状態平均化法による矩形波 コンバータの動作特性 …...2015/08/17 ·...
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状態平均化法による矩形波 コンバータの動作特性解析
2015年08月17日 群馬大学 客員教授
落合政司
1
1. 状態方程式
2. 状態平均化法と状態平均化方程式
内容
2
DC-DCコンバータ等のスイッチを含む回路は、非線形であるためにその動作解析は非常に困難
で複雑になる。しかし、スイッチング周波数が十分に高いと電圧や電流の一周期間の平均値を変数にすることにより、線形的な取り扱いをすることができる。 このような線形解析を状態平均化法という。ここでは状態平均化法によってコンバータの状態平均化方程式を求める。
0
onT offT
LI
Li Qi Di
tT
eo Ei C Ro D
Q L
＋
図５．１ 降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータ
3. DC-DCコンバータの静特性（定常状態）の求め方
4. DC-DCコンバータの動特性（動作状態）の求め方
5. DC-DCコンバータの状態平均化方程式
6. DC-DCコンバータの定常状態における静特性
7. DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
8. DC-DCコンバータの制御特性
8.1 レギュレーション機構と出力電圧
8.2 出力電圧の微小変動と減衰時定数
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
8.4 出力インピーダンスの周波数特性
8.5 出力電圧の変動率
8.6 制御系の安定性
9.参考・引用図書
内容
3
１．状態方程式
)()(
)()()(
tt
ttdt
td
Cxy
BuAxx
一般にR、L、Cによって構成される回路を解析する一つの方法として、式(1.1)に示す一階微分方程式が使われる。式中のそれぞれは、uが入力を表す列ベクトル、yが出力を表す列ベクトル、x(t)が状態変数（状態ベクトル）、A、B、Cが定数行列（係数行列）を示している。これを状態方程式というが、 式(1.1)を解いてxを求めると、次にyも求めることができる。
（1.1）
（1.2）
u(t):入力を表す列ベクトル、y(t):出力を表す列ベクトル x(t):状態変数（状態ベクトル）、A、B、C:定数行列
一階微分方程式である式(1.1)の解は以下のように求めることができる。 このような手法で解析を行うのを状態変数解析という。 例として図1.1及び図1.2に示す回路の状態方程式を求めてみる。
積分定数:)()( DDdtteet AtAt
Bux （1.3）
4
この二つの方程式を状態方程式という。
１．状態方程式
ECV
2RC
1R
＋ i
図１．１ ＲＣによる回路網例
ECR
V
RR
RRC
CR
E
RRC
V
R
VE
CCR
V
dt
dV
R
VEi
ViRE
C
i
CR
V
dt
dVV
R
Vi
C
C
CCCC
C
C
CC
C
C
1
21
2112112
1
1
22
11111
)4.1(
)5.1(
)(1
態方程式が得られる。に代入すると以下の状これを式
が求められる。より、式
立つ。上図において次式が成
（1.4）
（1.5）
（1.6）
ｘ（ｔ）／ｄｔ ｕ（ｔ） ｘ（ｔ）
A
B
5
１．状態方程式
CR
t
C
CR
t
C
C
CR
t
CR
t
CR
t
CR
t
CR
t
C
C
AtAt
C
eRR
R
R
EVE
Ri
i
RR
RRR
eERR
RV
ERR
RDVt
DeERR
RDeE
CR
CReDdt
CR
EeeV
ECR
tCR
RR
RRC
Vt
Ddtteet
V
111
1
0)0(0
1)(,
11,)(
)()()3.1(
21
2
11
21
21
21
2
21
2
21
2
11
1
21
21
。を求めると以下となる次に、
となる。ただし、
となる。したがって、とするとで
を代入する。
に式
について求める。先ず
BuAx
Bux
6
（1.7）
（1.8）
EL
V
i
CRC
LL
R
dt
dV
dt
di
C
i
CR
V
dt
dVV
R
Vi
C
L
E
L
Vi
L
R
dt
diVEiR
dt
diL
CC
CCC
C
CC
0
1
11
1
)1.1(
)(1
2
1
22
11
。態方程式が求められるに当てはめると次の状これらを式
り立つ。上図において次式が成
１．状態方程式
ECV
2RC
L1R
＋
図１．２ ＲＬＣによる回路網例
（1.9）
（1.10）
（1.11）
7
i
ｕ（ｔ） ｘ（ｔ）
ｘ（ｔ）／ｄｔ A B
別な回路網についても状態方程式を求めてみる。
7
DC-DCコンバータ等のスイッチを含む回路は、非線形であるためにその動作解析は非常に
困難で複雑になる。しかし、スイッチング周波数が十分に高い場合は、電圧や電流のスイッチング素子の一周期間の平均値を変数にすることにより線形的な取り扱いをすることができる。このようなDC-DCコンバータの線形近似による動作解析法として状態平均化法 （State-Space-Averaging Method）がある。
8
２．状態平均化法と状態平均化方程式
いま、DC-DC コンバータのスイッチが図1.2 のようにオン･オフを繰り返したとき、各々の状態に応じた回路の電圧、電流を要素とする状態変数（状態ベクトル）X(t)は次の状態方程式で表されることができる。 ここで、状態変数x(t)の各要素になるのはリアクトル電流や出力コンデンサ電圧などの連続量が選ばれる。 尚、式中のA1 、 A2 、 B1 、 B2、C1、C2は回路のパラメータによって決まる定数行列（係数行列）であり、また、Ei は入力電圧を意味する。
T
onT offT
9
DT TD
kTt Tkt 1
TTDTTD offon ,
図１．２ スイッチの状態とコンバータの状態変化
)(tx
)(tx
x(t):電圧、電流を 要素とする状態変数
DT TD DT
Tkt 1
kTx Tkx 1
Tkx 1
Tkx 1
DTTkx 1
kTx
Tkx 1 DTkTx
S
)(),( tt xx
２．状態平均化法と状態平均化方程式
戻る
次にDC-DCコンバータの一周期間の平均値を求め、これを新たな状態変数として線形近
似をしてみよう。このとき、状態平均化法によって求められる状態平均化方程式は以下となる。
（2.5）
)()(
)()(
tt
Etdt
tdi
xCy
BxAx
（2.6）
２．状態平均化法と状態平均化方程式
■状態2（スイッチ･オフ期間：Toff期間）
)()(
))1(()()(
2
22
tt
TktTkTEtdt
tdoni
xCy
BxAx
（2.3）
（2.4）
■状態１（スイッチ・オン期間：Ton期間）
)()(
)()()(
1
11
tt
TkTtkTEtdt
tdoni
xCy
BxAx
（2.1）
（2.2）
10
入力u(t)はEiになる。 ここで、状態方程式を求める。
(降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータ)
eo Ei C Ro D
Q L
＋ iL
11
xCCy
BBxAAx
CCCCCCCC
C
BBBBBBBB
B
AAAAAAAA
A
21
2121
2121
2121
2121
2121
2121
2121
DDt
EDDDDdt
d
DDDDT
TDDT
T
TT
DDDDT
TDDT
T
TT
DDDDT
TDDT
T
TT
i
offon
offon
offon
)(
1
1
1 （2.7）
（2.8）
となる。これらを式(2.5)、式(2.6)に代入すると次の状態平均化方程式が得られる。
式(2.10)及び式(2.11)がDC-DCコンバータの動作解析を行う時の基本式になる。
（2.10）
ここで式(2.5),(2.6)の中の定数行列A、B及びCは
（2.9）
（2.11）
２．状態平均化法と状態平均化方程式
戻る
３．DC-DCコンバータの静特性（定常状態）の求め方
ここでは、ＤＣ－ＤＣコンバータの定常特性（静特性）の求め方を説明する。 定常状態においてはリアクトルの電流や出力コンデンサの電圧に変化はなく、x(t)は 直流値Xとなる。したがって、次式が成り立つ。
上式を用いれば、定常状態におけるリアクトルの電流や出力コンデンサの電圧は次式で求められる。
また、コンバータの出力は式(3.2)より、以下となる。
式(3.2)、式(3.3)よりコンバータの電圧変換率、負荷特性、リプル率などの静特性を求めることができる。
i
i
i
i
E
EE
Etdt
td
BCACXY
BAA
BX
BxAx
1
1
0)()(
（3.3）
（3.2）
（3.1）
12
４． DC-DCコンバータの動特性（動作状態）の求め方
定常状態において、入力電圧、時比率、負荷抵抗などが微小変動したときの低周波小信号動特性は以下のように求められる。 入力電圧Ｅi、時比率Ｄ、負荷抵抗Ｒoなどに微小変動ΔＥi、時比率ΔＤ、負荷抵抗ΔＲoを与えると、状態変数 に微小変動ΔXが生じる。
13
)(tx
より得られる。～式の偏微分は式に対する定数行列ここで、時比率
つ。とすると次式が成り立
に対し
)9.2()7.2(
)(,)(,,
CB,A,
XXCC
CYY
BBXX
ΑAA
BBBXX
ΑAA
XX
YYyXXx
D
RR
DD
EEDD
RR
DD
EERR
DD
RR
DDdt
d
ttRRRDDDEEE
o
o
iio
o
iio
o
o
o
ooiii
（4.1）
（4.2）
負荷抵抗が変化してもBは変化しない。
δB/δR=0
式（2.7）～（2.9）
21
21
BBB
AAA
DD
DD
1
1
注）
io
o
i
io
o
i
iio
o
i
iiiio
o
iio
o
ERR
DEdt
d
ERR
DEdt
d
DEERR
DE
DEEEERR
D
EEDRR
Ddt
d
DDDD
DDDD
DDDD
BXΑ
BBXAAXAX
BXΑ
BBXAAXAX
BBBXΑ
XAAXABAX
BBBXXΑ
XXAAXXA
BBBXXΑ
AAAXX
CCCCC
BBBBB
AAAAA
2121
2121
2121
2121
2121
2121
2121
2121
)2.4()1.4()3.4(
1
1
1
項を無視し整理する。に代入し、２次の微小と式を式式
14
（4.3）
（4.4）
４． DC-DCコンバータの動特性（動作状態）の求め方
す。動特性が正確になりま以下の場合），小信号分低い場合（一般的にはグ周波数よりも十分に
ッチン小変動の周波数はスイめられます。なお，微バータの伝達関数が求変動に着目するとコン
を代入し，出力電圧，，，応する定数行列ンバータの各回路に対これらの式に降圧形コ
より
が得られる。動に対して以下の結果れば，平均値の微小変以上をラプラス変換す
110
)7.4()()()()()(
)6.4()()()()(
)()()()()(
)5.4()(
)()(
)(
)(
2121
21
2121
1
2121
21
2121
21
21
BBAA
XC
XCCXCY
BXΑ
BBXAAAX
BXΑ
BBXAAXAX
XC
XCCXCY
XC
XCCXCYXC
XCCXCCX
XXC
XXCCXXC
XXC
CCCYY
sRR
sDss
sEsRR
sDEss
sEsRR
sDEsss
RR
D
RR
DRR
D
RR
D
RR
D
o
o
io
o
i
io
o
i
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
４． DC-DCコンバータの動特性（動作状態）の求め方
15
)6.4()()()()(
110
01
)6.4(
2121
1
1
sEsRR
sDEss
s
io
o
i BXΑ
BBXAAAIX
I
IA
ます。に書き直すことができとすると，以下のよう
をは単位マトリックスおよび式中のなお，式
４． DC-DCコンバータの動特性（動作状態）の求め方
16
５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式 ５．１ 降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの状態平均化方程式
eo Ei C Ro D
Q L
＋
図５．１ 降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータ
降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータのスイッチ・オン期間とスイッチ・オフ期間の等価回路を 図５．２に示す。
17
５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式
IＬ ＋ Ei C Ro
L
eo
r1
＋ eo C Ro
L
IＬ
r2
図５．２ 降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの各動作状態における等価回路
(a)状態１ （スイッチ・オン期間：Ton期間） (b)状態２ （スイッチ・オフ期間：Toff期間）
eo：出力電圧 、 iL：コイルを流れる電流 r1：スイッチ素子オン時の等価抵抗 （ 入力電源の内部抵抗、ｽｲｯﾁ素子のｵﾝ抵抗、コイルの抵抗などの損失抵抗 ） r2：スイッチ素子オフ時の等価抵抗 （ ﾀﾞｲｵｰﾄﾞのｵﾝ抵抗、コイルの抵抗などの損失抵抗 ）
図５．２の等価回路より次式が成立つ。
18
動作状態１（スイッチ・オン期間）に対して
動作状態２（スイッチ・オフ期間）に対して
o
o
L
CR
t
o
o
Lo
CR
t
oLo
oLL
oLL
o
o
L
CR
t
o
o
Lo
CR
t
oLo
ioLL
oLL
i
eCR
iC
eCR
iCdt
de
edtiC
e
eL
iL
r
dt
di
eirdt
diL
eCR
iC
eCR
iCdt
de
edtiC
e
EL
eL
iL
r
dt
di
eirdt
diLE
o
o
o
o
110
11
01
1
0
110
11
01
11
2
2
1
1
より
より
より
より
（5.1）
（5.2）
（5.3）
（5.4）
５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式
IＬ ＋ Ei C Ro
L
eo
r1
＋ eo C Ro
L
IＬ
r2
19
以上より、状態変数XをiLとeoの関数として係数行列を求めると以下となる。 スイッチ・オン期間：Ton期間
スイッチ・オフ期間：Toff期間 これより、AとBを求めると次のようになる。
o
i
o
L
o
i
o
L
o
L
i
o
L
o
i
o
L
o
L
CRC
LL
rDDr
DD
Ee
i
CRC
LL
r
Ee
i
dt
de
dt
di
dt
d
ELe
i
CRC
LL
r
Ee
i
dt
de
dt
di
dt
d
11
1
0
0
11
1
0
1
11
1
21
2
1
21
22
11
AAA
BAx
ΒAx
B2
20
（5.5）
（5.6）
（5.7）
A1
A2
B1
５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式
Ｐ68に戻る
o
o
L
o
oLL
o
o
L
o
ioLL
eCR
iCdt
de
eL
iL
r
dt
di
eCR
iCdt
de
EL
eL
iL
r
dt
di
11
1
)4.5)(3.5(
11
11
)2.5)(1.5(
2
1
式
式
i
o
L
o
i
o
L
i
o
L
EL
D
e
i
CRC
LL
rDDr
Ee
iE
dt
de
dt
di
dt
d
011
121
BABxAx
したがって、最終的に式(5.9)が得られる。 これが降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの状態平均化方程式になる。
（5.9）
