第九章　二 重 积 分第九章　二 重 积 分

第一节　二重积分的概念

主讲教师：张世红

齐齐哈尔师范高等专科学校

bO

y = f (x)

y B

A

xi

分割→ 近似代替→ 求和→ 取极限

引例 1 ：曲边梯形面积

ii

n

iλ

x)Δ(ξfA

lim

f(i

xi

引例 2 ：求变速直线运动的路程

设一质点作变速直线运动，已知速度)(tvv 是时间 t上的连续函数，求在时间间

隔 ],[ 21 TT 上质点经过的路程 S.

i

n

ii tvS

)(lim1

0

b

adxxf )( ii

n

i

xf

)(lim10

定积分的定义是：

关于定积分定义的几点说明：

（ 1 ）所谓和式极限存在（即函数可积）是指不论对区间 [a,b] 怎样的分法和 i 的取法，极限都存在且相等。

（ 2 ）如果 f(x) 在 [a,b] 上连续或有有限个第一类间断点，那么定义中的和式极限一定存在。（ 3 ）因为和式极限是由函数 f(x) 及区间 [a,b] 所确定的，所以定积分只与被积函数和积分区间有关而与积分变量的记号无关。即

b

adxxf )(

b

adttf )(

b

aduuf )(

,)( 0xf b

aAdxxf )( 曲边梯形的面积

,)( 0xf b

aAdxxf )( 曲边梯形的面积

的负值

1A2A

3A

4A

4321)( AAAAdxxfb

a

定积分的几何意义

几何意义：

积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在

数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于

xx

bxax

xfx

,

)(

一、二重积分的定义一、二重积分的定义

例 1 曲顶柱体的体积 . 设有一个立体，它的底是 xOy平面上的有界闭区域 D ， 侧面是以 D 的边界曲线为准线、 母线平行于 z 轴的柱面， 它的顶部是定义在

D 上的二元非负连续函数 z = f (x, y)

所表示的连续曲面 . 这个立体称为 曲顶柱体 .

试求该曲顶柱体的体积 .

1. 引例

D

x

y

z

O

步骤如下：

x

z

yo

),( yxfz

D

),( iifh

i

),( ii

1, 2 , · · · , n ,

它们的面积分别记作 i (i = 1, 2, · · ·, n)

(1) 分割 .

将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域，　　　　　　　　　　　 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线、 作母线平行 z 轴的柱

面 . 这些柱面把原来的曲顶柱体分成 n 个小曲顶柱体 .

解

(2) 近似 .

在每个 i 中任取一点 (i , i) ，则以 f (i , i) 为高、

以 i 为底的小柱体的体积 f (i , i) i ， 近似替代第 i 个小曲顶柱体的体积，

即Vi f (i ,i ) i .

(3) 求和 .

将这 n 个小平顶柱体的体积相加， 得到原曲顶柱体体积的近似值， 即

.),(11

i

n

iii

n

ii fVV

(4) 取极限 .

即,),(lim

10

n

iiiifV

当各小闭区域的直径中的最大值 时，和式的极限如果存在，此极限值就是所求曲顶柱体的体积

0

例 2

设有质量非均匀分布的平面薄板（如图所示）在 xOy

平面上所占的区域为 D ，它的面密度 ( 单位面积上的质量 ) 为 D 上的连续函数 ( x , y ).

平面薄板的质量 .

求平面薄板的质量 .

D

O x

yi

(i , i)

于是在 i 上任取一点 (i , i )， 第 i 块薄板的质量的近似值为

.)Δ,ηρ(ξΔm iiii

　将薄板 ( 即区域 D) 任意分成 n

个小闭区域 1 , 2 , · · ·, n ， 　　并以 i ( i = 1,2,· · ·,n) 表示第 i 个小闭区域的面积 .

解 (1) 分割 .

因此当 i 的直径很小时，

(2) 近似．由于 (x , y) 在 D 上连续， 这个小闭区域上的面密度的变化也很

小，即其质量可近似看成是均匀分布的 .

