习题课三

习题课三

1. 守恒量t

AHAtA

t

],[i

1)(

d

d

0],[ HA

2. Virial 定理 VrT

2

若 ),,(),,( zyxVcczcycxV n 则 VnT 2

4. 守恒量与对称性

平移不变性 /iexp)( prrD δδ 0],[ HD 0],[ Hp

空间转动不变性 /iexp)( lnnR δφδφ 0],[ HD

0],[ Hl

3. Feynman-Hellmann 定理

( 对定态求平均 )

nnnnn HHE

,

( 对束缚态能级和波函数 )

4. 全同粒子全同性原理：全同粒子不可区分全同粒子的波函数

5. 中心力场问题

能量本征方程 )(2

1

2 2

2

2

22

ψψμμ

ErVr

lr

rr

径向波函数满足的方程

0)()1(

))((2

)(d

d2)(

d

d222

2

rRr

llrVErR

rrrR

r lll μ

0)()1(

))((2

)(22

rr

llrVEr ll χ

μχ

or

6. 典型中心力场问题的求解

(1) 无限深球方势阱 (l=0)

(2) 三维各向同性谐振子 ( 球坐标与直角坐标下求解 )

能级 ω)2/3( NEN

简并度 )2)(1(2

1 NNfN

(3) 氢原子问题

本征函数 ),,( φθψ rnlm

能级 ,3,2,1,2 2

2

nan

eEn

简并度 2nfn

4.2 解： (a) 两全同波色子

单粒子态 3φ1φ 2φ

2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)]()()()([2

113222312 qqqq φφφφ

)]()()()([2


)]()()()([2


(b) 两个全同费米子


0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布)]()()()([

2


)]()()()([2


)]()()()([2


)()(

)()(

!2

1

2313

2212

qq

qq

)()(

)()(

!2

1

2313

2111

qq

qq

)()(

)()(

!2

1

2212

2111

qq

qq

(c) 两个不同粒子


2 0 0

0 2 0

0 0 2

0 1 1

1 0 1

1 1 0

分布

)()( 2111 qq φφ

)()( 2212 qq φφ

)()( 2313 qq φφ

)()( ),()( 13222312 qqqq φφφφ

)()( ),()( 13212311 qqqq φφφφ

)()( ),()( 12212211 qqqq φφφφ

4.3 解： 321 φφφ

设粒子的总数为 n，量子态的总数为 k. 首先对 n 个粒子进行编号

(1) 粒子可以分辨

每个粒子占据量子态的方式有 k 种，则 n 个粒子占据量子态的方式（量子态数目）有

nk

若 k=3, n=2, 则有 932

若 k=3, n=3, 则有 2733

(2) 粒子不可分辨，每个量子态上的粒子数不受限制，波函数对称

1 2 3 4

6)!13(!2

)!123(

量子态总数

若 k=3, n=2, 则有

若 k=3, n=3, 则有 10)!13(!3

)!133(

(3) 粒子不可分辨，每个量子态上只能有一个粒子（ k>n ）

)!(!

!

