2015 가을학기 선형대수학 강의 노트 안 상 욱 (fri 4:30 5:00 p....

가을학기 선형대수학 강의 노트 안 상 욱2015 Hankyong UnivClass AO5Thursday(1030 1145 am)ndash Friday(300 415 pm)ndash 제 공학관 1 321Office Hour(Thrs 900 1000 am)ndash (Fri 430 500 p m)ndash sangyookyonseiackr010 4644 4197ndash ndash

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제 장 연립 차방정식과 행렬1 1

연립 차방정식 입문11 1가우스 소거밥12 행렬과 행렬연산13 역행렬14

기본행렬과 행렬 15 의 역행렬 를 구하기

연립방정식과 그의 관한 여러 가지 결과 그리고 벡터와 벡터 공간16 행렬의 종류 대각행렬 삼각행렬 대칭행렬17

제 장 행렬식2 [determinant]

여인수 전개에 의한 행렬식21

행렬식의 성질22

크래머 규칙23 (Cramerrsquos rule) 의 공식화 행렬식의 응용

고유값 고유벡터24 (eigenvalue) (eigenvector)

장 선형변환3 [Linear Transformation]

변환으로서의 행렬31

선형연산 의 기하32 [linear operator]

핵 과 치역33 [kernel] [range]

10

10 안상욱2015 Linear Algebra ( )hwp

문제 가우스 조단 소거법을 이용하여 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오 -

$ I + O ) I+ O )

C$ + O ) E$ G + O ) I

11


행렬과 행렬연산13

이 절에서는 행렬의 더하기 빼기 곱하기의 행열의 연산을 다룬다

정의 행렬 이란 수의 직사각형배열이다 그 배열된 수를 그 행렬의 성분 이라 (matrix) (entry)부르고 행렬은 알파벳 대문자로 그 성분들은 알파벳 소문자 또는 수로 나타낸다

예를 들면 ) Pamp67Q P여기서0 6)0 0 ⋯ 0 5 R 7)0 0 ⋯ 0 -Q 이 때 )Pamp67Q 는

5 times - 행렬이라 부르고 5)- 이면 정사각형 행렬이라 부른다 여기서 5 은 행 가 (로선 들의 갯수 ) - 은 열 세로선 들의 개수를 나타낸다 성분 ( ) amp67 는 6 번째 행과 7

번째 열이 만나는 위치에 놓이는 성분이다

다음은 행렬의 몇 가지 예이다

=gt

AB C

I E F0=

gt

AB

0 P QD 0 P Q 0

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C

각각의 크기는 times C C times times times C C times C 이다

하나의 행만을 가지는 행렬을 행행렬 또는 행벡터 그리고 하나(row matrix) (row vector) 의 열만 가지는 행렬을 열행렬 또는 열벡터 라 부른다(column matrix) (column vector)

따라서 윗 예에서 C times 행렬 =

gt

AB

은 열벡터 열행렬 이고 ( ) times C 행렬 P Q 은 행벡

터 행행렬 이다( ) times 행렬은 행행렬인 동시에 열행렬이다 times 행렬 PampQ 는 통상적으로 다음 처럼 표현한다 PampQ )amp 그리고 벡터란 용어는 다음에서 정의하지만 특별한 의미를 가진다

5 times - 행렬 는 다음처럼 나타내진다

)Pamp67Q)

=

gt

A

Bamp amp ⋯ amp-amp amp ⋯ amp-⋮ ⋮ ⋮ ⋮amp5 amp5 ⋯ amp5-

그리고 통상적으로 행렬 의 67번째 성분 amp67 는 다음처럼 표현된다

amp67 )1367

예를 들면 행렬 )=gt

AB

C I에 대해서 13 )0 13 )0 13 )C0 13 ) I 이다

12


행행렬 행벡터 과 열행렬 열벡터 은 특히 중요하고 이들을 알파벳 대문자 대신에 다음처럼 표현한( ) ( )다

KVamp ) P Qamp amp ⋯ amp- 1 times - 행렬30 KV( )

=

gt

A

B((⋮(5

15 times 행렬3

또는 대문자 대신에 획이 굵은 활자체 소문자로 표현하는 것이 일반적인 관례이다

그리고 - times - 정사각형행렬 )

=

gt

A

Bamp amp ⋯ amp-amp amp ⋯ amp-⋮ ⋮ ⋮ ⋮amp- amp- ⋯ amp--

에서 amp 0 amp 0 ⋯ 0 amp-- 은 행렬

1-차 정사각형행렬3의 주대각선 상에 있다고 말한다(main diagonal)

주목 연립선형방정식을 푸는 데 연산작업을 줄이기 위하여 행렬을 사용해 왔다 그리고 또 다른 응 용도 생각하여 행렬의 연산에 관하여 지금 말하고자 한다

정의 두 행렬의 크기가 같고 대응하는 성분이 서로 같으면 두 행렬은 같다고 말한다

예제 )=gt AB

C $0 W)

=gt

AB

C 일 때 $) 이 면 )W 이고 $ ne 이 면 neW 이

다

정의 와 W 가 같은 크기의 행렬일 때 합 W 는 와 W 의 대응성분끼리 더하여 얻어진 행렬이고 차 W 는 의 대응성분에서 W 의 대응성분을 빼서 얻어지는 행렬이다 크 기가 다른 행렬끼리는 더하거나 뺄 수가 없다

예제

)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C

0 W)=

gt

AB

U C

0 Y)=gt AB

C이면

W)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C

=

gt

AB

U C

)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

13


W)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C

=

gt

AB

U C

)

=

gt

A

BS TKC

KE

F

이고 Y0 Y 는

크기가 다르기 때문에 정의되지 않는다

정의 가 행렬이고 9 가 임의의 상수 스칼라 일 때 곱 ( ) (product) 9 는 의 각 성분에 9 를 곱하여 얻어진 성분이다 행렬 9 를 의 스칼라곱 이라 부른 (scalar multiple)다 즉 )Pamp67Q 일 때 9)9 Pamp67 Q ) P9amp67Q0 19367 )91367 )9amp67 이다

예제 )=gt

AB C

일 때 C)=

gt

ABC F H

C C이고 )=

gt

AB

( 행렬 이다 )

정의 ) Pamp67Q 가 5 times - 행렬이고 W)P(79Q 가 - times 9 행렬이면 곱 (product) W 는 크기

가 5 times 9 인 행렬이고 W) P6 Q 의 6 행과 열 위치의 성분

1W36 )6 )amp6( amp6( ⋯ amp6-(- )Z7)

-

amp67 (7 이다 여기서 le6le50 lele9

이다 즉 W 의 6 성분은 의 6 행과 W 의 열의 대응성분끼리 곱한 다음에 이들 각각 의 곱을 합하여 얻어진다 그리고 앞의 행렬 의 열의 개수와 뒤의 행렬 W 의 행의 개수

가 다르면 행렬의 곱 W 는 정의되지 않는다

예제

)=gt

AB I

F 1 times C30 W)

=

gt

ABI I C

C D E

1C times I3 이면 W 는 times I 행렬이고

1W3 ) P Q I=

gt ABI)1∙I3 1∙3 1I∙3 )

1W3 ) P Q I

=

gt

ABD

)1∙3 1∙133 1I∙D3 )D

1W3C ) P Q I=

gt ABICE)1∙I3 1∙C3 1I∙E3 )C

1W3I ) P Q I=

gt ABC)1∙C3 1∙3 1I∙3 )C

1W3 ) P Q F =

gt ABI)1∙I3 1F∙3 1∙3 )G

14


1W3 ) P Q F

=

gt

ABD

)1∙3 1F∙133 1∙D3 ) I

1W3C ) P Q F =

gt ABICE)1∙I3 1F∙C3 1∙E3 )F

1W3I ) P Q F =

gt ABC)1∙C3 1F∙3 1∙3 )

이므로

W)=gt

AB D C C

G I F 이다

연립 차 선형 방정식1 ( )

amp$ amp$ ⋯ amp-$- )(


⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

은 행렬을 이용하여 다음처럼 표현된다

=

gt

A


=

gt

A

B$$⋮$-

)

=

gt

A

B((⋮(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

0 ()

=

gt

A

B((⋮(5

이다

15


그리고 ^ )( 의 첨가행렬은

=

gt

A

Bamp amp ⋯ amp- (amp amp ⋯ amp- (⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮amp5 amp5 ⋯ amp5- (5

이고 여기에 가우스 소거법 또는 가우스 조단 소거법응을 -

적용하여 연립선형방정식의 해를 구한다

정의 가 임의의 5 times - 행렬일 때 의 전치행렬 은 행렬 (transpose matrix) 의

행과 열을 교환하여 얻어진 - times 5 행렬이고 의 전치행렬은 _ 로 표현한다 즉 _ 의 첫째 열은 행렬 의 첫째 행이고 _ 의 둘째 열은 행렬 의 둘째 행이고 등

등으로 된다 따라서 1_367 )1376 이다

예제

)=

gt

AB

C

이면 _)=gt

AB C

이다

정리 행렬 0 W 는 지시된 덧셈과 곱셈이 성립한다고 가정하자

(1) 1_3_ ) (2) 1 plusmn W3_ )_ plusmn W_

임의의 스칼라 상수 (3) ( ) 9 에 대하여 193_ )9_

(4) 1W3_ )W__

정의 가 정사각형행렬일 때 의 대각합 은 행렬 (trace) 의 주대각선상에 있는 성분의 합으로 정의하고 이를 Na13 로 표시한다 가 정사각형행렬이 아니면 Na13 는 정의되지 않는다

예제

)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C

이면 Na13 )S 1 C3)S 이다

16


문제 다음 행렬방정식을 $0 0 +0 O 에 관하여 푸시오

=gt

AB$ +

O + $ CO)=gt

ABC

E

문제 WW) 일 때 행렬 W 를 행렬 의 제곱근 이라 부른다 (square root)

)=gt

AB

의 제곱근을 구하시오

17


주목 )Pamp0 amp 0 ⋯ 0 amp- Q 가 5 times - 행렬 (amp6 는 의 6번째 열행렬 이고) $ )

=

gt

A

B$$⋮$-

는

- times 열행렬이면 $) $amp $amp ⋯ $-amp- 이다

예제 =gt

AB C

I E

=

gt

ABC

) C=gt ABI =gt AB C =gt AB

E)=gt ABI

문제 다음 행렬곱을 계산하시오

=

gt

ABC

I

=gt ABC

D

주목 )Pamp0 amp 0 ⋯ 0 amp- Q 가 5 times - 행렬 (amp6 는 의 6번째 열행렬 이고 )

W) P( 0 ( 0 ⋯ 0 (9 Q 가 - times 9 행렬 ((7 는 의 7번째 열행렬 이면)

W) P( 0 ( 0 ⋯ 0 (9Q

이다


)=gt

AB C

E 0 W)

=

gt

AB C

E I

18


역행렬 행렬연산의 성질14

주목 행렬 0 W 에 대하여 W neW 이다

예제 )=gt

AB

C0 W)

=gt

AB

C 일 때 W)

=gt

AB

Ine=gt

ABC F

C )W

행렬의 연산에서 곱셈에 관한 교환법칙은 성립하지 않으나 기타의 연산법칙은 행렬에서 대부분 성립한다

정리 행렬연산의 성질

행렬의 크기가 지시된 연산이 성립한다고 가정하자

(1) W)W 덧셈에 관한 교환법칙 ( )

(2) 1W Y3 )1 W3 Y 덧셈에 관한 결합법칙 ( )

(3) 1WY3 )1W3Y 곱셈에 관한 결합법칙 ( )

(4) 1W plusmn Y3 )W plusmn Y0 1 plusmn W3Y)Y plusmn WY 분배법칙 ( )

임의의 스칼라 (5) amp0 ( 에 대하여 1amp plusmn (3Y)ampY plusmn (Y

임의의 스칼라 (6) amp 에 대하여 amp1W plusmn Y3 )ampW plusmn ampY

임의의 스칼라 (7) amp 에 대하여 amp1WY3 )1ampW3Y)W1ampY3

임의의 스칼라 (8) amp0 ( 에 대하여 amp1(Y3 )1amp(3Y

주목 (1) ne 0 W)Y 이면 W)Y 이다 는 일반적으로 성립하지 않는다

(2) W)1영행렬3 이면 ) 또는 W) 이다는 일반적으로 성립하지 않는다

예제 )=gt

AB

0 W)

=gt

AB

C I0 Y)

=gt

AB E

C I이 때 W)

=gt ABC I

F G)Y0 W neY 이다

예제 )=gt AB

0 W)

=gt ABC D

이 때 W)

=gt AB

)

19


정의 주대각선 위에서만 이고 주대각선 이외의 모든 성분은 인 정사각형행렬을 단위행렬이라 부르고 - times - 단위행렬을 우리는 b- 으로 표현한다

주목 가 5 times - 행렬이면 b5)0 b- ) 이다

정리 c 을 - times - 행렬 의 기약행 사다리꼴 기약 가우스 행렬 이라고 하면 ( ) c 은 한 행의 성 분이 모두 인 한 행을 가지거나 단위행렬 b- 이다

증명

정의 정사각형행렬 에 대하여 W)W)b 1단위행렬3 를 만족시키는 정사각형행렬 W 가 존 재하면 행렬 를 가역적 이라 하고 (invertible) W 를 의 역행렬 (inverse

이라고 부른다 그리고 이 경우 matrix) W) 로 표현한다 만일 그러한 W 가 존재 하지 않으면 를 특이행렬 이라고 부른다 (singular matrix)

예제

행렬 (1) W)=gt ABC E

는 행렬 )

=gt

AB E

C의 역행렬이다

그 이유는 W)W)b )=gt AB

이기 때문이다

행렬 (2) )=

gt

AB I

E C F

는 가역적이지 않다 그 이유는 W 가 임의의 C times C 행렬 이라면

W 의 열의 모든 성분이 3 이기 때문에 W nebC 이다


장 차원 과 구조4 [Dimension] [Structure]

기저 와 차원41 [Basis]

기저의 성질42

행렬의 기본 공간43 [The Fundamental Spaces of a Matrices]

차원 정리와 그의 응용44

계급 정리와 그의 응용45 [Rank Theorem and Its Implications]

정사영 정리와 그의 응용46 [Projection Theorem and Its Implications]

