แคลคูลสั (calculus) - kku web hosting · วิชา แคลคูลัส...

[ ฉบบเตม ]

เอกสารประกอบการบรรยาย

อ.วฒนา เถาวทพย ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน Web: http://home.kku.ac.th/wattou

โครงการพฒนาครวทยาศาสตร คณตศาสตร และคอมพวเตอร ระหวาง วนท 9-13 พฤษภาคม 2554 คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน

แคลคลส (Calculus) ◙ ลมตและความตอเนอง

◙ อนพนธ ของฟงกชน

http://home.kku.ac.th/wattou

■ วชา แคลคลส เรอง ลมต ความตอเนอง และ อนพนธของฟงกชน หนา 2 / 71

◙ อ.วฒนา เถาวทพย ภาควชาคณตศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน

ค าน า เอกสารฉบบน ใชประกอบการอบรมครคณตศาสตร วชาแคลคลส ในโครงการพฒนาครวทยาศาสตร คณตศาสตร คอมพวเตอร ระดบมธยมศกษาตอนปลาย เรองลมต ความตอเนอง และ อนพนธของฟงกชน เพอเพมพนและเสรมประสบการณ ใหกบครผสอน

ในสวนแรกจะเปนบทน าเกยวกบประวตความเปนมา และ ความส าคญของวชาแคลคลส ในบทท 1-2 และกจกรรม จะยดตามคมออบรมครวทยาศาสตร คณตศาสตร คอมพวเตอร ฯ ระดบมธยมศกษาตอนปลาย [1] ทแจกใหผเขาอบรมทกคน ขอเสนอแนะขอสงเกตตางๆจะเพมเตมในกรอบ และในสวนทายไดน าเสนอตวอยางขอสอบเขามหาวทยาลยบางขอทนาสนใจ

เอกสารฉบบนและเอกสารอนๆทเกยวของกบคณตศาสตรระดบมธยมศกษาในบางเรอง

สามารถดาวนโหลดไดจาก http://home.kku.ac.th/wattou เอกสารสวนใหญเปนการท าขนเพอใชในการบรรยายครงแรก จงยงคงมขอผดพลาดอยบางประการ ผสนใจสามารถน าไปเปนแนวทาง พฒนาปรบปรงแกไขเพอน าไปใชตอไปได โดยไมสงวนสทธแตอยางใด

อ.วฒนา เถาวทพย ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยขอนแกน

http://home.kku.ac.th/wattou



สารบญ ค าน า บทน า 4 1. ลมต และ ความตอเนอง (Limit and Continuity) 6 2. อนพนธของฟงกชน (Derivatives of Functions) 33 กจกรรม 54 ตวอยางขอสอบเขามหาวทยาลย 66 เอกสารอางอง 71



บทน า

แนวความคดของวชา แคลคลส (Calculus) ถอก าเนดมาจากความพยายามในการแกปญหาทางเรขาคณต (Geometry) ทกนเวลานบพนป เกยวกบการหาความชนของเสนสมผสเสนโคง และ การหาพนทของบรเวณทลอมรอบบางสวนดวยเสนโคง จนถงศตวรรษท 14 กยงไมมนกคณตศาสตร แกปญหาเหลานได และยงไดเกดปญหาอนๆตามมาอก เกยวกบการหาความเรว ณ ขณะ เวลาหนงในการเคลอนทของวตถทอตราเรวไมคงท ผทเปนทยอมรบวาเกดแนวคดเรองแคลคลสกอนผใด ในศตวรรษท 17 ประมาณป ค.ศ. 1667 คอ เซอร ไอแซก นวตน (Sir Isaac Newton 1643-1727 ) นกฟสกสชาวองกฤษ สนใจในเรองคณตศาสตรของการเคลอนท ซงมการเปลยนแปลงตลอดเวลา กฎเกณฑของการเปลยนแปลงนเอง ท าใหเปนทมาของแคลคลส ในเรอง อนพนธ (Derivatives) และ ปรพนธ (Integral)

Sir Isaac Newton (1643-1727) Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716)



