用外，目標活動裡的一些數據，亦可利用矩陣符號表示之。例如某工廠生產 A 、 B 、 C 、 D 、 E 產品，以連續四天出貨數量，可以下式表示之：

300400550300

900600350700

60504050

35203030

150250200100

4321

E

D

C

B

A

結束

下面介紹幾種具有特殊型態的矩陣。設 A 為 m n 矩陣： 若 m = 1 ，矩陣 A 只有一列，稱為列矩陣 (row

matrix) 或列向量 (row vector) ，如 A = [3, 2, 1] 。若 n = 1 時，則稱 A 為行矩陣 (column matrix) 或行向量 (column vector) 。

1

2

3

A

1-2 矩陣的定義

結束

當 m = n 時 ， 矩 陣 A 稱 為 n 階 方 陣 (square matrix of order n) 。其中對角線元素 a11, a22, ……, ann 構成主對角線 (main diagonal) 。

若 n 階方陣中，對角線之外的元素皆為 0 ，即 aij

= 0 ，當 i j ，則稱此矩陣為對角矩陣 (diagonal matrix) 。

1 0 0

0 2 0

0 0 3

A

1-2 矩陣的定義

結束

若對角矩陣 A 中對角線元素皆為 1 ，則稱 A 為單位矩陣 (identity matrix) 。通常以符號 In 表之。

若對角矩陣 A 中，對角線元素皆相等，即 aii = c, i = 1,…, n ， 則 稱 矩 陣 A 為 純 量 矩 陣 (scalar matrix) 。

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

3 0 0

0 3 0

0 0 3

A

1-2 矩陣的定義

結束

若 n 階方陣 A 中， aij = 0 ，當 i > j 時，則 A 稱為上三角矩陣 (upper triangular matrix) 。

3 2 5 0

0 7 1 3

0 0 4 5

0 0 0 5

A

1-2 矩陣的定義

結束

若 aij = 0 ，當 i < j 時，則稱 A 為下三角矩陣 (lower triangular matrix) ，例如

不論是上三角矩陣或下三角矩陣，均通稱為三角矩陣(triangular matrix) 。

元素皆為 0 的矩陣稱為零矩陣 (zero matrix) ，以符號 O 或 Om n 表之。

4 0 0 0

1 9 0 0

2 5 0 0

3 2 1 1

A

1-2 矩陣的定義

結束

1-3 矩陣的運算

若矩陣 A = [aij] 與矩陣 B = [bij] 皆為 m n 矩陣，且 aij = bij ， 1 i m ， 1 j n ，則稱矩陣 A 和矩陣 B 相等 (equal) 。並寫成 A = B 。

1-2

結束

加法運算 (matrix addition)

若 A = [aij] ， B = [bij] 皆為 m n 矩陣，則 A 與 B 的和 (sum) C = [cij] 亦為 m n 矩陣，且

即 C 是一個由 A 與 B 中相對應的元素相加而得的 m n 矩陣，或寫成 C = A + B 。

1-3

, 1, , , 1, ,ij ij ijc a b i m j n

1-3 矩陣的運算

結束

Ex. 4

43

100

43

40

25

80

03

85

43

1910

69

61

46

2511

1032×2

3×2

結束

乘法運算 (matrix multiplication)

若 A = [aij] 為 m n 矩陣， B = [bij] 為 n p 矩陣，則 A 和 B 的乘積 (product) C = [cij] 為 m p 矩陣，其中

1-4

1 1 2 2 ,

1, , , 1, ,

ij i j i j in njc a b a b a b

i m j p

1-3 矩陣的運算

結束

若以符號表示，可寫成 C = AB

11 1 111 12 1

21 2 2

1 2

11 2

j pn

j p

i i in

n nj npm m mn

ij

b b ba a a

b b b

i a a a

b b ba a a

c

第 列

第 j 行

1-3 矩陣的運算

結束

Ex. 5

CAB

7103

10214

112

240

301

231

612

為 (2×3)×(3×3)=( 2×3) 矩陣，若將 A 、 B 相乘次序顛倒，則得：

的乘積無法定義。的列數，故的行數不等於因為 BAA

BA

B

231

612

112

240

301

結束

Ex.6

357

4412

151

2244

92

32

40

12

113

021

BA

AB

BA

矩陣，而為則

，

結束

Ex. 7

314

31,

75

25

41

12,

13

12

BAAB

BA

而則

設

故一般而言， AB≠BA

結束

矩陣加法性質設 A 、 B 、 C 、 O 為同階矩陣，則(1) A + B = B + A 　交換律 (commutative property)

