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停停

第一节 基本概念第一节 基本概念

二、总体与个体

三、随机样本的定义

四、统计量

一、问题的提出

一、问题的提出一、问题的提出概率论中的一个最基本的假设就是：

而在实际中，我们往往不知道随机变量研究对象的分布已知 .

的确切分布，这就是数理统计所讨论问题的应用背景，它需要用已有的部分信息去推断整体情况 .

数理统计研究内容十分广泛，其中一类重要的问题便是统计推断 .

例如：某车站在旅游旺季的旅客到来人

统计推断是利用试验数据对研究对象的性质作出推断，其中的一个重要方面就是参数估计问题 .

数服从 Poisson 分布，这样车站就需要知道该分布的具体参数，从而合理的安排车辆调度。但是在实际中，车站往往不知道分布的具体参数情况，仅仅知道一些往年旺季的车辆

调度数据 .

对于这个问题，由概率论的知识可知，

类似上述这类问题被称为——参数估计 .

调度分布 .

的均值，以其均值来代替直观粗略的想法就是计算出往年旺季汽车调度

分布的参数

Poisson( ) 是其均值，那么一个

，从而得到汽车的

例如某电子元件企业为了提高该厂元器件统计推断的另一个重要问题是假设检验 .

的装箱出厂率，需要对元器件的合格率加以确定，而实际中决策人员只知道平时的次品率在1% 附近，而且可以知道最近一批产品的装箱合

格率 . 而我们现在想确认次品率是否为 1% ？

对于这个问题，我们的一个想法就是在货

类似的问题被称为——假设检验 .

们就认为该厂的元器件次品率为 1%.占抽样总箱数的比例非常高，那么在实际中我

行逐箱检验，如果次品率小于等于 1% 的箱数物中随机提取若干箱，然后对每箱的元器件进

概括地讲，数理统计研究以有效的方式

统计推断： 研究如何加工、处理数据，从而

试验设计数理统计 参数估计

统计推断假设检验

采集、整理察的问题做出推断和预测，直至提供依据和建议 .

和分析受到随机因素影响的数据，并对所考

对所考察对象的性质做出尽可能精确和可靠的推断 .

二、总体与个体二、总体与个体总体 : 在数理统计中，把研究对象的全体

个体： 总体中每个研究对象称为个体 .

例如 , 在考察我校某届本科生学习质量时，

称为总体（或母体） .

该届本科生的全体称为一个总体，每一个本科生称为一个个体 .

总体个体

例 1 例 1

考察某批电视机的寿命质量时，这批电视机

的全体称为一个总体，每台电视机称为一个个体 .

当我们说到总体，就是指一个具有确定概

在实际中，我们并不关心总体的各个方面，

率分布的随机变量 . 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体 .

而往往关心它的某项或几项数量指标 .

因此，在理论上可以把总体与概率分布等

通常，我们用随机变量 ZYX ,, 等

表示总体 .

同起来 .

三、随机样本的定义三、随机样本的定义1. 样本的定义

样本中所包含个体的总数 n 称为样本容量 .

从总体 X 中，随机地抽取 n 个个体：nXXX ,,, 21

称为总体 X 的一个样本，记为

注

1 2( , , , )nX X X

.),,,( 21 维随机变量是一个样本 nXXX n

例 2 例 2

解 （ 1 ）总体是该地区 2006 届数学本科毕

（ 3 ）样本容量是 100.

为了了解数学专业本科毕业生的月薪情况，调查了某地区 100名 2006 届数学专业的本科生的月薪情况，试问（ 1 ）什么是总体？（ 2 ）什么是样本？（ 3 ）样本容量是多少？

业生的月薪；

业生的月薪；（ 2 ）样本是被调查的 100名 2006 届数学本科毕

2. 样本值2. 样本值

),,,( 21 nxxx

),,,( 21 nXXX

每一次抽取 nXXX ,,, 21 所得到的 n个

确定的具体数值，记为

称为样本

的一个样本值 ( 观察值 ).

数理统计的基本任务是：根据从总体中抽取的样本，利用样本的信息推断总体的性质 .

■

3. 简单随机样本3. 简单随机样本

则称

X

两个特征：

获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽样 .

(1) 代表性：

(2) 独立性：

若来自总体 X的样本 ),,,( 21 nXXX 具有下列

nXXX ,,, 21 中每一个与总体有相同的分布 .

nXXX ,,, 21 是相互独立的随机变量 .

