1

利率期货

2

内容概要 4.1 预备知识

4.1.1 即期 / 远期利率 4.1.2 零息债券收益率曲线 4.1.3 利息计算惯例 4.1.4 利率结构理论

4.2 远期利率协议 4.3 中长期债券期货 4.4 短期国债期货 4.5 欧洲美元期货 4.6 久期（ Duration ）

3

即期利率（ spot rate ） 指从当前时点开始至未来某一时点止的利率，

有时也称零息债券收益率（ Zero-coupon yield ）。

远期利率（ forward rate ） 指从未来某时点开始至未来另一时点止的利率。

4.1.1 即期 / 远期利率

即期 1年利率0 1 2

远期 1年利率

4

远期利率的推导 条件

T* 年即期连续利率为 r* T 年即期连续利率为 r ， T<T* 求从第 T 年开始的 T*-T 年远期利率 f

资产组合 直接以 r* 的年利率投资 T* 年 以 r 的年利率投资 T 年，然后以 f 的远期利率投资 T*-T

年。 两者的收益率应该是一致的。（假设都是无风险利率）

**)*( TrTTfTr eee TT

rTTrf

*

**

5

4.A 示例 提示

在计算期货利息注意实际利率与连续 / 名义利率的不同。

通常所提到的都是年利率，即便计算的是几个月或者几年的利息。

远期利率可以由邻近的即期利率推导出来。

年数 即期利率（实际利

率）

第 n － 1 年开始的 1 年期远

期利率

1 10.0%

2 11.0%

3 12.0%

4 13.0%

5 14.0%

6

4.1.2 零息债券收益率曲线 零息债券

零息债券形式上不支付利息，因此其在到期时支付的本金超过购买价的部分是实际利息。

零息债券只在到期时兑现实际利息，因而其收益率是”纯粹利率“。

附息债券 附息债券除了在到期时支付本金外，还在到期前每年或者每半

年支付一次利息。 由于一张附息债券包含了不同期限的现金支付，因此其收益率

是“混合利率”。 远期利率

即时远期利率，指在未来某个时点的瞬间远期利率TT

Trrrf

*)*(*

T

rTr

7

利率期限结构远期利率

零息债券收益率

附息债券收益率

期限

8

利率期限结构

远期利率

零息债券收益率附息债券收益率

期限

9

测算零息债券收益率 条件

已知零息债券收益率 (r1, T1), (r2, T2),…, (rn-1, Tn-1) 已知附息债券当前价格 P ，息票率 R 及期限 Tn

附息债券支付利息的时间恰好为 T1, T2, …, Tn

求 T* 时的零息债券收益率 r* 推导

附息债券各期现金流折现成为现值等于当期价格

除 rn 外均为已知，解方程得 rn

PeReR nnii Trn

i

Tr

)1(

1

1

10

线性插补法 (Linear Interpolation) 条件

已知零息债券收益率 (r1, T1), (r2, T2) 已知 T1<T1.5<T2

求期限为 T1.5 的即期零息债券收益率 r1.5

推导 假设零息债券收益率在 T1-T2 段是线性的，从而：

15.1

15.1

12

12

TT

rr

TT

rr

12

1215.115.1 )(

TT

rrTTrr

11

4.B 测算零息债券收益率 问题

推导利率期限为 0.50, 1.25, 1.50, 1.75, 2.00, 2.25, 2.75 的零息债券收益率。

