หน วยที่ 3 ระบบสมการเชิงเส นแ ... · 2006-03-17 ·...

หนวยท 3ระบบสมการเชงเสนและไมเชงเสน

3.1 บทนา การแกปญหาทางวศวกรรมสวนมากทาโดยการจาลองเปนสมการทางคณตศาสตรเพอหาคาออกมา ถาม

ตวแปรเดยวเดยว ๆ จะมลกษณะเปนฟงชน f(x) = 0 ทเราคนเคยดแลวหนวยทผานมา (หนวยท 2) ในกรณทมการจาลองปญหาทมตวแปรหลายตว การแกปญหาเพอใหไดตวแปรทกตวสอดคลองกบทกสมการ จะตองทาการแกสมการพรอม ๆ กนหลายสมการเราเรยกสมการตาง ๆ ทใชแทนปญหาวา ระบบสมการ

การแกระบบสมการเพอใหไดคาตวแปรทสอดคลองกบทกสมการของระบบมกนยมจาลองปญหาเปนสมการเชงเสนเปนสวนใหญ นอกจากบางปญหาจะตองจาลองดวยสมการเแบบไมเชงเสนเนองจากหากทาเปนสมการเชงเสนแลวจะทาใหไดคาไมถกตองเทยงตรง ซงสามารถทาไดหลากหลายวธ ในทนจะกลาวถงวธการกาจดของเกาส วธเกาสจอแดน วธการแยกสวนเปนเมตรกสามเหลยมลางและสามเหลยมบน วธเกาสไซเดล วธเกาสอทเตอเรชน ซงจะมวธการแกปญหาตางกนสองอยางคอ วธการตรง(Direct Method) และวธโดยออม (Iteration Method) และสาหรบระบบสมการไมเชงเสนจะกลาวถงเฉพาะวธของนวตนราฟสนเบองตนเทานน โดยทกวธจะจดระบบสมการใหอยในรปของเมตรก เพอใหงายตอการแกปญหามากขน

3.2 ระบบสมการการเชงเสน( System of Linear Equations )ตวอยางท 3.1 การหาคากระแสทไหลผานความตานทานแตละตว จากรปท 3.1 วงจรการตอความตานทาน

รปท 3.1 วงจรการตอความตานทาน

สมมตกาหนดแรงดนไฟฟาทจด (a), (b) มาให ตองการหา1. กระแสทไหลผานความตานทานแตละตว

หรอ 2. หาความตางศกยทแตละจด 1, 2, 3, 4, 5, 6

ถาหาความตางศกยทแตละจดได กหากระแสทไหลผานความตานทานแตละตวไดเชนกนจากกฎของเคอรชอฟฟ ( Kirkhoff 's Law) " ผลรวมของกระแสทไหลออก (เขา) ณ จด (node) ใด ๆ = 0 "

เราใชกฎนกบแตละ node (จด) และจากกฎของโอหม V = IR หรอ I = RV พจารณาจากรปท 3.1

แรงดน v5 = v6 และเพราะวาไมมความตานทานระหวางจด 5 และ 6 และระหวางจด b จะไดวาแรงดนทจด v5 = v6 = vb เมอใชเทคนคการคานวณของโนด (node) จะไดสมการของแตละโนดดงน

3Ω 5Ω

2Ω6Ω

1Ω

4Ω

10Ω1 2

3

456

a

b 7Ω

หนวยท 3 ระบบสมการเชงเสนและไมเชงเสน 81

ท node 1 : 61)vv(2

1)vv(51)vv(3

1)vv( b1b121a1 ⋅−+⋅−+⋅−+⋅− = 0

ท node 2 : 1)vv(101)vv(5

1)vv( 423212 ⋅−+⋅−+⋅− = 0

ท node 3 : 71)vv(10

1)vv( 4323 ⋅−+⋅− = 0

ท node 4 : 41)vv(7

1)vv(1)vv( b43424 ⋅−+⋅−+⋅− = 0

รวมตวแปรทเหมอนกน จดรปสมการจะได36v1 – 6v2 = 10va + 20vb

–2 v1 + 13v2 – v3 – 10v4 = 0

–7v2 + 17v3 – 10v4 = 0

–28v2 – 4v3 + 39v4 = 7vb

เมอทราบ va, vb แกสมการหา viโดยท i = 1, 2, 3, 4 เมอทราบคาแรงดนหรอความตางศกยทแตละnode กหากระแสทไหลผานความตานทานแตละตวได จะเหนวาเมอมตวแปรไมทราบคา (unknown ) 4 ตว เราจะจาลองปญหาไดเปนสมการ 4 สมการ ในแตละสมการจะมตวแปรอนในระบบเดยวกนรวมอยดวย เพอทาใหสามารถใชไดกบกรณทวไป สามารถเขยนแทนตวแปรไมทราบคาดวย xi และแทนสมประสทธดวยสมาชกของ

เมตรก aij แทนคาคงทดานขวาของสมการดวย bi และจดเปนสมการเชงเสนทม n สมการไดดงน

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a1nxn = b2

M M M MOM M M M an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn

โดยท aik ∈R ; i, k = 1, 2, ..., n

และ bi ∈ R ; i = 1, 2, ..., n

สงทตองการทราบคาคอ xi โดย i = 1, 2, ..., n

เขยนแยกสมการเชงเสนขางตนในรปแบบของเมตรกทใชแทนระบบเชงเสนไดดงน

A x = b

nx

2x1x

nna2na1na

n2a22a21an1a12a11a

M

L

MOMM

L

L

=

nb

2b1b

M

.....(2)

...(1)

82 ระเบยบวธเชงเลขสาหรบงานวศวกรรม

โดยท A ตองเปนเมตรกซเอกฐาน (det A ≠ 0) สมการ (1) จงมคาตอบเพยง 1 ชด (unique solution) x เปนเวกเตอรของตวแปร

b เปนเวกเตอรของคาคงทวธการเชงตวเลขในทางปฏบตเรามวธหาคาตอบของระบบสมการเชงเสน ( 1 ) หรอ ( 2 ) ไดดงน1. วธโดยตรง ( Direct method ) ไดแกวธของ

1.1 การกาจดของเกาส ( Gauss elimination )1.2 การกาจดของเกาสจอแดน ( Gauss – Jordan elimination )1.3 การแยกเปนเมตรกสามเหลยมบนและเมตรกสามเหลยมลาง (Triangular factorization หรอ

LU decomposition )2. วธโดยออม ( Indirect method ) รจกกนในชอวธการทาซา ( Iteration ) ม 2 วธ คอ

2.1 การทาซาทกขน ( Total steps iteration ) มชอเฉพาะวา วธของจาโคบ ( Jacobi's method)2.2 การทาซาขนเดยว ( Single steps iteration ) มชอเฉาะวา วธเกาสไซเดล ( Gauss–Seidel's

method)3.2.1 วธการกาจดของเกาส (Gauss Elimination Method)

วธการกาจดของเกาสจะทาการแปลงเมตรก A ใหอยในรปสามเหลยมบน (Upper triangular matrix)แสดงไดดงสมการ ( 3 )

−n

2

1

)1n(nm

)1(n2

)1(22

n11211

x

xx

a

aaaaa

MMO

L

L

=

− )1n(n

)1(2b

1

b

b

M ....( 3 )

โดยสมาชกของ A คอ aik = )j(ika และคาคงท bi คอ )j(

ib เมอ j = 1, 2, ..., n-1 ในการแปลงแตละขนจนไดเมตรกของระบบสมการอยในรปของสมการ ( 3 ) หรอเขยนอยในรปของระบบสมการดงสมการ ( 4 )

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a22x2 + ... + a1nxn = b2

O M M M annxn = bn

แตละขนการกระทานเรยกวา การกาจด (elimination) เมอแปลงเปนเมตรกสามเหลยมบนแลวจะคานวณหาคา xi ไดสะดวกโดยการคานวณจาก xn กอนแลวจงหาคา xn-1, xn-2, ..., x2, x1 และเรยกวา การแทนยอนกลบ(back substitution ) นนคอวธการกาจดของเกาส (Gauss elimination method)เปนวธการขจดตวแปรทละตวจนไดคาของตวแปรตวใดตวหนงแลวนาคาไปแทนกลบลงในสมการ สามารถแสดงวธการกาจดไดดงน

.....( 4 )


ถามชดของสมการเชงเสนa11x1+a12x2+a13x3+a14x4 = y1 (1)a21x1+a22x2+a23x3+a24x4 = y2 (2)a31x1+a32x2+a33x3+a34x4 = y3 (3)a41x1+a42x2+a43x3+a44x4 = y4 (4)

ขนท 1 เราหารสมการแรกของ (a) ดวยสมประสทธตวหนาสดของสมการ (1) คอ a11 โดย a11≠0 จะไดx1 +

111

41114

31113

21112

ayxa

axaaxa

a=++

เราเขยนแทนผลหารของสมประสทธและเทอมคงทดวย bij และ gi ตามลาดบจะไดx1 + 414313212 xbxbxb ++ = g1a21x1+a22x2+a23x3+a24x4 = y2

a31x1+a32x2+a33x3+a34x4 = y3

แปลงรปของชดสมการเปนชดใหมซงมสมประสทธตวหนาของสมการทสอง, สามและสเปนศนย ซงทาไดโดยคณสมการแรกของสมการ (b) ดวยสมประสทธตวแรกของสมการทสอง และนาไปลบออกจากสมการทสองเดม จะได

(a21-a21)x1+(a22-a21b12)x2+(a23-a21b13)x3+(a24-a21b14)x4 = y2-a21g1

แทนคาสมประสทธดวย j2a)1( และแทนเทอมคงทดวย 2y

)1(

2x24x23x0 y)1(

4a)1(

3a)1(

222a)1(

=+++ซงจะเหนวาคาของ x1 ถกขจดออกไปจากสมการท 2 และโดยวธเดยวกน สมการทสามของสมการ (b) จะไดเปน

(a31-a31)x1+(a32-a31b12)x2+(a33-a31b13)x3+(a34-a31b14)x4 = y3-a31g1= 3y)1(

หรอแทนดวยสญลกษณตวใหมจะได

3yx34ax33axa0)1(

4)1(

3)1(

232)1(

=+++ และสมการทสจะเปน(a41-a41)x1+(a42-a41b12)x2+(a43-a41b13)x3+(a44-a41b14)x4 = y4-a41g1

หรอเขยนใหมไดเปน

4y)1(

4x44a)1(

3x43a)1(

2x42a)1(

0 =+++

หลงจากแปลงรปสมการโดยขจดคา x ออกไปจากสมการท 2, 3, 4 แลวสมการ (b) จะเปนสมการ (c) คอ