1 2( , , , )nX X X 为 n 的简单随机样本 .

设人的身高服从正态分布，现考察某地区

100021 ,,, XXX 1000人的身高 . 其身高记为

100021 ,,, XXX 则称 为来自于正态总体容量

又如 , 某实验室对 200 只灯泡作寿命试验 ,

并且规定当有 60 只灯泡失效时停止试验 , 如此取得的寿命样本就不是简单随机样本 .

例3

例3

为 1000的简单随机样本 .

X一个随机变量 或者其相应的分布函数

总体和样本的严格数学定义：

1( ) ,X F x X设随机变量 的分布函数为 ，若

且相互独是具有同一分布函数 ),(,,2 xFXX n

的为来自总体立的随机变量，则称 XXXX n,,, 21

.样本的简单随机样本，简称容量为n

.)( 称为一个总体xF

定义 5.1

定义 5.2

4. 样本的分布

定理 5.1定理 5.1

则样本的分布密度为若总体 ),()2( xpX

.),,,( 21 的样本为来自总体设 XXXX n

则样本的分布函数为若总体 ),()1( xFX

n

iin xFXXX

121 )(),,( 的分布函数为

n

iin xpXXX

121 )(),,,( 的分布密度为

注 熟记以上三种不同情形下样本的联合概率分布的具体形式是解决问题的关键 !!

(3) ( ) ( )( 1, , )i iX P X x p x i n 若总体 的分布律为

1 21

( , , , ) ( ).n

n ii

X X X p x则样本 的分布律为

例 4例 4 的指数分布，来自于参数为设 kk λX）且相互独立，求（ nXXXnk ,,,,,,2,1 21

0,1)( k

xkX xexF kk

k所以

的联合分布函数 .

解 的指数分布，来自于参数为由于 kkX

由独立性有 :

n

kiXnXX xFxxxF

in1

21),,( )(),,,(1

.,,2,1,0,)1(1

nkxe k

n

k

xλ kk

例 5例 5

试求密度函数为 ,,1

1

π

1)(

2

x

xxp

.),,( 321 的联合概率密度XXX

，其是来自柯西分布的样本设 321 ,, XXX

解 的密度函数是自于柯西分布，所以因为 ii XX

的联合概率密度是：所以 ),,( 321 XXX

3

1321),,( )(),,(

321i

iXXXX xpxxxpi

)3,2,1(,1

1π1

)( 2

ixx

xp ii

iX i

1 2 33 2 2 21 2 3

1 1, , ,

π (1 )(1 )(1 )x x x R

x x x

X 服从参数为),,,( 21 nXXX 是来自于总体的样本，求此样本

的联合分布律 .

解 总体 X的分布律为

,1,0,!

)( kek

kXPk

所以 ),,,( 21 nXXX 的联合分布律为因为 nXXX ,,, 21 独立同分布，

设总体例 6 例 6

的 Poisson 分布

n

iiinn kXPkXkXP

111 )(),,(

nik

ekkk

ek

i

n

n

kkn

i i

k ni

,,2,1,,2,1,0

!!!! 211

1

此即样本的联合分布律

四、统计量四、统计量

的一个是来自总体设 XXXX n ),,( 21 的函是样本， nn XXXXXXf ,,,),,,( 2121

的未知参数，中不含任何关于总体数，若 Xf

由样本推断总体情况 , 需要对样本值进行

1. 统计量定义 5.3定义 5.3

本中所含的信息集中起来 .

“加工” , 这就需要构造一些样本的函数 , 它把样

.),,,( 21 是一个统计量则称 nXXXf

注 是随机变量；统计量 ),,,(1 21 nXXXf

2° 统计量用于统计推断，故不应含任何关

3º 统计量是样本的函数，它是一个随机变

),,,(),,,( 2121 nn XXXxxx 是样本设

是则称 ),,,( 21 nxxxf ),,,( 21 nXXXf

的观察值

于总体 X 的未知参数 ;

量，统计量的分布称为抽样分布 .

的观察值

X 服从参数为的 Poisson 分布

nXXX ,,, 21 为来自总体的样本，判断下列那些

是统计量？

),,min( 11 nXXT

其他,0

,11

1

2

n

iiX

T

nXXT /13

设总体例 7 例 7

是

不是

是解 直接利用统计量定义判别

统计量

回顾

统计量是样本的函 数 ,完全由样本决定 ,不含任何关于总体 X的未知参数 .

