ANKARA NVERSTES

FEN BLMLER ENSTTS

YKSEK LSANS TEZ

FARK DENKLEMLER

Vildan KUTAY

MATEMATK ANABLM DALI

ANKARA 2010

Her hakk sakldr

ZET

Yksek Lisans Tezi

FARK DENKLEMLERI

Vildan KUTAY

Ankara niversitesi

Fen Bilimleri Enstits

Matematik Anabilim Dal

Dansman: Prof.Dr. Hseyin BEREKETOGLU

Bu tez yedi blmden olusmaktadr.

Ilk blmde literatr hakknda bilgi verilmis; ve E operatrlerinin tanmlarveonlarn nemli zelikleri aklanmstr.

Ikinci blmde, lineer skaler fark denklemlerinin temel teorisi ifade edilmis ve zm-leri hesaplanmstr.

nc blmde, lineer fark denklem sistemlerinin temel teorisi ile birlikte An mat-risinin hesabzerinde durulmus ve periyodik katsayllineer sistemlerin periyodikzmlere sahip olma kosullarverilmistir.

Drdnc blmde bazlineer olmayan skaler denklemlerin zmleri hesaplanmstr.

Besinci blmde, muhtelif kararllk tanmlarverilmis ve bunlar uygun rneklerledesteklenmistir. Ayrca lineer skaler denklemlerin ve sistemlerin kararllk durumla-rngaranti eden kriterler ayrntlolarak anlatlmstr. Bu blmde son olarak fazanalizi yardmiyle iki boyutlu lineer otonom sistemler iin denge noktasnn trlerive kararllk durumlarincelenmistir.

Altncblmde, Lyapunov dogrudan yntemi ve temel teoremleri sunulmustur.

Son blmde ise, lineerlestirme metodu yardmiyle bazlineer olmayan sistemlerinkararllk durumlarele alnmstr.

Ocak 2009, 138 sayfa

Anahtar Kelimeler : Fark denklemleri, Fark denklem sistemleri, Faz analizi,Kararllk, Lineerlestirme, Lyapunov dogrudan yntemi, Periyodik katsayllineersistemler

i

ABSTRACT

Master Thesis

DIFFERENCE EQUATIONS

Vildan KUTAY

Ankara University

Graduate School of Natural and Applied Sciences

Department of Mathematics

Supervisor: Prof.Dr. Huseyin BEREKETOGLU

This thesis consists of seven chapters.

In the rst chapter, the literature about dierence equations is mentioned; theoperators and E are introduced.

In the second chapter, the fundamental theory of linear scalar dierence equationshas been expressed and the solutions are calculated.

In the third chapter, fundamental theory of linear dierence systems and the calcu-lation of An are presented. Moreover, the conditions that makes linear systems withperiodic coe cients had periodic solutions are given.

In the fourth chapter, solutions of some nonlinear scalar dierence equations arecalculated.

In the fth chapter, various denitions of stability with suitable examples are stated.Moreover, stability criterions for linear scalar equations are studied in detail. Finally,in this chapter, by phase analysis two dimensional linear autonomous systems havebeen considered and the types of equilibrium points are claried.

In the sixth chapter, Lyapunov direct method with its fundamental theorems areexplained.

The last chapter deals with status of stability of some nonlinear systems by thelinearization method.

January 2009, 138 pages

Key Words: Dierence equations, Systems of dierence equations, Phaseanalysis, Stability, Linearization, Lyapunov direct method, Linear systems withperiodic coe cients

ii

TESEKKR

Yksek lisans tezimi ynetmeyi kabul ederek karslastgm glklerde degerli yardm-

larnesirgemeyen, byk bir sabr ve titizlikle beni ynlendiren saygdeger hocam,

Sayn Prof. Dr. Hseyin BEREKETOGLU (Ankara niversitesi Fen Fakltesi

Matematik Anabilim Dal)na, yksek lisans yaptgm sre boyunca verdigi burs

ile beni destekleyen TBITAKa ve hayatmn her asamasnda bana yardmcolan

aileme en iten saygve tesekkrlerimi sunarm.

Vildan KUTAY

Ankara, Ocak 2010

iii

IINDEKILER

ZET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

TESEKKR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

SEKILLER DIZINI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

1. GIRIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. LINEER SKALER FARK DENKLEMLERI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1 Temel Kavramlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Birinci Basamaktan Lineer Fark Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Ikinci Basamaktan Sabit KatsaylLineer Homogen Fark

Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Ikinci Basamaktan Degisken KatsaylLineer Homogen Fark

Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 k. Basamaktan Lineer Sabit KatsaylHomogen Fark Denklemleri 21

2.6 Homogen Olmayan Fark Denklemleri Iin zel zmler . . . . . . . . 23

3. LINEER FARK DENKLEM SISTEMLERI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.1 Temel Teori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2 Sabit KatsaylLineer Homogen Sistemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Lineer Periyodik Sistemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4. LINEER OLMAYAN SKALER FARK DENKLEMLERI . . . . . . . . . . 73

4.1 Otonom Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.2 Otonom Olmayan Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5. KARARLILIK TEORISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1 Giris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2 Vektr Fark Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.3 k yncBasamaktan Skaler Lineer Homogen Denklemler . . . . . . . . . 86

iv

5.4 Birinci Basamaktan Lineer Olmayan Otonom Fark Denklemleri 90

5.5 Lineer Sistemlerin Kararllg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.6 Faz UzayAnalizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6. LYAPUNOV DOGRUDAN YNTEMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.1 Giris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.2 Lineer Olmayan Otonom Sistemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.3 Lineer Otonom Sistemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7. LINEERLESTIRME METODU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

KAYNAKLAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

ZGEMIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

v

SEKILLER DIZINI

Sekil 5.1 Hiyerarsik dzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Sekil 5.2 Faz dzleminde kararldenge noktas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Sekil 5.3 zm uzaynda kararldenge noktas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Sekil 5.4 2 < 1 < 1; (0,0) asimtotik kararldgm noktas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Sekil 5.5 1 < 2 < 1; (0,0) kararsz dgm noktas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Sekil 5.6 0 < 1 < 1; 2 > 1; (0,0) semer noktas(kararsz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Sekil 5.7 0 < 1 = 2 < 1; (0,0) asimtotik kararldgm noktas . . . . . . . . . . . . . 106

Sekil 5.8 1 = 1; 2 < 1; (0,0) dejenere dgm noktas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Sekil 5.9 1 = 2 < 1; (0,0) asimtotik kararldgm noktas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Sekil 5.10 1 = 2 = 1; dejenere durum (kararsz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Sekil 5.11 jj < 1; asimtotik kararlodak noktas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Sekil 5.12 jj > 1; kararsz odak noktas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Sekil 5.13 jj = 1; merkez (kararl) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Sekil 5.14 (0,0) semer noktas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Sekil 5.15 (0,0) semer noktas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Sekil 5.16 (0,0) kararsz odak noktas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Sekil 6.1 Bir kuadratik Lyapunov fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Sekil 6.2 Seviye egrileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

vi

1. GIRIS

Bagmsz degiskeni ayrk (discrete) ya da onu bir ayrk degisken gibi grmek mate-

matiksel bakmdan uygun oldugu zaman fark denklemmodelleri ortaya kar. rnegin,

genetik alanda genetik zellikler kusaktan kusaga degisim gsterirler. Dolaysiyle, bir

kusaggsteren degisken bir ayrk degiskendir. Ekonomide yat degisimleri yldan

yla veya aydan aya veya haftadan haftaya veya gnden gne hesaplanr ve byle bir

durumda zaman degiskeni ayrktr. Ayrca, poplasyon dinamiklerinde, yas-gruplar

arasndaki nfus degisimi ele alnrken, yas-gruplarngsteren degisken yine ayrk

bir degiskendir.

Fark denklemleri son 30 yl ierisinde pek ok bilim adamnn ilgisini ekmistir ve bu

durum zengin bir literatrn ortaya kmasna neden olmustur. Bununla ilgili olarak

Miller 1968, Goldberg 1986, Lakshmikantham ve Trigiante 1988, Mickens 1990, Akn

ve Bulgak 1998, Elaydi 1999, Agarwal 2000, Kelley ve Peterson 2001 kitaplarndan

ve Sugiyama 1969, 1971, Gordon 1971, LaSalle 1977, 1986, Peterson 1987, Elaydi ve

Peterson 1988 gibi makalelerden szedilebilir.

Fark denklemleri genis bir uygulama alanna sahiptir. rnegin, biyolojide canl

poplasyon saysnn arastrlmasnda, tpta hcre hareketlerinin takibinde, kontrol

teorisinde kararllk durumunun tespitinde ve daha birok alanda fark denklemleriyle

karslaslmaktadr.

nemli fark denklem modellerine iliskin bazrnekler sunlardr:

(i) Nfus arts modeli:

x(n+ 1) x(n) = bx(n) dx(n) ya da x(n+ 1) = ax(n);

(ii) Logistik arts modeli:

x(n+ 1) x(n) = ax(n) bx2(n);

1

(iii) Av-avcmodeli:8 0; b > 0;y(n+ 1) y(n) = cy(n) dx(n)y(n); c > 0; d > 0;(iv) Rekabet modeli:

8 0; b > 0;y(n+ 1) y(n) = cx(n) dx(n)y(n); c > 0; d > 0;(v) Bulaschastalk modeli:

8 0;y(n+ 1) y(n) = x(n)y(n):

Ayrca, bilinen nemli bir fark denklem rnegi x(n), n = 0; 1; 2; :::; F ibonacci dizisidir.

Bu dizi

x(n+ 2) = x(n+ 1) + x(n); x(0) = 0; x(1) = 1; n > 0;

fark denkleminin tek zmdr ve bunun iin

limn!1

x(n+ 1)

x(n)u 1:618

dir. Bu ise alt{n oranifade etmektedir.

Tanm 1.1. Bir x : N! R fonksiyonu iin fark operatoru

x(n) = x(n+ 1) x(n)

seklinde tanmlanr ve x fonksiyonuna, x in birinci basamaktan fark{ denir; bu-

rada N = f0; 1; 2; :::g dogal saylar cmlesi ve R reel saylar cmlesidir.

Buna gre x in ikinci basamaktan fark{ (2x)

2

2x(n) = (x(n))

= x(n+ 2) 2x(n+ 1) + x(n);

ve genel olarak x in k y{nc{ basamaktan fark{ (kx)

kx(n) =kXj=0

(1)jk

j

x(n+ k j) (1.1)

seklinde hesaplanr.

Tanm 1.2. E operatr

Ex(n) = x(n+ 1)

seklinde tanmlanr ve oteleme operatoru adnalr.

Bu tanma gre

Ekx(n) = x(n+ k) (1.2)

yazlabilir. Ayrca, a ve b sabitleri iin

E(ax(n) + by(n)) = aEx(n) + bEy(n)

dir; yani E operatr lineerlik zeligine sahiptir.

ve E operatrleri arasndaki iliski

= E I

dir; burada I ozdeslik operatorudr, yani Ix(n) = x(n):

Buradan kx(n) farkBinom forml yardmiyle yeniden yazlabilir:

3

kx(n) = (E I)k x(n)

=kXj=0

k

j

(I)j Ekjx(n)

=

kXj=0

k

j

(1)j x(n+ k j):

Benzer olarak

Ekx(n) = ( + I)k x(n)

=

kXj=0

k

j

kjx(n):

nn temel zelikleri asagdaki teoremde verilmektedir:

Teorem 1.1.

(a) klx(n)

= k+lx(n); 8 k; l 2 Z+ = f1; 2; :::g ;

(b) (ax(n) + by(n)) = ax(n) + by(n); a ve b sabitler;

(c) (x(n)y(n)) = y(n)x(n) + x(n+ 1)y(n);

(d)

0@ x(n)y(n)

1A = y(n)x(n) x(n)y(n)y(n)Ey(n)

.

Ayrca, ve E operatrleri hakknda sylenebilecek diger temel sonular sunlardr:

Teorem 1.2. k yncdereceden

p(n) = a0nk + a1n

k1 + :::+ ak

polinomu iin

k p(n) = a0 (k!) (1.3)

ve

k+i p(n) = 0; i > 1; (1.4)

dir, burada a0 6= 0; a1; :::; ak katsaylarreel sabitlerdir.

4

Teorem 1.3. E teleme operatr cinsinden k yncbasamaktan

p(E) = a0Ek + a1E

k1 + :::+ akI (1.5)

polinomu verilsin; burada a0 6= 0; a1; :::; ak reel sabitler ve I birim operatrdr. Budurumda

p(E)bn = bnp(b) (1.6)

ve

p(E)(bng(n)) = bnp(bE)g(n) (1.7)

dir; burada b bir sabit ve g(n) herhangi bir fonksiyondur.

Tanm 1.3. F (n) = f(n) olsun. Bu durumda

1f(n) = F (n) + c ; c bir key sabit,

seklinde tanmlanan 1 operatrne ters fark operatoru denir.

zel olarak, 1(0) = c dir.

Simdi bir f(n) fonksiyonunun ters farknhesaplamak zere bir lemmadan sz edelim:

Lemma 1.1. fark operatr iin

(i)

n1Xk=n0

x(k) = x(n)x(n0); (1.8)

(ii)

n1Xk=n0

x(k)

!= x(n) (1.9)

dir.

Bu lemmann bir sonucu olarak

1f(n) =n1Xi=0

f(i) + c (1.10)

5

elde edilir.

Buradan da 1 in lineerlik zeligi ispatlanabilir.

Teorem 1.4. 1 operatr lineerdir.

Ispat. Gsterecegiz ki a ve b reel saylariin

1(ax(n) + by(n)) = a 1x(n) + b 1y(n)

dir. (1.10) formlnden,

1(ax(n) + by(n)) =n1Xi=0

(ax(i) + by(i)) + c

= an1Xi=0

x(i) + bn1Xi=0

y(i) + c

= a 1x(n) + b 1y(n):

Ayrca 0 ve 1 fonksiyonlarnn k yncters farklar, srasiyle,

k 0 = c1nk1 + c2nk2 + :::+ ck ; (1.11)

ve

k 1 =nk

k!+ c1n

k1 + c2nk2 + :::+ ck ; (1.12)

seklinde hesaplanrlar.