ในขณะเวลาเดยวกนมนกคณตศาสตรชาวเยอรมนชอ กอททฟรด วลเฮลม ไลบนทซ (Gottfried Wilhelm Leibnitz 1646-1716) ไดเกด แนวคดในลกษณะเดยวกน และไดแลกเปลยนทศนะกนอยางตอเนอง จนสามารถแกปญหาทางคณตศาสตรทกลาวมาขางตนไดอยางมประสทธภาพ โดยอนพนธชวยในการหาความชนของเสนสมผสเสนโคง และความเรว สวน ปรพนธชวยในการหาพนทของบรเวณทลอมรอบดวยเสนโคง และ สมการการเคลอนทได และทฤษฏบททถอวาสวยงามทสดทฤษฎหนงคอทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส (Fundamental Theorem of Calculus) ซงเปนทฤษฎบททแสดงความสมพนธระหวางอนพนธ และ ปรพนธ ดวยเหตนจงท าใหบคคลทงสองไดรบการยอมรบวาผคนพบวชาแคลคลส ปจจบนแคลคลสเปนวชาคณตศาสตรทมความส าคญอยางยง สามารถน าไปประยกตใชในแทบทกสาขาวชาทเกยวของกบการหาคาสงสด และ คาต าสดของฟงกชน และปญหาทกอยางทเกยวกบการเปลยนแปลงทมตวแบบทางคณตศาสตร (Mathematical Model) เปนสมการเชงอนพนธ (Differential Equations) และ สมการเชงปรพนธ (Integral Equations)



1. ลมตและความตอเนอง มโนภาพของลมต นบวาเปนเรองทสวยงามทสดเรองหนงในการศกษาคณตศาสตรระดบมหาวทยาลย และถอไดวาเปนหวใจส าคญของแคลคลส และเปนเรองยากมากในการท าใหนกเรยนระดบมธยมศกษา มมโนภาพของลมต ทสมบรณได ผสอนอาจเรมตนแนะน ามโนภาพของลมตทวๆไป กอนเขาสแนวคดลมตของฟงกชนทพจารณาจากคาของฟงกชนจากตาราง...

ความชนของเสนสมผส พนทใตเสนโคง

วงกลม และ cos0



ในเบองตนควรใหนกเรยนหาลมตโดยพจารณาการท x a จากการแสดงคาในตารางกอน ดงตวอยางตอไปน ...



ตวอยางนอาจท าใหนกเรยนสงสยวา เราสามารถแทนคา x a โดยตรงไดหรอไม ตวอยางตอไปจะเปนค าตอบวา ... ไมได

ตวอยางตอไป เปนการหาลมตส าหรบฟงกชนทบางชวงของโดเมนก าหนดคาตางกน ...



ตวอยางตอไปเปนลกษณะบางฟงกชนทสามารถจดรปใหมโดยการประยกตสตรผลตางก าลงสอง เพอใหพจารณาการแทนคาได ....

1 1 1 1 1( )

1 1 ( 1 1) 1 1

x x xf x

x x x x x

ทฤษฎบทเกยวกบการหาลมตของฟงกชนยงไมสามารถพสจนใหเหนชดเจนไดในระดบมธยมศกษา จนกวามบทนยามของลมตทชดเจนดงน บทนยาม ก าหนด ( )y f x เปนฟงกชนคาจรง ให a เปนจดลมต (Limit point) ใน fD และ L เปนจ านวนจรง จะกลาววา lim ( )

x af x L

กตอเมอ ก าหนด 0 จะม 0 ซงถา

x a แลวท าให ( )f x L ... บทนยามนเปนมโนภาพของลมตทสมบรณทจะศกษาในระดบมหาวทยาลย



พจารณาทฤษฎบท ขอ 9. ก าหนดให ( )f x x จะเหนวา

0lim ( ) 0x

f x

และ 0

lim ( ) 0 0x

f x

แต 0

limx

x

ไมมคา เพราะ 0

lim 0x

x

และ 0

limx

x

ไมมคา

ดงนน 0 0

lim ( ) lim ( )x x

f x f x



เอกสารทสงมาเพอแกไขขอผดพลาด... หนา 4 บทท 1 หวขอ 1.2 ทฤษฎบท 1.2.1 ขอ 9

มขอคลาดเคลอน ตวอยาง

f(x) = 23 xx , L = 0

0x

lim

23 xx = )xx(lim 23

0x

= 0 = 0

ถาใชทฤษฎบท ขอ 9 ขางบน จะไดลมตเปน 0 แตทจรง ไมมลมต คอ

0xlim

23 xx = 0x

lim

|x| 1x ไมมลมต (ทงดานซายดานขวา)