2. 几个常用统计量的定义

,,,, 21 是来自总体的一个样本设 nXXX

1) 样本均值 ;1

1

n

iiX

nX

.1

1

n

iix

nx其观察值

(1) 样本矩

可用于推断： E(X).

.,,, 21 是这一样本的观察值nxxx

它反映了总体均值

的信息

2) 样本方差

n

iin XX

nS

1

22 )(1

.1

1

22

n

ii XnX

n

其观察值

n

iin xx

ns

1

22 )(1

它反映了总体方差的信息

可用于推断： D(X).

3) 样本标准差

;1

1

22

n

iinn XX

nSS

其观察值

.)(1

1

2

n

iin xx

ns

4) 修正样本方差

n

iin XX

nS

1

22* )(1

1.)(

11

1

22

n

ii XnX

n

其观察值

n

iin xx

ns

1

2* )(1

12.)(

11

1

22

n

ii xnx

n

样本方差与修正样本方差的关系：

n

iin XX

nS

1

22 )(1

.1 2*

nSn

n

注 1° 当 n较大时， 差别微小；与 22*nn SS

2° 当 n较小时， .22* 有更好的统计性质比 nn SS

5) 样本 k 阶 (原点 )矩

;,2,1,1

1

kXn

An

i

kik

其观察值 .,,, 211

1

kxn

an

i

kik

6) 样本 k 阶中心矩

;,3,2,)(1

1

kXXn

Bn

i

kik

其观察值 .,3,2,)(1

1

kxxn

bn

i

kik

特例： XA 1

特例： 22 nSB

样本矩具有下列性质 :

,, 2 DXEXX 方差的期望设总体性质 5.1 性质 5.1

请熟记此结论！！！

的样本，则有为来自总体XXXX n ),,,( 21

)()1( XE

;1

)()2( 2n

XD

;1

)()3( 22 n

nSE n

.)()4( 2*2nSE

证 )()1( XE

)1

()(1

n

iiX

nEXE )(

1

1

n

iiXE

n

n

in 1

1

21)()2(

nXD

)1

()(1

n

iiX

nDXD

.11

)(1 2

1

22

12

nnXD

n

n

i

n

ii

]1

[)(1

222

n

iin XX

nESE

]))(()([]))(()([1 22

1

XEXDXEXDn i

n

ii

2 2 2 2 2

1

1 1 1( ) ( ) .

n

i

n

n n n

22 1)()3(

nn

SE n

)()(1 2

1

2 XEXEn

n

ii

221

21

2* )()()()4( nnn

nnn

n SESESE

例 8 例 8

npp

DXn

XD)1(1

X ),1( pB服从两点分布),,,( 21 nXXX 是来自于总体分布的样本，

是样本均值与修正样本方差，试计算：2SX和., 2ESXDXE 和

解

利用样本矩的性质得pEXXE

设对总体

)1(, ppDXpEX 由两点分布知

).1(2 ppDXES

证 , ,,, 21 同分布独立且与因为 XXXX n

, ,,, 21 同分布独立且与所以 kkn

kk XXXX

.)()()( 21 kkn

kk XEXEXE 故有

再根据第四章辛钦定理，即

性质 5.2性质 5.2

1. . ,n kr v s X X EX 若 独立同分布，且 则

0}1

{lim01n

n

iiX

nP有

存在，阶矩的若总体 kkXEkX )(

, 1, 2, .Pk kn A k 则当 时，

由第四章关于依概率收敛的序列的性质知

),,,,(),,,( 2121 kP

k gAAAg

.是连续函数其中g

;,2,1),(,1

1

knXn

A kP

n

i

kik

注 性质 5.2 是下一章矩估计法的理论根据 .

由上述定理可得

,),,,( 21 中抽取的一个样本是从总体设 XXXX n将观测值按由小是其一个观测值 ,),,,( 21 nxxx

到大的次序重新排列为

)()2()1( nxxx

(2) 次序统计量(2) 次序统计量

定义时取值为当 ,),,(),,,( 2121 nn xxxXXX

由此得到取值为 ),,2,1()()( nkxX kk

),,,( )()2()1( nXXX

称为样本 ),,,( 21 nXXX 的次序统计量 .