５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式
0
L
D
DD 21 BBB （5.8)
21
n：1
５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式 ５．２ 昇降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの状態平均化方程式
Ei
C Ro eo n2L L
Q
昇降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータのスイッチ・オン期間とスイッチ・オフ期間の等価回路を 図５．４に示す。
図５．３ 昇降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータ（絶縁形）
Ｔ
22
23
図５．４ 昇降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの各動作状態における等価回路
Ei n2L
r1
C Ro C Ro L
r2
eo eo
(a)状態１ （スイッチ・オン期間：Ton期間） (b)状態２ （スイッチ・オフ期間：Toff期間）
図５．４の等価回路より次式が成立つ。
iL iL/n
n：1
eo：出力電圧、iL：二次巻線（ ｺｲﾙL ）を流れる電流、r1：スイッチ素子オン時の等価抵抗 （ 入力電源の内部抵抗、ｽｲｯﾁ素子のｵﾝ抵抗、一次巻線の抵抗などの損失抵抗 ） r2：スイッチ素子オフ時の等価抵抗（ 二次巻線の抵抗、ﾀﾞｲｵｰﾄﾞのｵﾝ抵抗などの損失抵抗 ）
５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式
Ei/n L
r1/n2
C Ro eo
(c)状態１ の二次換算等価回路
iL
1：1
o
o
L
CR
t
o
o
L
o
CR
t
oLo
oLL
oLL
o
o
CR
t
o
o
o
CR
t
oo
iLL
LLLLi
eCR
iC
eCR
iCdt
de
edtiC
e
eL
iL
r
dt
di
eirdt
diL
eCR
eCRdt
de
ee
EnL
iLn
r
dt
di
n
ir
dt
dinL
n
ir
n
i
dt
dLnE
o
o
o
o
110
11
01
1
0
10
1
0
1
2
2
2
1
11
2
より
より
より
より
■動作状態１に対して
■動作状態２に対して
L
iL
r2
C Ro eo
Ei n2L C Ro eo
iL/n n：1
r1
（5.10）
（5.11）
（5.12）
（5.13）
５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式
24
戻る
５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式
■動作状態１の二次換算等価回路に対して
Ei/n L
r1/n2
C Ro eo
iL
1：1
o
o
CR
t
o
o
o
CR
t
oo
iLL
LLi
eCR
eCRdt
de
ee
EnL
iLn
r
dt
di
in
r
dt
diL
n
E
o
o
10
1
0
12
1
2
1
より
より
（5.10）
（5.11）
動作状態１に対して一次等価回路、二次等価回路のどちらでも同じ結果が得られる。
25
26
o
i
o
L
o
i
o
L
o
L
i
o
L
o
i
o
L
o
L
CRC
D
L
DrD
n
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LDD
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i
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LL
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Ee
i
dt
de
dt
di
dt
d
EnLe
i
CR
Ln
r
Ee
i
dt
de
dt
di
dt
d
1
1
0
0
11
1
0
1
10
0
22
1
2
2
1
21
22
11
AAA
BAx
ΒAx
以上より、状態変数XをiLとeoの関数として係数行列を求めると以下となる。 スイッチ・オン期間：Ton期間
スイッチ・オフ期間：Toff期間 これより、AとBを求めると次のようになる。
（5.14）
（5.15）
（5.16）
５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式
戻る
o
o
L
o
oLL
o
o
o
iLL
eCR
iCdt
de
eL
iL
r
dt
di
eCRdt
de
EnL
iLn
r
dt
di
11
1
1
1
2
2
1
式(5.10),(5.11)
式(5.12),(5.13) A1
A2
B1
B2
i
o
L
o
i
o
L
i
o
L
EnL
D
e
i
CRC
D
L
DrD
n
rD
LE
e
iE
dt
de
dt
di
dt
d
01
122
1
BABxAx
したがって、最終的に式(5.18)が得られる。 これが昇降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの状態平均化方程式になる。
（5.18）
５．DC-DCコンバータの状態平均化方程式
0
nL
D
DD 21 BBB （5.17）
27
５章 演習問題 ５．１ 降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータ及び昇降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの状態平均化
方程式を示せ。また、それを以下の形に展開せよ。
ioLo
ioLL EBeAiA
dt
deEBeAiA
dt
di2222111211 ,
28 o
o
L
o
ioLL
i
o
L
o
i
o
L
i
o
L
o
o
L
o
ioLL
i
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iC
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L
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iCdt
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Li
L
rDDr
dt
di
EL
D
e
i
CRC
LL
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Ee
iE
dt
de
dt
di
dt
d
1
1
01
1
11
1
011
1
22
1
22
1
21
21
BABxAx
BABxAx
昇降圧形
降圧形
29
ac
bd
bcad
bcad
a
bcad
c
bcad
b
bcad
d
Adc
baA
rDn
rD
LC
D
L
D
CR
RnDrDnDr
LCRn
rDn
rD
LC
D
L
D
CR
LC
DrD
n
rD
LCR
Ee
iE
dt
d
o
o
o
o
o
i
o
L
i
1,
)
1
1
1
1
1
1
0
1
22
1
22
2
2
1
2
22
1
2
22
1
1
1
1
逆行列注
ようになる。の逆行列であり以下のはここで、
が求められる。より
A
AA
BAxBxAx
ここでは昇降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータを例にして静特性を求める。
定常状態では式(3.1)に示すように が0になる。 dt
dx
（6.1）
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
oCRC
D
L
DrD
n
rD
L
1
122
1
A実際の
いう。これを平均損失抵抗とただし、
直流値
直流値
2
2
1
2
2
2
2
1
22
2
2
1
2
22
2
2
2
1
2
2
2
2
1
22
2
2
1
2
22
1
22
2
2
1
2
1
/
:/1
1
/1
1
:/1
1
/1
1
/
1
01
1
rDnDrr
EERDrDn
DE
RD
rDnDrDn
DEE
nL
D
C
D
RnDrDnDr
LCRne
IIRDrRDn
DE
RD
rDnDrRDn
DE
RDrDnDrn
DEE
nL
D
CRRnDrDnDr
LCRni
EnL
D
rDn
rD
LC
D
L
D
CR
RnDrDnDr
LCRnE
e
i
oo
o
i
o
i
i
o
o
o
LL
oo
i
o
o
i
o
i
i
oo
o
L
i
o
o
o
i
o
L
BA
30
次にiL、eoについて求める。
（6.2）
（6.3）
1A B
（6.4） （二次側換算値）
二次側換算値
（変化がないためiLは直流値になる。）
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
が求められる。より上式と式
下の等式が成立つ。先ず、図１．２より以
は直線的に近似する。と尚、
る。電圧のリプル率を求め次にコイル電流と出力
る。は次のように定義されダンスただし、出力インピー
。を求めると以下となるまた、電圧の昇降圧比
る。をかけた値に等しくなに、コイル電流を求めると以下となり出力電流
L
kTt
oL
o
o
oooo
o
o
o
oi
o
L
oo
i
ooo
Lo
i
DTdt
dkTDTkT
ei
D
rZ
Z
RZDn
D
ZR
R
Dn
D
DrR
R
Dn
D
RDrDn
D
E
EG
G
IDRDrRDn
DEREI
DII
)1.5(
)(
/1
1
//1
1
/1
1/
2
22
2
xxx
31
（6.5）
（6.6）
（6.7）
（6.8）
図１．２ x
を代入する。、式
o
i
oRDrDn
DEE
2/1
1)3.6(
0
onT offT
LI
Li Qi Di
tT
oI
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
)2.6(
/1
1)2.6()9.6(
2
1
)8.6()2.5(
2
)1.5(1
)1.5(
22
2
1
2
1
2
1
2
1
oo
i
L
L
L
o
o
oo
oo
o
o
o
o
o
i
L
iLL
i
LL
iLL
LL
RDrRDn
DEI
I
i
eE
CR
DTDT
CR
eDT
dt
dee
eCRdt
de
e
DTnL
EI
Ln
rDT
nL
EiI
Ln
rDT
nL
Ei
Ln
ri
EnL
iLn
r
dt
di
DTdt
dii
を代入する。と式ここに、式
になる。を求めると以下のよう流のリプル率これらより、コイル電
は以下となる。から、と式また、式
を代入する。ここに、式
Ｌ
Ｌ
32
（6.9）
t=kTのiL、次ページ参照
t=kTのeo、次ページ参照
（6.10）
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
o
o
o
oo
o
oo
o
o
oi
oi
L
i
iL
LL
L
RD
r
L
TRDrDRD
L
T
D
rDn
D
RDn
Ln
DT
D
rDnr
D
RDnr
Ln
DT
RD
rDnDr
D
RDn
D
RDnr
Ln
DT
RD
r
D
RDnr
Ln
DT
RD
r
DE
RDnEr
Ln
DTDT
I
nEr
Ln
DTnL
E
Ln
Ir
II
i
2
2
2
2
2
222
2
2
2
1
22
12
2
2
2
1
2222
12
2
22
12
2
22
1212
2
1
1
/
1
11
1Ｌ
（6.11）
33
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
T
onT offT
DT TD
Li
oe
kTt Tkt 1 Tkt 2
2)( L
LL
iIkTi
2)( o
oo
eEkTe
図６．１ コイル電流と出力電圧の説明図 34
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
LLo
o
o
o
LC
o
o
L
off
o
o
oon
o
on
o
off
oC
o
CCoC
oooo
o
o
o
o
ooo
o
o
o
oo
o
o
ooo
o
o
o
IieCR
eCR
iC
i
eCR
iCdt
dee
CRdt
de
dt
de
dt
dei
dt
deCidti
Cei
CR
DT
CR
DT
CR
DT
CR
DT
CR
DTE
e
CR
DT
CR
DT
E
e
E
e
CR
DT
CR
DTeE
CR
DT
EE
e
111
111)13.5()11.5(
1
21
21
1
21
22
1
＋Ｃ
これを代入する。
が得られ、、より及び式となる。式
－Ｃ
よりはル電流平滑コンデンサのリプ
なる。を求めると次のように出力電圧のリプル率
（6.12）
35
式(5.11)(5.13)
ここに式(6.10)を代入する
+ －
2
o
o
o
o
eE
CR
DTe （6.10）
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
36
ジに示す。結果を表として次ペー
きる。いても求めることがで昇圧形コンバータにつ降圧形コンバータ同様にして
は以下となる。を代入するとここで式
を求める。次に電力効率
は以下となる。を代入するとさらに式
,,
/1
1
/1
1
/1
1),6.6(
/
/),5.6(
''
'
ooooi
o
ooi
o
i
o
Li
Lo
ii
oo
i
o
o
o
LC
CLooo
RZRZDn
D
D
nD
DE
DnE
RZDn
D
E
E
DE
DnE
nDIE
IDE
IE
IE
P
P
RD
EIi
iIDREI
（6.14）
（6.13）
トランスの鉄損やスイッチ素子の
スイッチング損失、ダイオードの
りカバリー損失等をゼロとしたとき
の電力効率を意味する。
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
37
降圧形 昇圧形 昇降圧形
昇降圧比 G
平均損失抵抗 r
出力インピーダンス Zo
出力電圧のリプル率 γo
コイル電流のリプル率 γL
平滑コンデンサの
リプル電流 Δic
電力効率 η
oo RZDn
D
/1
1
2D
r
oCR
DT
2
2
1 / rDnDr
oo RZD /1
11
2D
r
21 rDDr
oCR
DT
oo RZD
/1
1
r
21 rDDr
LC
TD
8
2
表６．１ DC-DCコンバータの静特性（定常状態）
o
o
R
r
L
TRD 21
o
o
RD
rr
L
TRDD 12
2
1
o
o
RD
r
L
TRD 2
2
1
o
oo
R
r
L
RTID 21D
I o
D
I o
oo RZ /1
1
oo RZ /1
1
oo RZ /1
1
＝ ＝
＝ ＝
＝
＝
7章に戻る ６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
LD
LQ
rrr
rrr
2
1
L
iL
r2
C Ro
(a)降圧形コンバータ
(ｂ)昇圧形コンバータ
(d)昇降圧形コンバータ（絶縁形）
Ei n2L C
iL/n n：1
r1
Ro
LD rrr 2
（スイッチ・オン期間）
図６．２ 抵抗ｒ1、ｒ2の説明図
38 (ｃ)昇降圧形コンバータ（非絶縁形）
LD
LQ
rrr
rrr
2
1
LD
LQ
rrr
rrr
2
1
（スイッチ・オフ期間）
LQ rrr 1
Eo Ei C Ro
D
Q L
＋
Io
Eo Ei C Ro
DL
＋
Io
Q
EoEi C Ro
L＋
IoQ
D
C Eo
Ei
Ro
D
T
＋
Io
Q
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
