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UNPRG – ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

MECANICA DE FLUIDOS II – HARDY CROSS

2012-0

1

MÉTODO DE HARDY CROSS PARA LA DETERMINACIÓN DEL REPARTO

DE CAUDALES EN LAS REDES DE DISTRIBUCIÓN DE AGUA

Hardy Cross, nació en 1885 en Virginia, fue un ingeniero de estructuras y

creador del método de cálculo de estructuras conocido como método de Cross

o método de distribución de momentos, concebido para el cálculo de grandes

estructuras de hormigón armado. Este método fue usado con frecuencia entre

el año 1935 hasta el 1960, cuando fue sustituido por otros métodos. El método

de Cross hizo posible el diseño eficiente y seguro de un gran número de

construcciones de hormigón armado durante una generación entera.

Además también es el autor del método de Hardy Cross para modelar redes

complejas de abastecimiento de agua. Hasta las últimas décadas era el método

más usual para resolver una gran cantidad de problemas.

HARDY CROSS



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PRIMEROS AÑO DE HARDY CROSS

Obtuvo el título de Bachillerato de Ciencia en ingeniería civil del Instituto de

Tecnología de Massachusetts en 1908, y después ingresó en el departamento

de puentes de los Ferrocarriles del Pacífico de Missouri en St. Louis, donde

permaneció durante un año. Después volvió a la academia de Norfolk en 1909.

Un año después de su graduación estudió en Harvard donde obtuvo el título de

MCE en 1911. Hardy Cross desarrolló el método de distribución de momentos

mientras trabajaba en la universidad de Harvard. Luego trabajó como profesor

asistente de ingeniería civil en la universidad de Brown, donde enseñó durante

7 años. Después de un breve regreso a la práctica de ingeniería en general,

aceptó un puesto como profesor de ingeniería estructural en la Universidad de

Illinois en Urbana-Champaign en 1921. En la Universidad de Illinois Hardy

Cross desarrollo su método de distribución de momentos e influyó en muchos

jóvenes ingenieros civiles. Sus estudiantes en Illinois tuvieron con él un duro

momento argumentando porque él era difícil de escuchar.

MÉTODO DE CROSS PARA REDES DE AGUA

Otro método de Hardy Cross es famoso por modelar flujos de Red de

abastecimiento de agua potable. Hasta décadas recientes, fue el método más

común para resolver tales problemas.

El recibió numerosos honores. Entre ellos tuvo un grado Honorario de Maestro

de Artes de la Universidad Yale , la medalla Lamme de la Sociedad Americana

para Educación en Ingeniería (1944), la medalla Wason del Instituto Americano

del Concreto (1935), y la medalla de oro del Instituto de Ingenieros

Estructurales de Gran Bretaña (1959).



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MÉTODO DE HARDY CROSS EN REPARTO DE CAUDALES EN UNA RED

El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el

cumplimiento de dos principios o leyes:

Ley de continuidad de masa en los nudos;

Ley de conservación de la energía en los circuitos.

El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida

de carga o de "pérdida" de energía, bien sea la ecuación de Hazen Williams o,

bien, la ecuación de Darcy Weisbach.

La ecuación de Hazen Williams, de naturaleza emp írica, limitada a tuberías de

diámetro mayor de 2", ha sido, por muchos años, empleada para calcular las

pérdidas de carga en los tramos de tuberías, en la aplicación del Método de

Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de

rugosidad, C, de la superficie interna de la tubería, lo cual hace más simple el

cálculo de las "pérdidas" de energía.

La ecuación de Darcy Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal,

casi nunca se ha empleado acoplada al método de Hardy Cross, po rque

involucra el coeficiente de fricción, f, el cual es función de la rugosidad, k, de la

superficie interna del conducto, y el número de Reynolds, R, de flujo, el que, a

su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo

en las tuberías.

Como quiera que el Método de Hardy Cross es un método iterativo que parte

de la suposición de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de

Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un

valor particular, Q, en cada iteración se deben calcular los caudales actuales

o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el cálculo de los valores de R

y f de todos y cada uno de los tramos de tuberías de la red, lo cual sería

inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a uña" con una calculadora

sencilla. Más aún, sabiendo que el cálculo del coeficiente de fricción, f, es

también iterativo, por aproximaciones sucesiva.



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Lo anterior se constituía, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizador, no

obstante ser la manera lógica y racional de calcular las redes de tuberías.

Hoy, esto será no sólo posible y fácil de ejecutar con la ayuda del programa en

lenguaje BASIC, sino también permitirá hacer modificaciones en los diámetros

de las tuberías y en los caudales concentrados en los nudos, y recalcular la red

completamente cuantas veces sea conveniente.

FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE HARDY CROSS

El método se fundamenta en las dos leyes siguientes:

1. Ley de continuidad de masa en los nudos: "La suma algebraica de los

caudales en un nudo debe ser igual a cero"

∑(𝑄𝑖𝑗 + 𝑞𝑖) = 0

𝑚

𝑗−𝑙

Donde:

Qij: Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo.

qi : Caudal concentrado en el nudo i

m : Número de tramos que confluyen al nudo i.

2. Ley de Conservación de la energía en los circuitos: "La suma algebraica

de las "pérdidas" de energía en los tramos que conforman un anillo

cerrado debe ser igual a cero".

∑ ℎ𝑓𝑖𝑗 = 0

𝑛

𝑖=𝑙,𝑗=𝑙

Donde:

hf ij : Pérdida de carga por fricción en el tramo

n : Número de tramos del circuito i



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CÁLCULO DE REDES DE TUBERÍAS

En esta actividad se va a resolver la red de tuberías mostrada, utilizando el

método Hardy-Cross.

Datos del problema:

Longitud de cada tramo: 1000 m.

Diámetro interior de las tuberías: 400 mm.

Fluido transportado: agua.

Viscosidad cinemática: 1e-6 m2/s.



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Descripción del método:

1°) = Numerar los tramos de tuberías y asignarles un sentido (esta elección es

arbitraria). Este paso ya se ha hecho en el dibujo.

2°) = Elegir las mallas y un sentido de recorrido (ya hecho en el dibujo).

3°) = Asignar un valor numérico a cada caudal de forma que se cumpla la

conservación de la masa en cada nodo. El signo del caudal es negativo si se

opone al sentido de recorrido de la malla.

4°) = Calcular el coeficiente C i de cada línea: , donde Ki es el

coeficiente de pérdidas de carga lineales . Se recomienda calcular el

coeficiente de fricción con la fórmula aproximada .

5°) = Calcular la corrección a los caudales de cada malla: .

6°) = Aplicar la corrección de cada malla a los caudales que la componen. En el

caso de que un caudal pertenezca a dos mallas, la corrección de otras mallas

tendrá signo negativo si el recorrido de la malla tiene distinto sentido que en la

primera malla. Esta situación ocurre con la línea 1.

7°) = Repetir la iteración.

22

ii

KC

A

i

LK f

D

2.5

1.02 logRef

0.5i i i

i i

C Q QQ

C Q



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EJERCICIOS

Ejercicio 1:

Desarrollar la expresión empleada en el estudio de de los caudales en redes de

tubería:

Solución:

El método del cálculo, por Hardy Cross consiste en suponer unos caudales en

todas las ramas de la red y a continuación hacer un balance de las pérdidas de

carga calculadas. En el laso o circuito único, mostrado en la figura 10, para que

los caudales en cada laso de la rama sean el correcto se habrá de verificar

Para aplicar esta expresión, la pérdida de carga en función del caudal habrá

que ponerse en la forma, 𝐻𝐿 = 𝑘𝑄𝑛 . En el caso de utilizar la formula de Hazen

Williams, la expresión anterior toma la forma 𝐻𝐿 = 𝑘𝑄1.85 .

Como se suponen unos caudales 𝑄0 , el caudal verdadero 𝑄 en una tubería

cualquiera de la red puede expresarse 𝑄 = 𝑄0 + ∆, donde ∆ es la corrección

que habrá de aplicarse a 𝑄0 . Entonces mediante el desarrollo del binomio,

𝑘𝑄1.85 = 𝑘(𝑄0 + ∆)1.85 = 𝑘(𝑄01.85 + 1.85𝑄0

1.85−1∆ + ⋯ )

Se desprecian los términos a partir del segundo pro ser tan pequeños ∆

comparado con 𝑄0 .

Para el laso o circuito mostrado en la figura, al sustituir en la ecuación (I) se

obtine:

Qo

Qo

A B

CD



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𝑘(𝑄01.85 + 1.85𝑄0

0.85 ∆) − 𝑘(𝑄01.85 + 1.85𝑄0

0.85 ∆) = 0

𝑘(𝑄01.85 + 1.85𝑄0

1.85 ) + 1.85𝑘(𝑄00.85 + 1.85𝑄0

0.85 )∆= 0

Despejando ∆.