Uyar1.1. 1 = I; 1 6= I dr. Gerekten, F (n) = f(n) ve1f(n) = F (n) + c olsun. Bu durumda

1f(n) = (F (n) + c) = F (n) = f(n);

6

1f(n) = 1(f(n+ 1) f(n)) = 1f(n+ 1)1f(n)= F (n+ 1) + c1 F (n) c2 = F (n+ 1) F (n) + c3= F (n) + c3

= f(n) + c3:

7

2. LINEER SKALER FARK DENKLEMLERI

Bu blmde lineer skaler fark denklemleri hakknda bilinen temel kavram ve sonular-

dan szedilecektir (Hankerson 1989, Elaydi 1999, Kelley ve Peterson 2001, Mickens

1990, Bereketoglu 2007).

2.1 Temel Kavramlar

Tanm 2.1.1. Bir S N = f0; 1; 2; :::g saycmlesi zerinde tanmlolan bir xfonksiyonunun degerlerini ve onun x;2x; ::: gibi farklarnieren bir denkleme S

cmlesi zerinde tanmlolan bir fark denklemi denir.

Tanm 2.1.2. a1(n); a2(n); :::; ak(n) katsaylarve g(n); n > n0 iin tanml reeldegerli fonksiyonlar ve ak(n) 6= 0 olmak zere

x(n+ k) + a1(n)x(n+ k 1) + :::+ ak(n)x(n) = g(n) (2.1.1)

biimindeki bir denkleme k: basamaktan lineer fark denklemi denir. Bu denk-

lem, g(n) 0 oldugu zaman homogen denklem; aksi durumda homogen olmayandenklem olarak adlandrlr. Buna gre k: basamaktan bir lineer homogen fark

denklemi

x(n+ k) + a1(n)x(n+ k 1) + :::+ ak(n)x(n) = 0 (2.1.2)

dr. Ayrca, btn ai(n) katsaylarai(n) ai seklinde sabitse, (2:1:1) denkleminesabit katsayl, aksi halde degisken katsay{l{ fark denklemi denir.

Teorem 2.1.1. ai, i = 1; 2; :::; k , katsaylarreel sabitler ve g(n); n > n0 iin tanmlreel degerli bir fonksiyon ve ak 6= 0 olsun. Bu durumda

x(n+ k) + a1x(n+ k 1) + :::+ akx(n) = g(n); (2.1.3)

x(n0) = 0; x(n0 + 1) = 1; :::; x(n0 + k 1) = k1; (2.1.4)

baslang deger problemi n > n0 iin tanmlolan bir tek x(n) zmne sahiptir.

8

Ispat. (2.1.4) kosullaryardmiyle (2.1.3) den nce n = n0 iin x(n0 + k), akabinde

n = n0 + 1 iin x(n0 + k + 1) ve bu isleme benzer sekilde devam edilerek

x(n0+k+2); x(n0+k+3); :::degerleri hesaplanr. Buradan (2.1.3)-(2.1.4) probleminin

bir zm

x(n0); x(n0 + 1); :::; x(n0 + k 1); x(n0 + k); x(n0 + k + 1); x(n0 + k + 2); :::seklinde bulunur. Bylece zmn varlgkantlanms olur.

zmn tekligi iin x(n) den farklbir x^(n) zmnn varlgnkabul edelim. Bu

x^(n) zm benzer sekilde (2:1:3) ve (2:1:4) yardmiyle hesaplandg zaman her

n > n0 iin x(n) e zdes oldugu grlr. O halde zm tektir.

Tanm 2.1.3. Her n > n0 iin

a1f1(n) + a2f2(n) + :::+ arfr(n) = 0 (2.1.5)

olacak biimde hepsi birden sfr olmayan a1; a2; :::; ar sabitleri var ise, bu durumda

f1(n); f2(n); :::; fr(n) fonksiyonlarna n > n0 iin lineer bag{ml{d{r denir.Eger (2:1:5) esitligi her n > n0 iin sadece ve sadece a1 = a2 = ::: = ar = 0durumunda saglanyorsa, f1(n); f2(n); :::; fr(n) fonksiyonlarna n > n0 iin lineerbag{ms{zd{r denir.

rnek 2.1.1. 3n; n3n; n23n fonksiyonlarn > 1 zerinde lineer bagmszdrlar. Bunugrmek iin

a13n + a2n3

n + a3n23n = 0; 8 n > 1;

esitligi 3n ile blnr:

a1 + a2n+ a3n2 = 0; 8 n > 1:

Bu ise en fazla iki n > 1 iin dogrudur. Her n > 1 iin esitligin saglanmasancak veancak a1 = a2 = a3 = 0 halinde mmkndr.

Tanm 2.1.4. (2:1:2) nin k tane lineer bagmsz zmnn cmlesine, bir temel

cumle denir.

9

Teorem 2.1.2 (Temel Teorem). Her n > n0 iin ak(n) 6= 0 ise, bu durumda(2.1.2) lineer homogen fark denklemi n > n0 zerinde tanmlolan bir temel cmleyesahiptir.

Teorem 2.1.3. (2:1:2) homogen denkleminin k tane lineer bagmsz zm

x1(n); x2(n); :::; xk(n) olsun. Bu durumda (2:1:2) nin genel zm

x(n) = c1x1(n) + c2x2(n) + :::+ ckxk(n)

dir, burada c1; c2; :::; ck key sabitlerdir.

Uyar2.1.1. V; k yncbasamaktan (2.1.2) homogen denkleminin btn zm-

lerinin cmlesi olmak zere + ve islemleri asagdaki gibi tanmlansn:(i) (x+ y)(n) = x(n) + y(n); x; y 2 V; n 2 N;(ii) (ax)(n) = ax(n); x 2 V; a bir sabit.Bu durumda (V;+; ), k boyutlu bir lineer vektr uzaydr.

Teorem 2.1.4. (2:1:2) homogen denkleminin genel zm xh(n) ve homogen ol-

mayan (2:1:1) denkleminin bir zel zm xp(n) ise, bu durumda (2:1:1) denklemi-

nin genel zm

x(n) = xh(n) + xp(n)

dir.

Tanm 2.1.5. x1(n); x2(n); :::; xr(n) zmlerinin W (n) Casoratyan{

W (n) = det

0BBBBBB@x1(n) x2(n) xr(n)

x1(n+ 1) x2(n+ 1) xr(n+ 1)...

......

x1(n+ r 1) x2(n+ r 1) xr(n+ r 1)

1CCCCCCAseklinde tanmlanr.

10

Lemma 2.1.1 (Abel Lemmas). x1(n); x2(n); :::; xk(n); (2.1.2) homogen denk-

leminin zmleri ve W (n) onlarn Casoratyan{ olsun. Bu durumda n > n0 iin

W (n) = (1)k(nn0) n1Yi=n0

ak(i)

!W (n0)

dr.

Sonu 2.1.1. x1(n); x2(n); :::; xk(n); (2.1.2) nin zmleri ve her n > n0 iinak(n) 6= 0 olsun. Bu durumda her n > n0 saysna karslk W (n) 6= 0 olmasiingerek ve yeter kosul W (n0) 6= 0 dr.

Teorem 2.1.5. (2:1:2) homogen denkleminin x1(n); x2(n); :::; xk(n) zmlerinin

bir temel cmle olusturmasiin gerek ve yeter kosul herhangi bir n0 2 N saysnakarslk W (n0) 6= 0 olmasdr.

rnek 2.1.2. nc basamaktan homogen

x(n+ 3) + 3x(n+ 2) 4x(n+ 1) 12x(n) = 0

fark denkleminin 2n; (2)n ve (3)n zmleri bir temel cmle olustururlar. nkonlarn Casoratyan

W (n) = det

0BBB@2n (2)n (3)n

2n+1 (2)n+1 (3)n+1

2n+2 (2)n+2 (3)n+2

1CCCAseklinde olup n = 0 noktasnda

W (0) = det

0BBB@1 1 1

2 2 34 4 9

1CCCA = 20 6= 0

dr.

11

2.2 Birinci Basamaktan Lineer Fark Denklemleri

Bu kesimde birinci basamaktan lineer homogen olmayan

x(n+ 1) = a(n)x(n) + g(n) ; n > n0 > 0; (2.2.1)

fark denklemi ve

x(n0) = x0 (2.2.2)

baslang kosulundan meydana gelen baslang deger problemi zerinde durulmak-

tadr; burada a(n) katsaysve g(n), n > n0 iin tanmlreel degerli fonksiyonlarolup a(n) 6= 0 dr.

(2:2:1) e iliskin homogen denklem

x(n+ 1) = a(n)x(n) ; n > n0 > 0; (2.2.3)

dir.

Ayrca, bu aradakQ

i=k+1

a(i) = 1 vekP

i=k+1

a(i) = 0 kabullerini not edelim.

Teorem 2.2.1. (2.2.3) homogen fark denklemi ve (2:2:2) baslang kosulundan

olusan problemin tek zm

x(n) =

n1Yi=n0

a(i)

!x0 (2.2.4)

olup (2.2.1)-(2.2.2) baslang deger probleminin tek zm

x(n) =

n1Yi=n0

a(i)

!x0 +

n1Xr=n0

n1Yi=r+1

a(i)

!g(r) (2.2.5)

dir.

Ispat. (2.2.3) homogen denkleminden, n = n0; n0 + 1; n0 + 2 saylariin srasiyle

x(n0 + 1) = a(n0)x(n0) = a(n0)x0;

12

x(n0 + 2) = a(n0 + 1)x(n0 + 1) = a(n0 + 1)a(n0)x0;

ve

x(n0 + 3) = a(n0 + 2)x(n0 + 2) = a(n0 + 2)a(n0 + 1)a(n0)x0;

elde edilir. Buradan (2.2.3), (2.2.2) probleminin zm

x(n) = x(n0 + n n0)

= a(n 1)a(n 2):::a(n0)x0

=

n1Qi=n0

a(i)

x0:

te yandan (2.2.1)-(2.2.2) probleminin tek zm asagdaki sekilde hesaplanabilir:

nce (2.2.1) ve (2.2.2) den,

x(n0 + 1) = a(n0)x0 + g(n0);

x(n0 + 2) = a(n0 + 1)x(n0 + 1) + g(n0 + 1)

= a(n0 + 1)a(n0)x0 + a(n0 + 1)g(n0) + g(n0 + 1);

x(n0 + 3) = a(n0 + 2)x(n0 + 2) + g(n0 + 2)

= a(n0 + 2)a(n0 + 1)a(n0)x0 + a(n0 + 2)a(n0 + 1)g(n0)

+a(n0 + 2)g(n0 + 1) + g(n0 + 2)

degerleri hesaplanr. Bunlardan yola karak, x(n) zm her n > n0 iin (2.2.5)seklinde ifade edilir. Sonra bunun dogrulugu tmevarm yntemiyle ispatlanr:

Bunun iin (2.2.5) ifadesi n = k iin dogru olsun, yani,

x(k) =

k1Yi=n0

a(i)

!x0 +

k1Xr=n0

k1Yi=r+1

a(i)

!g(r): (2.2.6)

Gsterecegiz ki (2.2.5) forml n = k + 1 iin de dogrudur.

(2.2.1) den

x(k + 1) = a(k)x(k) + g(k)

13

ve (2.2.6) dan,

x(k + 1) = a(k)

" k1Yi=n0

a(i)

!x0 +

k1Xr=n0

k1Yi=r+1

a(i)

!g(r)

#+ g(k)

= a(k)

k1Yi=n0

a(i)

!x0 +

k1Xr=n0

a(k)

k1Yi=r+1

a(i)

!g(r) + g(k)

=

kY

i=n0

a(i)

!x0 +

k1Xr=n0

kY

i=r+1

a(i)

!g(r) +

kY

i=k+1

a(i)

!g(k)

=

kY

i=n0

a(i)

!x0 +

kXr=n0

kY

i=r+1

a(i)

!g(r)

bulunur. O halde (2.2.5) forml her n > n0 iin dogrudur.

Uyar2.2.1. Birinci basamaktan sabit katsayl

x(n+ 1) = ax(n) + g(n) (2.2.7)

denklemi ve

x(0) = x0 (2.2.8)

kosulu iin (2.2.5) zm forml

x(n) = anx0 +

n1Xr=0

anr1g(r) (2.2.9)

seklini alr. Ayrca g bir sabit olmak zere g(n) = g oldugu zaman (2.2.9) dan,

x(n) =

8>>>>>:anx0 +

0@ an 1a 1

1A g ; a 6= 1;x0 + gn ; a = 1

bulunur.

14

rnek 2.2.1. n > 0 iin

x(n+ 1) = (n+ 1)x(n) + 2n(n+ 1)! , x(0) = 1;

probleminin zm, (2.2.5) den,

x(n) =n1Yi=0

(i+ 1) +

n1Xr=0

n1Yi=r+1

(i+ 1)

!2r(r + 1)!

= n! +

n1Xr=0

n!2r

= 2nn!

dir.

rnek 2.2.2.

x(n+ 1) = 2x(n) + 3n; x(1) = 0:5;

probleminin zm, (2.2.9) dan,

x(n) =

1

2

2n1 +

n1Xr=1

2nr13r

= 2n2 + 2n1n1Xr=1

3

2

r= 3n 5(2)n1

dir.

15

2.3 Ikinci Basamaktan Sabit KatsaylLineer Homogen Fark Denklemleri

Bu kesimde 2. basamaktan lineer sabit katsaylhomogen fark denklemlerinin zm-

leri hesaplanmaktadr.

a1, a2 katsaylarreel sabitler ve a2 6= 0 olmak zere ikinci basamaktan sabit katsayllineer homogen

x(n+ 2) + a1x(n+ 1) + a2x(n) = 0 (2.3.1)

fark denklemini ele alalm. Bu denklem iin n seklinde bir zm aranrsa,

2 + a1+ a2 = 0 (2.3.2)

bulunur. Bu denkleme (2:3:1) fark denkleminin karakteristik denklemi denir. (2:3:2)

nin 1; 2 kklerine karakteristik kokler adverilir. (2:3:1) homogen fark denkle-

minin genel zm 1; 2 kklerine baglolarak farkldurumda hesaplanr.

Durum 1. 1 ve 2 kkleri reel ve farklise, bu durumda fn1 ; n2g cmlesi (2:3:1)denkleminin bir temel cmlesidir. Buradan (2:3:1) in genel zm

x(n) = c1n1 + c2

n2 (2.3.3)

seklindedir; burada c1 ve c2 key sabitlerdir.