( a )

(b)

a41x1+a42x2+a43x3+a44x4 = y4


x1+ b12x2 + b13x3 + b14x4 = g1

2y)1(

4x24a)1(

3x23a)1(

2x22a)1(

=++

3y)1(

4x34a)1(

3x33a)1(

2x32a)1(

=++

4y)1(

4x44a)1(

3x43a)1(

2x42a)1(

=++

ตอไปหารสมการ (2) ของสมการ (c) ดวยสมประสทธตวหนาสดเมอ 22

)1(

a ≠ 0 จะได

22)1(

a2y)1(

4x22

)1(a

24a)1(

3x22

)1(a

23a)1(

2x =++

เขยนสมประสทธตวใหมดวย b2j และ g2 ตามลาดบ จากสมการ ( c ) จะได

x1+ b12x2 + b13x3 + b14x4 = g1

x2 + b23x3 + b24x4 = g2

3yx34ax33axa)1(

4)1(

3)1(

232)1(

=++

4y)1(

4x44a)1(

3x43a)1(

2x42a)1(

=++

คณสมการท (2) ของสมการ (d) ดวยสมประสทธตวแรกของสมการท (3) เอาผลทไดลบออกจากสมการท (3) เดม

จะได 232)1(

3)1(

432)1(

34)1(

32332)1(

33)1(

232)1(

32)1(

gayx)aa(x)baa(x)aa( −=−+−+−

เขยนแทนผลของสมประสทธตวใหมดวย j3a)2( และ 3y

)2( จะได

3y)2(

4x34a)2(

3x33a)2(

0 =++

ในทานองเดยวกนสมการท (4) เมอขจดคา x2 ออกจะได

4y)2(

4x44a)2(

3x43a)2(

0 =++

จากสมการ (d) หลงจากขจดคา x2 ออกไปจะไดเปนดงสมการ (e) x1+ b12x2 + b13x3 + b14x4 = g1

x2 + b23x3 + b24x4 = g2

3y)2(

4x34a)2(

3x33a)2(

=+

4y)2(

4x44a)2(

3x43a)2(

=+

หารสมการท (3) ของสมการ (e) ดวยสมประสทธ ตวแรกแลวแทนสมประสทธทไดดวย b3j และ g3 จะได

x3 + b34x4 = g3

คณสมการท (3) ดวยสมประสทธตวแรกของสมการท (4) เอาผลทไดลบออกจากสมการ ท (4) จะได

( c )

( d )

( e )


3g34b43a)2(

4y)2(

4x)34b43a)2(

44a)2(

(3x)43a)2(

43a)2(

( −=−+−

หรอเขยนไดใหมเปน

4yx44a)3(

4)3(

=

จากสมการ (e) จะเขยนไดเปน x1+ b12x2 + b13x3 + b14x4 = g1 ------( 1 ) x2 + b23x3 + b24x4 = g2 ------( 2 )

x3 + b34x4 = g3 ------( 3 )

4y)3(

4x44a)3(

= ------( 4 )

ตอไปหารสมการท (4) ของสมการ (f) ดวย 44a)3(แทนผลทไดดวย g4 เมอ 44a

)3(≠ 0 จะได x4= g4

จากสมการ (f) จะไดเปน x1+ b12x2 + b13x3 + b14x4 = g1 ------( 1 ) x2 + b23x3 + b24x4 = g2 ------( 2 )

x3 + b34x4 = g3 ------( 3 ) x4 = g4 ------( 4 )

คาของ x4 หาไดจากสมการ (4) และแทนคา x4 ในสมการท (3) เพอหาคา x3 ในสมการท (2) เพอหาคา x2

และแทนคา x2, x3 และ x4 ลงในสมการท (1) เพอหาคา x1 ถาสมประสทธตวแรกเปนศนยทขนใด ๆ กตาม ตองเลอกขจดตวแปรตวอน ถาสมประสทธตวแรกทขนสดทายเปนศนยคาคาตอบ ( Solution ) จะไมมเพยงคาเดยว

ในรปของสมการเมตรก (Matrix eqn ) จากสมการ (a) จะเขยนขนตอนไดดงน

=

4y3y2y1y

4x3x2x1x

44a43a42a41a34a33a32a31a24a23a22a21a14a13a12a11a

ขนท 1 หารแถวท 1 ดวยสมประสทธตวแรกของแถวท 1ในทนคอ (a11)

=

4y3y2y

11a1y

4x3x2x1x

44a43a42a41a34a33a32a31a24a23a22a21a11a14a

11a13a

11a12a

11a

ขนท 2 คณแถวท 1 ดวยสมประสทธตวแรกของแถวท 2 แลวลบออกจากแถวท 2

คณแถวท 1 ดวยสมประสทธตวแรกของแถวท 3 แลวลบออกจากแถวท 3

( f )

( g )


คณแถวท 1 ดวยสมประสทธตวแรกของแถวท 4 แลวลบออกจากแถวท 4 จะได

=

4)1(3

)1(2

)1(1

)1(

4

3

2

1

44)1(

43)1(

42)1(

34)1(

33)1(

32)1(

24)1(

23)1(

22)1(

14)1(

13)1(

12)1(

y

y

y

y

xxxx

aaa0aaa0aaa0aaa1

ขนท 3 หารแถวท 2 ดวยคาสมประสทธ )1(

22a

=

4)1(3

)1(2

)2(1

)1(

4

3

2

1

44)1(

43)1(

42)1(

34)1(

33)1(

32)1(

24)2(

23)2(

14)1(

13)1(

12)1(

y

y

y

y

xxxx

aaa0aaa0aa10aaa1

ขนท 4 คณแถวท 2 ดวย )1(

32a เอาผลทไดลบออกจากแถวท 3

คณแถวท 2 ดวย )1(

42a เอาผลทไดลบออกจากแถวท 4

=

4)2(

y3

)2(y

2)2(

y1

)1(y

4x3x2x1x

44)2(

a43)2(

a0034

)2(a33

)2(a00

24)2(

a23)2(

a1014

)1(a13

)1(a12

)1(a1

ขนท 5 หารแถวท 3 ดวย )2(

33a

=

4)2(

y3

)3(y

2)2(

y1

)1(y

4x3x2x1x

44)2(

a43)2(

a0034

)3(a100

24)2(

a23)2(

a1014

)1(a13

)1(a12

)1(a1


ขนท 6 คณแถวท 3 ดวย )2(43a เอาผลทไดลบออกจากแถวท 4

=

4)3(

y3

)3(y

2)2(

y1

)1(y

4x3x2x1x

44)3(

a00034

)3(a100

24)2(

a23)2(

a1014

)1(a13

)1(a12

)1(a1

ขนท 7 หารแถวท 4 ดวย )3(44a

=

4)4(3

)3(2

)2(1

)1(

4

3

2

1

34)3(24

)2(23

)2(14

)1(13

)1(12

)1(

y

y

y

y

xxxx

1000a100aa10aaa1

คณคอลมเวกเตอร x กบเมตรก A และเทยบกบคาคงท y จะไดรปแบบดงน

4(4)

4

3(3)

434(3)

3

2(2)

424(2)

323(2)

2

1(1)

414(1)

313(1)

212(1)

1

y x

y xa x

y xa xa x

y xa xa xa x

=

=+

=++

=+++

ซงจะคานวณหา xi ไดโดยสะดวก ขนตอนนเรยกวา back substitution คอ คานวณหา xi โดยเรม

จากการหา xn กอน แลวจงหา xn – 1, xn – 2, ..., x2, x1 สามารถเขยนเปนสมการเพอใหใชไดทวไปในการนามาเขยนโปรแกรมชวยคานวณไดดงนลาดบขน 3.1 การกาจดของเกาส ก. ขนการกาจดคา (Elimination)

การดดแปลง ( 2 ) ไปส ( 3 ) เพอความสะดวกจะเขยน ( 2 ) ในรป augmental matrix ดงน

+

+

+

+

1nn

1n3

1n2

1n1

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

a

aaa

aaaa

aaaaaaaaaaaa

M

L

MOMMM

L

L

L

โดยทกาหนดให ai(n + 1)= bi เมอ i = 1, 2, ..., n


ขนท 1 กาจดสมาชกในคอลมนท 1 แถวท 2 ขางใต a11 ใหเทากบ 0 โดยให

ui1 = 11a1ia ; i = 2, 3, ..., n

คณกบสมาชก ในแถวท 1 แลวลบออกจากสมาชกในแถวท i , i = 2, 3, ..., n เขยนเปนสตร คอ

ik1iik)1(

1i auaa ⋅−= 1n,...,2,1kn,...,3,2i+=

=

หลงจากทาขนท 1 เสรจแลวจะไดเมตรกทมสมาชกคอลมนท 1 ตงแตแถวท 2 เทากบศนย ดงน

+

++

+

)1(1nna

)1(1n3a

)1(1n2a1n1a

)1(nna)1(

3na)1(2na

)1(n3a)1(

33a)1(32a

)1(n2a)1(

23a)1(22a

n1a13a12a11a

M

L

MOMM

L

L

L

ขนท 2 กาจดสมาชกในคอลมนท 2 ใต )1(22a ใหเทากบ 0 โดยกาหนดให

ui2 = )1(22a

)1(2ia ; 0)1(

22an,...,4,3i

≠=

นาไปคณกบสมาชกในแถวท 2 แลวลบออกจากสมาชกในแถวท i เมอ i = 3, 4, ..., n เขยนเปนสตร คอ

)1(k22i

)1(ik

)2(1i auaa ⋅−= 1n,...,3,2k

n,...,4,3i+=

=

หลงจากทาขนท 2 จะไดเมตรกทมสมาชกคอลมนท 1 ใต a22 คอลมนท 2 ตงแตแถวท 3 เปนศนยดงน


+

+

+

+

+

)1(1nna

)1(

)2(1n4a

1n3a

)1(1n2a1n1a

)2(nna)1(

3na

)2(n4a

)2(n3a

)2(43a

)2(33a

)1(n2a)1(

23a)1(22a

n1a13a12a11a

M

L

MOM

L

L

L

L

ขนท 3 กาจดสมาชกในคอลมนท 3 ขางใต )2(33a ใหมคาเปน 0 โดยกาหนดให

ui3 = )2(33a

)2(3ia ; i = 4, 5, ..., n )2(

33a ≠ 0

นาไปคณกบสมาชกในแถวท 3 แลวลบออกจากสมาชกในแถวท i , i = 4, 5, ..., n เขยนเปนสตร คอ

)2(k33i

)2(ik

)3(ik auaa ⋅−= 1n,...,2,3k

n,...,5,4i+=

=

หลงจากทาขนท 3 จะไดเมตรกซดงน

+

+

+

+

+

)3(1nna

)2(

)3(1n4a

1n3a

)1(1n2a1n1a

)3(nna)3(

4na

)3(n4a

)2(n3a

)3(44a

)2(34a)2(

33a

)1(n2a)1(

24a)1(23a)1(

22an1a14a13a12a11a

M

L

MOM

L

L

L

L

ทาเชนนเรอยไป จนกระทงหลงการกระทาขนท n – 1 จะไดเมตรกสามเหลยมบน ( upper triangularmatrix ) ดงสมการท ( 5 )

