QUANTIFICADORES LGICOS

Os quantificadores so proposies categricas que transformam sentenas abertas em proposies lgicas, pela quantificao das variveis.

Exemplo: P(x) = x + 3 > 5 no proposio, por ser sentena aberta.

Quantificao:

Existe x, x + 3 > 5, verdadeira se

Para todo x, x + 3 > 5, falsa se

}4,2,0{x

}4,2,0{x

QUANTIFICADORES LGICOS a) Universal afirmativo: TODO A B.

b) Existencial negativo: ALGUM A NO B.

c) Existencial afirmativo: ALGUM A B.

d) Universal negativo: NENHUM A B.

)()(, xBxAx

)()(, xBxAx

)()(, xBxAx

)()(, xBxAx

QUADRO RESUMO

QUANTIFICADOR NEGAO

TODO A B ALGUM A NO B

ALGUM A B NENHUM A B

B A

A B

A B

EXERCCIOS

1) (Esaf) Todos os alunos de matemtica so, tambm, aluno de ingls, mas nenhum aluno de ingls aluno de histria. Todos os alunos de portugus so tambm alunos de informtica, e alguns alunos de informtica so tambm alunos de histria. Como nenhum aluno de informtica aluno de ingls, e como nenhum aluno de portugus aluno de histria, ento: a) pelo menos um aluno de portugus aluno de ingls. b) Pelo menos um aluno de matemtica aluno de histria. c) nenhum aluno de portugus aluno de matemtica. d) todos os alunos de informtica so alunos de matemtica. e) todos os alunos de informtica so alunos de portugus.

14) Resoluo

v mat

Ing Hist

Port

Info

2) (Cespe) Pedro, candidato ao cargo de Escrivo de Polcia Federal, necessitando adquirir livros para se preparar para o concurso, utilizou um site de busca da Internet e pesquisou em uma livraria virtual, especializada nas reas de direito, administrao e economia, que vende livros nacionais e importados. Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de administrao fazem parte dos produtos nacionais. Alm disso, no h livro nacional disponvel de capa dura. Com base nas informaes acima, possvel que Pedro, em sua pesquisa, tenha 1) encontrado um livro de administrao de capa dura. 2) Adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexvel. 3) Selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura. 4) Comprado um livro importado de direito de capa flexvel.

Resoluo

Alguns livros de direito (D) so nacionais(N).

Todos os livros de administraao(A) so nacionais(N).

Todo livro nacional(N) de capa flexvel(F).

D N F

A

Alguns livros de direito (D) so nacionais(N).

Todos os livros de administrao(A) so nacionais(N).

Todo livro nacional(N) de capa flexvel(F).

D N F

A

ARGUMENTAO

Argumento lgico dedutivo

P1: Todos os homens so mortais.

P2: Scrates um homem.

P3: Logo, Scrates mortal.

A veracidade das premissas (P1 e P2) garante a veracidade da concluso (P3).

ARGUMENTAO

Argumento lgico indutivo

P1: O Sol nasceu todas as manhs at hoje.

P2: Logo, ( provvel que) nasa amanh.

A verdade da premissa (P1) pode tornar a concluso (P2) provvel, mas no a garante: no lhe d certeza. A concluso decorre da analogia, da observao.

ARGUMENTAO DEDUTIVA

Uma argumentao uma seqncia finita proposies lgicas, formada por premissas e concluses. Assim, a sucesso de proposies P1, P2, P3, ... , Pn constitui um argumento.

REPRESENTAO DO ARGUMENTO FORMA

a representao simblica do argumento, atravs dos conectivos lgicos.

As proposies que compem o argumento podem ser bsicas ou compostas, sendo representadas, em uma das seguintes formas:

a) Em linha b) Em coluna

tese

n

hipteses

PPPP ,...,,, 321

teseP

hipteses

P

P

P

P

n

n

)1(

3

2

1

VALIDADE DO ARGUMENTO

Um argumento ser VLIDO (raciocnio correto) se a concluso for necessariamente (obrigatoriamente) verdadeira sendo verdadeiras as premissas.

