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制御工学第一 ノート2013年前期分
熊本大学工学部 情報電気電子工学科担当教員 教授 松永 信智
修正： March 25, 2013, Rev.1.5
目 次
はじめに 4
制御工学第一（前期）のシラバス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
制御工学第二（後期）のシラバス . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
第 1回 自動制御の歴史と目的 8
1.1 自動制御の歴史 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 制御対象の記述と制御の目的 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
第 2回 ラプラス変換と逆ラプラス変換の基礎 14
2.1 微分方程式とラプラス変換の概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 ラプラス変換の定義 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 代表的な関数のラプラス変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.1 ステップ関数のラプラス変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.2 指数関数のラプラス変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.3 tのべき乗×指数関数のラプラス変換 . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3.4 δ(t)のラプラス変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3.5 sin(ωt)のラプラス変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.6 ラプラス変換表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.4 ラプラス変換と逆ラプラス変換の主な性質 . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.1 線形性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.2 微分と積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.3 時間シフト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.4.4 初期値の定理・最終値の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.5 ラプラス変換の特徴のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
第 3回 微分方程式の解法 28
3.1 求積法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2 ラプラス変換による方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 部分分数展開 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3.1 ヘビサイトの方法- D(s)に重根がない場合 . . . . . . . . . . . . 32
3.3.2 ヘビサイトの方法- D(s)に重根がある場合 . . . . . . . . . . . . 35
3.4 ラプラス変換による微分方程式の解法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.5 さまざまな入力に対する出力の計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1
3.5.1 単位ステップ入力（vi(t) = u(t)）, 初期値 vo(0) = 0の場合 . . . 38
3.5.2 単位ランプ入力（vi(t) = t）, 初期値 vo(0) = 0の場合 . . . . . . 39
3.5.3 単位ステップ入力（vi(t) = u(t)）, 初期値 vo(0) = v0の場合 . . 40
第 4回 制御対象のモデル化 41
4.1 機械系の運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2 機械系における作用と反作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 電気と機械のアナロジー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.4 線形近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4.1 機械系の微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.4.2 水位系の微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.5 重力の影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
第 5回 伝達関数とその定義 50
5.1 伝達関数の特徴 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 初期値の扱い . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.3 伝達関数の導出の手順 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
第 6回 時間領域の伝達関数の計算―畳み込み積分 54
6.1 時間領域での要素G(s)の応答計算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2 矩形波による畳み込み積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.1 ラプラス変換に基づく方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2.2 畳み込み積分の定義式に基づく方法 . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.3 s領域での畳み込み積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
第 7回 微分方程式とブロック線図 63
7.1 微分方程式をブロック線図に変換する . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.2 ブロック線図の等価変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2.1 直列結合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2.2 並列結合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.2.3 フィードバック結合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.2.4 加え合わせ点の結合，分離・移動 . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
第 8回 伝達関数の一般形と要素 71
8.1 伝達関数の一般系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.2 伝達関数の要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.2.1 比例要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.2.2 積分要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.2.3 一次遅れ要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
8.2.4 微分要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.2.5 二次遅れ要素 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2
8.2.6 むだ時間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
第 9回 基本的な伝達関数の過渡応答 78
9.1 積分器の過渡応答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.2 一次遅れ要素の過渡応答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.3 二次遅れ要素の過渡応答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.3.1 インパルス応答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.3.2 インディシャル応答 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.4 各種応答波形のまとめ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
第 10回 閉ループ系の過渡応答 88
10.1 伝達関数の極 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
10.2 極の配置と過渡応答波形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
10.3 零点とその影響 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
第 11回 制御工学第一の復習 94
11.1 微分方程式とラプラス変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
11.2 伝達関数とブロック図 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.3 s領域での畳み込み積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
11.4 制御系とその特性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
11.5 制御工学第一の流れ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3
はじめに
本冊子は，(熊本大学情報電気電子工学科)2年時，制御工学第一および第二の授業のために執筆したものである。本学科では，２年時前期にモデリングと伝達関数を中心とした制御工学第一を，後期に設計論を中心とした制御工学第二を開講している。まず，本講義において公開しているシラバスを紹介することで，本講義の目標・目的を示す。各シラバスを列記するが，前期で数学とモデリングの基礎を，後期で分析・設計の基礎を行う。工学の正確な理解のためには数学が不可欠であり，それは電力，コンピュータ，回路など分野を問わない。
制御工学第一のシラバスバックグラウンド制御技術はあらゆる産業に用いられてわが国の経済成長を支えた基幹技術である。産業界の様々なシステムを動的システムとして統一的に捉え，目的を達成していく制御手法を身につけることは，科学的な物の見方と問題解決の素養を養う上で重要である。本講義では，このようなシステム的な問題解決の入門として，物理システムの動特性を表現してその特性を数理的に解析するために有用な伝達関数の概念に基づく制御工学の基本について理解することを目的とする。学習の目標
(1) 実際の動的システムの挙動を常微分方程式で記述できる。
(2) システムを伝達関数で記述でき、代表的な系の動特性を解析する。
(3) 簡単なフィードバック制御系が設計でき，その動特性の特徴を理解する。
目標物理的なシステムを数学的なモデルで表現すること，および数理的に解析・設計するための基本的な手法をフィードバック制御理論の基礎として学習する。（15 回分の実施予定）
1. ガイダンス
2. 自動制御の定義と基本構成
4
3. ラプラス変換と逆ラプラス変換
4. ラプラス変換と逆ラプラス変換の主な性質
5. 微分方程式の解法
6. 制御対象のモデル化
7. 伝達関数の定義
8. 伝達関数の応用
9. 畳み込み積分
10. 微分方程式とブロック線図
11. ブロック線図の等価変換
12. 伝達関数の一般型
13. 基本的な伝達関数と要素
14. フィードバック制御系の過渡応答
15. まとめ
このノートの使い方授業では教科書の説明ではなく，ノートの流れに沿った授業をします。皆さんは，講義をきき，ノートの空白部を埋めていけば授業のポイントが分かり易くなります。
予習 まず，ノートを事前に印刷しノートを読んで，どんなことを勉強するか簡単にフォローしてください。
授業 授業のノートを取りながら理解ください。
復習 教科書のどこが，授業されたかを見直してください。教科書の例題を理解のために解いてください。試験問題は，教科書を中心として選定します。
教科書はもちろん予習や授業で引用しますが，主に事後の復習に使つて行きます。特に，このノートを完成させるための「復習」に使ってください。教科書は平易な「制御工学を利用する立場で書かれた教科書」をあえて選定してます。授業は，あるとき細かい説明をしますが，学生は全体のストーリを常に意識してください。最終的には，教科書に書いている概念を使いこなせるレベルを目標にしてください。教科書は，制御工学第一，第二で同じ教科書を使います。参考のために，制御工学第二のシラバスも記載します。
5
制御工学第二のシラバスまた，関連項目として，２年後期の制御後第二のシラバスを示す。制御後第二は後期で，システム設計に重点を移しフィードバックの設計法を示す。制御工学第一，同第二の一連の学習の中で簡単な制御系設計ができるようになる。バックグラウンド制御技術はあらゆる産業に用いられてわが国の経済成長を支えた基幹技術である。産業界の様々なシステムを動的システムとして統一的に捉え、目的を達成していく制御手法を身につけることは、科学的な物の見方と問題解決の素養を養う上で重要である。本講義では、「制御工学第一」に続き、自動制御の基礎的事項について、とくに古典制御理論に基づく問題の捉え方と解決法を理解し、システムの評価や所望のシステムを実現する設計手法を学ぶ。学習の目標
(1) 代表的なシステムの周波数応答特性を理解する。
(2) システムの応答性、安定性が分析できる。
(3) 簡単なフィードバック制御系が設計でき、その動特性の特徴を理解する。
目標制御の基礎概念を復習後、フィードバック制御系の特性解析と設計法を根底に流れる考え方に重点を置いて、古典制御理論としての体系化された内容を取り扱う。制御工学第二では，システム解析に重点をおいて講義し，簡便なフィードバック制御法について説明する。（15回分の実施予定）
1. ガイダンス
2. システムの極と零点
3. 安定性の定義
4. ラウス・フルビッツの安定判別法
5. 周波数応答
6. ベクトル軌跡の基礎
7. ベクトル軌跡
8. ナイキストの安定判別法
9. ボード線図の基礎
10. ボード線図の基礎
6
11. ボード線図の応用
12. 制御系の定常偏差
13. 極配置法
14. PID制御
15. まとめ
参考文献「システムと制御 第２版 上・下」高橋安人 著，岩波書店「モデリングとフィードバック制御」古田勝久他著，東京電機大学出版局「自動制御」，水上憲夫，朝倉書店
関連科目この講義は古典制御理論のみの構成になっているが，３年次で開講される「制御系設計論」で扱われる現代制御理論により，制御工学の基礎ができるので，この講義の後に「制御系設計論」の履修することを勧める。関数論，微分方程式などに関する知識が必要であり，関連する科目として，物理学第一，電磁気学，電気回路 I，電気回路 IIを履修することが望ましく，また、制御工学第二，微分方程式，フーリエ解析，制御系設計論，情報機械システム，生態情報システムなどと関連している。
7
第1回 自動制御の歴史と目的
1.1 自動制御の歴史人類は，水や火など自然の動力を利用してきたことはよく知られており，早くもギリシャ時代のクテシビオスの水時計，ヘロンの酒つぎなどのからくりには自然力を利用して一定の時間を刻んだり，動力を利用するからくりが使用されていた。このような知識は，古くは数学者や神学者，職人や技師などの限られた中で経験として継承されてきた。その後，1700年代に商工業が劇的に発展すると，石炭を利用した蒸気機関が発明されるといままでどおりの伝統的な手法では対応が困難になってきた。1776年にワットが蒸気機関の改良を行ったが，蒸気機関に接続する負荷の状況により回転数が一定にならないため，紡績工場などの大量生産の現場から工夫がもとめられていた。1788年に，ワットは回転数が下がると蒸気量を増やすバタフライ弁制御機構，すなわち自動調速機（ガバナ）を考案した。図 1.1にガバナの構成を示す。