정규직교기저와 그람 슈미트 과정47 - [Orthonormal Bases and the Gram-Schmidt Process]

장 대각성5 [Diagonalization]

유사화 과 대각화51 [similarity] [Diagonalizability]

직교대각화52 [Orthogonal Diagonalizability]

20


역행렬의 성질

정리 행렬 W 와 Y 모두가 행렬 의 역행렬 이면 W)Y 이다

증명 W)Wb )W1Y3 )1W3Y)bY)Y

정리 amp ( ne 이면 행렬 )=gt ABamp (

는 가역적이고

)Kamp ( =

gt

AB (

amp)

=

gt

A

BKamp (Kamp (

(

Kamp (

Kamp (

amp이다

증명 계산에 의해서 명백히 )b )

이다

정리 0 W 가 크기가 같은 가역행렬이면 W 가 가역적이고 1W3 )W

이다

증명

행렬의 거듭제곱

정의 는 정사각형행렬이라고 하자

)b 양의 정수 - 에 대하여 -) ⋯ 1-개 인자3 로 정의한다

게다가 가 가역적일 때 - )13- ) ⋯ 1-개 인자3 1-d3 로 정

의한다

정리 지수법칙( ) 가 정사각행렬이고 50 - 이 정수이면 5 -)5- 0 153- )5-

정리 는 가역행렬이라고 하자 그러면 이 때

(1) 은 가역적이고 13 )

음이 아닌 정수 (2) - 에 대하여 1-3)13-

(3) 이 아닌 임의의 스칼라 9 에 대하여 193 ) K9

21


증명 (1) ))b 이므로 정의에의하여 은 가역적이고 13

)

스스로 (2)

(3) 1931K93 )K9

193

)1K993)13b )b

마찬가지로 1K93193 ) 91K9

3)19K9

313 )13b )b

그러므로 193 ) K9

QED

예제 )=gt AB

C이면

)KC

=gt

ABC

)=gt

ABC

이고

1C3 )C )13C )=gt

ABC

=gt

ABC

=gt

ABC

)=gt

ABI C

E

C)=gt

AB C

E I이고 1C3

)KIE IE

=gt

ABI C

E )=gt

ABI C

E 이다

행렬을 수반하는 다항함수 가 5 times 5 정사각형행렬이고

e1$3 )amp amp$ amp$ ⋯ amp-$- 1amp- ne 3 인 - 차 다항함수일 때

e13 )ampb amp amp ⋯ amp-

- 으로 정의한다 여기서 b 는 5 times 5 단위행렬이다

예제 행렬다항식[ ]

)=gt

AB

C0 e1$3 )$ C$ I 일 때

e13 ) C Ib )=gt

AB

C

C=gt

AB

C I=gt AB

)=gt

AB G

G=gt

ABC F

H=gt ABI

I)=gt

ABH

C

22


정리 가 가역행렬이면 _ 도 가역행렬이고 1_3)13_ 이다

증명 _13_ )13_ )b_)b 0 13__)13_ )b_)b QED

예제

)=gt AB

C I이 면 _)

=gt AB C

I이고 there4 1_3

)KI F

=gt

ABI C

)

=

gt

A

B K

C

K

이다

한편 )KI F =gt

ABI

C )=

gt

AB

K

C K

0 13_ )

=

gt

A

B K

C

K

이다

문제 다음 행렬의 역행렬을 구하시오

(1) =gt

ABcosi sini

sini cosi

(2)

=

gt

A

BKU$ U

$

K

U$ U$

K

U$ U$

K

U$ U$

23


문제 가 가역행렬이고 W)Y 이면 W)Y 임을 증명하시오

문제 0 W 는 5 times 5 정사각형행렬이라고 하자 다음 명제가 참인지 또는 거짓인지를 진술하 고 참이면 증명하시오

(1) 1W3 )W

(2) 1 W3 )1W 3

(3) 1W31W3 )b5

(4) W neW

문제 모든 행렬은 5 times 5 가역행렬이라고 하자 다음 행렬방정식을 행렬 ^ 에 관해서 푸시오

WY_^W_Y)W_

24



이 절에서는 가역행렬의 역행렬을 구하는 앨거리듬 계산절차 을 공부하고 가역행렬의 (algorithm )동치명제를 다룬다

정의 - times - 단위행렬 b- 위에 단한번의 기본행연산을 실시하여 얻어지는 - times - 정사각형행렬을

기본행렬 이라고 부른다 (elementary matrix)

기본행연산 한 행에 (1) 이 아닌 상수를 모두 곱한다 두 행을 위아래로 교환한다 (2) 한 행의 배수를 다른 행에 더한다 (3)

예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB

여기서 l 은 bC 행에 D 을 곱하여 얻어진 단위행렬이고 l 는 bC 의 행과 C행을 교환해서

얻어진 단위행렬이고 lC 은 bC 의 행에 를 곱하여 bC 의 C행에 더하여 얻어진 단위행렬이다

정리 행렬곱에 의한 행연산[ ] b5 에 어떤 행의 단한번의 기본행연산을 실시하여 얻어진 기본행렬

을 l 라 하고 를 5 times - 행렬이라 하면 행렬곱 l 는 행렬 에 똑같은 기본행연산을 실시 하여 얻어진 행렬과 일치한다

예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I

주목 행렬곱에 의한 행연산 정리는 매우 흥미 있는 정리이고 행렬과 연립선형방정식에 관한 몇 가지 결과를 전개하는데 이용된다 계산 실행시 기본행렬을 행렬 좌측에서 곱하는 것보다 직접 행렬 위에 기본행연산을 실시하는 것이 훨씬 더 좋은 방법이다

25


주목 단위행렬 b 위에 기본행연산을 실시하여 기본행렬 l 가 얻어졌다고 하면 역으로 l 를 b 로 복원시키는 기본행연산이 존재한다

도표

b 에서 l 를 만드는 기본행연산 l 에서 b 로 돌아가는 기본행연산

6 행을 9 ne 배 한다 6 행을 K9

배 한다

6 행과 7 행을 교환한다 6 행과 7 행을 교환한다 6 행을 9 배해서 7 행에 더한다 6 행을 9 배해서 7 행에 더한다

예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr

행을 C배 했다 행을 KC 배 했다

정리 모든 기본행렬은 가역행렬이고 그 역행렬도 역시 기본행렬이다

증명 l 를 기본행렬이라고 하자 그러면 l 는 단위행렬 b 위에 어떤 기본행연산을 실시하여 얻 어진다 l 을 b 위에 l 를 얻기위해서 실시한 기본행연산의 역연산을 실시하여 얻어진 기본행렬

이라고하자 정리 행렬곱에 의한 행연산 에 의하여 [ ]

ll)b 0 ll )b

이다 따라서 l 는 가역행렬이다 게다가 l 은 l 의 역행렬이고 기본행렬이므로 l 의 역행렬은

기본행렬이다 QED

26


정리 역행렬의 동치명제[ ] 는 - times - 정사각형행렬이라고 하자 이 때 다음 명제는 동치이다

(1) 는 가역행렬이다 역행렬을 가진다 ( )(2) 의 기약행 사다리꼴 기약 가우스 행렬 은 단위행렬 ( ) b- 이다

(3) 는 기본행렬의 곱으로 표현될 수 있다

연립선형방정식 (4) ^) 은 자명해 영 해 즉 ( ^)

=

gt

A

B⋮

1- times 행렬3 만 가진다)

증명

27


28


- times - 정사각형행렬 의 역행렬 구하기

의 기약행 사다리꼴이 b- 이므로 l9l9 ⋯ ll ) b- 이다 따라서

)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll

그러므로 가역행렬 의 역행렬 을 구하기 위해서는 를 단위행렬로 변형시키는 일련의 기

본행연산수열을 구하고 이 기본행연산수열을 b- 위에 실시하면 된다

에 기본행연산을 적용하여 단위행렬 b 로 변형시키는 과정에서 생긴 기본행연산수열을 b 에 적

용하여 를 구한다

즉 P n b Q rarr Pb n Q

uarr

기본행연산수열 적용

29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G

의 역행렬을 구하시오

풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다

주목 주어진 행렬이 미리 가역적인지 아닌지를 알지 못하는 경우가 있다 만일 - times - 정사각형 행렬 가 가역적이지 아니면 이 것은 기본행연산에 의하여 단위행렬 b- 으로 변형될 수 없다

예제 P n b Q rarr P=

gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q

그러므로 는 가역행렬이 아니다


선형대수는 연립 차 선형 방정식을 행렬을 이용하여 그 해를 보다 효과적으로 구하는 것을 다루는 1 ( )학문이다 특히 본 강의는 정사각행렬이 역행렬을 가지기 위한 필요충분조건에 맞추어 진행된다 아울러 벡터와 벡터공간을 다룬다

연립 차 선형 방정식 입문11 1 ( )

차 선형 방정식 1 ( ) $평면에서 차방정식은 직선 1 amp$ ( ) 이고 $+공간에서 차방정식은1평면 amp$ ( + ) 이고 -차원 공간에서는 amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 이다 여기서

amp0 amp 0 ⋯ 0 amp- 은 상수들이고 $ 0 $0 ⋯ 0 $- 은 미지수들이다



amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

여기서 amp67 16)0 0 ⋯ 0 58 7)0 0 ⋯ 0 -3 는 상수들 [1⋆3 의 계수들 이고 ]

$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다

1⋆3 에서 ( ) 1 )0 0 ⋯ 0 53 이면 1⋆3 를 제차연립선형방정식이라고 부르고 그렇지 않으

면 1⋆3 를 비제차연립선형방정식이라고 부른다

주목 모든 연립선형방정식은 해를 오직 하나 가지거나 무수히 많은 해를 가지거나 해를 갖지 않 거나 셋중의 하나이다

5 times - 행렬

=

gt

A


은 1⋆3 의 계수행렬이라부른다 여기서 5 은 행렬의 행 가 (

로선 의 갯수를 나타내고) - 은 행렬의 열 세로선 의 갯수를 나타낸다 ( )

30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5

1상수3 행렬연립선형방정식( )

예제 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오

$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31


문제 다음 가역행렬을 기본행렬의 곱으로 표현하시오

)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E

(1) ll)b 를 만족시키는 기본행렬 l 0 l 를 구하시오

(2) 를 두 기본행렬의 곱으로 표현하시오


33


행동치 행렬 에 기본행연산을 유한회 실시하여 행렬 W 가 얻어졌다면 역으로 행렬 W 에 똑같 은 기본행연산의 역연산을 역의 순서로 되풀이 하면 행렬 를 얻을 수 있다 이 때 행렬 와 W 는 행동치 라고 말한다 (row equivalent)

문제 다음 두 행렬이 행동치임을 보이시오

)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (

를 기본행렬이라 하면 셋째 행의 적어도 하나의 성분은 임을 보이시

오

34


연립방정식과 그의 관한 여러 가지 결과 그리고 벡터와 베터 공간16

정리 모든 연립선형 (차 방정식은 오직 하나의 해를 가지거나 무수히 많은 해를 가지거나 또는 )해를 가지지 않거나 셋 중의 하나이다

증명

정리 가 - times - 가역행렬이면 임의의 - times 행렬 ( 에대하여 연립선형방정식 ^)( 는 오 직 하나의 해를 가진다 즉 ^)( 이다

증명 ^)1(3 )13()1b3()( 이므로 ^)( 는 연립선형방정식 ^)( 의 해이 다 ^ 를 연립선형방정식 ^)( 의 임의의 해라고 하면 ^ )( 이다 가 가역행렬

이므로 ^ )()^ QED


$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35


같은 계수행렬을 가지는 연립차 선형 방정식열의 해법( )

^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9

harr P n ( n ( n ⋯ n (9 Q 1첨가행렬3 rarr Pb n ( n ( n ⋯ n (9 Q 1기약 가우스 행렬3

예제 다음 연립선형방정식을 푸시오

(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다

주목 (1) 가 가역행렬 harr (2) W)b0 W)b harr (3) W)b 또는 W)b

uarr uarr

정의 증명 필요

증명 W)b 라고 하면 는 가역행렬이다 왜냐하면 [ 가 가역행렬이기 필요충분조건은

^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮

1영행렬3 이 자명해 즉) ( ^) 만 가진다 이다) ^ 가 임의의 해

라고 하자 그러면 ^ ) 그리고 그래서 W^ )W rarr b^ ) rarr ^ ) ]

W)b 양변에 을 곱하면 W

)b rarr Wb )b

rarr W)

마찬가지로 W)b rarr W) QED

36






=

gt

A

B⋮


모든 (5) - times 행렬 ( 에 대하여 ^)( 는 항상 해를 가진다 모든 (6) - times 행렬 ( 에 대하여 ^)( 는 오직 하나의 해를 가진다

증명

37


정리 0 W 는 똑같은 크기를 가지는 정사각형행렬이라고 하자 행렬곱 W 가 가역적이면 행렬 와 W 도 가역적이다

증명 W 가 가역적이므로 1W3 가 존재한다 한편 1W3

)W

이므로 0 W

가 존재한다 QED

기본문제[Fundamental Problem] 를 고정된 5 times - 행렬이라고 하자 이 경우에 연 립선형방정식 ^)( 가지도록 하는 모든 5 times 행 렬 ( 를 구하시오

문제 다음 연립선형방정식이 해를 가지기 위해서는 (0 ( 0 (C 가 어떤 조건을 만족시키면 되는

지 그 조건을 구하시오

$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38


문제 가우스 조단 소거법과 계수행렬의 역행렬 두 방법을 이용하여 다음 연립선형방정식의 해를 -구하시오

$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39


벡터 행렬 -벡터공간

벡터

벡터란 힘 속도와같이 크기와 방향을 가진 양을 의미한다 벡터는 굵은 글씨의 문자 또는 의에 화 살표를 붙인 문자로 나타낸다 방향과 크기가 같은 두 벡터는 같다고 말한다 평면에 놓인 벡터는 평면벡터 공간에 놓인 벡터는 공간벡터라고 부른다 벡터는 시작점과 종점을 가지는데 평행이동을 통하여 언제든 두 벡터의 시작점을 일치시킬 수 있다 이 때 두 벡터 사이의 사이각이 발생하는데 적은 쪽 각을 사이각이라 부른다 사이각이 도이면 같은 방향이고 사이각이 G 도이면 정 반대 방향이다 크기가 인 벡터를 영벡터라고 부른다 속력과 같이 크기만 가진 양을 스칼라라고 부른 다 예를 들면 실수는 크기만 가진 양으로 취급하고 우리는 실수를 스칼라라고 부른다 크기가

