§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和其它 变截面物体的导热

本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平板和圆柱内的导热。直角坐标系： Φ

zt

zyt

yxt

xtc

)()()(

1 单层平壁的导热

o x

a 几何条件：单层平板；

b 物理条件：、 c 、 已知；无内热源 c 时间条件： 0 : t稳态导热

d 边界条件：第一类

0dd

2

2

xt

x

o

t1

t

t2

21

, ,0

wwttxttx

直接积分，得： 211 cxctcdxdt

根据上面的条件可得：

第一类边条：

Φ

xt

xtc )(

控制方程

边界条件

带入边界条件：

12

121

tc

ttc

)(dd

12

12

112

At

tttqtt

xt

txttt

带入 Fourier 定律

ARr

线性分布

热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况

2 多层平壁的导热t1

t2

t3t4

t1 t2 t3 t4

三层平壁的稳态导热

多层平壁：由几层不同材料组成 例：房屋的墙壁 — 白灰内层、水泥沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成 假设各层之间接触良好，可以近似地认为

接合面上各处的温度相等 边界条件：

11

10

n

n

ii ttx

ttx

热阻：n

nnrr

,,1

11

由热阻分析法：

n

i i

i

nn

ii

n tt

r

ttq

1

11

1

11

问：现在已经知道了 q ，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？第一层：

1

11221

1

1 )(

qttttq

第二层：2

22332

2

2 )(

qttttq

第 i 层：

i

iiiii

i

i qttttq

111)(

211

21

11hh

ttq n

i i

i

ff

2mW 单位：

tf1

t2

t3

tf2

t1 t2 t3 t2

三层平壁的稳态导热

h1

h2

tf2tf1

？ ？传热系数？

多层、第三类边条

3 单层圆筒壁的导热圆柱坐标系：

Φzt

zt

rrtr

rrtc

)()(1)(1

2

一维、稳态、无内热源、常物性：0)

dd(

dd

rtr

r

第一类边界条件：

22

11

w

w

ttrrttrr

时时

(a)

假设单管长度为 l ，圆筒壁的外半径小于长度的 1/10 。

对上述方程 (a) 积分两次 :

211 ln crctcdrdtr

22122111 ln ;ln crctcrct ww

)ln(ln)( ;

)ln( 12

11212

12

121 rr

rtttcrrttc wwwww

第一次积分 第二次积分应用边界条件

获得两个系数

)ln()ln(

112

121 rr

rrtttt

将系数带入第二次积分结果

显然，温度呈对数曲线分布

圆筒壁内温度分布：)ln()ln()(

12

1211 rr

rrtttt www

212

212

2

12

21 1)ln(

;1)ln( rrr

ttdrtd

rrrtt

drdt wwww

圆筒壁内温度分布曲线的形状？

向上凹若 0 : 2

2

21 drtdtt ww

向上凸若 0 : 2

2

21 drtdtt ww

下面来看一下圆筒壁内部的热流密度和热流分布情况

2

12

21

mW

)ln(dd

rrtt

rrtq ww

W

2)ln( 2 21

12

21

Rtt

lrrttrlqΦ wwww

)ln()ln()(

12

1211 rr

rrtttt www rrrtt

drdt ww 1

)ln( 12

21

长度为 l 的圆筒壁的导热热阻

虽然时稳态情况，但热流密度 q 与半径 r 成反比！

4 n 层圆筒壁由不同材料构成的多层圆筒壁，其导热热流量可按总温差和总热阻计算

mW ln

21

W ln

21

1

1

)1(1

1

1

)1(1

n

i i

i

i

nwwl

n

i i

i

i

nww

rr

ttq

rr

L

ttΦ

通过单位长度圆筒壁的热流量

单层圆筒壁，第三类边界条件，稳态导热

)(2

ln2

1 )(2

22222

1

2

2111111

fwrl

wwlwfrl

tthrq

rrttqtthrq

mW

21ln

21

21

21

221

2

11

21

l

ff

ffl

Rtt

rhrr

rh

ttq

通过单位长度圆筒壁传热过程的热阻 [mK/W]

