เวคเตอรแคลคลส

เวคเตอรแคลคลส 2.1 บทนา

โดยทวไปปรมาณทางวศวกรรมมกแบงเปน 2 ประเภท ไดแก 1) ปรมาณสเกลาร เปนปรมาณทบอกเฉพาะ “ขนาด” กสามารถเขาใจ

ตรงกนไดอยางสมบรณ เชน อณหภม ความดน เปนตน และ 2) ปรมาณเวคเตอร เปนปรมาณทตองบอกทง “ขนาด” และ

“ทศทาง” จงจะเขาใจไดอยางสมบรณ เชน แรงขนาด 30 N กระทาในแนวระนาบจากซายไปขวา เปนตน นอกจากนยงมปรมาณทางเวคเตอรอนๆ อก อาท ความเรว ความเรง โมเมนตม

2.2 นยามทวไปเกยวกบเวคเตอร

เรานยมเขยนแทนเวคเตอรดวยลกศรทกากบดวยตวอกษร เชน a , b , v โดยมกเขยนแจกแจงในรปองคประกอบของเวคเตอรซงประกอบดวยขนาดกบทศทางในรปของเวคเตอรหนงหนวย ( i , j, k ) ดงแสดงในรป

รปท 2.1 เวคเตอรและองคประกอบของเวคเตอร จากรปเวคเตอร a เขยนแจกแจงในรปองคประกอบไดเปน

x

y

z

1a i

2a j

3a k

a

เวคเตอรแคลคลส

1 2 3 1 2 3a a , a , a a i a j a k

(2.1) โดยท i [1, 0, 0]

, j [0,1, 0] และ k [0, 0,1]

เปนเวคเตอรหนงหนวยในทศทาง x, y, และ z ตามลาดบ สวน a1, a2 และ a3 เปนองคประกอบของเวคเตอร a ในทศทาง x, y, และ z ตามลาดบ

ขนาดของเวคเตอรเขยนแทนดวยสญลกษณ เชน a , b , v อานวาขนาดของเวคเตอร “…” (ไมไดอานวา absolute ของ “…”) หากเปนเวคเตอรทมขนาดเทากบ 1 หนวย จะเรยกวา เวคเตอรหนงหนวย (unit vector) โดยเวคเตอรขนาดใดๆ สามารถหาขนาดและสรางใหเปนเวคเตอรหนงหนวยไดดงน

2 2 21 2 2a a a a

(2.2)

1 2 32 2 21 2 2

a 1n ︵a i a j a k ︶a a a a

(2.3)

โดยเวคเตอรหนงหนวย n จะชในทศทางเดยวกบเวคเตอร a จากรปท 2.2 กาหนดเวคเตอร Av

และ Bv ทลากจากจดเรมตน O และ

สนสดทจด A และ B ตามลาดบ เรยกเวคเตอรทวดองเทยบกบจดเรมตนวา “เวคเตอรสมบรณ (absolute vector)” สวนเวคเตอรทวดเรมจากปลาย Av

และสนสดทปลาย Bv

เขยนเปน B/Av เรยกวา “เวคเตอรสมพทธ (relative vector)” เปนการวดการเปลยนแปลงของเวคเตอรหนงเทยบกบอกเวคเตอรหนง เชน วดความเรวของรถยนตคนหนงเทยบกบรถยนตอกคนหนงทว งอยใกลกน เรยกวาความเรวสมพทธ เปนตน เขยนเปนความสมพนธไดดงน

เวคเตอรแคลคลส

B A B A A B/Av v ︵v v ︶v v (2.4)