인 벡터는 단위벡터라고 부르고 영벡터가 아닌 벡터 KVamp 방향의 단위벡터는 KnKVampn

KVamp 이다 두 벡터가 평

행하다는 의미는 사이각이 ∘ 또는 G∘ 를 의미한다

벡터 덧셈의 정의 두 벡터 KVamp 와 KV

( 가 KV( 의 시점이 KV

amp 의 종점에 있도록 위치하고 있으면 합 KVamp KV( 는 KVamp 의 시점부터 KV( 의 종점까지의 벡터이다

스칼라 곱의 정의 p 는 스칼라이고 KVq 는 벡터라고 하자 스칼라 곱 pKVq 의 길이는 npn 와 KVq 의 길

이의 곱이고 방향은 pd 일 때 KVq 와 같고 pr 일 때는 KVq 와 정반대인 벡터로 정의한다 p)

또는 KVq )KV 일 때 pKVq )KV 이다

벡터 뺄셈의 정의 벡터 KVamp

KV( 의 시점은 벡터 KV

( 의 종점이고 종점은 벡터 KVamp 의 종점이다

성분 벡터

amp)KVamp ) ramp0 amp d 는 평면벡터 시점이 원점이고 종점은 평면좌표 ( 1amp0 amp3 인 벡터 라고 부르고 )

amp )KVamp ) ramp0 amp 0 ampC d 는 공간벡터 시점이 원점이고 종점은 공간좌표 ( 1amp0 amp 0 ampC3 인 벡터 라 )

고 부른다

덧셈과 뺄셈 스칼라 곱 그리고 크기 KVamp ) ramp0 amp0 ampC d0 KV( ) r(0 (0 (C d 이면

KVamp plusmn KV( ) ramp plusmn (0 amp plusmn (0 ampC plusmn (C d 이다 p 가 스칼ㄹ라이면

pKVamp ) rpamp0 pamp0 pampC d 이다 nKVamp n )TKamp amp ampC 이다

벡터의 성질

KVamp 0

KV( 0KV 는 벡터이고 p0 s 는 스칼라일 때 다음이 성립한다


만일에 0 $0 ) 의 위치를 머릿속으로 생각하고 이들을 생략하면 - 개 변수에 관한 5 개 방정식 으로 구성된 연립선형방정식은 수로만 이루어진 직사각형 배열로 간단히 표현할 수 있다 즉

5 times 1- 3 행렬

=

gt

A


은 1⋆3 의 첨가 확장 행렬이라부른다 ( )

주의 첨가행렬을 만들 때 계수는 각 방정식에서 동일한 가로순서로 기술되어야하고 각 상수는 오 른쪽에 동일한 세로순서로 기술되어야만 한다

예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다

연립선형방정식의 해를 구하는 기초적인 방법은 다음 세 가지 형태의 연산을 계속 적용하여 미지수를 쳬계적으로 소거함으로써 얻어진다

1 하나의 방정식의 양변에 이 아닌 상수를 곱한다 2 두 방정식을 위아래로 교환한다3 한 방정식에 이 아닌 상수를 곱하여 다른 방정식에 더한다

이러한 과정을 반복해도 연립선형방정식의 해는 변함이 없다

첨가행렬의 각 행 수평선 은 주어진 연립선형방정식의 각 방정식에 대응하므로 이들 세 가지 연산은 ( )첨가행렬의 행에 관한 다음 연산에 대응된다

1 한 행에 이 아닌 상수를 모두 곱한다 2 두 행을 위아래로 교환한다3 한 행의 배수를 다른 행에 더한다

우리는 이를 기본행연산 이라 부른다(elementary row operation)

40


1 KVamp KV( )

KV(

KVamp 2 KVamp 1KV( KV3)1KVamp KV( 3 KV

3 KVamp KV )KVamp 4 KVamp 1 KVamp3)KV5 p1KVamp KV( 3)pKVamp pKV( 6 1p s3KVamp )pKVamp sKVamp

7 1ps3KVamp )p1sKVamp3 8 KVamp )KVamp

삼차원 단위 기저 벡터

6) r0 0 d0 7) r0 0 d0 9) r0 0 d 를 삼차원 단위 기저 벡터라고 부른다 이 때 KVamp ) ramp0 amp0 ampC d )amp 6 amp7 ampC9 이다

문제 벡터 C6 7 9 방향의 단위 벡터를 구하시오

내적

KVamp ) ramp 0 amp0 ampC d0 KV( ) r(0 (0 (C d 일 때 KVamp 와 KV( 의 내적은 다음과 같이 정의된

스칼라

KVamp∙KV( )amp( amp( ampC(C

내적의 성질

KVamp 0 KV( 0 KV 는 벡터이고 p 는 스칼라일 때 다음이 성립한다

1 KVamp∙KVamp ) nKVampn ge

2 KVamp ∙KV( ) KV( ∙KVamp

3 KVamp ∙1KV( KV 3)

KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV

4 KV ∙KVamp ) 5 1pKVamp 3∙KV( )p1KVamp ∙KV( 3)KVamp∙1pKV( 3

내적의 기하학적 의미

두 벡터 KVamp 와 KV( 사이의 사이각이 i 일 때 다음이 성립한다

KVamp ∙KV( )nKVamp n nKV( n cosi

따라서 두 벡터 KVamp 와 KV( 가 영벡터가 아닐 때 다음이 성립한다

41


KVamp perp KV( 직교 ( ) hArr KVamp ∙KV( ) (∵leileS)

사영

1 벡터 KV( 위로 벡터 KVamp 의 벡터 사영 eax7KV(

KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(

2 벡터 KV( 위로 벡터 KVamp 의 스칼라 사영 x5eKV(

KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(

두 벡터 KVamp 와 KV( 사이의 사이각이 i 가 예각일 때 neax7KV(

KVampn )x5eKV(

KVamp 이다

문제 KV( ) r0 0 d 위로 KVamp ) r0 0 Cd 의 벡터 사영과 스칼라 사영을 구하시오

외적

KVamp ) ramp0 amp 0 ampC d0KV( ) r(0 (0 (C d 일 때 KVamp 와 KV( 의 외적은 다음과 같이 정의된 벡터이

다

KVamp timesKV( ) ramp(C ampC( 0 ampC( amp (C0 amp( amp ( d

외적을 계산할 때 다음 행렬식을 이용하여 계산한다

KVamp times KV( ) 6 7 9ampamp ampC( ( (C

행렬식 추후에 설명 ( )

외적의 기하학적 의미

KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3

KV- 여기서 KV- 은 단위 벡터이고 KV-perpKVamp 0 KV- perpKV( 이고 KV- 의 방향은 오른

손 법칙을 따른다 그리고 i 는 두 벡터 KVamp 0 KV( 사이의 사이각이다

그러므로

1 KVamp times KV( ) KV( times KVamp

2 KVamp times KV( perp

KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42


3 KVamp KV( hArrKVamp times

KV( )

KV

4 두 벡터 KVamp 0 KV( 로 결정된 평행사변형의 넓이 )nKVamp n nKV( n sini )nKVamp times KV

( n

5 두 점 z0 c 을 지나는 직선 밖의 점 에서 이 직선의 이르는 거리는 다음처럼 주어진다

|)KVz sin i )KnKVzcn

nKVz timesKVzc n 여기서 i 는 KVz 와 KVzc 사이의 사이각이다

문제 두 점 z10 I0 F30 c10 0 3 을 잇는 직선 밖의 점 1 0 E0 3 에서 이 직선에 이르는 거리를 구하시오

문제 세 꼭지점이 z10 I0 F30 c10 0 3 1 0 E0 3 인 삼각형의 넓이를 구하시오

외적의 성질

KVamp 0

KV( 0KV 는 벡터이고 p 는 스칼라일 때 다음이 성립한다

1 KVamp times KV( ) KV( times KVamp 2 1pKVamp 3timesKV( )p1KVamp times KV( 3 )KVamp times 1pKV( 3

3 KVamp times 1KV( KV 3 )KVamp times KV( KVamp times KV

4 1KVamp KV( 3 times KV )

KVamp times

KV

KV( times

KV

5 KVamp ∙1KV( times KV 3)1KVamp times KV( 3∙KV6 KVamp times 1KV( times KV

3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱

세 벡터 KVamp 0 KV( 0 KV 로 결정되는 평행 육면체의 부피는 이 들의 스칼라 삼중곱의 크기이다

)nKVamp ∙1KV( times KV3n

문제 세 벡터 KVamp ) r0 I0 Dd0 KV( ) r0 0 Id0 KV ) r0 H0 Gd 는 한 평면의 놓 임을 보이시오

43


문제 세 벡터 KVamp )6 7 90

KV( )6 7 90

KV ) 6 7 9 에 의해서 결정된 평행육

면체의 부피를 구하시오

좌표평면안에 놓이는 직선의 벡터방정식 벡터 q 에 평행하고 평면 위의 점 $ 를 지나는 직선의

방정식은 다음처럼 표현된다

$ $ ~~ q harr $ $ )Nq 1 infinrNrinfin3 harr $)$ N q

여기서 $ 는 직선의 일반적인 점 이다 (generic point)

C차원공간안에 놓이는 평면의 벡터방정식 평행하지 않은 두 벡터 q0 q 에 의해서 결정된 평면

평행하고 C차원공간 위의 점 $ 를 지나는 평면의


$ ) $ Nq N q 1 infin rN rinfin0 infinrN rinfin3

여기서 $ 는 평면의 일반적인 점 이다 (generic point)

정의 c- )

ramp0 amp0 ⋯ 0 amp- d )

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

n amp 0 amp 0 ⋯ 0 amp-isinc

은 - 차원 벡터공간이라고 부른

다 여기서 c 은 실수 스칼라 들의 집합이다 통상적으로 벡터 ( ) ramp0 amp0 ⋯ 0 amp-d 시점이 원점이고 (종점이 1amp0 amp 0 ⋯ 0 amp-3 를 나타내고 이를 ) - 차원 벡터라고 부르고 이 것을 - times 행렬 열벡 (

터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다

정의 c- 의 공집합이 아닌 부분집합 가 c- 에서 정의된 벡터덧셈과 스칼라곱에 의해서 닫혀 있으면 를 c- 의 부분공간 이라고 부른다 (subspace)

예제 0 c- 은 c- 의 부분공간이다 우리는 이들 부분공간을 c- 의 자명 부분공간이라고 부 른다

정의 q0 q 0 ⋯ 0 q- 은 c- 안에 있는 벡터들이라고 하자

Meamp-q0q 0 ⋯ 0 q-)Nq Nq ⋯ N-q- n N 0 N 0 ⋯ 0 N- isinc

44


정리 Meamp-q0q0 ⋯ 0 q- )Nq Nq ⋯ N-q- n N 0 N 0 ⋯ 0 N- isinc 은 -차원

벡터공간 c- 의 부분공간이다

정의 Nq Nq ⋯ N-q- 을 벡터 q 0 q 0 ⋯ 0 q- 의 선형결합 (linear

이라고 부른다 combination)

정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d

은 -차원 벡터공간 c- 의 표준 단위 벡터들이라고 부른다

주목 벡터공간 c- 안에 놓이는 모든 벡터는 벡터공간 c- 의 표준 단위 벡터

U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d

들에 의해서 생성된다 즉 c-)Meamp-U0 U0 ⋯ 0 U-

예제 c 의 모든 부분공간을 C 개의 카테고리 로 분류하시오 (categories)

영 부분공간 즉 (1) ( )원점을 통과하는 모든 직선 (2)

(3) c

예제 cC 의 모든 부분공간을 C 개의 카테고리 로 분류하시오 (categories)

영 부분공간 즉 (1) ( )원점을 통과하는 모든 직선 (2) 원점을 통과하는 모든 평면 (3)

(4) cC

정리 행렬 는 5 times - 이고 $ isin c- 이라고 하자 제차 연립선형방정식 $) 의 해집합은 c

- 의 부분공간이다 우리는 이 부분공간을

45


$) 의 해공간 이라고 부른다 그리고 이 해공간을 (solution space) null13 로 표 현한다

증명

문제 연립선형방정식 $) 의 해공간을 구하시오

여기서 )=

gt

A

B C F E I C E E F G I G

이다

정리 0 W 는 5 times - 행렬이라고 하자

(1) $) 의 해공간이 c- harr )

(2) )W harr $ ) W$ 0 forall$ isinc-

증명

46


차독립[linear independence]

정의 q0 q 0 ⋯ 0 q9 은 c- 안에 있는 벡터들이라고 하자

q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는

차독립 한다고 말한다 그렇지 않다면(linearly independent) 즉 스칼라 ( 1lele93 들 중 적어도 하나가 이 아니다 ) q 0 q 0 ⋯ 0 q9 는 차종속

이라고 말한다 (linearly dependent)

예제 )0 q0 ⋯ 0 q9 는 차독립이 아니다 (∵isin)

정리 )q0 q 0 ⋯ 0 q9 subec- 이다

가 차종속이기 위한 필요충분조건은 안에 있는 벡터들중 적어도 하나가 안에 있는 다른 벡터들의 선형결합으로 표현되는 것이다

증명

정리 연립선형방정식 $) 이 자명해 영 해 만 가지기위한 필요충분 조건은 행렬 ( ) 의 열벡 터들이 차독립이다

증명

47


문제 다음 벡터들이 차독립인 지 아닌 지를 결정하시오

q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd

기억 벡터는 열벡터를 의미한다

정리 c- 안에 있는 - 개 이상의 벡터들은 차종속이다

증명

48


정리 역행렬의 동치명제[ ] 는 - times - 정사각형행렬이라고 하자




=

gt

A

B⋮



(7) 의 열벡터들은 차독립이다(8) 의 행벡터들은 차독립이다

정의 예를들면

$ C+) +)

생각하면 변수 $0 는 첨가행렬 안에 선행 (augment matrix) 에 대응됨으로 선행 변수 라고 부르고 나머지 변수 (leading variable) + 는 자유변수 (free variable) 라고 부른다

정리 비제차 연립선형방정식 $ )( 이 해를 가지고 가 제차 연립선형방정식 $ ) 의 해공간이면 비제차 연립선형방정식 $ ) ( 의 해집합은 다음과 같은 이동부분공간