h1

h2

(1) 单层圆筒壁思考：温度分布应如何求出？

(2) 多层圆筒壁

121

1

11

21

1ln2

11

n

n

i i

i

i

ffl

dhdd

dh

ttq

通过球壳的导热自己推导

5 其它变面积或变导热系数问题

求解导热问题的主要途径分两步：(1)求解导热微分方程，获得温度场；(2)根据 Fourier 定律和已获得的温度场计算热流量； 对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热 问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此时， 一维 Fourier 定律：

xtxAtΦ

dd)()(

当＝ (t), A=A(x) 时， xtAΦ

dd

分离变量后积分，并注意到热流量 Φ 与 x 无关 ( 稳态 ) ，得

12

2

1)(

tt

dttt

t

2

1 )(

)( 21

x

x xAdxtt

xtxAtΦ

dd)()( )(

)()()()( 12

1212

12

2

12

1

2

1tt

tt

t

ttttdtt

xAdx

t

tt

t

x

x

当 随温度呈线性分布时，即 ＝ 0 ＋ at ，则2

210

tta

实际上，不论 如何变化，只要能计算出平均导热系数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只是需要将换成平均导热系数。

§2-4 通过肋片的导热第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热：

为了增加传热量，可以采取哪些措施 ?

W 11

21

21

AhAAh

ttΦ ff

（ 1 ）增加温差（ tf1 - tf2 ），但受工艺条件限制（ 2 ）减小热阻：

a) 金属壁一般很薄 ( 很小 ) 、热导率很大，故导热热阻一般可忽略b) 增大 h1 、 h2 ，但提高 h1 、 h2 并非任意的c) 增大换热面积 A 也能增加传热量

在一些换热设备中，在换热面上加装肋片是增大换热量的重要手段肋壁：直肋、环肋；等截面、变截面

1 通过等截面直肋的导热

l

已知：(1)矩形直肋(2)肋跟温度为 t0 ，且 t0 > t

(3)肋片与环境的表面传热系数为 h.

(4) ， h 和 Ac 均保持不变求：温度场 t 和热流量

分析：严格地说，肋片中的温度场是三维、稳态、无内热 源、常物性、第三类边条的导热问题。但由于三维 问题比较复杂，故此，在忽略次要因素的基础上， 将问题简化为一维问题。简化： a 宽度 l >> and H 肋片长度方向温度均匀 l = 1

b 大、 << H ，认为温度沿厚度方向均匀边界：肋根：第一类；肋端：绝热；四周：对流换热求解：这个问题可以从两个方面入手： a 导热微分方程，例如书上第 38页 b 能量守恒＋ Fourier law

能量守恒： dxxx ΦΦΦ d

Fourier 定律： xtAΦ cx d

d

xxtAΦx

xΦΦΦ cxx

xxx dddd

dd

2

2

d

))(( ttPdxhΦdNewton冷却公式：0)(

dd

2

2

ttAhP

xt

c关于温度的二阶非齐次常微分方程

0)(dd

2

2

ttAhP

xt

c导热微分方程：

混合边界条件：

0dd

0 00

xHx

ttx

时，

＝＝时，

引入过余温度 。令 tt constcA

hPm

22

2

dd mx

则有：

方程的通解为： mxmx ecec 21

应用边界条件可得：mHmH

mH

mHmH

mH

eeec

eeec

0201

)(ch)]([ch

0

)()(

0 mHxHm

eeee

mHmH

xHmxHm

最后可得等截面内的温度分布：

xx

xxxxxx

eeeexeexeex

)( th;

2)(ch ;

2)(sh

双曲余弦函数 双曲正切函数双曲正弦函数

稳态条件下肋片表面的散热量 = 通过肋基导入肋片的热量

)(th)(th 000

mHmhPmHmA

dxdAΦ c

x

肋端过余温度： 即 x ＝ H

)(ch1

)(ch)]([ch

00 mHmHxHm

几点说明：(1) 上述推导中忽略了肋端的散热（认为肋端绝热）。对于一般工程计算，尤其高而薄的肋片，足够精确。若必须考虑肋端散热，取： Hc=H + /2

(2) 上述分析近似认为肋片温度场为一维。当 Bi=h/ 0.05 时，误差小于 1% 。对于短而厚的肋片，二维温度场，上述算式不适用；实际上，肋片表面上表面传热系数 h 不是均匀一致的 — 数值计算