的函数，都是样本由于每个 ),,,( 21)( nk XXXX

.min1

)1( 称为最小次序统计量ini

XX

.max1

)( 称为最大次序统计量ini

n XX

.),,( )()2()1( 称为其观测值对应的 nxxx

.),,,(: 21)( 个次序统计量的第样本 kXXXX nk

注注也是随机变量，但它们所以， )()2()1( ,,, nXXX

.一般不相互独立

特别地，

定理 5.2定理 5.2

).()]([)( 1)(

xpxFnxp nX n

或分布函的分布密度为设总体 )((xpX

则有的次序统计量本 .),,,( 21 nXXX 的样为总体数为 XXXXxF n ),,,()),( )()2()1(

的分布密度为最小次序统计量 )1()2( X

的分布密度为最大次序统计量 )()1( nX

).()](1[)( 1)1(

xpxFnxp nX

证证 (1) }{)( )()(xXPxF nX n

}max{1

xXP ini

},,,{ 21 xXxXxXP n

}{}{}{ 21 xXPxXPxXP n

)(xF n

x

xFxp n

n

XX d

)(d)( )(

)( )()(1 xFxnF n )(xp

(2) }{)( )1()1(xXPxFX

}min{1

xXP ini

}min{11

xXP ini

},,,{1 21 xXxXxXP n

nxF )](1[1

x

xFxp

XX d

)(d)( )1(

)1(

)]([)](1[ 1 xFxFn n ).()](1[ 1 xpxFn n

例 9例 9

0,1)( xexF x

.,,0,)( )()1( 的分布试求 nxλ XXxeλxp

函数为服从指数分布，其密度设总体X

解解 由总体由总体 X X 的密度函数得，的密度函数得， X X 的分布函数的分布函数为为

的分布密度为由定理得 )1(X

)()](1[)( 1)1(

xpxFnxp nX

0, xen xn的分布密度为同样可得 )(nX

)()]([)( 1)(

xpxFnxp nX n

0,]1[ 1 xeen nxx

(3) 经验分布函数

,,,, 21 的一个样本是总体设 XXXX n定义 5.5定义 5.5),,,( )()2()1( nXXX ),,,( 21 nXXXX 的样本为总体

称函数

是任一实数设为其观测值 ,,),,( )()2()1( xxxx n

.,1

,,

,,0

)(

)(

)1()(

)1(

n

kkn

xx

xxxnk

xx

xF

.的次序统计量

为总体 X 的经验分布函数，即对于任何实数 ,

n

xxF n

n)(

)(

中不超表示其中 ,,, )( )( 21 nn xxxxx

的个数再除以 n ，亦即 经验分布函数 )(xFn x为样本值中不超过

. 的个数于过 x

x

注注 1° k为样本中不超过 x 的样本的最大个数，

发生的次数 .),( )()2()1( xkxxxx k 个样品的取值有

.}{)(2 的频率为事件 xXxFn

，其中事实上，令

n

iin Ix

1

)(

，不发生，发生

}{0

}{,1

xX

xXI

i

ii

.)(

)(n

xxF n

n

则

即在 n 次重复独立试验中，事件}{ xX

性质性质)(),,,()1( 21 xFxxx nn ，对于给定的一组样本值

.)(,)()2( 是随机变量故是样本的函数由于 xFxF nn

即依概率收敛于 ).()()3( xFxFn

.,是一个分布函数满足分布函数的特征

所以可以证明 )),(,(~)( xFnBxnFn

nxFxF

xFDxFxFE nn)](1)[(

)]([),()]([

)0(1}|)()({|lim

xFxFP nn

1 )( , , 以概率时当对于任一实数 xFnx n

经验分布函时充分大当对于任一实数 , nx

格里汶科定理 5.3

即一致收敛于分布函数 ,)( xF

.10)()(suplim

xFxFP nxn

)( )( xFxFn 与总体分布函数数的任一个观察值

来从而在实际上可当作只有微小的差别 )( , xF

.使用

求此样本的经验分布函数

例 10例 10 X

0 2

1/ 5 2 1

2 / 5 1 2.5( )

3 / 5 2.5 3.1

4 / 5 3.1 3.7

1 3.7

n

x

x

xF x

x

x

x

中取得一个容量为 5 的样本，样本观测值为 -2 ， -1 ， 2.5 ， 3.1 ， 3.7 ，试

解

设从总体

( ).nF x

由经验分布函数的定义知

内容小结内容小结

个体 总体有限总体无限总体基本概念 :

说明　一个总体对应一个随机变量 X, 我们将不

统计推断　

随机样本

检验 估计

参数估计（第六章）非参数估计参数假设检验（第七章）非参数检验（第七章）

区分总体和相应的随机变量 , 统称为总体 X.