이다 (translated subspace)

$ 1여기서 $ 은 $ ) ( 의임의의 해이다3

증명

49


문제 )=

gt

A


이다

비제차 연립선형방정식 $)=

gt

A

B EF

의 해집합을 이동부분공간으로 표현하시오


주목 첨가행렬의 기본행연산을 반복 적용해도 연립선형방정식의 해는 변함이 없다

예제 첨가 확장 행렬에다가 기본행연산을 적용하여 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오 ( )

$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다

문제 다음 연립선형방정식의 첨가 확장 행렬을 구하시오 ( )

C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50


정리 는 5 times - 행렬이다 다음 두 명제는 동치이다

(1) $ ) 이 자명해 만 가진다 (trivial solution)

(2) c5 안에 있는 임의의 벡터 ( 에 대하여 $ ) ( 가 많아야 한 해를 가진다

증명

정리 선형방정식의 개수보다 더 많은 미지수를 가지는 비제차 연립선형방정식은 해를 가지지 않거 나 무수히 많은 해를 가지거나 둘 중의 하나이다

증명

정의 는 5 times - 행렬이라고 허자 의 - 개의 열벡터 에의해서 생 (column vectors)성된 벡터공간을 열공간 이라고 부르고 행렬 (column space) 의 열공간은 col13 로 표현하고 의 5 개의 행벡터 에의해서 생성된 벡터공간을 행공간 (row vectors)

이라고 부르고 행렬 (row space) 의 행공간은 row13 로 표현한다

정리 연립선형방정식 $ ) ( 가 해를 가지기 위한 필요충분 조건은 ( isincol13 이다

51


예제 벡터 O ) rH0 0 d 는 벡터 q ) r0 0 Cd 0 q ) r0 I0 Fd 0 qC ) r0 C0 Ed 에 의해서 선형결합으로

표현할 수 있는지 결정하고 만일 그렇다면 O 를 그 벡터들의 선형결합으로 표현하시오

풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E

1첨가행렬3 rarr )0 )0 C )C

그러므로 O) q q CqC 이다

주목 (1) amp$ amp$ )( 1여기서 amp0 amp둘중 적어도 하나는 이 아니다3 는 $평면에서

직선 을 나타내고 (line)(2) amp$ amp$ ampC$C )( 1여기서 amp0 amp 0 ampC 셋중 적어도 하나는 이 아니다3 는 $+공

간에서 평면 을 나타낸다 (plane) (3) amp$ amp$ ⋯ amp-$-)( 1여기서 amp 0 amp 0 ⋯0 amp- 중 적어도 하나는 이 아니다3 는

-공간에서 초평면 을 나타낸다(hyperplane) amp$ amp$ ⋯ amp-$-) 1여기서 amp0 amp 0 ⋯0 amp- 중 적어도 하나는 이 아니다3 는 -공간에서 원점을 통과하는 초평면 을 나타낸다(hyperplane)

편리한 notation amp$ amp$ ⋯ amp-$-)( 를 내적 을 이용 (inner product)

하여 다음처럼 표현할 수 있다

amp ∙$)(

여기서 amp ) Pamp0 amp 0 ⋯ 0 amp-Q 는 times - 행렬 행벡터 이고 ( ) $ )

=

gt

A

B$$⋮$-

는 - times 행렬 열벡 (

터 이다 )

정의 ampperp ) $ n amp ∙$) 즉 행벡터 ( amp 와 직교하는 모든 열벡터 $ 들의 모임 를 ) amp 의 라고 부른다 orthogonal complement

문제 행벡터 amp ) P0 0 IQ 의 ampperp 를 구하시오

52


정리 는 5 times - 행렬이라고 하자 연립선형방정식 $ ) 의 해공간 (null 13 은 ) 의

모든 행벡터들과 직교하는 c- 안에 놓이는 벡터 열벡터 들로 구성된다 ( )

증명

정의 는 벡터공간이라고 하자 를 생성하는 차독립한 벡터들의 가장 큰 의 부분집합을 의 기저 라고 부르고 기저안에 속하는 (basis) 차독립한 벡터들의 갯수를 벡터공간 의 차원 이라 부른다 (dimension)

정리 W 0 W 가 벡터공간 의 기저라고 하면 W 에 속하는 벡터들의 갯수와 W 에 속하는 벡

터들의 개수는 같다

예제 영공간은 차원이 (1) 이고 직선은 차원이 (2) 이고 평면은 차원이 (3) 이다

문제 다음 연립선형방정식의 해공간 해공간의 차원을 구하고 행렬 의 모든 행벡터들이 해공간 null13 에 속하는 모든 벡터들과 직교함을 확인하시오

$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53


행렬의 종류 대각행렬 삼각행렬 대칭행렬17

대각행렬 은 다음처럼 정의된 (1) (diagonal matrix) - times - 정사각형행렬이다

| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다

ㄴ 그리고 임의의 양의 정수 ( ) 9 에 대하여 |9 )

=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54


삼각행렬(2) (triangular matrix)

삼각행렬은 정사각형행렬이다

ㄱ 상삼각행렬( ) (upper triangular matrix)

)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB

amp amp ampC amp ampC ampCC

ㄴ 하삼각행렬( ) (lower triangular matrix)

) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55


정리 하삼각행렬 (1) 의 전치행렬 _ 는 상삼각행렬 이고 상삼각행렬 의 전치행렬 _ 는 하삼각행렬 이다

하삼각행렬의 곱은 하삼각행렬이고 상삼각행렬의 곱은 상삼각행렬이다 (2)

삼각행렬 (3) 가 가역행렬이기 위한 필요충분조건은 의 주대각선상에 있는 모든 성 분이 이 아니다

가역적 하삼각행렬의 역행렬은 하삼각행렬이고 가역적 상삼각행렬의 역행렬은 상삼각행 (4) 렬이다

예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E

정의 ) Pamp67Q 는 정사각형행렬이고 _) 이면 를 대칭행렬 이라 (symmetric matrix)

고 부르고 _) 이면 를 행렬이라고 부른다 skew-symmetric

즉 1367 )1376 또는 amp67 )amp76이면 는 대칭행렬이고 1367 ) 1376 또는 amp67 ) amp76이 면 는 행렬이다 skew-symmetric

예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)

정리 0 W 는 같은 크기를 가지는 대칭행렬이고 9 는 임의의 스칼라일 때

_0 W0 W 그리고 9 는 대칭행렬이다

주목 0 W 는 같은 크기를 가지는 대칭행렬이면 1W3_ )W__)W 이다

정리 0 W 는 같은 크기를 가지는 대칭행렬이고 W)W 이면 W 는 대칭행렬이다

증명 1W3_ )W__)W )W QED

56


정리 가 가역적 대칭행렬이면 그의 역행렬 는 대칭행렬이다

증명 13_ )1_3 ) QED

주목 가 5 times - 행렬이고 W 가 - times 5 행렬이면 W 는 5times 5 행렬이고 W 는 - times - 행렬이고

1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로

_0 _ 는 대칭행렬이다

)Pamp 0 amp 0 ⋯ 0 amp-Q 1amp6는 의 6번째열행렬3 라고 놓으면

_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_

Pamp0 amp 0 ⋯ 0 amp-Q )

=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고

amp 0 amp 가 - times 행렬 열벡터 이면 내적은 다음처럼 정의된다 ( )

amp∙amp )amp_amp

정리 가 정사각형행렬이 때 0 _ 0 _ 는 동시에 가역행렬이거나 동시에 특이행렬이다 가역행렬이 아니다 [ ]

행렬의 고정점[fixed points of a matrix]

정의 가 - times - 정사각형행렬이고 $ 가 - times 열벡터이고 $)$ 이면 $ 를 행렬 의 고 정점이라고 부른다

이 것은 다음 관계를 의미한다

$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=

gt AB$$)=gt ABharr $ ) harr $ )0 $ )N 1N 는 임의의스칼라3

57


그러므로 고정점은 열벡터 $ ) =gt ABN

(N 임의의 스칼라 이다 그러므로 무수히 많은 고정점이 존재한 ) (

다)

주목 9 ) 1여기서 9 는 양의 정수3 일 때

$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다

정리 가 정사각형행렬이고 9) 1여기서 9 는 양의 정수3 이면 b 는 가역행렬이고

1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C

문제 행렬 에 대하여 C0 C 을 구하시오

)

=

gt

A

B

K

58


문제 E Fb ) 을 만족시키는 모든 times 대각행렬을 구하시오

정사각형행렬 의 분해 여기서 [ 은 하삼각행렬 는 상삼각행렬 ]

연립선형방정식의 풀이법

$ ) (

1 가우스 소거법

2 가우스 조단 소거법-

3 역행렬 이용법 [$ ) ( 미지수의 개수와 방정식의 갯수가 같은 경우 그리고 계수행렬의 역행 렬이 존재하는 경우에 한해서만 ]

4 $ ) ( 미지수의 개수와 방정식의 갯수가 같은 경우 우리는 또다른 방법 의 분해법을 이용할 수 있다 ( 가 로 부해되는 경우에 한해서만 )

(1) ) 로 분해 (2) $ )( $) (3) )( 로부터 를 구한다 (4) $) 로부터 $ 를 구한다

59


정의 정사각형행렬 가 ) 여기서 [ 은 하삼각행렬 는 상삼각행렬 로 표현되면 이 ]와같은 의 분해를 행렬 의 분해 라고 불리어진다

주목 행렬 의 분해 는 항상 존재하는 것이 아니고 존재한다고 하더라도 그 분해는 유일 하지 않다

분해방법 기본행연산중에서 행렬의 교환을 이용하지 않고 정사각형행렬 를 행 사다리꼴 가우스 (행렬 로 줄일 수 있다면 행렬 ) 의 분해 는 항상 존재한다

(1) l9 ⋯ ll) 1행 사다리꼴3 여기서 명백히 기본행렬 [ l6 는 하삼각행렬이다 ]

(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9

8 하삼각행렬3(3) 의 주대각선상의 선행 을 만들 때 사용된 수의 역수가 의 주대각선상에 배치된다 (4) 안의 성분을 만들 때 사용된 배수의 음의 부호를 붙힌 수가 순서적으로 에 배치된다

예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E

의 분해 를 구하시오

=

gt

A

B KC

H C D E

1행에 KF을곱함3

=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E

1행에 H곱하여행에더함0 행에 C을 곱하여 C행에더함3=

gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K

1행에 G을곱하여C행에더함3=

gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K

1C행에 을곱함3 )=

gt

ABF

H C G


문제 다음 첨가 확장 행렬에 대응하는 연립선형방정식의 해를 구하시오 ( )

=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다

문제 분해 를 이용하여 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오

$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다


가우스 소거법12 (Gaussian Elimination)

페이지 예제문제에 나오는 다음 첨가행렬을4

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E

의 행 사다리꼴 이라고 부르고 페이지 예제문제에(row echelon form) 4

나오는 다음 첨가행렬을

=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E

의 기약행 사다리꼴 이라 하고 간단히(reduced row echelon form)

기약 가우스 행렬 이라 부른다(reduced Gauss matrix)

첨가행렬이 기약행 사다리꼴 기약 가우스 행렬 이 되기 위해서는 다음 네 가지 성질을 만족해야한( )다

1 한 행이 모두 으로 되어 있지 않으면 그 행에서 첫째로 이 아닌 수는 이다 우리는 [ 을 선행의 (leading 이라 한다) ]

2 모두가 으로 된 행이 존재하면 이들은 행렬의 가장 아래쪽에 놓인다 3 모두가 이 아닌 두 연속행에 있어서 아래 행의 선행의 은 위 행의 선행의 보다 오른쪽

에 위치한다4 선행의 을 포함한 각 열 세로선 의 다른 모든 수는 ( ) 이다

윗 조건에서 번 조건을 제거한 행렬을 행 사다리꼴 가우스 행렬 이라 부른다4 ( )


앞에 예제에서 보았듯이 첨가행렬이 기본행연산에의하여 기약행 사다리꼴 기약 가우스 행렬 로 변형( )되면 연립선형방정식은 간단히 풀릴 수 있음을 우리는 보았다 첨가행렬에 기본행연산을 적용하여 행 사다리꼴 가우스 행렬 로 변형시키는 방법을 가우스 소거법 이라 ( ) (Gaussian elimination)하고 기약행 사다리꼴 기약 가우스 행렬 로 변형시키는 방법을 가우스 조단 소거법 ( ) -

이라 부른다(Gauss-Jordan elimination)

예제 가우스 소거법을 이용하여 다음 연립선형방정식의 해를 구하시오

$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )

그러므로 $ $ E$C C$I F$E ) I

$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I

there4 $ )M0 $I )N 라 놓으면 여기서 ( M0 N 는 임의의 상수 )

우리는 다음과 같은 무수히 많은 해를 가진다

$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9


앞의 예제에 가우스 조단 소거법을 적용하면-

=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D

기약행 사다리꼴 ( )

그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

주목 모든 행렬은 기본행연산에의하여 유일한 기약행 사다리꼴 기약 가우스 행렬 로 변형된다 즉 ( ) 주어진 행렬에 기본행연산의 순서를 달리 할지라도 똑같은 기약행 사다리꼴에 도달한다 하지만 이 와는 달리 주어진 행렬의 행 사다리꼴은 유일하지 않다 즉 기본행연산의 순서가 다르면 다른 행 사다리꼴로 변형된다


C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )

2015_LinearAlgebra(안상욱_20151022_최종수정본) 1pdf




























































10



$ I + O ) I+ O )

C$ + O ) E$ G + O ) I

11









=gt

AB C

I E F0=

gt

AB

0 P QD 0 P Q 0

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C




gt

AB




)Pamp67Q)

=

gt

A



amp67 )1367


AB

C I에 대해서 13 )0 13 )0 13 )C0 13 ) I 이다

12




=

gt

A

B((⋮(5

15 times 행렬3



=

gt

A






예제 )=gt AB

C $0 W)

=gt

AB


다


예제

)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C

0 W)=

gt

AB

U C

0 Y)=gt AB

C이면

W)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C

=

gt

AB

U C

)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

13


W)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C

=

gt

AB

U C

)

=

gt

A

BS TKC

KE

F

이고 Y0 Y 는



예제 )=gt

AB C

일 때 C)=

gt

ABC F H

C C이고 )=

gt

AB

( 행렬 이다 )