∆= −𝑘(𝑄0

1.85 + 1.85𝑄01.85)

1.85𝑘(𝑄00.85 + 1.85𝑄0

0.85 )

En general para un circuito más complicado se tiene:

∆= −∑ 𝑘𝑄0

1.85

1.85 ∑ 𝑘𝑄00.85

… … … (3)

Pero 𝑘𝑄01.85 = 𝐻𝐿 y 𝑘𝑄0

0.85 =𝐻𝐿

𝑄0 por lo tanto,

∆= −∑(𝐻𝐿)

1.85 ∑ (𝐻𝐿𝑄0

)… … … (4)

Ejercicio 2:

En el sistema de tuberías en paralelo, mostrado en la fig. 2, determinar, para

𝑄 = 456 𝑙 𝑠⁄ , los caudales en los dos ramales del circuito utilizado en el método

de Hardy Cross.

Solución:

Se supone que los caudales 𝑄30 𝑦 𝑄40. Son iguales, respectivamente, a 150 𝑙 𝑠⁄

y 306 𝑙 𝑠⁄ los cálculos se realizan en la tabla que sigue (obsérvese que se ha

puesto 306 𝑙 𝑠⁄ ), procediendo asi se calculan los valores de S mediante el

Diagrama B, o por cualquier otro procedimiento, luego 𝐻𝐿 = 𝑆 ∗ 𝐿 y a

continuación se determinan 𝐻𝐿

𝑄0 . se notara que cuanto mayor sea ∑ 𝐻𝐿 más

alejados de los correctos estarán los caudales 𝑄. (los valores de 𝑄 se han

1500m - 30cm D

C1 = 120

900m - 40cm D

C1 = 120

WQ Z Q



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elegido deliberadamente distintos de los correctos para que den lugar a valores

grandes de ∑ 𝐻𝐿 y así ilustrar en el procedimiento.)

D

cm

L

m

𝑄0

supuesto

𝑙 𝑠⁄

𝐻𝐿

m

𝐻𝐿

𝑄0

∆ 𝑄1

30

40

1500

900

150

-306

25.5

-14.4

0.170

0.046

-27.8

-27.8

122.2

-333.8

∑ = 456 ∑ = +11.16 0.216 456

∆= −∑(𝐻𝐿)

1.85 ∑ (𝐻𝐿𝑄 )

= −+11.16

1.85(.216)= −27.8 𝑙 𝑠⁄

Entonces, los valores de 𝑄1 serán (150 − 27.8) = 122.2 𝑙 𝑠⁄ y (−306 − 27.8 =

−333.8) 𝑙 𝑠⁄ . Repitiendo de nuevo el proceso de cálculo:

𝐻𝐿 𝐻𝐿

𝑄1

∆ 𝑄2

16.5

-17.1

0.135

0.051

+3.2

+3.2

125.4

330.6

∑ = +0.6 0.186 456

No es necesario hacer una nueva aproximación ya que el diagrama B no puede

conseguirse una mayor precisión de 3l/s aproximadamente. Teóricamente, HL

deberían ser igual a cero, pero esta condición se obtiene muy raramente.

Se observa que el caudal que fluye por la tubería de 30cm era el 26,4% de

456l/s, es decir, 120.4l/s lo que constituye una comprobación satisfactoria.



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10

Ejemplo 3.- Para la red mostrada en la figura calcular el gasto en cada ramal.

Considerar H C = 100 en todas las tuberías.

Solución. Para la solución de esta red vamos a aplicar el método de Hardy

Cross. La ecuación de descarga en cada tubería es.

1.85

fh KQ

5

1.85 7,866

1,72 10

H

x Lk

C D

Estas ecuaciones corresponden a la fórmula de Hazen y Williams, que es la

que utilizaremos, dado que el coeficiente de resistencia está en los datos

referido a dicha fórmula. Si éste no fuera el caso se utilizaría las ecuaciones

correspondientes. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada uno

de los cuales consideramos como sentido positivo el correspondiente al sentido

contrario de las agujas del reloj. Esto es puramente convencional y podría ser

al contrario.

Haremos también, tentativamente, una suposición con respecto a la

distribución de caudales. En consecuencia cada caudal vendrá asociado a un

signo. Habrá caudales positivos y negativos. Por consiguiente las pérdidas de

carga en cada tramo también estarán afectadas del correspondiente signo.

Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las pérdidas de carga tienen

signo. Se trata solamente de algo convencional para expresar la condición 1

que debe satisfacer una red. Se obtiene así:



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La magnitud y el sentido del caudal en cada ramal se ha escogido

arbitrariamente, cuidando tan sólo que se cumpla la ecuación de cont inuidad en

cada nudo (en valores absolutos naturalmente).

Ahora debemos hallar los valores de K en cada ramal para facilitar así el

cálculo de la pérdida de carga con los diferentes caudales que nos irán

aproximando sucesivamente a la solución final.

