2009 ppt 발표 대회 - p.s.r

Problem Solve & Research by 응용수학전공

P.S.R. 연구 과제 발표( 부제 : 피보나치 수열과 성망형 곡선 )

P.S.R. 연구 과제 발표( 부제 : 피보나치 수열과 성망형 곡선 )

응용수학전공발표 김경훈제작 김지만


목 차

피보나치 수열의 일반항Ⅰ

성망형 (astroid) 곡선의 일반식 Ⅱ


피보나치 수열의 일반항Ⅰ

ⅱ 수열 & 생성함수의 소개

ⅲ 생성함수를 이용한 일반항의 유도

ⅳ 결 론

ⅰ 피보나치 수열의 소개


피보나치 수열의 소개

( 질문 ) 어떤 토끼 한 쌍이 있다 .암컷 토끼는 2 개월에 암수 한 쌍을 낳는다 .10 년 후 몇 마리의 토끼가 될까 ?

피보나치 수열의 정의황금비율


수열 & 생성함수의 소개

20 1 2( ) ... ...n

nf x a a x a x a x

0 1 2, , ,..a a a임의의 수열 에대하여

0

kk

k

a x

`

``

`1, 1, 1, 1, 1, …… 20 1 2( ) ... ...n

nf x a a x a x a x 1 1 1 1

11

1x

x

일반항 1na

수열의 세계 생성함수의 세계


`자연수 전체를 N 이라고 할 때 .N 을 정의역 으로 하는 실수 값( 또는 복소수 값 ) 함수

( ) : ( )f x orN R C


우리는 피보나치 수열의 항들간의 관계식을 알고 있다 !

생성함수를 이용한 일반항의 유도 (1)


``

``0, 1, 1, 2, 3, 5,… 2 3 40 1 2 3 4( ) ...f x F F x F x F x F x

?일반항` ?na

0 1 1 2 3

2 1 0 1( 0, 1, 2)n n nF F F F F n

2 3 20 1 2 3 2( ) ... ...n n

n nf x F F x F x F x F x

2 3 20 1 4 3( ) ... ...n n

n nx f x F x F x F x F x

2 2 3 20 5 4( ) ... ...n n

n nx f x F x F x F x

+-

21( 1) ( )x x f x F x x

2( )

1

xf x

x x

2 1 0n n nF F F



2( )

1

xf x

x x

가 부분분수로 나누어 진다고 가정하자 .

2( ) ( , , ,

1 1 1

x A Bf x A B a b

x x ax bx

)

2

(1 ) (1 ) ( ) ( )

(1 )(1 ) 1 ( )

A ax B bx A B aB bA x

ax bx a b x abx

2

( ) ( )

( ) 1

B A bA aB x

abx a b x

빨간 박스 안의 두식이 같아야 하므로 두식의 계수를

비교해서 상수 A, B, a, b 의 관계식을 구해준다 .



0

1

B Ai

Ab aB

1

1

a bii

ab

1A B

a b

두 근 를 가진 이차방정식 , 을 이용하면 된다 !!2 ( ) 0x x

2 1 0x x 1 5

2x

1 5 1 5&

2 2a b

1

5A B



1 1 1( )

1 15f x

ax bx

2 2 3 311 .... ( 1)

1ax a x a x ax

ax

2 2 3 3 2 2 3 31( ) 1 ... (1 ...)

5f x ax a x a x bx b x b x

2 2 2 3 3 311 1 ( ) ( ) ( ) ...

5a b x a b x a b x

2 2 3 32 3( ) ( ) ( )

0 ...5 5 5

a b a b a bx x x

0F 1F 2F 3F

1 1 5 1 5( 0)

2 25

n n

nF n


결 론

1 1 5 1 5( 0)

2 25

n n

nF n

피보나치 수열 =< 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,…>

2 1 0 1( 0, 1, 2)n n nF F F F F n

생성함수


ⅰ 성망형 (astroid) 곡선의 소개

ⅱ 문제 소개 및 그래프의 유추

ⅲ 그래프의 일반식 유도

ⅳ 문제의 해결

ⅴ 결 론

성망형 (astroid) 곡선의 일반식 Ⅱ


문제 소개 및 그래프의 유추 (1)

벽에 수직으로 서있는 길이가 a 인 막대가 있다 .막대의 한 끝은 벽에 , 한 끝은 지면에 닿은 상태이

다 .처음 막대가 벽에 붙어 있다가 미끄러지면서 지면에누울 때까지 막대가 지나온 부분의 넓이를 구하여

라 .

미끄러지는 막대는 어떠한 그래프를 그릴 것이다 ?!Ⅱ

일정한 길이의 막대가 넘어지므로 대칭성이 있다 ?!Ⅰ

직관적 유추


일정한 길이의 막대가 넘어지므로 대칭성이 있다 ?!Ⅰ


y x


미끄러지는 막대는 어떠한 그래프를 그릴 것이다 ?!Ⅱ

따라서 우리는 대칭성을 띈 다른 곡선임을 예측 할 수 가 있다 .


0.8 a

a

원 ?!포물선 ?!


그래프 일반식의 유도 (1)

x

y

a

( ,0)k

2 2( ,0)a k(k,o) 을 지나는 직선

2 2

( )a k

y x kk

그리고 우변의 항을 모두

좌변으로 이항 시키면

2 2

( , , ) ( ) 0a k

f x y k y x kk



3 변수 함수에서는 x 와 y, 그리고 k 의 관계를 알수 없으므로2 3

2 2 2

( , , )0

f x y k a x k

k k a k

3

2

kxa

따라서 우리는 두 개의 식을 얻게 된다 .

2 2

2 3

2 2 2

( , , ) ( ) 0

( , , )0

a kf x y k y x k

k

f x y k a x k

k k a k



3

2

32 2 2

2

( )

kxa

a ky

a

2 2 2

3 3 3x y a

2 2

( , , ) ( ) 0a k

f x y k y x kk

3

2

k

a


성망형 (astroid) 곡선 보충 설명

이 곡선은 반지름이 a 인 원 위에다시 반지름이 a/4 인 원을 올려

놓고 큰 원의 둘레를 따라

작은 원을 굴렸을 때 나타나는

자취를 나타낸 곡선

성망형 (astroid) 곡선

일반식 : 2 2 2

3 3 3x y a

``


문제의 해결 (1)

따라서 적분을 위해 직교방정식을 극방정식으로 바꿔준다 .3 3cos & sinx a y a

1 0 3 2

02

sin 3 cos ( sin )S y dx a a d 2 4 22

03 sin cosa d

23

32

a

23

32

aS

23

8

a 성망형 (astroid)전체의 넓이


결 론

길이가 a 인 막대가 쓰러지는 자취의 넓이

그 래 프 의 유 추 및 일 반 식 유 도

2 2 2

3 3 3x y a

성망형 (astroid) 그래프의 일반식

2009 ppt 발표 대회 - p.s.r

Education