1W36 )6 )amp6( amp6( ⋯ amp6-(- )Z7)

-




예제

)=gt

AB I

F 1 times C30 W)

=

gt

ABI I C

C D E


1W3 ) P Q I=

gt ABI)1∙I3 1∙3 1I∙3 )

1W3 ) P Q I

=

gt

ABD

)1∙3 1∙133 1I∙D3 )D

1W3C ) P Q I=


1W3I ) P Q I=

gt ABC)1∙C3 1∙3 1I∙3 )C

1W3 ) P Q F =

gt ABI)1∙I3 1F∙3 1∙3 )G

14


1W3 ) P Q F

=

gt

ABD

)1∙3 1F∙133 1∙D3 ) I

1W3C ) P Q F =


1W3I ) P Q F =

gt ABC)1∙C3 1F∙3 1∙3 )

이므로

W)=gt

AB D C C

G I F 이다




⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


=

gt

A


=

gt

A

B$$⋮$-

)

=

gt

A

B((⋮(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

0 ()

=

gt

A

B((⋮(5

이다

15



=

gt

A







예제

)=

gt

AB

C

이면 _)=gt

AB C

이다


(1) 1_3_ ) (2) 1 plusmn W3_ )_ plusmn W_

임의의 스칼라 상수 (3) ( ) 9 에 대하여 193_ )9_

(4) 1W3_ )W__


예제

)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C


16



=gt

AB$ +

O + $ CO)=gt

ABC

E


)=gt

AB


17



=

gt

A

B$$⋮$-

는


예제 =gt

AB C

I E

=

gt

ABC


E)=gt ABI


=

gt

ABC

I

=gt ABC

D



W) P( 0 ( 0 ⋯ 0 (9Q

이다


)=gt

AB C

E 0 W)

=

gt

AB C

E I

18




예제 )=gt

AB

C0 W)

=gt

AB

C 일 때 W)

=gt

AB

Ine=gt

ABC F

C )W





(2) 1W Y3 )1 W3 Y 덧셈에 관한 결합법칙 ( )









예제 )=gt

AB

0 W)

=gt

AB

C I0 Y)

=gt

AB E

C I이 때 W)

=gt ABC I

F G)Y0 W neY 이다

예제 )=gt AB

0 W)

=gt ABC D

이 때 W)

=gt AB

)

19





증명



예제


는 행렬 )

=gt

AB E



이기 때문이다

행렬 (2) )=

gt

AB I

E C F






기저의 성질42









20


역행렬의 성질




는 가역적이고

)Kamp ( =

gt

AB (

amp)

=

gt

A

BKamp (Kamp (

(

Kamp (

Kamp (

amp이다


이다


이다

증명





의한다



(1) 은 가역적이고 13 )

음이 아닌 정수 (2) - 에 대하여 1-3)13-


21



)

스스로 (2)

(3) 1931K93 )K9

193

)1K993)13b )b

마찬가지로 1K93193 ) 91K9

3)19K9

313 )13b )b

그러므로 193 ) K9

QED

예제 )=gt AB

C이면

)KC

=gt

ABC

)=gt

ABC

이고

1C3 )C )13C )=gt

ABC

=gt

ABC

=gt

ABC

)=gt

ABI C

E

C)=gt

AB C

E I이고 1C3

)KIE IE

=gt

ABI C

E )=gt

ABI C

E 이다






)=gt

AB

C0 e1$3 )$ C$ I 일 때

e13 ) C Ib )=gt

AB

C

C=gt

AB

C I=gt AB

)=gt

AB G

G=gt

ABC F

H=gt ABI

I)=gt

ABH

C

22



증명 _13_ )13_ )b_)b 0 13__)13_ )b_)b QED

예제

)=gt AB

C I이 면 _)

=gt AB C

I이고 there4 1_3

)KI F

=gt

ABI C

)

=

gt

A

B K

C

K

이다

한편 )KI F =gt

ABI

C )=

gt

AB

K

C K

0 13_ )

=

gt

A

B K

C

K

이다


(1) =gt

ABcosi sini

sini cosi

(2)

=

gt

A

BKU$ U

$

K

U$ U$

K

U$ U$

K

U$ U$

23




(1) 1W3 )W

(2) 1 W3 )1W 3

(3) 1W31W3 )b5

(4) W neW


WY_^W_Y)W_

24







예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB





예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I


25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































11









=gt

AB C

I E F0=

gt

AB

0 P QD 0 P Q 0

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C




gt

AB




)Pamp67Q)

=

gt

A



amp67 )1367


AB

C I에 대해서 13 )0 13 )0 13 )C0 13 ) I 이다

12




=

gt

A

B((⋮(5

15 times 행렬3



=

gt

A






예제 )=gt AB

C $0 W)

=gt

AB


다


예제

)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C

0 W)=

gt

AB

U C

0 Y)=gt AB

C이면

W)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C

=

gt

AB

U C

)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

13


W)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C

=

gt

AB

U C

)

=

gt

A

BS TKC

KE

F

이고 Y0 Y 는



예제 )=gt

AB C

일 때 C)=

gt

ABC F H

C C이고 )=

gt

AB

( 행렬 이다 )



1W36 )6 )amp6( amp6( ⋯ amp6-(- )Z7)

-




예제

)=gt

AB I

F 1 times C30 W)

=

gt

ABI I C

C D E


1W3 ) P Q I=

gt ABI)1∙I3 1∙3 1I∙3 )

1W3 ) P Q I

=

gt

ABD

)1∙3 1∙133 1I∙D3 )D

1W3C ) P Q I=


1W3I ) P Q I=

gt ABC)1∙C3 1∙3 1I∙3 )C

1W3 ) P Q F =

gt ABI)1∙I3 1F∙3 1∙3 )G

14


1W3 ) P Q F

=

gt

ABD

)1∙3 1F∙133 1∙D3 ) I

1W3C ) P Q F =


1W3I ) P Q F =

gt ABC)1∙C3 1F∙3 1∙3 )

이므로

W)=gt

AB D C C

G I F 이다




⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


=

gt

A


=

gt

A

B$$⋮$-

)

=

gt

A

B((⋮(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

0 ()

=

gt

A

B((⋮(5

이다

15



=

gt

A







예제

)=

gt

AB

C

이면 _)=gt

AB C

이다


(1) 1_3_ ) (2) 1 plusmn W3_ )_ plusmn W_

임의의 스칼라 상수 (3) ( ) 9 에 대하여 193_ )9_

(4) 1W3_ )W__


예제

)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C


16



=gt

AB$ +

O + $ CO)=gt

ABC

E


)=gt

AB


17



=

gt

A

B$$⋮$-

는


예제 =gt

AB C

I E

=

gt

ABC


E)=gt ABI


=

gt

ABC

I

=gt ABC

D



W) P( 0 ( 0 ⋯ 0 (9Q

이다


)=gt

AB C

E 0 W)

=

gt

AB C

E I

18




예제 )=gt

AB

C0 W)

=gt

AB

C 일 때 W)

=gt

AB

Ine=gt

ABC F

C )W





(2) 1W Y3 )1 W3 Y 덧셈에 관한 결합법칙 ( )









예제 )=gt

AB

0 W)

=gt

AB

C I0 Y)

=gt

AB E

C I이 때 W)

=gt ABC I

F G)Y0 W neY 이다

예제 )=gt AB

0 W)

=gt ABC D

이 때 W)

=gt AB

)

19





증명



예제


는 행렬 )

=gt

AB E



이기 때문이다

행렬 (2) )=

gt

AB I

E C F






기저의 성질42









20


역행렬의 성질




는 가역적이고

)Kamp ( =

gt

AB (

amp)

=

gt

A

BKamp (Kamp (

(

Kamp (

Kamp (

amp이다


이다


이다

증명





의한다



(1) 은 가역적이고 13 )

음이 아닌 정수 (2) - 에 대하여 1-3)13-


21



)

스스로 (2)

(3) 1931K93 )K9

193

)1K993)13b )b

마찬가지로 1K93193 ) 91K9

3)19K9

313 )13b )b

그러므로 193 ) K9

QED

예제 )=gt AB

C이면

)KC

=gt

ABC

)=gt

ABC

이고

1C3 )C )13C )=gt

ABC

=gt

ABC

=gt

ABC

)=gt

ABI C

E

C)=gt

AB C

E I이고 1C3

)KIE IE

=gt

ABI C

E )=gt

ABI C

E 이다






)=gt

AB

C0 e1$3 )$ C$ I 일 때

e13 ) C Ib )=gt

AB

C

C=gt

AB

C I=gt AB

)=gt

AB G

G=gt

ABC F

H=gt ABI

I)=gt

ABH

C

22



증명 _13_ )13_ )b_)b 0 13__)13_ )b_)b QED

예제

)=gt AB

C I이 면 _)

=gt AB C

I이고 there4 1_3

)KI F

=gt

ABI C

)

=

gt

A

B K

C

K

이다

한편 )KI F =gt

ABI

C )=

gt

AB

K

C K

0 13_ )

=

gt

A

B K

C

K

이다


(1) =gt

ABcosi sini

sini cosi

(2)

=

gt

A

BKU$ U

$

K

U$ U$

K

U$ U$

K

U$ U$

23




(1) 1W3 )W

(2) 1 W3 )1W 3

(3) 1W31W3 )b5

(4) W neW


WY_^W_Y)W_

24







예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB





예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I


25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































12




=

gt

A

B((⋮(5

15 times 행렬3



=

gt

A






예제 )=gt AB

C $0 W)

=gt

AB


다


예제

)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C

0 W)=

gt

AB

U C

0 Y)=gt AB

C이면

W)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C

=

gt

AB

U C

)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

13


W)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C

=

gt

AB

U C

)

=

gt

A

BS TKC

KE

F

이고 Y0 Y 는



예제 )=gt

AB C

일 때 C)=

gt

ABC F H

C C이고 )=

gt

AB

( 행렬 이다 )



1W36 )6 )amp6( amp6( ⋯ amp6-(- )Z7)

-




예제

)=gt

AB I

F 1 times C30 W)

=

gt

ABI I C

C D E


1W3 ) P Q I=

gt ABI)1∙I3 1∙3 1I∙3 )

1W3 ) P Q I

=

gt

ABD

)1∙3 1∙133 1I∙D3 )D

1W3C ) P Q I=


1W3I ) P Q I=

gt ABC)1∙C3 1∙3 1I∙3 )C

1W3 ) P Q F =

gt ABI)1∙I3 1F∙3 1∙3 )G

14


1W3 ) P Q F

=

gt

ABD

)1∙3 1F∙133 1∙D3 ) I

1W3C ) P Q F =


1W3I ) P Q F =

gt ABC)1∙C3 1F∙3 1∙3 )

이므로

W)=gt

AB D C C

G I F 이다




⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


=

gt

A


=

gt

A

B$$⋮$-

)

=

gt

A

B((⋮(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

0 ()

=

gt

A

B((⋮(5

이다

15



=

gt

A







예제

)=

gt

AB

C

이면 _)=gt

AB C

이다


(1) 1_3_ ) (2) 1 plusmn W3_ )_ plusmn W_

임의의 스칼라 상수 (3) ( ) 9 에 대하여 193_ )9_

(4) 1W3_ )W__


예제

)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C


16



=gt

AB$ +

O + $ CO)=gt

ABC

E


)=gt

AB


17



=

gt

A

B$$⋮$-

는


예제 =gt

AB C

I E

=

gt

ABC


E)=gt ABI


=

gt

ABC

I

=gt ABC

D



W) P( 0 ( 0 ⋯ 0 (9Q

이다


)=gt

AB C

E 0 W)

=

gt

AB C

E I

18




예제 )=gt

AB

C0 W)

=gt

AB

C 일 때 W)

=gt

AB

Ine=gt

ABC F

C )W





(2) 1W Y3 )1 W3 Y 덧셈에 관한 결합법칙 ( )









예제 )=gt

AB

0 W)

=gt

AB

C I0 Y)

=gt

AB E

C I이 때 W)

=gt ABC I

F G)Y0 W neY 이다

예제 )=gt AB

0 W)

=gt ABC D

이 때 W)

=gt AB

)

19





증명



예제


는 행렬 )

=gt

AB E



이기 때문이다

행렬 (2) )=

gt

AB I

E C F






기저의 성질42









20


역행렬의 성질




는 가역적이고

)Kamp ( =

gt

AB (

amp)

=

gt

A

BKamp (Kamp (

(

Kamp (

Kamp (

amp이다


이다


이다

증명





의한다



(1) 은 가역적이고 13 )

음이 아닌 정수 (2) - 에 대하여 1-3)13-


21



)

스스로 (2)

(3) 1931K93 )K9

193

)1K993)13b )b

마찬가지로 1K93193 ) 91K9

3)19K9

313 )13b )b

그러므로 193 ) K9

QED

예제 )=gt AB

C이면

)KC

=gt

ABC

)=gt

ABC

이고

1C3 )C )13C )=gt

ABC

=gt

ABC

=gt

ABC

)=gt

ABI C

E

C)=gt

AB C

E I이고 1C3

)KIE IE

=gt

ABI C

E )=gt

ABI C

E 이다






)=gt

AB

C0 e1$3 )$ C$ I 일 때

e13 ) C Ib )=gt

AB

C

C=gt

AB

C I=gt AB

)=gt

AB G

G=gt

ABC F

H=gt ABI

I)=gt

ABH

C

22



증명 _13_ )13_ )b_)b 0 13__)13_ )b_)b QED

예제

)=gt AB

C I이 면 _)

=gt AB C

I이고 there4 1_3

)KI F

=gt

ABI C

)

=

gt

A

B K

C

K

이다

한편 )KI F =gt

ABI

C )=

gt

AB

K

C K

0 13_ )

=

gt

A

B K

C

K

이다


(1) =gt

ABcosi sini

sini cosi

(2)

=

gt

A

BKU$ U

$

K

U$ U$

K

U$ U$

K

U$ U$

23




(1) 1W3 )W

(2) 1 W3 )1W 3

(3) 1W31W3 )b5

(4) W neW


WY_^W_Y)W_

24







예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB





예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I


25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































13


W)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C

=

gt

AB

U C

)

=

gt

A

BS TKC

KE

F

이고 Y0 Y 는



예제 )=gt

AB C

일 때 C)=

gt

ABC F H

C C이고 )=

gt

AB

( 행렬 이다 )