IO
出力電圧
Eo
入力電圧
Ei C Ro D
L
＋ IＬ
（注）無負荷時の出力電圧：Eo´
それぞれの方式の昇降圧Gと出力インピーダンスは以下のように求めることができる。降圧
形は一周期間に渡って出力電流が流れ、昇圧形と昇降圧形はオフ期間にしか出力電流が流れないために出力インピーダンスは異なってくる。
■降圧形コンバータ
出力インピーダンス平均値、コイルに流れる電流の
出力電流、生する逆起電力、オフ期間にコイルに発
無負荷時の出力電圧、出力電圧、入力電圧、
やコイルの抵抗等ダイオードのオン抵抗おける等価抵抗スイッチのオフ期間に
の抵抗等スイッチ素子やコイルおける等価抵抗スイッチのオン期間に
スイッチのオフ時間スイッチのオン時間、
::
::
:::
)(:
)(:
::
2
1
oL
oL
ooi
offon
ZI
IE
EEE
r
r
TT
図６．３ 降圧形(buck形)コンバータと動作波形(次ページ)
39
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
iEoE
VL
0
Li
DQL iii
oL II
0t 1t T
1 2
VQ
VD
iL
iQ
iD
0
0
0
0
0
0
VG
iEoE
PI
QPi
t
iQP EV
oi EE
1:スイッチオン期間
2:スイッチオフ期間
40
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
41
)16.6(/1
1
/1
)15.6(
)15.6(, 21
21
21
21
2121
21
21
ooi
o
oo
i
oo
o
o
iooio
o
offon
o
o
o
offon
o
i
offonooni
o
offonooniooffoooffLonooi
oL
offLoonoLi
offLLooffLLonLoLi
RZD
E
EG
RZ
DEEZ
R
EDEZIDEE
GE
rrDDrT
TrTr
I
EZ
TrTrT
IDE
T
TrTrITEE
TrTrITETETrIETVTErIE
II
TrIETErIE
TIrIETIVTIErIE
が求められる。るとの等式に代入し整理すを次に式
上式より
を代入する。ここで、
。等しく次式が成り立つ
エネルギーにオフ期間に放出されるえられるエネルギーはオン期間にコイルに蓄
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
■昇圧形コンバータ
o
off
L IT
TI
Li
DQL iii
iE
1 2
VL
0
0t 1t T
VQ
iL
iQ
iD
0
0
0
0
0
VG
iL II
PI
t
QPi
i
off
QP ET
TV
oEio EE
Eo Ei C Ro
DL
＋
Io
Q
図６．４ 昇圧形(boost形)コンバータ
と動作波形
1:スイッチオン期間
2:スイッチオフ期間
42
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
)18.6(/1
11
/1
1
)17.6(
)17.6(11
22122121
2121
21212
11
oo
oo
i
oo
o
oi
oo
i
o
o
off
on
offo
o
o
o
off
on
o
off
i
off
on
o
off
i
off
o
o
off
LooffL
off
on
Li
off
LLi
off
on
iLLio
Li
off
onLoffLonLi
RZDG
RZD
EEZ
R
E
D
EZI
D
EE
E
D
rrDDr
Drr
D
D
Drr
T
T
T
T
I
EZ
Z
rrT
TI
T
T
D
Err
T
TI
T
TE
T
TE
IT
TITITI
rrT
TIE
T
TrIrIE
T
TErIVEE
rIET
TVTVTrIE
の等式に代入する。を次に式
が求められる。これより
する。が求められこれを代入よりここで、
ことができます。降圧形と同様に求める
43
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
■昇降圧形コンバータ（非絶縁形）
oE
iE
0
VG
VL
0
VQ
iL
iQ
iD
0
0
0
o
off
L IT
TI
Li
DQL iii
PI
1 2
0t 1t T0
t
i
off
QP ET
TV
QPi
oI
LI
EoEi C Ro
L＋
IoQ
D
図６．５ 昇降圧形(buck-boost形)
コンバータと動作波形
1:スイッチオン期間
2:スイッチオフ期間
44
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
■昇降圧形
)20.6(/1
1
/1
1
)19.6(11
210
22122121
210
21
21
oo
oo
io
o
o
o
iooi
off
on
off
i
off
on
o
off
on
offo
o
o
off
on
off
i
off
on
off
offonL
i
off
on
o
oo
off
LooffL
offLooffLonLi
RZD
DG
RZE
D
DE
ZR
EE
D
DZIE
D
Drr
T
TI
T
TE
T
TE
D
rrDDr
Drr
D
D
Dr
T
Tr
T
T
I
EZ
rrT
TI
T
TE
T
T
T
rTrTIE
T
TE
EIT
TITITI
TrIETVTrIE
を求める。となり、これを代入しよりここで、
45
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
46
また、昇降圧比 Gは無負荷時の昇降圧比 G´(各部品が抵抗分のない理想的な状態のときの
昇降圧比 G´)から求めることができる。各コンバータにおける G´は以下のようになる。
となる。
これより
されるエネルギーにオフ期間に負荷に放出
入するエネルギーはオン期間にコイルに流すると、無負荷時の出力電圧と
を流れる電流，コイル一周期間オフ期間オン期間
降圧形コンバータ
)21.6(
,
等しく次の式が成立つ
:
:),:,:,:
conveter)(buck )(
DE
EGEDE
T
TE
TIETTIETIETIETIEE
E
LITT(TTTT
a
i
o
ii
on
o
LooffonLoonLioffLoonLoi
o
Loffonoffon
となる。
はこれより
エネルギーに
に負荷に放出されるエネルギーはオフ期間蓄えられるオン期間にコイルに
昇圧形コンバータ
)22.6(1
)1
1(
1
,
等しく次の式が成立つ
conveter)(boost )(
DE
EGE
DE
DE
T
TE
ETIETTIETIEETIE
b
i
o
iii
off
o
ooffLooffonLioffLioonLi
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
C Eo
Ei
Ro
D
T
＋
Io
Q
となる。
これより
。って、次の式が成立つが放出される。したがエネルギー
が流れ負荷にり、二次巻線電流は順バイアスされてお期間は整流ダイオード
ッチ素子のオフ電流は流れない。スイており、二次巻線にはにより逆バイアスされ
となる。このとき、エネルギーは
蓄えられるに次巻線一オン期間にトランスのとすると、を一次巻線に流れる電流
昇降圧形コンバータ
)23.6()1
1(
1
conveter)boost -(buck)(
11
1
1
1
1
Dn
D
E
EGE
D
D
nE
Dn
DE
T
T
nE
TnIETIE
TnIE
nI
TIE
I
c
i
oiii
off
ono
offLoonLi
offLo
L
onLi
L
巻線に発生する電圧整流ダイオードは二次
47
n:1
図６．６ 昇降圧形(buck-boost形)コンバータの動作
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
47
48
0
1
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
昇圧形 昇降圧形
降圧形
i
o
E
EG
D
io DEE
io ED
E
1
io EDn
DE
図６．７ 各方式におけるデューティレシオと昇降圧比（無負荷時）
0.5
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
負荷電流が流れると出力インピーダンスの電圧降下により出力電圧が下がり、昇降圧比G
が小さくなる。このときのGは下図から求めることができる。
oZ
oEoE oR
oI
図６．８ 出力回路の等価回路
)24.6(/1
1G
RZE
RZ
R
E
EG
ERZ
RZIEE
oo
o
oo
o
i
o
o
oo
o
oooo
式(6.２４)に式(6.２１)～式(6.２３)で与えられるそれぞれの方式のG´を代入すると表6.1の
昇降圧比Gが求められる。 49
圧負荷がある時の出力電
無負荷時の出力電圧
:
:
o
o
E
E
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
49
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
G
G
o
o
R
Z
図６．９ （Ｚo／Ｒo）と（G/G´比）
50
表へ
６．DC-DCコンバータの定常状態における静特性
となる。
りが求められる。これよ
より電荷に等しく、流の電荷は出力電流のダイオードを流れる電
オフ期間
スは次のようになる。より出力インピーダン
D
r
T
Tr
I
I
I
E
I
EZ
IT
TI
TITI
I
EZ
ZI
EZIEE
offo
L
L
o
o
o
off
o
off
L
ooffL
o
o
o
o
o
ooooo
22
６．１ 昇圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの出力インピーダンスが式（6.１７）で与えられることを
証明せよ。
51
６章 演習問題
L
off
oLon
i
LDLQ
IT
TII
T
TI
rrrrrr
,
, 21
0
onT offT
LI
Li Qi Di
tT
oI
Eo Ei C Ro
DL
＋
Io
Q
22
21212
121
1
1
D
r
D
rDDrr
Dr
D
DZZZ
ZZ
rD
D
D
Dr
DI
I
I
E
E
E
I
EZ
IT
TI
T
T
T
TI
T
TI
IT
TII
T
TI
TITI
offon
offon
o
i
i
i
i
o
o
o
on
o
off
on
o
off
on
L
on
i
o
off
LL
on
i
ionL
られる。スが以下のように求めから出力インピーダンと以上で求めた
となる。
これより
められる。を代入すると以下が求となる。ここに
よりの電荷に等しく、電流の電荷は入力電流スイッチ素子を流れる
オン期間
52
６．DC-DCコンバータの静特性
先ず伝達関数について説明する。
一般に入力信号X(t)と出力信号Y(t)の間には信号伝達特性がある。この信号伝達特性G(t)
は入力信号X(t)により変化するために、G(t)=Y(t)/X(t)という形で一義的に表現することは
できない。しかし、入力信号と出力信号をラプラス変換し、X(s)に対する Y(s)の比を求めると
入力信号X(t)に関係なく信号伝達特性を表現することができる。このときのX(s)に対する
Y(s)の比を伝達関数G(s)という。
0)()(
)()( の初期値ただし、
換入力信号のラプラス変
換出力信号のラプラス変伝達関数 tX
sX
sYsG
)(tEi )(tEoC
R
1
1
s)(sEi
)(sEo
CRssE
sEsG
i
o
,1
1
)(
)()(
図７．１ ＣＲ回路 図７．２ ブロック線図
は異なってくる。となり、
、の時、
、の時、
)()(
11)()(1)()(
1)()(1)(1)(
tEtE
ttEtEttEttE
tEtEtEtE
io
t
io
t
oi
t
io
t
oi
53
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
求める。それぞれの伝達関数を
号動特性、つまり微小変動した時の小信時比率及び負荷抵抗がここでは、入力電圧、
できる。を簡単に求めることがラス変換すれば出力
を逆ラプで与えられ、はが分かれば出力といい、関数
に対する比を伝達の。このに関係なく等しくなるはとなり、
、の時、
の時、
)(
)()()()()()()(
)()()()()(
)(1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
1
111)(
1)(
)(1
1
1
1
11
1
1111)(
2
2
2222
tY
sYsXsGsYsYsGsG
sEsEtEsEsE
sGssss
s
(s)E
(s)E
sssssssssE
s(s)EttE
sGsss
s
(s)E
(s)E
ss(s)、E
s(s)EtE
ioiio
i
o
oii
i
o
oii
54
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
と次のようになる。をラプラス変換をする次に式
について求める。ここで先ず
めることができる。ここから伝達関数を求）で与えられ変動は式（
小状態変数の平均値の微が微小変動したときの入力電圧負荷抵抗時比率
)9.5(
)9.5(
011
1
,
)6.4()()()()(
,6.4
,,
21
1
2121
1
i
o
L
o
i
o
L
i
o
L
io
o
i
io
EL
D
e
i
CRC
LL
rDDr
Ee
iE
dt
de
dt
di
dt
d
s
sEsRR
sDEss
ERD
BABxAx
AI
BXΑ
BBXAAAIX
55
７．１ 降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの伝達関数
P64へ戻る
式（5.9）は降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの状態平均化方程式を示したものである。
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
0)()()()()(
0)()()()()()(
0)(
0)(
)()(
)(
)()(
)(
)(
0)(
)(
11
1
)()(
)(
)(
)(21
sdEscIsEsEs
sEL
DsbEsaIsEsIs
sEL
D
sE
sI
dc
basE
sE
sIs
dc
bas
sEL
D
sE
sI
CRC
LL
rDDr
sEsE
sI
sE
sIs
oLio
ioLiL
i
o
L
i
o
L
i
o
L
o
i
o
L
o
L
BAI
BAI
BAI
AI
BA
この式を展開する。
と置き整理する。上式を書き直し，
56
式(7.11)へ
7.1節へ
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
o
o
o
L
ioL
o
o
Lo
ioLL
CRsd
Cc
Lb
L
rDDrsa
s
sECR
ssIC
sEL
DsE
LsI
L
rDDrs
sECR
sIC
ssE
sEL
DsE
LsI
L
rDDrssI
1
1
1
,
0)(1
)(1
0)()(1
)(
)(1
)(1
)(
)()(1
)()(
,
21
21
21
は以下のようになる。以上より
ると以下となる。平均化方程式を展開すラプラス変換後の状態一方
AI
57
a b
d c
dc
bas
sdEscIsEsEs
sEL
DsbEsaIsEsIs
oLio
ioLiL
)(
0)()()()()(
0)(-)()()()()(
AI
BAI
BAI
注）前頁の等式
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
57
L
rs
C
LCRs
R
Zs
