6.2 函数 y=a(x-m)²

与 y=ax²+h （ a≠0 ）图像的性质

学习目标：• 会通过函数 y=ax² （ a≠0 ）的图像平

移得到函数 y=a(x-m)² 与 y=ax²+h （ a≠0 ）的图像

• 掌握并会运用函数 y=a(x-m)² 与 y=ax²+h （ a≠0 ）图像的性质

一、用五点作图法作出函数 y=x² 、 y=x²+3 、 y= （ x-2 ） ² 的图像

x ... -2 -1 0 1 2 ...

y=x² ... 4 1 0 1 4 ...

y=x²+3 ... 7 4 3 4 7 ...

解： 1 、列表 2 、描点 3 、连线

x ... 0 1 2 3 4 ...

y=(x-2)² ... 4 1 0 1 4 ...

y=x²

y=x²+3

y=(x-2)²

问：上面三个函数图像的开口大小一样吗？ 一样

这三个函数图像通过怎样的变换能互相重合？

思考：为何这两张表要分下来列？

平移

y=x²y=x²+3

y=x²-2

y=(x-2)²y=(x+3)² (0,3)

(0,-2)

(2,0)

x=2

(-3,0)

x=-3

性质：1 、开口方向2 、顶点坐标3 、对称轴4 、最值5 、增减性

发现： 1 、上下移只改变顶点坐标，其它不变。左右移只有开口方向不变，其它都变。2 、顶点横坐标的值与对称轴一致平移法则：括号内加减左

右移，括号外加减上下移。

二、赏析 1

性质：1 、开口方向2 、顶点坐标3 、对称轴4 、最值5 、增减性

平移法则： 减 右移，括号外加减上下移。

y=ax²

y=a(x-m)²(m>0)y=a(x+m)²(m>0)

y=ax²+h(h>0)

y=ax²-h(h>0)

三、赏析 2

括号内加 左

四、说一说：• 函数 y=a(x-m)² （ a≠0 ）的图像是怎么通过

函数 y=ax² （ a≠0 ）的图像平移得到的？当 m>0 时，抛物线 y=ax² 向右平移 |m| 个单位得到抛物线 y=a(x-m)²当 m<0 时，抛物线 y=ax² 向左平移 |m| 个单位得到抛物线 y=a(x-m)²

• 函数 y=ax²+h （ a≠0 ）的图像是怎么通过函数 y=ax² （ a≠0 ）的图像平移得到的？

当 h>0 时，抛物线 y=ax² 向上平移 |h| 个单位得到抛物线 y=ax²+h

当 h<0 时，抛物线 y=ax² 向下平移 |h| 个单位得到抛物线 y=ax²+h

平移法则：括号内加减左右移，括号外加减上下移。

试一试：• 说一说函数 y=a(x-m)²

（ a≠0 ）图像的性质

性质：1 、开口方向

2 、顶点坐标

3 、对称轴

4 、最值

5 、增减性xO

y

(m,0)

直线 x=m

向下（ ,0 ）m直线 x= m

当 x= 时，y(max)=0

m

当 x < 时 x ↗ y ↗

当 x> 时 x y ↗ ↘

x>mm

mx<m

怎么算的？

五、函数 y=a(x-m)² 与函数 y=ax²+h 的图像性质 (a≠0)

函数 开口方向

顶点坐标 对称轴 最值 增减性

y=a(x-m)²(a≠0)

a>0

a<0

y=ax²+h(a≠0)

a>0

a<0xO

y

xO

y

xO

y

xO

y

向上

向上

向下

向下

(m,0)

(m,0)

(0,h)

(0,h)