Durum 2. 1 = 2 = olsun. Bu durumda (2:3:1) denkleminin bir temel cmlesi

fn; nng olup genel zm

x(n) = (c1 + c2n)n (2.3.4)

dir.

Durum 3. 1 = + i ve 2 = i olsun. Bu durumda (2.3.1) in bir temel

16

cmlesi frncosn; rnsinng dr; burada

r =

q2 + 2 ; = tan1

:

Buradan (2.3.1) in genel zm

x(n) = rn(c1 cosn + c2 sinn) (2.3.5)

veya

x(n) = Arn cos(n B)

seklindedir; burada c1, c2; A ve B key sabitlerdir.

2.4 Ikinci Basamaktan Degisken KatsaylLineer Homogen FarkDenklemleri

Bu kesimde a0(n), a1(n), a2(n) katsaylarn > n0 iin tanmlreel degerlifonksiyonlar ve n > n0 zerinde a0(n) 6= 0, a2(n) 6= 0 olmak zere ikinci basamaktandegisken katsayllineer homogen

a0(n)x(n+ 2) + a1(n)x(n+ 1) + a2(n)x(n) = 0 ; n > n0; (2.4.1)

fark denkleminin genel zm hesaplanmaktadr. Bunun iin iki yntemden szedi-

lecektir: Operatrn arpanlara ayrlmasve bir zmn bilinmesi durumu (Kelley

ve Peterson 2001).

Operatrn arpanlara Ayrlmas

(2:4:1) denklemi E teleme operatr yardmiyle

a0(n)E2x(n) + a1(n)Ex(n) + a2(n)x(n) = 0

a0(n)E

2 + a1(n)E + a2(n)x(n) = 0

17

seklinde yazlabilir. Buradan

a0(n)E2 + a1(n)E + a2(n)

operatrE ye gre arpanlara ayrlabilirse, o zaman verilen denklemin genel zm

hemen bulunabilir.

rnek 2.4.1. Ikinci basamaktan degisken katsayl

x(n+ 2) (n+ 1)x(n+ 1) (n+ 1)x(n) = 0 (2.4.2)

fark denklemi verilsin. Bu denklem teleme operatr cinsinden

(E2 (n+ 1)E (n+ 1))x(n) = 0 (2.4.3)

biiminde olup

(E + 1)(E (n+ 1))x(n) = 0 (2.4.4)

seklinde arpanlara ayrlabilir. Simdi

(E (n+ 1))x(n) = z(n) (2.4.5)

olsun. Buradan (2.4.4)

(E + 1)z(n) = 0

denklemine indirgenir. Bu ise

z(n) = (1)nc1 (2.4.6)

genel zmne sahiptir; burada c1 key sabittir. (2.4.6), (2.4.5) de yerine konursa,

(E (n+ 1))x(n) = (1)nc1

veya

x(n+ 1) = (n+ 1)x(n) + (1)nc1 (2.4.7)

18

elde edilir. (2.4.7) denklemi birinci basamaktan homogen olmayan bir denklem olup

genel zm

x(n) =

n1Yi=n0

(i+ 1)

!c2 +

n1Xr=n0

n1Yi=r+1

(i+ 1)

!(1)rc1

= c2n! +

n1Xr=n0

n(n 1):::(r + 2)(1)rc1

= c2n! + c1

n1Xr=n0

(1)rn!(r + 1)!

(2.4.8)

dir. Bylece verilen (2.4.2) denkleminin genel zm (2.4.8) biiminde hesaplanms

oldu.

Bir zmn Bilinmesi Durumu

(2:4:1) homogen denkleminin asikar olmayan bir zm bilindigi takdirde bununla

bagmsz olabilecek ikinci bir zm bulunabilir:

Lemma 2.4.1. x1(n) ve x2(n), (2:4:1) fark denkleminin iki zm veW (n) onlarn

Casoratyan{ olsun. Bu durumda

W (n+ 1) =

a2(n)

a0(n)

W (n) (2.4.9)

dir.

x1(n); (2:4:1) in asikar olmayan bir zm ve x2(n) de ayndenklemin diger bir

zm olsun. Ak bir durum olarak

x2(n)

x1(n)=

x1(n)x2(n) x2(n)x1(n)x1(n)x1(n+ 1)

=W (n)

x1(n)x1(n+ 1)

dir. Buradan her iki yana 1 uygulanrsa,

19

x2(n) = x1(n)n1Xr=0

W (r)

x1(r)x1(r + 1)(2.4.10)

olur. Bylece asagdaki teorem elde edilir:

Teorem 2.4.1. x1(n); (2.4.1) denkleminin asla sfr olmayan bir zm olsun.

a0(n) ve a2(n) katsaylarn > n0 zerinde sfrdan farkl iseler, o zaman (2.4.10)ifadesi (2.4.1) denkleminin diger bagmsz zmn gsterir; burada W (r), (2.4.9)

un asikar olmayan bir zmdr.

Bu teorem ikinci basamaktan (2.4.1) denklemi iin basamagn indirgenmesi olarak

bilinir.

rnek 2.4.2.

x(n+ 2) x(n+ 1) 1n+ 1

x(n) = 0

denklemi verilsin.

Bu denklemin bir zm x1(n) = n+ 1 dir. Lemma 2.4.1 den,

W (n+ 1) = 1n+ 1

W (n):

Bu ise

W (n) =(1)nn!

seklinde bir zme sahiptir. (2.4.10) dan,

x2(n) = (n+ 1)

n1Xr=0

(1)r(r + 1)(r + 2)r!

= (n+ 1)

n1Xr=0

(1)r(r + 2)!

elde edilir. Bylece verilen denklemin genel zm

x(n) = c1(n+ 1) + c2(n+ 1)

n1Xr=0

(1)r(r + 2)!

20

dir; burada c1 ve c2 key sabitlerdir.

2.5 k. Basamaktan Lineer Sabit KatsaylHomogen Fark Denklemleri

Bu kesimde k. basamaktan sabit katsaylhomogen

x(n+ k) + a1x(n+ k 1) + :::+ akx(n) = 0 (2.5.1)

fark denklemi ele alnmaktadr; burada ai ler reel sabitler olup ak 6= 0 dr.

Ikinci basamaktan lineer sabit katsaylhomogen denklemde oldugu gibi (2:5:1) denk-

leminin n seklinde bir zm aranrsa,

k + a1k1 + :::+ ak = 0 (2.5.2)

denklemi bulunur. Bu denkleme karakteristik denklem ve onun kklerine de karakteristik

kokler ad verilir. (2.5.1) fark denkleminin zmleri karakteristik kklere bagl

olarak hesaplandklariin asagdaki durumlarn incelenmesi yeterlidir.

Durum 1. (2:5:2) karakteristik denkleminin 1; 2; :::; k kkleri reel ve birbirinden

farklise, bu durumda fn1 ; n2 ; :::; nkg cmlesi (2:5:1) denkleminin bir temel cmlesiolup (2:5:1) in genel zm

x(n) =kXi=1

cini (2.5.3)

dir; burada c1; c2; :::; ck key sabitlerdir.

Durum 2. (2:5:2) karakteristik denkleminin 1; 2; :::; r kkleri reel ve srasiyle

m1;m2; :::;mr katl olsunlar; buradarPi=1

mi = k: Bu durumda (2:5:1) denklemi E

operatr cinsinden

(E 1)m1(E 2)m2 :::(E r)mrx(n) = 0 (2.5.4)

seklinde yazlabilir. Herhangi bir i 2 [1; r] iin (E i)mix(n) = 0 denkleminin bir

21

temel cmlesi

Gi =ni ; n

ni ; :::; n

mi1ni

dir. Dolaysiyle (2:5:4) n bir temel cmlesi G =rSi=1

Gi olup genel zm

x(n) =

rXi=1

ni (ci0 + ci1n+ ci2n2 + :::+ cimi1n

mi1) (2.5.5)

dir.

Durum 3. (2:5:2) karakteristik denkleminin bir 1 = + i kompleks kk q1 katl

olsun (2q1 6 k): Bu durumda (2.5.1) in 2q1 tane gerel degerli bagmsz zm

rncosn; rnsinn; nrncosn; nrnsinn; :::;nq11rncosn; nq11rnsinn

seklindedir.

rnek 2.5.1.

x(n+ 3) 7x(n+ 2) + 16x(n+ 1) 12x(n) = 0;

x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 1

baslang deger problemini ele alalm. Bu problemin zm iin nce denklemin

genel zm bulunur: Karakteristik denklem

3 72 + 16 12 = 0

olup karakteristik kkler 1 = 2 = 2; 3 = 3: Buradan genel zm

x(n) = c12n + c2n2

n + c33n:

Baslang kosullaruygulanrsa,

22

x(0) = c1 + c3 = 0;

x(1) = 2c1 + 2c2 + 3c3 = 1;

x(2) = 4c1 + 8c2 + 9c3 = 1

sistemi bulunur. Buradan

c1 = 3; c2 = 2; c3 = 3

olup istenen zm

x(n) = 3(2n) + 2n(2n) 3n+1

biimindedir.

2.6 Homogen Olmayan Fark Denklemleri Iin zel zmler

Bu kesimde k. basamaktan sabit katsayl

x(n+ k) + a1x(n+ k 1) + :::+ akx(n) = g(n) (2.6.1)

denkleminin bir zel zm iin nce belirsiz katsaylar yntemi ile operatr yn-

temi verilmektedir. Daha sonra da en genel yntem saylan parametrelerin degisimi

yntemi ikinci basamaktan degisken katsaylbir denklem iin ifade edilmektedir.

Belirsiz Katsaylar Yntemi

Bu ynteme gre nce (2.6.1) e iliskin homogen

x(n+ k) + a1x(n+ k 1) + :::+ akx(n) = 0 (2.6.2)

denkleminin genel zm bulunur.

Sonra g(n) in belli durumlariin zel zm olabilecek aday zmler olusturulur

(Gupta 1994, 1998). Belli g(n) durumlarve karslk gelen aday zmler asagdaki

tabloda grlmektedir:

23

g (n) xp (n)

an A1an

nk A0 + A1n+ :::+ Aknk

nkan A0an + A1na

n + :::+ Aknkan

sinbn veya cosbn A1sin (bn) + A2cos (bn)

ansinbn veya ancosbn (Asin (bn) +Bcos (bn))an

annksinbn veya annkcosbn(A0 + A1n+ :::+ Akn

k)ansinbn+

(B0 +B1n+ :::+Bknk)ancosbn

rnek 2.6.1. Ikinci basamaktan

x(n+ 2) 5x(n+ 1) + 6x(n) = 2 + 4n (2.6.3)

fark denkleminin bir zel zm iin nce karslk gelen homogen

x(n+ 2) 5x(n+ 1) + 6x(n) = 0 (2.6.4)

denkleminin genel zm bulunur:

xh(n) = c13n + c22

n: (2.6.5)

g(n) = 2 + 4n; 1: dereceden bir polinom oldugundan, bir aday zel zm

xp(n) = A0 + A1n (2.6.6)

dir; burada A0 ve A1 belirlenmesi gereken sabitlerdir. Bu xp(n) ile xh(n) nin terimleri

arasnda bir benzerlik bulunmadgndan, kesin olarak (2.6.6) seklinde bir zel zm

var demektir. Bundan sonra A0 ve A1 sabitlerini belirlemek iin (2.6.6) verilen

denklemde yerine konur ve

2A0 3A1 + 2A1n 2 + 4n

24

zdesligi bulunur. Buradan A1 = 2; A0 = 4 olup

xp(n) = 4 + 2n

dir. Bylece (2:6:3) n genel zm

x(n) = xh(n) + xp(n)

= c13n + c22

n + 4 + 2n

olur.

rnek 2.6.2. Ikinci basamaktan lineer

x(n+ 2) 4x(n+ 1) + 3x(n) = n4n (2.6.7)

fark denklemini ele alalm. Buna iliskin homogen

x(n+ 2) 4x(n+ 1) + 3x(n) = 0 (2.6.8)

denkleminin genel zm

xh(n) = c1 + c23n

dir. g(n) = n4n oldugundan, verilen denklemin bir aday zel zm

xp(n) = (A0 + A1n)4n (2.6.9)

dir. Yine xp(n) ile xh(n) nin terimleri arasnda bir benzerlik yoktur. O halde (2.6.9)

seklinde bir zel zm kesinlikle vardr. A0 ve A1 in belirlenmesi iin bu zm

(2.6.7) de yerine konur ve ortaya kan zdeslikten, A0 = 169 ve A1 = 13 bulunur.Buradan bir zel zm

xp(n) =

169+1

3n

4n

25

seklinde elde edilir. Bylece verilen denklemin genel zm

x(n) = c1 + c23n +

169+1

3n

4n:

rnek 2.6.3.

x(n+ 2) + 4x(n) = 8(2n) cosn

2(2.6.10)

fark denklemi verilsin. Buna iliskin homogen

x(n+ 2) + 4x(n) = 0 (2.6.11)

denkleminin gerel degerli genel zm

xh(n) = 2n(c1 cos

n

2+ c2 sin

n

2) (2.6.12)

dir. g(n) = 8(2)n cos n2oldugundan, bir aday zel zm

xp(n) = 2n(A cos

n

2+B sin

n

2) (2.6.13)

dir. Ancak bununla genel zmn terimleri arasnda benzerlikler vardr. Bunun iin

(2.6.13) n ikinci yann ile arplarak sz konusu benzerlikler yok edilir. Bylece bir

zel zm iin kesin yap

xp(n) = 2n(An cos

n

2+Bn sin

n

2) (2.6.14)

dir. Gerekli islemler yaplrsa, A = 1 ve B = 0 olarak bulunur. Bu degerler(2.6.14) de yerlerine konulursa, verilen denklemin bir zel zm

xp(n) = 2nn cos n2

seklinde elde edilir. Buradan (2.6.10) un genel zm

x(n) = 2nc1 cos

n

2+ c2 sin

n

2 n cos n

2

:

26

Operatr Yntemi

(2.6.1) denklemi E teleme operatr cinsinden

f(E)x(n) = g(n) (2.6.15)

seklinde yazlabilir; burada

f(E) = Ek + a1Ek1 + :::+ ak (2.6.16)

dir. Buradan (2.6.15) in veya (2.6.1) in bir zel zm

xp(n) = f1(E)g(n) (2.6.17)

dir.

Uyar2.6.1. g(n) in belli durumlariin (2.6.17) nin hesab; yani f1(E) in uygu-

lans biimi asagdaki teoremlerde aklanmaktadr (Mickens 1990).