Concluso falsa incompatvel com premissas verdadeiras.

Toda premissa do argumento verdadeira por hiptese.

Dizer que um argumento vlido no significa dizer que ele verdadeiro.

Um argumento no vlido chamado de sofisma (ou falcia).

FERRAMENTAS PARA TESTAR A VALIDADE DE UM ARGUMENTO.

TABELAS-VERDADE

CLCULO PROPOSICIONAL.

DIAGRAMAS LGICOS.

REGRAS DE INFERNCIA.

Considere o seguinte argumento, extrado de uma prova elaborada pelo CESPE-UnB:

Se lgica fcil, ento Scrates foi mico de circo. Lgica no fcil. Portanto, Scrates no foi mico de circo.

Este argumento vlido? Vejamos:

Forma lgica

Observe que nas linhas L3 e L4 da tabela, as premissas so todas verdadeiras, mas na linha L3, a concluso falsa, portanto, o argumento no-vlido.

QP

PP

QPP

:3

:2

:1

Se lgica fcil, ento Scrates foi mico de circo. Scrates no foi mico de circo. Portanto, Lgica no fcil.

Este argumento vlido? Vejamos:

Forma lgica

Observe que somente na linha L4 as premissas so todas elas verdadeiras, e nesta linha, a concluso tambm verdadeira. Conclumos que o argumento vlido.

PP

QP

QPP

:3

:2

:1

Analise o argumento

Todo cachorro verde. Tudo que verde um vegetal. Logo, todo cachorro um vegetal

)()(,:3

)()(,:2

)()(,:1

xCxAxP

xCxBxP

xBxAxP

EXEMPLO

VLIDO: Se ao representarmos em diagramas apenas as premissas, o diagrama lgico da concluso ficar pronto automaticamente.

Todo cachorro (A) verde (B). Tudo que verde (B) um vegetal (C). Logo, todo cachorro (A) um vegetal (C).

VLIDO

Concluso: Todo A C

est automaticamente representada

A B C

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

BA CB CA

Clculo proposicional

(CESPE)

Mara trabalha ou Mara ganha dinheiro.

Mara no trabalha.

Portanto, Mara no ganha dinheiro.

Este argumento vlido? Vejamos:

P Q

V V V

V F V

F V V

F F F

QP

PP

QPP

:3

:2

:1

QP

3) (Cespe) Uma proposio uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa, mas no ambos. Uma deduo lgica uma seqncia de proposies, e considerada correta quando, partindo-se de proposies verdadeiras, denominadas premissas, obtm-se proposies sempre verdadeiras, sendo a ltima delas denominada concluso. Considerando essas informaes, julgue os itens a seguir, a respeito de proposies.

(1) Considere verdadeiras as duas premissas abaixo:

O raciocnio de Pedro est correto, ou o julgamento de Paulo foi injusto.

O raciocnio de Pedro no est correto.

Portanto, se a concluso for a proposio, O julgamento de Paulo foi injusto, tem-se uma deduo lgica correta.

(2) Considere a seguinte seqncia de proposies:

(1) Se o crime foi perfeito, ento o criminoso no foi preso.

(2) O criminoso no foi preso.

(3) Portanto, o crime foi perfeito.

Se (1) e (2) so premissas verdadeiras, ento a proposio (3), a concluso, verdadeira, e a seqncia uma deduo lgica correta.

(3) Quando chove, as rvores ficam verdinhas. As rvores no esto verdinhas, logo no choveu. Essa seqncia no uma deduo lgica correta.

(4) A sequncia de proposies

Se estudo, obtenho boas notas.

Se me alimento bem, me sinto disposto.

Ontem estudei e no me senti disposto.

logo obterei boas notas mas no me alimentei bem.

uma argumentao vlida.

(5) Considere a seqncia de proposies:

P1. Se ontem choveu e estamos em junho, ento hoje far frio.

P2. Ontem choveu e hoje fez frio.

P3. Logo, estamos em junho.

Nesta sequncia se as premissas P1 e P2 forem verdadeiras, ento a concluso P3 ser necessariamente verdadeira.