年数 息票利率 债券价格（面额 100 ）

0.25 0.00% 95.00

0.75 0.00% 98.00

1.00 0.00% 99.00

1.50 10.0% 100.00

2.00 10.0% 102.00

2.75 12.0 ％ 105.00

12

4.1.3 利息计算惯例 应计利息（ Accrued Interest ）

在两次现金利息支付之间，债券仍然要计入应得的利息。 应计利息与距离上一次利息支付的时间长度成正比。

计算公式 应计利息＝距上次利息支付日数 ÷ 参考期日数 × 参考

期利息 日数计算惯例

中长期国债，实际日数 ÷ 实际日数 公司债与市政债， 30÷360 短期国债及其他货币工具，实际 ÷360

13

4.C 示例 某长期国债上一次利息支付是 2005 年 3 月

1 日，下一次利息支付是 9 月 1 日。问在 6月 5 日时，其应计利息为多少？假如这是公司债券或者短期国债呢？

14

4.1.4 利率期限结构理论 理性预期理论

远期利率即为预期的未来即期利率。 利率随期限变长而上升意味着投资者预期未来利率上升。

市场分割理论 不同期限的利率有不同的供需方。 利率的期限结构是不同期限的供需平衡的结果。

流动性偏好理论 资金的供给者偏好流动性高（期限短）的债券。 长期债券必须提供利率升水以吸引资金的供给者。

15

4.2 远期利率协议 远期利率协议（ Forward Rate Agreements ）

指的是协议双方约定在将来某个确定时间按照确定的数额、利率和期限进行借贷的合约。

远期利率协议一般不进行实际的借贷，而是以约定利率与市场利率的差额现金结算。

图示

0 1 2

签订协议 借贷 还本付息

0 1 2

签订协议 现金结算

16

协议远期利率

这份协议对出借方来说， 0 期的价值为 :V(0)=100eRk(T*-T)e-r*T*-100e-rT

考虑到远期合约在订立时价值为 0 ，所以：RK(T*-T) － r*T* ＝ -rT

也即

r

0 T T*

RK

r*

TT

rTTrRK

*

**

17

结算 在 T 时点，双方或者履行协议或者现金结算。 结算金额

假设 T 时点时的即期利率（至 T* ）为 R 资金的出借方在 T 时点的净盈利 /亏损为：

如果 RK>R ，则出借方有盈利，反之则亏损。

)*()*(100100 TTRTTR ee K )*)((100100 TTRRKe

18

远期利率协议的价值

条件 0≤t≤T ， r’和 r” 为在 t 期时期限为 T-t和 T*-t 的即期利率。 求远期利率协议的价值。

推导 V(t)=100eRk(T*-T)e-r”(T*-t)-100e-r’(T-t)

考虑到

r’

0 T T*

R’K

r”

t

TT

TrTrR K

*

'*"'

)(')*)('( ]100100[)( tTrTTRR eetV KK

19

4.D 示例 目前的 1 年期和 2 年期即期连续利率分别为 2.5%和 3%，问现在如果签订一份 1 年后生效的 1 年期远期利率协议，合理的协议连续利率是多少？假设过了 9 个月， 3 月期与 15 月期的即期连续利率分别为 3%和 4%。问原先签订的远期利率协议在这个时点上的价值是多少？假设每份协议的名义本金为 100 。