R
LCZLCs
LC
L
rs
C
LCRs
LCLCR
rs
CRL
rs
L
rs
C
LCRs
LCCRs
L
rs
s
s
CRs
C
LL
rs
CRs
C
LL
rDDrs
s
s
o
o
o
o
o
o
oo
o
o
oo
1
11
11
11
11
1
1
11
11
1)(
)(
11
1
11
1
)(
)(
22
1
1
21
AI
AI
AI
AI
を求める。次に
は以下となる。以上の結果より
（7.1）
58
ac
bd
bcad
bcad
a
bcad
c
bcad
b
bcad
d
A
dc
baA
1
)
1
逆行列注
r=Zo
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
58
L
rs
C
LCRs
ssRZ
LC
L
rs
C
LCRs
RZ
LCssR
LCZ
RZ
LCs
o
oo
o
oo
o
o
oo
1
11
)/()/(211
1
11
111
)(
2
00
2
1
AI
59
（7.2）
C
L
RL
CZ
RZ
R
LCZ
RZLCR
LCZ
RZ
RZLC
DCDC
o
o
oo
o
o
ooo
o
oo
oo
1
/12
1
/1
1
2
1
1
1
2
/11
0
0
0
は以下となる。とコンバータの以上より降圧形
（7.3）
1/ω02
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
2
21
21
21
10
00
11
1
0
1
0
0
0
1
00
0
11
1
11
1
oo
oo
oo
o
CRCRC
LL
rDDr
RR
LL
L
r
L
r
CRC
LL
r
CRC
LL
r
R
Α
BΒ
AA
ΑBΒAA
21
21
2121 のようになる。について求めると以下、、次に
60
（7.4）
（7.5）
（7.6）
式(5.14)～(5.16)
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
これらを代入する。
が求められ、よりが、ここで、 o
oo
i
ooi
o
o
o
oL
i
o
L
i
o
o
oo
o
oo
o
oo
o
oo
i
o
i
L
i
io
o
i
ED
RZE
RZ
D
E
E
R
EII
EE
IsEs
sD
s
CsRR
sPRZ
DR
Cs
sPRZ
D
LC
D
L
D
CRs
sPRZ
LC
L
D
L
rs
C
LCRs
sPRZ
LCs
sE
sE
sE
sI
sE
s
sEsRR
sDEss
/1
/1
)(
)(
1
11
)(11
1
)(1
1
)(1
01
11
)(1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()()()(
2121
1
2121
1
1
2121
1
BBAAAIBBXAAAIX
BAIX
BXΑ
BBXAAAIX （4.6）
①
①
② ③
（7.7） ②
（7.8）
61
以上の結果をもとに降圧形コンバータの伝達関数を求める。
B (s-A)-1
0
L
D
DD 21 BBB
式（5.8）
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
o
ooo
o
oo
oo
o
ooo
o
o
o
o
oo
o
oo
o
o
o
o
oo
o
oo
o
o
o
ED
RZ
LC
LCRs
R
E
L
rr
C
L
rr
CRs
sPRZ
LC
ED
RZ
LC
LCRs
E
R
E
L
r
L
r
C
L
r
L
r
CRs
sPRZ
LC
ED
RZL
E
R
E
L
r
L
r
L
rs
C
LCRs
sPRZ
LC
sD
s
ED
RZ
E
R
E
ssD
s
/1
1
11
1
1
)(1
/1
1
11
01
01
)(1
/1
0
1
00
0
1
11
)(1)(
)(
)5.7()4.7()2.7(
/1
)(
)(
12
12
21
21
21
2121
1
X
BBAAAIX
を代入する。、、ここに式
62
(s-A)-1 (A1-A2)
(B1-B2)
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
D
RZ
R
rr
sCRD
RZ
R
rr
R
sPRZ
E
D
RZ
R
rr
D
RZ
R
rr
RCs
sPRZ
E
DLC
RZ
LCR
rr
D
RZ
LCRCs
LC
rr
RCs
R
sPRZ
LCE
D
RZ
LC
LCRs
R
L
rr
C
L
rr
CRs
sPRZ
LCE
sD
s
oo
o
o
oo
oo
oo
o
oo
o
oo
oo
oo
o
oo
o
oo
ooo
oo
o
ooo
o
o
oo
o
/1
1/11
)(1
/1
/11
)(1
/1
/11111
)(1
/1
1
11
1
1
1
)(1)(
)(
12
12
12
12
12
12
12
12
X
63
（7.9）
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
o
o
o
o
o
oooo
L
o
o
E
R
E
CRL
rs
C
LCRs
sPRZ
LC
Rs
sR
sE
sR
sI
sR
s
sR
s
2
11
0
00
1
11
)(1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
XΑ
AIX
X。を求めると以下となる次に
)1(
1
)(1
1
)(1
10
10
)(110
10
)(1
10
00
1
11
)(1)(
)(
22
2
2
2
2
2
sr
LrRsPRZ
E
rLsLCRsPRZ
LCE
E
R
E
rLsLCR
LCR
sPRZ
LC
E
R
E
L
rs
CR
LCR
sPRZ
LC
E
R
E
CRL
rs
C
LCRs
sPRZ
LC
sR
s
ooo
o
ooo
o
o
o
o
o
o
oo
o
o
o
o
o
oo
o
o
o
o
o
ooo
X
（7.10）
64
③ IL
(s-A)-1
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
C
L
RL
CZ
RZ
RZLC
sssP
o
o
oo
oo
1
/12
1
/11
21)(
0
2
00
昇降圧形の場合
注）
vr
vr
ir
o
o
o
L
o
vd
vd
id
id
o
L
vv
iv
iv
i
o
i
L
i
sG
G
sP
sR
sE
sR
sI
sR
s
sG
sG
sP
sD
sE
sD
sI
sD
s
G
sG
sP
sE
sE
sE
sI
sE
s
1)(
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
1
)(
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
)(
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
X
X
X
。以下の形に整理できるさらにこれらの結果は
65
（7.11） P64に戻る
P78に戻る
P77に戻る
8章に戻る 次にそれぞれを求める。
P79に戻る
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
oo
vv
o
iv
ooo
iv
vv
iv
ivo
o
oo
i
o
i
L
i
RZDG
CR
RZR
DG
G
sG
sP
CsRR
sPRZ
D
sE
sE
sE
sI
sE
s
1
1
1
1
1
1
)(
1
1
11
)(1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
X
（7.12）
（7.13）
（7.14）
66
式(7.7) 式(7.11)
れる。は以下のように求めら
及びとより及び式式式式
vrvrir
vdidvdidivvviV
GG
GGGG
,,
,,,,,,)11.7()10.7(),9.7(),7.7(
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
oo
o
o
oo
ooo
oid
id
o
o
o
o
o
o
o
o
o
oo
o
oo
o
oo
oooo
o
id
vd
vd
id
id
oo
o
o
oo
oo
oo
o
o
L
RZ
R
r
DR
E
D
R
r
RRZ
EG
G
rDDrrZ
D
R
r
DR
rR
DR
rDDR
DR
rDDrRDrDr
DR
ZR
R
rr
D
RZ
R
rr
D
RZ
R
rr
RRZ
EG
sG
sG
sP
D
RZ
R
rr
sCRD
RZ
R
rr
R
sPRZ
E
sD
sE
sD
sI
sD
s
1
111
1
1
/1
) (
/11
1
1
1
)(
1
/1
1/11
)(1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
22
21
2
22
21121212
12
12
12
は以下となる。これを代入すると
ただし、
の中を整理する。ここで
X
67
（7.15）
式(7.9) 式(7.11)
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
68
vd
vd
vd
vd
oo
oooo
ooo
o
vd
o
id
id
s
sP
G
RZ
R
r
D
E
D
RZ
R
rr
RZ
EG
CR
よりは、
となる。
はまた、
0)(
1
1/1
1
1
2
12（7.17）
（7.18）
（7.16）
を代入する。
D
R
r
D
RZ
R
rr ooo
o
2
12
1/1
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
69
L
Z
L
r
RZR
EZ
RZ
r
R
EG
RZR
EG
sG
G
sPsr
LrRsPRZ
E
sR
sE
sR
sI
sR
s
o
vr
ooo
oo
ooo
o
vr
ooo
o
ir
vr
vr
ir
ooo
o
o
o
o
L
o
1
1
1
1
1
1)(
1
)1(
1
)(1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
22
2
2
X
（7.19）
（7.21）
（7.20）
式(7.10) 式(7.11)
降圧形
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
。すると次のようになる
をラプラス変換を化方程式である式コンバータの状態平均昇降圧形
について求める。ここで先ず
めることができる。ここから伝達関数を求）で与えられ変動は式（
小状態変数の平均値の微が微小変動したときの入力電圧負荷抵抗時比率
)18.5(
)18.5(
01
1
,
)6.4()()()()(
,6.4
,,
22
1
1
2121
1
DCDC
EnL
D
e
i
CRC
D
L
DrD
n
rD
LE
e
iE
dt
de
dt
di
dt
d
s
sEsRR
sDEss
ERD
i
o
L
o
i
o
L
i
o
L
io
o
i
io
BABxAx
AI
BXΑ
BBXAAAIX
70
７．２ 昇降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータの伝達関数
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
)(1
)()(
)()()(1
)(
0)()()()()(
0)()()()()()(
0)(
0)(
)()(
)(
)()(
)(
)(
0)(
)(
1
1
)()(
)(
)(
)(
22
1
22
1
sECR
sIC
DssE
sEnL
DsE
L
DsIrD
n
rD
LssI
sdEscIsEsEs
sEnL
DsbEsaIsEsIs
sEnL
D
sE
sI
dc
basE
sE
sIs
dc
bas
sEnL
D
sE
sI
CRC
D
L
DrD
n
rD
LsE
sE
sI
sE
sIs
o
o
Lo
ioLL
oLio
ioLiL
i
o
L
i
o
L
i
o
L
o
i
o
L
o
L
。展開すると以下となるの状態平均化方程式を一方、ラプラス変換後
と置く。上式を書き直し、
BAI
BAI
BAI
AI
BA
71
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
71
c
b
oo
o
o
o
L
ioL
CRs
C
D
L
D
L
rs
CRs
C
D
L
DrD
n
rD
Ls
s
CRsd
C
Dc
L
Db
rDn
rD
Lsa
s
sECR
ssIC
D
sEnL
DsE
L
DsIrD
n
rD
Ls
11
1
1
1
0)(1
)(
0)()()(1
22
1
22
1
22
1
AI
AI は以下のようになる。以上より、
。整理すると以下となる
72
（7.22）
a
d
dc
bas
sdEscIsEsEs
sEnL
DsbEsaIsEsIs
oLio
ioLiL
)(
0)()()()()(
0)()()()()()(
AI
BAI
BAI
注）前頁の等式
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
L
rs
C
D
L
D
CRs
R
Zs
RD
LCZs
D
LC
DLC
L
rs
C
D
L
D
CRs
LCR
r
D
LCs
CRL
r
D
LCs
D
LC
DLC
L
rs
C
D
L
D
CRs
LC
D
LCR
rs
CRL
rs
L
rs
C
D
L
D
CRs
LC
D
CRs
L
rs
s
s
o
o
o
o
o
o
oo
o
oo
o
o
1
1
1
11
1
1
1
1
1
1)(
)(
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
1
1
AI
AI について求める。次に
73
ac
bd
bcad
bcad
a
bcad
c
bcad
b
bcad
d
A
dc
baA
1
)
1
逆行列注
を代入する。2D
rZo
を掛ける。次に分母と分子に2D
LC
昇降圧形
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
L
rs
C
D
L
D
CRs
sPRZ
DLC
L
rs
C
D
L
D
CRs
ssRZ
DLC
L
rs
C
D
L
D
CRs
RZ
sRD
LCZs
D
LC
RZ
DLCs
o
oo
o
oo
o
oo
o
o
oo
1
)(1
1
211
1
11
1
)(
2
2
00
2
2
2
2
21
AI
（7.23）
74
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
01
1/
01
1
11
1
10
0
1
/12
1
/1
1
21
1
2
/1
21)(
)32.7(
2
2
12
2
12
2
1
22
0
0
2
00
C
LL
rnr
C
LL
r
Ln
r
CRC
LL
r
CR
Ln
r
R
C
L
RDL
CZD
RZ
RD
LCZ
RZLC
D
RD
LCZ
RZ
RZLC
D
sssP
oo
o
o
o
oo
o
o
ooo
o
oo
oo
21
2121
AA
ΑBΒAA のようになる。について求めると以下、、次に
る。のそれぞれは以下となただし、式
（7.24）
（7.25）
75 式(5.14)～(5.15)
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
)6.4()()()()(
10
00
1
1
0
1
0
0
0
1
2121
1
2
22
1
sEsR
RsDEss
CRCRC
D
L
DrD
n
rD
L
RR
nLnL
io
o
i
o
o
oo
BXΑ
BBXAAAIX
Α
BΒ 21
が得られる。
ンバータの伝達関数各微小変動に対するコ式に代入すれば、以上で求めた結果を下
