UNIVERSIDAD ANDRES BELLODEPARTAMENTO DE CIENCIAS FISICAS

Curso: FMF 241 ElectromagnetismoFecha: 16 de abril de 2009.Tiempo: 2,5 horas.

Prueba Solemne #1

Problema #1

Considere un alambre rectilneo infinito separado una distancia R del centro de un alam-bre semicircular de radio R. Si ambos alambres estan uniformemente cargados con la mismadensidad de carga .

Pruebe que se estos se repelen con una fuerza de magnitud

F =2

0

R

R

Indicacion: Puede serle util el cambio de variable para funciones racionales de seno ycoseno.

u = tan(

2) cos = 1 u

2

1 + u2sin =

2u

1 + u2d =

2du

1 + u2

Solucion

El campo electrico producido por un alambre infinito esta dado por:

E =

20r

Para calcular la fuerza entre el alambre semicircular y el alambre infinito, integramos elcampo electrico anterior en la region semicircular con densidad de carga . Sea y un vectoren la direccion vertical.

~F =

0

~E dq =

0

20(R + R sin )Rd y

~F =2y

20

0

d

1 + sin

Usando el cambio de variable se tiene que:

1

= 0 u = 0 = u F =

2

20

0

1

1 + 2u1+u2

2du

1 + u2=

2

20

0

2du

(1 + u)2=

2

20 2 =

2

0

Problema #2

Una partcula q, de masa mq se coloca en el centro de un anillo de radio interior a yexterior b. El anillo se encuentra cargado con densidad superficial uniforme . Si la partculaesta restringida a moverse sobe el eje de simetra del anillo.

a) Pruebe que para pequenos desplazamientos (z a, b), la partcula describe un movimien-to armonico simple.(4 puntos)

b) Pruebe que la frecuencia de oscilacion en ese caso es

0 =

q

20mq

(1

a 1

b

)

(2 puntos)

Solucion

El potencial en el eje de simetra del anillo, a una altura z se obtiene de:

~r = zz ~r = rr dq = rdrd

V (z) =1

40

ba

20

rdrdz2 + r2

=

20(

z2 + b2

z2 + a2)

Luego el campo electrico en el eje esta dado por:

~E = Vz

z = 20

[z

z2 + b2 z

z2 + a2

]z

Por lo tanto la fuerza electrica sobre la partcula esta dada por:

q ~E(z) = mq~r = mqzz = q20

[z

z2 + b2 z

z2 + a2

]z

Pero como nos interesan las pequenas oscilaciones (z a, b), entonces z2 + a2 a2

mqz = q20

[za z

b

]= q

20

(1

a 1

b

)z

Que corresponde a un movimiento armonico simple :

z + 20z = 0

z +q

20mq

(1

a 1

b

)z = 0

Por lo tanto

0 =

q

20mq

(1

a 1

b

)

2

Problema #3

Considere una esfera maciza de radio R con densidad volumetrica de carga (r) = K rcon K > 0.Determine la diferencia de potencial entre dos puntos P1 y P2 ubicados a distancias R/2 y2R/3 del centro de la esfera.

Solucion

Debido a que la densidad de carga tiene simetra radial, el campo electrico en el interiorde la esfera tendra la misma simetra.

~E = E(r)r

Usando Gauss tenemos que a una distancia r del centro de la esfera:

~E d~S = Qenc

0

E 4r2 = 20

0

r0

K r r2 sin drdd0

E = Kr2

40

Las superficies equipotenciales en esta configuracion son esferas, por lo cual el potencialpedido se obtiene de:

VP1P2 =

~E d~r V = 2R/3

R/2

Kr2

40r drr = 37KR

3

25920

3

Problema #4

Considere una esfera no conductora de radio a con densidad volumetrica de carga constante. La esfera tiene en su interior una cavidad esferica como se muestra en la figura.Calcule el campo electrico en el punto A.

Problema N 3

RP1

P2

a

A

R

Problema N 4

Solucion

La configuracion de la figura es equivalente a la superposicion de una esfera maciza deradio a con densidad de carga (esfera 1) y una esfera maciza de radio a/2 con densidadde carga (esfera 2) cuyo centro esta a una distancia a/2 de la esfera de radio a. Luego elcampo en A es la suma vectorial de ambas cantidades. Recordemos que el campo electricoproducido por una esfera de radio R con densidad de carga constante 0 a una distancia rfuera de la esfera esta dada por:

~E =0R

3

30r2r

Luego para las esferas en nuestro caso tenemos:

~E1 =0a

3

30r2r ~E2 =

0(a/2)3

30r2r

Sea x un vector unitario horizontal apuntando hacia la derecha. Tomando en cuenta queel punto A se encuentra a una distancia R del centro de la esfera 1 y a una distancia Ra/2se tiene:

~EA =a3

30

[1

R2 1

8(R a/2)2]

x

4