(2) A + (B + C) = (A + B) + C 　結合律 (associative 　　 property)

(3) A + O = O + A = A 　同一律 (identity property) ，這裡零矩陣 O 所扮演的角色正與實數中的零一樣。

1-1

結束

Ex.8

120

112,

131

210,

102

121CBA設

則 A+(B+C)=(A+B)+C

351

241

結束

1-2

矩陣乘法性質設 A 、 B 、 C 為三個矩陣，並設其加法與乘法的運算均能符合定義要求。 (1) A(BC) = (AB)C 　結合律(2) A(B + C) = AB + AC

(A + B)C = AC + BC 　分配律 (distributive property)

(3) 若 A 為 m n 矩陣，則 AIn = Im A = A

這裡單位矩陣在矩陣乘法運算中所扮演的角色與實數中的 1 相同。

結束

Ex. 9

10218

519

15

72

1016

58)(

10218

519

194

131

42

21)(

15

72,

23

12,

42

21

CAB

BCA

CBA

則

設

加法法則亦是一致

結束

Ex. 10

00

00

32

64,

42

21

AB

BA

則

設

完全不同。之結果，或必得這與實數系統中， 000 baab

結束

Ex. 11

之結論，完全不同。則必有，，且這與實數系統中，

則

設

cb

aacab

ACAB

CBA

0

1016

58

15

72,

23

12,

42

21

結束

若以一實數 r 乘以矩陣 A = [aij] ，則矩陣 rA 可由 A 中每一元素乘以 r 而得。這種運算，稱之為純量乘法運算 (scalar multiplication) 。

設 A = [aij] 為 m n 矩陣，則矩陣 AT = [aji] 為 n m 矩陣，稱為 A 的轉置矩陣 (transpose of A) 。

1-5

1-6

之的行與列相互對調而得可由則

則設

AA

AA

T

T

63

52

41

654

321

結束

Ex. 12

3

4

3

2

13

1

3

1

2010

155

4525

3515

42

31,5

rAr

rA

Ar

時，則若

則

設

結束

純量乘法性質設 r 、 s 為實數， A 、 B 為同階矩陣，則(1) r (sA) = (rs)A ------- 結合律(2) (r + s) A = rA + sA -------- 分配律(3) r (A + B) = rA + rB

(4) A (rB) = r (AB) = (rA) B

(5) oA = O

(6) rO = O

注意，此處 o 是實數，而 O 是零矩陣，當 r=-1時， (-1)A 可寫成 -A ，稱為 A 的負矩陣，故矩陣減法運算， A-B=A+(-B)

1-3

結束

Ex. 13

41

41

1534

)2(243

13

24

54

23)(

13

24,

54

23

BABA

BA

則

設

結束

Ex. 14

)()(

993

1254

331

418)3()(

993

1254

39

612

54

23)(

13

24

54

23,3

ABrrBA

ABr

rBA

BAr

則

則

，設

結束

矩陣轉置性質設 r 為一實數， A 、 B 為矩陣，則 (1) (AT)T = A

(2) (A + B)T = AT + BT

(3) (AB)T = BTAT

(4) (rA)T = rAT

1-4

結束

Ex. 16

矩陣。為而

矩陣，為。注意本例中即

則

，設

33

22)(

35

712

32

13

21

121

320AB

35

712

37

512)(

13

22

10

312

231

TT

TT

TTTTT

T

T

BA

ABABAB

AB

BA

結束

設 AT = A ， 則 矩 陣 A 稱 為 對 稱 矩 陣(symmetric matrix) 。值得注意的是，對稱矩陣必為一方陣，且aij = aji 。

1-7

結束

1-4 基本列運算聯立方程式 (1-1) 若以矩陣符號表示，則可寫成

AX = b 　　　　　　　　　　　 (1-3)