76
（7.27）
（7.26）
式(5.5)～(5.8)
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
代入する。
を次に式 )26.7)(25.7)(23.7(
ooo
o
o
o
o
oo
i
ooi
o
o
oo
L
i
o
L
i
o
oo
o
oo
i
o
i
L
i
io
o
i
ED
RZDn
E
RD
E
ssD
s
ED
RZDnE
RZDn
D
E
E
RD
E
D
II
EE
IsEs
sD
s
nLC
DD
nL
D
CRs
sPRZ
DLC
nL
D
L
rs
C
D
L
D
CRs
sPRZ
DLCs
sE
sE
sE
sI
sE
s
sEsRR
sDEss
/1
)(
)(
)29.7(
/1
/1
1)5.6(
)(
)(
1
)(1
0
1
)(1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()()()(
2121
1
2121
1
2121
1
2
21
2121
1
BBAAAIX
BBAAAIBBXAAAIX
BAIX
BXΑ
BBXAAAIX
に代入する。求められこれらを式
がよりが、よりここで、式
77
（4.6）
（7.28）
①
①
②
②
③
（7.29）
)8.5(
0
nL
D
B
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
と置く。
b
a
sPRZ
DLC
ED
RZDn
nLC
D
ED
RZDn
CRs
nL
sPRZ
DLC
LC
ED
L
rs
CRD
E
L
rnr
C
D
RD
E
CRs
L
E
LC
D
RD
E
L
rnr
CRs
RD
E
sPRZ
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nLC
D
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nL
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DLC
E
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E
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C
D
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LLC
D
L
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sPRZ
DLC
ED
RZDnnL
E
RD
E
C
LL
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C
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sPRZ
DLC
sD
s
oo
o
oo
o
oo
o
oo
o
o
o
o
o
o
o
o
o
oo
o
oo
oooo
oo
o
o
ooo
oo
o
oo
o
o
o
o
oo
)(1/1
/111
)(1
1/
1/1
)(1
/1
11
)(1
1/
11/1
)(1
/1
0
1
01
1/1
)(1)(
)(
22
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
12
X
78
A1-A2 B1-B2
(sI-A)-1
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
oo
o
o
o
o
oo
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
oo
o
o
o
o
ooooo
o
o
o
o
oo
oo
o
o
o
oo
o
LCR
E
RD
r
DL
E
CRs
LCR
E
RD
rDDr
DL
E
CRs
LCR
E
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D
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CRs
rDnDrrLCR
E
RD
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RD
D
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E
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D
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LCR
E
R
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LCR
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RD
D
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LCR
E
D
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L
E
L
E
L
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RD
E
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ED
RZDn
CRs
nLCRs
L
E
LC
D
RD
E
L
rnr
CRs
RD
Ea
a
2
22
2
2
12
2
1
2
2
12
2
1
22
2
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
11
11
/1/
1
//1
/1
/1/1
/1/1
/1111/1
を代入する。
を代入する。
について整理する。
79
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
L
rs
CRD
E
RD
r
DLC
ED
LCR
E
RD
r
DL
E
CRs
sPRZ
DLC
sD
sE
sD
sI
sD
s
sD
s
L
rs
CRD
E
RD
r
DLC
ED
L
rs
CRD
E
RD
rDDr
DLC
ED
L
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CRD
E
RD
rDnDrDD
RD
rnrD
DLC
ED
D
rDnDrZ
L
rs
CRD
EE
D
RZD
LC
D
LC
ED
L
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CR
E
ED
RZDn
nLC
D
LC
ED
L
rs
CRD
E
L
rnr
C
D
RD
Eb
b
o
o
o
o
o
o
o
o
o
ooo
L
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
oo
o
o
o
oo
ooo
o
o
o
ooo
o
o
o
o
2
2
2
222
2
2
12
2
1
2
2
2
12
2
1
2
2
1
1
11
)(1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
11
//
//1/
/11/
X
Xは以下となる。以上より
を代入
について整理する。
（7.30）
80
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
る。は以下の形に整理できさらに、これらの結果
となる。を求めると式次に
L
rs
CR
E
LCR
ED
sPRZ
DLC
E
L
rs
CR
LCR
D
sPRZ
DLC
E
RD
E
L
rs
CR
LCR
D
sPRZ
DLC
E
RD
E
CRL
rs
C
D
L
D
CRs
sPRZ
DLC
Rs
sR
sE
sR
sI
sR
s
sR
s
o
o
o
o
oo
o
o
o
oo
o
o
o
o
o
oo
o
o
o
o
o
oo
o
o
o
L
o
o
2
22
2
22
2
22
2
21
)(1
1)(110
0
)(1
10
001
)(1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)9.7()(
)(
XΑ
AIX
X
81
（7.10）
③
o
oo
LRD
E
D
II
2
10
00
o
o CRR
Α
式（7.27）を代入する。
(s-A)-1
82
CR
RZD
D
nG
RZRD
D
nG
G
sG
sP
RZD
D
n
CsRRZRD
D
n
sP
nLC
DD
D
LC
RZ
sCRnLCR
D
D
LC
RZ
sP
nLC
DD
RZ
DLC
nL
D
CRs
RZ
DLC
sP
nLC
DD
nL
D
CRs
sPRZ
DLC
sE
sE
sE
sI
sE
s
GG
o
iv
oo
vv
ooo
iv
vv
iv
iv
oo
o
ooo
oo
o
ooo
oo
oooo
oo
i
o
i
L
i
ivvviv
1
1
11
1
11
1
)(
1
1
11
11
11
)(
1
1
1
11
1
)(
1
1
1
1
)(
1
1
)(1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)28.7()11.7(
2
2
2
2
2
2
2
X
れる。は以下のように求めら、、より、及び式式
（7.32）
（7.33）
（7.34）
式(7.28)
式(7.11)
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
sCRD
E
DRZ
LC
L
r
CRD
E
RD
r
DLC
ED
DRZ
LC
sRD
r
DL
E
DRZ
LC
RD
r
DLCR
E
DRZ
LC
sP
sCRD
E
L
r
CRD
E
RD
r
DLC
ED
sRD
r
DL
E
RD
r
DLCR
E
sPRZ
DLC
sCRD
E
L
r
CRD
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DL
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LCR
E
RD
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CRDL
E
sPRZ
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L
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CRD
E
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r
DLC
ED
LCR
E
RD
r
DL
E
CRs
sPRZ
DLC
sD
sE
sD
sI
sD
s
o
o
ooo
o
o
o
oo
o
o
oooo
o
oo
o
o
o
o
o
o
o
o
oo
o
oo
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
oo
o
oo
o
o
o
o
o
o
o
o
o
ooo
L
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
22
2
2
2
2
11
1
11
11
11
)(
1
1
111
1
)(1
1
111
)(1
1
11
)(1
)(
)(
)(
)(
)(
)(X
から求められる。と式も式、、、 )30.7()11.7(vdidvdid GG
83
式(7.30)
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
sRD
DL
DDRZ
E
RD
DrrD
DDRZ
E
sRD
r
RDDRZ
ECR
RD
rD
RDDRZ
E
sP
sRD
DL
DDRZ
E
RD
Dr
RD
r
DDRZ
E
sRD
r
RDDRZ
ECR
RD
rD
RDDRZ
E
sP
sRDDRZ
LE
RD
rE
RD
r
D
ED
DRZ
sRD
r
DDRZ
CE
RD
r
DRDRZ
E
sP
sCRD
E
DRZ
LC
L
r
CRD
E
RD
r
DLC
ED
DRZ
LC
sRD
r
DL
E
DRZ
LC
RD
r
DLCR
E
DRZ
LC
sP
sD
sE
sD
sI
sD
s
ooo
o
ooo
o
oooo
oo
oooo
o
ooo
o
oooo
o
oooo
oo
oooo
o
ooo
o
o
o
o
o
oo
ooo
o
oooo
o
o
o
ooo
o
o
o
oo
o
o
oooo
o
oo
o
L
22
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
11
1
11
11
)(
1
11
1
11
11
)(
1
11
1
1
11
11
11
)(
1
11
1
11
11
11
)(
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(X
84
を掛ける。
分子と分母に
oR
を掛ける。
分子と分母に
D
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
vd
vd
id
id
o
o
ooo
o
o
o
o
oooo
o
oooo
o
o
o
oooo
o
o
L
sG
sG
sP
s
RD
rDDr
RD
DL
RD
rDDr
DDRZ
E
s
RD
rD
RD
rCR
RD
rD
RDDRZ
E
sP
sRD
DL
RD
rDDr
DDRZ
E
sRD
rCR
RD
rD
RDDRZ
E
sP
sD
sE
sD
sI
sD
s
1
1
)(
1
1
111
1
1
111
)(
1
11
111
)(
1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
22
2
X
85
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
o
ovd
o
o
o
o
oid
oo
oovd
oo
o
o
oid
vdidvdid
RD
rDDr
DL
RD
RD
r
D
CR
RD
rCR
RD
rD
RZ
RD
rDDr
DD
EG
RZ
RD
rD
RDD
EG
GG
2
2
2
22
2
2
2
2
2
1
1
11
1
1
1
1
1
1
は以次のようになる。、、、以上から
86
（7.35）
（7.36）
（7.37）
（7.38）
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
L
ZD
L
r
RZ
Z
R
EG
RZRD
EG
sG
G
sP
sr
L
RZ
Z
R
E
RZRD
E
sPs
r
L
RZD
r
R
E
RZRD
E
sP
sr
L
LCR
rE
DRZ
LC
LCR
ED
DRZ
LC
sP
L
rs
CR
E
LCR
ED
sPRZ
DLC
sR
sE
sR
sI
sR
s
GG
o
vr
oo
o
o
o
vr
ooo
o
ir
vr
vr
ir
oo
o
o
o
ooo
o
ooo
o
ooo
o
o
o
oo
o
o
oo
o
o
o
o
oo
o
o
o
L
o
vrvrir
2
22
2
2
22
2
22
22
2
22
11
1
1)(
1
11
1
1
)(
1
11
1
1
1
)(
1
11
1
)(
1
)(1
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)31.7()11.7(