总体 ( 理论分布 )

样本 样本值?

数理统计是从手中已有的资料 -- 样本值 ,去样本是联系二者的桥梁 .

总体分布决定了样本取值的概率规律 ,也就

推断总体的情况 -- 总体的分布 F(x) 的性质 .

是样本取到样本值的规律 , 因而可以由样本值去推断总体 .

总体、样本、样本值的相互关系 :

两个最重要的统计量 :

样本均值

n

iiX

nX

1

1

修正样本方差 *2 2

1

1( )

1

n

n ii

S X Xn

考察某地区居民的人均收入或某批轿车的质量时，每个居民平均收入的全体或每辆轿车

质量的全体就构成了总体 .

某地区人均收入某批轿车质量

备用题例 1-1 备用题例 1-1

考察一批电子器件的寿命，从中任意抽取100 件作完全寿命试验， 则称这 100 只灯泡的寿命为来自总体的一个样本， 100 为其相应的样本容量；

寿命试验完成后，所测得的寿命数据称为样本观察值 .

例 1-2 例 1-2

例 2-1例 2-1

于是委托咨询公司进行了一次售后访查 .(1) 该项调查的总体是什么 ?

(2) 该项调查的样本是什么 ?

解 (1) 该项调查的总体是所有使用该产品的消

(2) 该项调查的样本是所有被调查的消费者．

某生产厂商想了解自己产品的使用情况 ,

费者；

例 2-2 例 2-2

调查人员在某地区一高档住宅随机采访了230位居民的收入情况，宣布该地区的人均年收入为 15万元，试用总体与样本的关系来分析此事？答 该高档住宅的人均收入是该地区人均收入的一个特殊群体的特殊样本，它只能反映这个特殊群体的特征，并不能代表该地区的人均收入，即不能反映该地区的人均年收入情况，故这种说法是不真实！

例 4-1 例 4-1 ),,,( 21 nXXX

的概率密度为总体X

),,,( 21 nXXX

的联合概率密度为所以， ),,,( 21 nXXX

n

iin xfxxxf

121 )(),,,(

)1,0(,1)( xxf

解

设 是来自于 U(0 ， 1) 的一个样本， 求 的联合概率密度 .

nixi

n

i

,,1),1,0(,111

的样本，求是总体若 ),(~,, 21 NXXX n

.),,( 1 的联合概率密度nXX 解 的概率密度为总体 X

.,eπ21

)(2

2

2

)(

xxf

x

的联合概率密度为所以 ),,( 1 nXX

),,( 1 nxxf

n

iixf

1

)(

n

i

xi

1

2

)(2

2

eπ2

1

21

2

2

)(

2 e)()π2(

n

iix

nn

),,1,( nixi

例 4-2例 4-2

其他0

,1

)( bxaabxf

解

Xi 与 X 同分布，即

由已知条件，总体的概率密度为

求样本的联合概率密 .

