CALCULO DE REDES DE TUBERIAS

METODO DE HARDY CROOSSCURSO : MECANICA DE

FLUIDOSING: ANGEL LUIS ROSALES

RIVERA

Una red cerrada de tuberías es aquella en la cual los conductos o tuberías que la componen se ramifican sucesivamente, conformando circuitos o anillos cerrados.

El análisis de una red cerrada de tuberías conduce al planteamiento de un sistema de ecuaciones no lineales, de solución muy laboriosa, que solamente es posible resolver por métodos de aproximaciones sucesivas, uno de los cuales es el Método de Hardy Cross.

EL MÉTODO DE HARDY CROSSGENERALIDADES

El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el cumplimiento de dos principios o leyes:

•Ley de continuidad de masa en los nudos; •Ley de conservación de la energía en los circuitos.

El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida de carga o de "pérdida" de energía, bien sea la ecuación de Hazen & Williams o, bien, la ecuación de Darcy & Weisbach.

FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE HARDY CROSS

El método se fundamenta en las dos leyes siguientes:

1. Ley de continuidad de masa en los nudos: "La suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual a cero"

Donde,Qij : Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo.

qi : Caudal concentrado en el nudo i

m : Número de tramos que confluyen al nudo i.

(1)

2. Ley de Conservación de la energía en los circuitos: "La suma algebraica de las "pérdidas" de energía en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero".

donde,

hf ij : Pérdida de carga por fricción en el tramo Tij.

n : Número de tramos del circuito i

(2)

ECUACIONES BÁSICAS

La ecuación de Hazen & Williams originalmente expresa:

Donde, V : Velocidad del flujo, m/s.C : Coeficiente de rugosidad de Hazen & Williams, adimensional.D : Diámetro de la tubería, m.Sf : Pérdida unitaria de carga (m/m).

(3)

(4)

Por continuidad:Q = V*A

Luego:

De la cual resulta:

Donde,Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.L : Longitud del tramo de tubería, m.hf : Pérdida de carga, m.

(5)

(6)

La ecuación anterior se puede transformar de tal manera que el diámetro se exprese en pulgadas y el caudal en l/s, obteniéndose la siguiente ecuación.

(7)

Haciendo:

(8)

Resulta:

(9)

La ecuación de Darcy & Weisbach expresa, en términos de velocidad del flujo, la siguiente:

Haciendo;

donde f es el coeficiente de fricción, de Darcy y en términos del caudal, expresa:

(10)

(11)

Resulta:

(12)

(13)

En general, la ecuación de pérdidas de carga por fricción expresa:

Donde,r : Coeficiente de resistencia, cuyo valor depende del tipo de ecuación empleada para el cálculo.n : Exponente del caudal, que depende la ecuación de resistencia empleada.n : 1.851, según la ecuación de Hazen & Williams.n : 2.0 según la ecuación de Darcy & Weisbach.

(14)

hf

El Método de Hardy Cross corrige sucesivamente, iteración tras iteración, los caudales en los tramos, con la siguiente ecuación general:

El coeficiente de fricción, f, de las ecuaciones (10) y (11), se calcula con la ecuación de Colebrook & White, que expresa lo siguiente:

Donde:k : El coeficiente de rugosidad de la tubería, mm.D : Diámetro de la tubería, mm.R : El número de Reynolds del flujo, adimensional.

(15)

(16)

Nótese que la relación k/D, en la ecuación (16) debe ser adimensional.A su vez, el número de Reynolds, R, se calcula con la siguiente ecuación:

Donde,v : Velocidad del flujo, m/s.r : Densidad del fluido (agua), kg/m3.m : Viscosidad dinámica del fluido, kg/m.s.n : Viscosidad cinemática del fluido, m2/s.D : Diámetro del conducto, m.Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.

(17)

La ecuación (16) es una ecuación implícita para f y, por lo tanto, se resuelve iterativamente, por ensayo y error, en la subrutina 400, aplicando el Método de Newton & Raphson. Nótese que, para acelerar el cálculo de f, en esta subrutina se emplea un valor inicial de f = X0, calculado con la siguiente fórmula:

(18)

CONVENCIONES:• Los caudales Qij y sus correspondientes pérdidas de

carga, hfij, y velocidades, vij serán positivos si fluyen en sentido de las manecillas del reloj, o negativos en sentido contrario.