−+

+

+

+

+

− )1n(1nna

)2(

)3(1n4a

1n3a

)1(1n2a1n1a

)1n(nna)3(

4na

)2(n4a

)2(n3a

)3(44a

)2(34a)2(

33a

)1(n2a)1(

24a)1(23a)1(

22an1a14a13a12a11a

M

L

MOM

L

L

L

L

.....(5)


เขยนยอเปนสมการทวไปสาหรบคานวณคาสมาชกของสมการท ( 5 ) ไดดงน

uij = n,...,2j,1ji1n,...,2,1j

;)1j(jja

)1j(ija

++=−=

−

− , )1j(

jja − ≠ 0

)j(ika = )1j(

jkij)1j(

ik aua −− ⋅− 1n,...,1j,jkn,...,2j,1ji++=

++=

ข. การแทนยอนกลบ ( Back substitution ) จากสมการท (5) เขยนไดเปน

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nan = a1,n + 1

a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = a2,n + 1

a33x3 + ... + a3nxn = a3,n + 1

M

an – 1,n – 1xn – 1 + an – 1,nxn = an – 1,n+1

annxn = an,n + 1

xn = an,n + 1/ann

xn – 1 = (an –1, n + 1 – an – 1, nxn)/an – 1, n – 1

M

x3 = (a3,n + 1 – a3,nxn – a3,n – 1xn – 1 - ... – a34x4)/a33

x2 = (a2,n + 1 – a2,nxn – a2,n – 1xn – 1 - ... – a23x3)/a22

x1 = (a1,n + 1 – a1,nxn – a1,n – 1xn – 1 - ... - a12x2)/a11

เขยนจดใหเปนสตรทวไปสาหรบการแทนยอนกลบไดคอ

xi = ii

n

1ikkik)1n(i

a

xaa

∑−+=

+; i = n, n – 1, n – 2, ..., 2, 1

ตวอยางท 3.2 ใหใชวธกาจดของเกาส หาเวกเตอรของตวแปร x เมอกาหนดใหผลคณของเมตรก A x และเมตรกของสมประสทธ A เปนดงน

−−

=

1183

16

xA เมอ

−−−−

=

211320201141

3021

A


วธทา จาก bxA = และคาทกาหนดใหเขยนอยในแบบของระบบเชงเสนไดเปน

−−−−

211320201141

3021

4x3x2x1x

=

−−

1183

16

ขนท 1

−−−−

211320201141

3021

4x3x2x1x

=

−−

1183

16

ขนท 2

−−−

−

71502020

21603021

4x3x2x1x

=

−−

378

1316

ขนท 3

−−−

−

71502020

3333.01667.0103021

4x3x2x1x

=

−−

378

1667.216

ขนท 4

−−

−

3335.51665.0006666.23334.000

3333.01667.0103021

4x3x2x1x

=

−−

1665.263334.12

1667.216


ขนท 5

−−

−

3335.51665.0009982.7100

3333.01667.0103021

4x3x2x1x

=

−−

1665.269928.36

1667.216

ขนท 6

−−

−

0017.40009982.7100

3333.01667.0103021

4x3x2x1x

=

−−

0072.20998.36

1667.216

ขนท 7

−−

10009982.7100

3333.01667.0103021

4x3x2x1x

=

−9997.4

998.361667.216

จากขนท 7 จะพจารณาไดวาคาของตวแปรจะไดคาตอบทไลจากคา x4 ลดไปหาคา x1 ตามลาดบ เรยกวธการแทนยอนกลบนวา “back substitution”

x4 = 4.99967

x3 = 7.9982(4.9967)-36.9928 = 2.9955

x2 = 2.1667 + 0.1667(2.9955)-0.3333(4.9967) = 0.9996

x1 = 16 – 2(0.9996) – 3(4.9967)= -0.9986


ลาดบขนตอน 3.1 วธการกาจดของเกาสการกาจด x1 จากสมการ 3 สมการ

1. for i = 1 to 3 and j = 1 to 4 in step 1 read aij

2. for i = 2 to 3 in steps of 1 do3. u<- ai1/a11

4. for j = 1 to 4 steps of 1 do5. aij <-aij-uaij

ขนตอนกาจด x2 จากสมการท 3

6. i=37. u <-a12/a22

8. for j=2 to 4 in steps of 1 to 49. aij <-aij-ua2j

ขนตอนกาจด x1 เมอขยายตวแปรไมทราบคาเปน n ตว1. for i= to n in steps of 1 and j = 1 to (n+1) in steps of 1 do 2. read aij

3. for i=2 to n in steps of 1 do 4. u<-aij/a11

5. for j=1 to (n+1) in steps of 1 do6. aij<-aij-ua1j

7. ขนการกาจด xk จากสมการทม n สมการ1. i = n2. u<-a1(n-1)/a(n-1)(n-1)

3. for j = (n-1) to (n+1) in steps of 1 do 4. aij<-aij-ua(n-1)j

5. หรอในรปแบบทใชไดทวไปเมอกาจดคา xk จากสมการ n สมการ1. for i=(k+1) to n in steps of 1 do2. u<-aik/akk3. for j=k to (n+1) in steps of 1 do4. aij<-aij-uakj

5.


จากแนวความคดของแตละลาดบวธการคานวณขางตน เรานามาทาใหเปนลาดบวธการคานวณใหใชไดแบบทวไป (General) โดยทาใหใชไดกบระบบทม n สมการทมตวแปรไมทราบคา n ตว ไดดงน1. for i=1 to n in steps of 1 and j=1 to (n+1) in steps of 12. read aij

3. for k= 1 to n-1 in steps of 1 do4. for i=(k+1) to n in steps of 1 do5. for j=k to (n+1) in steps of 1 do6. aij<-aij-uakj

7. 8. ขนตอนวธคานวณการแทนยอนกลบ (back substitution)9. xn<-an(n+1)/ann10. for i=(n-1) to 1 steps of –1 do11. sum<-012. for j=(i+1) to n in steps of 1 do 13. sum<-sum+aijxj

14. xi<-(ai(n+1)-sum)/aii15.

ลกษณะการเขยนลาดบขนตอนจะมความใกลเคยงกบภาษาธรรมดาทเราใช อยางไรกตามยงคงสอใหเหนวาสามารถจะนาไปเขยนเปนภาษาโปรแกรม และจะใชคาสงใดได ( ขนกบภาษาโปรแกรมทใชเขยน ) และสามารถแสดงโฟลวชารทของวธการกาจดของเกาสไดดงรปท 3.2


โฟลวชารทท 3.1 วธกาจดของเกาส ( Gauss Elimination Method )

รปท 3.2 โฟลวชารทวธการกาจดของเกาส

START

read : n.(aik ; k= 1, 2, ..., n+1, i = 1, 2, ..., n)

uij = aij/ajj

aik = aik - uij . ajk

print : xi

xi = xi - aik . xk

xi = ai(n+1)

j = 1(1)n-1

i = j+1(1)n

k = j+1(1)n+1

Elimination

i = n(-1)1

k = i+1(1)n

i = 1(1)n

xi = xi / aii

START

Back substitution


ขณะทาการคานวณเราสามารถทาการตรวจสอบวาระหวางการคานวณเราคานวณเลขผดหรอไมไดดงน x1 x2 ... xn b row sum

1nn2n1nn

1n222212

1n112111

1nn

1n2

1n1

nn2n1n

n22221

n11211

111n1n

112121

a...aas

a...aasa...aas

a

aa

aaa

aaaaaa

a/au

a/au

+

+

+

+

+

+

+++=

+++=+++=

=

=

MM

L

MOMM

L

L

M

1n,...2,1kn,...,2,1i

;at

asn

1iikk

1n

1kiki

+==

∑=

∑=

=

+

=

ขนท 1 ทาวธการกาจดคา ( eliminate )