2 肋片效率 为了从散热的角度评价加装肋片后换热效果，引进肋片效率

0ΦΦ

基温度下的散热量假设整个肋表面处于肋实际散热量肋片效率＝

f

mHmH

hPH

mHmhP

)(th)(th

0

0

f

lPl 2

cAhPm

2322 H

HhH

llhH

AhPmH

c

232

1

23 22 HAhH

HhmH

L

LAH 肋片的纵截面积

可见， 与参量 有关，其关系曲线如图 2－ 14 所示。这样，矩形直肋的散热量可以不用 (2-38) 计算，而直接用图 2－ 14

查出 然后，散热量

f

232

1

HAh

L

)()( 0f ttPHhΦ

影响肋片效率的因素：肋片材料的热导率 、肋片表面与周围介质之间的表面传热系数 h 、肋片的几何形状和尺寸（ P 、 A 、 H ）

3 通过环肋及三角形截面直肋的导热 为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量基本不变，需要采用变截面肋片，环肋及三角形截面直肋是其中的两种。 对于变截面肋片来讲，由于从导热微分方程求得的肋片散热量计算公式相当复杂，因此，人们仿照等截面直肋。利用肋片效率曲线来计算方便多了，书中图 2－ 14 和 2－15 分别给出了三角形直肋和矩形剖面环肋的效率曲线。

图 2－ 14

图 2－ 15

4. 通过接触面的导热实际固体表面不是理想平整的，所以两固体表面直接接触的界面容易出现点接触，或者只是部分的而不是完全的和平整的面接触 —— 给导热带来额外的热阻

当界面上的空隙中充满导热系数远小于固体的气体时，接触热阻的影响更突出

—— 接触热阻

当两固体壁具有温差时，接合处的热传递机理为接触点间的固体导热和间隙中的空气导热，对流和辐射的影响一般不大

(Thermal contact resistance ）

（ 1 ）当热流量不变时，接触热阻 rc 较大时，必然 在界面上产生较大温差（ 2 ）当温差不变时，热流量必然随着接触热阻 rc

的增大而下降（ 3 ）即使接触热阻 rc 不是很大，若热流量很大， 界面上的温差是不容忽视的

1 3

A Bc

A AB

t tqr

1 3 ( )A Bc

A AB

t t q r

接触热阻的影响因素：（ 1 ）固体表面的粗糙度（ 3 ）接触面上的挤压压力

例：

（ 2 ）接触表面的硬度匹配（ 4 ）空隙中的介质的性质

在实验研究与工程应用中，消除接触热阻很重要导热姆（导热油、硅油）、银先进的电子封装材料 （ AIN ），导热系数达 400 以上

5 2

4 2

6 10 W m

2.64 10 m K W

158.4 Cc

c c

q

r

t q r

作业：2-1 ， 2-2 ， 2-11 ， 2-17 ， 2-25 ， 2-28 ， 2-33 ，2-40 ， 2-45 ， 2-48 ， 2-56 ， 2-58 ， 2-65

思考题：1失量傅立叶定律的基本表达式及其中各物理量的定义。2 温度场 , 等温面 , 等温线的概念。3 利用能量守恒定律和傅立叶定律推导导热微分方程的基本 方法。4使用热阻概念 , 对通过单层和多层平板 , 圆筒和球壳壁面的 一维导热问题的计算方法。5 利用能量守恒定律和傅立叶定律推导等截面和变截面肋片 的导热微分方程的基本方法。

6 导热系数为温度的线性函数时 , 一维平板内温度分布曲线的形 状及判断方法。7 肋效率的定义。8 肋片内温度分布及肋片表面散热量的计算。9放置在环境空气中的有内热源物体一维导热问题的计算方法10 导热问题三类边界条件的数学描述 .

11 两维物体内等温线的物理意义 . 从等温线分布上可以看出 哪 些热物理特征。

12 导热系数为什么和物体温度有关 ? 而在实际工程中 为什么经常将导热系数作为常数 .

13什么是形状因子 ? 如何应用形状因子进行多维导热 问题的计 算 ?