• La nomenclatura de los tramos Tij sólo requiere que el primer subíndice represente el número de circuito al cual pertenece. El subíndice j es un número consecutivo que inicia en 1 y termina en el número de tramos del circuito considerado. Ejemplo, el tramo T2.4 es el cuarto tramo del circuito No.2

• En la nomenclatura de los tramos no se requiere designarlos siguiendo un estricto orden consecutivo, como tampoco un sentido horario o antihorario.

• Un tramo cualquiera de la red puede pertenecer a un único circuito, o a dos, simultáneamente. En el primer caso, el número del circuito adyacente, solicitado por los programas, es cero. En el segundo caso, se entrará el número del otro circuito que lo camparte con el actual.

Algunos de los problemas más complejos del diseño de tuberías, implican el flujo de fluidos por tubos que se intersecan. Los principios aplicables a problemas de este tipo se pueden dividir en dos grupos fundamentales: 1- Tuberías cuyas líneas de corriente se separan y posteriormente

se vuelven a unir .

2- Tuberías cuyas líneas de flujo conducen desde regiones de presión y elevación conocidas y se encuentran en un punto común.

Por lo general en estos tipos de problemas se desprecian las cargas de velocidad, las pérdidas menores y las variaciones del factor de fricción con los valores de Re, mientras que los cálculos se efectúan sobre la coincidencia que existe entre las líneas de energía y el gradiente hidráulico.

Problemas sobre líneas de tuberías. Tubos múltiples.

En la ingeniería práctica un método normalizado es derivar una tubería B paralelamente a una tubería existente A, y posteriormente volver a conectarla con esta, tal como se muestra en la figura # 1.1.

Es evidente, a partir de lo explicado en el párrafo anterior, que la distribución de flujos en los ramales debe ser tal, que ocurra la misma pérdida de carga en cada uno de los ramales, pues si esto no fuera así habrían entonces más de una línea de energía para el tubo corriente arriba y corriente abajo, siendo esto una imposibilidad obvia.

(1.1)

(1.1a)

hf1 = hf2 = hf3

Las pérdidas de presión en el conducto se expresan en términos del flujo a partir de la ecuación de Darcy y la expresión volumétrica de la ecuación de continuidad, la cual se escribe como:

Donde : A es el área de la sección transversal de la tubería, en m2 determinada en conductos de sección circular como:

Sustituyendo en la ecuación de Darcy y arreglando convenientemente se obtiene:

(1.2)

Esta relación se puede generalizar escribiéndola de la siguiente forma

Donde :

(1.2 b)

(1.2 a )

Darcy

hf

hf

En la expresión (1.2-b) las pérdidas menores ocasionadas por accesorios generalmente son tratadas como longitudes equivalentes de tuberías, por tanto la expresión (1.2-b) se transformará entonces, siguiendo este criterio, en:

(1.2 c)

En esta expresiónLtub. es la longitud de las tuberías integrantes del tramo dado, en m. LEQUIV es la longitud equivalente de los accesorios, en m. La longitud equivalente de los accesorios se define como la longitud de una tubería recta y de sección transversal constante en la cual ocurre la misma caída de presión que en el accesorio, siendo expresada en m. De acuerdo a la ecuación (1.2-a) la relación (1.1) se puede expresar como:

(1.3)

(1.3 a)

La solución de las ecuaciones simultáneas (1.3) y (1.3-a), permite la predicción de la división de un régimen de flujo Q, en los regímenes de flujo QN de cada una de las tuberías, cuando se conocen sus características. La aplicación de estos principios también permite la predicción del régimen de flujo obtenible por la derivación de una línea de tubería Q y su incremento.

EJEMPLO DE APLICACIÓNSe trata de analizar la red de la figura, aplicando el método de Cross.

En la Figura, los nodos se indican con letras mayúsculas, desde la A hasta la F, los tubos individuales o ramas se presentan por números desde el 1 hasta el siete, y las mallas son mostradas enumeradas con números romanos I y II.

El método de Cross se caracteriza por las siguientes notaciones a la hora de efectuar el balaceo de la red.