(6) A argumentao a seguir no vlida. Choveu ontem ou segunda-feira feriado. Como no choveu ontem, logo segunda-feira no ser feriado.

4) (CESPE/TRE-2011) Julgue

Das premissas Para todo analfabeto, o voto facultativo e Para Lcia, o voto facultativo, correto concluir que

Lcia analfabeta.

5) CESPE/TRE-2011) Em determinado municpio, h, cadastrados, 58.528 eleitores, dos quais 29.221 declararam ser do sexo feminino e 93 no informaram o sexo. Nessa situao, julgue os prximos itens.

(1) Considere como verdadeiras as seguintes proposies: Se o eleitor A do sexo masculino ou o eleitor B no informou o sexo, ento o eleitor C do sexo feminino; Se o eleitor C

no do sexo feminino e o eleitor D no informou o sexo, ento o eleitor A do sexo masculino. Considere tambm que seja falsa a seguinte proposio: O eleitor C do sexo feminino. Nesse caso, conclui-se que o eleitor D no informou o sexo.

P1: Se o eleitor A do sexo masculino ou o eleitor B no informou o sexo, ento o eleitor C do sexo feminino;

P2 Se o eleitor C no do sexo feminino e o eleitor D no informou o sexo, ento o eleitor A do sexo masculino.

Considere tambm que seja falsa a seguinte proposio: O eleitor C do sexo feminino.

Nesse caso, conclui-se que o eleitor D no informou o sexo.

6) (CESPE/TRE-2011)

(1) Se a proposio p for verdadeira, ento P ser falsa.

(CESPE/TRE-2011)

(2) O nmero de linhas da tabela-verdade de P igual a 16.

(CESPE/TRE-2011)

(3) A proposio ~P uma tautologia, isto , o seu valor lgico verdadeiro independentemente dos valores lgicos das proposies p, q e r.

p q r P ~P

V V V V F

V V F V F

V F V V F

V F F V F

F V V F V

F V F F F

F F V V V

F F F V F

qp ~ rp~

7) (Cespe/MP-TO (Analista) Uma proposio uma afirmativa que pode ser avaliada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no ambos. usual denotar uma proposio com letras maisculas: A, B, C. Simbolicamente, A B, A B e A representam proposies compostas cujas leituras so: A e B, A ou B e no A. A proposio A B tem vrias formas de leitura: A implica B, se A ento B, A somente se B, A condio suficiente para B, B condio necessria para A, etc. Desde que as proposies A e B possam ser avaliadas como V ou F, ento a proposio A B V se a A e B forem ambas V, caso contrrio, F; a proposio A B F quando A e B so ambas F, caso contrario, V; a proposio A B F quando A V e B F, caso contrrio, V; e, finalmente, a proposio A V quando A F, e F quando A V.

Uma argumentao uma seqncia finita de k proposies (que podem estar enumeradas) em que as (k 1) primeiras proposies ou so premissas (hipteses) ou so colocadas na argumentao por alguma regra de deduo. A k-sima proposio a concluso da argumentao.

Sendo P, Q e R proposies, considere como regras de deduo as seguintes: se P e P Q esto presentes em uma argumentao, ento Q pode ser colocada na argumentao; se P Q e Q R esto presentes em uma argumentao, ento P R pode ser colocada na argumentao; se P Q est presente em uma argumentao, ento tanto P quanto Q podem ser colocadas na argumentao.

Duas proposies so equivalentes quando tiverem as mesmas avaliaes V ou F. Portanto, sempre podem ser colocadas em uma argumentao como uma forma de reescrever alguma proposio j presente na argumentao. So equivalentes, por exemplo, as proposies A B, B A e A B. Uma argumentao vlida sempre que, a partir das premissas que so avaliadas como V, obtm-se (pelo uso das regras de deduo ou por equivalncia) uma concluso que tambm avaliada como V.

Com base nas informaes do texto I, julgue os itens que se seguem.

(1) correto afirmar que, simbolizada adequadamente, a argumentao abaixo vlida.

Se um casal feliz, ento os parceiros tm objetivos comuns.