20

4.3 中长期国债期货 中期国债期货

离到期日还有 6.5-10 年的国债均可以作为交割品。 5 年期国债期货

最新发行的 4种 5 年期国债均可作为交割品。 长期国债期货

离到期日还有 15 年以上的不可赎回国债或者离赎回日还有 15 年以上的国债均可作为交割品。

标准品为 15 年期，息票率 6%的国债。 其他国债均需计算转换因子，确定交割的实际价格。

21

中长期国债期货价格 报价单位

报价单位为美元或者 1/32 美元。 比如报价 96-08 ，即为 96.25 美元 /100 美元面

值。 净价（ Clean Price ）与全价（ Dirty Pric

e ） 报价均为净价，即不包含应计利息的价格。 交割时的价格为全价，即净价加上应计利息。

22

CBOT 30 年期国债期货合约 交易单位 面值为 100,000美元的美国政府长期国债

最小变动价位 1/32点

最小变动值 31.25美元

每日波动限价 以前：不高于或低于上一交易日结算价格各 3点（即每张合约 3000美元）；现在：无限制

合约月份 3月、 6月、 9月、 12月

交易时间 芝加哥时间周一至周五上午 7:20－下午 2:00到期合约最后交易日交易截止时间为当日中午

最后交易日 从交割月最后营业日往回数的第七个营业日

23

4.E 示例 本月到期的中期国债期货结算价为 98-04 ，

票面利率为 8%，假设上次利息支付日为 1月 1 日，下次支付日为 7 月 1 日，那么今天交割的中期国债期货买方实际应支付的金额为多少？

24

转换因子（ Conversion Factors ） 转换因子

期限在 15 年以上的国债基本上都可以用于长期国债期货的交割。

不同期限与息票率的长期国债价值用转换因子进行换算。 计算

首先将到期期限进行以 3 个月为单位的取整。 对于取整到期期限为半年倍数的国债，计算时假设其第一笔利

息支付将在 6 个月后，按 6%的年率，每年两次计息折现。 对于取整到期期限不为半年倍数的国债，计算时假设其第一笔

利息支付将在 3 个月后，按 6%的年率，每年两次计息折现。 交割价格

交割价格＝结算价 ×转换因子＋应计利息

25

4.F 示例 计算以下两种长期国债的转换因子。

离到期日还有 20 年 2 个月，年率 14%的长期国债。

离到期日还有 18 年 4 个月，年率 14%的长期国债。

26

实际交割 最佳交割债券 (Cheapest-to-Deliver Bond)

交割收益最高的债券为最佳交割债券。 交割成本＝债券市价＋应计利息 交割收入＝结算价 ×转换因子＋应计利息 交割收益＝结算价 ×转换因子－债券市价

Wild Card Play 债券期货的交易在下午 2 点结束 债券现货的交易直到下午 4 点结束 如果 2 点以后债券现货价格下降，空方发出交割通知 如果 2 点以后债券现货价格没有下降，继续持有头寸至下

一交易日

27

债券期货价格 计算公式

F=(S-I)er(T-t)

计算流程 计算最佳交割债券的现金价格（全价） 利用期货价格公式计算现金价格对应的期货价

格（全价） 计算期货价格对应的净价 将净价除以转换因子，得到最终期货价格（报

价）

28

示例 假设某长期国债期货合约的最佳交割债券为年率 1

2%，转换率 1.4000 的长期国债。这种债券上一次利息支付为 60天以前，目前离下一次利息支付还有 122天，离下下一次利息支付还有 305天，离期货合约交割日还有 270天。假设无风险连续利率在各个期限上都是 10%。目前最佳交割债券的报价为 120.00 美元。问期货合约的报价应该是多少？

29

4.4 短期国债期货 短期国债期货

指以 90天期的国债为交割品的期货合约。 交割日为交割月份第一笔 13周短期国债的发行日。

定价 T和 T* 分别为国债期货交割和国债到期的时点。 r和 r* 分别为 T和 T* 期的即期利率。 国债到期时的价值是 100, 所以 现值 V*=100e-r*T*

F=SerT=100e-r*T*ert=100eRk(T*-T)

Rk=(r*T*-rT)/(T*-T)

30

IMM 90 天国库券期货合约 交易单位 1,000,000美元面值的 3个月期美国政府短期国库券

最小变动价位 0.005点

最小变动值 12.5美元

每日波动限价 以前： 0.6点，即每张合约 1,500美元；现在：无限制

合约月份 3月、 6月、 9月、 12月

交易时间 芝加哥时间上午 7:20－下午 2:00

最后交易日 交割日前 1天

交割日 交割月份中 1年期国库券尚余 13周期限的第 1天

交割等级 还剩余 90、 91或 92天期限，面值为 1,000,000美元的短期国库券

31

4.G 套利 假设 45天期的即期短期国债连续收益率为 10%，

135天期的即期短期国债连续收益率为 11%， 45天以后到期的短期国债期货报价连续收益率为 10.5%，问 45天以后到期的短期国债期货报价是否与理论收益率相符？如果不是，你将如何进行套利 ?假如 45天以后到期的短期国债期货报价连续收益率为 12%呢？