1W36 )6 )amp6( amp6( ⋯ amp6-(- )Z7)

-




예제

)=gt

AB I

F 1 times C30 W)

=

gt

ABI I C

C D E


1W3 ) P Q I=

gt ABI)1∙I3 1∙3 1I∙3 )

1W3 ) P Q I

=

gt

ABD

)1∙3 1∙133 1I∙D3 )D

1W3C ) P Q I=


1W3I ) P Q I=

gt ABC)1∙C3 1∙3 1I∙3 )C

1W3 ) P Q F =

gt ABI)1∙I3 1F∙3 1∙3 )G

14


1W3 ) P Q F

=

gt

ABD

)1∙3 1F∙133 1∙D3 ) I

1W3C ) P Q F =


1W3I ) P Q F =

gt ABC)1∙C3 1F∙3 1∙3 )

이므로

W)=gt

AB D C C

G I F 이다




⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


=

gt

A


=

gt

A

B$$⋮$-

)

=

gt

A

B((⋮(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

0 ()

=

gt

A

B((⋮(5

이다

15



=

gt

A







예제

)=

gt

AB

C

이면 _)=gt

AB C

이다


(1) 1_3_ ) (2) 1 plusmn W3_ )_ plusmn W_

임의의 스칼라 상수 (3) ( ) 9 에 대하여 193_ )9_

(4) 1W3_ )W__


예제

)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C


16



=gt

AB$ +

O + $ CO)=gt

ABC

E


)=gt

AB


17



=

gt

A

B$$⋮$-

는


예제 =gt

AB C

I E

=

gt

ABC


E)=gt ABI


=

gt

ABC

I

=gt ABC

D



W) P( 0 ( 0 ⋯ 0 (9Q

이다


)=gt

AB C

E 0 W)

=

gt

AB C

E I

18




예제 )=gt

AB

C0 W)

=gt

AB

C 일 때 W)

=gt

AB

Ine=gt

ABC F

C )W





(2) 1W Y3 )1 W3 Y 덧셈에 관한 결합법칙 ( )









예제 )=gt

AB

0 W)

=gt

AB

C I0 Y)

=gt

AB E

C I이 때 W)

=gt ABC I

F G)Y0 W neY 이다

예제 )=gt AB

0 W)

=gt ABC D

이 때 W)

=gt AB

)

19





증명



예제


는 행렬 )

=gt

AB E



이기 때문이다

행렬 (2) )=

gt

AB I

E C F






기저의 성질42









20


역행렬의 성질




는 가역적이고

)Kamp ( =

gt

AB (

amp)

=

gt

A

BKamp (Kamp (

(

Kamp (

Kamp (

amp이다


이다


이다

증명





의한다



(1) 은 가역적이고 13 )

음이 아닌 정수 (2) - 에 대하여 1-3)13-


21



)

스스로 (2)

(3) 1931K93 )K9

193

)1K993)13b )b

마찬가지로 1K93193 ) 91K9

3)19K9

313 )13b )b

그러므로 193 ) K9

QED

예제 )=gt AB

C이면

)KC

=gt

ABC

)=gt

ABC

이고

1C3 )C )13C )=gt

ABC

=gt

ABC

=gt

ABC

)=gt

ABI C

E

C)=gt

AB C

E I이고 1C3

)KIE IE

=gt

ABI C

E )=gt

ABI C

E 이다






)=gt

AB

C0 e1$3 )$ C$ I 일 때

e13 ) C Ib )=gt

AB

C

C=gt

AB

C I=gt AB

)=gt

AB G

G=gt

ABC F

H=gt ABI

I)=gt

ABH

C

22



증명 _13_ )13_ )b_)b 0 13__)13_ )b_)b QED

예제

)=gt AB

C I이 면 _)

=gt AB C

I이고 there4 1_3

)KI F

=gt

ABI C

)

=

gt

A

B K

C

K

이다

한편 )KI F =gt

ABI

C )=

gt

AB

K

C K

0 13_ )

=

gt

A

B K

C

K

이다


(1) =gt

ABcosi sini

sini cosi

(2)

=

gt

A

BKU$ U

$

K

U$ U$

K

U$ U$

K

U$ U$

23




(1) 1W3 )W

(2) 1 W3 )1W 3

(3) 1W31W3 )b5

(4) W neW


WY_^W_Y)W_

24







예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB





예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I


25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































14


1W3 ) P Q F

=

gt

ABD

)1∙3 1F∙133 1∙D3 ) I

1W3C ) P Q F =


1W3I ) P Q F =

gt ABC)1∙C3 1F∙3 1∙3 )

이므로

W)=gt

AB D C C

G I F 이다




⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


=

gt

A


=

gt

A

B$$⋮$-

)

=

gt

A

B((⋮(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

0 ()

=

gt

A

B((⋮(5

이다

15



=

gt

A







예제

)=

gt

AB

C

이면 _)=gt

AB C

이다


(1) 1_3_ ) (2) 1 plusmn W3_ )_ plusmn W_

임의의 스칼라 상수 (3) ( ) 9 에 대하여 193_ )9_

(4) 1W3_ )W__


예제

)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C


16



=gt

AB$ +

O + $ CO)=gt

ABC

E


)=gt

AB


17



=

gt

A

B$$⋮$-

는


예제 =gt

AB C

I E

=

gt

ABC


E)=gt ABI


=

gt

ABC

I

=gt ABC

D



W) P( 0 ( 0 ⋯ 0 (9Q

이다


)=gt

AB C

E 0 W)

=

gt

AB C

E I

18




예제 )=gt

AB

C0 W)

=gt

AB

C 일 때 W)

=gt

AB

Ine=gt

ABC F

C )W





(2) 1W Y3 )1 W3 Y 덧셈에 관한 결합법칙 ( )









예제 )=gt

AB

0 W)

=gt

AB

C I0 Y)

=gt

AB E

C I이 때 W)

=gt ABC I

F G)Y0 W neY 이다

예제 )=gt AB

0 W)

=gt ABC D

이 때 W)

=gt AB

)

19





증명



예제


는 행렬 )

=gt

AB E



이기 때문이다

행렬 (2) )=

gt

AB I

E C F






기저의 성질42









20


역행렬의 성질




는 가역적이고

)Kamp ( =

gt

AB (

amp)

=

gt

A

BKamp (Kamp (

(

Kamp (

Kamp (

amp이다


이다


이다

증명





의한다



(1) 은 가역적이고 13 )

음이 아닌 정수 (2) - 에 대하여 1-3)13-


21



)

스스로 (2)

(3) 1931K93 )K9

193

)1K993)13b )b

마찬가지로 1K93193 ) 91K9

3)19K9

313 )13b )b

그러므로 193 ) K9

QED

예제 )=gt AB

C이면

)KC

=gt

ABC

)=gt

ABC

이고

1C3 )C )13C )=gt

ABC

=gt

ABC

=gt

ABC

)=gt

ABI C

E

C)=gt

AB C

E I이고 1C3

)KIE IE

=gt

ABI C

E )=gt

ABI C

E 이다






)=gt

AB

C0 e1$3 )$ C$ I 일 때

e13 ) C Ib )=gt

AB

C

C=gt

AB

C I=gt AB

)=gt

AB G

G=gt

ABC F

H=gt ABI

I)=gt

ABH

C

22



증명 _13_ )13_ )b_)b 0 13__)13_ )b_)b QED

예제

)=gt AB

C I이 면 _)

=gt AB C

I이고 there4 1_3

)KI F

=gt

ABI C

)

=

gt

A

B K

C

K

이다

한편 )KI F =gt

ABI

C )=

gt

AB

K

C K

0 13_ )

=

gt

A

B K

C

K

이다


(1) =gt

ABcosi sini

sini cosi

(2)

=

gt

A

BKU$ U

$

K

U$ U$

K

U$ U$

K

U$ U$

23




(1) 1W3 )W

(2) 1 W3 )1W 3

(3) 1W31W3 )b5

(4) W neW


WY_^W_Y)W_

24







예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB





예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I


25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































15



=

gt

A







예제

)=

gt

AB

C

이면 _)=gt

AB C

이다


(1) 1_3_ ) (2) 1 plusmn W3_ )_ plusmn W_

임의의 스칼라 상수 (3) ( ) 9 에 대하여 193_ )9_

(4) 1W3_ )W__


예제

)

=

gt

A

BS TKC

KE

U

C


16



=gt

AB$ +

O + $ CO)=gt

ABC

E


)=gt

AB


17



=

gt

A

B$$⋮$-

는


예제 =gt

AB C

I E

=

gt

ABC


E)=gt ABI


=

gt

ABC

I

=gt ABC

D



W) P( 0 ( 0 ⋯ 0 (9Q

이다


)=gt

AB C

E 0 W)

=

gt

AB C

E I

18




예제 )=gt

AB

C0 W)

=gt

AB

C 일 때 W)

=gt

AB

Ine=gt

ABC F

C )W





(2) 1W Y3 )1 W3 Y 덧셈에 관한 결합법칙 ( )









예제 )=gt

AB

0 W)

=gt

AB

C I0 Y)

=gt

AB E

C I이 때 W)

=gt ABC I

F G)Y0 W neY 이다

예제 )=gt AB

0 W)

=gt ABC D

이 때 W)

=gt AB

)

19





증명



예제


는 행렬 )

=gt

AB E



이기 때문이다

행렬 (2) )=

gt

AB I

E C F






기저의 성질42









20


역행렬의 성질




는 가역적이고

)Kamp ( =

gt

AB (

amp)

=

gt

A

BKamp (Kamp (

(

Kamp (

Kamp (

amp이다


이다


이다

증명





의한다



(1) 은 가역적이고 13 )

음이 아닌 정수 (2) - 에 대하여 1-3)13-


21



)

스스로 (2)

(3) 1931K93 )K9

193

)1K993)13b )b

마찬가지로 1K93193 ) 91K9

3)19K9

313 )13b )b

그러므로 193 ) K9

QED

예제 )=gt AB

C이면

)KC

=gt

ABC

)=gt

ABC

이고

1C3 )C )13C )=gt

ABC

=gt

ABC

=gt

ABC

)=gt

ABI C

E

C)=gt

AB C

E I이고 1C3

)KIE IE

=gt

ABI C

E )=gt

ABI C

E 이다






)=gt

AB

C0 e1$3 )$ C$ I 일 때

e13 ) C Ib )=gt

AB

C

C=gt

AB

C I=gt AB

)=gt

AB G

G=gt

ABC F

H=gt ABI

I)=gt

ABH

C

22



증명 _13_ )13_ )b_)b 0 13__)13_ )b_)b QED

예제

)=gt AB

C I이 면 _)

=gt AB C

I이고 there4 1_3

)KI F

=gt

ABI C

)

=

gt

A

B K

C

K

이다

한편 )KI F =gt

ABI

C )=

gt

AB

K

C K

0 13_ )

=

gt

A

B K

C

K

이다


(1) =gt

ABcosi sini

sini cosi

(2)

=

gt

A

BKU$ U

$

K

U$ U$

K

U$ U$

K

U$ U$

23




(1) 1W3 )W

(2) 1 W3 )1W 3

(3) 1W31W3 )b5

(4) W neW


WY_^W_Y)W_

24







예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB





예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I


25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































16



=gt

AB$ +

O + $ CO)=gt

ABC

E


)=gt

AB


17



=

gt

A

B$$⋮$-

는


예제 =gt

AB C

I E

=

gt

ABC


E)=gt ABI


=

gt

ABC

I

=gt ABC

D



W) P( 0 ( 0 ⋯ 0 (9Q

이다


)=gt

AB C

E 0 W)

=

gt

AB C

E I

18




예제 )=gt

AB

C0 W)

=gt

AB

C 일 때 W)

=gt

AB

Ine=gt

ABC F

C )W





(2) 1W Y3 )1 W3 Y 덧셈에 관한 결합법칙 ( )









예제 )=gt

AB

0 W)

=gt

AB

C I0 Y)

=gt

AB E

C I이 때 W)

=gt ABC I

F G)Y0 W neY 이다

예제 )=gt AB

0 W)

=gt ABC D

이 때 W)

=gt AB

)

19





증명



예제


는 행렬 )

=gt

AB E



이기 때문이다

행렬 (2) )=

gt

AB I

E C F






기저의 성질42









20


역행렬의 성질




는 가역적이고

)Kamp ( =

gt

AB (

amp)

=

gt

A

BKamp (Kamp (

(

Kamp (

Kamp (

amp이다


이다


이다

증명





의한다



(1) 은 가역적이고 13 )

음이 아닌 정수 (2) - 에 대하여 1-3)13-


21



)

스스로 (2)

(3) 1931K93 )K9

193

)1K993)13b )b

마찬가지로 1K93193 ) 91K9

3)19K9

313 )13b )b

그러므로 193 ) K9

QED

예제 )=gt AB

C이면

)KC

=gt

ABC

)=gt

ABC

이고

1C3 )C )13C )=gt

ABC

=gt

ABC

=gt

ABC

)=gt

ABI C

E

C)=gt

AB C

E I이고 1C3

)KIE IE

=gt

ABI C

E )=gt

ABI C

E 이다






)=gt

AB

C0 e1$3 )$ C$ I 일 때

e13 ) C Ib )=gt

AB

C

C=gt

AB

C I=gt AB

)=gt

AB G

G=gt

ABC F

H=gt ABI

I)=gt

ABH

C

22



증명 _13_ )13_ )b_)b 0 13__)13_ )b_)b QED

예제

)=gt AB

C I이 면 _)

=gt AB C

I이고 there4 1_3

)KI F

=gt

ABI C

)

=

gt

A

B K

C

K

이다

한편 )KI F =gt

ABI

C )=

gt

AB

K

C K

0 13_ )

=

gt

A

B K

C

K

이다


(1) =gt

ABcosi sini

sini cosi

(2)

=

gt

A

BKU$ U

$

K

U$ U$

K

U$ U$

K

U$ U$

23




(1) 1W3 )W

(2) 1 W3 )1W 3

(3) 1W31W3 )b5

(4) W neW


WY_^W_Y)W_

24







예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB





예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I


25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































17



=

gt

A

B$$⋮$-

는


예제 =gt

AB C

I E

=

gt

ABC


E)=gt ABI


=

gt

ABC

I

=gt ABC

D



W) P( 0 ( 0 ⋯ 0 (9Q

이다


)=gt

AB C

E 0 W)

