UNIVERSIDAD NACIONAL ANDRES BELLODEPARTAMENTO DE CIENCIAS FISICAS

Curso: FMF 241 ElectromagnetismoFecha: 26 de Septiembre de 2006.Tiempo: 3 horas.

Prueba Solemne #1

Problema #1

Cada una de las esferas de la figura tienen una carga Q > 0. La carga se distribuyeuniformemente en la superficie de la esfera de radio R y uniformemente en el volumen de laesfera de radio 2R.

a) Encuentre una expresion para el campo electrico ~E(x) en la lnea OO. La variable xse mide desde el centro O de la esfera de radio R.

b) Determine un punto en el trazo AB donde el campo sea nulo.

c) Si el potencial en el centro de la esfera de radio R es nulo. Calcule el potencial en elpunto B.

2RR

OOA B

2Rx

SolucionAplicaremos Gauss, dada la simetra de la configuracion.

~E =

Q

4pi01

(5Rx)2 x 0 x < RQ

4pi0

[1x2 1

(5Rx)2]x R x 3R

Q4pi0

[1x2 (5Rx)

8R3

]x 3R x 5R

Para encontrar el punto solicitado resolvemos

Q

4pi0

[1

x2 1(5R x)2

]= 0 = 1

x2 1(5R x)2 = 0 = x =

5

2R

Para encontrar el potencial en B, es decir, x = 3R, integramos el campo en los primeros2 medios imponiendo continuidad del potencial en x = R.

V (x) V (0) = x0

Q4pi0

1

(5R x)2dx =Q

4pi0

[1

5R x 1

5R

]

1

= V (R) = Q4pi0

[1

4R 15R

]=

Q

4pi0

1

20R

V (x) V (R) = xR

Q

4pi0

[1

x2 1(5R x)2

]dx =

Q

4pi0

[1

x 1R+

1

5R x 1

4R

]Luego el potencial en x=3R es:

V (3R) =Q

4pi0

[ 512R

+1

20R

]Problema #2

Una carga Q > 0 se distribuye uniformemente en el alambre de la figura. Determine elcampo en el origen del sistema de coordenadas. Justifique todos sus supuestos.Solucion

O L 2L

L

2LQ>0

Como el largo del alambre es L0 = 2L+L2 entonces la densidad lineal de carga del alambre

es = Q(2+

2)L

. Usando integracion directa, el campo total en el origen lo calcularemos

sumando las contribuciones de la seccion horizontal ( ~E1), la seccion vertical ( ~E2) y la diagonal

( ~E3).

~E1 =1

4pi0

2LL

xxx3

dx = 8pi0L

x

~E2 =1

4pi0

2LL

yyy3

dy = 8pi0L

y

Para la seccion diagonal,utilizaremos un sistema de coordenadas cartesiano con en ladireccion de la seccion inclinada y perpendicular a el, ubicado en el punto de coordenadasLy. Las coordenadas del origen del sistema cartesiano son L

2 L

2

2. Luego:

~E3 =1

4pi0

L20

(L2 x) L

2

2

((L2)2 + (L

2 x)2)3/2dx =

2

4pi0L[sin arctan

2(1/2

2) sin arctan

2/2]

Pero =22(x+ y)

Luego

2

~E3 =2

4pi0L

[sin arctan

2(1/2

2) sin arctan

2/2] 2

2(x+ y)

Finalmente

~E = ~E1 + ~E2 + ~E3

Problema #3

Considere 2 hilos aislantes infinitos, uno de ellos en la direccion del eje X con densidadlineal de carga 1 y el otro en la direccion del eje Y con densidad lineal de carga 2.

a) Calcule el campo electrico en cualquier punto del primer cuadrante del plano XY .

b) Calcule la diferencia de potencial entre los puntos A y B. (V (B) V (A))

B

1

A

2

R

R

Solucion

Usando Gauss, el campo de un alambre infinito esta dado por:

E =

2pi0rdonde r se mide desde el alambre.

Luego el campo de la configuracion en el punto de coordenadas (x, y) es:

~E(x, y) =1

2pi0yy +

22pi0x

x =1

2pi0

[1yy +

2xx

]Para calcular la diferencia de potencial entre B y A, parametrizaremos el trazo AB.

~r = xx+ tanxy = x(x+ tany) R cos x 2R cos = d~r = (x+ tany)dxLuego

V (B) V (A) = ~rB~rA

~E d~r

V (B) V (A) = 2R cosR cos

1

2pi0

[1yy +

2xx

] (x+ tany)dx = (1 + 2) ln 2

2pi0

3

Problema #4

Tres cargas puntuales q, 2q y q estan ubicadas en la misma lnea recta. La carga 2qesta en el origen del sistema de coordenadas y las otras dos cargas q estan ubicadas en az yaz respectivamente. Esta configuracion es conocida como cuadrupolo electrico. Utilizandocoordenadas esfericas:

a) Encuentre una expresion para el potencial generado por el cuadrupolo en el punto P .

b) Si el punto P es lejano al cuadrupolo, es decir, r a. Utilizando la aproximacion deprimer orden para (1 + x)n 1 + nx cuando x 0. Demuestre que el potencial en elpunto P tiene la forma

V (~r) = 14pi0

qa2

r3

a

-2q

r1

z P

q

qa

r2

r

Solucion

V (~r) =1

4pi0

[q

~r1 2q

~r +q

~r2 ]

Pero ~r1 = ~r az = rr az, ademas ~r2 = ~r + az = rr + az. Por lo tanto:

~r1 =r2 2ar cos + a2 ~r2 =

r2 + 2ar cos + a2

reemplazando se obtiene lo pedido

V (~r) =1

4pi0

[q

(r2 2ar cos + a2)1/2 2q

r+

q

(r2 + 2ar cos + a2)1/2

]Para hacer la aproximacion factorizaremos por r2 en los radicales

V (~r) =1

4pi0

[q

r(1 2arcos + a

2

r2)1/2

2qr+

q

r(1 + 2arcos + a

2

r2)1/2

]

V (~r) =1

4pi0

[q

r(1 2a

rcos +

a2

r2)1/2 2q

r+q

r(1 + 2

a

rcos +

a2

r2)1/2

]

4

Usando la aproximacion de primer orden para (1 + x)1/2 1 12x se tiene:

V (~r) 14pi0

[q

r(1 +

a

rcos a

2

2r2) 2q

r+q

r(1 a

rcos a

2

2r2)

]= V (~r) 1

4pi0

qa2

r3

5