1

บทที่ 2

ระบบพิกัดเชิงขั้ว (Polar Coordinates)

1. ระบบพิกัดเชิงขั้ว

แกนเชิงขั้ว

r

θ

2. กราฟของสมการเชิงขั้ว (Polar Curves)

3. จุดตัดของกราฟเชิงขั้ว

4. พื้นที่ในพิกัดเชิงขั้วr = f(θ)

Area

r = f(θ)

Area

2

ระบบพิกัดเชิงขั้ว

แกนเชิงขั้ว(polar axis)ขั้ว

(pole)

r

θ

(r, θ)

แตละจุด กำหนดมุมไดหลายคาจุด (r, θ) มีตำแหนงเดียวกับจุด (r, θ + 2nπ)

(r, θ), (r, θ ± 2π), (r, θ ± 4π), . . .

การกำหนดจุด เมื่อ r < 0

จุด (−r, θ) ไดจากสะทอนจุด (r, θ) ผานขั้ว

(r, θ)

(−r, θ)

3

จุด (r, θ) แตละจุด จะมีพิกัดทั้งหมดในรูป(r, θ + 2nπ

),

(− r, θ + (2n− 1)π

)หรืออาจเขียนในรูป (

(−1)nr, θ + nπ)

ตัวอยางจงหาพิกัดเชิงขั้ว (r, θ) ของจุด (2, 480◦) เมื่อ1. r > 0 และ 0◦ ≤ θ < 360◦

2. r < 0 และ 0◦ ≤ θ < 360◦

3. r > 0 และ −720◦ ≤ θ < −360◦

4. r < 0 และ −720◦ ≤ θ < −360◦

4

ความสัมพันธระหวางพิกัดเชิงขั้วกับพิกัดฉาก

r

θx

y

x = r cos θ

y = r sin θและ

r2 = x2 + y2

tan θ =y

x

5

ตัวอยางจงหาสมการคารทีเซียนของสมการเชิงขั้วตอไปนี้1. r = 2

2. θ = π3

3. r = 2 cos θ

4. r = 4 sin θ

5. r = cos θ + 2 sin θ

6. r = 1

2 cos θ + 3 sin θ

6

7. r = 1

2 + sin θ

8. r = sec θ tan θ

9. r2 = 2a2 cos 2θ

7

10. r2 = 2a2 sin 2θ

11. r2 = 2a2 tan 2θ

12. r = a

1 + e cos θ

8

ตัวอยางจงหาสมการเชิงขั้วของสมการคารทีเซียนตอไปนี้1. x = a

2. y = b

3. ax + by = c

4. x2 + y2 = a2

5. x2 + y2 + ax + by + c = 0

6. x2

a2+y2

b2= 1

9

7. y2 = 4cx

8. x2

a2− y2

b2= 1

9. xy = a

10. x4 + 2x2y2 + y4 = x2 − y2

11. x4 + 2x2y2 + y4 = 2xy

12. x4 − y4 = 2xy

10

กราฟเชิงขั้ว (Polar Curves)

ตัวอยาง

r = 2 r = −2

θ = π3 θ = −π

3

11

ตัวอยางกราฟ r = 2 cos θ

กราฟ r = 2 sin θ

12

ตัวอยางกราฟ r = 1 + sin θ

π2

π 3π2

2π

0.5

1

1.5

2

13

ตัวอยางกราฟ r = cos 2θ

π4

π2

3π4

π 5π4

3π2

7π4

2π

14

สมมาตรของกราฟเชิงขั้ว

1. กราฟ f (r, θ) = 0 มีสมมาตรเทียบกับแกนเชิงขั้ว เมื่อ• f (r,−θ) = 0 หรือ f (−r, π − θ) = 0 หรือ• มีจำนวนเต็ม n ซึ่ง f (r, 2nπ − θ) = 0 หรือ• มีจำนวนเต็ม n ซึ่ง f (−r, (2n + 1)π − θ) = 0

ตัวอยาง

จงตรวจสอบสมมาตรเทียบกับแกนเชิงขั้ว1. r = cos θ

2. r2 = sin θ

3. r = |θ| + |4π − θ|

15

2. กราฟ f (r, θ) = 0 มีสมมาตรเทียบกับเสนตรง θ = 90◦ เมื่อ• f (r, π − θ) = 0 หรือ f (−r,−θ) = 0 หรือ• มีจำนวนเต็ม n ซึ่ง f (r, (2n + 1)π − θ) = 0 หรือ• มีจำนวนเต็ม n ซึ่ง f (−r, 2nπ − θ) = 0