Teorem 2.6.1.

f(E)an = f(a)an (2.6.18)

dir.

Sonu 2.6.1. f(a) 6= 0 ise,f1(E)an =

an

f(a): (2.6.19)

Teorem 2.6.2. F (n), n ye baglbir fonksiyon olmak zere

f(E)anF (n) = anf(aE)F (n) (2.6.20)

ve

f1(E)anF (n) = anf1(aE)F (n)

dir.

27

Teorem 2.6.3. f(a) = 0 ve

f(E) = (E a)mh(E); h(a) 6= 0;

olsun. Bu durumda

f1(E)an =anm nm

h(a)m!(2.6.21)

dir.

rnek 2.6.4.

x(n+ 2) 5x(n+ 1) + 6x(n) = 3n (2.6.22)

fark denklemi verilsin.

Bu denklem E operatr cinsinden

f(E)x(n) = (E 2)(E 3)x(n) = 3n (2.6.23)

seklinde ifade edilebilir. f(3) = 0 oldugundan, Teorem 2.6.3 uygulanr, ve (2.6.22)

nin veya (2.6.23) n bir zel zm iin nce f(E),

f(E) = (E 3)h(E); h(E) = E 2;

seklinde yazlr. Buradan a = 3; m = 1; h(a) = 1 olup

xp(n) =1

f(E)3n

= 3n1n

dir.

rnek 2.6.5.

(E 2)2x(n) = 2n

denklemi verilsin. Buradan f(E) = (E 2)2 dir.

28

f(2) = 0; m = 2 ve h(E) = 1 oldugundan, Teorem 2.6.3 den,

xp(n) =1

(E 2)22n

=2n2 n2

(1)(2!)

=n2 2n

8

zel zm elde edilir.

rnek 2.6.6.

(E 2)(E 3)x(n) = (5 n+ n2)4n

denklemi iin f (E) = (E 2)(E 3) dr. Bir zel zm iin nce

xp(n) =1

(E 2)(E 3)(5 n+ n2)4n

yazlr. Teorem 2.6.2 den, a = 4 ve F (n) = 5 n+ n2 iin

xp(n) = 4n 1

(4E 2)(4E 3)(5 n+ n2)

veya

xp(n) =1

24n(1 + 6 + 82)1(5 n+ n2)

bulunur. Bundan sonra (1 + 6+ 82)1 ifadesi1

1 + xe benzetilerek seriye alr

ve aranan bir zel zm

xp(n) =1

24n(61 13n+ n2)

biiminde hesaplanr.

Parametrelerin Degisimi Yntemi

Parametrelerin degisimi yntemi k. basamaktan sabit katsaylveya degisken kat-

saylhomogen olmayan denklemlerin bir zel zmn bulmak iin uygulanabilen

29

en genel yntemdir.

Bu yntemin uygulama biimi ikinci basamaktan degisken katsayl homogen ol-

mayan

x(n+ 2) + a1(n)x(n+ 1) + a2(n)x(n) = g(n) (2.6.24)

denklemi iin aklanmaktadr (Elaydi 1999).

nce (2.6.24) e iliskin homogen

x(n+ 2) + a1(n)x(n+ 1) + a2(n)x(n) = 0 (2.6.25)

denkleminin genel zm

xh(n) = c1x1(n) + c2x2(n) (2.6.26)

seklinde bulunur; burada x1(n) ve x2(n); (2:6:25) in lineer bagmsz zmleridir.

Buradan (2.6.24) n bir zel zm

xp(n) = c1(n)x1(n) + c2(n)x2(n) (2.6.27)

dir; burada c1(n) ve c2(n) asagdaki sekilde hesaplanrlar:

c1(n)x1(n+ 1) + c2(n)x2(n+ 1) = 0; (2.6.28)

c1(n)x1(n+ 2) + c2(n)x2(n+ 2) = g(n): (2.6.29)

(2:6:28) ve (2:6:29) dan,

c1(n) =g(n)x2(n+ 1)W (n+ 1)

ve

c2(n) =g(n)x1(n+ 1)

W (n+ 1)

dir; burada W (n), x1(n) ve x2(n) in Casoratyan{dr. Buradan

c1(n) =n1Xr=0

g(r)x2(r + 1)W (r + 1)

30

ve

c2(n) =n1Xr=0

g(r)x1(r + 1)

W (r + 1):

Bunlar (2.6.27) de yerlerine konursa, (2.6.24) n bir zel zm

xp(n) =

n1Xr=0

g(r)x2(r + 1)w(r + 1)

x1(n) +n1Xr=0

g(r)x1(r + 1)

w(r + 1)x2(n)

seklinde bulunur.

Uyar2.6.2. Bu yntem benzer sekilde k. basamaktan degisken katsayl

x(n+ k) + a1(n)x(n+ k 1) + :::+ ak(n)x(n) = g(n) (2.6.30)

denklemine de uygulanabilir: Buna iliskin homogen denklemin genel zm

xh(n) = c1x1(n) + c2x2(n) + :::+ ckxk(n)

olup (2.6.30) un bir zel zm

xp(n) = c1(n)x1(n) + c2(n)x2(n) + :::+ ck(n)xk(n)

dir; burada c1(n); c2(n); :::; ck(n) bilinmeyenleri asagdaki gibi hesaplanrlar:8>>>>>>>>>>>>>>>>>:

c1(n)x1(n+ 1) + c2(n)x2(n+ 1) + :::+ck(n)xk(n+ 1) = 0;

c1(n)x1(n+ 2) + c2(n)x2(n+ 2) + :::+ck(n)xk(n+ 2) = 0;...

c1(n)x1(n+ k 1) + c2(n)x2(n+ k 1) + :::+ck(n)xk(n+ k 1) = 0;c1(n)x1(n+ k) + c2(n)x2(n+ k) + :::+ck(n)xk(n+ k) = g(n):

(2:6:31)

Bu sistemden, c1(n);c2(n); :::;ck(n) bulunur ve daha sonra bunlarn srasiyle,

ters fark operatrleri alnarak c1(n); c2(n); :::; ck(n) elde edilir.

31

rnek 2.6.7. Parametrelerin degisimi yntemi yardmiyle

x(n+ 2) 7x(n+ 1) + 6x(n) = n

denkleminin bir zel zmn bulalm.

Bu denkleme iliskin homogen

x(n+ 2) 7x(n+ 1) + 6x(n) = 0

denkleminin genel zm

xh(n) = c1 + c26n

dir. O halde verilen denklemin bir zel zm

xp(n) = c1(n) + c2(n) 6n

dir; burada c1(n) ve c2(n)8

3. LINEER FARK DENKLEM SISTEMLERI

Iki veya daha fazla bagml degiskene bagl birinci basamaktan fark denklem sis-

temleri biyoloji, zik, tp ve mhendislik problemlerinde yaygn bir sekilde ortaya

karlar. Bu yzden fark denklem sistemlerini incelemek nem tasr. Bu blmde

lineer fark denklem sistemlerinin teorisi ile birlikte zmlerin bulunmasnsaglayan

yntemler ve lineer periyodik sistemler ele alnacaktr (Tauber 1964, Lakshmikant-

ham ve Trigante 1988, Murty vd. 1997, Elaydi 1999, Agarwal 2000).

3.1 Temel Teori

Tanm 3.1.1. Birinci basamaktan k boyutlu bir lineer homogen fark denklem sistemi

ile homogen olmayan bir sistem, srasiyle,

x(n+ 1) = A(n)x(n); (3.1.1)

x(n+ 1) = A(n)x(n) + g(n) (3.1.2)

seklinde ifade edilirler; burada A(n) = (aij(n)); k k; n > n0 zerinde singlerolmayan bir matris, x(n) = (x1(n); x2(n); :::; xk(n))T 2 Rk ve g(n) 2 Rk dr. Ayrca,(3.1.1) veya (3.1.2) sisteminin x(n0) = x0 kosulu ile birlikte ele alnmasna bir

baslang{ deger problemi denir ve bunun zm x(n) = x(n; n0; x0) ile gsterilir.

Teorem 3.1.1. Her bir x0 2 Rk ve n0 2 N iin

x(n+ 1) = A(n)x(n); x(n0) = x0; (3.1.3)

probleminin bir tek x(n; n0; x0) zm vardr.

Ispat. (3:1:3) den, n = n0 iin

x(n0 + 1; n0; x0) = A(n0)x(n0) = A(n0)x0;

33

n = n0 + 1 iin

x(n0 + 2; n0; x0) = A(n0 + 1)x(n0 + 1) = A(n0 + 1)A(n0)x0;

n = n0 + 2 iin

x(n0 + 3; n0; x0) = A(n0 + 2)x(n0 + 2) = A(n0 + 2)A(n0 + 1)A(n0)x0;

ve bu sekilde devam edilirse,

x(n0 + n n0; n0; x0) = A(n0 + n n0 1):::A(n0 + 1)A(n0)x0

veya

x(n; n0; x0) = A(n 1):::A(n0 + 1)A(n0)x0

bulunur. Bu ise

n1Yi=n0

A(i) =

8 n0;I ; n = n0;olmak zere

x(n; n0; x0) =

n1Yi=n0

A(i)

!x0 (3.1.4)

biiminde yazlabilir. Bylece (3:1:3) probleminin tek zm vardr ve bu zm

(3.1.4) seklindedir.

Tanm 3.1.2. x1(n); x2(n); :::; xk(n); (3:1:1) in zmleri olsunlar. Eger

c1x1(n) + c2x2(n) + :::+ ckxk(n) = 0; n n0; (3.1.5)

denklemi sadece ve sadece ci = 0; 1 i k; iin saglanyorsa, bu durumdafx1(n); x2(n); :::; xk(n)g cmlesine n n0 0 zerinde lineer bag{ms{zd{r denir.(3.1.5) denklemi hepsi birden sfr olmayan c1; c2; :::; ck sabitleri iin saglanyorsa, o

zaman fx1(n); x2(n); :::; xk(n)g cmlesine n n0 0 zerinde lineer bag{ml{d{rdenir.

34

Sonu 3.1.1. (n); kolonlar(3:1:1) in zmlerinden meydana gelen k k tipindebir matris olsun. Bu durumda (n)

(n+ 1) = A(n)(n) (3.1.6)

matris fark denkleminin bir zmdr.

Ispat. (3.1.1) in x1(n); x2(n); :::; xk(n) zmleri iin

(n) = (x1(n); x2(n); :::; xk(n))

matrisi gznne alndgzaman

(n+ 1) = (A(n)x1(n); A(n)x2(n); :::; A(n)xk(n))

= A(n) (x1(n); x2(n); :::; xk(n))

= A(n)(n)

olur. O halde (n); (3:1:6) denklemini saglar.

Tanm 3.1.3. (n); n > n0 zerinde singler olmayan bir matris olmak zere (3:1:6)denklemini saglasn. Bu durumda(n)matrisine (3:1:1) sisteminin bir temel matrisi

denir.

Sonu 3.1.2. (n); (3:1:1) in bir temel matrisi ve C singler olmayan bir sabit

matris ise, o zaman (n)C de (3:1:1) iin bir temel matristir.

Ispat.

(n) = (n)C

olsun. Buradan

35

(n+ 1) = (n+ 1)C

= A(n)(n)C

= A(n)(n)

olur. Bylece (n); (3:1:6) denklemini saglar. te yandan, her n > n0 iin

det(n) = det((n)C)

= det(n) detC

6= 0

dr. O halde (n) bir temel matristir.

Uyar3.1.1. (n); (3:1:1) in herhangi bir temel matrisi ise, (n)1(n0) de ayn

sistemin bir temel matrisidir. Bu zel temel matris (n; n0) ile gsterilir ve konum

geis matrisi adnalr. Bu gsterim n m olmak zere (n;m) = (n)1(m)seklinde genellestirebilir; burada n;m pozitif tamsaylardr.

Uyar3.1.2. (3.1.1) sistemi iin bir temel matris

(n) =

n1Yi=n0

A(i); (n0) = I;

seklinde verilebilir. Gerekten, bu matris iin

(n+ 1) =

nYi=n0

A(i)

= A(n)

n1Yi=n0

A(i)

= A(n)(n)

dir. Ayrca (3.1.1) in dogasndan, her n > n0 iin A1(n) vardr. Dolaysiyle

36

det(n) = detA(n 1) detA(n 2)::: detA(n0 + 1) detA(n0)6= 0

dr. Bylece (n); (3.1.6) matris fark denkleminin bir matris zm olup n > n0zerinde singler degildir.

Sonu 3.1.3. (3:1:1) sisteminin bir temel (n;m) matrisi iin asagdaki zellikler

saglanr:

(i) (n;m)matrisi(n+1;m) = A(n)(n;m)matris fark denkleminin bir zmdr;

(ii) 1(n;m) = (m;n);

(iii) (n;m) = (n; r) (r;m);

(iv) (n;m) =n1Yi=m

A(i) ;

(v) (n;m) = (nm) = Anm; A(n) = A bir sabit matristir.

Ispat:

(i) (n;m) = (n)1(m)

(n+ 1;m) = (n+ 1)1(m)

= A(n)(n)1(m)

= A(n)(n;m):

(ii) (n;m) = (n)1(m)

1(n;m) = (m)1(n)

= (m;n):

(iii) (n;m) = (n)1(m)

= (n)1(r)(r)1(m)

37

(n;m) = (n; r)(r;m):

(iv) Uyar3.1.2 den,

(m) =

m1Yi=n0

A(i)

yazlabilir. Buradan

1(m) =n0Y

i=m1A1(i)

olur. Simdi

(n;m) = (n)1(m)

= A(n 1)A(n 2):::A(n0)A1(n0)A1(n0 + 1):::A1(m 1)= A(n 1)A(n 2):::A(m)

=n1Yi=m

A(i)

elde edilir.

Sonu 3.1.4. x(n0) = x0 olmak zere (3:1:1) in tek x(n; n0; x0) zm

x(n; n0; x0) = (n; n0)x0 (3.1.7)

dir.

Lemma 3.1.1 (Abel Forml). (n); (3.1.6) nn bir zm matrisi olsun. Bu

durumda n n0 > 0 iin

det(n) =

n1Yi=n0

detA(i)

!det(n0) (3.1.8)

dr.

Ispat. (3.1.6) dan,

det(n+ 1) = detA(n) det(n); n n0;

38

bulunur. Bu skaler fark denkleminin zm (3.1.8) seklindedir.