1. Los flujos en las ramas son positivas cuando su rotación se efectúa en sentido dextrógiro alrededor de cada circuito, o sea que estos coinciden con la flecha indicadora, según como se indica en las mallas I y II de la figura, en el caso contrario serán negativos.

2. Los flujos se consideran positivos si estos entran a los nodos, y negativos en el caso de que salgan

Como se muestra en la figura, la malla I esta integrada por los tubos 1, 2, 3, y 4, mientras que la malla II esta constituida por los tubos 4, 5, 6 y 7

Aplicando lo expuesto se obtienen las siguientes ecuaciones para la malla I

Para el caso de la malla II, se obtiene un sistema de ecuaciones similar al anterior. Para determinar las ecuaciones desde la (1.7) hasta la (1.7-d), se han asumido las direcciones de las líneas de corriente del flujo en las ramas, aunque puede darse el caso que estas no sean las correctas y a la vez se suponen conocidas las características fundamentales de los sistemas integrantes de la red, dentro de las cuales se pueden mencionar: 1- Longitudes 2- Diámetros 3- Características hidráulicas de cada tubo 4- El caudal suministrado a la red 5- Características de las bombas instaladas 6- Distribución de la red y sus elevaciones (necesarias si se van a determinar las presiones)

Para aplicar el método de Cross, se comienza por suponer un juego de valores de gasto para cada rama Q1, Q2, etc., que satisfagan a su vez a la ecuación de continuidad, ajustado posteriormente en forma sistemática (mediante aproximaciones sucesivas), de forma que se mantenga satisfecha la continuidad, hasta que se obtengan resultados de pérdida de carga con la precisión deseada. La ventaja principal de este método consiste que en el se satisfacen automática y continuamente todas las ecuaciones de continuidad del sistema.

Vale destacar que en este método solo se deben resolver las ecuaciones de pérdidas de carga, y que el número de estas expresiones simultaneas a resolver va a ser igual al número de mallas existentes en la red.

Si en el proceso de iteraciones, el primer valor tomado es razonable, los QN regímenes de flujos verdaderos en cada rama, deberán diferir en solo en una pequeña cantidad ∆L, diferente de las suposiciones iniciales.Lo explicado en el párrafo anterior se puede representar matemáticamente mediante la siguiente expresión:

En la expresión Q N + 1 es el caudal después de la corrección, en m3/segQ N es el caudal inicial asumido, en m3/seg∆ L es el valor de la corrección, en m3/seg

(1.8)

El signo ± en la ecuación va a depender de las direcciones asumidas inicialmente para QN y de ∆L . Para mantener la continuidad se aplica a cada tubo de la malla la corrección ∆L, la cual será positiva o negativa en función del sentido de desplazamiento del fluido por el interior de las ramas. Para plasmar una idea más clara acerca del signo del coeficiente ∆L, se deben tener en cuenta dos aspectos fundamentales:

1- Cuando el momento producido por el sentido asumido para el desplazamiento del fluido no es en sentido dextrógiro (hacia la derecha) entonces ∆ es (-).

2- Cuando el momento producido por el sentido asumido para el desplazamiento del fluido es en sentido dextrógiro (hacia la derecha) entonces ∆L es (+).

Teniendo en cuenta estos dos señalamientos, y aplicando la ecuación (1.7-d), se llega a la conclusión que, en general, una ecuación de pérdidas de carga para una malla N, toma la siguiente forma:

(1.9)

Si se introduce la expresión (1.8) en la (1.9), entonces quedará:

(1.10)

Expandiendo la expresión (1.10) por el teorema del binomio y despreciando los términos que contienen productos de la corrección ∆L0, ya que inicialmente se supuso que este coeficiente es pequeño en comparación con el resto de los términos, se llega a la expresión obtenida originalmente por Cross4, la cual se formula de la siguiente manera:

(1.11)

La ecuación anterior es la empleada en este método para obtener una corrección para los valores de flujo supuestos inicialmente para cada rama en la red analizada. Debido a que en cualquier red siempre existirán tubos que son compartidos en más de una malla, y a que se despreciaron los términos más pequeños en (1.10) para obtener la ecuación (1.11). Cuando se aplica esta no se obtiene inicialmente valores de corrección que sean capaces de corregir todos los valores de flujo a su magnitud real, sino que lo que proporciona es una mejor aproximación a los valores reales.