Se os parceiros tm objetivos comuns, ento trabalham no mesmo Ministrio Pblico.

H rompimento se o casal infeliz.

H rompimento se os parceiros no trabalham no mesmo Ministrio Pblico.

(2) A seqncia de proposies abaixo no uma argumentao vlida.

Se Filomena levou a escultura ou Silva mentiu, ento um crime foi cometido.

Silva no estava em casa.

Se um crime foi cometido, ento Silva estava em casa.

Filomena no levou a escultura.

(3) Considere o seguinte texto: Se h mais pares de sapatos do que caixas para acomod-los, ento dois pares de sapatos so colocados em uma mesma caixa. Dois pares de sapatos so colocados em uma mesma caixa. Conclui-se ento que h mais pares de sapatos do que caixas para acomod-los. Nesse caso, o texto expressa uma argumentao que no vlida.

(4) Considere que em argumentao uma premissa seja Se um nmero x divisvel por 6, ento x divisvel por 3. Se a concluso da argumentao for Se um nmero x divisvel por 6, ento a soma de seus algarismos divisvel por 3, correto afirmar que a proposio Se x divisvel por 3, ento a soma de seus algarismos divisvel por 3 tem de ser outra premissa dessa argumentao.

(5)Considere uma argumentao em que as duas proposies simblicas abaixo so premissas, isto , tm avaliao V.

P1

P2

Neste caso, se a concluso for a proposio tem-se

uma argumentao vlida.

CBA )(

C

),( BA

8) (CESPE/MP-TO) Proposies tambm so definidas por predicados que dependem de variveis e, nesse caso, avaliar uma proposio como V ou F vai depender do conjunto onde essas variveis assumem valores. Por exemplo, a proposio Todos os advogados so homens, que pode ser simbolizada por ( )(A(x) H(x)), em que A(x) representa x advogado e H(x) representa x homem, ser V se x pertencer a um conjunto de pessoas que torne a implicao V; caso contrrio, ser F. Para expressar simbolicamente a proposio Algum advogado homem, escreve-se Nesse caso, considerando que x pertena ao conjunto de todas as pessoas do mundo, essa proposio V. Na tabela abaixo, em que A e B simbolizam predicados, esto simbolizadas algumas formas de proposies.

x

))()()(( xHxAx

A partir das informaes dos textos I e II, julgue os itens

subseqentes.

(1) A proposio Nenhum pavo misterioso est corretamente simbolizada por , se P(x) representa x um pavo e M(x) representa x misterioso.

))()()(( xMxPx

(2) Considerando que so proposies, correto afirmar que a proposio avaliada como V em qualquer conjunto em que x assuma valores.

)()(())()(( xAxxAx

)()(())()(( xAxxAx

(3) Considere que as proposies Todo advogado sabe lgica e Todo funcionrio do Frum advogado so premissas de uma argumentao cuja concluso Todo funcionrio do Frum sabe lgica. Ento essa argumentao vlida.

(4) Considere uma argumentao em que duas premissas so da Forma

1. Nenhum A B.

2. Todo C A.

e a concluso da forma Nenhum C B. Essa argumentao no pode ser considerada vlida.

(5) A proposio V se x um

nmero inteiro.

))2()0)((( parxxx

9) (Cespe) Uma proposio uma declarao que pode ser avaliada como verdadeira (V) ou falsa (F). Se P e Q representam proposies, as formas simblicas P, P Q, P Q e P Q representam a composio de proposies pelo uso de operadores. A forma representa a negao de P e, portanto, V quando P F, e vice-versa. A forma P Q representa a disjuno, ou seja, ou P ou Q, que F se e somente se P e Q forem F. A forma P Q representa a conjuno P e Q, que V se e somente se P e Q forem V. A forma P Q representa a implicao, ou seja, P implica Q (l-se se P ento Q), que F se e somente se P for V e Q for F. Sempre que proposies da forma P e P Q (ou Q P) so V, pode-se concluir que Q tambm V e por isso, uma seqncia que contm essas proposies, sendo Q a ltima delas, constitui uma argumentao vlida.

