圆的对称性

圆的轴对称性

（圆是轴对称图形）

垂径定理及其推论

圆的中心对称性

（旋转不变性）圆心角定理

条件 结论

在同圆或等圆中

如果圆心角相等那么

圆心角所对的弧相等圆心角所对的弦相等

圆心角所对的弦的弦心距相等

圆心角定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

请说出上述三个命题的逆命题是什么？

怎样判定它们的真假性？

2. 逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，弦的弦心距相等 。

1. 逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

3. 逆命题 : 在同圆或等圆中，相等的弦心距对应弦相等 , 弦所对的圆心角相等，所对的弧相等。

一般地，圆有下面的性质：

∠AOB= COD∠ AB=CD OE=OF AB=CD⌒ ⌒

B

E

D

A

FC

O

⑴∠AOB= COD∠⑵AB=CD

⑶OE=OF⑷AB=CD

在同圆或等圆中，如果①两个圆心角，②两条弧，③两条弦，④两条弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 .

O

A B

A B

下面的说法正确吗 ? 为什么 ?

BOAAOB

⌒⌒BAAB

如图，因为根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理可知

ＯＯ

ＣＣＢＢ

ＡＡ例例 22 ：：如图，等边三角形如图，等边三角形 ABCABC 内接于⊙内接于⊙ O,O,

连结连结 OA,OB,OC.OA,OB,OC.(1)∠AOB(1)∠AOB 、∠、∠ COBCOB 、∠、∠

AOCAOC 的度数分别为的度数分别为 __________

__________

0 0 0120 ,120 ,120

(2)(2) 延长延长 AOAO ，分别交，分别交 BCBC 于点于点 PP ，， BB

CC 于点于点 DD ，连结，连结 BDBD 、、 CD.CD. 试判断四试判断四

边形边形 BDCOBDCO 是哪一种特殊四边形，并是哪一种特殊四边形，并

说明理由。说明理由。

ＯＯ

ＣＣＢＢ

ＡＡ

ＤＤ

ＰＰ

(3)(3) 若⊙若⊙ OO 的半径为的半径为 r,r, 则等边则等边

三角形三角形 ABCABC 的边长为的边长为 ______________3r 当等边三角形的边长为 时，

求圆的半径 ? 2 3

3 、 如图，已知点 O 是∠ EPF 的平分线上一点， P 点在圆外，以 O 为圆心的圆与∠ EPF 的两边分别相交于A 、 B 和 C 、 D 。 求证： AB=CD

分析： 联想到“角平分线的性质”，作弦心距 OM 、 ON ，

证明 : 作 , 垂足分别为 M 、 N 。CDON , ABOM

CDON

ABOM

NPOMPO

OM=ON

AB=CD

.M

N

要证 AB=CD ，只需证 OM=ON

P

A

B E

C

D F

O

做一做

.P

B E

D F

O

A

C.

如图， P 点在圆上， PB=PD 吗？ P 点在圆内， AB=CD 吗？

变式练习：

P

B E

M

ND F

OM

N

(2)(2) 四边形四边形 ABCDABCD 有可能为正方形吗？若有可能有可能为正方形吗？若有可能 ,,当当 ACAC 、、 BDBD 有何位置关系时，四边形有何位置关系时，四边形 ABCDABCD 为为正方形？为什么？正方形？为什么？

例例 22 、如图、如图 , AC, AC 、、 BDBD 是⊙是⊙ OO 的两条直径的两条直径 ..

(1)(1) 顺次连结点顺次连结点 AA 、、 BB 、、 CC 、、 DD ，所，所得的得的

四边形是什么特殊四边形？为什么？四边形是什么特殊四边形？为什么？

ＯＯBB

ＡＡ

ＤＤC

（ 3 ）如果要把直径为 30cm 的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？

（（ 44 ）如果这根原木长）如果这根原木长 15m15m ，问锯出地木材地体积，问锯出地木材地体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？

解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下：

A

OD

C

B

∵AC ， BD 是⊙ O 的直径∴AO=OC=OB=OD∴ 四边形 ABCD 是平行四边形

又∵ AC=BD

∴ 四边形 ABCD 是矩形当 AC⊥BD 时，四边形 ABCD 是正方形

∵AC=BD=30cm ∴AO=BO=15cm∴S 正方形 ABCD=15×15÷2×4=450 （ cm2 ）

=4.5×10-2 （ m2 ）∴V=4.5×10-2×15=0.675 （ m3 ）

想一想：你能设计出一种方法，使据出的木材的正方形截面大于上述所得的面积吗？小于呢？

在原木的横截面上作两条互相垂直的直径 AC 和 BD ，则四边形 ABCD 是正方形。沿正方形 ABCD 的四条边，就可以锯出截面为正方形的木材。

答：锯出木材的体积为 0.675 m3

化心动为行动

已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ．已知：如图，在⊙Ｏ中，弦ＡＢ＝ＣＤ．

求证：ＡＤ＝ＢＣ　求证：ＡＤ＝ＢＣ　

Ｏ

Ｃ

Ｂ

Ａ

Ｄ

·

这节课我们主要学习了哪些内容在同圆或等圆中 , 如果

① 两个圆心角 ,② 两条弧 ,③ 两条弦 ,④ 两条弦心距中 ,有一组量相等 , 那么它们所

对应的其余各组量都分别相等 .

结束寄语

•面对成功，我们不能够再沉浸其中；面对失败，我们也不必一直耿耿于怀。