nkn

kC n

k

若 k=3, n=2, 则有

若 k=3, n=3, 则有

3)!23(!2

!323

C

量子态总数

1)!33(!3

!333

C

4.4 证明：对于不含时间的力学量 A 有 ],[i

1

d

dHA

t

A

对上式再求导数得

]],,[[1

],,[i

1

i

1

d

d22

2

HHAHHAt

A

即 ]],,[[d

d2

22 HHA

t

A

4.5 证明：

0),/()],(),[(i

),/()],(),[(i

1

),/()],(),[(i

1

),/()],[,(i

1],[

i

1

d

d

ψψψψψψ

ψψψψψψ

ψψψψψψ

ψψψψ

AAE

AHAE

HAAH

HAHAt

A

4.6 证明： )()(exp axxx

a

ψψ

则 )()(exp)()( axxx

axaDx

ψψψ

对于波函数 )()( ),()( i xaxxex kkkkx φφφψ

)()()()()( iii)(i xexeeaxexaD kak

kxkak

axkx ψφφψ

4.7 证明：对束缚态能级和波函数有

nnn EH ψψ

),( nnn HE ψψ 1),( nn ψψ

nn

nnnnn

nnnnnn

nn

nnnnn

nn

nnnnn

nn

H

HE

EH

E

HH

E

HH

HE

ψλ

ψ

ψλ

ψψψλ

λψ

ψψλ

ψψλψ

λψ

ψψλ

ψψλψ

λψ

ψψλ

ψψλψ

λ

,

,,

,,,

,,,

,,,则

4.8 证明：

nnnnnnnn

nnnnnn

FFEE

HFFHHFt

F

i)(i

1

)(i

1],[

i

1

d

d

由 Heisenberg 方程知 ],[i

1

d

dHF

t

F

能量本征方程是 nnn EH

其共轭方程为 nnn EH

则

nn

nn

EE

其中

4.9 证明：由海森堡方程得到

xppxHx

t

x ],[

i2

1],[

i

1

d

d 2

在能量表象下取矩阵元得 knknknx xp i)(

基本对易关系 i],[ xpxppx xxx

在能量本征态下取平均值得

nnkkn

nnknk

nnkknknnkknnk

nnkknnkknkkkk

xEEx

xxxx

xppxpxxp

22)(

i2i2

)(i

][)()(i

则2

)(2

2

nnkkn xEE

4.10 证明：

)1( ],[

(

)()(2

kFHFk

kFHHFnnFk

kFnnFkEEFEE

n

nkn

nnkkn

因为 F, H 是厄米算符，则有

],[],[],[ FHHFFH

(1) 取厄米共轭得

)2( ],[)(2

kFFHkFEEn

nkkn

(1)+(2) 得到

kFHFkFEEn

nkkn ]],[,[2

1)(

2

5.1 证明：由

21

212121

21

2211 ,, ,mm

mmmmMrrr

mm

rmrmR

则相对动量是

M

pmpm

M

rmmrmmrr

mm

mmrp 2112221112

2121

21 )()()(

总动量是

21221121

2211 pprmrmmm

rmrmMRMP

2211

22211121

21122121

21

2211

)()(1

)()()(

prpr

prmmprmmM

M

pmpmrrpp

mm

rmrmprPR

因此总角动量是

prPRprprllL

221121

总动能是

2222

22

2

22

1

21 p

M

P

m

p

m

pT

5.2 解：

ppM

mp

M

m

mm

m

mm

m

mmr

r

r

r

rr

rrrrr

21

12

21

1

21

2

21

21

i

iii

21

2121

Ppp

R

r

R

rrrrrR

21

21

iii2121

rr

RR

rRprPRL rR

ii

)i()i(

5.3 解 : (a) 电子偶素的约化质量为 eee

ee mmm

mm

2

1

此体系的能谱为

22

4

22

4

2

2 1

4

1

2

1

2 n

em

n

e

na

eEE e

n

(b) µ 原子中 µ 子的质量为 emm 207

原子核的质量为 M, 则约化质量为Mm

Mm

Mm

Mm

e

e

/2071

207

体系的能谱为

22

4

22

4

22

4

2

2

1

/2071

207

2

1

/12

1

2

1

2

nMm

me

nMm

me

n

e

na

eEE

e

e

n

22 / : eanote

(c)µ 子偶素的约化质量为 m2

1

22

4

22

4

2

2 1

4

1

2

1

2 n

em

n

e

na

eEE n

其能谱为

5.4 解 : 氢原子基态的波函数是 area

/2/1

3100

1

显然有 0pr

而

2

4/23100

2100

2

3

dddsin1

d

a

rrea

rr ar

由位力定理知 2/VT

又在基态有 VTE 1

则 2

4

1 2me

ET 即2

42

22

1

me

Tpm

由基态波函数的球对称性得到

2

222222

2222

33 ,

3 a

ppppa

rzyx zyx

则33 2

2222

a

apxpx xx

5.5 解 : 　氢原子的基态波函数是 area

/2/1

3100

1

基态能量 a

eE

2

2

1

势能 r

eV

2

经典禁区 01 VE 即 ar 2

因此电子处于经典禁区的概率是

238.013d1

dsind 4

2

/2230

2

0 erer

aP

a

ar

5.6 解 : 　类氢离子的波函数为

),()(

),()( Yr

rYrR nllmnlnlm

(a) 最可及半径由下列条件确定

0d

d 2 nlr

对圆轨道有 : l=n-1, nr=0, 则 0/1,

naZrnnn eCr

求导数后可得 Zanr /02

详细推导过程径向方程

0)1()(2

2

2

2

ll r

ll

r

ezE

令 1 eZ

Z

a

eza 0

2

2

)(

则

22

4 1

2

)(

n

eZEn

园轨道 1,0 nlnr

径向概率分布为

rrrRrr nlnlnlm dddd22222

则其径向概率分布为 rrrR nnnn dd2

1,22

1,

类氢离子的径向波函数是

),22,1(2/ llnFeNR lrnlnl