=

gt

AB C

E I

18




예제 )=gt

AB

C0 W)

=gt

AB

C 일 때 W)

=gt

AB

Ine=gt

ABC F

C )W





(2) 1W Y3 )1 W3 Y 덧셈에 관한 결합법칙 ( )









예제 )=gt

AB

0 W)

=gt

AB

C I0 Y)

=gt

AB E

C I이 때 W)

=gt ABC I

F G)Y0 W neY 이다

예제 )=gt AB

0 W)

=gt ABC D

이 때 W)

=gt AB

)

19





증명



예제


는 행렬 )

=gt

AB E



이기 때문이다

행렬 (2) )=

gt

AB I

E C F






기저의 성질42









20


역행렬의 성질




는 가역적이고

)Kamp ( =

gt

AB (

amp)

=

gt

A

BKamp (Kamp (

(

Kamp (

Kamp (

amp이다


이다


이다

증명





의한다



(1) 은 가역적이고 13 )

음이 아닌 정수 (2) - 에 대하여 1-3)13-


21



)

스스로 (2)

(3) 1931K93 )K9

193

)1K993)13b )b

마찬가지로 1K93193 ) 91K9

3)19K9

313 )13b )b

그러므로 193 ) K9

QED

예제 )=gt AB

C이면

)KC

=gt

ABC

)=gt

ABC

이고

1C3 )C )13C )=gt

ABC

=gt

ABC

=gt

ABC

)=gt

ABI C

E

C)=gt

AB C

E I이고 1C3

)KIE IE

=gt

ABI C

E )=gt

ABI C

E 이다






)=gt

AB

C0 e1$3 )$ C$ I 일 때

e13 ) C Ib )=gt

AB

C

C=gt

AB

C I=gt AB

)=gt

AB G

G=gt

ABC F

H=gt ABI

I)=gt

ABH

C

22



증명 _13_ )13_ )b_)b 0 13__)13_ )b_)b QED

예제

)=gt AB

C I이 면 _)

=gt AB C

I이고 there4 1_3

)KI F

=gt

ABI C

)

=

gt

A

B K

C

K

이다

한편 )KI F =gt

ABI

C )=

gt

AB

K

C K

0 13_ )

=

gt

A

B K

C

K

이다


(1) =gt

ABcosi sini

sini cosi

(2)

=

gt

A

BKU$ U

$

K

U$ U$

K

U$ U$

K

U$ U$

23




(1) 1W3 )W

(2) 1 W3 )1W 3

(3) 1W31W3 )b5

(4) W neW


WY_^W_Y)W_

24







예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB





예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I


25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































18




예제 )=gt

AB

C0 W)

=gt

AB

C 일 때 W)

=gt

AB

Ine=gt

ABC F

C )W





(2) 1W Y3 )1 W3 Y 덧셈에 관한 결합법칙 ( )









예제 )=gt

AB

0 W)

=gt

AB

C I0 Y)

=gt

AB E

C I이 때 W)

=gt ABC I

F G)Y0 W neY 이다

예제 )=gt AB

0 W)

=gt ABC D

이 때 W)

=gt AB

)

19





증명



예제


는 행렬 )

=gt

AB E



이기 때문이다

행렬 (2) )=

gt

AB I

E C F






기저의 성질42









20


역행렬의 성질




는 가역적이고

)Kamp ( =

gt

AB (

amp)

=

gt

A

BKamp (Kamp (

(

Kamp (

Kamp (

amp이다


이다


이다

증명





의한다



(1) 은 가역적이고 13 )

음이 아닌 정수 (2) - 에 대하여 1-3)13-


21



)

스스로 (2)

(3) 1931K93 )K9

193

)1K993)13b )b

마찬가지로 1K93193 ) 91K9

3)19K9

313 )13b )b

그러므로 193 ) K9

QED

예제 )=gt AB

C이면

)KC

=gt

ABC

)=gt

ABC

이고

1C3 )C )13C )=gt

ABC

=gt

ABC

=gt

ABC

)=gt

ABI C

E

C)=gt

AB C

E I이고 1C3

)KIE IE

=gt

ABI C

E )=gt

ABI C

E 이다






)=gt

AB

C0 e1$3 )$ C$ I 일 때

e13 ) C Ib )=gt

AB

C

C=gt

AB

C I=gt AB

)=gt

AB G

G=gt

ABC F

H=gt ABI

I)=gt

ABH

C

22



증명 _13_ )13_ )b_)b 0 13__)13_ )b_)b QED

예제

)=gt AB

C I이 면 _)

=gt AB C

I이고 there4 1_3

)KI F

=gt

ABI C

)

=

gt

A

B K

C

K

이다

한편 )KI F =gt

ABI

C )=

gt

AB

K

C K

0 13_ )

=

gt

A

B K

C

K

이다


(1) =gt

ABcosi sini

sini cosi

(2)

=

gt

A

BKU$ U

$

K

U$ U$

K

U$ U$

K

U$ U$

23




(1) 1W3 )W

(2) 1 W3 )1W 3

(3) 1W31W3 )b5

(4) W neW


WY_^W_Y)W_

24







예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB





예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I


25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































19





증명



예제


는 행렬 )

=gt

AB E



이기 때문이다

행렬 (2) )=

gt

AB I

E C F






기저의 성질42









20


역행렬의 성질




는 가역적이고

)Kamp ( =

gt

AB (

amp)

=

gt

A

BKamp (Kamp (

(

Kamp (

Kamp (

amp이다


이다


이다

증명





의한다



(1) 은 가역적이고 13 )

음이 아닌 정수 (2) - 에 대하여 1-3)13-


21



)

스스로 (2)

(3) 1931K93 )K9

193

)1K993)13b )b

마찬가지로 1K93193 ) 91K9

3)19K9

313 )13b )b

그러므로 193 ) K9

QED

예제 )=gt AB

C이면

)KC

=gt

ABC

)=gt

ABC

이고

1C3 )C )13C )=gt

ABC

=gt

ABC

=gt

ABC

)=gt

ABI C

E

C)=gt

AB C

E I이고 1C3

)KIE IE

=gt

ABI C

E )=gt

ABI C

E 이다






)=gt

AB

C0 e1$3 )$ C$ I 일 때

e13 ) C Ib )=gt

AB

C

C=gt

AB

C I=gt AB

)=gt

AB G

G=gt

ABC F

H=gt ABI

I)=gt

ABH

C

22



증명 _13_ )13_ )b_)b 0 13__)13_ )b_)b QED

예제

)=gt AB

C I이 면 _)

=gt AB C

I이고 there4 1_3

)KI F

=gt

ABI C

)

=

gt

A

B K

C

K

이다

한편 )KI F =gt

ABI

C )=

gt

AB

K

C K

0 13_ )

=

gt

A

B K

C

K

이다


(1) =gt

ABcosi sini

sini cosi

(2)

=

gt

A

BKU$ U

$

K

U$ U$

K

U$ U$

K

U$ U$

23




(1) 1W3 )W

(2) 1 W3 )1W 3

(3) 1W31W3 )b5

(4) W neW


WY_^W_Y)W_

24







예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB





예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I


25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )
































































기저의 성질42









20


역행렬의 성질




는 가역적이고

)Kamp ( =

gt

AB (

amp)

=

gt

A

BKamp (Kamp (

(

Kamp (

Kamp (

amp이다


이다


이다

증명





의한다



(1) 은 가역적이고 13 )

음이 아닌 정수 (2) - 에 대하여 1-3)13-


21



)

스스로 (2)

(3) 1931K93 )K9

193

)1K993)13b )b

마찬가지로 1K93193 ) 91K9

3)19K9

313 )13b )b

그러므로 193 ) K9

QED

예제 )=gt AB

C이면

)KC

=gt

ABC

)=gt

ABC

이고

1C3 )C )13C )=gt

ABC

=gt

ABC

=gt

ABC

)=gt

ABI C

E

C)=gt

AB C

E I이고 1C3

)KIE IE

=gt

ABI C

E )=gt

ABI C

E 이다






)=gt

AB

C0 e1$3 )$ C$ I 일 때

e13 ) C Ib )=gt

AB

C

C=gt

AB

C I=gt AB

)=gt

AB G

G=gt

ABC F

H=gt ABI

I)=gt

ABH

C

22



증명 _13_ )13_ )b_)b 0 13__)13_ )b_)b QED

예제

)=gt AB

C I이 면 _)

=gt AB C

I이고 there4 1_3

)KI F

=gt

ABI C

)

=

gt

A

B K

C

K

이다

한편 )KI F =gt

ABI

C )=

gt

AB

K

C K

0 13_ )

=

gt

A

B K

C

K

이다


(1) =gt

ABcosi sini

sini cosi

(2)

=

gt

A

BKU$ U

$

K

U$ U$

K

U$ U$

K

U$ U$

23




(1) 1W3 )W

(2) 1 W3 )1W 3

(3) 1W31W3 )b5

(4) W neW


WY_^W_Y)W_

24







예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB





예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I


25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































20


역행렬의 성질




는 가역적이고

)Kamp ( =

gt

AB (

amp)

=

gt

A

BKamp (Kamp (

(

Kamp (

Kamp (

amp이다


이다


이다

증명





의한다



(1) 은 가역적이고 13 )

음이 아닌 정수 (2) - 에 대하여 1-3)13-


21



)

스스로 (2)

(3) 1931K93 )K9

193

)1K993)13b )b

마찬가지로 1K93193 ) 91K9

3)19K9

313 )13b )b

그러므로 193 ) K9

QED

예제 )=gt AB

C이면

)KC

=gt

ABC

)=gt

ABC

이고

1C3 )C )13C )=gt

ABC

=gt

ABC

=gt

ABC

)=gt

ABI C

E

C)=gt

AB C

E I이고 1C3

)KIE IE

=gt

ABI C

E )=gt

ABI C

E 이다






)=gt

AB

C0 e1$3 )$ C$ I 일 때

e13 ) C Ib )=gt

AB

C

C=gt

AB

C I=gt AB

)=gt

AB G

G=gt

ABC F

H=gt ABI

I)=gt

ABH

C

22



증명 _13_ )13_ )b_)b 0 13__)13_ )b_)b QED

예제

)=gt AB

C I이 면 _)

=gt AB C

I이고 there4 1_3

)KI F

=gt

ABI C

)

=

gt

A

B K

C

K

이다

한편 )KI F =gt

ABI

C )=

gt

AB

K

C K

0 13_ )

=

gt

A

B K

C

K

이다


(1) =gt

ABcosi sini

sini cosi

(2)

=

gt

A

BKU$ U

$

K

U$ U$

K

U$ U$

K

U$ U$

23




(1) 1W3 )W

(2) 1 W3 )1W 3

(3) 1W31W3 )b5

(4) W neW


WY_^W_Y)W_

24







예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB





예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I


25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































21



)

스스로 (2)

(3) 1931K93 )K9

193

)1K993)13b )b

마찬가지로 1K93193 ) 91K9

3)19K9

313 )13b )b

그러므로 193 ) K9

QED

예제 )=gt AB

C이면

)KC

=gt

ABC

)=gt

ABC

이고

1C3 )C )13C )=gt

ABC

=gt

ABC

=gt

ABC

)=gt

ABI C

E

C)=gt

AB C

E I이고 1C3

)KIE IE

=gt

ABI C

E )=gt

ABI C

E 이다






)=gt

AB

C0 e1$3 )$ C$ I 일 때

e13 ) C Ib )=gt

AB

C

C=gt

AB

C I=gt AB

)=gt

AB G

G=gt

ABC F

H=gt ABI

I)=gt

ABH

C

22



증명 _13_ )13_ )b_)b 0 13__)13_ )b_)b QED

예제

)=gt AB

C I이 면 _)

=gt AB C

I이고 there4 1_3

)KI F

=gt

ABI C

)

=

gt

A

B K

C

K

이다

한편 )KI F =gt

ABI

C )=

gt

AB

K

C K

0 13_ )

=

gt

A

B K

C

K

이다


(1) =gt

ABcosi sini

sini cosi

(2)

=

gt

A

BKU$ U

$

K

U$ U$

K

U$ U$

K

U$ U$

23




(1) 1W3 )W

(2) 1 W3 )1W 3

(3) 1W31W3 )b5

(4) W neW


WY_^W_Y)W_

24







예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB





예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I


25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































22



증명 _13_ )13_ )b_)b 0 13__)13_ )b_)b QED

예제

)=gt AB

C I이 면 _)

=gt AB C

I이고 there4 1_3

)KI F

=gt

ABI C

)

=

gt

A

B K

C

K

이다

한편 )KI F =gt

ABI

C )=

gt

AB

K

C K

0 13_ )

=

gt

A

B K

C

K

이다


(1) =gt

ABcosi sini

sini cosi

(2)

=

gt

A

BKU$ U

$

K

U$ U$

K

U$ U$

K

U$ U$

23




(1) 1W3 )W

(2) 1 W3 )1W 3

(3) 1W31W3 )b5

(4) W neW


WY_^W_Y)W_

24







예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB





예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I


25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































23




(1) 1W3 )W

(2) 1 W3 )1W 3

(3) 1W31W3 )b5

(4) W neW


WY_^W_Y)W_

24







예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB





예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I


25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































24







예제

(1) bC )=

gt

AB

rarr l )=

gt

ABD

0 l )=

gt

AB

0 lC )=

gt

AB





예제 )=

gt

AB C

C F I I

0 l)=

gt

AB

이면 l)=

gt

AB C

I D I I


25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































25



도표



배 한다


예제

=

gt

AB

rarr

=

gt

AB

C

rarr

=

gt

AB

uarr uarr





ll)b 0 ll )b



26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

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C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































26






=

gt

A

B⋮


증명

27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































27


28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































28




)ll

⋯ l9b- )l

l ⋯l9

이고

)l9l9 ⋯ll






uarr


29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































29


예제 행렬 )=

gt

AB

C E C G


풀이 P n b Q )P=

gt

AB C

E C G

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB C

C E

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q rarr P=

gt

AB C

C

n=

gt

AB

E

Q

rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F CC E CE

Q rarr P=

gt

AB

n=

gt

AB

I F HC E CE

Q

그러므로

)=

gt

AB

I F HC E CE

이다



gt

AB F I

I E

n=

gt

AB

Q rarr P=

gt

AB F I

G H G H

n=

gt

AB

Q

rarr P=

gt

AB F I

G H

n=

gt

AB

Q









amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

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C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