図 1.1: ガバナの例
ガバナの動作は以下のとおりであり，状態を観測して操作するフィードバック制御の原点である。
1. タービンの回転数が上がる
8
2. 遠心力で錘が上がる
3. スリーブが上昇する（てこの原理でバタフライ弁に伝達）
4. バタフライ弁を閉じる
5. 上記の量が減る
6. 回転数が下がる
その後，ガバナで用いられたフィードバック制御の概念は様々な利用がされていくが，高圧蒸気により不安定になる新たな問題も発生してきた。この大きな原因は，制御に関する統一的な理論（数学的な解析や設計）が整備されてなかったためである。その後，1877年のラウスの安定理論，1895年のフルビッツの安定理論が発表された。また，1900年代に入ると蒸気から電気式に変換し，電気制御に対応すする制御理論が提案されてくる。1930年にボードの提案した負帰還増幅器がその代表である。1932にナイキストの安定理論，1952年にエバンスによる根軌跡法を確立した。このような制御に関する理論を古典制御理論と呼ぶ。第二次世界大戦がはじまると，ミサイルなどのさらに高度な制御が求められることとなる。1948年にウイナーが動物と機械における制御と通信に関するサイバネティクス理論を提案している。1956年にはポントリヤギンによる最大原理が提案されると，最適制御の研究が盛んとなり，これらの研究は古典制御に対して現代制御理論と呼ばれる。その後，コンピュータの時代になり，現代数学を駆使した制御系設計論の研究が盛んになり，現在に至っている。制御工学は，システムの安定性・最適性を追い求めており，ある物に対する設計ノウハウというよりは数学をベースとする学問である。従って，全く違う物であっても数学的に同じ構造を持つ物は同じ解になるのが特徴である。
1.2 制御対象の記述と制御の目的自動制御とは，「ある目的に適合する操作を自動的に行うこと」であり，それを行うものが自動制御装置である。ある物を思い通りに操作するためには，まず制御対象（制御を行う対象物，機械など）の構造や制御系の機能を把握する必要がある。図 1.2に温度「調節係のおじさん」による自動制御の例を示す。教室内の温度を 20
度に保つようにおじさんが温水弁を寒いときは開け，暑いときは閉める。おじさんが室外にいる場合は屋外温度をモニタして適度に調節する。しかし，外気温の変化，日射，風，窓の開閉，学生の数など条件によって，調整のしかたが異なる。このような条件の変化を外乱と呼ぶ。図 1.2の制御例を図的に表現したものを図 1.3に示す。おじさんの目標の温度を設定し，室内温度を調整する制御法はフィードフォワード制御と呼ばれる。これに対して，図 1.4の例のように室内の温度を計測し弁を開閉する。この場合，おじさんは温度計の指示 xを読み，目標値 rとの差 r − xに従い，弁開度 yを制御する。
9
図 1.2: 調節係のおじさん：その１
x
)(tr xr -
)(tx
20
)(tr
)(tx
図 1.3: フィードフォワード制御
r − xを制御偏差と呼ぶ。ここでは，先ほど述べた外乱がどの様なものかは関係なく，単に室内温度の上下動により一定温度に出来ることに気がつく。図 1.4の制御例を図的に表現したものを図 1.5に示す。教室温度が高くなると弁を閉め，低くなると弁を開ける。「弁を開ける→温度計が上がる」といったように情報が一回りする。このようなフィードバック制御を負のフィードバックと呼ぶ。ここで，図 1.3のフィードフォワード制御と図 1.5のフィードバック制御を比べてみよう。フィードフォワードは外乱が測定できその特性が既知な場合は制御できるが，教室のような外乱が定量的に測定出来ない場合は不向きである。陽が射したり・外気温が下がったりしても，フィードバックでは情報が一回りすることで外乱の影響を自動的に抑制する。外乱が測定できない未知の外乱であっても，気にしなくて良い。このフィードバック機構は自動制御の基本である。従って，その構造や名称をまずまとめておく。図 1.6に一般の制御系の構成を示す。図における各信号の意味は次の通りである。
10
図 1.4: 調節係のおじさん：その２
制御量 y：温度や角度など制御したい量
目標値 r：外部から与えられる指令値であり，制御量の目標となる値
検出量 ym：制御対象から検出される量
検出信号w：温度計など検出器から得られる量
操作量 um：操作器の動く量
操作信号 u：操作器の動きを指示する信号
外乱 d：制御量の変動を引き起こすような操作量以外の信号
観測雑音 dm：検出器に加わる雑音
もし，制御対象の重さや摩擦など物理パラメータがわかっていれば，現代科学を駆使すれば微分方程式を使ってさらに細かな数学モデルを記述することも可能であり，また内部でおこる化学反応がわかれば化学反応モデルを作ることも可能であろう。しかし，制御対象の把握のためには，その把握のための労力を考えると，制御目的を達成しうる限りできるだけ単純にすることが望ましい。以後，制御対象の構造や特徴を記述したものを制御対象の「モデル」と呼ぶ。制御工学の大きな目的は，図 1.6に示す制御系において，所望の特性を得る制御器を設計する汎用的な方法を与えることである。簡単な制御の例を示す。
11
20
)(tr xr−
)(tx
)(tr x
x
図 1.5: フィードバック制御
図 1.6: 一般的な制御対象
所望の特性を得るためのもっとも簡単な制御則はオン・オフ制御である。例えば，図1.7に示すようにプ部屋の温度を検出し，エアコンによるフィードバック制御を行う。オン・オフ制御は，目標値との温度の誤差 e = r − yを求め，その誤差の符号に対して操作する方法であり，もっとも簡単なコントローラCを次式に示す。
u =
−K < 0 , y > r
0 , y = 0
+K > 0 , y < r
(1.1)
このように，e < 0のとき u > 0，e > 0のとき u < 0とすることで eは 0になる。定性的には，上記のようなフィードバックをほどこすことにより所望の特性を得ることが可能ではあるが，必ずしも上記のような簡便な制御で室温制御ができるとは限らない。一般に，フィードバック制御系を設計するにあたっては，制御対象P の性質を見て，
Cを設計することになる。その概念は次の設計方程式により定性的に示すことができる。設計方程式において，[O]は制御目的であり所望の特性を示し，[C]，[P ]はそれぞ
12
y
r
t
t
u+K
-K
図 1.7: 簡単なオンオフ制御の例
れ数学的な記述されたコントローラと，制御対象を示す。
[O] = [C] × [P ] (1.2)
本講義では，制御工学の基礎として，伝達関数で記述された [P ]に対して，位相進み遅れ補償や PIDなどのコントローラ [C]を設計することで，例えば目標値に対して定常偏差を 0とするような目標 [O]を達成するような基本的な設計ができることを目的としている。
制御対象 P の記述： 制御対象を，伝達関数として表現する
コントローラCの設計： 制御系の分析手法，制御対象 [P ]のモデルに対しCをどのように設計するか？
制御対象 P の設計に関しては，前期の制御工学第一で，Cの設計に関しては後期の制御工学第二で講義する。制御工学第一，第二で扱う代表的なフィードバックコントローラを図 1.8に示すが，まずこのブロック線図を憶えて欲しい。
図 1.8: フィードバック制御系
13
第2回 ラプラス変換と逆ラプラス変換の基礎
制御対象をモデリングする際には，微分方程式で記述する。微分方程式を解く際にラプラス変換の威力が発揮される。ラプラス変換を使う目的は，積分を陽に扱わずに楽に求解することができることにあろう。本章の目的は，ラプラス変換の定義を明らかにし，代表的なラプラス変換の事例を示す。なお，試験においては，ラプラス変換表は与えないので，最終的には最小限の暗記が必要である。
2.1 微分方程式とラプラス変換の概要いま，図 2.1に示す簡単な電気回路を考える。
図 2.1: 簡単なRC回路
図の電流 iは次の微分方程式で記述される。
i(t) = Cdv
dt(2.1)
Ri(t) + v(t) = E (2.2)
定常状態で，dq(t)
dt= 0なので vs(t) = E。
他方，過渡状態で
RCdvt(t)
dt+ vt = 0 (2.3)
より，dvt(t)
vt
= − 1
RCdt (2.4)
14
積分すると
log vt(t) = − 1
RCt + c (2.5)
vt(t) = Ae−1
RCt (2.6)
t → ∞ で vt(t)は 0に収束するので，v(t) = vt(t) + vs(t)とおくと
v(t) = E + Ae−1
RCt (2.7)
t = 0で v = 0なので，A = −E よって
v(t) = vt(t) + vs(t) = E（1 − e−1
RCt) (2.8)
i(t) = Cdv
dt=
E
Re−
1RC
t (2.9)
この常微分方程式をラプラス変換で解く方法を示す。なお，詳細は第３回で説明するが，変換の簡便さを体感してほしい。Eを定電圧Eのステップ入力として，式 (2.2)
の初期値 0でラプラス変換すると
RCsV (s) + V (s) =E
s
V (s) =E
s（RCs + 1)
=E
s− RCE
RCs + 1
逆ラプラス変換すると，
v(t) = L−1(E
s) − L−1(
E
s + 1RC
) = E(1 − e−1
RCt) (2.10)
i(t) = Cdv
dt=
E
Re−
1RC
t (2.11)
上記のように，ラプラス変換により微分方程式を代数方程式に変換することで，微分方程式を簡単に解くことができる。以下，ラプラス変換の定義と代表的なラプラス変換について述べる。
15
2.2 ラプラス変換の定義ラプラス変換を定義する前に，理解を容易にするためにまずフーリエ変換を定義する。任意の周期関数は三角関数の和で表されることが知られており，フーリエ級数として知られている。
f(t) =1
2a0 +
∞∑n=1
(an cos nωt + bn sin nωt) (2.12)
ここで，三角関数をオイラー表示すると，上式は
f(t) =∞∑−∞
Cnejnωt (2.13)
と表すことができる。非周期関数に対しては，周期 T を∞まで拡張し，各周波数を無限小にすることで，次のフーリエ積分を得る。
f(t) =1
2π
∫ ∞
−∞∫ ∞
−∞f(t)e−jnωtdtejnωtdω (2.14)
上式の括弧内はフーリエ変換と呼ばれ
F(jw) =∫ ∞
−∞f(t)e−jnωtdt (2.15)
フーリエ変換F(jω)により，時間関数 f(t)は周波数領域で変換でき，周波数成分の解析に用いることができる。しかし，時間領域関数 f(t)が周期関数であればよいが，ステップ関数のような時間関数の場合にはF(jw)は発散する。そこで，時間関数 f(t)に γ(t) = e−σt (0 ≤ t)を導入する。
f(t)γ(t) =1
2π
∫ ∞
−∞∫ ∞
−∞f(t)γ(t)e−jnωtdtejnωtdω (2.16)
であり，両辺に γ−1(t)をかけて整理すると
f(t) =1
2π
∫ ∞
−∞∫ ∞
−∞f(t)e−(σ+jnω)tdte(σ+jnω)tdω (2.17)
上式に，s = σ + jnω,jdω = dsを代入すると
f(t) =1
2πj
∫ σ+∞
σ−∞∫ ∞
−∞f(t)e−stdtestds (2.18)
括弧の中に注目し，f(t) = 0, t > 0 の関数に対して
F (s) =∫ ∞
0f(t)e−stdt (2.19)
を定義することができる。上式は，時間関数 f(t)のラプラス変換でありF (s) = L[f(t)]
と表す。F (s)の定義式を式（2.18）に代入すると
f(t) =1
2πj
∫ σ+∞
σ−∞F (s)estds (2.20)
とラプラス逆変換を定義できる。
16
2.3 代表的な関数のラプラス変換
2.3.1 ステップ関数のラプラス変換
ステップ関数とは t ≥ 0で一定値 cとなる関数。
f(t) = c， t ≥ 0 (2.21)
L[f(t)] =∫ ∞
0ce−stdt (2.22)
= [−c
se−st]∞0 = 0 − (−c
s) = c
1
s(2.23)
2.3.2 指数関数のラプラス変換
f(t) = cept， t ≥ 0 (2.24)
L[f(t)] =∫ ∞
0cepte−stdt =
∫ ∞
0ce−(s−p)tdt (2.25)
= [− c
s − pe−(s−p)t]∞0 = 0 − (− c
p − s) =
c
s − p(2.26)
なお，p = 0のとき f(t) = ce0 = cは，L[f(t)] =c
sとなり（2.23）の結果に一致する。
2.3.3 tのべき乗×指数関数のラプラス変換
f(t) = tkept， t ≥ 0 (2.27)
下記の部分積分を利用する。∫h(t)g′(t)dx = h(t)g(t) −
∫h′(t)g(t)dt (2.28)
h(t) = tk1
−(s − p)
g(t) = e−(s−p)t
17
定義式より，
L[f(t)] =∫ ∞
0(tkept)e−stdt(=
∫ ∞
0h(t)g(t)′dt) = [h(t)g(t)]∞0 −
∫ ∞
0h(t)′g(t)dt
= [tk1
−(s − p)e−(s−p)t]∞0 −
∫ ∞
0ktk−1 1
−(s − p)e−(s−p)tdt
= Ik (2.29)
[tk1
−(s − p)e−(s−p)t]∞0 = 0であるので，
Ik = −∫ ∞
0ktk−1 1
−(s − p)e−(s−p)tdt (2.30)
とおく。他方，(2.27)で k − 1の場合を計算すると，
Ik−1 =∫ ∞
0(tk−1ept)e−stdt =
∫ ∞
0tk−1e−(s−p)tdt (2.31)
また，(2.30)の右辺を Ik−1で記述すると
Ik = −∫ ∞
0ktk−1 1
−(s − p)e−(s−p)tdt
= − k
−(s − p)
∫ ∞
0tk−1e−(s−p)tdt =
k
s − pIk−1 (2.32)
の漸化式を得る。いま，k = 0の場合は，f(t) = t0ept = eptより L[ept] =1
s − p(式
（2.26))なので，
I0 =1
s − p(2.33)
以下，k = 1から (2.32)より求めると，
I1 =1
s − pI0 =
1
(s − p)2(2.34)
I2 = 21
s − pI1 =
2 × 1
(s − p)3(2.35)
I3 = 31
s − pI2 =
3 × 2 × 1
(s − p)4(2.36)
Ik = k1
s − pIk−1 =
k!
(s − p)k+1(2.37)
となり，
L[f(t)] =k!
(s − p)k+1(2.38)
18
2.3.4 δ(t)のラプラス変換
デルタ関数のラプラス変換はいくつかの導出法があるが，本講義では，次の定義を用いて導出する方法を示す。ほかの方法は成書を参考のこと。矩形波の幅を∆T として，次の関数を考える。
f(t) =
1
∆T, ∆T > t > 0
0, otherwise(2.39)
面積が 1の方形波を考える（図 2.2）。幅∆T が無限小，高さが無限大の波形を δ関数と呼ぶ。このラプラス変換を求めると，
L[f(t)] =∫ ∆T
0
1
∆Te−stdt (2.40)
= [−e−st
s∆T]∆T0 =
−e−s∆T − (−e0)
s∆T=
1 − e−s∆T
s∆T
L[δ(t)] = lim∆T→0
1 − e−s∆T
s∆T≈ 0
0(2.41)
0/0の不定形になるので，分母分子を∆T で微分して
L[δ(t)] = lim∆T→0
se−s∆T
s=
s
s= 1 (2.42)
→0
→
TD
1
TD
¥
図 2.2: デルタ関数
δ関数は，幅が 0という概念は理想状態ににしかあり得ないが，インパルス応答という制御工学における重要な概念になる。
19
2.3.5 sin(ωt)のラプラス変換
オイラーの公式は，半径１の場合
ejωt = cos(ωt) + j sin(ωt) (2.43)
となる。 sin(ωt) =
ejωt − e−jωt
2j
cos(ωt) =ejωt + e−jωt
2
この関係を用いると，sin(ωt)のL変換が求まる。
L[sin(ωt)] =∫ ∞
0sin(ωt)e−stdt =
∫ ∞
0
ejωt − e−jωt
2je−stdt (2.44)
=1
2j[∫ ∞
0(e−(s−jω)t − e−(s+jω)t)dt
=1
2j[
−1
s − jωe−(s−jω)t − (− 1
s + jωe−(s+jω)t)]∞0
=1
2j[
1
s − jω− 1
s + jω] =
1
2j[(s + jω) − (s − jω)
(s + jω)(s − jω)]
=1
2j2jω
s2 + ω2=
ω
s2 + ω2
Re
Im
A
|A|sin
|A|cos
図 2.3: オイラーの公式
また，同様の手順で cos(ωt)のラプラス変換も導出できるので，各自導出するように。
20
2.3.6 ラプラス変換表
基本信号 f(t)のラプラス変換表を表 2.1に示す。表において，f(t)から右に見てF (s)
を求めるのがラプラス変換，F (s)から f(t)を求めるものがラプラス逆変換である。
表 2.1: Laplace transform table
Item No. f(t) F (s)
1 δ(t) 1
2 u(t)1
s
3 tu(t)1
s2
4 tnu(t)n!