Sonu 3.1.5. (3.1.1) deki A(n) matrisi A(n) A seklinde singler olmayan birsabit matris ise, o zaman

det(n) = (detA)nn0 det(n0) (3.1.9)

dr.

Sonu 3.1.6. Bir (n) zm matrisinin n n0 zerinde singler olmamasiingerek ve yeter kosul det(n0) 6= 0 dr.

Ispat. Abel formlnden ve i > n0 iin detA(i) 6= 0 oldugundan, ispat tamamlanr.

Sonu 3.1.7. (3:1:1) in x1(n); x2(n); :::; xk(n) zmlerinin n n0 zerinde lineerbagmsz olmalariin gerek ve yeter kosul (n0) n singler olmamasdr.

Ispat. Sonu 3.1.6 dan kar.

Teorem 3.1.2. (3:1:1) sisteminin n n0 iin k tane lineer bagmsz zm vardr.

Ispat. Her bir i = 1; 2; :::; k iin ei = (0; 0; :::1; :::0)T ; Rk da i: bileseni 1 diger

bilesenleri 0 olan bir birim vektr olsun. Teorem (3:1:1) nedeniyle (3:1:1) in her bir ei;

1 i k; iin x(n0) = ei olacak biimde bir tek x(n; n0; ei) zm vardr. Byleceelde edilen fx(n; n0; ei) : 1 i kg zmler cmlesinin lineer bagmsz olmasiindet(n0) 6= 0 oldugunu gstermek yeterlidir (Sonu 3.1.6). Bu ise aktr, nk(n0) = I dr. Bylece ispat tamamlanms olur.

Sonu 3.1.8. (3.1.1) in btn zmlerinin V cmlesi k boyutlu bir lineer uzaydr.

Uyar3.1.3. Sonu 3.1.8 e gre x1(n); x2(n); :::; xr(n); (3:1:1) in zmleri ise, o

zaman

x(n) =Xr

i=1cixi(n)

39

toplamda (3:1:1) in bir zmdr; burada ci ler key sabitlerdir. Bu gerek bizi

(3.1.1) in genel zmnn tanmna gtrr.

Tanm 3.1.4. fxi(n) : 1 i kg ; (3:1:1) in lineer bagmsz zmlerinin bir cm-lesi olsun. Bu durumda (3:1:1) in genel zm

x(n) =kXi=1

cixi(n) (3.1.10)

seklinde tanmlanr; burada ci ler reel key sabitlerdir. (3:1:10) forml

x(n) = (n)c

seklinde yazlabilir; burada (n) = (x1(n); x2(n); :::; xk(n)) bir temel matris ve

c = (c1; c2; :::; ck)T 2 Rk dir.

Artk homogen olmayan (3.1.2) sisteminin genel zm ile ilgili olarak asagdaki

teorem verilebilir.

Teorem 3.1.3. xp(n); (3:1:2) nin zel bir zm olmak zere (3:1:2) nin herhangi

bir x(n) zm

x(n) = (n)c+ xp(n) (3.1.11)

seklinde yazlabilir; burada (n), (3.1.1) in bir temel matrisi ve c uygun bir sekilde

seilen sabit bir vektrdr.

Simdi (3.1.2) sisteminin bir xp(n) zel zmn bulmak iin asagdaki sonulara

bakalm.

Lemma 3.1.2. (3:1:2) sisteminin bir zel zm

xp(n) =

n1Xr=n0

(n; r + 1)g(r); xp(n0) = 0;

dr.

40

Ispat.

xp(n+ 1) =

nXr=n0

(n+ 1; r + 1)g(r)

=

n1Xr=n0

(n+ 1; r + 1)g(r) + (n+ 1; n+ 1)g(n)

=

n1Xr=n0

A(n)(n)1(r + 1)g(r) + g(n)

= A(n)n1Xr=n0

(n; r + 1)g(r) + g(n)

= A(n)xp(n) + g(n):

O halde xp(n), (3.1.2) nin bir zmdr. Ayrca, xp(n0) = 0 dr.

Teorem 3.1.4 (Sabitlerin degisimi forml).

x(n+ 1) = A(n)x(n) + g(n); x(n0) = x0; (3.1.12)

baslang deger probleminin tek zm

x(n; n0; x0) = (n; n0)x0 +n1Xr=n0

(n; r + 1)g(r) (3.1.13)

ya da ak olarak

x(n; n0; x0) =

n1Yi=n0

A(i)

!x0 +

n1Xr=n0

n1Yi=r+1

A(i)

!g(r) (3.1.14)

dir.

Ispat. Teorem 3.1.3 den,

x(n; n0; x0) = (n; n0)x0 + xp(n; n0; 0)

41

ve Lemma 3.1.2 den,

xp(n; n0; 0) =

n1Xr=n0

(n; r + 1)g(r)

oldugundan, teorem ispatlanms olur.

Sonu 3.1.9. A sabit bir matris oldugu zaman (3:1:12) nin tek zm

x(n; n0; x0) = Ann0x0 +

n1Xr=n0

Anr1g(r) (3.1.15)

dir.

rnek 3.1.1.

x(n+ 1) = Ax(n) + g(n); x(0) = x0;

probleminin zm asagdaki gibi verilebilir; burada

A =

0@ 2 10 2

1A ; g(n) =0@ n1

1A ; x(0) =0@ 10

1A :

nce homogen

x(n+ 1) = Ax(n)

sisteminin temel matrisi

(n) = An =

0@ 2n n2n10 2n

1Aseklinde bulunur. Sonu 3.1.9 dan, problemin tek x(n) zm

42

x(n) =

0@ 2n n2n10 2n

1A0@ 10

1A+ n1Xr=0

0@ 2nr1 (n r 1)2nr20 2nr1

1A0@ r1

1A=

0@ 2n0

1A+ n1Xr=0

0@ r2nr1 + (n r 1)2nr22nr1

1A=

0@ 2n0

1A+0@ n2n1 34n

2n 1

1A=

0@ 2n + n2n1 34n2n 1

1Adir.

Uyar3.1.4. k yncbasamaktan bir skaler denklem daima birinci basamaktan k

boyutlu bir sisteme dnstrlebilir. Bunu grmek iin k yncbasamaktan skaler

y(n+ k) + p1(n)y(n+ k 1) + :::+ pk(n)y(n) = g(n) (3.1.16)

denklemini ele alalm. Simdi

x1(n) = y(n); x2(n) = y(n+1); x3(n) = y(n+2); :::; xk(n) = y(n+ k 1) (3.1.17)

dnsm (3.1.16) ya uygulanrsa,8>>>>>>>>>>>>>>>>>:

x1(n+ 1) = x2(n);

x2(n+ 1) = x3(n);...

xk1(n+ 1) = xk(n);

xk(n+ 1) = pk(n)x1(n) pk1(n)x2(n) ::: p1(n)xk(n) + g(n)(3.1.18)

sistemi elde edilir.

(3.1.18) sisteminin herhangi bir zm (x1(n); x2(n); :::; xk(n)) seklinde bir k ldr.

43

(3.1.17) dnsm nedeniyle (3.1.16) skaler denkleminin karslk gelen zm

y(n) = x1(n) dir.

Tersine olarak y(n), (3.1.16) nn bir zm ise, bu durumda (3.1.18) sisteminin

karslk gelen zm

(y(n); y(n+ 1); y(n+ 2); :::; y(n+ k 1))

dir.

te yandan, (3.1.18) sistemi,

A(n) =

0BBBBBBBBB@

0 1 0 ::: 0

0 0 1 ::: 0...

......

......

0 0 0 ::: 1

pk(n) pk1(n) pk2(n) ::: p1(n)

1CCCCCCCCCA; (3.1.19)

x(n) =

0BBBBBB@x1(n)

x2(n)...

xk(n)

1CCCCCCA ve h(n) =0BBBBBB@

0

0...

g(n)

1CCCCCCAolmak zere

x(n+ 1) = A(n)x(n) + h(n) (3.1.20)

seklinde bir matris-vektr formunda yazlabilir. g(n) 0 ve pi(n) = pi; 1 6 i 6 k,sabit olursa, o zaman

x(n+ 1) = Ax(n) (3.1.21)

homogen sistemi elde edilir.

Byle bir durumda A matrisinin zdegerleri ile k yncbasamaktan sabit katsayl

skaler homogen

y(n+ k) + p1y(n+ k 1) + :::+ pky(n) = 0 (3.1.22)

44

denkleminin karakteristik kkleri ayndr. Yani A nn karakteristik denklemi, (3.1.22)

nin karakteristik

k + p1k1 + :::+ pk1+ pk = 0

denklemine esittir.

3.2 Sabit KatsaylLineer Homogen Sistemler

Bu kesimde n > n0 zerine tanmlk bilinmeyenli k tane denklemden olusan sabitkatsayllineer homogen8>>>>>>>>>>>:

x1(n+ 1) = a11x1(n) + a12x2(n) + :::+ a1kxk(n);

x2(n+ 1) = a21x1(n) + a22x2(n) + :::+ a2kxk(n);...

xk(n+ 1) = ak1x1(n) + ak2x2(n) + :::+ akkxk(n)

fark denklem sistemi ele alnacaktr; burada x1(n); x2(n); :::; xk(n) sistemin bilin-

meyenleri olup

aij; 1 6 i; j 6 k, katsaylarverilen reel sabitlerdir. Byle bir sistem daima

x(n+ 1) = Ax(n); n > n0; (3.2.1)

seklinde vektr-matris formunda yazlabilir; burada A = (aij); k k boyutlu reelsingler olmayan bir matris ve x(n) = (x1(n); x2(n); :::; xk(n))T dir.

(3.2.1) sisteminin

x(n0) = x0 (3.2.2)

baslang kosulunu saglayan zmnn

x(n; n0; x0) = Ann0x0 (3.2.3)

biiminde oldugu nceki kesimde gsterildi; burada A0 = I; k k tipinde birimmatristir.

45

Bu kesimde esas olarak An in hesabzerinde durulmaktadr. Bununla ilgili olarak

Putzer Algoritmasve Jordan kanonik formu gibi yntemlerden sz edilecektir. Ama

nce bazhatrlatmalarda bulunalm.

Bir A = (aij); k k; reel matrisi iin

A = (3.2.4)

olacak sekilde sfr olmayan bir 2 Ck vektr varsa, saysna A nn bir ozdegerive vektrne de A nn bir ozvektoru denir; burada Ck; k boyutlu kompleks uzaydr.

(3.2.4) esitligi esdeger olarak

(A I) = 0 (3.2.5)

seklinde yazlabilir. Bu denklemin sfr olmayan bir zme sahip olmasiin gerek

ve yeter kosul

det(A I) = 0 (3.2.6)

ya da ak olarak

p() = k + a1k1 + a2

k2 + :::+ ak1+ ak = 0 (3.2.7)

dr. (3.2.7) denklemi A nn karakteristik denklemi olarak bilinir. Karakteristik

denklemin kklerine de A matrisinin ozdegerleri denir.

1; 2; :::; k, A nn zdegerleri ise, o zaman (3.2.7) denklemi

p() =kYj=1

( j) (3.2.8)

seklinde yazlabilir (zdegerlerin hepsi veya bir ksmbirbirlerine esit olabilir).

Putzer Algoritmas

A, k k trnde bir reel sabit matris olsun. Bu durumda

An =

kXj=1

uj(n)M(j 1) (3.2.9)

46

dir; burada

M(j) = (A jI)M(j 1); M(0) = I; (3.2.10)

veya ak olarak j = m iin

M(m) = (A mI)(A m1I):::(A 1I); (3.2.11)

uj(n), j = 1; 2; :::; k , skaler fonksiyonlar8

An =

3Xj=1

uj(n)M(j 1)

= u1(n)M(0) + u2(n)M(1) + u3(n)M(2); M(0) = I; (3.2.15)

seklindedir.

A matrisinin zdegerleri 1 = 2 = 3 = 4 oldugundan, (3.2.10) dan,

M(1) = A 4I =

0BBB@0 1 2

0 2 40 1 2

1CCCA ;

M(2) = (A 4I)M(1) =

0BBB@0 0 0

0 0 0

0 0 0

1CCCA :(3.2.13) den, u1(n); u2(n) ve u3(n) skaler fonksiyonlar

u1(n) = 4n;

u2(n) =n1Xr=0

(4n1r)(4r) = n4n1;

u3(n) =n1Xr=0

(4n1r)(r4r1) =n(n 1)

24n2

seklinde bulunur. Hesaplanan bu degerler (3.2.15) de yerlerine konursa,

An = 4n

0BBB@1 0 0

0 1 0

0 0 1

1CCCA+ n4n10BBB@0 1 2

0 2 40 1 2

1CCCA

+n(n 1)

24n2

0BBB@0 0 0

0 0 0

0 0 0

1CCCA

48

An =

0BBB@4n n4n1 2n4n1

0 4n 2n4n1 n4n

0 n4n1 4n + 2n4n1

1CCCAelde edilir. Bylece istenen zm, (3.2.14) den,

x(n) =

0BBB@4nx1(0) + n4

n1x2(0) + 2n4n1x3(0)

(4n 2n4n1)x2(0) n4nx3(0)n4n1x2(0) + (4n + 2n4n1)x3(0)

1CCCA :

Jordan Kanonik Formu

Tanm 3.2.1. k k tipindeki A ve B matrisleri iin P1AP = B olacak biimdesingler olmayan bir P matrisi mevcutsa, A ve B matrislerine benzerdir denir.

Benzer A ve B matrisleri aynzdegerlere sahiptir.

Tanm 3.2.2. A matrisi bir D = diag(1; 2; :::; k) ksegen matrisine benzer ise,

A ya kosegenlestirilebilir matris denir. Bu durumda D nin 1; 2; :::; k ksegen

elemanlaraynzamanda A nn zdegerleridir.

Uyar3.2.1. Ksegenlestirilebilen bir A matrisi iin An matrisi kolaylkla hesapla-

nabilir. Gerekten,

P1AP = D = diag(1; 2; :::; k)

ise, o zaman

A = PDP1

olup

An = (PDP1)n

= PDnP1

49

veya ak olarak

An = P

0BBBBBB@n1 0 ::: 0

0 n2 ::: 0...

......

...

0 0 ::: nk

1CCCCCCAP1 (3.2.16)

olur.