x1 x2 ... xn b

*n

*3

*2

)1(n

)1(3

)1(2

1

)1()1n(n

)1()1n(3

)1()1n(2

)1n(1

)1(nn

)1(2n

)1(n3

)1(n2

)1(32

)1(22

n11211

)1(22

)1(2n1n

)1(22

)1(3232

s

ss

s

sss

a

a

aa

aa

a

a

a

aaaa

a/au

a/au

MMM

L

MOM

L

L

L

M

=

=

+

+

+

+

)1(2s = )1(

)1n(2)1(

23)1(

22 a...aa ++++ , 1212*2 suss ⋅−=

)1(3s = )1(

)1n(3)1(

33)1(

32 a...aa ++++ , 1313*3 suss ⋅−=

เขยนเปนสตรทวไปคอ )1(is = )1(

)1n(i)1(

3i)1(

2i a...aa ++++ , i = 2, 3, ..., n 121i

*i suss ⋅−= เมอ i = 2, 3, ..., n

ถาการคานวณถกตองจะได *is ≈ )1(

is


ขนท 2 x1 x2 x3 ... xn b

*n

*3

*2

)2(n

)2(3

)1(2

1

)2()1n(n

)2()1n(3

)1()1n(2)1n(1

)2(nn

)2(3n

)2(n3

)1(n2

)2(33

)1(23)1(

22

n1131211

s

ss

s

sss

a

a

aa

aa

a

a

a

aa

aaaa

MMM

L

OM

L

L

L

+

+

+

+

n,...,4,3i;suss

a...aas)1(

22i)1(

i*i

)2()1n(i

)2(4i

)2(3i

)2(i =

⋅−=+++= +

ถาการคานวณถกตอง *is ≈ )2(

isทาเชนนทกขนตอนการกาจดคาภายหลงเมอคานวณคา xi , i = 1, 2, ..., n ไดแลว ตรวจสอบคา *

nt = t1x1 + t2x2 + ...+ tnxn ถาคา *nt ≈ tn + 1 แสดงวา การคานวณถกตอง

ผลรวมของแถว ใชสาหรบตรวจสอบการคานวณแตละบรรทดในแตละขนตอนการกาจดคาวาคานวณถกตองหรอไม

ผลรวมของคอลมน ใชสาหรบตรวจสอบวา x1, x2, ..., xn ทไดนนสอดคลองกบระบบสมการหรอไม

ตวอยางท 3.3 จงหาคา x 0.34x1 – 0.58x2 + 0.94x3 = 2.0

0.27x1 + 0.42x2 + 0.13x3 = 1.5

0.20x1 – 0.51x2 + 0.54x3 = 0.8การกาจดคา Augmental matrix Check

u x1 x2 x3 →

0.34 -0.58 0.94 : 2.0 2.70+0.794 0.27 0.42 0.13 : 1.5 2.32

+0.588 0.2 -0.51 0.54 : 0.8 1.030.81 -0.67 1.61 : 4.3

ขนท 1 0.34 -0.58 0.94 : 2.0-0.58 -0.62 : -0.088 0.18 0.17

-0.193 0.88 -0.01 : -0.38 -0.56 -0.56ขนท 2 0.34 -0.17 0.94 : 2.0

-0.58 -0.62 : -0.0880.88 -0.13 : -0.40 -0.53 -0.53


การแทนยอนกลบ

x3 = 13.040.0

−−

≈ 3.1

x2 = 88.0)1.3(62.0088.0 +−

≈ 2.1

x1 = 34.0)1.2(58.0)1.3(94.00.2 +−

≈ 0.89

ตรวจสอบ 0.81x1 + 0.67x2 + 1.61x3 = 0.81(0.89) – 0.6(2.1) + 1.61(3.1)= 4.3049 ≈ 4.3

การกาจดของเกาสโดยการสลบแถว ( Gauss elimination with column pivoting )สมาชกทอยในแนวเสนทแยงมม คอ a11, a22, ..., ann มชอเรยกวาการกาจดของเกาสโดยการหมน

หรอสลบ ( pivot Gauss elimination ) จะใชไมได ( break down ) ถาสมาชกทใชหมน = 0

uij = )1j(jj

)1j(ij

aa−

− เมอ j = 1, 2,...,n

)j(ika = )1j(

jkij)1j(

ik aua −− ⋅− เมอ 1n,...,2,1jk

n,...,2,1jin,...,2,1j

++=+=

= โดยท )1j(

jja − = 0

ในทางปฏบตเพอหลกเลยงเหตการณเชนน จงตองมการหมน ( pivot ) ตวทขนาดใหญทสดกอนจะเรมทาการกาจดทก ๆ ครง

หมายความวา ในทก ๆ ขนกอนการกาจด เชน ขนท j หาสมาชกทมคามาก ( maximal element ) ในคอลมนท j สมมตพบวามสมาชกทคามากอยในแถว r ใหทาการสลบสมาชกทก ๆ ตวในแถว r กบสมาชกในแถวท j พจารณาไดจากสมการ

| arj | = ijnij

amax≤≤

เมอ j = 1,2,..., n + 1

ตวอยางท 3.4 solve2.1x1 + 2.4x2 + 8.1x3 = 62.76

7.2x1 + 8.5x2 – 6.3x3 = –1 .93

3.4x1 – 6.4x2 + 5.4x3 = 16.24

−−

−24.1693.176.62

4.54.64.33.65.82.7

1.84.21.2→

−

−

−

24.1676.6293.1

4.54.64.31.84.21.2

3.65.82.7


−

−−

−

151.17323.6393.1

375.8414.10938.90792.0

3.65.82.7 →

−

−−

−

323.63151.17

93.1

938.90792.0375.8414.10

3.65.82.7

−−

−

193.63151.17

93.1

874.9375.8414.10

3.65.82.7

x3 = 874.9193.63 = 6.3999 ≈ 6.4

x2 = 414.10)4.6(375.8151.17

−− = 3.5

x1 = 2.7)5.3(5.8)4.6(3.692.1 −+− = 1.2

คาตอบคอ x1 = 1.2 x2 = 3.5 x3 = 6.4

เราควรทาการหมนทกๆ ขน ซงการหมนนทาเพอจะหลกเลยงการ break down ของ process และจะทาใหคาผดพลาดในการคานวณมนอยลงดวยตวอยางท 3.5 ตวอยางนจะแสดงใหเหนวา เมอไมมการหาหมน จะทาใหคาตอบทคานวณออกมา มคาผดพลาดไปจากความจรง

0.0001x1 + 1.00x2 = 1.00

1.00x1 + 1.00x2 = 2.00ใชเครองคดเลขทมตวเลขหลงจดทศนยมเพยง 2 ตาแหนง

วธเกาสแบบไมหมนหรอสลบ ( Gauss without pivoting )1.00 × 10– 4x1 + 1.00x2 = 1.00

1.00x1 + 1.00x2 = 2.00

× −

00.200.1

00.100.100.11000.1 4

→

×−×−

× −

44

4

1000.100.1

1000.100.11000.1


จะเหนวาไดคา x2 = 1.00

x1 = 1.00 – 1.00x2 = 0ซงผดไปจากคาทควรจะเปน

ใชวธเกาสเชนกนแตทาการหมน ( Gauss with column pivoting )| a21 | = 1i

2i1amax

≤≤= 1.00

สลบแถวท 2 กบแถวท 1

× − 00.1

00.200.11000.100.100.1

4 →

00.100.2

00.100.100.1

x2 = 1.00

x1 = 2.00 – 1.00x2 = 1.00จะเหนวาคาตอบทไดจะถกตอง ( ทศนยมถกตอง 2 ตาแหนง )

ลาดบขนตอน 3.2 Gauss elimination with Column Pivoting1. For j = 1 (1) n – 1 do

1.1 หา Pivot| arj | = ij

nijamax

≤≤

สลบแถวท r กบแถวท j1.2 การกาจดคา

For i = j + 1(1)n do

uij = jjij

aa

For k = j + 1(1) n + 1 doaik = aik – uij ⋅ ajk

2. การแทนยอนกลบFor i = n (– 1) 1 do

xi = ii

n

1ijjij)1n(i

a

xaa ∑ ⋅−+=

+

หมายเหต ประโยชนของ Gauss elimination นยมนามาใชแกระบบสมการเชงเสน และนอกจากนยงสามารถนาไปประยกตใชหาคาตางๆ ของเมตรกไดอกดวยคอ

1. Rank ของเมตรกซ A, A = (m × n) matrix


Rank ของ A = n0a )1j(

jj ≠− เมอ j = 1,2,..., n – 1

0a )1j(jj =− เมอ j = n, n-1,...,m – 1

หมายความวาภายหลงการกาจดทกขนแลวจะไดเมตรกอยในแบบดงน

+

++

+

+

+

)1n(m

)1n)(1n(

)1n(2

)1n(2

)1n(1

nn

n22322

n1131211

a

aaaa

0

0aaaaaaaa

MM

O

L

LL

2. ใชหาคาดเทอรมแนนทของเมตรกซ A

det A = ∏=

n

1jjja

3. ใชหา A– 1 ของ Aตวอยางท 3.6 จงหาเมตรกผกผนของเมตรก A

A =

−−−−

132344132

AC = I

−−−−

132344132

333231

232221

131211

ccccccccc

=

100010001

ขนท 1

−−−−

132344132

100010001

ตวหมน = a21 = 1i3i1

amax≤≤

= 4

สลบแถวท 2 กบแถวท 1


−−−−

−=

=

100001010

132132344

42u

42u

31

21 → 1313

1212rurrur

1210

0211

010

255

211

344

⋅−⋅−

−

−

−

ขนท 2 หาตวหมนพบวา = a32 = 2i3i2

amax≤≤

= 5 สลบแถวท 3 กบแถวท 2

−

−

−

=02

10

121

010

211

255

34

51u32

→

−−

−

51

531

1210

010

1255

344

หลงจากทาขนท 2 จะได

−−

1255344

333331

232221

131211

ccccccccc

=

−− 51

531

1210

000

จะหาคาสมาชกของ c ทไดจากคอลมนเวกเตอรหาคอลมนเวกเตอรท 1

−−

1255344

31

21

11

ccc

=

100

c31 = 1

c21 = 5c2

50 31+= 2

1

c11 = 4c4c30 2131 −+ = 4

21413 ⋅−⋅

= 41

หาคอลมนเวกเตอรท 2

−−

1255344

32

22

12

ccc

=

− 53

211


c32 = 53

−

c22 = 5c2

521

32+= 5

53

25

21

−+

= 51

−

c12 = 4c4c31 2232 −+ = 4

5145

331

−⋅−

−⋅+

= 0

32

22

12

ccc

=

−

−

5351

0

หาคอลมนเวกเตอรท 3

−−

1255344

33

23

13

ccc

=

− 51

10

c33 = 51

−

c23 = 5c2

51 33+= 5

51

251

−+

= 101

c13 = 4c4c30 2333 −+

= 410145

130

⋅−

−⋅+

= 41

−

33

23

13

ccc

=

−

−

51

101

41


โฟลวชารท 3.2 Gauss Elimination with Column Pivoting

START

read : n, ((ai, k) , k= 1(1)n+1, i = 1(1)n)

a(i, k) = a(i, k) - u*a(j, k)

u = a(i, j) / a(j, j)

Y = a(jk)a(j, k) = a(r, k)

a(r, k) = Y

j = 1(1)n-1

Find pivot

k = j(1)n+1

i = j+1(1)n

k = j+1(1)n+1

START

row interchange

r = j ; max = 0

i = 1(1)n

|a(i, j)| > maxy

max = 0 call exit

max = |a(i, j)| r = i

x(i) = x(i) - a(i, j) * x(j)

x(i) = a(i, n+1)

i = n(-1)1

j =i+1(1)n

x(i) = x(i) / a(i, j)

Matrix is singular

yn

n

รปท 3. 3 โฟลวชารทวธเกาสโดยการสลบคอลมน


จะได inverse Matrix C =

−−

−

−

51

531

101

51

21

4104

1

ตรวจสอบ :

−−−−

132344132

−−

−

−

51

531

101

51

21

4104

1

=

100010001

3.2.2 วธกาจดของเกาสจอแดน (Gauss-Jordan elimination method)เปนวธปรบปรงจากวธของเกาสการจดคาจะยอนกลบไปขจดในสมการตอนตนดวยเพอหาคาตวแปรไม