sn+1
5 e−atu(t)1
s + a
6 sin(ωt)u(t)ω
s2 + ω2
7 cos(ωt)u(t)s
s2 + ω2
なお，u(t)は t ≥ 0で大きさ１の関数（単位ステップ応答，後述）である。ラプラス変換は t ≥ 0で定義されることに注意する。
21
解析的延長2.3節で代表的な関数のラプラス変換を定義したが，少し説明を加える。下記の無限積分が，少なくとも一つの sに対して収束するとき，「ラプラス変換可能」であるという。
I =∫ ∞
0f(t)e−stdt
Re(s) > aで積分が収束するが，Re(s) < aで収束しない場合，Re(s) > aを収束域と呼ぶ。積分値 Iは，sの関数だが収束域で正則になる。さらに，関数を収束域の外側に，解析的に延長することができる。そこで，解析的延長を行い得られる解析関数を，改めてF (s) = L(f(t)) とおき，f(t)のラプラス変換とよぶ。
A
Im
Re
F(s) I
図 2.4: 解析的延長
22
2.4 ラプラス変換と逆ラプラス変換の主な性質微分方程式を解くためには，微分や積分などの変換方法および変換の性質について明らかにする必要がある。
2.4.1 線形性
L[f1(t)] = F1(s) (2.45)
L[f2(t)] = F2(s) (2.46)
のとき，次の式が成立する。
L[f1(t) + f2(t)] = F1(s) + F2(s) (2.47)
また，aが定数のときL[af1(t)] = aF1(s) (2.48)
2.4.2 微分と積分
•微分
F (s) = L[f(t)] =∫ ∞
0f(t)e−stdt (2.49)
g(t) =∫
e−stdt = −e−st
sh(t) = f(t)
として部分積分法を用いると
F (s) =∫ ∞
0h(t)g(t)′dt (= [h(t)g(t)]∞0 −
∫ ∞
0h(t)′g(t)dt)
= [f(t)(−e−st
s)]∞0 −
∫ ∞
0
df(t)
dt(−e−st
s)dt
= [f(t)(−e−st
s)]∞0 +
1
s
∫ ∞
0
df(t)
dte−stdt (2.50)
ここで，第二項は定義式よりL変換で記述できる。∫ ∞
0
df(t)
dte−stdt = L[
df(t)
dt] (2.51)
23
よって，第二項をL[df(t)
dt]と書くと
F (s) = [f(t)(−e−st
s)]∞0 +
1
sL[
df(t)
dt]
= 0 − (−1
sf(0+)) +
1
sL[
df(t)
dt] (2.52)
ここで，0+は t = 0での右側極限である。以上より，まとめると
L[df(t)
dt] = sF (s) − f(0+) (2.53)
•積分f(t)のラプラス変換は，定義式より
F (s) =∫ ∞
0f(t)e−stdt = L[f(t)]
h(t) = e−sT
g(t) =∫ ∞
0f(t)dt
部分積分法を用いると
F (s) =∫ ∞
0f(t)e−stdt (2.54)
=∫ ∞
0h(t)g(t)′dt (= [h(t)g(t)]∞0 −
∫ ∞
0h(t)′g(t)dt)
= [e−st∫ ∞
0f(t)dt]∞0 −
∫ ∞
0[∫ ∞
0f(t)dt](−s)e−stdt
第二項は定義式よりL変換で記述できるので
F (s) = [e−st∫ ∞
0f(t)dt]∞0 + sL[
∫ ∞
0f(t)dt] (2.55)
= 0 −∫ ∞
0f(0+)dt + sL[
∫ ∞
0f(t)dt]
よって，整理すると次式を得る。
L[∫ ∞
0f(t)dt] =
1
sF (s) +
1
s
∫ ∞
0f(0+)dt (2.56)
24
2.4.3 時間シフト
今，次の関数を考える。なお，u(t)は t ≥ 0で大きさ１の関数であるから明示的に+
の領域を扱う。f(t) = g(t)u(t) (2.57)
これを時間 T だけ（tの+側に T 秒）ずらすと，次のように記述できる。
h(t) = g(t − T )u(t − T ) (2.58)
H(s) = L[h(t)] =∫ ∞
0g(t − T )u(t − T )e−stdt (2.59)
t < T で u(t − T ) = 0となるので，t = t′ + T とおくと
H(s) =∫ ∞
0g(t − T )u(t − T )e−stdt (2.60)
=∫ ∞
0g(t′)u(t′)e−s(t′+T )dt′
= e−sT∫ ∞
0g(t′)u(t′)e−st′dt′
= e−sT∫ ∞
0f(t′)e−st′dt′ = e−sT F (s)
以上より，時間軸での T 時刻のシフトは，s領域では e−sT をかけることに相当する。
1
tT0
図 2.5: 時間シフトの例
25
2.4.4 初期値の定理・最終値の定理
f(t)がラプラス変換 F (s)で与えられるとき，f(t)の最終値 f(∞)が存在する場合，次のようになる。この関係は最終値の定理と呼ばれ，次式で与えられる。
f(∞) = limt→∞
f(t) = lims→0
sF (s) (2.61)
f(t)がラプラス変換F (s)で与えられるとき，f(t)の初期値 f(0)が存在する場合，次のようになる。この関係は初期値の定理と呼ばれ，次式で与えられる。
f(0+) = limt→0
f(t) = lims→∞
sF (s) (2.62)
なお，これらの定理の説明は，後章で説明をおこなう。
2.4.5 ラプラス変換の特徴のまとめ
以上のラプラス変換の特徴をまとめると，表のようになる。なお，導出してないところは各自導出すること。
26
表 2.2: Laplace transform theorems
Item No. Theorem Name
1 L[f(t)] = F (s) =∫ ∞
0−f(t)e−stdt ラプラス変換の定義
2 L[kf(t)] = kF (s) 線形則その１
3 L[f1(t) + f2(t)] = F1(s) + F2(s) 線形則その２
4 L[e−atf(t)] = F (s + a) 周波数シフト
5 L[f(t − T )] = e−sT F (s) 時間シフト
6 L[f(at)] =1
aF (
s
a) スケーリング則
7 L[df
dt] = sF (s) − f(0+) 微分則
8 L[dn
dtn] = snF (s) −
n∑k=1
sn−kfk−1(0+) 微分則 (n次）
9 L[∫ t
0−f(τ)dτ ] =
F (s)
s+
1
s
∫ ∞
0f(0+)dt 積分則
10 f(∞) = lims→0
sF (s) 最終値の定理
11 f(0) = lims→∞
sF (s) 初期値の定理
27
第3回 微分方程式の解法
n階微分方程式は，その解が独立な n個の条件を設定するとき一意に決定される意味で，自由度 nをもつという。独立な n個のパラメータを含む解を一般解，パラメータを含まない特定の解を特解と呼ぶ。たとえば，次の一般的な微分方程式
d2u(t)
dt2= a1
du(t)
dt+ a2u(t) (3.1)
に対して，初期条件 u(0) = α，du(t)
dt|t=0 = β を与える問題を初期値問題とよび，
u(0) = α，u(1) = βで与える問題を境界値問題と呼ぶ。微分方程式を解く方法は，例えば次のような方法がある。
(1)求積法
(2)級数法
(3)反復法（ピカール法）
(4)ラプラス変換法
(5)ミクシンスキーの演算子法
(6)数値計算法
本書では，(1)の求積法（および定数変化法）と (4)のラプラス変換法について示す。
28
3.1 求積法いま
dx(t)
dt= −x(t) + t, x(0) = 1 (3.2)
を考える。
•求積法まず，同次方程式の解を求める。
dx(t)
dt= −x(t) (3.3)
上式を変数分離してdx(t)
x(t)= −dt (3.4)
積分してlog x(t) = −t + c (3.5)
より，xt(x) = Ce−t (3.6)
次に，上式の t → ∞で xt(t)は収束するので，特解を x（ｔ）に関する一次式としてxs(t) = at + bと仮定すると，式 (3.2)より
dxs(t)
dt= −xs(t) + t = −(at + b) + t (3.7)
式 (3.7)と仮定したxs(t)の式の微分（dxs(t)
dt= a）の係数比較から，−b = a，(1−a)t = 0
から a = 1，b = −a(= −1)で xs(t) = t − 1となる。以上より
x(t) = xt(t) + xs(t) = Ce−t + t − 1 (3.8)
初期条件（x(0) = 1）を代入して，C を求めると 1 = C + 0 − 1より C = 2となり，解は
x(t) = xt(t) + xs(t) = 2e−t + t − 1 (3.9)
29
•定数変化法による別解
同次方程式解が求まったものとして，
x(t) = C(t)e−t (3.10)
を考える。1
微分方程式に代入して整理すると，
dx(t)
dt=
dC(t)
dte−t + C(t)
de−t
dt
=dC(t)
dte−t − C(t)e−t
= − x(t) + t = −[C(t)e−t] + t
係数を比較して，dC(t)
dte−t = tより
dC(t)
dt= tet (3.11)
を得る。上式より
C(t) = c +∫
tetdt (3.12)
(3.10)に代入して
x(t) = C(t)e−t = (c + [tet − et])e−t = ce−t + t − 1 (3.13)
となる。x(0) = 1より，x(0) = ce0 + 0− 1 = c− 1 = 1，よって c = 2を得，次式の解を得る。
x(t) = 2e−t + t − 1 (3.14)
1同次方程式の解 Cξ(t)に対して，いかなる場合でも非同次方程式の解は C(t)ξ(t) で表される。
30
3.2 ラプラス変換による方法ラプラス変換の特性表を使って，まず解いてみよう。いま，L[u(x)] = U(s)とおき，
dx
dt= −x + t (3.15)
の両辺をラプラス変換すると，
sX(s) − x(0) = −X(s) +1
s2
sX(s) + X(s) = x(0) +1
s2(3.16)
X(s) =1
s + 1x(0) +
1
(s + 1)s2
=1
s + 1x(0) +
1
s2− 1
s+
1
s + 1(3.17)
逆ラプラス変換すると，x(0) = 1なので次式を得る。
x(t) = L−1[1
s + 1]x(0) + L−1[
1
s2] − L−1[
1
s] + L−1[
1
s + 1]
= x(0)e−t + t − 1 + e−t
= e−t + t − 1 + e−t
= 2e−t + t − 1 (3.18)
図 3.1にラプラス変換による微分方程式の解法をまとめる。以上のプロセスをみると，ラプラス変換は微分方程式を代数方程式に変換し解を得る点に特徴があり，その解法も容易である。
図 3.1: ラプラス変換による微分方程式の解法のイメージ
31
以上をまとめると，ラプラス変換による微分方程式の解法は
step1:微分方程式を sの関数で記述
step2:代数方程式を解く
step3:逆ラプラス変換により，tの関数に戻す。
とな
る。step1では，ラプラス変換表に基づき変換を行うものであり，step2は単なる代数方程式の解法になる。step3では逆ラプラス変換（変換表）が適用できるように有理多項式を部分分数展開の形で表現する。
3.3 部分分数展開ラプラス変換を用いて，微分方程式を解く場合，ラプラス変換表にあてはめるために，step3で部分分数展開を行う必要がある。本書ではヘビサイドの方法を用いた部分分数展開を紹介する。
3.3.1 ヘビサイトの方法- D(s)に重根がない場合
有理多項式を部分分数展開の形で表現するための，最も簡単な方法は係数合わせであるが，次数が高くなるとその計算が困難となる。そこで，次の関数の部分分数展開を考える。
F (s) =N(s)
D(s)=
b0sm + b1s
m−1 + · · · + bm
sn + a1sn−1 + · · · + an
(3.19)
なお，m ≤ nである。重根がない場合は，
D(s) = (s − s1)(s − s2) · · · (s − sn) (3.20)
で表される（s1 = s1 = · = sn）。するとF (s)の部分分数展開は，次式のように計算できる。
F (s) =K1
s − s1
+K2
s − s2
· · · + Kn
s − sn
(3.21)
両辺に (s − s1)をかけると
N(s)(s − s1)
D(s)= K1 +
K2(s − s1)
s − s2
· · · + Kn(s − s1)
s − sn
(3.22)
となる。そこで，s = s1とおくとK2, · · · , Knが 0になり，K1が求まる。
N(s)(s − s1)
D(s)
∣∣∣∣∣s=s1
=N(s)(s − s1)
(s − s1)(s − s2) · · · (s − sn)
∣∣∣∣∣s=s1
= K1 (3.23)
32
例題１：実の単根の場合の部分分数展開
F (s) =a1s + a0
(s + α)(s + β)=
K1
s + α+
K2
s + β(3.24)
K1 =(a1s + a0)(s + α)
(s + α)(s + β)
∣∣∣∣∣s=−α
=−a1α + a0
−α + β(3.25)
K2 =(a1s + a0)(s + β)
(s + α)(s + β)
∣∣∣∣∣s=−β
=−a1β + a0
−β + α
よって
f(t) = L−1[F (s)] = L−1[K1
s + α] + L−1[
K2
s + β] (3.26)
= L−1[F (s)] =−a1α + a0
−α + βe−αt +
−a1β + a0
α − βe−βt
例題２：共役複素根の場合の部分分数展開
F (s) =a1s + a0
(s + σ)2 + ω2=
a1s + a0
(s + σ − jω)(s + σ + jω)
=K1
s + σ − jω+
K2
s + σ + jω
K1 =(a1s + a0)(((((((
(s + σ − jω)
((((((((s + σ − jω)(s + σ + jω)
∣∣∣∣∣s=−σ+jω
=−a1σ + ja1ω + a0
2jω
K2 =(a1s + a0)(((((((
(s + σ + jω)
(s + σ − jω)((((((((s + σ + jω)
∣∣∣∣∣s=−σ−jω
=−a1σ − ja1ω + a0
−2jω=
a1σ + ja1ω − a0
2jω
ラプラス逆変換を行うと
f(t) = L−1[F (s)]
= K1e(−σ+jω)t + K2e
(−σ−jω)t
= e−σtK1ejωt + K2e
−jωt= e−σtK1(cos ωt + j sin ωt) + K2(cos ωt − j sin ωt)= e−σt(K1 + K2) cos ωt + (K1 − K2)j sin ωt
33
K1 + K2 =−a1σ + a0 + ja1ω
2jω+
a1σ − a0 + ja1ω
2jω=
2a1jω
2jω= a1
K1 − K2 =−a1σ + a0 + ja1ω
2jω− a1σ − a0 + ja1ω
2jω=
−2a1σ + 2a0
2jω=
−a1σ + a0
jω
(3.27)
代入すると
f(t) = e−σt(K1 + K2) cos ωt + (K1 − K2)j sin ωt
= e−σta1 cos ωt +a0 − a1σ
ωsin ωt (3.28)
例題３：係数Kのバネで吊り下げられた質量M の微分方程式を求めなさい。
係数Kのバネで吊り下げられた質量M のおもりを考える。バネの変位を x(t)とす
る。ここでは簡単化のために重力加速度を 0と考え，初期条件 x(0) = A，dx
dt(0) = B
とする。
Md2x(t)
dt2+ Kx(t) = 0 (3.29)
Ld2x(t)
dt2 = s2X(s) − sx(0) − d
dtx(0) (3.30)
であるので，
Ms2X(s) − Msx(0) − Md
dtx(0) + KX(s) = 0
Ms2X(s) − MsA − MB + KX(s) = 0
(Ms2 + K)X(s) = MsA + MB
(s2 +K