其中

稱為係數矩陣 (coefficient matrix) 。

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

結束

Ex. 17

對角矩陣必為對稱矩陣。

為兩對稱矩陣與

231

300

101

562

671

213

結束

X = [x1, x2, ……xn ]T 為 n 1 矩陣，而 b = [b1, b2,

…… bn]T 為 m 1 矩陣，又

稱為擴張矩陣 (augmented matrix) 。實際上，消去法就是在擴張矩陣上，施以一連串的

列運算，這些運算可區分為三種。

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

m m mn m

a a a b

a a a bA b

a a a b

1-4 基本列運算

結束

對於一個矩陣，可用下列三種不同的列運算 ， 稱 為 基 本 列 運 算 (elementary row operations) 。(1) 交換矩陣中的第 r 列與第 s 列 ( 以符號 Rr

Rs 表之 ) 。(2) 將矩陣中的第 r 列乘以一不為零的實數 c

( 以符 號 cRr 表之 ) 。(3) 將矩陣中的第 r 列乘以一不為零的實數 c 後，

再加到第 s 列上 ( 以符號 cRr + Rs 表之 ) 。

1-8

結束

若矩陣 A ，經過一連串的基本列運算後變成矩陣 B ，則稱矩陣 A 和 B 為列同義(row equivalent) 。可寫成 A ~ B 。

1-9

結束

Ex. 18

Ex. 1 中聯立方程式之擴張矩陣為：

Ex. 1 消去法求解過程，若以基本列運算表示，寫為：

8224

223

4

321

321

321

xxx

xxx

xxx

8224

2123

4111

8260

10250

4111

8224

10250

4111

8224

2123

4111

21

21

)4(

R)3(

RR

R

結束

Ex. 18

10100

25

210

4001

10100

25

210

25

301

10100

25

210

4111

45

200

25

210

4111

45

200

10250

4111

13

123

232

)5

3(

)1(2

5

5

1)

5

6(

RR

RRR

RRR

結束

Ex. 18

1

321

)5

2(

0

4001

10100

2010

4001

10100

2010

4001

8224

2123

4111

10100

2010

400123

x

xxx

RR

式所表示的就是聯立方程而矩陣

為列同義與則

結束

若矩陣滿足下列的條件，則稱為簡化列梯形矩陣。(1) 任何一列的第一個不為零元素必須是 1 ，而且

含有此元素 1 的這一行，其他元素必須為零。(2) 每一列第一個不為零的元素，必須位於前一列

第一個不為零元素的右側。(3) 若有某列之元素全部為零，則此列必位於矩陣

的最下端。

1-10

結束

Ex. 19

等條件與違反定義

與

但是：皆為簡化列梯形矩陣。

與

)1()2(101

0100

1210

1011

0000

0110

1210

1101

00000

12210

20001

11000

40100

30001

結束

若 A 為 m n 矩陣，矩陣 C 為 A 經過一連串基本列運算後所得之簡化列梯形矩陣，則 C 中不全為零的列的個數，稱為矩陣 A 的秩 (rank) ，以 r (A) 表示。

1-11

結束

Ex. 20

Ex. 1 中矩陣 之秩等於 3 ，

因為簡化列梯形矩陣不全為零的列有三個，而r(A) 亦等於 3 。

8224

2123

4111

][ bA

10100

2010

4001

結束

2011

5231

5132

2021

800

642

121

62

31

結束

習作解答

2)(

000

800

121

800

800

121

800

642

121

32

21)2(

ArRR

RR

結束

習作解答

3300

2700

1110

2021

0030

2700

1110

2021

0030

3250

1110

2021

2011

3250

1110

2021

2011

5231

1110

2021

2011

5231

5132

2021

4232

4131

21

)3()5(

)1()1(

)2(

RRRR

RRRR

RR

結束

習作解答

3)(

0000

2700

1110

4201

0000

2700

1110

2021

3300

2700

1110

2021

12

42

)2(

)3(

ArRR

RR

(1) 任何一列的第一個不為零元素必須是 1 ，而且含有此元素 1 的這一行，其他元素必須為零。

(2) 每一列第一個不為零的元素，必須位於前一列第一個不為零元素的右側。

(3) 若有某列之元素全部為零，則此列必位於矩陣的最下端。

結束

考慮聯立方程式 AX = b ， A 為 m n 矩陣，(1) 若 r (A) = r ([A b]) = n 則 AX = b 有唯一解(2) 若 r (A) = r ([A b]) < n 則 AX = b 有無限多