X
が求められる。、、から及び式同様に式
87
（7.39） （7.40）
（7.41）
式(7.31)
昇降圧形
同様に昇圧形ＤＣ－ＤＣコンバータについても微小変動が起きた時の小信号動特性を
求めることができる。表７．１、表７．２に降圧形、昇圧形、及び昇降圧ＤＣ－ＤＣコンバ
ータに対する式（７．１１）に示す伝達関数の各パラメータを示す。
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
降圧形 昇圧形 昇降圧形
表７．１ DC-DCコンバータの伝達関数における各パラメータ
0
ivG
idG
irG
iv
oo RZLC
D/1
C
L
RDL
CZD
RZ o
o
oo
1
/12
1
C
L
RL
CZ
RZ o
o
oo
1
/12
1
C
L
RDL
CZD
RZ o
o
oo
1
/12
1
oo RZLC
D/1
oo RZ
LC/1
1
oooRZRD
D
n /1
112
ooo
RZRD /1
112
ooo RZR
D
/1
1
oo
o
o
o
RZ
RD
rD
RDD
E
/1
1 2
2
oo
o
o
o
RZ
RD
rr
RD
E
/1
2 21
2
oo
o
o
o
RZ
R
r
DR
E
/1
1 2
ooo
o
RZRD
E
/1
12 ooo
o
RZRD
E
/1
12
ooo
o
RZR
E
/1
12
CRo
1
CRo
1
CRo
1
＝
＝
＝ ＝
＝
補足説明へ
補足説明へ
補足説明へ
88
P57へ
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
89
降圧形 昇圧形 昇降圧形
表７．２ DC-DCコンバータの伝達関数における各パラメータ
vvG
vdG
vd
vrG
vr
id
o
o
RD
r
D
CR 21
11
o
o
RD
rr
D
CR 211
11
CRo
1
oo RZD
D
n /1
11
oo RZD /1
11
oo RZ
D/1
1
oo
oo
RZ
RD
rDDr
DD
E
/1
12
2
oo
oo
RZ
RD
r
D
E
/1
12
1
oo
oo
RZ
R
r
D
E
/1
1 2
ooo
oo
RZR
EZ
/1
12
ooo
oo
RZR
EZ
/1
12 ooo
oo
RZR
EZ
/1
12
o
o
RD
rDDr
DL
RD2
2
2
1
o
o
RD
r
L
RD2
2
2
1
L
ZD o
2
L
ZD o
2
L
Z o
＝ ＝
＝
)(1
)()(
)(
sP
Gs
sP
G
sD
sE vd
vd
vdo
G=Eo/Eiに等しい。
補足説明へ
補足説明へ
P33へ
P57へ
演習問題へ
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
は等しくなる。また、
が小さくなる。が大きく・昇降圧形の方が降圧形と比べ、昇圧形
0
0
0
0
2
/111
/12
1
/111
/12
11
/11
1
/12
111
/12
11
1
/12
11
/12
1
oo
o
o
oo
oo
o
o
oo
oo
o
o
ooooo
oooo
o
oo
RZLCC
L
RL
CZ
RZ
RZLC
DC
L
RL
CZ
RZD
RZLC
D
C
L
RL
CZ
RZDC
L
RL
Cr
RZD
C
L
RDL
C
D
rD
RZC
L
RDL
CZD
RZ
降圧形のδ
降圧形のω0
90
（7.44）
また、式（7.24）で与えられる昇圧形・昇降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータのδとω0をさらに展開し、降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータのδ及びω0と比較すると以下のようになる。
降圧形のδ 降圧形のω0
戻る
演習問題に戻る
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
ooooooo
vvi
o
vv
ii
Liv
i
o
vvi
i
o
oo
ooo
off
L
oooo
vvi
o
vv
ii
Liv
i
o
vvi
i
o
oo
ooL
RZRDRZDRDRD
GE
RD
G
EE
IG
ERD
GE
E
E
RDRD
E
D
II
T
TI
RZR
D
R
GE
R
G
EE
IG
ER
GE
E
E
RR
EII
/1
11
/1
1111
1
)(
/1
11
1
2
。昇降圧形も同様になる昇圧形
降圧形
91
（7.45）
（7.46）
表7.1のＧivはGvvから以下のように求めることもできる。
0
onT offT
LI
Li Qi Di
tT
図７．１ コイル電流の説明図
o
off
LooffL IT
TITITI
戻る
Eo Ei
ＩＬ=IO
Eo Ei
oI
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
さい。いては求めてみてくだ昇圧形、昇降圧形につ
降圧形
ooo
oo
ooo
o
oo
Lir
o
ooo
oo
ooo
oo
oo
oL
o
ooo
ooovro
o
ooLooo
RZR
ER
RZR
E
RR
IG
RRZR
ER
RZR
EZ
ZZ
EI
RRZR
EZRGR
R
EZIZIE
/1
1
/1
11
/1
1
/1
11
/1
1
22
22
2
oZ
oEoE oR
oI
92
戻る
（7.47）
図６．５ 出力回路の等価回路
oooooo
oooooo
oooo
o
o
ZIEEZI
EEZIIE
EZIE
E
E
0
)1()2(
)2(
)1(
:
:
圧負荷がある時の出力電
無負荷時の出力電圧
Ｇiｒは以下のように求めることもできる。
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
さい。いては求めてみてくだ昇圧形、昇降圧形につ
降圧形
oo
oo
ooo
o
o
o
oo
oo
o
o
oo
oo
oo
o
o
oo
i
oo
o
o
oo
i
oo
o
o
oo
i
oo
o
o
oo
ioooioo
vd
o
io
o
io
oo
io
oo
i
o
RZ
R
r
D
E
RZR
R
rR
D
E
RZ
Rr
D
E
EDR
RZ
RZ
RZ
RrR
RZ
ERZ
RrR
RZ
ERZ
DrDrRDrrDrR
RZ
ERZ
rrDRrDDrR
RZ
rrEDRRZER
D
EG
RrDDr
EDR
RrDDr
EDR
RZ
EDR
RZ
DEE
/1
1
/1
1
)
)()1(
)(
)1(1
22
2
2221221
2121
2
21
2121
戻る 93
を代入する。o
o
oo
i EDR
ZRE
（7.48）
表7.2のＧvdは以下のように求めることもできる。
2u
vuvu
u
v
微分の公式を使う。
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
ooo
oo
ooo
oo
o
o
oo
oo
o
o
oo
ooo
o
oo
o
oo
o
o
oo
o
o
RZR
EZ
RZR
EZ
ER
RZ
RZ
ZE
RZ
RRZE
RZ
R
dR
d
dR
dE
ERZ
RE
/1
112
22
oZ
oEoE oR
oI
94
（A5.1）
ooo
oo
ooo
oo
o
o
oo
oo
oo
oo
oooo
oo
o
oo
o
o
oo
oo
RZR
EZ
RZR
EZ
ER
RZ
RZ
ZE
RZ
RRZE
RZ
R
RR
E
ERZ
RE
/1
112
22
圧形降圧形・昇圧形・昇降
（7.49）
図６．５ 出力回路の等価回路
Ｇvrは以下のように求めることもできる。
圧負荷がある時の出力電
無負荷時の出力電圧
:
:
o
o
E
E
戻る
７．DC-DCコンバータの動作状態における伝達関数
７章 演習問題
７．１ 表７．１のδとω0は何を意味していますか？ また、それらは降圧形ＤＣ－ＤＣコン
バータと昇圧形ＤＣ－ＤＣコンバータではどのような違いがあるか説明せよ。
７．２ 降圧形ＤＣ－ＤＣコンバータのGidを、Gvdから求めよ。
95
oo
o
o
o
o
vd
o
vdoLid
o
vdo
oo
o
oL
RZ
R
r
DR
E
R
GD
R
G
DD
I
D
IG
DR
GD
D
E
RR
EII
/1
11
1
2
oo
o
o
oid
oo
oovd
RZ
R
r
DR
EG
RZ
R
r
D
EG
/1
1
/1
1 22
P79
95
８．DC-DCコンバータの制御特性
本章ではレギュレーション機構を表したブロック線図を示し、スイッチングコンータの制御特性を表す基本式を導く。
8.1 レギュレーション機構と出力電圧
8.2 出力電圧の微小変動と減衰時定数
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
8.4 出力インピーダンスの周波数特性
8.5 出力電圧の変動率
8.6 制御系の安定性
96
97
先ず、７章の式（7.11）より、出力電圧Eoの微小変動に関して以下の伝達関数が得られる。
vr
vr
o
o
vr
vd
vdo
vd
vv
i
ovv
s
sP
G
sR
sEsG
s
sP
G
sD
sEsG
sP
G
sE
sEsG
1)()(
)()(
1)()(
)()(
)()(
)()(
（8.1）
Ei Eo
DC-DCコンバータ
比較回路
誤差増幅器
基準電圧
時比率制御回路
(V-PW変換器)
発振器
次にレギュレーション特性を示す基本式について求める。DC-DCコンバータの実際の構成は図8.1のようになっており、出力電圧が一定になるように動作する。
図８．１ パルス幅制御（PWM ）方式DC-DCコンバータの構成
誤差
(電圧)
P57へ
8.1 レギュレーション機構と出力電圧
98
コンバータの出力電圧を検出し、基準電圧と比較し、その誤差を増幅し、時比率制御回路
を通してスイッチのオン・オフ期間を制御することにより、出力電圧が一定になるように調整する。そのレギュレーション機構を式（８．１）の伝達関数を用いてブロック線図で表すと下図
のようになる。
2
0021
1
)(
1
sssP
Amp. PWM
vd
vd
sG
1
vr
vr
sG
1
vvG
)(sRo
)(sD
)(sEi )(sEo
K
図８．２ レギュレーション機構を表したブロック線図
K：帰還ループの帰還率
＋
8.1 レギュレーション機構と出力電圧
99
得られる。以下の簡易等価回路がとなり
すると
るとの理想的な増幅器であが帰還率回路を含む帰還ループ図８．２において
,
)2.8()()(
PWM,
sEKsD
K
o
－KGvd(s)
ΔEo(s)
ΔEi(s)
ΔRo(s)
図８．３ 簡易化したブロック線図
Gvv(s)
Gvr(s)
)()( sEKsD o
)()()()()( sEsDsGsEsG ovdivv
求められる。
が以下のようにの出力電圧の微小変動圧が微小変動したとき上図において、入力電
＋
8.1 レギュレーション機構と出力電圧
が求められる。
となる。これより
を代入するとここで、
)()(1
)()(
)()()()()(
)()()()(
sEsKG
sGsE
sEsEsKGsEsG
sEKGsEKGsDsG
i
vd
vv
o
oovdivv
ovdovdvd
)3.8()(1
)()()()()(
)(1
)()(
)(1
)()(
)(
)()(1
)()()()()()()(
,
sKG
sRsGsEsGsR
sKG
sGsE
sKG
sGsE
sE
sRsKG
sGsEsEsEsKGsRsG
vd
ovrivv
o
vd
vr
i
vd
vv
o
o
o
vd
vr
ooovdovr
は次のようになる。両者を加えて
より、
られる。動が以下のように求めきの出力電圧の微小変負荷が微小変動したとまた
100
８．DC-DCコンバータの動特性 8.1 レギュレーション機構と出力電圧
2
0
0
0
2
00
2
00
11
2
1
211
1)()(
1)()(
11
211
1
1)()(
21
1
1)(
)(
)(
)(
1)(
)(
1)()(1
)(
)()(1
)(
)()(1
)()(
)(1
)()(
vdvd
vdvd
vd
vd
vrovrivv
vr
ovrivv
vdvd
vdvdvd
vr
ovrivv
vd
vdvd
vr
ovrivv
vd
vd
vr
vr
vd
ovv
vd
i
o
vd
vri
vd
vvo
KG
s
KG
sKG
KGKG
ssRGsEG
ssRGsEG
KG
s
KG
sKGKG
ssRGsEG
sKG
KGss
s
sP
sRG
sP
sEG
sKGsP
sP
s
sP
G
sKG
sR
sP
G
sKG
sE
sRsKG
sGsE
sKG
sGsE
101
式（８．３）に式（８．１）を代入し整理する。
を代入する。次に
vd
vd
vd
s
sP
GsG
1
)()(
=ωf =δf =ωf
8.1 レギュレーション機構と出力電圧
102
vd
vdvdf
vdf
ff
vr
ovrivv
fffvd
o
KG
ωωKG
KGωω
ω
ssRGsEG
ssKGsE
1
2
1
,,
)4.8(1)()(211
1)(
0
0
2
は以下で与えられる。となる。ただし
（8.5）
式（８．４）がスイッチングコンバータのレギュレーション特性を表す基本式(※)になる。
※入力電圧又は負荷抵抗が変動した時の出力電圧のレギュレーション特性を表す
基本式になる。
8.1 レギュレーション機構と出力電圧
8.2 出力電圧の微小変動と減衰時定数
ここで，入力電圧がステップ変動したときの出力電圧の変化を求めその応答速度について確認してみましょう。
求められます。
つの解がの大きさによりが求められますが，するとここで逆ラプラス変換
，
3)(
)6.8(11
1
1
1
21
12
21
1
1
21
1
211)(
1
211)(
11
222222
22222
0
2
2
22
2
2
2
tE
ss
s
sG
G
s
s
sG
G
ss
s
sG
G
sssG
G
sssG
GsE
sssG
GsE
ssEtE
o
ffff
ff
ffff
ff
vd
vv
ffff
ff
vd
vv
ff
ff
f
f
vd
vv
fff
f
vd
vv
fffvd
vv
o
fffvd
vv
o
ii
103
8.2 出力電圧の微小変動と減衰時定数
)8.8(111
11
)(
11
1)(
101)2(
1tan
)7.8(1sin1
11
1
1sin1
111
1sin1
1cos11
)(
101)1(
2
22
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
22
tG
Gt
G
GtE
sssG
GsE
tG
G
tG
G
ttG
GtE
ff
t
vd
vvt
ff
t
vd
vv
o
ff
ff
ffvd
vv
o
ff
f
f
ff
t
fvd
vv
ff
t
f
f
vd
vv
ff
f
f
ff
t
vd
vv
o
ff
ffffff
ff
ff
ff
の場合）の場合（
ただし，
の場合）の場合（
104
8.2 出力電圧の微小変動と減衰時定数
f
f
ff
t
fvd
vv
ff
t
f
f
vd
vv
ff
f
f
ff
t
vd
vv
o
ffff
ff
ffff
ff
vd
vv
o
ff
tG
G
tG
G
ttG
GtE
ss
s
sG
GsE
ff
ff
ff
1tanh
)9.8(1sinh1
11
1
1sinh1
111
1sinh1
1cosh11
)(
11
1
1)(
101)3(
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
222222
22
ただし、
の場合）の場合（
式(8.6)～式(8.9)においてδfは減衰係数(制動係数)で，そのときの減衰時定数τは
τ =1/(δfωf)となります。ここで，減衰時定数τを求めると以下となります。
105
8.2 出力電圧の微小変動と減衰時定数