ทราบคา ซงจะชวยใหการหาคาตวแปรทาไดงายและเรวขน

ถามสมการเชงเสนa11x1+a12x2+a13x3+a14x4 = y1

a21x1+a22x2+a23x3+a24x4 = y2

a31x1+a32x2+a33x3+a34x4 = y3 aa41x1+a42x2+a43x3+a44x4 = y4

เขยนในรปเมตรกไดดงน

=

4y3y2y1y

4x3x2x1x


b

เพอใหการพจารณาพารามเตอรสะดวกขนจากสมการ b เขยนใหอยใกลกนไดเปน Augment เมตรก

=

4y3y2y1y


^A c


วธการกาจดแบบเกาสจอรแดนมลาดบดงน

ขนท 1 - คณแถวท 1 ดวย 11a1

- คณผลลพธของแถวท 1 ดวย –a21 รวมผลทไดกบแถวท 2- คณผลลพธของแถวท 1 ดวย –a31 รวมผลทไดกบแถวท 3- คณผลลพธของแถวท 1 ดวย –a41 รวมผลทไดกบแถวท 4

=

4)1(

y3

)1(y

2)1(

y1

)1(y

44)1(

a43)1(

a42)1(

a034

)1(a33

)1(a32

)1(a0

24)1(

a23)1(

a22)1(

a014

)1(a13

)1(a12

)1(a1

^A d

โดย

,...aaaa

,...aaaa

,...aaaa

aaa;a

aa;aaa

4112)1(

4242)1(

3112)1(

3232)1(

2112)1(

2222)1(

111414

)1(

111313

)1(

111212

)1(

−=

−=

−=

===

ขนท 2 - คณแถวท 2 ดวย 22)1(1

a

- คณผลลพธของแถวท 2 ดวย 12)1(a− รวมผลทไดกบแถวท 1



=

4)2(

y3

)2(y

2)2(

y1

)2(y

44)2(

a43)2(

a0034

)2(a33

)2(a00

24)2(

a23)2(

a1014

)2(a13

)2(a01

^A



a




=

4)3(

y3

)3(y

2)3(

y1

)3(y

44)3(

a00034

)3(a100

24)3(

a01014

)3(a001

^A


a




=

4)4(

y3

)4(y

2)4(

y1

)4(y

1000010000100001

^A

เขยนอยในรปของเมตรกจะได

=

4)4(

y3

)4(y

2)4(

y1

)4(y

4x3x2x1x

1000010000100001


4)4(

y4x

3)4(

y3x

2)4(

y2x

1)4(

y1x

=

=

=

=

เปนคาตอบของสมการ (a)

สรปวาวธการกาจดแบบเกาสจอแดน เปนการแปลงใหเมตรก A เปนเมตรกเอกฐานหรอเมตรกเอกลกษณ ทมสมาชกในแนวเสนทแยงมมเปน 1 คาคงททเปลยนไปในขนสดทายคอคาตอบของระบบสมการ ซงสามารถเขยนยอ ๆ ไดดงน

ระบบสมการเชงเสน Ax = bเมอเขยนสมาชกของเมตรก A และ b รวมกนเปน Augmental matrix → (A | b) จะได

+

+

+

)1n(n

)1n(2

)1n(1

nn2n1n

n22221

n11211

a

aa

aaa

aaaaaa

M

L

MOMM

L

L

→

+

+

+

)1n(n

)1n(2

)1n(1

a

aa

100

010001

M

L

MOMM

L

L

การแกระบบสมการเชงเสนโดยวธของ Gauss – Jordan คอ ดดแปลงเมตรก A → เมตรก I โดยวธการกาจดยงคงทาเชนเดยวกบวธการกาจดของเกาส ตางกนทกาจดสมาชกทอยนอกแนวทแยงของเมตรกทงดานบนและดานลางใหมคาเปนศนย ซงวธนจะไดคาตอบเรวกวาวธของเกาส

ตวอยางท 3.7 จงหาคา x จากระบบสมการ2x1 + 8x2 + 2x3 = 14

x1 + 6x2 – x3 = 13

2x1 – x2 + 2x3 = 5วธคดขนท 1

−−

51314

212161

282→

4)1(1k;a/aa

5137

212161

141 11k1)1(

ik ==←

−−


กาจดคาโดยใชวธการกาจดของเกาสไดผลคอ

)1(ik31k3

)1(k3

)1(ik21k2

)1(k2

aaaa4)1(1k;aaaa

967

0922

141

⋅−=←=⋅−=←

−−−

ขนท 2

4)1(2k;a/aa9

37

0911

141)1(

22)2(

k2)2(

k2 ==←

−−−

กาจดคาไดเปน

4)1(2;1837

911

141

)2(2)1(32)1(3)2(3

)2(2)1(12)1(1)2(1=

⋅−=←

⋅−=←

−− k

aaaa

aaaa

kkk

kkk

ขนท 3

4,3k;a/aa23

5

111

501

)1(33

)2(k3

)2(k3 ==←

−

−−

กาจดคาไดเปน

4,3k;aaaaaaaa

215

101001

)3(k2

)2(23

)2(k2

)3(k2

)3(k3

)2(13

)2(k1

)3(k1

=⋅−=←⋅−=←

−

ไดคาตอบคอ x1 = 5 x2 = 1 x3 = –2 ลาดบขนตอน 3.3 การกาจดคาของเกาสจอแดน

For j = 1(1)n do)j(

ija = )1j(jj

)1j(ik aa −− j < k < n + 1

)j(jka =

+≤≤+≠≤≤

⋅−−1nk1j

ji, nj1;aaa jkij

)1j(ik


โฟลวชารท 3.3 การกาจดคาของเกาสจอแดน

รปท 3.4 โฟลวชารทวธการกาจดคาของเกาสจอแดน

START

read : n, ((ai, k , k= 1(1)n+1, i = 1(1)n

m = aj, j

aj, k = aj, k/m

print : ai,(n+1)

ai, k = ai, k - ai, j*aj, k

j = 1(1)n

k = j(1)n+1

i = 1(1)n

k = j(1)n+1

i = 1(1)n

START

Noi = jYes


3.2.3 วธแยกสวนเมตรกเปนเมตรกสามเหลยมลางและบน ( L U Decomposition )วธการแยกแบบ LU หรอ วธ Choleski Turning method เปนวธตรงทนยมใชหาคาตวแปรเพราะเปนวธ

ททาไดงาย แตอาจทาใหเกดความสบสนไดถาไมทาความเขาใจใหด แตถาเขาใจวธการแลววธนถอวาเปนวธทนาใชมากเพราะงายตอการคดซงไมซบซอนมากนก นอกจากจะใชหาคาตวแปรในระบบสมการเชงเสนแลวยงสามารถใชหลกการนหาเมตรกผกผน (Inverse Matrix) ไดดอกวธหนง ดงมลาดบขนตอนการคดสาหรบวธนคอ

พจารณา จากเมตรก

=963662421

A สามารถกาหนดใหเขยนอยในรปของ L และ U เมตรกไดเปนเมตรก

=

333231

2221

11

lll0ll00l

L และ

=100

u10uu1

U 23

1312

ซงหาผลคณของ L และ U ไดเปน

+++++=

332332133132123131

2322132122122121

1311121111

lulullullulullull

ulullUL ....( 5 )

นาสมาชกของ L U แตละตวเทยบมาเทยบใหเทากบสมาชกแตละตวในเมตรก A

=963662421

ดงนนจะไดวาl11= 1 l11u12 = 2 l11u13 = 4l21= 2 l21u12+ l22= 6 l21u13+l22u23= 6l31= 3 l31u12+ l32= 6 l31u13+l32u23+l33= 9

จาก l11u12= 2∴u12 = 21

2=

l11u13= 4u13 = 41

4=

l21u12+l22= 6∴l22= 6-4 = 2

l21u13 + l22u23 = 6∴u23 = )( 12

86−=

−

l31u12+ l32 = 6∴l32 = 6-6 = 0l31u13+ l32u23 + l33 = 9∴l33 = 9-12 = -3

และสามารถนาคาตาง ๆ ขางตนมาเขยนในรป A = L U ได


963662421

−=

303022001

−100

110421

การใชวธการแยกสวน L Uจาก A x = b ....( 2 )

เมอกาหนดให A แยกสวนไดเปนเมตรก L และ U จะสามารถเขยนอยในรปสมการL U x = b

โดย L = Lower triangular matrixU = Upper triangular matrix

กาหนดให y เปน Column vectorเมอกาหนดให y = U xจะไดวา

L y = bดงนนจากสมการเมตรก สามารถเขยนไดเปน 2 สมการคอ

L y = b ....( 6 )U x = y ....( 7 )

พจารณาจากวธการกาจดของเกาส การแกสมการจะงายถาจดใหอยในรปของเมตรกแบบสามเหลยม ดงนนเราจะแกสมการโดยหาคาของ y กอนแลวแทนคาลงใน ( 7 ) เพอหาคา xตวอยางท 3.8 ใชวธการแยกเมตรกใหเปนสามเหลยมจากสมการเมตรก

−

−−−

=

4

3

2

1

xxxx

221211442111

1111

21102

เพอหาคา x และ |A|วธทา ขนท 1 หาคา L U เมอ A = L U จะได

=

44434241

333231

2221

11

llll0lll00ll000l

L

=

1000u100uu10uuu1

U34

2423

141312


พจารณา L U เทยบกบ A จะไดl11= 1 l11u12 = 1 l11u13 = 1 l11u14 = -1l21= 1 l21u12+ l22= -1 l21u13+l22u23= -1 l21u14+l22u24= 2l31= 4 l31u12+ l32= 4 l31u13+l32u23+l33= 1 l31u14+l32u24+l33u34=1l41= 2 l41u12+l42=1 l41u13+l42u23+l43= 2 l41u14+l42u24+l43u34+l44= -2

จาก l11u12= 1∴u12 = 1

11=

l11u13= 1∴u13 = 1

11=

l11u14= -1∴ u14= -1

l21u12+l22= -1∴l22= -1-1 = -2l21u13 + l22u23 = -1

∴u23 = )(12

11=

−−

l21u14 + l22u24 = 2∴u24 = )(

23

212

−=−+

l31u12+ l32 = 4∴l32 = 4-4 = 0

l31u13+l32u23+l33= 1∴l33 = 1-4 = -3

l31u14+l32u24+l33u34=1∴u34 = )(

35

341

−=−+

l41u12+l42=1∴l42 = 1-2 = -1

l41u13+l42u23+l43= 2∴l43 = 2-2+1 = 1

l41u14+l42u24+l43u34+l44= -2∴l44 = -2+2- 6

135

23

=+

ขนท 2 หา y จาก L y = b ในทนเราสมมตให y เปนผลคณของเมรกสามเหลยมบนและเวกเตอร x

=

−−

−

21102

yyyy

61112030400210001

4

3

2

1

จะได y1 = 2y1 – 2y2 = 0

y2 = 122=

−−

4y1 - 3y3 = 11y3 = 1

33

3811

−=−

=−−

2y1 - y2 + y3 + 61 y4 = 2

y4 = (2 – 2(2) + 1 + 1)6 = 0


ขนท 3 หาคา x จาก U x = y

−=

−

−−

01

12

xxxx

100035100231101111

4

3

2

1

จะไดx4 = 0

x3 - 35 x4 = -1

x3 = -1

x2 + x3 - 35 x4 = 1

x2 = 2x1 + x2+ x3 - x4 = 2

x1 = 2 – 2 + 1 = 1สามารถกลาวไดวาเราสามารถหาคาตวแปร x ไดดวยวธการแยกสวนเปนเมตรก (Triangularization)ทม