P

Com base nessas informaes, julgue os itens seguintes.

(1) Considerando a seguinte seqncia de proposies.

I. Se Nicole considerada uma tima atriz, ento Nicole ganhar o prmio de melhor atriz do ano.

II. Nicole no considerada uma tima atriz.

III. Portanto, pode-se concluir que Nicole no ganhar o prmio de melhor atriz do ano.

Nesse caso, essa seqncia constitui uma argumentao vlida, porque, se as proposies I e II so verdadeiras, a proposio III tambm verdadeira.

(2) Suponha que as proposies I, II e III a seguir sejam verdadeiras.

I. Se o filme Dois Filhos de Francisco no teve a maior bilheteria de 2005, ento esse filme no teve o maior nmero de cpias vendidas.

II. Se o filme Dois Filhos de Francisco teve a maior bilheteria de 2005, ento esse filme foi exibido em mais de 300 salas de projeo.

III. O filme Dois Filhos de Francisco teve o maior nmero de cpias vendidas.

Nessa situao, correto concluir que a proposio O filme Dois Filhos de Francisco foi visto em mais de 300 salas de projeo uma proposio verdadeira.

10) (Cespe) A forma de argumentao lgica consiste de um seqncia finita de premissas seguidas por uma concluso. H formas de argumentao lgica consideradas vlidas e h formas consideradas invlidas.

A respeito dessa classificao, julgue os itens seguintes.

(1) A seguinte argumentao invlida

Premissa 1: Todo funcionrio que sabe lidar com oramento, conhece contabilidade.

Premissa 2: Joo funcionrio e no conhece contabilidade.

Concluso: Joo no sabe lidar com oramento.

(2) A seguinte argumentao vlida

Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos.

Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.

Concluso: Carlos uma pessoa honesta.

(Cespe/TCE-ES 2012) Proposies so sentenas que podem ser julgadas como verdadeiras V ou falsas F , de forma que um julgamento exclui o outro, e so simbolizadas por letras maisculas, como P, Q, R e S. A partir de proposies conhecidas, novas proposies podem ser construdas usando-se smbolos especiais. Alguns desses smbolos so apresentados na tabela abaixo.

(Cespe/TCE-ES 2012)

Considerando as definies acima e a proposio

julgue os itens a seguir

(1)A negao da referida proposio a proposio

)]()[()]}(~[){( RQSPSRQP

)]}(~)(~)](~){[(~)]}()[(~){( RQSPSRQP

(Cespe/TCE-ES 2012)

Considerando as definies acima e a proposio

(2) Essa proposio logicamente equivalente proposio

)]()[()]}(~[){( RQSPSRQP

)]()[()]}(~)[(~)](){[(~ RQSPQPSR

(Cespe/TCE-ES 2012)

Considerando as definies acima e a proposio

(3) Se P e S forem V e Q e R forem F, ento o valor lgico da proposio em questo ser F.

)]()[()]}(~[){( RQSPSRQP

(Cespe/TCE-ES 2012)

Na auditoria de uma empresa, o auditor concluiu que: Ocorreu desvio de recursos se, e somente se, o gerente financeiro e o presidente da empresa estiveram envolvidos nesse desvio. Considerando que a concluso do auditor corresponde a uma proposio verdadeira, julgue os itens seguintes.

(1) Considere que a proposio-concluso do auditor possa ser escrita, simbolicamente, na forma , em que P, Q e R sejam proposies adequadamente escolhidas. Nesse caso, a negao da proposio-concluso do auditor estar corretamente escrita na forma

)( RQP

])([~)]()[(~ PRQRQP

(Cespe/TCE-ES 2012)

)( RQP

])([~)]()[(~ PRQRQP

(Cespe/TCE-ES 2012)

(2) A proposio Se o gerente financeiro esteve envolvido no desvio mas o presidente no, ento no ocorreu desvio de recursos verdadeira.

)( RQP

(Cespe/TCE-ES 2012)

(3) A proposio No ocorreu desvio se, e somente se nem o gerente financeiro nem o presidente estiveram envolvidos verdadeira.

)( RQP