其中0

22

na

Zr

na

r

),2,0( 2/1, nFeNR lr

nlnn

合流超几何函数是

!2)1(

)1(1),,(

2zzzF

1),2,0( nF

即 lrnlnn eNR 2/

1,

则园轨道的径向概率分布为

rrCe

rrna

eNrrR

lnar

ll

narnlnn

d

d2

d

22/2

222

/2222

1,

0)(d

d 22

1, rRr nn由得

Z

ananr 0

22

Z

ann

rrna

eN

rrRrdrr

ll

narnl

rnnnlmnlm

2

d2

d)(

2

0

322

/22

1,3

注：)!1(

)!(

)!12(

222/3

ln

ln

lnaNnl

)!12(

122/31,

naN nn

(b) 类氢原子的能级

可利用0

22

na

Zr

na

rlr

nlnn eNR 2/1,

直接进行计算求解

5.7 证明：已知中心力场中粒子的径向方程是 lll EH

2

2

2

22

2

)1()(

d

d

2 r

llrV

rH l

三维各向同性谐振子得能级为

,2,1,0,, ,2

)2/3(

lnNlnN

NEE

rr

N

取 l为参量，由 Feynman-Hellmann 定理

Nlml

HNlm

l

EN

得Nlmr

l2

2 1

2

)12(

)2/1(

112

lr Nlm

即

三维各向同性谐振子得哈密顿为 222

2

1

2rm

pH

由 Virial 定理知 22

2

1rmVT

在定态下两边取平均得

VTrmp

HEE N 222

2

1

2

则 )2/3(2

1

2

1

2

1 22 NErmVT N

所以 mNr /)2/3(2

5.8 解：类氢离子的能级为

1 ,2 0

2

22

lnnan

eZE rn

220 / ea

类氢离子的势函数为r

ZerV

2

)(

由 Virial 定理知 VT 2

则 VVTEE n 2

1

所以0

2

222

2

1

22

1

an

eZ

r

ZeV

即 ,2,1,1

02

nan

Z

r

类氢离子的能量本征方程

nlmnlm Er

ll

r

Zer

rr

2

22

2

22

2

)1(1

2

对应的哈密顿为2

22

2

22

2

)1(1

2 r

ll

r

Zer

rrH

视 l为参量，由 Feynman-Hellmann 定理得

nlm

n

rl

l

H

l

E2

2 1

2

1

03

22

an

eZ

n

E

l

E nn

则20

2

32 )2/1(

11

a

Z

nlr nlm

5.9 解：取守恒量完全集 ),,( 2zllH

其共同本征函数是

),()(

),()(),,( lmlm Yr

ruYrRr

u(r) 满足径向方程

0)1(2

22

20

2

2

ll u

r

ll

r

ea

r

eEu

令 )1(2)1( llll

则上述方程可化为

0)1(2

2

2

2

ll u

r

ll

r

eEu

因此价电子的能级是

1 ,1

2 20

2

lnnna

eE rn

对于 λ<<1 ，可令 1)2/1/( , lllll

则2

0

2

)(

1

2 lna

eEn

5.10 解：在直角坐标系中求解

能量本征方程

),(),()(2

1

2),( 222

2

2

2

22

yxEyxyxyx

yxH

令 )()(),( yxyx

代入上式可得 )()(2

1

d

d

2 122

2

22

xExxx

)()(2

1

d

d

2 222

2

22

yEyyy

21 EEE

解上述方程得

,2,1,0,,,

)1(2

1

2

1

2121

2121

nnnnnn

nnnEEE

,2,1,0 ,2

1

,2,1,0 ,2

1

222

111

nnE

nnE

则总能量为

能级简并度为 1nfn

5.11 解：类似上题

,2,1,0,

2

1

2

1

yx

yyxxyx

nn

nnEEE 总能级为

令 00 )1( ,)1( yx

则xy

xyyx

,20

当 0 0 yx时，

,2,1,0 ,)1( 0 yxn nnnnE

当 yx / 为有理数时，能级可能简并，如

2/1/ yx

00 2

3

3

2

2

32

3

2

NnnE yxN

其简并度为

,5,3,1 ,2

1

,4,2,0 ,12

NN

NN

fN

当 yx / 为无理数时，能级非简并

作业1. 氢原子处于基态，波函数为

area

r /

3

1)(

求： (1)r 的平均值(2) 势能的平均值

r

erV

2

)(

(3) 动能的平均值

(4) 最可几半径

解： (1) 2

314)()(

0

/233

adrer

adrrr ar

(2) 由位力定理知 VT 2

则a

eVVTE

22

1 2

1 a

eV

2

(3) 动能的平均值是a

eVT

22

1 2

(4) 沿径向的概率分布为

drera

ddrrdrrw ar /223

22 4)(

即 arera

rw /223

4)(

令 0)(4

)( /223

arerdr

d

arw

dr

d

可得最可几半径为 ar 1

2. t=0 时刻氢原子的波函数为

)(10

1)(

10

2)(

10

3)(

10

4)0,( 121211200100 rrrrr

求： (1) 氢原子能量、角动量的平方 L2 、 Lz 的可能值、相应概率和平均值 (2) 写出 t 时刻的波函数 ),( tr

解： (1) 由波函数可见： n=1, n=2 ，因此能量的可能取值为

a

eE

a

eE

8 ,

2

2

2

2

1

角量子数 l=0, l=1, 则角动量平方的可能取值是22 ,0

平均值是 a

e

a

e

a

eEEE

222

21 40

11

10

6

810

4

210

6

10

4

平均值是 222

5

32

10

3 L

轨道磁量子数的可能取值是： m=0, 1, -1

则 Lz 的可能取值是 ,0

平均值是1010

1

10

2 zL

(2) t 时刻的波函数是

/121

/211

/200

/100

22

11

)(10

1)(

10

2

10

3)(

10

4),(

tiEtiE

tiEtiE

erer

eertr

a

eE

a

eE

8 ,

2

2

2

2

1 其中

习题课三

Documents