ลกษณะคลายสามเหลยม คอเปนสามเหลยมบน (Upper triangular) และสามเหลยมลาง (Lower triangular) และจดไวในประเภทวธโดยตรง (Direct method) ซงวธนเราจะไดคาตวแปรตวสดทายกอน แลวนามาแทนหาคาตวแปรลาดบแรก ๆ ทอยตดกน ซงวธนเรยกวาวธแทนยอนกลบ (Back substitution) ดงไดกลาวมาแลวในวธกาจดของเกาส

จากวธกาจดคาของเกาสและวธการแยกสวนแบบสามเหลยมเมอพจารณาจากสมการกาจดหรอการแยกสวนในขนสดทายกอนทจะไดตวแปรออกมานนเราสามารถเขยนใหอยในรปฟอรมทว ๆ ไป ซงสามารถนาไปใชเปนลาดบขนตอนวธในการเขยนโปรแกรมสาหรบใชเครองคอมพวเตอรชวยคานวณหาคาตวแปรจากระบบสมการดงกลาวนไดดงน

พจารณาสมการ2x1 + 3x2 – x3 = 5 ....( 8 )4x1 + 4x2 – 3x3 = 3 ....( 9 )-2x1 + 3x2 – 3x3 = 1 ....( 10 )

โดยวธกาจดคาของเกาสหรอวธการแยกสวน L U ขนสดทายจะไดรปสมการ2x1 + 3x2 – x3 = 5 ....( 11 ) - 2x2 – x3 = -7 ....( 12 ) – 5x3 = -15 ....( 13 )

จะเหนวาไดอยในรปของสามเหลยมทมสมาชกใตแนวทะแยงมมลงมามคาเปนศนย ดงนนจะไดคาตวแปรจากตวสดทายไปหาตวเรมแรกดงน


3515x3 =−

−= ....( 14 )

2237

2)x)(1(7x 3

2 =−+−

=−−

= ....( 15 )

12)x)(1()x(35x 32

1 =−−

= ....( 16 )เขยนทงหมด (เตม ๆ) ได โดยสมมตให u แทนสมาชกของสามเหลยมบนจะไดดงน

u11x1 +u12x2 +…+ u1n xn = c1 ....( 17 )u22x2 +…+ u2n xn = c2 ....( 18 )un-1,n-1xn-1 + un-1,n xn = cn-1 ....( 19 )

un,n xn = cn ....( 20 )แลวแทนคายอนกลบไดดงสมการตอไปน

จากสมการ ( 20 ) จะไดn,n

nn u

cx = ....( 21 )

จากสมการ ( 19 ) จะได1n,1n

nn,1n1n1n u

xucx

−−−−

−−

= ....( 22 )

ทานองเดยวกนจะได2n,2n

nn,2n1n1n,2n2n2n u

xuxucx

−−−−−−−

−−−

= ....( 23 )

เมอนามาเขยนใหอยในรปแบบทใชไดทวไปโดยกาหนดให k = n, n-1, n-2, …1 จะไดดงน

k,k

n

1kjjj,kk

k u

xucx

∑−= +=

....( 24 )

หมายเหต หลกการแยกสวน LU สามารถจะเลอกกาหนดใหสามเหลยมลาง (L) มสมาชกตามแนวเสนทะแยงมมเปนหนงเรยกวาจดแบบเคราท ( crout ) หรอใหสมาชกในแนวเสนทะแยงมมของสามเหลยมบน (U) เปน 1 เรยกวาจดแบบดลตเตล ( doolittle ) กจะไดผลเหมอนกน ซงตาราบางเลมใชตางกนจากทกลาวในหวขอน

3.3 การหาคาตอบของระบบสมการเชงเสนโดยวธออม ( Indirect Method ) 3.3.1 วธเกาสอทเทอเรทฟ (Gauss iterative method)พจารณาระบบสมการเชงเสน

a11x1+a12x2+a13x3+a14x4 = y1 ....( 25 )a21x1+a22x2+a23x3+a24x4 = y2 ....( 26 )a31x1+a32x2+a33x3+a34x4 = y3 ....( 27 )a41x1+a42x2+a43x3+a44x4 = y4 ....( 28 )

จากสมการท ( 25 )a11x1 = y1- a12x2 - a13x3 - a14x4

][1 414313212111

1 xaxaxaya

x −−−= ....( 29 )


ทานองเดยวกนจากสมการ 26 , 27 และ 28

]xaxaxay[a1x 4243232212222 −−−= ....( 30 )

]xaxaxay[a1x 4342321313333 −−−= ....( 31 )

]xaxaxay[a1x 3432421414444 −−−= ....( 32 )

จากนนสมมตคาของ x1, x2, x3 และ x4 ขนมา จะเปนคาใดกไดแตในการสมมตคาเรมตนนมกจะสมมต

คาเรมตนเปน 0 หรอ 111 a1x = ;

222 a1x = ;

333 a1x = และ

444 a1x =

คาเรมตนทไดจากการสมมตจะเขยนเปน x)0( นนคอ

3333

)0(

2222

)0(

1111

)0(ay

x;ayx;a

yx === และ 4444

)0(ayx =

แลวนาคา x1, x2, x3 และ x4 ทสมมตขนแทนลงในสมการท ( 25 ) ,( 26 ),( 27 ) และ ( 28 ) จะไดคาของ x1, x2, x3

และ x4 คาใหม คาทไดจากการคานวณครงแรก ( first iterative ) จะเขยนเปน 3)1(

2)1(

1)1(

x,x,x และ 4)1(

x

จากนนนาเอาคา 1)1(

x ถง 4)1(

x แทนลงในสมการท ( 25 ) ถง ( 28 ) แลวดคาทไดทางซายมอของสมการนนวามคาใกลกบคาทางขวามอในขอบเขต ( tolerance ) ทกาหนดไวทงสสมการหรอไมถาไมอยในขอบเขตทยอมรบได จะตองนาคา 1

)1(x ถง 4

)1(x แทนลงในสมการท ( 25 ) ถงสมการท ( 28 ) อกครงจะไดคา 3xxx

)2(2

)2(1

)2( และ

4)2(

x

จากนนนาคา 3xxx)2(

2)2(

1)2( และ 4

)2(x แทนลงในสมการท ( 25 ) ถง ( 28 ) แลวนาผลทไดซายและขวา

เครองหมายเทากบเทยบกบคาทยอมรบอก ถาไมอยในคาทยอมรบกาหนดไว กนาเอา 3xxx)2(

2)2(

1)2( และ 4

)2(x

แทนกลบในสมการท ( 25 ) ถง ( 28 ) อกครง ทาเชนเดยวกนจนกระทงผลทไดอยในคาทยอมรบไดคา 3xxx

)n(2

)n(1

)n( และ 4)n(

x ทไดครงสดทายจะเปนคาตอบของสมการซงเขยนลาดบของการแทนคาไดดงนคอ

]xaxaxay[a1x 4

)k(143

)k(132

)k(12111

1)1k(

−−−=+

]xaxaxay[a1x 4

)k(243

)k(232

)k(21222

2)k(

−−−=

]xaxaxay[a1x 4

)k(342

)k(321

)k(31333

3)k(

−−−=

]xaxaxay[a1x 3

)k(432

)k(421

)k(41444

4)1k(

−−−=+

เมอ k คอลาดบของการทาซา โดยมคาเรมตนจาก 0, 1, 2, …, n หรอเขยนเปนสตรสน ๆ ไดวา


]xay[a1x k

)k(n

ik1k

ikiiii

)1k(∑−=

≠=

+เมอ i=1, 2,…n ....( 33 )

วธทจะใชทดสอบหาคาทไดวาจะหยดคานวณหรอไดคาตอบทถกตองตามกาหนดทาไดโดยการหาคาการเปลยนคาของตวแปรเกาและใหมดงน

δ≤−+ )k(

i)1k(

i xx ....( 34 )

นนคอจะหยดคานวณเมอคา δ มคานอยกวาหรอเทากบขอบเขตทยอมรบทกาหนดไว เชน 0.0001 เปนตน

ลาดบขนตอน 3.4 วธเกาสอทเทอเรทฟ หรอ จาโคบ ( Gauss Iterative or Jacobi's Method )1. กาหนดให

aik เมอ i, k = 1 (1) n

yi เมอ i = 1 (1) nคาเรมตน )0(

ix = 0 เมอ i = 1(1)n2. For i = 1 (1) n ทา

)1k(ix + =

∑ ⋅−

≠=

n

ik1k

)k(kikiii

xaya1 ....( 35 )

3. หยดการคานวณ ถา )k(i

)1k(i

ni1xxmax −+

≤≤ < 0.5 × n10−

มฉะนนกลบไปทาขอ 2


โฟลวชารท 3.4 วธทาซาของเกาส หรอ วธของจาโคบ (Jacobi's method)