Ayrca, (3.2.16) dan, (3.2.1) sisteminin baska bir temel matrisi

(n) = AnP = P

0BBBBBB@n1 0 ::: 0

0 n2 ::: 0...

......

...

0 0 ::: nk

1CCCCCCA (3.2.17)

seklinde verilebilir. Buradan (0) = P oldugundan,

An = (n)1(0): (3.2.18)

Uyar3.2.2. (3.2.17) forml ancak P matrisi bilindigi takdirde kullanslolabilir.

Byle bir P matrisinin kolonlardaima A nn lineer bagmsz zvektrleridir. Gerek-

ten P = (1; 2; :::; k) olsun. P1AP = D oldugundan, AP = PD; Ai = ii;

i = 1; 2; :::; k , bulunur. Buradan i; i = 1; 2; :::; k , A nn i zdegerine karslk

gelen zvektrdr. Demek ki P nin i yinci kolonu A nn i zdegerine karslk gelen

zvektrdr. P singler olmadgndan, P nin kolonlardolaysiyle A nn 1; 2; :::; k

zvektrleri lineer bagmszdrlar. Bylece asagdaki teorem verilebilir:

Teorem 3.2.1. k k tipinde bir A matrisinin ksegenlestirilebilir olmasiin gerekve yeter kosul A nn k tane lineer bagmsz zvektre sahip olmasdr.

Buna gre bir (n) temel matrisi, (3.2.17) formlnden,

50

(n) = (1; 2; :::; k)

0BBBBBB@n1 0 ::: 0

0 n2 ::: 0...

......

...

0 0 ::: nk

1CCCCCCA= (n11;

n22; :::;

nkk) (3.2.19)

biiminde elde edilir; burada 1; 2; :::; k lar A nn zdegerleri ve 1; 2; :::; k lar

karslk gelen bagmsz zvektrlerdir. (n) nin kolonlar(3.2.1) sisteminin zmleri

olduklarndan her bir i , 1 6 i 6 k , iin i(n) = ni i ifadesi (3.2.1) in bir zmdr.Bylece asagdaki teorem verilebilir:

Teorem 3.2.2. A nn zdegerleri 1; 2; :::; k ve karslk gelen lineer bagmsz zvek-

trleri 1; 2; :::; k olsun. Bu durumda (3:2:1) in genel zm

x(n) = c1n11 + c2

n22 + :::+ ck

nkk (3.2.20)

dir; burada c1; c2; :::; ck lar key sabitlerdir.

rnek 3.2.2.

x(n+ 1) = Ax(n) (3.2.21)

sisteminin genel zmn bulalm; burada

A =

0BBB@2 2 1

1 3 1

1 2 2

1CCCA :

A nn zdegerleri 1 = 5; 2 = 3 = 1 olup karslk gelen lineer bagmsz zvektrler,

srasiyle,

1 =

0BBB@1

1

1

1CCCA ; 2 =0BBB@

1

0

1

1CCCA ; 3 =0BBB@

0

1

2

1CCCA51

dir. Genel zm, (3.2.20) formlnden,

x(n) = c15n

0BBB@1

1

1

1CCCA+ c20BBB@

1

0

1

1CCCA+ c30BBB@

0

1

2

1CCCAveya

x(n) =

0BBB@c15

n + c2

c15n + c3

c15n c2 2c3

1CCCAdir.

Ek olarak, (3.2.21) sisteminin

x(0) =

0BBB@0

1

0

1CCCAbaslang kosulunu saglayan zm

x(n) =

0BBB@125n 1

2

125n + 1

2

125n 1

2

1CCCAdir. Aynzm

x(n) = (n)1(0)x(0) (3.2.22)

seklinde de hesaplanabilir; burada

(n) = (n11; n22;

n33) =

0BBB@5n 1 0

5n 0 1

5n 1 2

1CCCA ;

(0) =

0BBB@1 1 0

1 0 1

1 1 2

1CCCA ve 1(0) =0BBB@

14

12

14

34

1214

14

12

14

1CCCA :

52

Bunlar(3.2.22) de yerlerine koyarsak,

x(n) =

0BBB@5n 1 0

5n 0 1

5n 1 2

1CCCA0BBB@

14

12

14

34

1214

14

12

14

1CCCA0BBB@0

1

0

1CCCA

=

0BBB@125n 1

2

125n + 1

2

125n 1

2

1CCCAelde edilir.

Uyar3.2.3. A reel sabit bir matris oldugundan, = + i kompleks saysA nn

bir zdegeri oldugu zaman = i eslenigi de A nn bir zdegerleridir. Ayrca,A nn = + i ya karslk gelen zvektr ise, bu durumda eslenigi de A nn

= i ya karslk gelen zvektrdr.

Simdi = 1 + i2 olsun. Bu durumda (3:2:1) in bir zm

x(n) = (+ i)n (1 + i2)

dir. Bu zm,

r =

q2 + 2 ve = tan1

olmak zere

x(n) = [r(cos + i sin )]n (1 + i2)

= rn(cosn + i sinn)(1 + i2)

= rn [(cosn)1 (sinn)2] + irn [(cosn)2 + (sinn)1] u(n) + iv(n)

seklinde yazlabilir; burada

u(n) = rn [(cosn)1 (sinn)2] ; v(n) = rn [(cosn)2 + (sinn)1]

53

dir. u(n) ve v(n); (3:2:1) in gerel degerli lineer bagmsz zmleri olduklarndan,

ve tarafndan retilen zmleri bulmamza gerek yoktur.

rnek 3.2.3.

x(n+ 1) = Ax(n)

sisteminin bir genel zmn bulalm; burada

A =

0@ 1 51 1

1A :A nn zdegerleri, 1 = 2i ve 2 = 2i olup karslk gelen zvektrler, srasiyle,

1 =

0@ 15 25 i1

1A ; 2 =0@ 15 + 25 i

1

1Adir. Buradan

x(n) = (2i)n

0@ 15 25 i1

1Abir zmdr.

i = cos 2+ i sin

2oldugundan, in = cos n2 + i sin

n2dir. O halde yukardaki zm

x(n) = 2ncos

n

2+ i sin

n

2

0@ 15 25i1

1A

= 2n

0@ 15 cos n2 + 25 sin n2cos n

2

1A+ i2n0@ 25 cos n2 + 15 sin n2

sin n2

1Aseklinde yazlabilir. Dolaysiyle gerel degerli lineer bagmsz zmler

u(n) = 2n

0@ 15 cos n2 + 25 sin n2cos n

2

1A ;

v(n) = 2n

0@ 25 cos n2 + 15 sin n2sin n

2

1A

54

dir. Buradan bir genel zm

x(n) = c12n

0@ 15 cos n2 + 25 sin n2cos n

2

1A+ c22n0@ 25 cos n2 + 15 sin n2

sin n2

1A= 2n

0@ (15c1 25c2) cos n2 + (25c1 + 15c2) sin n2c1 cos

n2+ c2 sin

n2

1A :

Simdiye kadar A matrisinin ksegenlestirilmesi halinde (3.2.1) sisteminin bir temel

matrisini ve dolaysiyle bir genel zmn hesapladk. Bu arada belirtelim ki k ktrnde bir A matrisinin ksegenlestirilmesi iin bir yeter kosul, onun k tane farkl

zdegere sahip olmasdr. Bununla birlikte A bir normal matris (yani ATA = AAT )

olmak kosuluyla, tekrarlzdegerlere sahip olsa bile yine ksegenlestirilebilir

(Ortega, 1987). rnegin, simetrik matrisler (AT = A) ve ters simetrik matrisler

(AT = A) normal matrislerdir.

Simdi daha genel olarak A matrisinin ksegenlestirilememesi durumunu gznne

alalm. Byle bir durum A tekrarlzdegerlere sahip olup k tane lineer bagmsz

zvektr bulunamadgzaman ortaya kar. rnegin

0@ 2 10 2

1A ;0BBB@2 0 0

0 2 1

0 0 2

1CCCA ;0BBBBBB@2 0 0 0

0 3 0 0

0 0 4 1

0 0 0 4

1CCCCCCAmatrisleri ksegenlestirilemeyen trden matrislerdir.

Tanm 3.2.3. k k tipinde bir A matrisi ksegenlestirilebilir degilse, o zaman Amatrisine bir Jordan formuna benzerdir denir; yani P1AP = J dir; burada

J = diag(J1; J2; :::; Jr); 1 6 r 6 k; (3.2.23)

55

ve

Ji =

0BBBBBBBBB@

i 1 0 0 00 i 1 0 0...

...... ... ...

0 0 0 i 10 0 0 0 i

1CCCCCCCCCA: (3.2.24)

Bu Ji matrisine de bir Jordan bloku denir.

Teorem 3.2.3 (Jordan Kanonik Formu). k k tipinde her A matrisi (3.2.23)ile verilen bir Jordan formuna benzerdir; burada

rPi=1

si = k olmak zere her bir Ji ,

si si; (3.2.24) biiminde bir matristir.

Tanm 3.2.4. Bir zdegerine karslk gelen Jordan bloklarnn saysna nn

geometrik katl{l{g{ denir. Bu say ya karslk gelen lineer bagmsz zvektrlerin

saysna esittir. Bir zdegerinin tekrarlanma saysna nn cebirsel katl{l{g{ denir.

nn cebirsel katllg1 (yani, tekrar etmiyor) ise, ya basit ozdeger denir. nn

geometrik katllgcebirsel katllgna esit (yani, sadece 1 1 tipinde Jordan bloklar ya karslk geliyor) ise, o zaman ya yar{ basit ozdeger adverilir. rnegin

0BBBBBBBBB@

3 0 0 0 0

0 2 0 0 0

0 0 2 0 0

0 0 0 5 1

0 0 0 0 5

1CCCCCCCCCAmatrisi iin 3 saysbasit bir zdeger, 2 saysyarbasit bir zdeger ve 5 saysne

basit ne de yarbasit bir zdegerdir.

Jordan kanonik formunu aklamak zere asagdaki rnegi verelim.

rnek 3.2.4. 3 3 tipinde bir A matrisinin = 5 zdegeri 3 katlolsun. Byle bir

56

matris iin olasJordan formlar

B =

0BBB@5 0 0

0 5 0

0 0 5

1CCCA ; C =0BBBBB@

5 1

0 5

0

0

0 0 5

1CCCCCA ;

D =

0BBBBB@5 0 0

0

0

5 1

0 5

1CCCCCA ; E =0BBBB@

5 1 0

0 5 1

0 0 5

1CCCCAdir; burada kareler farklJordan bloklarngstermektedir. Ayrca, hatrlatalm ki

si; i yinci Jordan blokunun basamagve r bir Jordan formundaki Jordan bloklarnn

saysdr.

B matrisi bir ksegen matris olup hepsi 11 tipinde 3 tane Jordan blokuna sahiptir.Bylece s1 = s2 = s3 = 1; r = 3 ve = 5 in geometrik katllg3 dr.

C matrisinin 2 tane Jordan bloku vardr. Yani r = 2 dir. Bunlarn basamaklar,

srasiyle, s1 = 2; s2 = 1 dir. = 5 in geometrik katllg2 dir.

D matrisi iin r = 2 , s1 = 1; s2 = 2 ve = 5 in geometrik katllg2 dir.

E matrisinin kendisi bir Jordan blokudur. Dolaysyla r = 1; s1 = 3 ve = 5 in

geometrik katllg1 dir.

Bylece olasB;C;D ve E Jordan formlarnn = 5 zdegerine karslk gelen lineer

bagmsz zvektrleri, srasiyle,8>>>>>:0BBB@1

0

0

1CCCA ;0BBB@0

1

0

1CCCA ;0BBB@0

0

1

1CCCA9>>>=>>>; ;

8>>>>>:0BBB@1

0

0

1CCCA ;0BBB@0

0

1

1CCCA9>>>=>>>; ;8>>>>>:

0BBB@1

0

0

1CCCA ;0BBB@0

1

0

1CCCA9>>>=>>>; ve

8>>>>>:0BBB@1

0

0

1CCCA9>>>=>>>;

dir.

57

Uyar3.2.4. 0BBBBBBBBB@

1 0 0 00 1 0 0......... ... ...

0 0 0 10 0 0 0

1CCCCCCCCCA(3.2.25)

seklinde bir matris sadece e1 = (1; 0; :::; 0)T zvektrne sahiptir. Buradan ve rnek

3.2.4 den, (3.2.23) ile verilen J Jordan formunun lineer bagmsz zvektrleri

e1; e1+s1 ; e1+s1+s2 ; :::; e1+s1+s2+:::+sr1

dir.

An nin hesab:

Ksegenlestirilemeyen k k tipinde A matrisi iin Teorem 3.2.3 den,

P1AP = J (3.2.26)

ve dolaysiyle

An =PAP1

n= PJnP1 (3.2.27)

olur; burada

Jn =

0BBBBBBBBB@

Jn1 0 0 00 Jn2 0 0...

... ... ...0 0 Jnk1 00 0 0 Jnk

1CCCCCCCCCAkk

dir.

Simdi P matrisini olusturmak iin (3.2.26) denklemini

AP = PJ (3.2.28)

58

biiminde yazalm.

P = (1; 2; :::; k) olsun. (3.2.28) denkleminde her iki yann ilk s1 kolonlaresitlenirse,

A1 = 11; :::; Ai = 1i + i1; i = 2; 3; :::; s1 (3.2.29)

bulunur. Ak olarak A nn 1; 2; :::; s1 Jordan zinciri iindeki tek zvektr 1

dir. Diger 2; 3; :::; s1 vektrleri A nn genellestirilmis ozvektorleri adnalrlar

ve (3.2.29) formlnden veya

(A 1I)i = i1; i = 2; 3; :::; s1 (3.2.30)

seklinde hesaplanrlar.

Bu isleme geri kalan Jordan bloklar iin devam edilirse, m yinci Jordan blokuna

karslk gelen genellestirilmis zvektrler iin

(A mI)mi = mi1 ; i = 2; 3; :::; sm (3.2.31)

forml bulunur. Bylece P matrisi elde edilmis olur.

te yandan, herhangi bir Ji Jordan bloku

Ji = iI +Ni; i = 1; 2; :::; r

biiminde yazlabilir; burada Ni

Ni =

0BBBBBBBBB@

0 1 0 ::: 0

0 0 1 ::: 0...

......

......