)10.8(1
2
1
1
1
2
11
2
1
11
11
2
0
00
0
o
o
o
o
o
o
vd
vd
vd
vd
vdvd
ff
CRL
Z
CRL
Z
C
L
RL
CZ
LCω
GωG
GωG
ωωGω
これより，降圧形DC-DCコンバータにおいて入力電圧がステップ変化したときの出力電圧
の変化の減衰時定数はL=10μH，Zo=1Ω，C=2200μF，Ro=12V/2A=6Ωとすると198.5μs
となり，シリーズレギュレータより応答が遅いことになります。なお，動作周波数を上げると
コイルのインダクタンスが小さくなるために時定数は小さくなり，応答性を改善することが
できます。
s
5.198105.198
1003788.5
1
76.75101.02
1
1
6102200
1
1010
1
2
1
1
6
35
66
106
107
8.2 出力電圧の微小変動と減衰時定数
減衰時定数 τ
降圧形
昇圧形
昇降圧形
o
o
CRL
Z 1
2
1
1
1
1
2
1
1
2
D
E
CRL
ZD o
o
o
1
1
2
1
1
2
D
E
CRL
ZD o
o
o
表８．１ コンバータの減衰時定数
となり、入力電圧に対する出力電圧の比 m(jω) の周波数応答が求められる。
式（8.12）から入力電圧と出力電圧の比の絶対値、利得及び位相は以下となる。
式（8.13）の利得は共振特性を持っている。
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
2
1
222
2
2
1
2tan)(
21
1
1)(
)()(
21
1
1)(
)()(
,
21
1
1)(
)()(
f
ff
fffvd
vv
i
o
fffvd
vv
i
o
fffvd
vv
i
o
jm
KG
G
jE
jEjmm
jKG
G
jE
jEjm
js
ssKG
G
sE
sEsm
置き換えればにを上式において
（811）
（8.12）
（8.13）
ここでは、入力電圧に対する出力電圧の特性を求める。
式（８．４）から入出力特性が以下のように求められる。
108
（8.14）
109
21
21
012
0214
2112
82
12212
1
1
0
2
2
2
2
2
2
2
3
222
2
2
2
22
3
222
f
ff
f
f
f
fff
f
fvd
vv
f
f
fff
f
fvd
vv
KG
G
KG
G
d
dm
d
dm
が得られる。ただし、
より
と置くと
（8.15）
式（８．１５）の角周波数が共振周波数であり、この周波数で利得が最大になる。つまり、入力
電圧にこの周波数成分が重畳されると、出力電圧に大きな変動が現れる。
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
vdvdvd
vv
fvd
vv
ffvd
vv
P
vdf
ffvd
vv
fffvd
vv
fffvd
vv
P
ωωKGKG
G
KG
G
KG
GM
KGωω
KG
G
KG
G
KG
GM
02
0
2424
2222
212
1
112
1
1
1
12
1
1844
1
1
212211
1
1
このときの利得のピーク値MPは式（８．１５）を式（８．１３）に代入することにより求められる。
式（８．１５）においてδfが十分に小さい時は
が成立ち、 MPは式（８．５）を代入し整理すると以下となる。
以上の簡易式から以下のことが言える。帰還ループの帰還率Kを増やすと共振周波数
は上昇する。
（8.16）
（8.18）
（8.17）
110
vd
vdvdf
KG
ωωKG
1
20
式（8.5）を代入する。
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
ここで、昇降圧形コンバータを例にして入出力特性（利得と位相の特性）を求める。
なお、回路のパラメータは以下とする。
８．１．１ 降圧モード
05.003.002.0
,08.003.005.0
1,1000,50,100,12
2
1
LD
LS
Si
rrr
rrr
nFCHLkHzfVE
111
となる。はのときのこれより，
のようになる。は図を与えたときの昇降圧より，式
を求める。と先ず，
とする。
525.0,475.08333.012/10/
4.8)6.6(
5.2,4,10
DDDEE
GD
DD
RAIVE
io
i
ooo
2
2
2
1
2
/
,
)6.6(/1
1
)
D
rDnDr
D
rZ
RZDn
D
E
EG
o
ooi
o
但し
注
C Eo
Ei
Ro
D
T
＋
Io
Q
n:1
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
111
0.5
1
1.5
2
2.5
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
D
G
図８．４ 時比率Dと昇降圧比G
774.1
833.0
475.0
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
112
KKGωω
sradRD
rDDr
DL
RDω
sradRZLC
D
RZ
RD
rDDr
DD
EG
RZD
DG
D
rZ
rDnDrr
vdf
o
o
vd
oo
oo
oo
vd
oo
vv
o
5.36110455.21
/1088.299383.01050475.0
5.2525.01
/10455.25
0456.1525.0
101050
0932.1525.0/1
5.360932.1
99383.01.40
0932.1
5.22756.0
00425.01
1.400932.1
5.22756.0
02625.00305.01
1.40
0932.1
5.22756.0
05.0525.006425.0475.01
525.0475.0
10
/1
1
8276.00932.1
1
525.0
475.0
5.2233.01
1
525.0
475.0
1
1
233.029752.0
06425.0
06425.002625.0038.005.0525.008.0475.0/
3
0
4
6
2
2
2
2
3
360
2
2
2
2
2
1
113
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
113
８．２になる。数について求めると表が最大になる共振周波
及びの場合のが還率先ず，帰還ループの帰 )(,20.0,15.0,10.0,05,0.0
5.361
556.1343.0
5.361
)1088.22/(10455.25.36343.0
1
2
343.01704.0547.00912.2
1
10
1050
5.25425.0
1
1050
10233.0525.0
0456.12
1
1
/12
1
43
0
3
6
6
3
jmK
K
K
K
K
KG
ωωKG
C
L
RDL
CZD
RZ
ff
vd
vdvd
f
o
o
oo
114
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
114
115
K 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
2.455 4.126 5.294 6.247 7.073
0.343 0.1578 0.0869 0.0431 0.0110
0.367 0.649 0.839 0.993 1.126 )(2122
2 kHzf f
f
共振周波数
)/10(5.36110455.2
1
33
0
sradK
KGωω vdf
K
K
KG
ωωKG
vd
vdvd
f
5.361
556.1343.0
1
20
表８．２ 帰還ループの利得Kとωf、δf及び共振周波数f
以上をもとに周波数が変化したときの入力電圧に対する出力電圧の比、つまり利得を計算
した結果を図８．５に、また、周波数に対する位相を図８．６に示す。
2
1
222
1
2tan)(
21
1
1)(
)()(
f
ff
fffvd
vv
i
o
jm
KG
G
jE
jEjmm
（8.13）
（8.14）
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
115
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
1 10 100 1000 10000
K=0.00
K=0.05
K=0.10
K=0.15
K=0.20
)(
)(
)(
)(
dB
jE
jE
jmm
i
o
)(Hzf
図８．５ 昇降圧形コンバータにおける入出力電圧比（利得）の周波数特性
13.1dB(4.53倍)
P107に戻る
P111に戻る
0dB⇒1倍
-10dB⇒0.316倍
-20dB⇒0.1倍
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
116
-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
01 10 100 1000 10000
K=0.00
K=0.05
K=0.10
k=0.15
k=0.20)(
)(
jm
)(Hzf
図８．６ 昇降圧形コンバータにおける位相の周波数特性 117
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
117
８．１．２ 昇圧モード
118
9.753156.1
98458.043.101
3156.1
5.29.0
0347.01
43.1013156.1
5.209.0
015.00497.01
43.101
3156.1
5.209.0
05.03.0071.07.01
3.07.0
3.21
/1
1
774.13156.1
1
3.0
7.0
5.2789.01
1
3.0
7.0
1
1
789.009.0
071.0
071.0015.0056.005.03.008.07.0/
3.21774.112
,774.14.8,5.2,4,3.0,7.0
05.0,08.0,1,1000,50,100,12
2
2
2
2
2
1
21
oo
oo
vd
oo
vv
o
o
oo
Si
RZ
RD
rDDr
DD
EG
RZD
DG
D
rZ
rDnDrr
VE
GRAIDD
rrnFCHLkHzfVE
となる。
が求められより図とすると
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
K
K
K
K
KG
ωωKG
C
L
RDL
CZD
RZ
KKGωω
sradRD
rDDr
DL
RDω
srad
RZLC
D
vd
vdvd
f
o
o
oo
vdf
o
o
vd
oo
9.751
228.95914.0
9.751
)10329.62/(10539.19.755914.0
1
2
5914.029814.00586.1294.2
1
10
1050
5.23.0
1
1050
10789.03.0
147.12
1
1
/12
1
9.75110539.11
/10329.698458.010507.0
5.23.01
/10539.1
10153886.0105
147.13.0
101050
3156.13.0/1
33
0
3
6
6
3
3
0
3
6
2
2
2
2
3
4
4360
119
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
120
K 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
1.539 3.37 4.51 5.416 6.19
0.5914 0.0593 -0.1131 -0.2253 -0.3118
0.1343 0.5347 0.7089 0.8174 0.8847 )(2122
2 kHzf f
f
共振周波数
K
sradKGωω vdf
9.75110539.1
)/10(1
3
3
0
K
K
KG
ωωKG
vd
vdvd
f
9.751
228.95914.0
1
20
表８．３ 帰還ループの利得Kとωf、δf及び共振周波数f
以上をもとに周波数が変化したときの入力電圧に対する出力電圧の比、つまり利得を計算
した結果を図８．７に、また、周波数に対する位相を図８．７に示す。
2
1
222
1
2tan)(
21
1
1)(
)()(
f
ff
fffvd
vv
i
o
jm
KG
G
jE
jEjmm
（8.13）
（8.14）
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
1 10 100 1000 10000
K=0.00
K=0.05
K=0.10
K=0.15
K=0.20)(
)(
)(
)(
dB
jE
jE
jmm
i
o
)(Hzf
図８．７ 昇降圧形コンバータにおける入出力電圧比（利得）の周波数特性
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
121
-200
-180
-160
-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
01 10 100 1000 10000 K=0.00
K=0.05
K=0.1
K=0.15
K=0.2)(
)(
jm
)(Hzf
図８．８ 昇降圧形コンバータにおける位相の周波数特性
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
122
と同じになる。は式無駄時間を考慮してもであり
ここで
。性を得ることが出来るると周波数に対する特にを上式において
は以下のようになる。る式する出力電圧の比であ考慮した入力電圧に対
無駄時間をになる。したがってはおいては無駄時間昇降圧形コンバータに
す。達関数は以下となりまを無駄時間という。伝このときの
遅れている。一定時間と同一波形であるがは入力信号出力信号
)13.8()(,
1sincossincos,
)21.8(21
1
1)(
)()(
,
)20.8(21
1
1)(
)()(
)11.8(
,
)19.8()(
)()(
)()(,)()(
22
2
2
jmm
DTDTeDTjDTe
ejKG
G
sE
sEjm
js
essKG
G
sE
sEsm
DTLL
esX
sYsG
L
LtxtyLtxty
DTjDTj
DTj
fffvd
vv
i
o
sDT
fffvd
vv
i
o
sL
置き換え
昇降圧コンバータではスイッチがオンしている期間にコイル（トランス）にエネルギーを蓄積し、
スイッチがオフした後に出力コンデンサにこのエネルギーを放出する。これが出力電圧に
なります。このために、電力の伝達に時間遅れが発生します。この無駄時間によって、利得
がしないのに位相だけがおくれる現象が発生します。無駄時間を考慮して再計算してみます。
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
123
になります。と図考慮した位相を求めるこれらから遅れ時間をとなり
はここで
角は以下となります。と合算すると遅れ位相もともとの位相
になります。だけさらに遅れることに相当する分位相はしかし
9.8,
10710107.0
,
)23.8(tan1
2tan)(
)22.8(tan
,
)13.8(
21
1
1)(
)()(
66
1
2
1
1
222
DT
DT
DTjm
DT
e
KG
G
jE
jEjmm
f
ff
DTj
fffvd
vv
i
o
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
124
-300
-250
-200
-150
-100
-50
01 10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 K=0.00
K=0.05