32

短期国债的报价 短期国债报价惯例

以 360/n×(100-y)进行报价，其中 y 为现金价格。

360/n×(100-y)又称贴现率，不同于实际收益率。

短期国债期货报价惯例 期货价格＝ 100 － 4×(100- 现金价格 ) 现金价格＝ 100 － 0.25×(100- 期货价格 )

33

4.H 示例 例： 90天期的短期国债报价 8.00 ，问其现

金价格是多少？实际收益率是多少？

例：短期国债期货报价为 96.00 ，问实际交割时买方应付金额为多少美元 /100 面值 ?

34

4.5 欧洲美元期货合约 欧洲美元

处于美国境外的美元存款都可以称为欧洲美元。 由于不受美联储的监管，其借贷利率比美国本土稍高。 London Inter-Bank Offer Rate

报价 现金价格＝ 10,000×[100-0.25×(100- 期货报价 )]

欧洲美元期货与短期国债期货 前者必须以现金结算，后者可以用现货交割。 前者的交割品实际上是利率，而后者是贴现率。

35

4.6.1 久期（持期， duration ） 定义

债券现金流对应时间的加权平均值。

计算公式

B 为债券的当期价格 D 为久期 Ci 为 i 期的现金流 y 为到期收益率 ti 为当前时点到 i 期的时间长度。

n

i

yti

iecB1 B

ectD

n

i

ytii

i

1

36

久期的特性 债券价格对利率变动的敏感程度。

零息债券 久期等于其到期期限。

附息债券 久期肯定小于其到期期限。 期限越长的债券，久期与到期期限相比越小。 息票率越高的债券，久期与到期期限相比越小。

BDetcy

B n

i

ytti

i

1

37

久期

图片来源： Investopeida.com

零息债券

附息债券

38

债券价格的变动 连续利率变动

实际利率变动

名义利率变动

修正久期

BDy

B

yBDB

y

yBDB

1

my

yBDB

/1

my

yD

/1

39

4.I 示例 一张新发行的 3 年期国债，面额 1,000 美元，

年率 10%，每年付息两次，发行价格 1050美元。计算它目前的久期是多长。

40

4.J 示例 假设市场利率上涨了 50 个基点，问 4.I 所示

债券的价格会如何变动？

41

近似算法 假设债券价格为 P ，到期收益率为 y ，其久

期可以用下列方法近似计算：

其中 P+Δy和 P-Δy 是收益率分别增加或者减少Δy时债券的价格。

Δy 一般选取 50基点。

yP

PPD yy

2

42

4.K 示例 一张新发行的 3 年期国债，面额 1,000 美元，

年率 10%，每年付息两次，发行价格 1050美元。采用近似算法计算它目前的久期是多长。

43

4.6.2 久期套期保值 久期套期保值比率

S为需要套期保值的资产现值。 DS为资产的久期。 F为利率期货合约的期货价格。 DF为利率期货合约交割品的久期。

F

S

FD

SDN *

44

4.L 示例 某公司预计将在三个月以后收到 3.3百万美元的现

金。该笔现金将被用于 6 月期美国国债的投资， 6月期美国国债的即期利率为 11.20%。公司担心三个月以后利率将下跌，因此决定买入短期国债期货进行套期保值。目前合适的短期国债期货合约报价是 89.44 。问公司应该买入或者卖出多少份短期国债合约才能进行恰当的久期套期保值。

45

4.6.3 久期的缺陷 凸性（曲度）

债券价格变动相对于利率来说是一条曲线。 久期假设债券价格变动与利率成线性关系。

非平行变动 久期的计算假设所有期限的利率都出现相同幅

度的变动。 而实际上各期限变动的幅度往往是不一样。

46

债券价格与利率变动

B

y

yDB

yDB

yy y

yB

yB

B

47

债券价格波动与利率变动

B

B

y

X

Y