第二十一章

INVESTMENTS | BODIE, KANE, MARCUS

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第二十一章期权定价


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• 内在价值 - 立即执行期权所带来的收益。– 看涨期权 : 股票价格 - 执行价格– 看跌期权 : 执行期权 - 股票价格

• 时间价值 - 期权实际价格与内在价值的差。

期权定价


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图 21.1 到期前看涨期权的价值


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表 21.1 看涨期权价值的决定因素


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看涨期权价值的限制• 看涨期权的价值不能为负。期权的收益最差是 0 ，最好是为较高的正值。• 看涨期权的价值不可能高于股票价格。• 看涨期权的价值必须高于杠杆化股票头寸的收益。

下限 = 修正的内在价值：C > S0 - PV (X) - PV (D)

(D= 股利）


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图 21.2 看涨期权价值所处的可能范围


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图 21.3 看涨期权价值与股票现值之间的函数关系


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看涨期权的提前执行• 只要在股票到期日之前执行期权无法带来收益，那么提前行使美式期权就毫无价值。• 这样，美式期权与欧式期权是等价的。• 看涨期权的价值随着股价上涨而增加。由于股价可以无限制的上涨，对看涨期权而言，“活着比死更有价值”。


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看跌期权的提前执行• 当其他条件相同时，美式看跌期权的价格高于欧式看跌期权。• 提前行权可能会有用，因为 :

– 股票价值不可能跌到 0 以下。– 一旦公司破产，由于货币的时间价值，立即执行期权仍是最优选择。


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图 21.4 看跌期权价值与目前股票价格的函数


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100

120

90

股票价格

C

10

0

看涨期权价值 X = 110

二项式期权定价的例子


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构建资产组合：购买股票 $100借款 $81.82 (10% 的利率 )净支出 $18.18收益：股票价值 90 120偿还贷款 - 90 - 90净收益 0 30

18.18

30

0

资产组合的收益正好是看涨期权的 3 倍



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18.18

30

0

3C

30

0

3C = $18.18C = $6.06



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• 构建资产组合 - 一股股票，三份看涨期权 (X = 110)

• 资产组合是完全对冲的 :股票价格 90 120看涨期权 0 -30净收益 90 90

因此 100 - 3C = $81.82 或 C = $6.06

Replication of Payoffs and Option Values


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对冲比率• 在上例中 , 对冲比率 = 1 股股票对 3 份看涨期权或 1/3.• 通常 , 对冲比率是 :

00 dSuSCCH du

股票价格的变动范围看涨期权的变动范围


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• 假设我们可以将一段时间分为三个间隔。• 每一间隔股票价格可能上涨 20% 或下

跌 10% 。• 假设股票初始售价是 $100 。

扩展到需考虑三个间隔的情况


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S

S +

S + +

S -S - -

S + -

S + + +

S + + -

S + - -

S - - -

扩展到需考虑三个间隔的情况


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三个间隔的可能收益事件概率最终股票价格3 上升 1/8 100 (1.20)3 = $172.802 上升 1 下降 3/8 100 (1.20)2 (.90) = $129.601 上升 2 下降 3/8 100 (1.20) (.90)2 = $97.203 下降 1/8 100 (.90)3 = $72.90


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Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)d1 = [ln(So/X) + (r + 2/2)T] / (T1/2)d2 = d1 - (T1/2)而且Co = 当前的看涨期权价值So = 当前的股票价格N(d) = 标准正态分布小于 d 的概率

布莱克 -斯科尔斯期权定价


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X = 执行价格e = 2.71828, 自然对数的底r = 无风险利率 ( 与期权到期期限相同的安全资产连续复利的年收益率 )T = 期权到期时间，按年记ln = 自然对数函数股股股股股股

布莱克 -斯科尔斯期权定价


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图 21.6 标准正态曲线


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So = 100 X = 95r = 0.10 T = 0.25 ( 一个季度 )= 0.50 ( 每年 50%)

因此 :

例 21.1 布莱克 -斯科尔斯定价

18.25.05.43.