直线x=m

直线x=m

y 轴（直线x=0 ）

y 轴（直线x=0 ）

当 x=m 时 y(min)=0

当 x=m 时y(max)=0

当 x=0 时y(min)=h

当 x=0 时y(max)=h

当 x<m 时 x↗y↘

当 x>m 时 x↗y↗

当 x<m 时 x y↗ ↗

当 x>m 时 x y↗ ↘

当 x<0 时 x y↗ ↘

当 x>0 时 x y↗ ↗

当 x<0 时 x y↗ ↗

当 x>0 时 x y↗ ↘

六、巩固练习：1 、下列选项中哪一个函数图像是 y=ax²+h （ a≠

0 ）的图像（ ）

xxx xDCBA

yy y y

C

2 、下列选项中哪一个函数图像是 y=a(x-m)² （ a≠0 ）的图像（ ）

xxx xDCBA

yy y y

A

3 、下列选项中哪一个正确地描绘出函数 y=ax²+h 与 y=ax+h （ a≠0 ）的图像（ ）

xxx x oooO

DCBA

yy y y

C

4 、在草稿纸上画出抛物线 y=-2x²-1 和 y=-2(x-1)² 的示意图。5 、函数 y=-4x²-5 的图像开口向 _____ ，顶点坐标为_____ ，对称轴为 ____ ，当 x=____ 时， y （ ） =____ 。

2

1

6 、函数 y=3(x-4)² 的图像开口向 _____ ，顶点坐标为_____ ，对称轴为 ____ ，当 x=____ 时， y （ ） =____ 。

7 、将抛物线 y=-4x² 向上平移 3 各单位得到 ____ ， 将抛 物线 y=x² 向 ____ 平移 ____ 个单位得到抛物线 y=(x-4)² 。

8 、将抛物线 y=-2(x+3)² 向 ____ 平移 ____ 个单位得到抛 物线 y=-2x² 。

9 、若函数 y=3x²+ （ 4m-1 ）的顶点坐标为（ 0,1 ） , 则 m=__ 。

若函数 y=-2(x+m)² 的顶点坐标为（ -2,0 ），则 m=____ 。

下

（ 0 ， -5 ） 直线 x=0 0 max -5

上

（ 4,0 ） 直线 x=4 4 min 0

y=-4x²+3

右 4

右 3

2

（ 0 ， 4m-1 ）

(-m,0)

10 、将函数 y=ax² （ a≠0 ）向上平移 2 个单位后经过 （ 2,4 ）点，则平移后的函数解析式为 ____

_ 。11 、写一个与 y=-2x²+1 顶点相同，形状相同，开口相反的抛物线 _____ 。 写一个顶点为（ 0 ， -1 ），开口向下的抛物线 _____ 。 写一个顶点为（ -2,0 ），开口向上的抛物线 _____ 。 写一个对称轴为 x=-4 ，开口向上的抛物线 _____ 。

12 、抛物线 y=-2(x+4)² 与 y=-2x²+4 具有一个共同的 性质为 _____ 。13 、已知抛物线 y=3(x+m)² 的对称轴为 x=-4, 则 m=_____ 。

14 、若直线 y=3x+m 经过第一、三、四象限，则抛物线 y=(x-m)² 顶点在 _____ 。

15 、将抛物线 y=-2x² 不动，把 x 轴向上平移 2 个单位， 那么在新坐标系下抛物线解析式为 _____ 。

y=1

2x2+2

y=2x²+1

y=-2x²-1

y=3(x+2)²

y=3(x+4)²

开口相同

4

y=ax²+2

x=-m

m<0(m,0)

x 轴的负半轴上

y=-2x²-2

xx=-2

(-1,1)

o

y

16 、如图，已知此抛物线的对 称轴为 x=-2, 且经过点 （ -1,1 ），则此抛物线的 解析式为 _____ 。

解：设此抛物线的解析式 为 y=a(x-m)²(a≠0)

因为抛物线的对称轴为 x=-2

所以 m=-2

所以 y=a(x+2)²

把（ -1,1 ）代入得：1=a(-1+2)²解得： a=1

所以此抛物线的解析式为 y=(x+2)²

17 、如图， y1 为抛物线， y2 为直线，两图像相交于 A 、B 两点，则：

当 ______ 时 y1>y2

当 ______ 时 y1=y2

当 ______ 时 y1<y2x>1 或 x<-3_

x=1 或 x=-3

-3<x<1

x

y2

y1

(-3,-1)

(1,3)

o

B

A

y

你能求出 y1 的解析式吗？解解看

七、回顾目标：• 会通过函数 y=ax² 的图像平移得到函

数 y=a(x-m)² 与 y=ax²+h （ a≠0 ）的图像

• 掌握并会运用函数 y=a(x-m)² 与 y=ax²+h （ a≠0 ）图像的性质

八、小结与思考本节课学习了哪几种函数图像的性质？平移法则是什么？

本节课收获了哪些数学思想方法？

本节课有没有不懂得问题？