解(3) 若 r (A) < r ([A b]) ，則 AX = b 無解在解聯立方程式 AX = b 時，進行一連串的基本列運算，將 [A b] 轉換成與其列同義的矩陣 [C d] 或 CX = d ，因此 AX = b 與 CX = d 具有相同的解。

1-5

結束

Ex. 21

解聯立方程式 x1+2x2+4x3=6

x2+2x3=3

x1+x2+2x3=1

解其擴張矩陣為：

1000

3210

0001

2000

3210

0001

5210

3210

6421

1211

3210

6421

332

12

31

)2

1()1(

)2(

)1(

RRRRR

RR

結束

Ex. 21

由定理 1-5 與 r(A)=2<3=r([Ab]) ，得知此聯立方程式無解。又最後的簡化列梯形矩陣所對應之聯立方程式為：

第 3 個方程式為矛盾方程式，故無解。

1x1+ 0 x2+ 0 x3=0 0x1+1 x2+2 x3=3 0x1+ 0 x2+ 0 x3=1

結束

Ex. 23

解聯立方程式

解：12484

9363

3

321

321

321

xxx

xxx

xxx

為任意數

因此解為

即

ssx

x

sx

x

xx

bA

3

0

0

3

0000

0010

3101

12484

9363

3111

][

3

2

1

2

31

結束

若聯立方程式 (1-3) 中的 b 為零向量，即 b = 0 ，

AX = 0 　　　　　　　　　　　 (1-4)

為齊次線性聯立方程式 (homogeneous system of linear equations) 。

若 b 0 ，則稱 (1-3) 為非齊次線性聯立方程式(nonhomogeneous system of linear equations) ， 顯然 x1 = 0, x2 = 0, ……, xn = 0 必為 (1-4) 的解，稱之為自然解 (trivial solution) 。

Ex. 23

結束

Ex. 23

聯立方程式

tx

tx

tx

nm

xxx

xxx

3

2

1

321

321

8

10

0811

01001

0432

0211

)(

0432

02

其解為

必有無限多解

結束

Ex. 24

解聯立方程式：

000

0100

0010

0001

0212

0231

0321

022

023

032

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

故有自然解

結束

設 A 為 m n 矩陣。若 m < n ，則齊次線性聯立方程式 AX = 0 必有無限多解。

1-6

結束

1-5 反矩陣

首先考慮聯立方程式AX = b ， A 為 n 階方陣。

假設有一矩陣 B ，可使得 BA = In ，則在 AX = b 兩邊的前端同時乘以 B ，可得

BAX = Bb

InX = Bb

或　 X = Bb

換言之，聯立方程式 AX = b 的解即為 X = Bb 。對於這個 B 矩陣，稱它為 A 的反矩陣。

結束

設 A 為一 n 階方陣。若存在一 n 階方陣 B ，使得 AB = BA = In ，則稱 A 為非奇異矩陣 (nonsingular matrix) 或可逆矩陣 (invertible matrix) ，並稱 B 為 A 的反矩陣。反之，若沒有這種 B 矩陣的存在，則稱 A 為奇異矩陣 (singular matrix) 或不可逆矩陣(noninvertible matrix) 。