M)X(s) = sA + B (3.31)
より
X(s) =As + B
s2 +K
M
= As
s2 +K
M
+B√K
M
√K
M
s2 +K
M
(3.32)
ラプラス変換表を用いて両辺を逆ラプラス変換すると，
y(t) =L−1[X(s)] = A cos
√K
Mt + B
√M
Ksin
√K
Mt (3.33)
上式において，たとえば初期速度がB = 0の場合は cos
√K
Mtの持続振動になる。
34
3.3.2 ヘビサイトの方法- D(s)に重根がある場合
方程式D(s) = 0の根が重根の場合は，前章の方法を直接使うことができない。いま F (s)を次のように s = s1が k重根の場合を考える。
F (s) =N(s)
D(s)=
N(s)
(s − s1)k(s − s2) · · · (s − sn)(3.34)
この伝達関数は次のように部分分数展開ができる。
F (s) =N(s)
D(s)=
K1k
(s − s1)k+
K1k−1
(s − s1)k−1+ · · · + K11
(s − s1)
+K2
(s − s2)+ · · · + Kn
(s − sn)
まず，上式に，(s − s1)kを掛けると，
N(s)
D(s)(s − s1)
k = K1k+ K1k−1
(s − s1) + · · · + K11(s − s1)k−1
+(s − s1)k K2
(s − s2)+ · · · + Kn
(s − sn)
ここで，s = s1とおくとK1kが定まる。
N(s)
D(s)(s − s1)
k
∣∣∣∣∣s=s1
= K1k(3.35)
次に，式 (3.35)を sについて微分すると
d
ds
N(s)
D(s)(s − s1)
k
= K1k−1
+ K1k−2(s − s1) + · · · + K11(s − s1)
k−2
+k(s − s1)k−1 K2
(s − s2)+ · · · + Kn
(s − sn)
+(s − s1)k d
ds K2
(s − s2)+ · · · + Kn
(s − sn)
ここで，s − s1とおけば，K1k−1が求まる。
d
ds
N(s)
D(s)(s − s1)
k
∣∣∣∣∣s=s1
= K1k−1(3.36)
順次上記手順を繰り返すことで係数が求まる。
35
例題４：1
s2(Ts + 1)を部分分数展開せよ。
1
s2(Ts + 1)=
K1
s2+
K2
s+
K3
Ts + 1(3.37)
K1 =s2
s2(Ts + 1)
∣∣∣∣∣s=0
= 1
K2 =d
dss2
s2(Ts + 1)
∣∣∣∣∣s=0
=−T
(Ts + 1)2
∣∣∣∣∣s=0
= −T
K3 =Ts + 1
s2(Ts + 1)
∣∣∣∣∣s=− 1
T
= T 2
よって，1
s2(Ts + 1)=
1
s2− T
s+
T 2
Ts + 1(3.38)
36
3.4 ラプラス変換による微分方程式の解法再度ラプラス変換による微分方程式の解法を示す。いま，図 3.2のRC回路を考える。
図 3.2: RC回路
図の回路方程式は，
i(t) = Cdvo
dt(3.39)
Ri(t) = vi(t) − vo(t) (3.40)
である。
RCdv0(t)
dt+ vo(t) = vi(t) (3.41)
両辺をラプラス変換すると，次式を得る。
L[RC
dvo(t)
dt
]+ L[vo(t)] = L[vi(t)] (3.42)
いま，L[vo(t)] = Vo(s)，L[vi(t)] = Vi(s)とおき
L[dvo(t)
dt
]= sVo(s) − vo(0) (3.43)
を代入すると，
(RCsVo(s) − RCvo(0)) + Vo(s) = Vi(s)
Vo(s) =1
RCs + 1Vi(s) +
RC
RCs + 1vo(0)
時間応答 vo(t)を求めるには，上式を逆ラプラス変換して解を得る。
vo(t) = L−1[Vo(t)] = L−1[
1
RCs + 1Vi(s)
]+ L−1
[RC
RCs + 1vo(0)
](3.44)
37
3.5 さまざまな入力に対する出力の計算
3.5.1 単位ステップ入力（vi(t) = u(t)）, 初期値 vo(0) = 0の場合
ステップ入力は Vi(s) = L[vi(t)] =1
sであるので，
vo(t) = L−1[Vo(t)] = L−1[
1
RCs + 1Vi(s)
]+ L−1
[RC
RCs + 1vo(0)
]= L−1
[1
RCs + 1
1
s
]
部分分数展開すると
vo(t) =L−1
[1
(RCs + 1)s
]= L−1
[K1
s
]+ L−1
[K2
RCs + 1
](3.45)
各係数は，ヘビサイドの方法で次のように求まる。
K1 =1s
(RCs + 1)s
∣∣∣∣∣s=0
= 1
K2 =1(RCs + 1)
(RCs + 1)s
∣∣∣∣∣s=− 1
RC
= −RC (3.46)
よって
vo(t) = L−1[K1
s
]+ L−1
[K2
RC
1
s + 1/RC
]
= K1 +K2
RCe−
tRC = 1 − e−
tRC (3.47)
vo(t) v1
t0
v (t) 1図 3.3: 応答波形 vi(t) = u(t), 初期値 vo(0) = 0
38
3.5.2 単位ランプ入力（vi(t) = t）, 初期値 vo(0) = 0の場合
ランプ入力は Vi(s) = L[vi(t)] =1
s2であるので，
vo(t) = L−1[Vo(t)] = L−1[
1
RCs + 1
1
s2
](3.48)
部分分数展開すると
vo(t) =L−1
[1
(RCs + 1)s2
]= L−1
[K1
s2
]+ L−1
[K2
s
]+ L−1
[K3
RCs + 1
](3.49)
各係数は，ヘビサイドの方法で次のように求まる。
K1 =1s2
(RCs + 1)s2
∣∣∣∣∣s=0
= 1
K2 =d
ds
1s2
(RCs + 1)s2
∣∣∣∣∣s=0
=−RC
(RCs + 1)2
∣∣∣∣∣s=0
= −RC
K3 =1(RCs + 1)
(RCs + 1)s2
∣∣∣∣∣s=− 1
RC
= (RC)2 (3.50)
よって
vo(t) = L−1[K1
s2
]+ L−1
[K2
s
]+ L−1
[K3
RCs + 1
]= K1t + K2 +
K3
RCe−
tRC = t − RC + RCe−
tRC
= t − RC(1 − e−t
RC ) (3.51)
vo(t) vo=t
RC
t t0
図 3.4: 応答波形 vi(t) = t, 初期値 vo(0) = 0
39
3.5.3 単位ステップ入力（vi(t) = u(t)）, 初期値 vo(0) = v0の場合
ステップ入力は Vi(s) = L[vi(t)] =1
sであるので，
vo(t) = L−1[Vo(t)] = L−1[
1
RCs + 1
1
s
]+ L−1
[RC
RCs + 1vo(0)
](3.52)
第二項をラプラス逆変換すると
L−1[
RC
RCs + 1vo(0)
]= vo(0)e−
tRC (3.53)
よって，前節の結果を用いて
vo(t) = L−1[K1
s
]+ L−1
[K2
RCs + 1
]+ L−1
[RC
RCs + 1vo(0)
]= K1 +
K2
RCe−
tRC + v0e
− tRC (3.54)
K1 = 1 (3.55)
K2 = −RC
なので，次式を得る。
vo(t) = 1 − e−t
RC + v0e− t
RC
図 3.3と比較すると，v0が初期値になることがわかる。t0
vo(t)1
t0
図 3.5: 応答波形 vi(t) = u(t), 初期値 vo(0) = v0
40
第4回 制御対象のモデル化
制御対象は数学モデルとして模擬できる。モデルを作成する場合のポイントは，動的な微分方程式で記述できるか，静的な係数システムか，あるいは線形モデルで記述できるか，非線形システムかをまず考える必要がある。この授業では，プラントが微分方程式で表されるシステムを扱う。さらに，非線形システムは複雑であるためプラントが線形モデルで記述できる線形微分方程式を扱う。まず，機械系の運動方程式と呼ばれる線形常微分方程式を扱い，多質点系の記述法を示す。次に，アナロジーとして電気回路の回路方程式を示す。さらに，線形常微分方程式で扱うために，非線形系の線形化手法を示す。最後に，これらの運動方程式が平衡点からの変位で記述することで簡便に扱うことができることを示す。
4.1 機械系の運動方程式最も代表的な例として機械システムの要素であるバネ，マス（質量），ダンパ（ダッシュポット）の事例を示す。機械系の微分方程式を求めるにあたり，次の２つの法則が重要になる。
作用と反作用の法則物体Ａと物体Ｂが力を及ぼし合う時，相互に及ぼし合う力の一方を作用と呼び他方を反作用と呼ぶ。作用と反作用は，同時に一直線上で働き，この両作用の大きさは等しく方向は反対である。
重ね合わせの原理二つ以上の原因が同時に作用したとき，その効果が独立に知られていれば，それらが共に作用したときの効果はその作用順序にかかわらず加算的に扱える。
次に，直線運動しているシステムの微分方程式を求めるにあたり，それぞれの機能を図 4.1に示す
41
図 4.1: バネ・マス・ダンパ系
•バネ ——————————————————————
加えた力に比例して長さが変化する理想的なバネを考える。平衡点からの変位を xとすると，次のフックの法則が成り立つ。
F = kx (4.1)
•マス ——————————————————————
mに加える力をF とし，その加速度を xとすると，次のニュートンの法則が成り立つ。
F = mx (4.2)
•ダンパ——————————————————————
ダンパに加える力を F とし，その速度を xとすると次式が成立する。
F = dx (4.3)
ダンパに関しては，上記の特性はその構造に起因する。油圧ダンパの模式図を図 4.2
に示す。内部が油で満たされ，xの方向に押し込まれると油は狭い穴を通り左から右に動く。その結果，左右の圧力は P2，P1となる。ピストンの速度が速くなければ，左から右に流れる油の流量 qは
q =1
Rh
(P2 − P1) (4.4)
となる。ここで，Rhは流体抵抗である。微小時間 dtに移動する油量は qdtであり，ピストンの断面積をAとすると，ピストンが排除した油量はAdxである。
qdt = Adx (4.5)
42
図 4.2: ダンパの構造
よって，
Adx
dt= q =
1
Rh
(P2 − P1) (4.6)
一方ピストンにかかる力は
F = (P2 − P1)A = RhA2dx
dt(4.7)
いまRhA2 = dとおくと
F = dx (4.8)
となる。
4.2 機械系における作用と反作用図 4.3に示す機械系の微分方程式を求める。
図 4.3: 機械系の例
複数の質点の動きを正確に把握するのは一般に困難であるので，系の線形性に注目し重ね合わせの理を用いて微分方程式を求める方法を示す。
43
まず，図 4.3において，質点m2を固定してm1を動かす場合を考える。m1を F の正の方向（右）に動かすと，F に対するバネ，マス，ダンパの反作用力が働く。一方，質点m2を固定するので x2 = 0，x2 = 0，x2 = 0であるが，m1が右に動くことでバネ，ダンパから作用力が働く。
m1を固定してm2を動かす場合，m2を正の方向（右）に動かすと同様に反作用力が働く。一方，質点m1に対してはm2が右に動くことで連結部のバネ，ダンパから作用力が働く。
図 4.4: 各質点にかかる作用と反作用
図 4.4のm1，m2のそれぞれに働く力を合成する。m2を固定してm1を動かす場合，およびm1を固定してm2を動かす場合のm1に働く力を合成すると図 4.5の左図になる。また，m2に働く力の合成結果は右図となる。力の方向に注意してまとめると，次式を得る。
m1x1 + k1x1 + d1x1 = F + k2(x2 − x1) + d3(x2 − x1)
m2x2 + k3x2 + d2x2 = k2(x1 − x2) + d3(x1 − x2)
44
図 4.5: 質点にかかる作用と反作用-合成-
4.3 電気と機械のアナロジー次に電気システムを考える。図 4.6はRLC直列回路である。図の回路方程式は，
di
dtL + Ri +
1
C
∫ t
0idt = vi (4.9)
コンデンサの電荷 q =∫ t
0idtで上式を書き直すと
d2q
dt2L + Rq +
q
C= vi (4.10)
となる。前章の機械系の運動方程式と比較すると，電圧を力，電荷を変位とみなせば電気系も機械系も同じ２階の微分方程式で表すことができ，図 4.7の電気－機械系のアナロジーが成り立つ。
図 4.6: RLC直列回路
アナロジーとは「それらの間の何らかの類似に基づいて適用する認知過程」であり微分方程式の意味で等価となる。図 4.7は電気―機械系の変数の関係を示す。
45
図 4.7: 電気と機械のアナロジー
4.4 線形近似
4.4.1 機械系の微分方程式
図右の単振子の非線形運動方程式はよく知られているように
l2mθ(t) = −lmgsin(θ) + f(t)
で表される。
q
M
qlmgM -=
qsinlmgM -=q
M
vA B
図 4.8: 機械系
上式を θ ≈ 0で線形化すると sin(θ) ≈ θとなり
l2mθ(t) = −lmgθ + f(t)
となる。平衡状態は θ = 0である。図は，M = −lmgsin(θ)の非線形特性とM = −lmgθ
の特性を比較している。原点近傍はよく近似できているが，原点から離れると特性が
46
異なる。元々の非線形の特性とは異なるが，線形近似すると数々の線形代数で学んだ結果を利用できる。線形システムとは，重ね合わせの原理が成立するシステムのことを言い，例えば入力 f1(t)のときの変位が θ1(t)，f2(t)のときの変位が θ2(t)とすると
l2mθ1(t) + lmgθ1(t) = f1(t)
l2mθ2(t) + lmgθ2(t) = f2(t)
l2m(θ1(t) + θ1(t)) + lmg(θ1(t) + θ(t)) = f1(t) + f2(t)
となるとき線形性が成り立っているという。元の非線形方程式では成り立たないことに注意する。
4.4.2 水位系の微分方程式
自然界の系は一般的に非線形であり，線形微分方程式で直接扱うことができない。そのような系は線形系に近似することにより，微分方程式で記述できる。本節では，図4.9に示す水位系（タンク系）を用いて線形近似の方法を示す。図において，水位が h，流入水量が qi，流出水量が qoである。また，qは qの平衡状態であり，∆は微小変位を意味する。
図 4.9: 水位系
ベルヌイの定理より，流出速度 v =√
2ghなので，定常状態の排出量は
qo = k√
2gh (4.11)
となる。上式は水位が高いと排出量も大きくなる。なお，gは重力加速度である。
47
ベルヌイの定理ベルヌイの定理は，流れに沿って成り立つ流体におけるエネルギー保存則であ
る。P +1
2ρv2 + ρgz = const[Pa] ここで，P は圧力，ρは密度，zは高さ，vは
流速である。図の水位系の場合，2つの状態間で位置エネルギーがすべて流体
の流速になったとすると，ρgz =1
2ρv2より，v =
√2gzを得る。
平衡状態 hから水位が∆h上昇したとすると流量が変化する。
q =qo + ∆qo = k√
2g(h + ∆h) (4.12)
となる。q(∆h) = qo + ∆qoとおき整理すると
q(∆h) =k√
2g(h + ∆h) = k√
2gh
√1 +
∆h
h= qo
√1 +
∆h
h(4.13)
aまわりでのテーラ展開は
q(∆h) = q(a) + q′(a)(∆h − a) + · · · + q(n)(a)
n!(∆h − a)n (4.14)
q(∆h′) = q0
(1 +
∆h′
h
) 12
，よって∆h′ = 0のとき q(0) = q0
q′(∆h′) =1
2
q0
h
(1 +
∆h′
h
)− 12
，よって∆h′ = 0のとき q′(0) =q0
2h
以上より，a = 0でのマクローリン展開は
q(∆h) =q0 +q0
2h∆h + · · · (4.15)
2次以上の高次項を無視し，流体抵抗をRで記述し1
R=
q0
2hすると，