0 0 0 ::: 1

0 0 0 ::: 0

1CCCCCCCCCAsisi

seklinde si si tipinde bir nilpotent matristir (yani, her k > si iin Nki = 0):

59

Buradan

Jin = (iI +Ni)

n

= ni I +

n

1

n1i Ni +

n

2

n2i N

2i + :::+

n

si 1nsi+1i N

si1i

=

0BBBBBBBBB@

nin1

n1i

n2

n2i

n

si2nsi+2i

n

si1nsi+1i

0 nin1

n1i

n

si3nsi+3i

n

si2nsi+2i

......

... ... ...0 0 0 ni

n1

n1i

0 0 0 0 ni

1CCCCCCCCCA(3.2.32)

dir. Bu tip matrislerde ksegen elemanlarnn zdes olduklargrlmektedir.

Bylece (3.2.1) sisteminin genel zm

x(n) = Anc = PJnP1c

ya da

x(n) = PJnc^; c^ = P1c;

seklinde yazlabilir. Buradan veya (3.2.27) den, (3.2.1) in diger bir temel matrisi

(n) = AnP

veya

(n) = PJn

dir. Ayrca, bu durumda (n; n0) konum geis matrisi

(n; n0) = PJnn0P1

biiminde verilebilir.

(3.2.32) formlnden asagdaki sonu hemen elde edilir.

60

Sonu 3.2.1. A; k k tipinde bir matris olmak zere limn!1An = 0 olmasiingerek ve yeter kosul, A nn btn zdegerleri iin jj < 1 olmasdr.

Bu sonucun nemi sudur: limn!1An = 0 oldugu zaman

limn!1 x(n) = limn!1Anx(0) = 0 olur. Buradan A nn btn zdegerleri iin

jj < 1 oldugu zaman (3.2.1) in btn x(n) zmleri n!1 halinde sfra yaklasr.

rnek 3.2.5.

x(n+ 1) = Ax(n)

sisteminin genel zmn bulalm; burada

A =

0BBB@4 1 2

0 2 40 1 6

1CCCA :

A nn zdegerleri 1 = 2 = 3 = 4 tr. zvektrleri bulmak iin

(A 4I) = 0

denklemi zlr. Buradan0BBB@0 1 2

0 2 40 1 2

1CCCA0BBB@

d1

d2

d3

1CCCA =0BBB@0

0

0

1CCCAveya

d2 + 2d3 = 0;

2d2 4d3 = 0;d2 + 2d3 = 0

61

bulunur. Bu denklemler esas itibariyle d2+2d3 = 0 denklemini ifade ederler. Buradan

1 =

0BBB@0

21

1CCCA ; 2 =0BBB@

1

21

1CCCAzvektrleri elde edilir.

Simdi genellestirilmis 3 zvektrn bulmak iin (3.2.30) dan,

(A 4I)3 = 1;

yani 0BBB@0 1 2

0 2 40 1 2

1CCCA0BBB@

a1

a2

a3

1CCCA =0BBB@

0

21

1CCCAsistemi gznne alnr. Bu sistem arzalbir sistem oldugundan hi bir zme sahip

degildir. Bu defa

(A 4I)3 = 2

yani 0BBB@0 1 2

0 2 40 1 2

1CCCA0BBB@

a1

a2

a3

1CCCA =0BBB@

1

21

1CCCAsistemi gznne alnr. Buradan a2+2a3 = 1 denklemi bulunur ve bunun bir zm

3 =

0BBB@0

11

1CCCA :

Bylece

P =

0BBB@0 1 0

2 2 11 1 1

1CCCA

62

kar. Buradan

J =

0BBB@4 0 0

0 4 1

0 0 4

1CCCA ve Jn =0BBB@4n 0 0

0 4n n4n1

0 0 4n

1CCCAolup

x(n) = PJnc =

0BBB@0 4n n4n1

2(4)n 2(4)n 2n4n1 4n

4n 4n n4n1 + 4n

1CCCA0BBB@

c1

c2

c3

1CCCA :

rnek 3.2.6.

x(n+ 1) = Ax(n); x(0) =

0BBB@1

1

1

1CCCAproblemini ele alalm; burada

A =

0BBB@32

12

12

12

5212

0 1 2

1CCCA :

A nn zdegerleri 1 = 2 = 3 = 2 dir. Bu durumda bir tek

1 =

0BBB@1

0

1

1CCCAzvektr vardr.

Simdi (3.2.30) dan, diger iki genellestirilmis zvektr bulalm:

(A 2I)2 = 1 den, 2 =

0BBB@1

1

2

1CCCA

63

ve

(A 2I)3 = 2 den, 3 =

0BBB@1

2

1

1CCCA :Buradan

P =

0BBB@1 1 1

0 1 2

1 2 1

1CCCAolup

J =

0BBB@2 1 0

0 2 1

0 0 2

1CCCA ; Jn =0BBB@2n n2n1 n(n1)

22n2

0 2n n2n1

0 0 2n

1CCCAbulunur.

Bylece verilen problemin zm

x(n; 0; x0) = PJnP1x0

= 2n4

0BBB@n2 5n+ 16 n2 + 3n n2 + 5n

4n 4n+ 16 4nn2 n n2 + 7n n2 + n+ 16

1CCCA0BBB@1

1

1

1CCCA

= 2n4

0BBB@n2 + 3n+ 16

4n+ 16

n2 + 7n+ 16

1CCCAdir.

64

3.3 Lineer Periyodik Sistemler

Bu kesimde lineer periyodik

x(n+ 1) = A(n)x(n) (3.3.1)

sistemi ele alnmaktadr; burada her n 2 Z ve bir pozitif N tamsaysiinA(n+N) = A(n) dir.

Bu tr bir sistemin incelenmesi diferensiyel denklemlerdeki Floquet teorisine ben-

zerdir. Bunu gstermek iin nce asagdaki lemmalarverelim (Lakshmikantham ve

Trigiante 1988).

Lemma 3.3.1. B; k k tipinde singler olmayan bir matris ve m de pozitif birtamsayolsun. Bu durumda

Cm = B

olacak biimde k k tipinde bir C matrisi mevcuttur.

Lemma 3.3.2. (3:3:1) sisteminin bir temel matrisi (n) ise, bu durumda asagdaki

ifadeler gereklenir:

(i) (n+N) de bir temel matristir;

(ii) (n+N) = (n)C dir; burada C singler olmayan bir matristir;

(iii) (n+N;N) = (n; 0) dr.

Ispat.

(i) (n); (3:3:1) in bir temel matrisi olsun. Bu durumda

(n+ 1) = A(n)(n):

Buradan

(n+N + 1) = A(n+N)(n+N)

= A(n)(n+N):

65

Dolaysiyle (n + N) bir zm matrisidir. Ayrca, det(n + N) 6= 0 oldugundan,(n+N) bir temel matristir.

(ii) Sonu 3.1.2 den kar.

(iii) (n+N;N) =n+N1Qi=N

A(i)

= A(n+N 1)A(n+N 2):::A(N)

= A(n 1)A(n 2):::A(0)

=n1Qi=0

A(i)

= (n; 0):

Teorem 3.3.1 (Floquet Teoremi). (3:3:1) sisteminin her (n) temel matrisi iin

(n) = P (n)Bn (3.3.2)

olacak biimde singler olmayan N -periyotlu periyodik bir P (n) matrisi ve yine

singler olmayan bir sabit B matrisi vardr.

Ispat. Lemma (3.3.1) den, singler olmayan C matrisi iin BN = C olacak biimde

bir B matrisi vardr; burada C; Lemma 3.3.2 (ii) deki C dir. P (n) = (n)Bn

tanmlansn; burada Bn = (Bn)1 dir. Buradan ve Lemma 3.3.2 (ii) den,

P (n+N) = (n+N)BNn

= (n)CBNBn

= (n)Bn

= P (n)

olur. Bylece P (n); N -periyotlu periyodik bir matris olup singler degildir. P (n)

nin tanmndan (3:3:2) elde edilir.

66

Uyar3.3.1. z(n);

z(n+ 1) = Bz(n) (3.3.3)

sisteminin bir zm ise, bu durumda

x(n) = (n)c = P (n)Bnc

veya

x(n) = P (n)z(n): (3.3.4)

Buna gre (3:3:1) periyodik sisteminin kalitatif incelenmesi, (3:3:3) otonom sistemi-

nin incelenmesine indirgenmis bulunuyor.

Tanm 3.3.1. C = BN matrisine (3:3:1) sisteminin bir monodromi matrisi denir.

B nin zdegerleri (3:3:1) in Floquet usleri ve karslk gelen BN nin N zdegerleri

(3:3:1) in Floquet arpanlar{ olarak adlandrlr.

Lemma 3.3.3. (n) ve (n); (3:3:1) sisteminin

(n+N) = (n)C; (3.3.5)

(n+N) = (n)E (3.3.6)

olacak biimde iki temel matrisi ise, bu durumda C ve E benzerdir.

Bu lemmaya gre (3.3.1) sisteminin Floquet sleri veya arpanlarseilen monodromi

matrisine bagldegildir.

Teorem 3.3.2. Bir kompleks saysnn (3:3:1) in bir Floquet ss olmas iin

gerek ve yeter kosul (3:3:1) sisteminin nq(n) formunda asikar olmayan bir zme

sahip olmasdr; burada q(n) her n iin q(n +N) = q(n) sartnsaglayan bir vektr

fonksiyonudur.

Ispat. nce nn (3:3:1) in bir Floquet ss oldugunu kabul edelim. Buna gre

67

det(Bn nI) = 0 dr. Simdi her n iin

(Bn nI)x0 = 0

olacak biimde bir x0 2 Rk; x0 6= 0; vektrn seelim. Buradan

Bnx0 = nx0

ve dolaysiyle

P (n)Bnx0 = nP (n)x0

yazlabilir; burada P (n), (3.3.2) formlnde tanmlanan bir periyodik matristir.

Bylece

x(n; n0; x0) = (n; n0)x0 = P (n)Bnx0 =

nP (n)x0 = nq(n)

zm bulunur; burada q(n) = P (n)x0 olup q(n+N) = q(n) dir.

Tersine olarak nq(n), q(n + N) = q(n) 6= 0; (3.3.1) in bir zm olsun. Teorem(3.3.1) nedeniyle sfr olmayan bir x0 vektr iin

nq(n) = P (n)Bnx0 (3.3.7)

yazlabilir. Buradan

n+Nq(n) = P (n)Bn+Nx0: (3.3.8)

(3:3:7) den,

n+Nq(n) = NP (n)Bnx0 (3.3.9)

olur. (3:3:8) ve (3:3:9) un sag taraarnesitlersek,

P (n)Bn(BN NI)x0 = 0

ve dolaysiyle

det(BN NI) = 0

bulunur. Bu da bize nn (3:3:1) iin bir Floquet ss oldugunu gsterir.

68

Teorem 3.3.3. (3.3.1) Floquet sistemi iin bir Floquet arpan olsun. Bu durumda

(3.3.1) sisteminin her n 2 Z iin

x(n+N) = x(n)

olacak sekilde belirgin olmayan bir x(n) zm vardr.

Ispat. (3.3.1) in bir Floquet arpan olsun. Bu durumda ; C = BN matrisinin

bir zdegeridir. x0; C nin bu zdegerine karslk gelen bir zvektr olsun. Bu

durumda (3.3.1) in belirgin olmayan bir zm

x(n) = (n)x0

seklindedir; burada (n), (3.3.1) in bir temel matrisidir. Buradan ve Floquet Teo-

reminden her n 2 Z iin

x(n+N) = (n+N)x0

= (n)C x0

= (n) x0

= x(n)

elde edilir.

Sonu 3.3.1. Asagdaki ifadeler gereklenir:

(i) (3:3:1) sisteminin N -periyotlu periyodik bir zme sahip olmas iin gerek ve

yeter kosul bir Floquet arpannn 1 olmasdr.

(ii) (3:3:1) sisteminin 2N -periyotlu periyodik bir zme sahip olmasiin gerek ve

yeter kosul bir Floquet arpannn -1 olmasdr.

Uyar3.3.2. Lemma (3.3.2) (ii) den, C = BN monodromi matrisi

C = 1(n)(n+N)

69

veya n = 0 iin

C = 1(0)(N) (3.3.10)

biiminde bulunur. (N) = A(N 1)A(N 2):::A(0) seklinde alnrsa, (0) = Iolur. Buradan (3:3:10) forml

C = (N)

veya

C = A(N 1)A(N 2):::A(0) (3.3.11)

halini alr.

rnek 3.3.1.

x(n+ 1) = A(n)x(n)

sistemini ele alalm; burada

A(n) =

0@ 0 (1)n(1)n 0

1A :Ak olarak her n 2 Z iin A(n+ 2) = A(n) dir. Buradan N = 2 olup (3.3.11) den,

B2 = C = A(1)A(0) =

0@ 1 00 1

1A :Dolaysiyle Floquet arpanlar1;1 dir. O halde Sonu 3.3.1 e gre verilen sistem4-periyotlu periyodik bir zme sahiptir.

rnek 3.3.2.

x(n+ 1) = A(n)x(n)

sistemini gznne alalm; burada

70

A(n) =

0BBBBBB@0

2 + (1)n

2

2 (1)n

20

1CCCCCCA :

Bu sistem 2-periyotludur. Ancak bu defa

B2 = C = A(1)A(0) =

0@ 14 00 9

4

1Aolup karakteristik arpanlar 1

4ve 9

4dr. Buradan verilen sistemin periyodik zmleri

yoktur.

Teorem 3.3.4 (Agarwal 2000). (3.3.1) homogen sistemi N -periyotlu periyodik bir

sistem ve (n) bu sistemin bir temel matrisi olsun. Bu durumda (3.3.1) sisteminin

asikar olmayan N -periyotlu periyodik bir x(n) zme sahip olmas iin gerek ve

yeter kosul

det((0) (N)) = 0

dr.

Sonu 3.3.2. A(n) = A sabit bir matris olsun. Bu durumda (3.3.1) sisteminin

asikar olmayan periyodik bir zme sahip olmasiin gerek ve yeter kosul

det(I AN) = 0

dr.

Simdi lineer homogen olmayan periyodik

x(n+ 1) = A(n)x(n) + g(n) (3.3.12)

71

sistemini ele alalm; burada her n 2 Z ve pozitif bir N tamsaysiin

A(n+N) = A(n) ve g(n+N) = g(n): (3.3.13)

Teorem 3.3.5. (3.3.12) sistemi N zerinde N - periyotlu periyodik bir sistem olsun.