Por tanto como se acaba de demostrar, el proceso iterativo debe continuarse, utilizando para esto los nuevos valores de flujo obtenidos a base de la última corrección aplicada, hasta que todas las magnitudes ∆L en cada malla sean lo suficientemente pequeñas, como para ser despreciadas.

En la práctica en ocasiones se encuentran casos en que dentro de la red se encuentran instaladas bombas, en ese caso el proceso sufre una modificación, ya que se requiere de una expresión que represente la curva de la carga aportada por la bomba versus la curva de capacidad. Por tanto resulta conveniente en esta situación ajustar una curva polinómica a la curva experimental reportada por el fabricante, para obtener una expresión que sea capaz de dar una aproximación lo suficientemente buena para insertarla en el proceso iterativo a desarrollar, tanto en forma manual como utilizando métodos computacionales, sin que este pierda su nivel de precisión.

Para ello se recomienda se ajuste la expresión mostrada a continuación para obtener la curva característica de carga de la bomba vs flujo:

En la expresión anterior: Ψp es la carga aproximada de la bomba bajo las condiciones de operabilidad de la red, en m. Ψp0 es la carga nominal de la bomba en el punto de máxima eficiencia, (dado por el fabricante), en m. para garantizar el nivel de precisión en el análisis se tomaran cuantos coeficientes a sean necesarios, con lo cual se coincide ya que esto es una exigencia para ajustar por regresión modelos matemáticos con alta confiabilidad estadística.

CALCULO DE REDES DE TUBERIAS

METODO DE HARDY CROOSSCURSO : MECANICA DE

FLUIDOSING: ANGEL LUIS ROSALES

RIVERA

RED CERRADA Para el cálculo hidráulico de una red cerrada existen varios métodos, entre los que se encuentran: 1. Método de Hardy Cross con balance de cabezas 2. Método de Hardy Cross con balance de caudales. 3. Método de Newton - Raphson 4. Método de teoría lineal 5. Método del gradiente hidráulico

CALCULO HIDRÁULICO DE SISTEMAS DE TUBERIAS EN RED CERRADA

En este caso se verá solamente un método de solución correspondiente al Método de Hardy Cross con balance de cabezas, en este método si la distribución de flujo asumida en principio es correcta entonces el cambio de cabeza alrededor de cualquier circuito simple cerrado sería cero. Para el caso de la figura 1, desde el nudo A hasta el nudo C, la pérdida de carga puede ser calculada como:

Si Q1 Y Q2 han sido establecidos de tal manera que el sistema esté balanceado,

h1= h2, en este caso el problema estaría resuelto. Si h1 es diferente a h2,

entonces los valores asumidos para Q1 y Q2 son incorrectos, debiendo

hacerse las correcciones sucesivas necesarias para balancear el circuito. Si

se asume la magnitud del error como c este será en exceso en un sentido de la corriente y en defecto en el otro sentido, por lo tanto se tiene:

Para considerar balancear la red se debe cumplir que:

Remplazando la ecuación de pérdidas ec. [1] y ec. [2] en ec. [5], se tiene:

Resolviendo el binomio de Newton.

Si en la primera estimación hecha resulta un ΔQ pequeño, entonces los términos que incluyen potencias de ΔQ pueden despreciarse.

Por otro lado dividiendo las ec. [1] y ec. [2] por Q1 y Q2, respectivamente,

se tiene:

Reemplazando en ec. [10], se tiene:

Despejando Δ Q .

Que generalizando se tiene:

APLICACIÓN DEL METODO La ecuación general que rige el método de Hardy-Cross, queda dada como.

Donde N es el número de tubos en cada malla, Hi es la perdida de energía en cada tubo, Qi es el caudal que pasa por cada tubo, n depende de la ecuación de pérdidas, a saber

La pérdida se la puede dar en función del caudal como la ec. [18]

(18)

Donde (ri) varía de acuerdo a la ecuación de pérdidas, si se toma la

ecuación de Hazen-Williams, se tiene ec. (3).