รปท 3.5 โฟลวชารท 3.4 วธทาซาของเกาส

START

read : n, ε, a(i, k), y(i) ; i = 1(1)n, k = 1(1)n

x(i) = 0

s = y(i)

y(i) = x(i)

x(i) = s / a(i, j)

i = 1(1)n

i = 1(1)n

k = 1(1)n

i = 1(1)n START

yk = in

k = 0

s = s - a(i, k)*y(k)

j = j +1

max = 0

i = 1(1)n

|x(i) - y(i) > max max = | x(i) - y(i)

max < ε print : k, x(i), i = 1(1)n

y

yn

n

คาเรมตน

k = number of iteration


ตวอยางท 3.9 จงหาคา x1, x2 และ x3 โดยวธของเกาสอทเทอเรทฟ จากระบบสมการ

)xx3(51x

)xx24(101x

)xx1(81x

213

312

321

++−=

+−=

−+=

กาหนดคา ตวแปรเรมตน 0xxx)0(

3)0(

2)0(

1 ===วธทา จากสมการทกาหนดใหเขยนใหมไดดงน

)k(2

)k(1

)1k(3

)k(3

)k(1

)1k(2

)k(3

)k(2

)1k(1

x2.0x2.06.0x

x1.0x2.04.0x

x125.0x125.0125.0x

++−=

+−=

−+=

+

+

+

แทนคา 0xxx)0(

3)0(

2)0(

1 === ลงในสมการทงสามจะไดคาตาง ๆ ในแตละขนดงตาราง

k )1k(1x+ )1k(

2x+ )1k(

3x+

0 0.125 0.4 -0.61 0.25 0.315 -0.4952 0.2263 0.3005 -0.4873 0.2235 0.306 -0.49464 0.2251 0.3058 -0.48915 0.2250 0.3056 -0.49386 0.2249 0.3056 -0.49397 0.2249 0.3056 -0.4939

ดงนนจะได x1 = 0.2249x2 = 0.3056x3 = -0.4939

เปนคาตอบของระบบสมการทกาหนดให เมอนาคาทไดแทนลงในสมการทกาหนดคาดานซายและขวาของสมการจะเทากน

ท k = 70000.02249.02249.0xx

)6(1

)7(1 =−=−

0000.03056.03056.0xx)6(

2)7(

2 =−=−

0000.0)4939.0(4939.0xx)6(

3)7(

3 =−−−=−


3.3.2 วธเกาสไซเดล (Gauss seidel iterative method)สมมตคา i

)0(x เชนเดยวกบวธของจาโคบ(Jacobi) ตางกนทใชคาใหมทหาไดจากคาเรมตนแลวนาไป

แทนคาในสมการถดไปทนท ( i)1k(

x+ ) นนคอเมอกาหนดคา n

)0(2

)0(1

)0(x,...,x,x แลวแทนในสมการดงน

n)k(

11n13

)k(

11132

)k(

1112

1111

)1k(xa

a...xaaxa

aayx −−−=

+

n)k(

22n23

)k(

22231

)1k(

2221

2222

)1k(xa

a...xaaxa

aayx −−−=

++

.

.

1n)k(

nn1nn3

)1k(

nn2n1

)1k(

nn1n

nnnn

)1k(xa

a...xaaxa

aayx −−+++

−−−=

เมอคานวณหาคา n)1k(

2)1k(

1)1k(

x,...,x,x+++ แลวนาไปแทนกลบใน

n)k(

11n13

)k(

11122

)k(

1112

1111

)1k(xa

a...xaaxa

aayx −−−=

+

n)k(

22n23

)1k(

22231

)1k(

2221

2222

)1k(xa

a...xaaxa

aayx −−−=

+++

.

.

n)k(

iiin1i

)k(

ii)1i(i1i

)1k(

ii)1i(i1

)1k(

ii1i

iiii

)1k(xa

a...xaa

xaa

...xaa

ayx −−−−−= +

+−

+−++

1n)k(

nn1nn1

)1k(

nn1n

nnnn

)1k(xa

a.......xaa

ayx −−++

−−−=

หรอจดสมการใหมจะไดดงน

( )( )

( )

( ))1k(1n1nn

)1k(22n

)1k(111nnnn

)1k(n

)k(nin

)k(1i1ii

)1k(1i1ii

)1k(22i

)1k(11iiii

)1k(i

)k(nn2

)k(323

)1k(121222

)1k(2

)k(nn1

)k(313

)k(212111

)1k(1

xa...xaxaya1x

xa...xaxa...xaxaya1x

xa...xaxaya1x

xa...xaxaya1x

+−−

+++

+++−−

+++

++

+

−−−−=

−−−−−−−=

−−−−=

−−−−=

M

M . . . . . ( 3 6 )


เรมตนดวยคา )0(n

)0(2

)0(1 x,...,x,x ใด ๆ แลวนาไปแทนลงในเทอมขวาของ ( 36 ) จะไดคา )1(

1x คาใหม นา )0(

n)0(

2)0(

1 x,...,x,x แทนในเทอมทางดานขวาของ ( 35 ) จะได )1(2x คาใหม ทาดงนเรอยไป

เมอไดคามาแลวจะนามาทดสอบหาคาขอบเขตการยอมรบ (Tolerance) ถา

0xx)k(

n)1k(

n ≤−+

จะไดคา n)1k(

x+ เปนคาตอบของสมการ

สงทแตกตางระหวางการทาซาของเกาส กบ เกาสไซเดลกคอ คา )1k(ix + สาหรบ i บางคาทหามา

ไดแลว จะถกนาไปแทนในบรรทดถดไปของ ( 36 ) เพอหาคา )1k(1ix +

+ ทนท (ดตวอยางประกอบ)Iteration ( 36 ) จะ converge ภายใตเงอนไขเชนเดยวกบ Iteration ( 34 ) คอ

∑

≠=≤≤

n

ik1k ii

ikni1 a

amax < 1 ....( 37 )

แตถามขอพเศษวา ถาเมตรก A เปน Symmetric positive definite (หมายความวา xT Ax > 0, x ตองเปน positive vector) แลววธเกาสไซเดลจะลเขาหาคาตอบเสมอ แมวา

∑

≠=≤≤

n

ik1k ii

ik

ni1 aa

max </ 1 ....( 38 )

ลาดบขนตอน 3.5 วธเกาสไซเดล (Gauss – Seidel 's method)1. กาหนดให

aik ; i, k = 1(1)n

yi , i = 1(1)nคาเรมตน )0(

ix = 0 ; i = 1(1)n2. For i = 1(1)n do

)1k(ix + =

∑ ⋅−∑ ⋅−+=

−

≠=

+ n

1jj

)k(jij

1i

ij1j

)1k(jijiii

xaxaya1 เมอ k = 0, 1, 2, ...

3. หยดการคานวณ ถา )k(i

)1k(i

ni1xxmax −+

≤≤< 0.5 × n10−


โฟลวชารท 3.5 วธเกาสไซเดล ( Gauss – Seidel's method )

รปท 3.6 โฟลวชารท วธเกาสไซเดล

START

read : n, a(i, k), y(i) ; i = 1(1)n, k = 1(1)n

x(i) = 0

s = y(i)

x(i) = s / a(i, j)

i = 1(1)n

i = 1(1)n

k = 1(1)n

START

yk = i

n

k = 0

s = s - a(i, k)*x(k)

|x(i+1) - x(i) > max max = | x(i+1) - x(i)

max < 0.5 x 10-n print : k, x(i), i = 1(1)n

y

y

คาเรมตน

k = number of iteration

max = 0

x(i) = x(i)n

k = k+1

n


ตวอยางท 3.10 จงหาคา x1, x2 และ x3 โดยวธของเกาสไซเดลอทเทอเรทฟ จากระบบสมการ

)xx3(51x

)xx24(101x

)xx1(81x

213

312

321

++−=

+−=

−+=

กาหนดคา ตวแปรเรมตน 0xxx)0(

3)0(

2)0(

1 ===วธทา จากสมการทกาหนดใหเขยนใหมไดดงน

)1k(2

)1k(1

)1k(3

)k(3

)1k(1

)1k(2

)k(3

)k(2

)1k(1

x2.0x2.06.0x

x1.0x2.04.0x

x125.0x125.0125.0x

+++

++

+

++−=

+−=

−+=

แทนคา 0xxx)0(

3)0(

2)0(

1 === ลงในสมการทงสามจะไดคาตาง ๆ ในแตละขนดงตาราง

k )1(

1

+k

x)1(

2

+k

x)1(

3

+k

x0 0.125 0.375 -0.51 0.2344 0.325 -0.49252 0.2245 0.30593 0.2245 0.3056 -0.49394 0.2249 0.3056 -0.49395 0.2249 0.3056 -0.4939

ดงนนจะได x1 = 0.2249x2 = 0.3056x3 = -0.4939

เปนคาตอบของระบบสมการทกาหนดให เมอนาคาทไดแทนลงในสมการทกาหนดคาดานซายและขวาของสมการจะเทากน

ท k = 5

0000.02249.02249.0)4(

1x)5(

1x =−=−

0000.03056.03056.0xx)4(

2)5(

2 =−=−

0000.0)4939.0(4939.0)4(

3x)5(

3x =−−−=−


3.4 ระบบสมการไมเชงเสน ( Nonlinear equation system )3.4.1 วธทาซาของนวตนราฟสน (Newton Raphson Iterative Methods)

จากชดของสมการf1(x1,x2,…,xn) = y1

f2(x1,x2,…,xn) = y2

: : :fn(x1,x2,…,xn) = yn

เมอกาหนดคาเรมตน )0(

1 ,x)0(

2 ,x …)0(

nx ขนแลว ถา ,x1∆ ,x2∆ … nx∆ เปนคาทเพมขนของ )0(

1 ,x)0(

2 ,x …)0(

nx ตามลาดบ จากสมการ ( 39 ) จะเขยนไดใหมเปน

f1()0(

1x + ,x1∆)0(

2x + ,x2∆ …,)0(

nx + nx∆ ) = y1

f2()0(

1x + ,x1∆)0(

2x + ,x2∆ …,)0(

nx + nx∆ ) = y2

: : :

fn()0(

1x + ,x1∆)0(

2x + ,x2∆ …,)0(

nx + nx∆ ) = yn

ในรปของอนกรมเทเลอร (Talor’s series) สามารถกระจายสมการท ( 40 ) ออกไดเปน

f1()0(

1x + ,1x∆)0(

2x + ,2x∆ …,)0(

nx + nx∆ ) = f1()0(

1 ,x)0(

2 ,x …)0(

nx )+ 1x∆ +∂∂

01

1

xf

2x∆ +∂∂

02

1

xf

+…+ nx∆ +∂∂

01

nxf

1φ

เมอคา 1φ คอฟงชนทมกาลงสง ๆ ของ ,1x∆ ,2x∆ ,3x∆ … nx∆ และอนพนธทสอง, สาม…ของฟงชน f1

1φ = 21x∆ 2

1

12

!2 xf

∂∂ + 2

2x∆ 22

12

!2 xf

∂∂ + 2

3x∆ 23

12

!2 xf∂

∂ +…

+ 31x∆ 3

1

13

!3 xf

∂∂ + 3

2x∆ 22

13

!3 xf

∂∂ + 3

3x∆ 33

13

!3 xf

∂∂ +…

+ 41x∆ 4

1

14

!4 xf

∂∂ + 4

2x∆ 42

14

!4 xf

∂∂ + 4

3x∆ 43

14

!4 xf

∂∂ +… ....( 41 )

ซงคา 1φ มคานอยมากจนสามารถไมนามาคด สมการจะสามารถลดลงเหลอเปน

f1()0(

1 ,x)0(

2 ,x …)0(

nx )+ 1x∆ +∂∂

01

1

xf

2x∆ +∂∂

02

1

xf +…+ nx∆ 0

1

nxf

∂∂ = y1

f2()0(

1 ,x)0(

2 ,x …)0(

nx )+ 1x∆ +∂∂

01

1

xf

2x∆ +∂∂

02

1

xf +…+ nx∆ 0

1

nxf

∂∂ = y2

: : :

fn()0(

1 ,x)0(

2 ,x …)0(

nx )+ 1x∆ +∂∂

01xfn

2x∆ +∂∂

02xf n +…+ nx∆ 0

n

n

xf∂∂ = yn

เขยนอยในรปสมการแบบเมตรกไดเปน

....( 39

....( 40 )

....( 42 )


∆

∆

∆

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

−

−

−

nn

nnn

n

n

nnn

n

n

x

x

x

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xxxfy

xxxfy

xxxfy

:...