q(∆h) = q0 +1
R∆h = q0 + ∆q0 (4.16)
となる。水の増分，流入，流出に関して
S∆h + ∆q0∆t = S∆h +1
R∆h∆t = ∆qi∆t (4.17)
が成り立つ。よって次の微分方程式を得る。
Sd∆h
dt+
1
R∆h = ∆qi (4.18)
図 4.9右図に線形化の原理を示す。曲線がベルヌイの定理により得られる特性であり，（h，qo）の平衡状態からの増分が線形で近似される。
48
4.5 重力の影響図 4.10に示すようにばねで吊り下げられた質量mを考える。重力 gを考慮して微分方程式で表現すると，
mx + kx = f + mg (4.19)
となる。上式において，f = 0で x0でつりあった状態であるとすると，mg = kx0が成り立つ。
∆x = x − x0を考えると，前式に x = ∆x + x0を代入し（x0で釣合っているためx = ∆x）
m∆x + k(∆x + x0) = f + mg
= f + kx0
m∆x + k∆x = f (4.20)
となり，平衡点からの変位で微分方程式を記述することで微分方程式から定常項 (mg)
を排除することができる。したがって以降，本講義では通常は平衡点からの変位を考えることとし，重力項を無視する。
図 4.10: 重力の影響
49
第5回 伝達関数とその定義
ある要素の出力は，その要素の性質と入力によって定まるが，入力信号が変わっても，入力信号と出力信号の関係を一義的に表現できる方法があれば都合がよい。本章では，入出力信号の関係を一義的に表現できる伝達関数について説明する。伝達関数は，ステムへの入力を出力に変換する関数であり，すべての初期値を 0 とおいたときの制御系の出力と入力のラプラス変換の比で表される。この概念は，電気回路，電力，音声，画像など実際の装置・事象を模擬する時に有益な手法である。
5.1 伝達関数の特徴図 5.1のRC回路を考える。
図 5.1: RC回路
図の回路方程式は，
i(t) = Cdv(t)
dt(5.1)
Ri(t) = vi(t) − vo(t) (5.2)
であり，その時間応答は
vo(t) = L−1[Vo(s)] = L−1[
1
RCs + 1Vi(s)
]+ L−1
[RC
RCs + 1vo(0)
](5.3)
となる。
50
ここで，入力がステップ，ランプ入力の際の出力を求める。
• vi(t) = u(t), 初期値 vo(0) = 0の場合 ステップ入力は Vi(s) = L[u(t)] =1
sである
ので，vo(t) = 1 − e−
tRC (5.4)
• vi(t) = t, 初期値 vo(0) = 0の場合 ランプ入力は Vi(s) = L[u(t)] =1
s2であるので，
vo(t) = t − RC + RCe−t
RC = t − RC(1 − e−t
RC ) (5.5)
この場合，vo(t)
vi(t)を計算すると，入力により比が異なることから，時間領域の入力信
号と出力信号の比でその特性を記述することができない。なお，出力は式 (3.47)，(3.51)
で導出している。
式 (5.2)のラプラス変換に注目すると
RCsVo(s) + Vo(s) = Vi(s) + RCvo(0)
Vo(s) =1
RCs + 1Vi(s) +
RC
RCs + 1vo(0)
となり，vo(0) = 0の場合は，入力と出力の比をとると，次式が成立する。
Vo(s)
Vi(s)=
1
RCs + 1(5.6)
上式は sの関数であるが，その比は回路パラメータのRと Cからなり，どんな Vi(s)
に対してもその比は変わらない。このように入力信号のラプラス変換と出力信号のラプラス変換の比をとると，入力のタイプや大きさにかかわらない sの多項式となり，その要素に特有のパラメータを含む関数となる。
このように，すべての初期値を 0とした場合の入力信号のラプラス変換と出力信号のラプラス変換の比を「伝達関数」といい次式が成り立つ。
L[出力信号] =伝達関数G × L[入力信号] (5.7)
51
また，このように伝達関数が一定の比で記述できることから，要素の縦接が簡単な積で記述できることになり，接続関係の処理が容易という特徴もあり，次節の畳み込み積分の項で明らかにする。伝達関数の特徴は次の３つである。
(1)入出力に依存しない
(2)固有の性質を表している
(3)接続関係の処理が容易
G(s) = Vo(s)Vi(s)
= 1RCs+1
の伝達関数を使って解説する。「入出力に依存しない」というのは，入力信号に依存しないことを意味してる。単に，入力の比を取ってるというわけでもない。例えば，インパルス応答やステップ応答など信号のクラスが変わっても伝達関数は不変である。「 固有の性質を表している」とは，RやCなど伝達関数のパラメータを反映しており，扱いやすい構造であるということである。「 接続関係の処理が容易」とはカスケード接続しやすいということである。伝達関数がG1(s)，G2(s)
の時系の伝達関数はG1(s)G2(s)となり接続計算が易しい。1
5.2 初期値の扱いすべての初期値を 0とした場合の入力信号のラプラス変換と出力信号のラプラス変換の比を「伝達関数」と定義したが，初期値がある場合はどのようになるのであろうか。
vo(0) = 0の際には，例えば上節の例において
RCsVo(s) + Vo(s) = Vi(s) + RCvo(0) (5.8)
となる。これは，コンデンサ内に初期電荷があり t = 0で蓄積エネルギーがあることに相当する。初期値があると入力エネルギーがなくとも出力がでるのでその関係が一義にきまらない。従って，「伝達関数は初期値 0」を考える。
初期値 vo(0)がある場合はこれに基づいて出力信号にRC
RCs + 1vo(0) が加わる。いま，
1
RCs + 1が伝達関数なので，その入力はRCvo(0)と見なせる。
vo(0) = 0の際には，入力が Vi(s)から Vi(s) + RCvo(0)に変わったと考え，次式で記述する。
Vo(s) =1
RCs + 1(Vi(s) + RCvo(0)) (5.9)
これから，伝達関数は変わらず初期値は入力のバイアスとしてとらえればよい。
1カスケード：次々と接続すること。
52
5.3 伝達関数の導出の手順伝達関数の導出法をまとめる。
(1) 対象を微分方程式で記述する。
(2) すべての初期値を０とし，入力信号・出力信号以外の変数を消去する。
(3) 伝達関数 =L[出力信号]
L[入力信号]で伝達関数を求める。
例題１図 5.2のバネ・マス・ダンパ系の伝達関数を求めよ
Mf
xK
D
図 5.2: 例題
Mx(t) = −Dx(t) − Kx(t) + f (5.10)
全ての初期値を 0として，ラプラス変換すると
s2MX(s) + sDX(s) + KX(s) = F (s) (5.11)
ただし，L(x(t)) = X(s),L(f(t)) = F (s)である。整理すると
G(s) =X(s)
F (s)=
1
Ms2 + Ds + k(5.12)
53
第6回 時間領域の伝達関数の計算―畳み込み積分
畳み込み積分（convolution）とは 2つの異なる関数 f と gにおいて，関数 f を平行移動しながら関数 g を重ね足し合わせる二項演算である。回路のインパルス応答は簡単な実験ですぐにわかるが，あらゆる入力信号に対する応答関数がこの「畳み込み」で計算できる。入力信号を x(t)，出力を y(t)とすると，伝達関数はG(s)と表され Y (s) = G(s)X(s)
と書ける。伝達関数の Y (s) = G(s)U(s)は実際 g(t)と u(t)を畳み込み積分している。ここでは，演算のための畳み込み積分を理解し，色々な入力に対して応答波形がどうなるのかを計算によって求め，理解する。
6.1 時間領域での要素G(s)の応答計算強制入力が単位インパルスで与えられる場合の応答波形を示す。単位インパルス応答とは δ(t)が印可された波形であるが，その特徴から様々な分析に利用される。畳み
G x(t) y(t)
t
g(t) x(t)
t t
y(t)
G x(t) y(t)
t
g(t) x(t)
t t
y(t)
d
図 6.1: 畳み込み積分
込み積分とは 2つの異なる関数 x(t)と g(t)において，関数 x(t) を平行移動しながら関
54
数 g(t) を重ね足し合わせる二項演算である。1図 fig:10-1a上の例を見れば，2つの矩形波の積分の例である。下図は，x(t)をデルタ関数とした場合で，その計算結果は g(t)となる。インパルス応答 g(t)は簡単な実験な実験（例えばハンマーでたたく）でわかる。インパルス応答のラプラス変換はL[δ(t)] = 1であるので，ある要素Gのインパルス応答は
g(t) = L−1[G(s)L[δ(t)]] = L−1[G(s)] (6.1)
となる。このことから，要素G(s)のインパルス応答g(t)は，その要素の 伝達関数の逆ラプラス変換となる。この意味で，「伝達関数G(s)はインパルス応答 g(t)のラプラス変換である」と考えてもよい。次に任意の入力信号 x(t)に対する出力信号 y(t)を考える。入力信号 x(t)を，図 6.2
に示すように幅∆tの微小の矩形パルスに区切る。
図 6.2: 任意の入力の畳み込み積分
時刻 τ = n∆tにおけるインパルス応答は，大きさが入力量 x(τ)，∆tに比例したインパルス応答になるが，その出力は τ 時刻ずれる。よって１つの矩形パルスによるインパルス応答は次式で表される。
x(τ)∆tg(t − τ) (6.2)
全体の出力 y(t)はこれらの信号が全入力矩形パルスに対応した出力の和となることから
y(t) =∑n
x(τ)∆tg(t − τ) (6.3)
となる。さらに，矩形パルスの幅を∆t → 0とすることで，
y(t) = lim∆t→0
∑n
x(τ)∆tg(t − τ)
=∫ t
0x(τ)g(t − τ)dτ (6.4)
あるいは τ ′ = t − τ とおくと次式を得る。
1二項演算とは数の四則演算などの二つの数から新たな数を決定する規則を一般化した概念である。
55
y(t) =∫ 0
tx(t − τ ′)g(τ ′)d(−τ ′) (6.5)
=∫ t
0x(t − τ ′)g(τ ′)dτ ′ (6.6)
得られた積分計算は，畳み込み積分と呼ばれ，時間領域での応答計算を行う際に利用される。
例題１
g(t) = L−1
[1
s + α
]= e−αtとし，単位ステップ入力 u(t)に対する y(t)の応答 (t ≥ 0)を
定義式に基づいて求めなさい。
y(t) =∫ t
0x(τ)g(t − τ)dτ
=∫ t
0e−α(t−τ)dτ = e−αt
∫ t
0eατdτ = e−αt
[1
αeατ
]t0
= e−αt 1
α
[eαt − 1
]=
1
α
[1 − e−αt
]
1)(tu )(ty
α+s
1)(tu
図 6.3: 単位ステップ入力に対する応答
56
6.2 矩形波による畳み込み積分一般的な連続関数の場合は，比較的容易に畳み込み積分ができるが，図 6.4に示すような入力が 1つの関数で与えられない場合は計算が複雑となる。そこで，本節では２つの方法による積分例を示す。
図 6.4: 入力および要素のインパルス応答
6.2.1 ラプラス変換に基づく方法
ラプラス変換を適用する場合は，図 6.4を複数の連続関数の和により表現する必要がある。図 6.5にステップ関数による分解波形を示す。例えば g(t)は，赤，青，緑のス
図 6.5: 入力および要素のインパルス応答の分解
テップ関数をシフトした関数の「和」で計算される。なお，分解される波形は積分しやすい波形が便利である。
57
いま，g(t)および f(t)はそれぞれ次式で記述できる。
g(t) = u(t) − u(t − 1) (6.7)
f(t) = u(t) − 3u(t − 1) + 2u(t − 2) (6.8)
なお，u(t − 1)は時刻 t = 1で 1となる時間シフト波形である。上式をラプラス変換すると，
G(s) =1
s− 1
se−s =
1
s[1 − e−s] (6.9)
F (s) =1
s− 3
se−s +
2
se−2s =
1
s[1 − 3e−s + 2e−2s] (6.10)
Y (s) = G(s)F (s) =1
s[1 − e−s]
1
s[1 − 3e−s + 2e−2s]
=1
s2[1 − e−s][1 − 3e−s + 2e−2s]
=1
s2[1 − 4e−s + 5e−2s − 2e−3s] (6.11)
上式を逆ラプラス変換し y(t)を得る。
y(t) = L−1[Y (s)] = t − 4(t − 1)u(t − 1) + 5(t − 2)u(t − 2) − 2(t − 3)u(t − 3)
=
t 0 ≤ t < 1
−3t + 4 1 ≤ t < 2
2t − 6 2 ≤ t < 3
0 3 ≤ t
(6.12)
1
)(ty
t0 1 2 3
-1
-2
図 6.6: 応答波形
58
6.2.2 畳み込み積分の定義式に基づく方法
畳み込み積分は次の定義式で与えられる。
y(t) =∫ t
0x(τ)g(t − τ)dτ (6.13)
それぞれの関数は，図 6.5より
f(τ) =
0 τ < 0
1 0 ≤ τ < 1
−2 1 ≤ τ < 2
0 2 ≤ τ
(6.14)
また
g(t′) =
0 t′ < 0
1 0 ≤ t′ < 1
0 1 ≤ t′(6.15)
である。g(t − τ)は図 6.7に示すように，横軸 τ で表される。
g(t − τ) =
0 t < τ
1 t − 1 < τ ≤ t
0 τ ≤ t − 1
(6.16)
時間軸は，t′ < 0より t − τ < 0となり，整理して t < τ を得る。他方，1 ≤ t′よりτ ≤ t − 1を得る。同様に代入して，0 ≤ t′ < 1は t − 1 < τ ≤ tとなる。式 (6.16)を図示すると図 6.7となる。なお，図は g(t′)を直接記述したものではなく，τ が大きくなると tが大きくなり τ に関しては時間軸が反転している点に注意が必要である。
図 6.7: g(t − τ)の波形
以下，tの領域ごとに畳み込み積分を行う。なお，それぞれの領域での両信号の関係を図 6.8 に示す。
59
• 0 ≤ t < 1のとき
y(t) =∫ t
01 · 1dτ = t (6.17)
• 1 ≤ t < 2のとき
y(t) =∫ t−1
00 · 1dτ +
∫ 1
t−11 · 1dτ +
∫ t
11 · (−2)dτ
= 0 + [t]1t−1 − 2 [t]t1 = [1 − (t − 1)] − 2[t − 1]
= −3t + 4 (6.18)
• 2 ≤ t < 3のとき
y(t) =∫ 1
00 · 1dτ +
∫ t−1
10 · (−2)dτ
+∫ 2
t−11 · (−2)dτ +
∫ t
21 · 0dτ
= 0 + 0 − 2 [t]2t−1 + 0 = −2[2 − (t − 1)]
= 2t − 6 (6.19)
• 3 ≤ tのとき
y(t) =∫ 1
00 · 1dτ +
∫ 2
10 · (−2)dτ +
∫ t−1
20 · 0dτ
+∫ 3
t−11 · 0dτ +
∫ t
31 · 0dτ = 0
(6.20)
以上を整理すると，式 (6.12)と同じ解を得る。
y(t) =
t 0 ≤ t < 1
−3t + 4 1 ≤ t < 2
2t − 6 2 ≤ t < 3
0 3 ≤ t
(6.21)
60
図 6.8: 各領域での波形
6.3 s領域での畳み込み積分式 (6.6)に示す畳み込み積分がラプラス変換ではどのような表現になるのであろうか。定義式に代入すると，∫ ∞
0y(t)e−stdt =
∫ ∞
0
[∫ ∞
0x(τ)g(t − τ)dτ
]e−stdt
=∫ ∞
0x(τ)
[∫ ∞
0g(t − τ)e−stdt
]dτ
ここで，t = t′ + τ とすると∫ ∞
0y(t)e−stdt =
∫ ∞
0x(τ)
[∫ ∞
−τg(t′)e−st′dt′
]e−sτdτ
=∫ ∞
0x(τ)
[∫ ∞
0g(t′)e−st′dt′
]e−sτdτ
=∫ ∞
0x(τ)e−sτdτ
∫ ∞
0g(t′)e−st′dt′
G(s) =∫ ∞
0g(τ)e−sτdτ
X(s) =∫ ∞
0x(τ)e−sτdτ
61