Donde Qi en (m3/s), Li es la longitud del tubo i en metros, CHi es el coeficiente

de fricción de HazenWilliams del tubo i, Di es el diámetro del tubo i en

metros.

EJEMPLO: Si se tiene la malla indicada en la figura 2, encontrar la distribución de caudales en cada tubo y las presiones en cada nodo, si la presión en nodo A es de 60 m.c.a. Para tubería de Asbesto-Cemento. CH=120. (ε=150 μ, nm = 0.011)

SOLUCION: Se realiza una tabla de cálculo como la indicada en el Anexo A, con el procedimiento siguiente para cada tubo.

Primer ciclo. Columna 1. Se coloca el número de la malla o ciclo. Antes hay que numerar las mallas con números romanos, (I, II, II, …)

Columna 2. Se coloca el número de tubos correspondiente a cada malla o ciclo. (Antes hay que numerar los tubos de cada malla).

Columna 3. Se coloca el diámetro (Di) de cada tubo en metros.

Columna 4. Se coloca la longitud (Li) de cada tubo en metros.

Columna 5. Se coloca coeficiente de Hazen-Williams (CHi) de cada tubo sin dimensiones.

Columna 6. Se coloca el exponente (n), según la ecuación de perdidas.

Columna 7. Se calcula el factor (r) con ecuación [19].

Columna 8. Se coloca el caudal supuesto en cada tubo, con signo positivo (+) si el caudal va en dirección de las manecillas del reloj, o negativo (-) si va en dirección contraria.

Columna 9. Se calcula las pérdidas (Hi) de cada tubo en metros con ecuación (18), en esta columna el resultado de la pérdida conserva el signo del caudal, (para el cálculo en ecuación (18), se coloca caudal positivo ya que de lo contrario genera error). Al final de cada malla de esta columna se calcula las sumatorias de las pérdidas teniendo en cuenta el signo.

Columna 10. Se calcula la relación entre la perdida y el caudal (Hi/Qi) de cada tubo en (s/m2), Al final de cada

malla de esta columna se calcula las sumatorias de esta relación. Columna 11. Se calcula el valor de ΔQ general para toda la malla, con la ecuación No [17]. Con el signo que de el cálculo de las columnas 9 y 10. Columna 12. Se calcula el valor de ΔQ para cada tubo, que para tubos no comunes entre mallas el valor es el mismo de la columna 11, pero para tubos comunes depende del método usado para calcular estos tramos como se verá más adelante. En esta columna se conserva el signo de cálculo. Columna 13. Se calcula el caudal corregido Qicorregido,

sumando con su respectivo signo las columnas 8 y 12.

TUBOS COMUNES: Se suponen los caudales de las mallas en la columna 8, y se hace todo el cálculo de la red con todas sus mallas hasta la columna 11. Para Tubos comunes el ΔQ de columna 12, se calcula como la diferencia entre el delta de la malla que se está analizando y el delta de la malla siguiente y que contiene el tramo común. En el ejemplo de Tabla A, para los tramos comunes se tiene:

Para el Tubo B-G de malla I (col 12 = 0.0119 - 0.014 = -0.0021)

Para el Tubo C-F de malla II, (col 12 = 0.014 - 0.000 = +0.0140)

Para el Tubo B-G de malla II, (col 12 = 0.014 - 0.0119 = +0.0021)

Para el Tubo C-F de malla III, (col 12 = 0.00 - 0.0140 = -0.0014)

En este cálculo el signo es el resultado algebraico de los signos involucrados.

Segundo ciclo.

En este ciclo los tubos de columna (8), toman los caudales del primer ciclo, (columna 13), y se repite el cálculo como en el primer ciclo Se continúa por varios ciclos hasta que la sumatoria para cada malla en la columna 9, sea cero.

En la Tabla del Anexo A : Solución con la Ec. de Hazen-William

CALCULO DE PRESIONES Para cada nodo se calcula partiendo del nodo con presión conocida, en este ejemplo el Nudo A, restándole o sumándole las pérdidas de cada tubo calculadas en el último ciclo de la tabla de distribución de caudales. Por ejemplo la presión en Nodo B = 60-18.758 = 41.242 mca y así sucesivamente. Ver Tabla C.