CIRCUITO I CIRCUITO II

BN

NM

MB

0,03367

0,02806

MB

CM

MN

NC

0,00969

0,02806

0,00830

Calculemos ahora los valores de la pérdida de carga f0 h en cada circuito

aplicando la ecuación de descarga.

CIRCUITO I CIRCUITO II

BN

NM

MB

0fh

+87.23

- 7.16

-56.35

+23.72

CM

MN

NC

0fh

-57.93

+7.16

+34.23

-16.54

Aplicamos ahora la ecuación

0

0

0

1.85

f

f

h

h

Q

Para obtener la corrección que debe aplicarse al caudal supuesto en cada

ramal. Se obtiene para cada circuito.



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12

23.72

6.31.85 2.04

Qx

16.547.1

1.85 1.26Q

x

6Q 7Q

Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hF

son los siguientes.

Calculamos nuevamente Q

5.44

1.371.85 2.15

Qx

6.12

2.281.85 1.42

Qx

1Q 2Q

Los nuevos caudales y los correspondientes valores de h f son

Calculamos ahora nuevamente la corrección Q

0.47

0.121.85 2.12

Qx

0.160.06

1.85 1.41Q

x

0Q 0Q

En consecuencia los caudales son:



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13

Estos caudales satisfacen las tres condiciones de una red.

Obsérvese que la condición 1, Σhf=0 para cada circuito es la expresión de

conceptos básicos del flujo en tuberías. Aplicada, por ejemplo, al circuito I,

debe entenderse que en realidad refleja el comportamiento de un sistema en

paralelo, tal como se ve a continuación.

Por lo tanto se debe cumplir la ecuación fundamental.

BM MN BNf f fh h h

Como efectivamente ocurre con los resultados obtenidos.

Debe cumplirse, por las mismas razones, las siguientes ecuaciones

0MC MN NCf f fh h h

BNC BMCf fh h

La condición 3 queda también satisfecha. Tomemos un ramal cualquiera (NC).

8"

100

0.6

37.83

H

f

D

C

L km

k m

2.63 0.540.00426 100 8 63.05

194.7

.

Q x x x

Qs

Valor que está dentro del error aceptado



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TABLA

CALCULOS DEL EJEMPLO 3

K aQ 0f

h 0f

h Q Q hf fh Q Q hf fh Q

BN

NM

MB

Circuito 1

0,03367

0,02806

0,00692

+70

-20

-130

87,23

-7,16

-56,35

+23,72

-6

-13

-6

+64

-33

-136

+73,91

-18,09

-61,26

-5,44

+1

+3

+1

+65

-30

-135

+76,06

-15,16

-60,43

+0,47

0

0

0

CM

MN

NC

Circuito 2

0,00969

0,02806

0,00830

-110

+20

+90

57,93

+7,16

+34,23

-16,54

+7

+13

+7

-103

+33

+97

-51,29

+18,09

+39,32

+6,12

-2

-3

-2

-105

+30

+95

-53,15

+15,16

+37,83

-0,16

0

0

0

Al aplicar el método de Hardy-Cross se sugiere realizar una tabulación como la aquí presentada, que corresponde al ejemplo 5.9.



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EJEMPLO 4.-

Resolver la malla de la figura, suponiendo los coeficientes de pérdidas de carga

k constante.

Datos:

12 1800k

23 20000k

34 1800k

14 680k

Resolución

En primer lugar, debe hacerse una suposición de caudales:

Malla I: 12 14 24350 / 650 / 110 /Q l sQ l s Q l s

Malla II: 23 34 24240 / 760 / 110 /Q l sQ l s Q l s

En primera iteración será:

Tubería Qi hpi hpi lQi ∆Q1

Malla I

1-2

1-4

2-4

2-3

0.35

-0.65

0.11

0.24

220.5

-287.3

72.6

115.2

630

442

660

4800

-0.0016

Malla II 3-4

2-4

-0.76

-0.1084

-1039.6

-70.5

1368

650.4 -0.03

Ahora se corrigen los caudales con los valores obtenidos Qi. Nótese que el

caudas Q24 en la malla II ya se ha corregido con el valor QI=-0.0016 obtenido

previamente en la malla I. A continuación se repite el proceso:



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Tubería Qi hpi hpi lQi ∆Q1

Malla I

1-2

1-4

2-4

2-3

0.348

-0.652

0.111

0.237

217.9

-289

73.9

112.3

326.4

443.3

666

4740

-0.0008

Malla II

3-4

2-4

-0.763

-0.11

-1047.9

-72.6

1373.4

660 -0.00018

La aproximación es suficiente, por tanto los valores correctos para el caudal

son los siguientes:

3

12 0.3472 /Q m s

3

14 0.6528 /Q m s

3

23 0.2368 /Q m s

3

34 0.7632 /Q m s

3

24 0.1104 /Q m s



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EJEMPLO 5.-

Se trata de analizar la red de la figura, aplicando las dos versiones del método

de Cross.