ตัวอยาง

จงตรวจสอบสมมาตรเทียบกับเสนตรง θ = 90◦

1. r = sin θ

2. r = θ

3. r = |θ| + |3π − θ|

16

3. กราฟ f (r, θ) = 0 มีสมมาตรเทียบกับขั้ว เมื่อ• f (r, π + θ) = 0 หรือ f (−r, θ) = 0 หรือ• มีจำนวนเต็ม n ซึ่ง f (r, (2n + 1)π + θ) = 0 หรือ• มีจำนวนเต็ม n ซึ่ง f (−r, 2nπ + θ) = 0

ตัวอยาง

จงตรวจสอบสมมาตรเทียบกับขั้ว1. r2 = θ

2. r = sin 2θ

3. r = sinθ

2

17

Limaçon and CardioidLimaçon ไดจากรอยของจุดบนแนวรัศมีของวงกลมวงหนึ่งที่กลิ้งไปตามรอบนอกของวงกลมอีกวงที่มีรัศมีเทากันถาจุดที่สรางรอยอยูบนเสนรอบวงพอดี จะได Cardioid

r = a + b sin θ หรือ r = a + b cos θ

กรณี |a| = |b| กรณี |a| < |b| กรณี |a| > |b|

r = 1 + sin θ r = 1 + 2 sin θ r = 2 + sin θ

18

Lemniscateกำหนดจุดตรึง F1 และ F2

Lemniscate เปนเซตของจุด P ใด ๆซึ่ง |PF1| |PF2| = a2 เปนคาคงตัว

r2 = 2a2 cos 2θ r2 = 2a2 sin 2θ

19

Rose Curve (เสนโคงกุหลาบ)r = a cosnθ

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6

r = a sinnθ

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 6

กราฟ r = sinnθ เมื่อ n ไมใชจำนวนเต็ม

n = 12 n = 3

2 n = 13 n = 2

3 n = 45 n = π

20

ภาคตัดกรวยr =

a

1− e sin θ

1. เมื่อ e = 0 จะได วงกลม

2. เมื่อ 0 < e < 1 จะได วงรี

e = 0.5

3. เมื่อ e = 1 จะได พาราโบลา

4. เมื่อ e > 1 จะได ไฮเพอรโบลา

e = 1.5

21

จุดตัดของกราฟเชิงขั้ว

ตัวอยางจงหาจุดตัดทั้งหมดของเสนโคง r = 2 cos 2θ กับ r = 1

22

ตัวอยางจงหาจุดตัดทั้งหมดของเสนโคง

r = 1 + sin θ กับ r = 1− sin θ

23

พื้นที่ในพิกัดเชิงขั้วr

θพื้นที่ = 1

2r2θ

θ = a

θ = b

r = f (θ)θ = θi−1

θ = θi

r = f(θ∗i )

∆Ai ≈1

2(f (θ∗i ))

2∆θ

A =n∑

i=1

1

2(f (θ∗i ))

2∆θ

limn→∞

n∑i=1

1

2(f (θ∗i ))

2∆θ =

ˆ b

a

1

2(f (θ))2 dθ

A =1

2

ˆ b

a(f (θ))2 dθ

24

ตัวอยางจงหาพื้นที่ภายในวงกลม r = 2a cos θ

25

ตัวอยาง

พิจารณาเสนโคงกลีบกุหลาบr = sinnθ

n = 2 n = 3

จงหาพื้นที่ของบริเวณตอไปนี้• บริเวณภายในกลีบใดกลีบหนึ่งของเสนโคงกลีบกุหลาบ

• บริเวณทั้งหมดที่ปดลอมดวยเสนโคงกลีบกุหลาบ

26

ตัวอยางจงหาพื้นที่ของบริเวณที่ปดลอมดวยlemiscate r2 = 2a2 cos 2θ

27

พื้นที่ระหวางเสนโคง

θ = a

θ = br = f (θ)

r = g(θ)

A =1

2

ˆ b

a

[(f (θ))2 − (g(θ))2

]dθ

28

ตัวอยางให A เปนบริเวณภายในวงกลม r = 3 sin θ

B เปนบริเวณภายใน cardioid r = 1 + sin θ

1. จงหาพื้นที่สวนที่อยูภายใน A แตอยูภายนอก B

2. จงหาพื้นที่สวนที่อยูภายใน B แตอยูภายนอก A

3. จงหาพื้นที่สวนที่อยูภายใน A และ B

29

ตัวอยางพิจารณา limaçonr = 1 + 2 sin θ

จงหาพื้นที่ของบริเวณตอไปนี้1. บริเวณภายในวงใหญของ limaçon

2. บริเวณภายในวงเล็กของ limaçon

3. บริเวณที่อยูภายในวงใหญแตอยูภายนอกวงเล็กของ limaçon