ส าหรบ ขอ 7 ในทฤษฎบท 1.3.2 ในหนา 12 กนาจะผดเชนเดยวกน

พจารณาจากเอกสารทสงมาเพอแกไขขอผดพลาด

พจารณา fD เมอ 3 2( )f x x x จะพบวา

3 2 0x x 2( 1) 0x x แสดงวา 0x หรอ 1x การพจารณา 0x จงไมสามารถท าได ดงนน 3 2

0limx

x x

จงไมนยาม

ในระดบสง การพจารณา x a จะตองมเงอนไขวา a เปน limit point ขอ 9. อาจแกเปน 9. lim ( ) lim ( ) nn

nx a x a

f x f x L

เมอ n เปนจ านวนเตมบวกค และ 0L หรอ เมอ n เปน

จ านวนเตมบวกค และ 0L



ทฤษฏบทน เปนทรจกกนในชอ Sandwich Theorem และจะตองใชอยางระมดระวง ...

พจารณาตวอยาง 1.2.8 ใหรอบคอบจะพบวา ไมมฟงกชน f ทท าให 28 2 ( ) 4 5x x f x x ส าหรบทก x ดงกราฟตอไปน

จะเหนวา

0

sinlim 0x

x

x แต

0

coslimx

x

x น าไปสลมตคาอนนต (Infinity) ดงหวขอตอไปน



พจารณาขอ 7.



2. อนพนธของฟงกชน

พจารณาฟงกชน ( )y f x ทมกราฟเปนเสนโคงใดๆ



กจกรรม



ตวอยางขอสอบเขามหาวทยาลย

1. 30x x

1lim

[ )x1)(x1( )x1)(x1(x1 x1 22 ] มคาเทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 41 3. 2

1 4. 1

2. ก าหนดให f และ g เปนฟงกชนตอเนองทจด x = 4 และ

g(x) =

4 x เมอ kx-4

4 x เมอ )2x4x)(x(f

2 โดยท k เปนคาคงตว

ถากราฟของ f ตดเสนตรง y = x + 1 ทจดซง x = 4 แลว k อยในชวงใดตอไปน 1. (–3, –1) 2. (–2, 0) 3. (–1, 1) 4. (0, 2) 3. ก าหนดให f(x) = | 2x + 4x | และ g(x) = | 2x – 16 |

ถา a, b เปนค าตอบทงสองของสมการ f(x) = g(x) แลว )x(g)x(flim )x(g

)x(flimbx

ax

เทากบขอ

ใดตอไปน

1. 23 2. 6

5 3. 21 4. 3

1



4. ก าหนดให f(x) =

0 x เมอ 1x

0 x เมอ 1x

ฟงกชน g ในขอใดตอไปน ท าใหฟงกชน g f ไมตอเนอง

1.g(x) = 1 เมอ x (–, –1) [1, ) 2.g(x) = )x(f 1 เมอ x (–, –1) [1, )

3. g(x) =

1 x เมอ )1x(

1 x เมอ )1x(2

2 4.g(x) = 3x เมอ x (–, –1) [1, )

6. ก าหนดให f(x) = cx6x2

โดยท c เปนจ านวนจรง ถา a และ b เปนรากของสม

การ f(x) = 0 และ 3a + 2b = 20 แลว f(c) มคาเทากบขอใดตอไปน 1. –38 2.–26 3. 26 4. 38

7. ก าหนดให f(x) = |x|2x2 และ g(x) = 2x + 1 (gf)(–3) + (fg)(3) เทากบขอ

ใดตอไปน 1. –132 2. –84 3. 84 4. 132

8. ก าหนดให เสนตรง y = –6x – 5 สมผสเสนโคง y = f(x) ทจด x = –1 ถา f(x) = 3ax + 2bx – 3 เมอ a , b เปนจ านวนจรง แลวคาสงสดสมพทธของ f เทากบเทาใด