Y (s) =∫ ∞
0y(τ)e−sτdτ
とおく。まとめると，上式は
Y (s) = X(s)G(s) (6.22)
となり，時間領域の畳み込み積分は s領域では伝達関数の積となる。
L[x(t) ∗ g(t)] = X(s)G(s) (6.23)
なお，”*”は畳み込み積分記号である。上式において，ラプラス変換の縦続接続（s領域でかけること）は，畳み込み積分をすることになる。すなわち，畳み込み積分はインパルス応答で示したように短冊型の応答波形を計算していることになる。たとえば，図 6.9の場合は次の関係となる。s領域の伝達関数へ変換することで演算が簡単になりブロックの結合や合成も簡単に行える。
F2(s) = G1(s)F1(s)
Y (s) = G2(s)F2(s)
Y (s) = G2(s)G1(s)F1(s)
図 6.9: 伝達関数の縦続接続
ラプラス変換演算のまとめは以下のようになる。
正しい： L[f1(t) ∗ f2(t)] = F1(s)F2(s)
間違い： L[f1(t)f2(t)] = F1(s)F2(s) (6.24)
であり，時間関数だけで演算するには，伝達関数の積（応答計算）は時間関数を畳み込む作業が毎回必要となる。この作業は複雑なため，F1(s)F2(s)だけですむように s空間へ変換するのである。
62
第7回 微分方程式とブロック線図
システムのモデルとして伝達関数が使用されるとき，その構成を記述するためにブロック線図が使用される。ブロック線図は，システム内における信号の流れを表している。例えば，電気回路図と似ているが，回路図は実際の電流の流れを表している。それに対し，ブロック線図は位置や速度などの信号の流れのみに着目し表現している点が新しい。ブロック線図は信号の流れに注目するので，今までの微分方程式はブロック線図で表現ができる。すると，微分方程式をまとめていく作業が，ブロック線図の変換で図式的に扱うことが出来る。そして，一個一個が伝達関数（エレメント）で表され，それら要素の結合がコントローラなどの機能を発揮する。まず，微分方程式の関連から，「微分方程式を素直に表現するとどうなるか」について示し，次に分析の観点から等価変換を示し，複雑なブロック線図を伝達関数で表現する方法について考える。
7.1 微分方程式をブロック線図に変換するブロック線図は，それぞれの伝達要素をブロックで囲み，矢印で信号の流れを記載したもので，次の手順で記載される。
(1)伝達要素をブロックで囲み，伝達関数を書き込む。
(2)入力，出力，信号を矢印で表し信号の記号を加える。なお，矢印方向にしか信号は伝わらない。
(3)加え合わせ点，引き出し点の記法を図 7.1に示す。
図 7.2に示す機械系をブロック線図に変換する。まず，機械系の微分方程式は
Ms2X(s) = −KX(s) − DsX(s) + F (s) (7.1)
となる。上記をブロック線図で記述する。入力が F (s)であり出力がX(s)である。入力 F (s)
がKX(s)+DsX(s)だけ減算されている。左辺をX(s)としてまとめると，右辺に1
Ms2
63
図 7.1: 加え合わせ点，引き出し点の記法
を掛けることになる。つまり，この伝達関数には積分器 2個が現れる。エネルギーの出し入れを忠実にブロック線図で表した物を図 7.3に示す。また，この結果を伝達関数で表すと簡便になるが，図 7.3に書いた内部構造はどの様な結合（内部変数）かわからなくなる点に注意する。
X(s)
F (s)=
1
Ms2 + Ds + K(7.2)
M
f
x
D K
M
f
KxxD xM
図 7.2: 機械系の例
)(sF+
−
)(sXs
2
1
Ms
Ds
+
−
K
図 7.3: 機械系のブロック線図
64
)(sV +
F(s) X(s)
図 7.4: 機械系のブロック線図 (伝達関数)
例題 1
図 7.5に示す電気回路を微分方程式で記述せよ。
1R
1Ci
v ov
2C
2R
1i 2
i1v
図 7.5: 電気回路の例
C1の両端電圧を V1(s)とおくと，
V1(s) = Vi(s) − R1[I1(s) + I2(s)]
Vo(s) = V1(s) − R2I2(s)
V1(s) =I1(s)
sC1
Vo(s) =I2(s)
sC2
を得る。入力が Vi(s)，出力が Vo(s)である。I2 = sC2Vo(s)が図の下にフィードバックされ，
Vo = V1(s) − R2I2(s)が右側加算点の値となる。I1(s)+I2(s)により，V1(s) = Vi(s) − R1[I1(s) + I2(s)]
を計算し，左側の加算点となる。上記をブロック線図で記述すると図 7.6となる。このように，微分方程式をブロック線図に変換すると，抵抗やコンデンサなどの各機能要素の結合で表される。
65
)(sVi
)(sV+)(sVi
−
)(sVo
)(2 ssC1sC
+
−
1R 2R
+
+
211
+
2
2I1I
図 7.6: 電気系のブロック線図
7.2 ブロック線図の等価変換ブロック線図を変形して一つの伝達関数で記述するためには，(a)代数計算よりまとめる (b)等価変換で図的にまとめる，という２つの方法がある。制御工学に慣れれば(a)が簡便であるが，等価的にどういう制御法があるかを学ぶことは価値がある。制御工学第一ではことわりのない限り等価変換では (b)を使うことにする。試験では注意すること。ブロック線図の基本結合は，次の４つに分けられる。
(a)直列結合
(b)並列結合
(c)フィードバック結合
(d)加え合わせ点の結合・分離・移動
7.2.1 直列結合
G1，G2の２つのブロックの直列接合は，伝達関数の性質よりG1(s)G2(s)となる。
図 7.7: 直列結合
66
7.2.2 並列結合
G1，G2の２つのブロックへの入力をU1(s)，U2(s)，出力を Y1(s)，Y2(s)とすると，
Y1(s) = G1(s)U1(s)
Y2(s) = G2(s)U2(s)
となることから，
図 7.8: 並列結合
67
例えば U1(s) = U2(s)の場合は
Y (s) =Y1(s) + Y2(s) = [G1(s) + G2(s)]U(s) (7.3)
となり (図 7.8の 3番目)，G1(s) = G2(s) = G(s)のときは
Y (s) =Y1(s) + Y2(s) = G(s)[U1(s) + U2(s)] (7.4)
となる (図 7.8の 1番目)。
7.2.3 フィードバック結合
フィードバック結合においては，G(s)の入力をE(s)とすると
E(s) = U(s) − H(s)Y (s)
Y (s) = G(s)E(s)
なので，次式を得る。Y (s)
U(s)=
G(s)
1 + G(s)H(s)(7.5)
分子が伝達項，分母は一巡伝達関数になり，例えばH(s) = 0ならG(s)となる。
図 7.9: フィードバック結合
7.2.4 加え合わせ点の結合，分離・移動
ブロック線図の簡略化においては，加え合わせ点の分離・移動が最も重要である。簡略化は複数の要素を１つのブロックで表すことを目的としているので，簡略化したいブロックの内部に引き出し点や加え合わせ点を内包することができない。例えばフィードバック結合による簡略化を行う際には，フィードバックループ内から引き出し点，加え合わせ点を事前に移動してから簡略化しなければならない。図 7.10は加え合わせ点（減算，加算）の移動例である。この加え合わせ点の移動例を用いて簡略化の手法を示す。図 7.11左のブロック線図を簡略化する場合，2つの方法があることに気づく。１つは，フィードバック結合をまとめ，直列結合を解き簡略化する方法。もう１つは加え合わせ点を移動後，フィードバック結合を解き簡略化する方法である。
68
図 7.10: 加え合わせ点の結合・分離・移動
)(1 sG )(2 sGu
y
)(1 sH
)('1 sG )(2 sG yu+
−
)(1 sG )(2 sGu
y
)(1 sH
+
−
)(/1 2 sG
図 7.11: 加え合わせ点の移動
例題２与えられたブロック線図を簡略化しなさい（１つの伝達関数で表しなさい)。
−
)(2 sG
+)(3 sG
)(1 sH
)(3 sH
)(2 sH
)(1 sG
++
−−
図 7.12: 例題：ブロック線図
69
図 7.13にブロック線図の簡略化の手順を示す。まず，引き出し点を移動し，フィードバック結合による簡略化が適用できるようにする。青点線の部分を簡略化し，順次フィードバック結合を繰り返すことで簡略化できる。
図 7.13: ブロック線図の簡略化例題
70
第8回 伝達関数の一般形と要素
前章では，微分方程式はブロック線図により記述できることを示した。ブロック線図の要素一個一個は，微分方程式の式の各要素から構成されることを示した。本章では，伝達関数の基本要素について考察し，各ブロックの代表的な要素を例示する。
8.1 伝達関数の一般系代表的な入力としてインパルス関数 δ(t)，ステップ関数 u(t)，ランプ関数 t(t)がある。これらの入力が，伝達関数G(s)の要素に入力されるとそれぞれの出力は
g(t) = L−1 [G(s)1] (8.1)
f(t) = L−1[G(s)
1
s
](8.2)
h(t) = L−1[G(s)
1
s2
](8.3)
となり，g(t)，f(t)，h(t)をそれぞれ，インパルス応答，インディシャル（ステップ）応答，ランプ応答と呼ぶ。各応答に対し，伝達関数の一般系はどう示されるだろうか。伝達関数は，sに関する有理関数で表される。
G(s) =N(s)
D(s)=
b0sm + b1s
m−1 + · · · + bm
sn + a1sn−1 + · · · + an
e−Ls
=Ksp∏np1
i=1(1 + Tis)∏np2
i=1 1(s2 + 2ωiξis + ω2i ) · · ·
sl∏jl1
j=1(1 + Tjs)∏nl2
j=1(s2 + 2ωjξjs + ω2
j ) · · ·e−Ls (8.4)
伝達関数の基本要素として， K, s ,1
s,
1
1 + Ts, 1
s2+2ωξs+ω2 およびむだ時間 e−Lsが
ある。ほかにも n次系があるが次数が高いと最終的に低次で近似できるし，高次微分は実際のシステムで理想微分は存在せず微分方程式の要素として現実には希である。これらの伝達関数の出力の計算は，各要素に任意の信号を入力したものであるが，それぞれの要素に関して物理的な挙動とともに以下に詳説する。
71
8.2 伝達関数の要素
8.2.1 比例要素
図 8.1に歯車の例を示す。左側の歯車の歯数と回転速度をそれぞれNAおよび θA，右側の歯車の歯数と回転速度をそれぞれNBおよび θBとすると，θAを入力として θBは
θB =NA
NB
θA (8.5)
で表すことができる。NA
NB
は定数となることから，このような要素を比例要素と呼ぶ。
電気系の場合，抵抗の分圧比などがそれに相当する。
図 8.1: 比例要素
8.2.2 積分要素
図 8.2にタンクに水を充填する例を示す。水の底面積をA，高さを h(t)とすると，体積は V (t) = Ah(t)で求まるので，
Ah(t) =∫ t
0u(t)dt (8.6)
となる。両辺を初期値 0でラプラス変換すると，伝達関数は
H(s)
U(s)=
1
As(8.7)
となり，積分要素1
sを有する系となる。電気系では，コンデンサ
1
Csなどが相当する。
72
図 8.2: 積分要素
q0+u
ho+h
hR
sA1
1
+
)(sH)(sU
A
)(sH)(
qo+y
図 8.3: 一次遅れ要素 1
8.2.3 一次遅れ要素
図 8.3に穴の開いたタンクに水を充填する例を示す。ある高さ h0で，流入推量と出
力水量 q0が平衡するものとする。流出水量は流量抵抗Rh =2h0
q0
を用いて y =1
Rh
h(t)
で表される。よって微分方程式は
dh
dtA = u(t) − 1
Rh
h(t) (8.8)
となる。初期値 0でラプラス変換すると，伝達関数は
sAH(s) = U(s) − 1
Rh
H(s)
sA +1
Rh
H(s) = U(s)
H(s)
U(s)=
1
sA + 1Rh
(8.9)
となる。上記のように分母多項式が sに関する１次となる要素を１次遅れ系と呼ぶ。
73
図 8.4はバネダンパ系の一次遅れ系である。図は車両のサスペンションの模式図である。バネの変位を x(t)，出力変位を y(t)とすると，
K(x(t) − y(t)) = Ddy
dt
より y(0) = 0として
G(s) =Y (s)
X(s)=
K
K + Ds
の一次系で記述できる。v
A B
K
D
y
x
図 8.4: 一次遅れ要素 2
8.2.4 微分要素
図 8.5に示すように，磁気的に結合された 2つの巻線の一方の電流を変化させるともう一方の巻線に誘導起電力を生じる。
図 8.5: 微分要素 1
このとき v2(t)と i1(t)には次式の関係が成り立つ．
v2(t) = −Mdi1dt
(8.10)
74
なお，M は相互インダクタンスである。電気系では，コイルに発生する電圧Lsなどが相当する。機械系の例として図 8.6にダンパを示す。
f(t) = Ddx
dt
となる。ダンパは急激な運動では抵抗となり，ゆっくりした動作の抵抗は少ない。注射器の動作でイメージでくると思う。
oil
D
f dt
dxD
図 8.6: 微分要素 2
実際に，我々の周りに微分要素はあるように思えるが，理想的な微分は存在しない。例えば，周波数を大きくするとどこかで飽和し，微分動作をしない。実際は微分器を疑似微分で置き換えるが，その際は低周波の微分要素（微分と高周波の一定ゲイン）となる。
8.2.5 二次遅れ要素
図 8.7にバネ・マス・ダンパ系を示す。
KD
M
KD
KDsMs ++2
1
)(sX)(sF
fx
)(sX)(
)(sH)(U )(sH)(
図 8.7: 二次遅れ系
75
図において
Md2x(t)
dt2+ D
dx(t)
dt+ Kx(t) = f(t) (8.11)
となる。初期値 0でラプラス変換して整理すると，伝達関数は
X(s)
F (s)=
1
Ms2 + Ds + K(8.12)
となる。上記のように分母多項式が sに関する 2次となる要素を 2次遅れ系と呼ぶ。物体の運動では質量を有するので，理想的には 2次系のバネ・マス・ダンパ系となる。実際の物体では質量分布のために分布定数系となり，細かくモデリングすると次数は高くなる。
8.2.6 むだ時間
図 8.8のベルトコンベアにおいて，供給点から出力点までに要する時間はL
vとなる
ことから
y(t) =
0, t < L
v
u(t − Lv), L
v≥ t
(8.13)
となる。両辺をラプラス変換すると
Y (s）U(s)
= e−Lv
s (8.14)
となる。
l
vA B
図 8.8: むだ時間系
76
同図は，製鉄所のローラの模式図である。Aの厚みの金属をBの厚みに圧延する。温度が高い銑鉄の付近では高価な厚みセンサは配置できない。また，歪みの計測のため平温付近で計測するため何十メートルも離れたことで計測するのが普通である。むだ時間系は身近な要素であり，例えば計算機の計算遅れ（むだ時間）などがある。むだ時間があると，一般に安定性が悪くなるため設計の際には重要な要素である。
77
第9回 基本的な伝達関数の過渡応答
代表的な入力として，デルタ関数を印加した場合の応答であるインパルス応答，ステップ入力を印加した際の出力であるインディシャル応答，ランプ入力を印加した際の応答であるランプ応答がある。本章では，各入力における応答波形を求めるにあたり，代表的な積分，１次遅れ，2
次遅れ要素に対する過渡応答を示す。なお，解析に際しては，初期値は 0として応答を計算する。
9.1 積分器の過渡応答積分器の過渡応答は以下の様に各基本信号を積分した応答になる。•インパルス応答
f(t) = L−1[K
s× 1
] = K (9.1)
•インディシャル応答
g(t) = L−1[K
s× 1
s
] = Kt (9.2)
•ランプ応答
h(t) = L−1[K
s× 1
s2
] =
Kt2
2(9.3)
9.2 一次遅れ要素の過渡応答一次遅れの過渡応答はL変換で求めることができる。•インパルス応答
f(t) =L−1[
K
Ts + 1· 1]
= L−1
[K/T
s + 1/T
] =
K
Te−
tT (9.4)
78
!"#$%& !'()*#%& +!,%&
u(t) u(t) y(t)
!