设总体 X 在 上服从均匀分布，],[ ba

是来自该总体的样本，nXXX ,,, 21 例 4-3 例 4-3

则 联合概率密度为：

nibxaabxfX i

ii ,,2,10

,1

)(~

其他

nibxa

abxxxf inn ，，

其他 1

0

,,)(

1),,,( 21

nXXX ,,, 21

(1, ), 0 1,X B p p 设总体 服从两点分布

解 的分布律为总体 X

,,,, 21 相互独立因为 nXXX

ii ppiXP 1)1(}{ )1,0( i

,有相同的分布且与X

的分布律为所以 ),,,( 21 nXXX

例 5-1例 5-1

,,(,),,,( 2121 XXXXX n 求样本是来自总体的样本

的分布律), nX

},,,{ 2211 nn xXxXxXP

}{}{}{ 2211 nn xXPxXPxXP

.}1,0{,,, 21 中取值在集合其中 nxxx

n

ii

n

ii xnx

pp 11 )1(

例 5-2例 5-2 1 2, , , ( , )nX X X B N p设 是来自二项分布.),,,( 21 的联合分布律的样本，试求 nXXX

n

kkknXXX xXPxxxP

n1

21),,,( }{),,,(21

解 由于样本来自二项分布 , 所以 X 分布律为

所以 , 的联合分布律为所以 , 的联合分布律为),,,( 21 nXXX

NkppCxXP kkk xNxxNkk ,,2,1,)1(}{

n

kk

n

kk

n

xNxxN

xN ppCC 111 )1(

?,

,,,

),(,,2

2321

哪些不是些是统计量判断下列各式哪为未知为已知其中样本

的一个是来自总体设

NXXX

,11 XT

,3212

XeXXT

),(31

3213 XXXT

),,,max( 3214 XXXT

,2215 μXXT

).(1 2

32

22

126 XXXT

是

不是

例 7-1例 7-1

例 7-2例 7-2 是未知参数其中服从两点设总体 ppBX ),,1(

样本是来自总体的简单随机nXXX ,,, 21 量：试指出下列那些是统计

pX 3

解解解解 根据统计量的定义，它完全由样本决定，而与未知参数无关，所以

ini

ini

n XXXXXX

11

2421 max,min,)(,

而 不是统计量 .

?max,min,)(,11

2421 i

nii

nin XXXXXX

,],0[ 上的均匀分布服从区间设总体 X例 9-1例 9-1

)1(21 ,),,,( XXXXX n 试求的样本为总体.)( 的分布和 nX

其他

的分布密度为总体,0

0,1

)(

x

xpX

的分布函数为X

解

.

,1

0,

0,0

)(

x

xx

x

xF

的分布密度为得由定理 )1(2.5 X

)()](1[)( 1)1(

xpxFnxp nX

其他,0

0,)1( 1

xxn n

x

xx

x

xF

,1

0,

0,0

)(，其他

,0

0,1

)(

x

xp

其他,0

0,)()()(

11

)(

xxn

xpxnFxpn

nnX n

的分布密度为而 )(nX

例 9-2例 9-2 )(xpX 数服从柯西分布，密度函设总体

来自总体的简单随机样本，试求样本中位数来自总体的简单随机样本，试求样本中位数的概率分布的概率分布 ..

解解 2 -1n因为共有 个样本，所以样本中位数

)(nX为由总体 的密度函数可得，由总体 的密度函数可得， XX 的分布函数是的分布函数是

xxxF ],2π

)(arctg[π1

)(

,,1

1π1

2

xx

是1221 ,,, nXXX

所以，由定理得样本中位数的分布密度为所以，由定理得样本中位数的分布密度为

)()](1[)]([)12()( 11122)(

xpxFxFCnxp nnnnX n

.,]arctan[

)](arctan[1

π1

21

12π

π1

)π(1121

22 2

xx

x

C

n

n

xnn

n

的分布密度为例 9-3 例 9-3

其他,0

),(!1

)()2()1()(

n

ini xxxxfn

X 10,2)( xxxf),,,( 21 nXXX 是来自于总体的样本，试求次序

统计量 ),,,( )()2()1( nXXX 的联合密度函数 .

解),,,( )()2()1(),,,( )()2()1( nXXX xxxf

n

设总体

其他

，

,0

!21

)()2()1()(

n

ini

n xxxxn

由次序统计量的联合密度函数性质知

)( 3 的观察值为则经验分布函数 xF

2,1

21,32

1,0

)(3

x

x

x

xF

,2,1,1具有一个样本值设总体X例 10-1例 10-1

例 10-2例 10-2 其经验分布函数为设总体 ),(~ xFX

)()]([ xFxFE n 试证

)](1)[(1

)]([ xFxFn

xFD n

解 knkknn xFxFCkxnFP )](1)[(})({因为)()]([ xnFxnFE n 所以

)()]([ xFxFE n 从而

)(xFn

)](1)[()]([ xFxnFxnFD n

)].(1)[(1

)]([1

])([ 2 xFxFn

xnFDn

xFD nn

)(

3 的观察值为则经验分布函数

xF

.3,1

,32,32

,21,31

,1,0

)(3

x

x

x

x

xF

,3,2,1具有一个样本值设总体X例 10-3例 10-3