:...::

...

...

)...,(

::)...,(

)...,(

2

1

002

01

02

02

20

1

2

01

02

10

1

1

)0()0(

2

)0(

1

)0()0(

2

)0(

122

)0()0(

2

)0(

111

หรอเขยนอยในรปของสมการD = J C ....( 43 )

โดยเราจะเรยกหรอกาหนดให J เปนเมตรกของจาคอเบยน (Jacobian Matrix)หลงจากตงสมการไดแลวกทาการแกสมการหาคา ∆x1, ∆x2,… ∆xn แลวจะได

1)0(

1)1(1 xxx ∆+=

2)0(

2)1(2 xxx ∆+=

: : : :

n)0(

n)1(n xxx ∆+=

เมอไดคา xi คาใหมแลวกนามาคานวณใหม โดยการหาคา D และ J ใหมแทนคาลงในสมการท ( 43 ) จะได ∆xi คาใหม ทาซาไปจนกระทงได D มคาเปนศนยหรออยในขอบเขตคาทตองการหรอยอมรบได (Tolerance)ลาดบขนตอน 3.6 วธการทาซาของนวตน-ราฟสน

1. จดสมการและสมมตคาตอบเรมตน xi โดย i = 1, 2, ..., n2. หาคาของ partial derivative โดยการแทนดวยคาเรมตนและเวกเตอรดานขวามอของสมการ3. หาคาการเปลยนแปลงของตวแปร xi ( โดยวธการกาจดคาโดยวธตรงหรอวธโดยออม )

ถาม ∆ xi ≤ ε แสดงวาคาทไดหลงสดคอคาตอบ4. ถาไมอยในเกณฑยอมรบได กทาการแทนคาดวยตวแปรทหาไดใหม และทาซา ขอ 2 –3 จนไดคาตาม

เงอนไขโฟลวชารท 3.6 วธการทาซาของนวตน-ราฟสน

....( 44 )

start

เลอกคาเรมตนxi

รบคาอนพนธยอยของสมการและเวกเตอรของคาคงท

แกสมการโดยวธของระบบเชงเสน เพอหาคา ∆xi

แกสมการโดยวธของระบบเชงเสน เพอหาคา ∆xi

∆xi < ε

ปรบคาxi =xi+∆xi

ไมใช

stop ใช

รปท 3.7 วธการทาซาของนวตน-ราฟสน


ตวอยางท 3.11 จงหาคาตอบของสมการไมเปนเชงเสนตอไปนโดยวธของนวตนราฟสน เมอกาหนดใหม tolerance ≈ 0.0001 จากสมการ

y2 – 4x – 4 = 02y – x – 2 = 0

วธทา ให f1 = y2 – 4x – 4 = 0 ....( 3.11.1 ) f2 = 2y – x – 2 = 0 ....( 3.11.2 )

นาฟงชนทงสองมารางกราฟหาคาโดยประมาณไดดงรปท 3.6

พจารณาจากรปจะไดคา x ≅ -1 , y ≅ 1แทนคาทไดโดยประมาณเปนคาเรมตนลงในสมการทงสอง (f1, f2) จะได

=)y,x(f)0()0(

1 y2 – 4x – 4 = 1 + 4 – 4 = 1

=)y,x(f)0()0(

2 2y – x – 2 = 2(1) +1 – 2 = 14)44( 2

01 −=−−

∂∂

=∂∂ xy

xxf

2)1(22)44( 20

1 ===−−∂∂

=∂∂

yxyyy

f

1)22(02 −=−−

∂∂

=∂∂

xyxx

f

2)22(02 =−−

∂∂

=∂∂

xyyy

f

แทนคาลงในเมตรก D = JC

∆∆

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

−

−yx

yf

xf

yf

xf

yxfy

yxfy

02

02

01

01

)0()0(

12

)0()0(

11

),(

),( ....( 3.11.3 )

2

1

1 2

2

1

-2 -1 0 x

yf1= y2 - 4x - 4 = 0

f2= 2y - x - 2 = 0

รปท 3.8 ฟงชนของตวอยาง 3.11


จะสามารถเขยนไดเปน

∆∆

−−

=

−−

yx

2124

1010

หรอ

−−

=

∆∆

−−

−−

=

∆∆

−−

11

2124

1010

2124

yx

yx

และหาคา ∆x และ ∆ y ไดคอ

060

21242121

x =−=

−−−−

=∆

5.063

21241114

y −=−=

−−

−−−−

=∆

หาคาตวแปรตวใหม

101xxx)0()1(

−=+−=∆+=

5.05.01yyy)0()1(

=−=∆+=แทนคาใหมทไดลงในสมการ ( 3.11.1 - 3.11.2 ) หาคา (f1, f2) คาใหมจะได

=)y,x(f)1()1(

1 y2 – 4x – 4 = 0.25 + 4 – 4 = 0.25

=)y,x(f)1()1(

2 2y – x – 2 = 2(0.5) +1 – 2 = 0หาคาของอนพนธของฟงชน f1, f2 เทยบกบ x, y

4)4x4y(xxf 2

11 −=−−∂

∂=∂

∂

1)5.0(2y2)4x4y(yyf 2

11 ===−−∂

∂=∂

∂

1)2xy2(xxf

12 −=−−∂

∂=∂

∂


2)2xy2(yyf

12 =−−∂

∂=∂

∂

แทนคาลงในเมตรก สมการท ( 3.11.3 )

∆∆

−−

=

−−

yx

2114

0025.00

∴ ∆x = 0.07143∴ ∆y = 0.03571

92857.007143.01xxx)1()2(

−=+−=∆+=

5357.003571.05.0yyy)1()2(

=+=∆+=แทนคาใหมทไดแทนลงในสมการ ( 3.11.1 – 3.11.2 ) หาคา (f1, f2) คาใหมจะได

=)y,x(f)2()2(

1 y2 – 4x – 4 = 0.28699 + 3.71428 – 4 = 0.00127

=)y,x(f)2()2(

2 2y – x – 2 = 2(0.5357) +0.92857 – 2 = -0.00001หาคาของอนพนธของฟงชน f1, f2 เทยบกบ x, y

4)4x4y(xxf 2

21 −=−−∂

∂=∂

∂

07142.1)53571.0(2y2)4x4y(yyf 2

21 ===−−∂

∂=∂

∂

1)2xy2(xxf

22 −=−−∂

∂=∂

∂

2)2xy2(yyf

22 =−−∂

∂=∂

∂

แทนคาลงในเมตรก สมการท ( 3.11.3)

∆∆

−−

=

+−

yx

2107142.14

00001.0000127.00

∴ ∆x = 0.000368∴ ∆y = 0.000189

∴ 9282.0000368.0928571.0xxx)2()3(

−=+−=∆+=

535899.0000189.053571.0yyy)2()3(

=+=∆+=แทนคาใหมทไดแทนลงในสมการ ( 3.11.1 – 3.11.2 ) หาคา (f1, f2) คาใหมจะได

=)y,x(f)3()3(

1 y2 – 4x – 4 = 0.2871877 + 3.7128 – 4 = 0.0000123

=)y,x(f)3()3(

2 2y – x – 2 = 2(0.535899) +0.9282 – 2 = 0.000002ดงนน x = -0.9282

y = 0.535899


3.5 สรปการแกระบบสมการเชงเสนและไมเชงเสนสามารถแบงออกไดเปนสองประเภทคอ วธโดยตรง ไดแก

การกาจดคาของเกาส การกาจดคาของเกาสจอแดน การแยกเมตรกสามเหลยมลางและบน วธโดยออมหรอวธทาซา ซงสามารถใชไดทงระบบสมการเชงเสนและไมเชงเสนของระบบขนาดใหญ แตในบทนไดเสนอเฉพาะตวอยางระบบเชงเสนเทานน หวขอสดทายเปนระบบสมการไมเชงเสนซงไดเสนอวธการทาซาแบบนวตน-ราฟสน

---------------------


แบบฝกหดท 3

1. จากรปวงจรใหหาคา I1, I2 และ I3 โดยใชวธกาจดของเกาส และ วธกาจดของเกาสจอแดน5 โอหม 2 โอหม

5 โอหมI1

-j2 โอหม j5 โอหม

-j2 โอหม3 โอหม I2 I310 โวลต

มม 30 องศา

2. แยกเมตรก A หาเมตรกผกผนของ Aโดยวธแยกสวน L U เมอ

−

−−−

=

2212114421111111

A

3. จากระบบสมการใชวธเกาสอทเทอเรทฟ และเกาสไซเดลหาคาตวแปร x1, x2, x3 โดยใชทศนยม 5 ตาแหนง

A

−=

−−−

−=

649

xxx

510151

015

3

2

1

4. จากสมการขางลางนใหนกศกษาใชวธของนวตนราฟสนหาคาตวแปร x,y และ zx2 + xy + z = 1.20y2 + yz + x = 1.76 x + 2z = 1.50

โดยกาหนดใหคาเรมตนคอ 75.0z,1y,0x)0()0()0(=== และ Tolerance = 0.0001

5. ใหนกศกษาแกสมการตอไปนโดยวธนวตนราฟสนx + x2 –2yz = 0.1

y – y2 + 3xz = -0.2

z + z2 + xy = 0.3

โดยกาหนดใหคาเรมตนคอ 0zyx)0()0()0(=== และ Tolerance = 0.0001

-----------------

หน วยที่ 3 ระบบสมการเชิงเส นแ ... · 2006-03-17 ·...

Documents