第十二章

动 量 定 理

实际上的问题是： 1 、联立求解微分方程 ( 尤其是积分问题 )

非 常困难。

2 、大量的问题中，不需要了解每一个质 点的运 动 , 仅需要研究质点系整体的运 动情况。

动力学普遍定理概述对质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。

对质点系动力学问题： 理论上讲， n 个质点列出 3n 个微分方 程， 联立求解它们即可。

从本章起 , 将要讲述解答动力学问题的其它方法 , 主要讨论的是动力学普遍定理 ( 包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理 ) 。

它们以简明的数学形式， 表明两种量 —— 一种是同运动特征相关的量 ( 动量、动量矩、动能等 ) ，一种是同力相关的量 ( 冲量、力 矩、功等 ) —— 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。

本章将研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式——质心运动定理。

一 . 质点系的质心 ⒈ 定义 质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。

§12-1 质点系的质心 内力与外力

)( imM

iiCii

C rmrMM

rmr 或

则设 ,kzjyixr cccc

Mzm

zM

ymy

Mxm

x iiC

iiC

iiC

, ,

⒉ 质心 C 点的坐标公式

在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。

所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。 对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：

。或 0)( 0)( ;0 )()()( iix

iiO

ii FmFmF

二、质点系的内力与外力

所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。⒈ 外力

⒉ 内力

§12-2 动量与冲量

一、动量 1. 质点的动量 质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是瞬时矢量，

方向与 v 相同。单位是 kgm/s 。 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。

例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。

2. 质点系的动量质点系中所有各质点的动量的矢量和。

Cii vMvmp ) ( 求导Cii rMrm

CCzzCCyyCCxx zMMvpyMMvpxMMvp , ,

⒊ 刚体系统的动量

设第 i 个刚体 则整个系统：cii vm

Ciivmp

CiiCiziz

CiiCiyiy

CiiCixix

zmvmp

ymvmp

xmvmp

质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：

解 : 曲柄 OA ：滑块 B ：

连杆 AB ：

[ 例 1] 曲柄连杆机构的曲柄 OA 以匀 转动，设 OA=AB=l , 曲柄 OA 及连杆 A

B 都是匀质杆 , 质量各为 m , 滑块 B 的质量也为 m 。求当 = 45º 时系统的动量。

321 CCC vmvmvmp

mlvm C 2

11

mlmlvm ABC 2

5

2

5 2

mlvm C 2 3

mlml

lllm

mvmvmvp CCCx

22210

3

2

5

2

2

2

1

22

545

2

1

321

)(

)cossin[(

cossin

ABlPC ;2

52

（ P 为速度瞬心，　　

)

mlml

llm

mvmvp CCy

2

2

10

1

2

5

2

2

2

1

2

545

2

1

21

)(

)sincos(

sincos

mlppp yx 2

3422

17

1

17

4

p

p

p

p yx cos,cos

⒉ 变力　的冲量（包括大小和方向的变化）

　　　　元冲量 : 　　　　　 冲量：

F

dtFId

2

1

t

tdtFI

二．冲量　 力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得到同样的总效应。

)( 12 ttFI ⒈ 常力　的冲量F

2

1

2

1

2

1

t

t

t

t

t

t

z y xZdt I Ydt I Xdt I , ,

⒊ 合力的冲量

等于各分力冲量的矢量和．

i

t

t

t

t

t

t

R IdtFdtFdtFI2

1

2

1

2

1

冲量的单位： m/skg sm/skg sN 2 与动量单位同．

§12-3 　动量定理一．质点的动量定理

FvmdtdF

dtvdmam )(

在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量。

IddtFvmd )(

IdtFvmvmt

t

2

1

12

质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力—质点的动量定理。

⑴ 微分形式

质点动量的微分等于力的元冲量。⑵ 积分形式

⒈ 矢量形式

⒉ 投影形式Xmv

dt

dx )(

Ymvdt

dy )(

Zmvdt

dz )(

2

1

12

t

t

xxx XdtImvmv

2

1

12

t

t

yyy YdtImvmv

2

1

12

t

t

zzz ZdtImvmv

⒊ 质点的动量守恒　若　　　，则　　　常矢量，质点作惯性运动　若　　　，则　　　常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动

0F

0xF

vmxmv

二．质点系的动量定理　　　　　　　　　

)()()( ei

iiii FFvm

dtd

)0( )( )()( i

i

ei

iiii FFFvm

dtd 而对整个质点系：

对质点系内任一质点 i ，⒈ 矢量形式

质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。

质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。

　在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和。

⑵ 积分形式

⑵ 微分形式

)()( ei

ei IddtFpd

)(eiIpp 12

)(e

iFdt

pd 质点系的动量定理

　

⒉ 投影形式

)(ex Xidtdp

)(ey Yidt

dp

)(ez Zidtdp

2

1

)()(12

t

t

ei

exx dtXIixpp

2

1

)()(12

t

t

ei

eyy dtYIiypp

2

1

)()(12

t

t

ei

ezz dtZIizpp

⒊ 质点系的动量守恒若　　　　　则　　　　　　常矢量。若　　　　　则　　　　　　常量。　

,0)(

e

iF

,0)( eiX

iivmp

ixix vmp

只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。

[ 例 2] 已知砂子以恒质量流率 设以近似匀速 流入车厢内，与此同时，车厢在水平常力 F 的作用下由静止开始运动。求向车厢内输送了质量为 m 的

砂子时，车厢的速度 v 和轨道给车厢的平均法向反力 N 。车厢的质量为 M 。

skgm smu

解：① 取车厢和质量为m 的砂子组成的质点系为研究对象；

② 受力分析如图； ③ 取 Oxy 直角坐标轴；

④ 根据动量定理求解：

0

0

21

21

yy

xx

pmup

vmMpp )(

2

1

2

1

12

12

t

t

eyy

t

t

exx

dtYpp

dtXpp

)(

)(

由动量定理：

dtmgMgNmu

dtFvmM

t

t

)()(0

0)(

0

0

m

mgmM

m

mNtgmMtNmu

m

mFtFvmM

)()(

)(

umgmMNmmM

Fmv

)(;