43.25.05.

25.02510.95

100ln

2

2

1

d

d


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使用正态分布表或 Excel 中的NORMDIST 函数，我们可以得到 N (0.43) = 0.6664 ， N (0.18) = 0.5714.

因此 :Co = SoN(d1) - Xe-rTN(d2)Co = 100 X .6664 - 95 e- .10 X .25 X .5714 Co = $13.70

正态分布的概率


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隐含波动率• 即期权价格中隐含的股票波动率水平。• 使用布莱克 - 斯科尔斯公式及实际的期权价格来解决波动性问题。• 隐含波动率与股票价格的波动率一致吗？

看涨期权定价


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布莱克 -斯科尔斯模型与股利• 布莱克 - 斯科尔斯的看涨期权公式要求股票不支付股利。• 如果支付了股利怎么办？• 一种办法就是用调整股利后的股票价格来代替股票价格，即用 S0 - PV ( 股

利 ) 代替 S0 。


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例 21.3 布莱克 -斯科尔斯看跌期权定价P = Xe-rT [1-N(d2)] - S0 [1-N(d1)]

使用例 21.2 的数据 :S = 100, r = .10, X = 95, σ = .5, T = .25

我们计算得出 :$95e-10x.25(1-.5714)-$100(1-.6664) = $6.35


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P = C + PV (X) - So = C + Xe-rT - So使用例子中的数据：P = 13.70 + 95 e -.10 X .25 - 100P = $6.35

看跌期权定价 : 使用看涨 -看跌期权平价定理


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对冲 : 对冲比率或德尔塔持有不同的股票与期权以对冲价格风险。看涨期权的对冲比率 = N (d1)看跌期权的对冲比率 = N (d1) - 1期权弹性期权价格变动百分比与股票价格变动百分比的比值。

布莱尔 -斯科尔斯公式应用


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图 21.9 看涨期权价值与对冲比率


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• 购买保护性看跌期权以锁定资产组合价值下限，但其潜在的升值空间却是无限的。• 限制

– 如果使用了看跌期权的指数会产生错误追踪。– 看跌期权的期限可能非常短。– 对冲比率或德尔塔随着股票价值的改变而改变。

资产组合保险


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图 21.10 保护性看跌期权策略的利润


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图 21.11 对冲比率随股票变化而变化


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对错误定价期权的对冲赌博期权价值与波动性正相关。•如果投资者认为期权的隐含波动率很低，那么很可能会有一笔有利可图的交易。•股票价格的下降带来的利润被对冲掉了。•表现取决于期权价格和隐含波动率。


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对冲比率与德尔塔• 适当的对冲比率取决于德尔塔。• 德尔塔是期权价值的变化与股票价值的变化的比值，或者说是期权定价曲线的斜率。

德尔塔 = 期权价值的变化股票价值的变化


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例 21.6 错误定价期权的投机隐含波动率 = 33%

真正的波动率 = 35%

期权 = 60 天看跌期权价格 P= $4.495

执行价格 = $90

无风险利率 = 4%

德尔塔 = -.453


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表 21.3 对冲的看跌期权资产组合的利润


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例 21.6 小结• 随着股票价格的变化，用来计算对冲比率的德尔塔也随之变化。• 伽玛 = 德尔塔对股票价格的敏感度

– 期权伽玛类似于债券的凸性。– 对冲比率随市场条件的变化而变化。–再平衡成为必要。


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德尔塔中性• 当你在股票和期权上建立了一个头寸，该头寸根据标的资产价格的波动进行了对冲，你的资产组合就被成为德尔塔中性。

– 当股票价格波动时，该资产组合的价值并没有波动。


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表 21.4 德尔塔中性期权资产组合的利润


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期权定价的经验证据• 当股票支付高股利时，布莱克 - 斯科尔斯定价公式表现很差。• 某个股票所有相同期限的期权的隐含波动率应该相等。

– 实际上，当执行价格上升时，隐含波动率稳步下降。– 这可能与市场崩盘的恐惧有关。

第二十一章

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