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C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )




































































amp$ amp$ ⋯ amp-$- )( 1⋆3

⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5


$9 19)0 0 ⋯ 0 -3 은 미지수들이고 ( 1)0 0 ⋯ 0 53 은 상수들이다




5 times - 행렬

=

gt

A




30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

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C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































30





⋮ ⋮ ⋮ ⋮

amp5$ amp5 $ ⋯ amp5-$- )(5

harr ^)(

여기서

)

=

gt

A


1계수행렬3 0 ^)

=

gt

A

B$$⋮$-

1미지수3 0 ()

=

gt

A

B((⋮(5



$ C+)$ E C+ )$ G+)

풀이 ^)=

gt ABrarr

=

gt AB$+)=

gt ABrarr=

gt AB$+)

=

gt AB0 여기서 )

=

gt

AB C

E C G

0 ^)=

gt AB$+이다

그러므로 =

gt

AB$+)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

AB)=

gt

AB

CI

0 there4 $) C0 ) 0 +)I

이다

31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

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C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































31



)=

gt

AB C

E C G

32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

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C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































32



)=gt

ABC

C

문제 )=gt

AB

E




33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

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C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





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=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



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9



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gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































33




)=

gt

AB

C I H

0 W)=

gt

AB

E I

문제 행렬 )=

gt

AB

amp (


오

34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

풀이 ^)( rarr ^) (0 여기서 )=

gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

)=

gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

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=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

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=

gt

A

B H

K

DK

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C

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gt

A

B K

K

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K

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D

C

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gt

AB

C

그러므로 해는

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이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

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50





증명


증명




51




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gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

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gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









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=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

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=

gt

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gt

AB

53




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gt

A

B ⋯

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1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

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=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


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gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

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55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

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=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

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0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



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=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

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=

gt

A

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_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





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=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

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gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

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gt

AB

D C


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gt

A

B

K

58





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59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


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gt

ABF

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=

gt

A

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=

gt

ABF

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=

gt

A

B KC

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gt

ABF

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=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




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gt

A

B H

K

DK

D

C

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=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

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=

gt

AB

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rarr

=

gt

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rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

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그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































34




증명





$ $ C$C )E$ E$ C$C )C

$ G$C )D

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gt

AB C

E C G

0 ^)

=

gt

AB$$$C

0 ()=

gt

ABECD이다

그러므로 ^)=

gt

AB$$$C

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gt

AB

I F HC E CE

=

gt

ABECD

)=

gt

AB

0 there4 $ )0 $ ) 0 $C )

이다

35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

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36






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gt

A

B⋮



증명

37




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이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































35



^)( 0 ^)( 0 ⋯ 0 ^)(9

harr ^ )( 0 ^ )

( 0 ⋯ 0 ^9 )(9



(1) $ $ C$C )I$ E$ C$C )E

$ G$C )H

(2) $ $ C$C )$ E$ C$C )F

$ G$C ) F

풀이 P=

gt

ABC

ECG

n=

gt ABIEHn=

gt

ABF

FQ rarr P

=

gt

AB

n=

gt ABn=

gt

AB

Q

그러므로 의 해는 (1) $ )0 $ )0 $C ) 의 해는 (2) $ )0 $ )0 $C ) 이다


uarr uarr



^) 여기서 ( )

=

gt

A

B⋮




)b rarr Wb )b

rarr W)


36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

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C

rarr

=

gt

A

B K

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CE

K

DKC

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C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































36






=

gt

A

B⋮



증명

37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

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ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































37




)W

이므로 0 W





$ +)($ +)($ C+ )(C

풀이

38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































38



$ $ C$C $I ) E$ I$C C$I )

$C $I )

C$I )

39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

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=

gt

A

B H

K

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C

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=

gt

A

B K

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CE

K

DKC

D

C

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gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









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=

gt

A

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터 이다 )



52




증명






$ )

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gt

AB

C C C

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=

gt

AB$$$C

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gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



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=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

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gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

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gt

A

B KC

K

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$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

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gt

A

B H

K

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C

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=

gt

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H I C C F E



=

gt

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=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

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풀이

=

gt

AB

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=

gt

AB

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rarr

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gt

AB E C F I

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rarr

=

gt

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rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

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$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































39



벡터














성분 벡터



고 부른다




벡터의 성질

KVamp 0




5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





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풀이

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gt

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=

gt

AB H

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=

gt

A

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DK

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A

B H

K

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D

K

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=

gt

A

B H

K

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gt

A

B K

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gt

AB

C

그러므로 해는

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이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

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gt

A

BC

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gt

ABH

rarr

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gt

AB H

I C C F E









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gt

A

B$$⋮$-


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52




증명






$ )

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gt

AB

C C C

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gt

AB$$$C

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gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

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55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

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gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



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=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

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=

gt

A

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_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

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ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

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=

gt

A

B KC

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G E

1행에 K 곱함3

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gt

ABF

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=

gt

A

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K


gt

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=

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A

B KC

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gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

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gt

ABF

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A

B KC

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이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

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0 ()=

gt

ABC

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A

B H

K

DK

D

C

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=

gt

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=

gt

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gt

AB

H I C C F E












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풀이

=

gt

AB

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rarr

=

gt

AB

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rarr

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D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )































































5 times 1- 3 행렬

=

gt

A




예를 들면

$ C+ ) DC$ E F+ )C $ G+ ) E

의 첨가행렬은

=

gt

AB C D

C E F C G E

이다







40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































40


1 KVamp KV( )

KV(







내적


스칼라


내적의 성질





KVamp∙

KV(

KVamp∙

KV






41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































41



사영


KVamp )K

nKV( n

KVamp ∙KV( KV(


KVamp )KnKV( n

KVamp ∙

KV(


KVampn )x5eKV(

KVamp 이다


외적


다






KVamp times

KV( )1n

KVampn nKV( n sini3



그러므로



KVamp0

KVamp times

KV( perp

KV( 1∵

KVamp times

KV(

KV- 3

42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

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gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

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ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

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rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































42



KV( )

KV


( n






외적의 성질

KVamp 0





KVamp times

KV

KV( times

KV


3 )1KVamp∙

KV3KV( 1

KVamp∙

KV(3KV

스칼라 삼중곱




43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































43



KV( )6 7 90












정의 c- )


=

gt

A

Bampamp⋮amp-




터)

=

gt

A

Bampamp⋮amp-

로 나타낸다





44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

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C

rarr

=

gt

A

B K

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CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































44






정의 U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯ 0 d

⋮

U-) r0 0 ⋯ 0 d



U ) r0 0 ⋯ 0 dU ) r0 0 ⋯0 d

⋮

U- ) r0 0 ⋯ 0 d




(3) c



(4) cC



45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

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CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































45



증명


여기서 )=

gt

A


이다




증명

46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

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D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

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C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































46




q q ⋯ 9q9 ) 10 0 ⋯ 0 9는 스칼라3 일 때마다

)0 )0 ⋯ 0 9 ) 이면 벡터 q0 q 0 ⋯ 0 q9 는






증명


증명

47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

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Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

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C

rarr

=

gt

A

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CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































47



q ) r0 0 d 0 q ) r0 E0 d 0 qC ) rC0 C0 Gd



증명

48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































48






=

gt

A

B⋮




정의 예를들면

$ C+) +)





증명

49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

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D

K

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Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

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C

rarr

=

gt

A

B K

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CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































49


문제 )=

gt

A


이다


gt

A

B EF





$ + )H$ I C+ )C$ F E+ )

풀이

=

gt

AB H

I C C F E

rarr

=

gt

AB H

D D C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C D

rarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

K

K

Crarr

=

gt

A

B H

K

DK

D

C

rarr

=

gt

A

B K

K

CE

K

DKC

D

C

rarr=

gt

AB

C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

이다


C$ C$C )

$ $ I$C )D

E$ $ $C )

50





증명


증명




51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

BC

)=

gt

ABH

rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

0 $ )

=

gt

AB$$$C

0 )=

gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


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=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

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G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

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=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

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gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

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gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

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gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

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D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

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rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

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$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



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gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

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그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )
































































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풀이

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gt

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=

gt

AB H

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gt

A

B H

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DK

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C D

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A

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B H

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gt

A

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C

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gt

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C

그러므로 해는

$)0 )0 +)C

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C$ C$C )

$ $ I$C )D

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50





증명


증명




51




풀이 =

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AB

I CC F E

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gt

A

BC

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gt

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rarr

=

gt

AB H

I C C F E









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=

gt

A

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52




증명






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gt

AB

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gt

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gt

AB

53




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gt

A

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⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

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ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

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gt

A

B K

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K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

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0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



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=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


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$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

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gt

AB

D C


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=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

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=

gt

A

B KC

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G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

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I DE

60


그러므로

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gt

ABF

HCG

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gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

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C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

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gt

AB

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rarr

=

gt

AB

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rarr

=

gt

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rarr

=

gt

AB E C F I

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rarr

=

gt

A

B E C F I

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DF

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rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

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$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

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gt

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그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































50





증명


증명




51




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gt

AB

I CC F E

=

gt

A

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gt

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rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

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52




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AB

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gt

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53




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A

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1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

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ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

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gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


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gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

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gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

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55






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gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

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gt

A

B K

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K

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KE

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gt

ABC

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0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



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=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





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59






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⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

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H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

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=

gt

A

B KC

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G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

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)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

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gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































51




풀이 =

gt

AB

I CC F E

=

gt

A

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gt

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rarr

=

gt

AB H

I C C F E









amp ∙$)(


=

gt

A

B$$⋮$-


터 이다 )



52




증명






$ )

여기서 )=

gt

AB

C C C

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=

gt

AB$$$C

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gt

AB

53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

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문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

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gt

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일 때

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gt

A

B K

CKE

D

K

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0 W)=

gt

ABC

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0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



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=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

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gt

AB

D C


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gt

A

B

K

58





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59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

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ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

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=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

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$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

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gt

A

B H

K

DK

D

C

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=

gt

AB

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=

gt

AB

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첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

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=

gt

AB

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rarr

=

gt

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D I E F E

rarr

=

gt

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rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

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rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

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A

B E C F I

K

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행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



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gt

A

B E C F I

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gt

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그러므로

$ $ C$I )D $C )

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C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































52




증명






$ )

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gt

AB

C C C

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gt

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gt

AB

53




| ) P67 Q )

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gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

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문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

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gt

A

B K

CKE

D

K

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KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



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=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

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=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































53




| ) P67 Q )

=

gt

A

B ⋯

⋯ ⋮ ⋮⋯⋮ ⋯--

1여기서 67 )67 0 6)7 0 6ne 7

3

ㄱ( ) 6 )0 0 ⋯0 - 에 대해서 66 ne 이면

| )

=

gt

A

BK

⋯

K

⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯K--

이다


=

gt

A

B9 ⋯

9⋯

⋮ ⋮ ⋯ ⋮

⋯--9

이다

문제 )=

gt

AB

일 때 0 E 0

E 를 구하시오

54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































54





)Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6d73

예제 =

gt

AB



) Pamp67 Q 1amp67 ) 0 6r73

예제 =

gt

AB

amp amp amp

ampC ampC ampCC

55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































55






예제 )=

gt

AB C

I E

0 W)=

gt

ABC

일 때

)

=

gt

A

B K

CKE

D

K

KE

KE

0 W)=

gt

ABC

C

0 W)=

gt

ABC E

E E




예제 =gt ABD

C1대칭행렬3 =

gt

ABD

C(skew-symmetric)






56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































56



증명 13_ )1_3 ) QED


1_3_ )1_3__)_ 0 1_3_ )_1_3_ )_이므로



_)

=

gt

A

Bamp_

amp_

⋮

amp-_


=

gt

A

Bamp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

amp_amp amp

_amp ⋯ amp_amp-

⋮ ⋮ ⋮

amp-_amp amp-

_amp ⋯ amp-_amp-

이고


amp∙amp )amp_amp





$)$) b $ harr 1b 3$ )

=gt

AB

=


57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































57




다)


$9 )1 $31 $ $ ⋯ $9 3

이므로

1b 31b ⋯ 9 3 )b 9 이고

결국은

1b 31b ⋯ 9 3 )b 이다

그러므로

1b 3 ) b ⋯ 9 이다


1b 3 ) b ⋯ 9 이다

예제 )=

gt

AB

C

rarr )=

gt

AB F

0 C)=

gt

AB

)

그리고 b )=

gt

AB

C

1b 3 )b )=

gt

AB

D C


)

=

gt

A

B

K

58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































58





$ ) (






59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































59






(2) )ll

⋯ l9 ) 1여기서 )l

l ⋯ l9


예제 행렬 )=

gt

ABF

H C D E


=

gt

A

B KC

H C D E


=

gt

ABF

∙∙ ∙∙∙

=

gt

A

B KC

G E


gt

ABF

H∙ C∙∙

=

gt

A

B KC

K

G E

1행에 K 곱함3

=

gt

ABF

H C∙∙

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G ∙

)

=

gt

A

B KC

K


gt

ABF

H C G



=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )































































=

gt

ABC C

I DE

60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































60


그러므로

))=

gt

ABF

HCG

=

gt

A

B KC

K

이다


$ ) ( 0 여기서 )=

gt

AB F

C G I H

0 ()=

gt

ABC

이다




=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )
































































=

gt

A

B H

K

DK

D

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E



=

gt

AB

C

첨가행렬

=

gt

AB

H I C C F E












$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )

































































$C D$E )

$ I$ $C F$I $E ) G

$ I$ E$C F$I E$E )

풀이

=

gt

AB

D I F G I E F E

rarr

=

gt

AB

I F G D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D I E F E

rarr

=

gt

AB E C F I

D E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

E D H

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

K

rarr

=

gt

A

B E C F I

K

DF

행 사다리꼴( )


$C K

D$E ) F

$E ) rarr $C )0 $ )D $ C$I



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )

9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































9



=

gt

A

B E C F I

K

DF

rarr =

gt

AB C D


그러므로

$ $ C$I )D $C )

$E )



$ )D M CN0 $ )M0 $C )0 $I )N0 $E )



C$ $ $C ) E

E$ C$ $C )

C$ $ C$C )





























































2015 가을학기 선형대수학 강의 노트 안 상 욱 (fri 4:30 5:00 p....

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