)(解得：

[ 例 3] 质量为 M 的大三角形柱体 , 放于光滑水平面上 , 斜面上另放一质量为 m 的小三角形柱体 , 求小三角形柱体滑到底时 , 大三角形柱体的位移。

0)( axmvvM

解：选两物体组成的系统为研究对象。受力分析， ,0)(e

iX xp水平方向 常量。

由水平方向动量守恒及初始静止；则0)()( vvmvM rx

)( bamM

mSmM

mS rx

小三角块相对大三角块速度为 ，rv

ra vvv

v设大三角块速度

则小三角块

运动分析，

m

mMS

Sm

mMv

v rxrx

§12-4 　质心运动定理

将　　　　 代入到质点系动量定理，得CvMp )(

)(e

iC FvMdtd

若质点系质量不变，

则　　　　　　 或)(e

iC FaM )(eiC FrM

上式称为矢量形式的质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。

一．质心运动定理

⒈ 矢量形式

;0

,

,

)(

)(

)(

eib

einCn

eiC

F

FMa

FMa

;0

,

,

)(

)(2

)(

eib

ein

C

ei

F

Fv

M

Fdt

dvM

或⑵ 自 然坐标形式 ：

⑴ 直角坐标形式 ： ;

,

,

)(

)(

)(

eiCz

eiCy

eiCx

ZMa

YMa

XMa

;

,

,

)(

)(

)(

eiC

eiC

eiC

ZzM

YyM

XxM

或

⒉ 投影形式

)(

)(

)(

eiCiiCizi

eiCiiCiyi

eiCiiCixi

Zzmam

Yymam

Xxmam

⒊ 刚体系统质心运动定理投影形式

质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系， 无论它作什么形式的运动， 质点系质心的运动可以看成为一个质点

⒋ 讨论

只有外力才能改变质点系质心的运动 , 内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。

的运动， 并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上， 所有外力也集中作用在质心这个点上。

在定向爆破中，爆破时质系中各质点的运动轨迹不同，但质心的运动轨迹近似一抛物线，由此可初步估计出大部分物块堆落的地方。

P

v

汽车行驶是靠车轮与路面的摩擦力。发动机内气体的爆炸力，对汽车来说是内力。图中所示作用于 汽车后轮的摩擦力 F

1 ，称为汽车行驶的牵引力或驱动力。

三． 质心运动定理可求解两类动力学问题　⒈ 已知质点系质心的运动 , 求作用于质点系的外力 ( 包括约束反力 ) 。　⒉ 已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。

　⒉ 若　　　　　则　　　　　 常量，质心沿 x 方向速度不变；若存在　　　 则　 　常量，质心在 x 轴的位置坐标保持不变。

,0)( eiX CxCx va , 0

00 Cxv Cx

二． 质心运动守恒定律

　⒈ 若　　　　，则　　　　 常矢量，质心作匀速直线运动； 若开始时系统静止，即　　　 则　　常矢量 , 质心位置守恒。

0)(e

iF CC voa ,

00 Cv Cr

解 : ⑴ 研究整个电动机质点系；

⑵ 受力分析如图示；⑶ 取 O1x y 直

角坐标轴；⑷ 运动分析：定子静止，

转子以角速度 作匀速转动。 ⑸ 根

据质心运动定理求解：

[ 例 4] 电动机的外壳固定在水平基础上，定子重为 P1, 转子重

为 P2 , 转子的轴通过定子的质心 O1, 但由于制造误差 , 转子的

质心 O2 到 O1 的距离为 e 。求转子以角速度 作匀速转动时，

基础作用在电动机底座上的约束反力。

定子质心 O1 的坐标为 x1=0 ， y1=0

转子质心 O2 的坐标为 x2= ecost ，y2= esint ， 电动机质心 C 的坐标为

21

2

21

2211

21

2

21

2211

sin

cos

PP

teP

PP

yPyPy

PP

teP

PP

xPxPx

C

C

质心 C 加速度在 x 、 y 轴上的投影为

21

22

21

22 sin

,cos

PP

tePy

PP

tePx cC

可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。

, )()( eiCCy

eiCCx YyMMaXxMMa 由

212221

2221

sin

cos

PPNteg

Py

g

PP

Nteg

Px

g

PP

yC

xC

有：

teg

PPPN

teg

PN

y

x

sin

cos

2221

22

解得：

321

332211

321

332211 '''

mmm

xmxmxm

mmm

xmxmxm

　解：取起重船，起重杆和重物组成的质点系为研究对象。　

0 ii xP

[ 例 4] 浮动起重船 , 船的重量为 P1=200kN, 起重杆的重量为P2=10kN, 长 l=8m ，起吊物体的重量为 P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆 OA 与铅直位置的夹角为 1=6

0º, 水的阻力不计 , 求起重杆 OA 与铅直位置成角 2 =30º 时船的位移。受力分析如图示，　　　　，且初始时系统静止，所以系统质心的位置坐标XC保持不变。

0)(eiX

0ii xm

船的位移 x １，杆的位移,2/)sin(sin 2112 lxx

重物的位移

lxx )sin(sin 2113

0]/)sin(sin[]2/)sin(sin[ 2113211211 lxPlxPxP

)sin(sin)(2

221

321

321

lPPP

PPx

)30sin60(sin8)2010200(2

20210

m 318.0

计算结果为负值，表明船的位移水平向左。

0 ii xP 0ii xm