9. ก าหนดให g เปนฟงกชนพหนาม และ f(x) = x g(x) ถา 23 x94x )x(f และ f(0) = 0

แลว ])1x(g)x(f[dx

d

ทจด x = –2 มคาเทากบขอใดตอไปน

1. –4 2. –2 3. 2 4. 4

10. เมอพจารณากราฟของฟงกชน f(x) = 31x2x2

1x32x4

1 234 พบวา กราฟของ f มจด

วกฤต (c, f(c)) ซง c 0 เปนจ านวน a จด และกราฟของ f ตดแกน X เปนจ านวน b จด ขอใดตอไปนถก 1. a = 1, b = 2 2. a = 1, b = 4 3. a = 2, b = 2 4. a = 2, b = 4 11. ก าหนดให f เปนฟงกชนทหาอนพนธไดททกจด และ h(x) = 3x + 1 ถา a เปนจ านวนจรง ซง ( 1 )a()fh( , 0 )a()fh( , 19 )a)(fh( แลว ขอใดตอไปนถก 1. f มคาสงสดสมพทธทจด a และมคาเทากบ 1 2. f มคาสงสดสมพทธทจด a และมคาเทากบ 2 3. f มคาต าสดสมพทธทจด a และมคาเทากบ 1 4. f มคาต าสดสมพทธทจด a และมคาเทากบ 2 12. ถา f(x) และ g(x) เปนฟงกชนซงหาอนพนธได และมสมบตดงน

(x)g1 ))x(g(f

และ f(g(0)) = 5 แลวคาของ f(g(2)) เทากบขอใดตอไปน 1. 1 2. 3 3. 5 4. 7



13. ก าหนดให f(x) = 2x1x

เมอ x (1, –1)

พจารณาขอความตอไปน

ก.

0 x เมอ 0

0 x เมอ x2x411

)x(f2

1

ข. f เปนฟงกชนเพมในชวง (1, –1) ขอใดตอไปนจรง 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 14. ให f(x) = cbxaxx 23 เมอ a, b, c เปนจ านวนจรง ถา x–3 หาร f(x) แลวเหลอเศษ 10 และ 1+ i เปนรากหนงของ )x(f แลวคาของ f(1) เทากบขอใดตอไปน 1. –4 2.–2 3. 0 4. 1 15. พจารณาขอความตอไปน

ก. ถา f และ g เปนฟงกชนซง h)x(f)hx(flim

0h

= h)x(f)hx(flim

0h

= g(x)

แลว g(x) = )x(f ข. ถา f เปนฟงกชนซง f(x) 0 ส าหรบทกๆจ านวนจรง x และ )a(f 0 แลว ความชนของเสนสมผสกราฟของฟงกชน y = )x(f

1 ทจด a คอ )a(f

1

ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด



16. ก าหนดให f เปนฟงกชนทนยามบนชวง (0, ) โดยท (2) 2 (1)f f และ

2

1( ) 27f x x

x ถา L เปนเสนสมผสกราฟของ ( )y f x ทจด (1, (1))f แลวจดใดตอไปนอย

บน L 1. (2,64) 2. (2,66) 3. (3,94) 4. (3,96)

17. ก าหนดให

23 1 ; 0

( ) 4 1 ; 0 5

2 ; 5

x x

f x x x

x x

คาของ 2 2

2 0lim ( 1) lim ( 1)

x xf x f x

เทากบขอใด

1. 8 2. 10 3. 12 4. 16 18. ก าหนดให ( )f x เปนฟงกชนพหนามดกรสาม ซงม 2, 1 และ 3 เปนค าตอบของสมการ

( ) 0f x ถา (2) 5f แลว ( 1)f มคาเทากบขอใด

1. 52 2. 5

2 3. 5

2 4. 5

2



เอกสารอางอง

[1] คมออบรมครวทยาศาสตร คณตศาสตร คอมพวเตอร โลก ดาราศาสตร อวกาศ ระดบมธยมศกษาศกษาตอนปลาย สมาคมวทยาศาสตรฯ 2554

[2] ANTON, HOWARD., Calculus with Analytic Geometry (5th ed.). New York : John Wiley & Sons, Anton Textbooks, Inc. 1995. [3] EDWARDS, Jr. C. H. , and PENNEY , DAVID E., Calculus with Analytic Geometry (4th ed.). Englewood Cliffs , New Jersey : Prentice-Hall, Inc., 1994. [4] ADAMS, ROBERT A. , Calculus: A complete course (4th ed.). Englewood Cliffs , New Jersey : Addison Wesley, 1999. ================================

แคลคูลสั (calculus) - kku web hosting · วิชา แคลคูลัส...

Documents