Bu durumda (3.3.12) nin N - periyotlu bir periyodik x(n) zmne sahip olmasiin

gerek ve yeter kosul x(0) = x(N) dir.

Teorem 3.3.6. (3.3.12) sistemiN -periyotlu periyodik bir sistem olsun. Bu durumda

(3.3.12) nin N periyotlu bir tek periyodik zme sahip olmasiin gerek ve yeter

kosul (3.3.1) homogen sisteminin asikar zm dsnda periyodik bir zme sahip

olmamasdr.

72

4. LINEER OLMAYAN SKALER FARK DENKLEMLERI

Bu blmde bazlineer olmayan skaler fark denklemlerinin zmleri hesaplanmak-

tadr.

4.1 Otonom Denklemler

f : R!R olmak zerex(n+ 1) = f(x(n)); n > n0 (4.1.1)

denklemini ele alalm. Byle bir denklem otonom denklem adnalr.

(4:1:1) denkleminin

x(n0) = x0 (4.1.2)

kosulunu saglayan zm

x(n) = fnn0(x0); n > n0

dr; burada

f 0(x0) = x0; f1(x0) = f(x0); f

2(x0) = f(f(x0)); f3(x0) = f(f(f(x0))); :::

dr.

rnek 4.1.1.

x(n+ 1) =px(n); x(0) = x0

problemini ele alalm. Denklemde srasyla n = 0; 1; 2; ::: alnrsa,

x(1) =px(0) =

px0;

x(2) =px(1) =

qpx0;

x(3) =px(2) =

rqpx0

73

olur. Buradan problemin zm

x(n) = x1=2n

0

dir.

4.2 Otonom Olmayan Denklemler

Bu kesimde otonom olmayan

x(n+ 1) = g(n; x(n))

denkleminin bazzel durumlargznne alnmaktadr; burada g : N R!R dir.

Riccati Tr Denklemler:

x (n+ 1) x (n) + p (n)x (n+ 1) + q (n)x (n) = 0 (4.2.1)

denklemi Riccati turu denklem olarak bilinir. Bu denklemi zmek iin

z (n) =1

x (n)

konumu yaplr. Buradan

1

z (n+ 1)

1

z(n)+ p(n)

1

z(n+ 1)+ q(n)

1

z(n)= 0

veya

q(n)z(n+ 1) + p(n)z(n) + 1 = 0

elde edilir. Bu ise 1: basamaktan bir lineer denklemdir.

Ayrca, homogen olmayan Riccati turu

x(n+ 1)x(n) + p(n)x(n+ 1) + q(n)x(n) = g(n) (4.2.2)

74

denklemi iin

x(n) =z(n+ 1)

z(n) p(n)

dnsm uygulanr. Bu durumda

z(n+ 2)

z(n+ 1) p(n+ 1)

z(n+ 1)

z(n) p(n)

+ p(n)

z(n+ 2)

z(n+ 1) p(n+ 1)

+

q(n)

z(n+ 1)

z(n) p(n)

g(n) = 0

veya dzenleme yaplrsa,

z(n+ 2) + [q(n) p(n+ 1)] z(n+ 1) [g(n) + q(n)p(n)] z(n) = 0

lineer denklemi elde edilir.

rnek 4.2.1.

x(n+ 1)x(n) + 4x(n+ 1) + 4x(n) = 0 (4.2.3)

denklemi verilsin.

Bu denkleme

x(n) =1

z(n)

dnsm uygulanrsa,

4z(n+ 1) + 4z(n) + 1 = 0 (4.2.4)

lineer fark denklemi bulunur. Bu denklemin genel zm

z(n) = c1(1)n 18

dir; burada c1 key sabittir. Buradan verilen denklemin genel zm

x(n) =1

z(n)=

1

c1(1)n 18

biiminde bulunur.

75

rnek 4.2.2. Homogen olmayan

x(n+ 1)x(n) + 3x(n+ 1) + 5x(n) = 16 (4.2.5)

Riccati tr denklemini ele alalm. Bu denkleme

x(n) =z(n+ 1)

z(n) 3

dnsm uygulanrsa,

z(n+ 2) + 2z(n+ 1) + z(n) = 0 (4.2.6)

elde edilir. (4.2.6) denkleminin genel zm

z(n) = (c1 + c2n) (1)n

dir; burada c1; c2 key sabitlerdir.

Buradan verilen denklemin genel zm

x(n) = 4c+ 4n+ 1c+ n

olur; burada c key sabittir.

Genel Riccati Tr Denklemler:

n > n0 iin c(n) 6= 0 ve a(n)d(n) b(n)c(n) 6= 0 olmak zere

x(n+ 1) =a(n)x(n) + b(n)

c(n)x(n) + d(n)(4.2.7)

denklemi Genel Riccati turu bir denklem olarak bilinir. Bu denklemi bir lineer

denkleme gtren dnsm

c(n)x(n) + d(n) =y(n+ 1)

y(n)

76

veya

x(n) =y(n+ 1)

y(n)c(n) d(n)c(n)

dir. Buna gre (4.2.7) den,

y(n+ 2)

c(n+ 1)y(n+ 1) d(n+ 1)c(n+ 1)

=a(n)

y(n+1)c(n)y(n)

d(n)c(n)

+ b(n)

c(n)y(n+1)c(n)y(n)

d(n)c(n)

+ d(n)

ve dzenlenirse,

y(n+ 2) + p1(n)y(n+ 1) + p2(n)y(n) = 0;

y(n0) = 1; y(n0 + 1) = c(n0)x(n0) + d(n0)

elde edilir; burada

p1(n) = d(n+ 1) a(n)c(n+ 1)c(n)

ve

p2(n) =a(n)d(n)c(n+ 1)

c(n) b(n)c(n+ 1):

rnek 4.2.3.

x(n+ 1) =2x(n) + 3

3x(n) + 2(4.2.8)

denklemi genel Riccati trnden bir denklemdir; burada a(n) = 2; b(n) = 3;

c(n) = 3; d(n) = 2 olup a(n)d(n) b(n)c(n) 6= 0 dr. O halde

3x(n) + 2 =y(n+ 1)

y(n)(4.2.9)

dnsm uygulanr ve

y(n+ 2) 4y(n+ 1) 5y(n) = 0;y(0) = 1; y(1) = 3x(0) + 2

(4.2.10)

lineer denklemi elde edilir. (4.2.10) un genel zm

y(n) = c1(5)n + c2(1)n (4.2.11)

77

olur. (4.2.9) dan, verilen denklemin genel zm

x(n) =1

3

c1(5)n+1 + c2(1)n+1

c1(5)n + c2(1)n 2

3

veya

x(n) =5n c(1)n5n + c(1)n

seklinde bulunur; burada c = c2c1.

Homogen Denklemler:

f

x(n+ 1)

x(n)

= 0 (4.2.12)

denklemi homogen fark denklemi olarak bilinir. Bunun iin

z(n) =x(n+ 1)

x(n)

dnsm uygulanr.

rnek 4.2.4. Homogen denklem trnde bir

x2(n+ 1) 3x(n+ 1)x(n) + 2x2(n) = 0 (4.2.13)

fark denklemini ele alalm. Bu denklem

x(n+ 1)

x(n)

2 3x(n+ 1)

x(n)+ 2 = 0 (4.2.14)

seklinde yazlabilir ve simdi

z(n) =x(n+ 1)

x(n)(4.2.15)

dnsm uygulanrsa,

z2(n) 3z(n) + 2 = 0

veya

(z(n) 2)(z(n) 1) = 0 (4.2.16)

78

bulunur. (4.2.16) denkleminin

z(n) = 2 veya z(n) = 1

seklinde iki zm vardr. Bunlar iin (4.2.15) den, srasiyle,

x(n+ 1) = 2x(n) ; x(n+ 1) = x(n)

fark denklemleri ortaya kar. Bunlarn zmleri de, srasiyle,

x(n) = 2nc ve x(n) = c

dir.

Logaritmik Dnsm Gerektiren Denklemler:

Her n > n0 iin g(n) > 0 olmak zere

(x(n+ k))r1 (x(n+ k 1))r2 ::: (x(n))rk+1 = g(n) (4.2.17)

denklemini ele alalm. Bu denklem iin

z(n) = lnx(n) (4.2.18)

dnsm uygulanrsa, sabit katsayllineer homogen olmayan

r1z(n+ k) + r2z(n+ k 1) + :::+ rk+1z(n) = ln g(n) (4.2.19)

denklemi bulunur.

rnek 4.2.5.

x(n+ 2) =x2(n+ 1)

x2(n)(4.2.20)

79

denklemi verilsin. Bu denklem

x(n+ 2)x2(n+ 1)x2(n) = 1 (4.2.21)

seklinde yazlabildigi iin (4.2.17) biimindedir. Dolaysiyle

z(n) = lnx(n)

dnsm (4.2.21) e uygulanr ve

z(n+ 2) 2z(n+ 1) + 2z(n) = 0

lineer denklemi bulunur. Bu denklemin karakteristik kkleri 1 = 1 + i; 2 = 1 iolup genel zm

z(n) = (2)n2

hc1 cosn

4+ c2 sinn

4

idir. Bylece verilen lineer olmayan denklemin genel zm

x(n) = exph(2)

n2

c1 cosn

4+ c2 sinn

4

ibiiminde bulunur.

80

5. KARARLILIK TEORISI

5.1 Giris

Bu blmde 1: basamaktan k boyutlu fark denklem sistemleri iin kararllk zelikleri

incelenecektir. Uyar3.1.4 de gsterildigi gibi, bu inceleme her basamaktan skaler

fark denklemlerini kapsayacak niteliktedir.

Pratikte karslaslan problemler genellikle lineer degildir ve pek ogu da zlemezdir.

Bu yzden zmleri bulmadan onlarn davranslar hakknda bilgi sahibi olmak

nem tasr.

Bu tr alsmalarn basnda kararllk konusu yer alr. Zira, dogadaki bir olaykarak-

terize ederken kurulan matematiksel modelin gvenilirligi, ancak onun kararlolup

olmamastest edilerek anlaslabilir.

Bylece, bilim adamlar, mhendis ve uygulamalmatematikilerin haklolarak il-

gisini eken bu konuda, hatrsaylr bir teori ortaya kmstr. Belirtelim ki kararllk

teorisi, ogunlukla Lyapunovun diferensiyel metod ve tekniklerinin fark denklemler-

ine uyarlanmasiyle elde edilmistir.

5.2 Vektr Fark Denklemleri

Bu kesimde k boyutlu

x(n+ 1) = f(n; x(n)); x(n0) = x0 (5.2.1)

vektr fark denklemi ele alnmaktadr; burada x(n) 2 Rk ve f : Z+ Rk ! Rk

olmak zere f(n; x) fonksiyonu x e gre sreklidir. Denklemin ikinci yannda n

degiskeni ak olarak gzkmyor, yani f(n; x(n)) f(x(n)) ise, (5.2.1) denklemiotonom denklem adnalr.

Her n 2 Z ve pozitif bir N tamsaysiin

f(n+N; x) = f(n; x)

ise, f(n; x) fonksiyonuna periyodiktir denir.

81

Her n > n0 iinf(n; x) = x

esitligini saglayan x 2 Rk noktasna (5.2.1) denkleminin bir denge noktas{ veyasabit ozumu denir. zel olarak, x = 0 denge noktass{f{r ozumu adnalr; yani

x(n) = 0 dr. x 6= 0 ise, daima

y(n) = x(n) x

dnsm yardmiyle, (5.2.1) denklemi

y(n+ 1) = f(n; y(n) + x) x g(n; y(n)) (5.2.2)

denklemine indirgenir ki bu denklem y(n) = 0 zmne sahiptir, yani (5.2.1) in

sfrdan farklx = x sabit zm (5.2.2) nin sfr zmne karslk gelir. Bundan

dolay baz kaynaklarda genelligi bozmadg iin sfrdan farkl bir denge noktas

yerine orijin noktasele alnmaktadr.

Kararllk incelemesinden nce zmlerin varlk ve tekligi mutlaka garanti edilme-

lidir. Diferensiyel denklemlerde sorun teskil eden bu durum, fark denklemlerinde

kolaylkla aslmaktadr. f in srekliliginden dolay(5.2.1) in zmlerinin varlk ve

tekligi n > n0 iin Blm 3 teki lineer sistemlerin ispatna benzer olarak yaplabilir.x(n; n0; x0); (5.2.1) in x(n0) = x0 kosulunu saglayan zm olsun. Simdi (5.2.1) in

bir x denge noktasnn kararllk tanmlarnverelim (Ortega, 1973).

Tanm 5.2.1. Verilen bir " > 0 ve n0 > 0 iin

kx0 xk <

oldugu zaman n > n0 zerinde

kx(n; n0; x0) xk < "

olacak sekilde bir = ("; n0) > 0 saysvarsa, x denge noktasna kararl{d{r denir.

= (") ise, x sabit zmne duzgun kararl{d{r denir.

82

Tanm 5.2.2. Kararlolmayan bir x denge noktasna karars{zd{r denir.

Tanm 5.2.3. kx0 xk < oldugu zaman

limn!1

x(n; n0; x0) = x

olacak sekilde bir = (n0) varsa, x denge noktasna atraktiftir denir. Eger , n0

dan bagmsz ise, o zaman x duzgun atraktif adnalr.

Baska bir ifadeyle, her " > 0 ve her n0 > 0 iin

kx0 xk <

oldugu zaman n > n0 +N zerinde

kx(n; n0; x0) xk < "

olacak sekilde > 0 ve N = N(") > 0 saylar varsa, o zaman x a duzgun

atraktiftir denir.

Tanm 5.2.4. Kararl ve atraktif olan bir denge noktasna asimtotik kararl{d{r

denir.

Dzgn kararlve dzgn attraktif olan bir denge noktasna da duzgun asimtotik

kararl{d{r denir.

Tanm 5.2.5. x denge noktasna,

kx0 xk <

halinde

kx(n; n0; x0) xk M kx0 xk nn0

saglanacak sekilde > 0, M > 0 ve 2 (0; 1) saylarvarsa, ustel kararl{d{r denir.

83

Tanm 5.2.6. Bir x(n; n0; x0) zmne, her n > n0 iin

kx(n; n0; x0)k M

olacak sekilde pozitif bir M sabiti varsa, s{n{rl{d{r denir.

Tanm 5.2.7. Tanm 5.2.3 ve 5.2.4 deki =1 ya