0 t
( )
y(t)
0 t
( )
y(t)
0 t
y( )
y(t)
!
0 t
y(t)
0 t
y(t)
0 t
y(t)
図 9.1: 積分器の過渡応答
•インディシャル応答
g(t) =L−1[
K
Ts + 1· 1
s
] = L−1
[K0
s
]+ L−1
[K1
s + 1/T
](9.5)
ヘビサイトの方法により，K0 = K，K1 = −Kより
g(t) = K(1 − e−tT ) (9.6)
•ランプ応答
h(t) =L−1[
K
Ts + 1· 1
s2
] = K
[t − T (1 − e−
tT )]
(9.7)
上式の導出は，式 (3.47)～(3.51)に詳細に記載している。一次遅れ系のステップ応答波形に関して詳説する。図 9.2左に積分系と一次遅れ系のステップ応答の比較を示す。一次遅れ系は，t → ∞において一定値に収束する。このような性質を自己平衡性と呼びそのような系を定位系と呼ぶ。これに対して積分器の場合は，t → ∞にて一定値に収束せず，このような系は非定位系と呼ぶ。
79
y(t)K
63.2%
y(t)
s
1 !"#
tT
K/T
t
Ts+1
1!"#
T
図 9.2: 一次遅れ系の応答
図 9.2右図の定位応答（一次系）の計算を行う。一次系の伝達関数から次式を得る。
Y (s) =K
Ts + 1U(s) (9.8)
上式より，初期速度を考える．
sY (s) =1
T−Y (s) + KU(s) (9.9)
となり，t = 0での傾き（速度）は u(0)が 1のとき
dy(t)
dt|t=0 =
K
T(9.10)
となる。また，ステップ応答の定常値は式 (9.6)より
y(∞) = limt→∞
K(1 − e−tT ) = K (9.11)
一次遅れ系において t = 0での傾きがK
Tとなることから，T は時定数と呼ばれ一次遅
れ系の応答速度を意味している。また，Kは t = ∞ でのゲインであり定常ゲインと呼ばれる。
80
時定数とは時定数とは、システムの応答の速さを表す一つの指標で，記号は τ や T で単位は s[sec]で表される。例えば，抵抗 (R)とコンデンサ (C) を直列につないだ回路では RC が時定数(τ)となる。
時定数 (τ)＝R(Ω) × C(F )
これが大きいと回路の応答が遅く，逆に小さいと回路の応答が速い。逆に，未知の波形を1次系で近似したときに時定数を求める。v(t) = E(1−e−
tRC )
であるので，τ = RCとすると，v(τ) = E(1 − e−τ
RC ) = E(1 − e−1) ≈ 0.632E
となり，時定数は「0.632になる時間」で求めることが出来る。
9.3 二次遅れ要素の過渡応答二次遅れ要素
G(s) =K
s2 + as + b=
ω2n
s2 + 2ωnζs + ω2n
(9.12)
を考える。分母多項式は，
s2 + 2ωnζs + ω2n = (s − s1)(s − s2) (9.13)
となり，係数 s1，s2のパラメータにより，次の３つのケースが考えられる。
(1)ζ = 1のとき：このとき s1 = s2となり実の重根となる。
s2 + 2ωnζs + ω2n = (s + ωn)2 (9.14)
(2)ζ > 1のとき：解の公式より，
s = −ζωn ±√
ζ2ω2n − ω2
n = −ζωn ± ωn
√ζ2 − 1 (9.15)
である。ζ2 − 1 > 0なので s1，s2は異なる実根となる。
s2 + 2ωnζs + ω2n = (s − s1)(s − s2) (9.16)
(3)ζ < 1のとき：ζ2 − 1 < 0なので
s = −ζωn ± ωnj√
1 − ζ2 (9.17)
となり，s1，s2は共役複素根となる。
81
9.3.1 インパルス応答
2次系のインパルス応答 g(t)を取ると，s1, s2に従って次式のようになる。
g(t) =L−1
[ω2
n
s2 + 2ωnζs + ω2n
· 1]
= L−1[
K1
s − s1
]+ L−1
[K2
s − s2
](9.18)
(1)ζ = 1のとき
G(s) =ω2
n
(s + ωn)2=
ω2n1!
(s + ωn)(1+1)(9.19)
なので，ラプラス変換 (tのべき乗 × 指数関数の最終結果で k = 1を代入)より次式を得る。
g(t) = ω2nt1e−ωnt (9.20)
(2)ζ > 1のとき２つの解は
s1 = −ζωn + ωn
√ζ2 − 1
s2 = −ζωn − ωn
√ζ2 − 1
(9.21)
より s1 − s2 = 2ωn
√ζ2 − 1となる。
式 (9.18)の各係数は，
K1 =
[ω2
n(s − s1)
(s − s1)(s − s2)
]s=s1
=ω2
n
s1 − s2
=ωn
2√
ζ2 − 1
K2 =
[ω2
n(s − s2)
(s − s1)(s − s2)
]s=s2
= − ω2n
s1 − s2
= − ωn
2√
ζ2 − 1
と求まる。
g(t) = L−1[
K1
s − s1
]+ L−1
[K2
s − s2
]=
ωn
2√
ζ2 − 1e(−ζωn+ωn
√ζ2−1)t − ωn
2√
ζ2 − 1e(−ζωn−ωn
√ζ2−1)t
=ωn√
ζ2 − 1e−ζωnt e
ωn
√ζ2−1t − e−ωn
√ζ2−1t
2
=ωn√
ζ2 − 1e−ζωnt sinh(ωn
√ζ2 − 1t) (9.22)
となり，減衰波形となる。
82
双曲線関数とは円の方程式は x2 + y2 = 1で与えられ，その解は三角関数 x = sin θ，y = cos θ
である。これに対して，x2 − y2 = 1の双曲線を満足する解を双曲線関数と呼
ぶ。cosh θ =eθ + e−θ
2，sinh θ =
eθ − e−θ
2
(3)ζ < 1のとき２つの解は
s1 = −ζωn + ωnj√
1 − ζ2
s2 = −ζωn − ωnj√
1 − ζ2 (9.23)
より s1 − s2 = 2jωn
√1 − ζ2となる。
式 (9.18)の各係数は，
K1 =
[ω2
n(s − s1)
(s − s1)(s − s2)
]s=s1
=ω2
n
s1 − s2
=ωn
2j√
1 − ζ2
K2 =
[ω2
n(s − s2)
(s − s1)(s − s2)
]s=s2
= − ω2n
s1 − s2
= − ωn
2j√
1 − ζ2
と求まる。よって
g(t) = L−1[
K1
s − s1
]+ L−1
[K2
s − s2
]=
ωn
2j√
1 − ζ2e(−ζωn+jωn
√1−ζ2)t − ωn
2j√
1 − ζ2e(−ζωn−jωn
√1−ζ2)t
=ωn√
1 − ζ2e−ζωnt e
jωn
√1−ζ2t − e−jωn
√1−ζ2t
2j
=ωn√
1 − ζ2e−ζωnt sin(ωn
√1 − ζ2t) (9.24)
となり，減衰振動波形となる。例えば，ζ = 0とおくと，
g(t) = ωn sin ωnt (9.25)
の持続振動信号になることがわかる。
9.3.2 インディシャル応答
2次系のインディシャル応答 f(t)は次式となる。
h(t) = L−1
[1
s· ω2
n
(s2 + 2ωnζs + ω2n)
]
= L−1[K0
s
]+ L−1
[K1
s + s1
]+ L−1
[K2
s + s2
](9.26)
83
図 9.3: 二次遅れ系のインパルス応答
(1)ζ = 1のとき
h(t) = L−1
[1
s· ω2
n
(s2 + 2ωnζs + ω2n)
]=
ω2n
s(s + ωn)2
(9.27)
式 (9.26)の各係数を求めると，
K0 =
[ω2
ns
s(s + ωn)2
]s=0
= 1
K1 =
[ω2
n(s + ωn)2
s(s + ωn)2
]s=−ωn
= −ωn
K2 =
[d
ds
ω2n(s − ωn)2
s(s − ωn)2
]s=−ωn
= −1
となる。よって，
h(t) = L−1[K0
s
]+ L−1
[K1
(s + sn)2
]+ L−1
[K2
(s + sn)
]
= 1 − ωnte−ωnt − e−ωnt = 1 − (ωnt + 1)e−ωnt (9.28)
84
(2)ζ > 1のとき詳細の導出は省略する。
h(t) = 1 − e−ζωnt
√ζ2 − 1
sinh(√
ζ2 − 1ωnt + tan−1
√ζ2 − 1
ζ) (9.29)
(3)ζ < 1のとき式 (9.26)の各係数を求めると，
K0 =
[ω2
ns
s(s2 + 2ζωns + ω2n)
]s=0
= 1
K1 =
[ω2
n(s − s1)
s(s − s1)(s − s2)
]s=s1
=ω2
n
s1(s1 − s2)
K2 =
[ω2
n(s − s2)
s(s − s1)(s − s2)
]s=s2
=ω2
n
s2(s2 − s1)
いま，
s1 = −ζωn + ωnj√
1 − ζ2
s2 = −ζωn − ωnj√
1 − ζ2 (9.30)
より s1 − s2 = 2jωn
√1 − ζ2となる。計算すると，
K1 =ω2
n
s1(s1 − s2)=
ω2n
(−ζωn + ωnj√
1 − ζ2)(2jωn
√1 − ζ2)
=−ζ − j
√1 − ζ2
2j√
1 − ζ2
K2 =ζ − j
√1 − ζ2
2j√
1 − ζ2
h(t) = L−1[K0
s
]+ L−1
[K1
s + s1
]+ L−1
[K2
s + s2
]= K0 + K1e
s1t + K2es2t
= 1 − e−ζωnt
2j√
1 − ζ2
[(ζ + j
√1 − ζ2)ej
√1−ζ2ωnt + (−ζ + j
√1 − ζ2)e−j
√1−ζ2ωnt
]
= 1 − e−ζωnt
√1 − ζ2
[ζ sin(
√1 − ζ2ωnt) +
√1 − ζ2 cos(
√1 − ζ2ωnt)
]
= 1 − e−ζωnt
√1 − ζ2
sin(√
1 − ζ2ωnt + tan−1
√1 − ζ2
ζ)
85
上式において，ζ = 0とおくと，
h(t) = 1 − cos ωnt (9.31)
の 1を中心とした持続振動信号になることがわかる。図 9.4は定常ゲインをKとした場合のインディシャル応答である。
図 9.4: 2次系のインディシャル応答
86
9.4 各種応答波形のまとめ単位ランプの波形は省略するが，1に比して ζの大小で特徴が変わる。インパルス応答，インディシャル応答，ランプ応答ともに，ζ > 1なら非振動，ζ < 1
の時は振動的であり，ζ = 1がちょうど臨界である。制動に関して次のようにまとめることができる。
1：ζ > 1の場合過制動と呼び非振動的
2：ζ = 1の場合臨界制動とよび臨界的
3：ζ < 1の場合不足制動とよび振動的
また，ζは減衰の程度を表しており，減衰係数あるいは制動比とよぶ。一方，ωは振動周期であるが，これらの間にどの様な関係があるだろうか。二次系が振動的になる場合，2根は共役になり
s1, s2 = −σ ± jω = −ζωn ± jωn
√1 − ζ2 (9.32)
となる。また s1, s2の距離は ωnであり，極の配置で応答が決まることがわかる。
0
Im
Re
s1
s2
+j
-j
-
図 9.5: 2次系のインディシャル応答
87
第10回 閉ループ系の過渡応答
前章で極の配置により過渡応答が異なることがわかった。本章は極と零点の配置で応答が変わることを示す。
10.1 伝達関数の極図 10.1に示す代表的なフィードバック系において，入力から出力までの伝達関数は，
Y (s)
U(s)=
G(s)
1 + G(s)H(s) (10.1)
となる。この系において入力 U(s)から出力 Y (s)の特性を調べることにする。ある系のインパルス応答を取ったときに，その応答のラプラス逆変換が系の伝達関数になることが知られている。そこで，U(s)に単位インパルスが加わった場合の応答を分析することにする。簡単のため，系が重複固有値を持っていない場合を考える。系の応答波形は部分分数展開により
Y (s) =K1
s − s1
+K2
s − s2
+ · · · + Kn
s − sn
+K+
s − si
+K−
s − si
(10.2)
となる。ただし，s1 ∼ snは，1 + G(s)H(s) = 0の根である。伝達関数 (10.1)の分母多項式を零とする方程式を特性方程式と呼び，その解を極と呼ぶ。上式のラプラス逆変換を求めると時間応答 y(t)は
y(t) = K1es1t + K2e
s2t + · · · + Knesnt + K+esi + K−esi (10.3)
となる。
88
特性多項式の解が複素根である場合，そのひとつを si = σi + jγiとして，該当する項の過渡応答 yi(t)を求める。siに対する時間応答は，次式となり，
K+esit = K+e(σi+jγi)t (10.4)
また，この共役複素解はK−esit = K−e(σi−jγi)t (10.5)
と求まることから，y(t)として次式を得る。
g(t) = L−1
[K+
s − si
]+ L−1
[K−
s − si
]
=1
2jωi
e(σi+jωi)t − 1
2jωi
e(σi−jωi)t
=1
