บทที่1:ลิมิตและความตอเนื่อง...
TRANSCRIPT
1
บทที่ 1: ลิมิตและความตอเนื่อง
• ความหมายของลิมิต• ลิมิตทางซายและลิมิตทางขวา• ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต• ลิมิตเกี่ยวกับอนันต• ความตอเนื่อง
y = sin 1x
2
1.1 ความหมายของลิมิต
พิจารณาคาฟงกชัน f (x) =2x − 1
xเมื่อ x มีคาเขาใกล 0
x f (x) x f (x)
1 1 −1 0.5
0.5 0.828427 −0.5 0.585786
0.1 0.717735 −0.1 0.669670
0.05 0.705298 −0.05 0.681273
0.01 0.695555 −0.01 0.690750
0.005 0.694350 −0.005 0.691947
0.001 0.693387 −0.001 0.692907
0.0001 0.693171 −0.0001 0.693123
0.00001 0.693150 −0.00001 0.693145
y = f(x)
limx→0
2x − 1
x= ln 2 ≈ 0.693147
3
บทนิยามสมมติวา f (x) มีคาเมื่อ x เขาใกล a จะกลาววา
limx→a
f (x) = L
เมื่อสามารถทำให f (x) มีคาเขาใกล L ไดเทาที่ตองการโดยการเลือกคา x ที่ใกล a มากพอ (แตไมเทากับ a)กลาวคือ
∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Df
[0 < |x− a| < δ ⇒ |f (x)− L| < ε
]
4
ตัวอยางจงหาวา lim
x→0f (x) มีคาหรือไม
1. f (x) =√
1
x2+
1
x−
√1
x2
2. f (x) = sinx
x
3. f (x) = sinπ
x
4. f (x) =
1 เมื่อ x เปนจำนวนตรรกยะ0 เมื่อ x เปนจำนวนอตรรกยะ
5
1.2 ลิมิตทางซายและลิมิตทางขวา
พิจารณา Heaviside function ซึ่งกำหนดโดย
H(x) =
0 เมื่อ x < 0
1 เมื่อ x ≥ 0
1
limx→0−
H(x) = 0 และ limx→0+
H(x) = 1
limx→a
f (x) = L ก็ตอเมื่อ limx→a−
f (x) = L และ limx→a+
f (x) = L
6
ตัวอยางนิยาม signum function หรือ sign function ดังนี้
sgn(x) =
−1 เมื่อ x < 0
0 เมื่อ x = 0
1 เมื่อ x > 0
1
−1
จงพิจารณาคาของลิมิตตอไปนี้1. lim
x→0−sgn(x)
2. limx→0+
sgn(x)
3. limx→0
sgn(x)
7
ตัวอยางจงพิจารณาลิมิตทางซายและลิมิตทางขวาเมื่อ x → 0 ของฟงกชันตอไปนี้1. f (x) = |x|
x
2. f (x) = x4√x2
3. f (x) = ⌊x⌋ = จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีคาไมเกิน x
8
1.3 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต
ทฤษฎีบท: ลิมิตในกรณีเฉพาะlimx→a
x = a และ limx→a
c = c (c เปนคาคงตัว)
ทฤษฎีบท: การบวก ลบ คูณ หารลิมิตให c เปนคาคงตัวและ lim
x→af (x) และ lim
x→ag(x) มีคา แลว
1. limx→a
(f (x) + g(x)
)= lim
x→af (x) + lim
x→ag(x)
2. limx→a
(f (x)− g(x)
)= lim
x→af (x)− lim
x→ag(x)
3. limx→a
(c f (x)
)= c lim
x→af (x)
4. limx→a
(f (x)g(x)
)= lim
x→af (x) · lim
x→ag(x)
5. limx→a
f (x)
g(x)=
limx→a
f (x)
limx→a
g(x)เมื่อ lim
x→ag(x) ̸= 0
limx→a
(f (x)
)n=
(limx→a
f (x))n เมื่อ n เปนจำนวนเต็มบวก
ตัวอยางจงหาคาของ lim
x→2
(3x2 − 3x− 2
)2
9
ทฤษฎีบท: ลิมิตเกี่ยวกับรากและคาสัมบูรณให n เปนจำนวนเต็มบวก1. lim
x→a
n√x = n
√a (กรณีที่ n เปนคู จะให a ≥ 0)
2. limx→a
n
√f (x) = n
√limx→a
f (x)
(กรณีที่ n เปนคู จะให limx→a
f (x) ≥ 0)
3. limx→a
|f (x)| =∣∣∣ limx→a
f (x)∣∣∣
10
ตัวอยางจงหาคาของลิมิตตอไปนี้
1. limx→−1
√x3 + 2x + 7
4− 5x
2. limx→1
|x2 − 1|x− 1
3. limx→1
|x− 1||x3 − 1||x5 − 1|(x2 − 1)(x4 − 1)
11
บทนิยาม1. ถา f (x) เปนพหุนามของตัวแปร x
แลวจะกลาววา f เปนฟงกชันพหุนาม
2. ถามีพหุนาม P (x) และ Q(x) ซึ่ง f (x) =P (x)
Q(x)
แลวจะกลาววา f เปนฟงกชันตรรกยะ
ตัวอยางฟงกชันใดตอไปนี้เปนฟงกชันตรรกยะx + 1
x2 + 1,
1
x, x2, 1, |x|, 1√
x,
|x||x|3
ทฤษฎีบท: ลิมิตของฟงกชันตรรกยะ1. ถา f เปนฟงกชันพหุนาม แลว lim
x→af (x) = f (a)
2. ถา f เปนฟงกชันตรรกยะ และ a อยูในโดเมนของ fแลว lim
x→af (x) = f (a)
12
ตัวอยางจงหาคาของลิมิตตอไปนี้1. lim
x→1
x2 − 1
x3 − 1
2. limx→1
x2019 − 1
x2562 − 1
3. limx→0
√x2 + 4− 2√x2 + 9− 3
13
ตัวอยางจงหาคาของ lim
x→0
2019√x + 1− 1
2562√x + 1− 1
14
ทฤษฎีบท: The Squeeze Theoremถา f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) เมื่อ x มีคาใกล a
(แตอสมการไมจำเปนตองเปนจริงเมื่อ x = a) และ
limx→a
f (x) = limx→a
h(x) = L
แลวจะไดวา limx→a
g(x) = L
15
ตัวอยางจงหาคาของลิมิตตอไปนี้1. lim
x→0x2 sin
1
x
2. limx→0
x sin1
x
16
ทฤษฎีบท: ลิมิตของฟงกชันประกอบถา lim
x→af (x) = M และ lim
x→Mg(x) = g(M)
(กลาวคือ g ตอเนื่องที่ M ) แลว
limx→a
g(f (x)
)= g
(limx→a
f (x))
ตัวอยาง
1. จงหาคาของ limx→0
sgn(x)
2. จงหาคาของ sgn(limx→0
x)
3. limx→0
sgn(x) กับ sgn(limx→0
x)
มีคาเทากันหรือไม ?