1-12

結束

若矩陣 A 有反矩陣，則僅有一個反矩陣。證明：設 B 與 C 皆為 A 的反矩陣，則

BA = AB = In

CA = AC = In

因此 B = BIn = B(AC) = (BA)C = InC = C 。習慣上，可用符號 A1 表示 A 的反矩陣。即　　 AA1 = A1 A = In

1-7

結束

Ex. 25

之反矩陣為矩陣同理，亦稱

，因為的反矩陣為矩陣

14

29

94

21

10

01

94

21

14

29

14

29

94

21

結束

Ex. 26

利用 Ex. 25 的結果，解聯立方程式 x1+2x2=0

4x1+9x2=1

解：若以矩陣表示，可寫成：

1

2

1

0

14

29

94

21

14

29

14

29

1

0

94

21

2

1

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

或

可得兩端各乘以

結束

若 A 為一 n 階非奇異矩陣，則 A ~ In ；反之，若 A ~ In ，則 A 必為非奇異矩陣。矩陣 A 與 A1 應滿足關係式

AA1 = In (1-5)

若將 A1 及 I 分別用行向量表示成[X1,……,Xn] 及 [E1,……,En]

1-8

結束

其中

則 (1-5) 式可改寫成AX1 = E1,……, AXn = En 　　　　　　 (1-6)

0

0

1, ,1

0

0

iE i i n

第 列，

結束

也就是 X1, X2, ……, Xn 分別是下列 n 組聯立方程式的解

AX= E1, AX = E2, ……, AX = En (1-7)

這 n 個聯立方程式的擴張矩陣為[A E1], [A E2], …… , [A En] (1-8)

若利用基本列運算和定理 1-8 及 (1-6) ，可將 (1-8)化成列同義的擴張矩陣

[In X1], [In X2],~…… ,[In Xn] (1-9)

結束

今將 (1-8) 與 (1-9) 中各矩陣，以更精簡符號表示，可得

[A In] ~ [In A1] 　　 (1-10)

因此，若能利用基本列運算將矩陣 [A In] 轉換成 [In B] 的型式，則 B 必為 A 的反矩陣。

結束

Ex. 27

在 Ex. 25 中， ，試求 A-1 。

94

21A

所示完全一致。，與即 25.14

29

1410

2901

1410

0121

1094

0121][

1

)2(

)4(2

12

21

ExA

IA

RR

RR

結束

Ex. 28

101110

014690

001121

100231

010214

001121

100231

010214

001121

][

231

214

121

21

1

)4(

)1(3

1

RR

RIA

A

解：

。，試求設

R1+R3

結束

Ex. 28

33

1

3

13

23

1

3

10

13

1

3

4

33

1

3

13100

23

1

3

10010

13

1

3

4001

33

1

3

13100

101110

203101

9113300

101110

203101

014690

101110

001121

1

)1(

)3

1(

)2(

13

3

12

32

A

RR

R

RR

RR

因此

(-9)R2+R3

(-1)R3+R2

結束

(1) 若 A 為非奇異矩陣，則 A1 亦為非奇異矩陣， 且 (A1) 1 = A 。

(2) 若 A ， B 皆為非奇異矩陣，則 AB 亦為非奇異矩陣，且 (AB) 1 = B 1A 1 。

(3) 若 A 為非奇異矩陣，則 AT 亦為非奇異矩陣，且(AT) 1 = (A1) T 。

1-9

結束

Ex. 29

811

24

2

11

01,

5

2

5

35

1

5

4

22

01,

43

12

1

AB

BA

BA

則

設

結束

Ex. 29 (Another method)

5

2

5

310

5

1

5

101

5

2

5

310

3

10

3

11

23503

11

3

11

10433

11

3

11

1043

0112

22

01,

43

12

1)3

1(

)5

1(3

)3

1(

1

2

221

12

RR

RRR

RRA

BA

則

設

結束

Ex. 29

10

01

5

2

10

115

1

5

4

811

24))((

5

2

10

115

1

5

4

5

2

5

35

1

5

4

2

11

01)(

1

111

ABAB

ABAB

結束

1.6 行列式若

為一 n 階方陣，則其行列式為一實數，記為 |A| 或 det(A) 。

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

結束

(1) 若 A 為一階方陣，即 A = [a11] ，則定義 |A| = a11 。

(2) 若 A 為二階方陣，即　　　　　　　，則定義 |A| = a11a22 a12a21 。

1-13

11 12

21 22

a aA

a a

結束

若 A = [aij] 為 n 階方陣，令 Mij 為 A 中除去第 i 列及第 j 行後的 n1 階子矩陣，則子矩陣 Mij 的行列式 |Mij| 稱為元素 aij 的子行列式 (minor) 。而 Aij = (1)i + j |Mij| 則稱為 aij 的餘因式 (cofactor) 。