Esquema de la red de tuberías del ejemplo.

Los resultados del análisis de la red

Luego de analizar la red de la figura, aplicando los dos métodos, se obtuvieron

los resultados consignados en la figura 3 y la tabla 1.

Tabla1. Datos de la red resultados obtenidos

DATOS INICIALES DE LA RED

C = 125; k = 0.15 mm

METODO DE CROSS-

HAZEN & WILLIAMS

METODO DE CROSS-

DARCY & WEISBACH

Circuito

No. Tramo Longitud Diámetro Qinicial

No. Circuito

adyacente QDEF Hf V QDEF hf v

m pulg mm l/s l/s m m/s l/s m m/s

I

1-1 600 16 400 180 0 195.711 3.526 1.557 196.076 3.094 1.560

*1-2 300 12 300 60 2 76.268 1.251 1.079 76.358 1.077 1.080

*1-3 300 8 200 10 3 25.011 1.144 0.796 25.249 1.004 0.804

*1-4 600 12 300 -70 4 -46.509 -1.001 -0.658 -45.841 -0.809 -0.649

1-5 600 16 400 -250 0 -234.289 -4.919 -1.864 -233.924 -4.367 -1.862

å hf = 0.001 å hf = -0.001

II

*2-1 300 12 300 -60 1 -76.268 -1.251 -1.079 -76.358 -1.077 -1.080

2-2 300 12 300 70 0 69.443 1.051 0.982 69.718 0.904 0.986

*2-3 300 8 200 -10 3 -11.257 -0.261 -0.358 -11.109 -0.212 -0.354

2-4 300 12 300 45 0 44.443 0.460 0.629 44.718 0.386 0.633

å hf = -0.001 å hf = -0.001

III *3-1 300 8 200 -10 1 -25.011 -1.144 -0.796 -25.249 -1.004 -0.804

*3-2 300 8 200 10 2 11.257 0.261 0.358 11.109 0.212 0.354

3-3 300 8 200 25 0 25.700 1.203 0.818 25.827 1.049 0.822

*3-4 300 12 300 -45 4 -36.521 -0.320 -0.517 -36.091 -0.257 -0.511

å hf = 0.000 å hf = 0.000

IV

*4-1 600 12 300 70 1 46.509 1.001 0.658 45.841 0.809 0.649

4-2 300 12 300 -80 0 -87.779 -1.622 -1.242 -88.082 -1.420 -1.246

*4-3 300 12 300 45 3 36.521 0.320 0.517 36.091 0.257 0.511

4-4 300 8 200 60 0 52.221 4.469 1.662 51.918 4.050 1.653

4-5 900 8 200 -20 0 -27.779 -4.168 -0.884 -28.082 -3.695 -0.894

å hf = 0.000 å hf = -0.001

* Significa que el tramo pertenece a dos circuitos, simultáneamente.

CONCLUSIONES

Si bien la ecuación de Hazen & Williams es muy práctica en el

cálculo de las pérdidas de carga en tuberías, deja también un poco

de inconformidad en cuanto que el coeficiente de resistencia, C,

permanece constante, aún con las variaciones del caudal y del

número de Reynolds.

Como consecuencia de lo anterior, las "pérdidas" de energía por

fricción, hf, serán sobreestimadas en comparación con las calculadas

con la ecuación de Darcy Weisbach.

Así mismo, el dimensionamiento de una red determinada, analizada

con el Método de Cross y la ecuación de Hazen & Williams,

conduciría a la especificación de diámetros mayores que los que se

obtendrían si se aplicara el mismo método con la ecuación de Darcy

& Weisbach. Ello se comprobaría cuando, de cumplir requerimientos

de cargas de presión mínima y máxima, se trata.

RECOMENDACIONES

Se recomienda la difusión y el uso más generalizado del Método de

Cross con la ecuación de Darcy Weisbach, en conjunción con la

ecuación de Colebrook White.

Es más confiable un valor de k que el correspondiente a C.

El valor del coeficiente de viscosidad cinemática, v, debe introducirse

lo más acertado posible, es decir, para una temperatura del agua lo

más real posible.

BIBLIOGRAFIA

Mecánica de fluidos II de F Ugarte

Buscador google

Mecánica de los fluidos y hidráulica de Ronald V. Giles

Hidráulica de canales de Arturo Rocha

97618305 inf-hardy-cross

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