(4) 取极限 . 当 n 个小区域的最大直径 0 时，上述和式的极限就是所求薄板的质量， 即

n

iiii

λ.)Δ,η(ξρm

lim

将这 n 个看成质量均匀分布的小块的质量相加得到整个平面薄板质量的近似值，

n

i

n

iiiii .)Δ,η(ξρΔmm

(3) 求和 .即

2. 二重积分的定义

定义 设 z = f (x, y) 为有界闭区域 D 上的有界函

数 .(1) 把区域 D 任意分成 n 个小闭区域 i ，其

面

积为 i (i = 1, 2, · · ·, n) ；(2) 在每个小闭区域 i 中任意取一点 Pi(i, i) ，

(3) 作和

n

iiii )Δ,ηf(ξ

.lim),(1

0

D

n

iiii )Δ,ηf(ξdσyxf

无论 i 怎样划分， Pi(i ,i) 怎样取，当各小闭区域

的直径中的最大值 → 0 时，若和式的极限存在，则

此极限值为函数 f (x, y) 在闭区域 D 上的二重积分，

记为 D

f(x,y)d

被积函数积分区域 面积元素

被积表达式

积分和

积分变量即

关于二重积分的几点说明：

1 、如果被积函数 f(x,y) 在闭区域 D 上的二重积分存在，则称 f(x,y) 在 D 上可积。 f(x,y) 在闭区域 D

上连续时， f(x,y) 在 D 上一定可积。 2 、二重积分与被积函数与积分区域有关，与积分变量的表示法无关。

DD

dudvvufdxdyyxf ),(),(

当 f (x, y) 有正有负时，二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。

3. 二重积分的几何意义

当 f (x, y)≥0 时，二重积分就表示曲顶柱体的体积；

当 f (x, y)≤0 时，二重积分就表示曲顶柱体的体积的负值；

二、二重积分的性质二、二重积分的性质

定积分的性质：

b

adxxgxf )]()([

b

adxxf )(

b

adxxg)( .

性质 1

b

a

b

adxxfkdxxkf )()( (k为常数).

性质2

二、二重积分的性质二、二重积分的性质

性质 1 被积函数中的常数因子 可以提到积分符号的外面去。

.)为常数(),(),( D D

kdyxfkdyxkf

有限个函数代数和的二重积分等于各函数的二重积分的代数和。

.),(),()],(),([ D D D

dyxfdyxfdyxfyxf 2121

性质 2

定积分的性质：

b

adxxf )(

b

c

c

adxxfdxxf )()( .

补充：不论 的相对位置如何 , 上式总成立 .cba ,,

假设 bca 性质 3

性质 3 如果把积分区域 D 分成两个闭子域 D1 与 D2 ，即 D = D1+ D2 ，则

这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性 .

二、二重积分的性质二、二重积分的性质

σf(x,y)df(x,y)dσf(x,y)dσD D D

性质 4 如果在 D 上 则),,(),( yxyxf ≤

D D

dyxdyxf .),(),( ≤

dxb

a1 dx

b

a ab .性质 4

性质 5 如果在区间 ],[ ba 上 f(x)≤ g(x)，那么

dxxfb

a )( dxxfb

a )( . )( ba

性质 5 的推论：

定积分的性质：

dxxgdxxfb

a

b

a )()(

如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续，

使 dxxfb

a )( ))(( abf . )( ba

性质 7 （定积分中值定理）

则在积分区间],[ba上至少存在一个点 ，

定积分的性质：

设M及m分别是函数

则 )()()( abMdxxfabmb

a .

)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值，

性质 6

性质 5 如果在 D 上 m ≤f (x, y) ≤ M ， (m,M

为常数 ) ，则

式中， S 为区域 D 的面积。

D

MS.f(x,y)dSmS≤ ≤

二、二重积分的性质二、二重积分的性质

二、二重积分的性质二、二重积分的性质

性质 7 如果 D 的面积为 S ，则

D D

.dσdσS

性质 6 ( 二重积分中值定理 )

如果函数 f (x,y) 在闭区域 D 上连续，则在 D 上至少存在一点 (, ) ，使

D

Sfdyxf .),(),(

练习：

1 、在二重积分的定义中，最大的子域直径趋 近于 0 能否改成最大的子域面积趋近于 0 ？

表示薄板的质量。上连续，试用二重积分在，其中的面密度为所占的区域

面上的平面薄板在、设有质量非均匀分布

D

yxyxD

xOy

),(),( 2 可以

D

dyxm ),(

D

DSkSkd 的面积是区域其中）（

意义，说明下列等式：、利用二重积分的几何

,1

3

练习：

练习：

的圆形区域为是以原点为中心，半径 RD

3222

3

22 RdyxR

D

)(

练习：

围成；轴及直线轴、由其中 1 yxyxD

dyxdyxDD

32)1( 与

10

1:

yx

yxyxD

即轴，轴，解：区域

32 yxyx 故

dyxdyxdD

32

于是

、比较大小4

x

y

O 1

1

x + y=1

练习：

10,53: yxD DD

dyxdyx 2lnln)2( 与

10,53: yxD解：区域

63 yx

1ln yx故

yxyx 2lnln于是

DD

dyxdyx )(lnln 2因此

x

y

O

1

1 3 5

练习：

4945 2222 yxDdyxD

:，、估计积分的值

08

02

yy

f

xx

f

程组解：先求稳定点。解方

90000 ),(,, fyx 即得

代入上，将函数在边界 2222 44 xyyx

253 2 xyxf ),(得一元函数

1009436 22 dyxD

因此

006 xxf 得驻点令 ＇

4925 Syxfyxf ,),(,),( minmax

25202520 ),(,),( ff于是

,比较三值大小知 在区域Ｄ上

小结：

1 、学习用数学思想方法解决问题；

2、二重积分的概念、几何意义；

3、二重积分的性质

作业：

1、复习二重积分的概念和性质；

2、查找实际问题中有哪些问题可以用二重积分知识来解决