ωi
eσitejωit − e−jωit
2j
=1
ωi
eσit sin(ωit) (10.6)
図 10.1: フィードバック系
上式に注目すると，極によりその過渡応答は次のようになる。
(1)s1 ∼ snの実部が負：式 (10.6)より，σi < 0の場合，振動項がない場合は指数関数的に減衰し，振動項がある場合は振動しながら減衰する。また t → ∞ではその値は 0になる。
(2) sの実部，虚部ともに 0：s = 0のときは，その値は変わらない。
(3)s1 ∼ snが純虚数のとき：式 (10.6)より，σi = 0のときは g(t) = (1/ωi) sin(ωit)となり，持続振動をくりかえす。t → ∞においても，値が定まらない。
(4)s1 ∼ snの実部が正：式 (10.6)より，σi > 0の場合は，振動項がない場合は指数関数的に増加し，振動項がある場合は振動しながら増加する。
ωi = 0 ωi = 0
σi > 0 単調増加 発散振動σi = 0 時間とともに変化しない 持続振動σi < 0 単調減衰 減衰振動
89
10.2 極の配置と過渡応答波形以上の極と応答波形の関係を図 10.2に示す。
図 10.2: 極と応答波形
なお，複素根は必ず共役な根を持ち実軸と対称となることから，jω > 0の領域のみを図示している。システムの極は，特性方程式 1 + G(s)H(s) = 0の根であるので，コントローラH(s)
を設計した場合は，系の極を調べることにより系の特性が分かる。
90
10.3 零点とその影響伝達関数は一般的に
G(s) =N(s)
D(s)(10.7)
で与えられる。前章までは，分母多項式の根 (D(s) = 0)である極に関する考察を行った。極は，系の振動や収束性など，安定性を支配しているが，上述のように分子多項式もあるため，実際はその挙動の解析は複雑となる。一般に分子多項式 (N(s) = 0)を零点と呼ぶが，本節では，極と零点の配置による影響について詳説する。
U(s)から，Y (s)までの伝達関数を
G(s) =K(s − z1)(s − z2) · · · (s − zm)
(s − p1)(s − p2) · · · (s − pn)(10.8)
とおく。いま，U(s) =1
sの入力を考えるとき，Y (s)は
Y (s) =K0
s+
K1
s − p1
· · · + Kn
s − pn
(10.9)
となる。よって時間応答は
y(t) = K0 + K1ep1t · · · + Knepnt (10.10)
例えば，係数K1は
K0 = [Y (s)s]s=0 =K(0 − z1)(0 − z2) · · · (0 − zm)
(0 − p1)(0 − p2) · · · (0 − pn) (10.11)
K1 = [Y (s)(s − p1)]s=p1 =K(p1 − z1)(p1 − z2) · · · (p1 − zm)
p1(p1 − p2) · · · (p1 − pn) (10.12)
以下，K2，K3，· · ·と求まる。上式より，傾向をまとめると
(1)原点に近い極の係数は，遠い極の係数より大きい (Kiの分母 piが小さくなり，結果Kiは大きくなる)。
(2)極の近くに零点があると，この極に対する係数は小さくなる（pi − ziでKiの分子が小さくなる）。
(3)極と零点が近接すると，ほかの極への影響は打ち消し合う（近接すると極―零はキャンセル）。
(4)虚軸や支配的な極から遠い位置にある零点，極は影響を与えない（支配的な極，零を見ればよい）。
91
が言える。虚軸に近い極に対応する成分は減衰が小さく，原点に近い極の係数は大きくなるので，t = 0に近い部分を除きこれらが過渡応答の主要な部分を支配すると思ってよい。このような極を，代表根と呼ぶ。図 10.3に極，零点の配置とそのインディシャル応答を示す。なお，図中の が極，×が零点である。
1.0I
t0
R
1p
1.0
I
t
p/z
0
R
1z
1p
t
1.0
p/z
0
I
1z
1p
R
t
図 10.3: 極，零点の配置とそのインディシャル応答 (その１：1次系の場合）
例えば，零点が 1個の 1次系の場合，
Y (s) =p1
z1
s + z1
s + p1
1
s=
K0
s+
K1
s + p1
(10.13)
K0 =p1
z1
[(s + z1)s
(s + p1)s]s=0 =
p1
z1
× z1
p1
= 1 (10.14)
K1 =p1
z1
[s + z1
s + p1
s + p1
s]s=−p1 =
p1
z1
−p1 + z1
−p1
=p1 − z1
z1
(10.15)
よって，次式を得る。y(t) = 1 +
p1 − z1
z1
e−p1t (10.16)
上式において t = 0では，y(0) =p1
z1
を得る。|z| > |p|(図右上)では y(0)は 1以下の右
上がりに，|p| > |z|(図右下)では y(0)は 1以上の右下がりになる。
92
他方，図 10.4に 2次系，3次系の場合の極，零点の配置とそのインディシャル応答を示す。図において零点が極より左の（原点から遠い）場合は 1次系に近い振る舞い
1.0
t0
R
I
2p
1p
1.0
t0
R
I
2p
3p
1p
1.0
t0
R
I
2p
3p
1p
t0
I
1z
1p
R
2p
1.0
t0
I
1z
1p
R
2p
1.0
t
0
R
I
2p
1p
1.0
図 10.4: 極，零点の配置とそのインディシャル応答 (その２：２次，３次系の場合）
になり，逆に原点に近い場合は零点の影響でオーバシュートが発生する。3次系の場合は，原点側の極が実根の場合は振動しながらゆっくりと上昇し，原点側の極が共役複素根の場合は振動が大きくなる。
極と零点の応答波形例えば図 10.3で零点が無限遠点にあると零点の影響がなくなり一次系の応答となる。また，極と零が等しい時に極零キャンセルで定数になることが確認出来る。図 10.4も同様であるので，極と零の配置をイメージしてもらいたい。
93
第11回 制御工学第一の復習
制御工学第一では，「制御対象の数学的モデリング」を行った。半年の授業をまとめる。
11.1 微分方程式とラプラス変換ラプラス変換の定義式を示す。f(t) = 0, t > 0 の関数に対して
F (s) =∫ ∞
0f(t)e−stdt (11.1)
を定義することができる。上式は，時間関数 f(t)のラプラス変換でありF (s) = L[f(t)]
と表す。すべての信号を tで解くことは難しい。そこで，任意の信号を tの空間で表し，ラプラス変換で s空間に変換する。その後，s空間で設計を行い，もとの tの空間にもどす。このやり方は，一見複雑だが，時間軸で信号の畳み込みを必要としないため，設計が容易である。ラプラス変換は微分方程式を代数方程式に変換し，解を得る点に特徴があり，その解法も容易である。ラプラス変換による微分方程式の解法をまとめると次のようになる。
step1：微分方程式を sの関数で記述
step2：代数方程式を解く
step3：逆ラプラス変換により，tの関数に戻す。
step1では，微分方程式をラプラス変換表を用いて変換することでsで記述する。step2
では，sに関する式は単なる代数方程式の解法になる。また sの世界で様々な演算も行うことができ，様々な入力をしたり，制御系を設計することができる。step3では逆ラプラス変換（変換表）が適用できるように有理多項式を部分分数展開の形で表現する。その後，逆ラプラス変換により tの関数として記述できる。代表的なラプラス変換は試験前に覚える必要がある。また，部分分数展開なども併せてマスターする。ラプラス変換は基本的な問題として出題せず，関連の問題として知識を問う。
94
11.2 伝達関数とブロック図すべての初期値を 0とした場合の入力信号のラプラス変換と出力信号のラプラス変換の比を「伝達関数」といい次式が成り立つ。
L[出力信号] =伝達関数G × L[入力信号] (11.2)
また，このように伝達関数が一定の比で記述できることから，要素の接続が簡単な積で記述できることになる。伝達関数の特徴は次の３つである。
(1)入出力に依存しない
(2)固有の性質を表している
(3)接続関係の処理が容易
ここ
で，伝達関数の例として簡単なバネ・ダンパ系を考える。ばねで吊り下げられた質量mを考え，平衡点からの変位を xとすると，微分方程式は
mx + kx = f (11.3)
となる。初期値零でラプラス変換すると
ms2X + kX = F (11.4)
となる。ここで，入力を F ,出力をXとすると，伝達関数は
X
F=
1
ms2 + k(11.5)
となる。なお，伝達関数は平衡状態に対して記述するため，重力項mgは式に現れない。伝達関数が導出できるのはもちろんのことだが，基本的な要素は説明できる様にしよう。また，具体的な例として代表的な機械質点系の運動方程式をマスターするようにする。なお，平衡状態に対して記述を要求するため，mgが運動方程式にでてこない。試験においては注意する。
11.3 s領域での畳み込み積分畳み込み積分がラプラス変換ではどのような表現になるのであろうか。時間領域の畳み込み積分
y(t) =∫ t
0x(τ)g(t − τ)dτ (11.6)
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は，s領域では伝達関数の積Y (s) = X(s)G(s) (11.7)
となる。意識はしていないが，畳み込み積分はインパルス応答で示したように短冊型の応答波形を計算していることになり，ラプラス変換で「かける」（s領域でかけること）は，畳み込み積分をすることになる。たとえば，図 11.1の場合は次の関係となる。s領域の伝達関数へ変換することで演算が簡単になりブロックの結合や合成も簡単に行える。
F2(s) = G1(s)F1(s)
Y (s) = G2(s)F2(s)
Y (s) = G2(s)G1(s)F1(s)
図 11.1: 伝達関数の縦続接続
ラプラス変換と畳み込み積分の関係をまとめると，
正しい： L[f1(t) + f2(t)] = F1(s) + F2(s)
正しい： L[f1(t) ∗ f2(t)] = F1(s)F2(s)
間違い： L[f1(t)f2(t)] = F1(s)F2(s) (11.8)
であり，時間関数だけで演算するには，伝達関数の積（応答計算）は時間関数を畳み込む作業が毎回必要となる。この作業は複雑なため，F1(s)F2(s)だけですむように s空間へ変換するのである。制御工学第二では当然のこととして進めていくが，第一では畳み込み積分の原理を理解するため，例題の問題を理解する。
11.4 制御系とその特性得られた制御対象を P とし，図 11.2に示す制御対象を考える。制御対象にフィードバックC1，フィードフォワードC2の制御ブロックを追加したものが図 11.2である。偏差Eとすると次式が成り立つ。
E = C2R − Y
Y = C1PE
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図 11.2: 制御対象例
整理すると，
Y = C1P (C2R − Y )
(1 + C1P )Y = C1C2RPR
Y
R=
C2C1P
1 + C1P(11.9)
となる。このように，代数演算により伝達関数が求まる。学習においては，ブロック図を理解するために等価変換を用いる。また，伝達関数の要素，その極と零点がシステムの過渡的挙動を支配していることがわかった。これはシステム設計と関連しており，制御工学第二でも示す。
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11.5 制御工学第一の流れここで，改めて制御工学第一の流れをまとめる。
(１)ラプラス変換と逆ラプラス変換の主な性質
⇓
(２)L変換による微分方程式の解法（代表的なものは覚える）
⇓
(３)伝達関数とは（計算ができること）
⇓
(４)運動方程式の導出
⇓
(５)畳み込み積分（計算ができること）
⇓
(６)ブロック線図の等価変換（変換ができること）
⇓
(７)基本的な伝達関数と要素（極，零点など簡単な要素）
⇓
(８)極と零点（詳細は制御工学第二）
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更新履歴
First version August 30 2009
ノート記録開始Rev.1.0 March 30, 2012
PPT授業に変更のため急遽配布
Rev.1.5 March 25, 2013
2012年講義内容追補，フォーマット修正，図表追加
参考にした本
1. 「自動制御」，水上憲夫著，朝倉書店
2. 「システムと制御 第２版 上・下」高橋安人 著、岩波書店
3. 「初めて学ぶ基礎制御工学 」，森 政弘他著，東京電気大学出版局
4. モデリングとフィードバック制御」，古田勝久他著，東京電機大学出版局
熊本市中央区黒髪 2-39-1
熊本大学情報電気電子工学科 松永信智
http://ictrl.cs.kumamoto-u.ac.jp/
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