1-14

16151413

1211109

8765

4321

161413

12109

421

Mij

結束

若 A = [aij] 為 n 階方陣，則行列式

(1-11)

定義 1-15 中的行列式 |A| ，可視為依第 i 列將 n1 階餘因式展開的結果。亦即，先固定某一列 i ，對第 i 列中元素求取對應之 Aij , j = 1,2 …, n ，乘上 aij 後再加總起來。當然也可以先固定某一行 j ，對第 j 行中各元素求取 Aij ，乘以 aij 後，再依 i = 1, ……, n 相加起來。故

(1-12)

1-15

1

n

ij ijj

A a A

n

iijij AaA

1

結束

Ex. 30

47)9)(2(13)(1)(2(3

30

23)1)(2(

51

23)1)(2(

51

30)1)(1(

3

47)3)(1()2)(1)(2()106()3(

51

30)1)(1(

21

20)1)(2(

25

23)1)(3(

1

,

251

230

123

333231

312111

A

A

AA

行展開：若對第

列展開解：先對第

試求設

故藉由列或行的展開，即公式 (1-11) 或 (1-12) ，求得的 |A| 都完全 一樣。

結束

Ex. 31

322311332112312213322113312312332211

312232211331233321123223332211

3231

222113

3331

132112

3332

232211

333231

232221

131211

)()()(

)1(

,

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaa

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaaA

A

aaa

aaa

aaa

A

解：

試求設

結束

設 A = [aij] 為 n 階方陣。(1) 若 A 中某一行或某一列的元素全為零，則 |

A| = 0 。(2) 若 A 中有兩行或兩列的元素完全相同，則 |

A| = 0 。(3) 若 A 為三角矩陣，則 |A| = a11a22 ……ann 。(4) 若將 A 的某兩列 ( 或行 ) 相互對調而得矩陣

B ，則 |B| = |A| 。

1-10

結束

(5) 若 A 中某一列 ( 或行 ) 乘上實數 c 後而得矩陣 B ，則 |B| = c |A| 。

(6) 若 A 中某一列 ( 或行 ) 乘以實數 c 後，加到另一列 ( 或行 ) 上，而成矩陣 B 時，則 |B| = |A| 。

(7) 若 B 亦為 n 階方陣，則 |AB| = |A||B| 。(8) |AT| = |A| 。(9) 若 A 為非奇異矩陣，則 |A| 0 ，且　 　　 。

上述定理的結論 (9) ，可由 (3)(7) 及 A1A = In 而得。

1 1A

A

1-10

結束

若 A = [aij] 為 n 階方陣，則當 i k 時，

ai1 Ak1 + ai 2 Ak2 + …… + ain Akn = 0 　　 (1-13)

當 j k 時，a1j A1k + a2j A2k + …… + anj Ank = 0 　　 (1-14)

1-11

結束

若 A = [aij] 為 n 階方陣，則矩陣 adj A = [Aij]T 稱為 A 的伴隨矩陣 (adjoint matrix of A) 。伴隨矩陣 adj A 可以用來求 A 的反矩陣。

1-16

結束

若 A 為 n 階方陣， |A| 0 ，則 A 為非奇異矩陣，且

若 A 為 n 階方陣，則齊次線性聯立方程式 AX = 0 有不為零的解之充要條件是 |A| = 0 。

1-12

1 adj AA

A

1-13

結束

Cramer’s rule

設有聯立方程式

1-14

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

結束且係數矩陣 A = [aij] 的行列式 |A| 0 ，則此聯立方程式有唯一解，其解為

其中

即 Ai 為 A 中的第 i 行以行向量 b = [b1, b2 ,……,bn]T

取代後的矩陣。

1 21 2, , , n

n

AA Ax x x

A A A

11 1 1

21 2 2

1

n

ni

n n nn

a b a

a b aA

a b a

第 i 行