K=0.1
K=0.15
K=0.2
)(
)(
jm
)(Hzf
図８．９ 昇降圧形コンバータにおける位相の周波数特性
)(100,7.0 KHzfD スイッチング周波数
8.3 入出力電圧比の利得と位相差の周波数特性
125
26.8
)(
)(1
)(
)(
1)(
)()(
)()(
)(
)(1
1
)(
)(
)25.8(1)(
)(
)(
)(1
)(
)(
)(
)(
)()()(
))((
)24.8()(
)()(
2
sR
sE
E
R
sR
sE
E
R
sE
sR
R
E
R
sI
sEsz
sE
sR
R
E
RsE
sI
sE
sR
R
E
sE
sIR
sE
sRI
sE
sIR
sRIRsIsE
RIRIRIRIRIRIRIRIRRIIE
RIE
sI
sEsz
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
oo
o
o
o
o
o
o
oo
o
oo
o
oo
ooooo
ooooooooooooooooooooo
ooo
o
o
下となる。力インピーダンスは以となる。これより、出
施して整理するとこれにラプラス変換を
次式が求められる。電流の微小変化としてときの出力電圧、出力
を微小変化させたで与えられ、負荷抵抗出力電圧はと定義される。一方、
スはタの出力インピーダンスイッチングコンバー
微小項を無視。
126
8.4 出力インピーダンスの周波数特性
両辺をΔＥo(s)で割る。
Ｉo＝Eo/Roを代入しＩoを消去する。
oooooo
oooooo
oooo
ZIEEZI
EEZIIE
EZIE
0)1()2(
)2(
)1(
。を分子と分母に掛ける)(
)(
sR
sE
E
R
o
o
o
o
sGER
GER
KG
sKG
KG
sKG
KG
ωωKGKGA
A
sGERsz
KG
ωωKGKGωω
sGERssKG
sGER
ssKG
sG
E
R
ssKG
sG
E
R
sR
sE
E
R
sR
sE
E
R
sz
sRsE
ssKG
sG
sR
sE
sRsE
vr
vroo
vroo
vd
vd
vd
ovd
vd
vdvd
vd
vrvroo
vd
vdvdfvdf
vrvroofffvd
vrvroo
fffvd
vrvr
o
o
fffvd
vrvr
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
oo
fffvd
vrvr
o
o
oo
1
1
1
1
1
221
1)(
1
2,1)5.8(
1211
1
211
11
211
1
)(
)(1
)(
)(
)(
)()()268(
211
1
)(
)(
)()()4.8(
2
00
2
00
2
2
2
2
22
2
を代入する。のここに、式
に代入する。の．これを前式
は以下となる。より式
127
vr
ovrivv
fffvd
o
ssRGsEG
ssKGsE
1)()(
211
1)(
2
注）式(8.4) DC-DCコンバータのレギュレーション
特性を表す基本式
ωf ωf2 δf
8.4 出力インピーダンスの周波数特性
vroovd
vrovroovdvd
z
vroovdz
zz
zzz
vr
vroovd
vroo
vroovd
o
vroovd
vrovroovdvd
vr
vroovd
vroo
vr
vroo
ovdvdvroovd
vrvroo
GERKG
GERωωKG
GERKG
ss
s
GERKG
GERsz
sGERKG
sGERKG
GERωωKG
s
GERKG
GER
ssGER
sωωKGGERKG
sGERsz
1
22
1
21
1
1)(
1
1
1
2221
1
1
221
1)(
0
0
2
2
2
0
0
2
2
00
2
は以下で与えられる。とただし、
（8.27）
（8.28）
128
vroovd
vrovroovdvd
vroovd
vrovroovdvd
vroovd
z
GERKG
GERωωKG
s
GERKG
GERωωKG
s
GERKG
1
22
1
222
2
1
0
0
0
0
8.4 出力インピーダンスの周波数特性
129
次に式（８．２７）から出力インピーダンスの周波数特性を求めると以下となる。
vrzzz
zzzvr
zzz
zzzvrvrzzz
vroovd
vroo
zzz
zzzvr
vroovd
vroo
zzz
vr
vroovd
vroo
zzz
vr
vroovd
vroo
jz
j
GERKG
GER
jj
GERKG
GERjz
GERKG
GERjzz
j
j
GERKG
GERjz
/21
21/tan)(
21
21//21
1
21
21/1
1)(
21
/1
1)(
21
/1
1)(
2
2
1
222
222
222
22
222
22
2
2
（8.29）
（8.30）
また、zの周波数に対する位相角は式（８．３０）になる。
8.4 出力インピーダンスの周波数特性
130
ここで、昇降圧形コンバータを例にして、周波数を変化させたときの出力インピーダンスの
大きさと位相について求める。 計算した結果を図８．１０と図８．１１に示す。
KK
KGERKG
sradL
ZD
RZR
EZG
vroovdz
o
vr
ooo
oo
vr
5.36915.010455.2085.05.36110455.2
341.0)10/5.2(5.36110455.21
)/(102844.11050
233.0525.0
341.00932.1
4236.0
5.2/233.01
1
5.2
10233.0
/1
1
33
3
0
3
6
22
22
K
K
K
K
K
K
K
GERKG
GERωωKG
vroovd
vrovroovdvdz
5.36915.0
556.12615.0
5.36915.0
0815.0556.1343.0
085.05.361
)102844.12/(10455.2341.0)10/5.2(
085.05.361
1088.22/10455.25.36343.0
1
22
33
43
0
K 0.00 0.05 0.10 0.15
2.348 4.06 5.25 6.21
0.273 0.111 0.0496 0.0111
表８．４ 帰還ループの利得Kとωｚ、δｚ
sradKz /105.36915.0455.2 3
K
Kz
5.36915.0
556.12615.0
8.4 出力インピーダンスの周波数特性
131
-40
-30
-20
-10
0
10
20
1 10 100 1000 10000
K=0
K=0.05
K=0.10
K=0.15
図８．１０ 昇降圧形コンバータにおける出力インピーダンスの周波数特性
)(
)(
dB
jzz
)(Hzf
13.9dB(4.95倍)
m(jω)へ 8.4 出力インピーダンスの周波数特性
132
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
1 10 100 1000 10000
K=0.00
K=0.05
K=0.1
K=0.15
図８．１１ 昇降圧形コンバータにおける出力インピーダンス位相の周波数特性
)(
)(
jz
)(Hzf
出力電流の位相は、Eoに対してこの分遅れることになる。
8.4 出力インピーダンスの周波数特性
を代入する。ここに、
の場合（例）
する定理極限値（最終値）に関（注）ラプラス変換の
とする。
)11.8(21
1
1)(
)()()(
)()(/1/)(,)(
)(
)()(
)(/)()(
/)()()()(
20
00
2
00
0
000
lim
limlimlimlimlimlimlim
limlim
limlimlimlim
fffvd
vv
i
o
si
o
stssstt
st
ois
is
os
ot
iio
ssKG
G
sE
sEsmsm
E
E
ssFtfsssssFttf
ttf
ssFtf
EEsmsEsmssEsE
sEsmsEsmsE
入力電圧にステップ変化ΔＥｉをさせたときに、式（８．１１）に示す入出力特性により
が得られる。このときに、ラプラス変換の極限値（最終値）に関する定理を用いることにより、
出力電圧の変動率は以下となる。
さらに式（８．３２）に式（８．１１）を代入し整理すると入力電圧に対する変動率が得られる。
8.5 出力電圧の変動率
（8.31）
（8.32）
ここでは、入力電圧と負荷電流変化に対する出力電圧の安定時の変動率を求める。
133 133
上式の右辺は入出力特性の直流利得である。したがって、入出力特性の直流利得が
出力電圧の変動率を表している。式(8.12)においてω=0とおいても同じ式を得ることが
できる
vd
vv
fffvd
vv
ssi
o
KG
G
ssKG
Gsm
E
E
121
1
1)(
200
limlim
（8.33）
となる。
とおくと、
vd
vv
fffvd
vv
i
o
KG
Gm
jKG
G
sE
sEjm
1
0
)12.8(21
1
1)(
)()(
2
134
出力電流がステップ変化ΔIoしたときに、式（８．２４）に示す出力インピーダンスを用いれば
が得られる。
sIszsIszsE ooo )()()()( （8.34）
8.5 出力電圧の変動率
134
vroovd
vroo
fff
vr
vroovd
vroo
sso
o
oos
os
ot
GERKG
GER
ss
s
GERKG
GERsz
I
E
EIszsEsE
121
1
1)(
)()(
2
2
2
00
00
limlim
limlimlim
とする。
このときに、同様にラプラス変換の極限値（最終値）に関する定理を用いることにより、出力電圧の変動率は以下となる。
ここに式（８．２７）のｚ(s)を代入し整理すると負荷電流変動に対する出力電圧の変動率として以下を得ることができる。
さらに式（８．３３）及び式（８．３６）に表７．１及び表７．２に示す、降圧形、昇圧形、昇降圧形コンバータの動特性を代入すると、それぞれのコンバータの変動率を求めることができる。
これを表８．５に示す。
135
（8.35）
（8.36）
12
1
1)(
)27.8()
2
2
zzz
vr
vroovd
vroo
ss
s
GERKG
GERsz
式注
8.5 出力電圧の変動率
136
降圧形 昇圧形 昇降圧形
vroovd
vroo
o
o
vd
vv
i
o
GERKG
GER
I
E
KG
G
E
E
1,
1
2
注）
i
o
E
E
)( ZI
E
o
o
oKED
D
2
oKED
1
oKEDD
D
n
21
o
o
o
RD
rDDr
DD
KE
Z
2
211
o
o
o
R
r
D
KE
Z
211
o
o
o
RD
r
D
KE
Z
2
111
表８．５ 出力電圧の変動率
上表より、帰還ループの利得Ｋを大きくすると入力電圧や出力電流の変動による出力電圧の変動率が小さく抑えられることが分かる。また、式（８．５）で与えられる角周波数ωｆも高く
なるので、入力電圧や出力電流が変化した時の過渡応答が速くなり、動特性を改善することができる。
vdf KGωω 10
注）式(8.5)
m(jω)特性へ
8.5 出力電圧の変動率
変動率を少なくするためには帰還ループの帰還率K をなるべく増やした方が良い。しかし、
Ｋを増やしていくと、何れは式（８．５）の分子が負になり、δｆ も負になってしまう。
このとき、式（８．４）の特性方程式の根（実数部）が正になり、制御システムは不安定になり、
コンバータの出力電圧に低周波振動が現れたりする。
しかし、降圧形コンバータの場合は K の値によらず δf は常に正となり、制御システムは
常に安定である。
しかし、利得Ｋはある値より大きくできない！
vdvd
vdvd
f
fvd
fff
vr
ovrivv
fffvd
o
vd
vdvd
f
KGKG
ωωKG
Kω
ss
ssRGsEG
ssKGsE
KG
ωωKG
11
2
,
021
1)()(211
1)(
1
2
0
2
2
0
に関係なく正となる。はで表７．２より合 降圧形コンバータの場
特性方程式：
８．６ 制御系の安定性
137
（8.4）
（8.5）
（8.37）
式（8．4）：レギュレーション特性を表す基本式
安定判別へ
)(1
)()(
)(
sP
Gs
sP
G
sD
sE vd
vd
vdo
1122
2
422
2
021
22
2
2
22
2
f
ff
f
fff
f
fff
f
s
ss特性方程式：
なる。式の根の実数部が正にが負になると特性方程
138
これに対し、昇圧形や昇降圧形コンバータの場合は不安定領域が存在する。その不安定
領域に入らないための安定限界は δf =0 で与えられ、そのときの帰還ループの帰還率を
Kl とすると、式（８．５）より以下となる。
さらに式（８．３８）に前章で求めた表７．２に記載の各パラメータを代入すると各コンバータの安定限界が求められる。
コンバータを安定に動作させるためには、帰還ループの帰還率を上表の限度値以下に抑
える必要がある。
0
0
202
ωG
ωKωωGK
vd
vd
lvdvdl
（8.38）
降圧形 昇圧形 昇降圧形
表８．６ 帰還率の安定限界
lK
正となる。
に関係なくは
（制限なし）
Kf
L
CRZD
E
D oo
o
2
1
L
CRZD
E
D oo
o
2
1
＝
演習問題へ
８．６ 制御系の安定性
139
taa
tatKKjtKK
tjtKtjtKKKtf
sF
j
jaaaK
j
jaaaK
KK
jsjsssjs
sssss
js
K
js
K
js
K
js
K
ss
K
ss
KsF
ss
asa
s
asasF
sF
tt
ttjtj
sincossincos
sincossincos)(
)(
2,
2
,
,,
0)(20,
)(
)(2)(
)(
10
12121
2121
1012
1011
21
2121
22222
21
2121
2
2
1
1
222
01
22
01
。めると次のようになるの逆ラプラス変換を求したがって、
。を求めると以下となるここで
している。としたときの根を意味はただし、
分分数に分解する。検証する。先ず式を部を求め安定性についてとして特性方程式の根
をここで、
（注）特性方程式の根と安定性の判別
特性方程式の根（実数部）が負の場合
８．６ 制御系の安定性
140
つまり、特性方程式の根（実数部）が負であればｆ（ｔ）は時間とともに減少し安定することになる。
j
安定領域
不安定領域
根がs平面の左半面にあるときはフィードバックループを持つ系は安定する
S平面
図８．１２ 特性方程式の根と安定領域及び不安定領域
戻る
実数部
j
虚数部
0
８．６ 制御系の安定性
８章 演習問題 ８．１ 昇降圧形コンバータにおける帰還ループ利得の安定限界を求めよ。また、デューティ
レシオＤが変化した場合に安定限界がどう変化するかを求めよ。
141
Ei
Q D
Ro C +
Ｌ
2125.025.3110
5.0
1050
1010005.2065.01
10
5.05.0
111
065.0025.004.005.05.008.05.0
05.003.002.0
08.003.005.0
6
6
222
21
2
1
KD
L
CrR
E
D
L
CRDrD
E
D
L
CRZD
E
DK
rDDrr
rrr
rrr
o
o
o
o
oo
o
LD
LQ
のとき、
FCHL
RrrrDVE oDLSo
1000,50
,5.2,02.0,03.0,05.0,5.0,10
条件：
141
８章 演習問題
142
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
K
D
D 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
K 0.3285 0.304 0.2765 0.246 0.2125 0.176 0.1365 0.094 0.0485
142
９．参考・引用図書
1.原田耕介他，「スイッチングコンバータの基礎」，コロナ社，2007年
2.落合政司，「スイッチング電源の原理と設計」」，オーム社，2015年
143
ＥＮＤ
144