17
ลิมิตของฟงกชันตรีโกณมิติทฤษฎีบท
limx→0
sinx
x= 1
18
ตัวอยางจงหาคาของลิมิตตอไปนี้1. lim
x→0
1− cosx
x2
2. limx→0
tan 5x
sin 7x
3. limx→0
sin 3x sin 5x
1− cos 2x
19
ตัวอยางจงหาคาของลิมิตตอไปนี้1. lim
x→1
sin πx
x− 1
2. limx→0
x− sinx
x3(เมื่อกำหนดใหลิมิตมีคา)
20
1.4 ลิมิตเกี่ยวกับอนันต
y = 1x
ตัวอยางจงหาคาของลิมิตตอไปนี้1. lim
x→∞arctanx
2. limx→−∞
arctanx
21
ตัวอยางจงหาคาของลิมิตตอไปนี้1. lim
x→∞
(√x2 + x− x
)
2. limx→−∞
(x +
√x2 − x
)
22
วิธีหนึ่งในการพิจารณา limx→∞
f (x) และ limx→−∞
f (x)
ทำไดโดยการให x = 1t ซึ่งจะไดวา
ถา t → 0+ แลว x → ∞
ถา t → 0− แลว x → −∞
ทฤษฎีบท1. lim
x→∞f (x) = L ก็ตอเมื่อ lim
t→0+f(1t
)= L
2. limx→−∞
f (x) = L ก็ตอเมื่อ limt→0−
f(1t
)= L
ตัวอยางจงหาคาของ lim
x→∞x sin
1
x
23
บทนิยาม1. ถา f (x) มีคาเพิ่มขึ้นอยางไมมีขีดจำกัด เมื่อ x → a
จะเขียนแทนดวย limx→a
f (x) = ∞
2. ถา f (x) มีคาลดลงอยางไมมีขีดจำกัด เมื่อ x → a
จะเขียนแทนดวย limx→a
f (x) = −∞
ตัวอยางจงพิจารณาลิมิตตอไปนี้1. lim
x→π2−tanx
2. limx→π
2+tanx
24
ทฤษฎีบท
สมมติวา limx→a
1
f (x)= 0
1. f (x) > 0 เมื่อ x → a แลว limx→a
f (x) = ∞
2. f (x) < 0 เมื่อ x → a แลว limx→a
f (x) = −∞
25
ตัวอยางให f (x) =
sin πx
(x− 1)2จงพิจารณาคาของลิมิตตอไปนี้
1. limx→1−
f (x)
2. limx→1+
f (x)
26
1.5 ความตอเนื่อง
บทนิยาม1. f ตอเนื่องที่ a ก็ตอเมื่อ lim
x→af (x) = f (a)
2. f ตอเนื่องทางซายที่ a ก็ตอเมื่อ limx→a−
f (x) = f (a)
3. f ตอเนื่องทางขวาที่ a ก็ตอเมื่อ limx→a+
f (x) = f (a)
27
ตัวอยางให f (x) = ⌊x⌋ = จำนวนเต็มที่มากที่สุดที่มีคาไมเกิน x
1. จงหาวา f ตอเนื่องทางซายที่จุดใดบาง
2. จงหาวา f ตอเนื่องทางขวาที่จุดใดบาง
3. จงหาวา f ตอเนื่องที่จุดใดบาง
28
บทนิยามฟงกชัน f จะตอเนื่องบนชวง ก็ตอเมื่อ f ตอเนื่องที่ทุกจุดบนชวงนั้นในกรณีของจุดปลาย ใหพิจารณาความตอเนื่องที่จุดปลายนั้นดวยความตอเนื่องทางซายหรือความตอเนื่องทางขวา
ตัวอยางให f (x) =
√1− x2
จงหาวา f ตอเนื่องบนโดเมนของ f หรือไม
29
ทฤษฎีบทถาฟงกชัน f และ g ตอเนื่องที่ a และให c เปนคาคงตัวแลวฟงกชันตอไปนี้จะตอเนื่องที่ a
f +g, f −g, cf, fg,f
g(เมื่อ g(a) ̸= 0)
ทฤษฎีบทฟงกชันประเภทตอไปนี้ตอเนื่องที่ทุกจุดบนโดเมน
ฟงกชันพหุนาม ฟงกชันตรรกยะฟงกชันราก ฟงกชันตรีโกณมิติ