รปท 2.2 ความสมพนธระหวางเวคเตอร 2.3 การดาเนนการทางเวคเตอร 2.3.1 การบวก/ลบเวคเตอร 1) การบวกเวคเตอร หรอ

c a b c b a

ดงนนจงไดวา c a b b a

2) การลบเวคเตอร (ใชหลกการบวกเวคเตอร โดยการบวกดวยเวคเตอรทมขนาดเทาเดมแตมทศทางตรงขาม)

x

y

Av

Bv

B/Av

O

A B

a c

b

a c

b

a d

b b

เวคเตอรแคลคลส

d a b a ︵b ︶

โดย b

หมายถงเวคเตอรทมขนาดเทากบ b แตทศทางตรงขามกน

ในทางเรขาคณตและตรโกณมตเมอเวคเตอรรวมกนอย หากเรารขนาดและทศทางของเวคเตอร 1 ดาน และรมมประกอบทงสามมม (ซงตองเปนมมแหลมเทานน) เราสามารถหาขนาดแลกะทศทางของเวคเตอรดานทเหลอได เชน รขนาดของเวคเตอร a ขนาดของมม a , b และ c ดงรป เราสามารถหาเวคเตอร b และ c ไดดงน

a b c

จงไดความสมพนธวา

ca sin H และ ac sin H

ดงนนจงไดวา c aa sin c sin หรอ

a c

a csin sin

ในขณะเดยวกนกสามารถพสจนไดวา

a c b

ba csin sin sin

(2.5)

a c

b

b

a c

H

c

a

c

H c

a

a

H

เวคเตอรแคลคลส

ความสมพนธขางตนเรยกวา “กฏไซน” (sine law) ซงขอควรระวงในการใชงานคอมมประกอบทง 3 มมตองเปนมมแหลม ตวอยาง 2.1 ปญหาทางวศวกรรมทใชหลกการรวมและวเคราะหทางเวคเตอร เชน การวเคราะหการเคลอนทของกลไกดงแสดงในรป จงหา Bv

และ B/Av วธทา จากรปจะไดสงทรและยงไมรดงแสดงในตาราง

Av Bv

B/Av ขนาด ทศทาง

จากความสมพนธ

B A B A A B/Av v ︵v v ︶v v (a)

จากรปการวเคราะหระบบใหญโดยตรงจะยากและซบซอน จงไดแยกระบบใหญออกเปน 2 ระบบยอย โดยเขยนเปน FBD (Free Body Diagram) ไดดงน (ระบบใหญ) (ระบบยอย 1) (ระบบยอย 2)

60o B

A vA=1.2 m/s

vB

25o

B

A

vA

vB

B1

A1

vA1= vA

vB1 = vA B2

A2 vA1=0 (fixed)

vB2

เวคเตอรแคลคลส

รายละเอยดการวเคราะหเปนดงน

ระบบยอยท 1 กาหนดตลอดทงแทงเคลอนทไปดวยความเรวและทศทางเดยวกบปลอก A ดงนนจงได

A1 Av v และ B1 Av v ทศทาง (b) ระบบยอยท 2 พจารณาทปลอก A เพอใหความเรวของระบบใหญและ

ระบบยอยสอดคลองกน ผลรวมของความเรวของระบบยอยจงตองไดขนาดและทศทางเทากบระบบใหญ ดงนนจงไดวา

A1 A2 Av v v ทศทาง (c)

แตเนองจากระบบยอยท 1 ไดกาหนดให A1 Av v แลว ดงนนจงไดวา A2v 0 ใชเงอนไขความสอดคลองเชนเดยวกนจะไดความสมพนธทปลอก B เปนดงน

B1 B2 Bv v v ทศทาง o60 (d)

เนองจาก A2v 0 หมายความวาจด A2 ถกตรงใหอยกบท ดงนนจงสงผลใหจด B2 เคลอนทไดในลกษณะเดยวคอหมนรอบจด A2 เทานน ซงลกษณะการเคลอนทแบบหมนนนเวคเตอรความเรวจะอยในแนวสมผสโคงการเคลอนทและตงฉากกบรศมการหมน เนองจาก B1 Av v (สมการ (b)) ความสมพนธสมการ (d) จงไดเปน

A B2 Bv v v หรอ B A B2v v v

(e) เปรยบเทยบสมการ (e) กบสมการ (a) จงได B2 B/Av v จากนนใชหลกการรวมเวคเตอรไดเปนดงรป

65o

25o

60o

vA=1.2 m/s

vB

vB/A

25o 25o

B2

A2

vB2 = vB/A

65o

เวคเตอรแคลคลส

ใชกฏไซนวเคราะหหา vB และ vB/A ไดดงน

B/ABo o o

vv1.2sin55 sin65 sin60

(f)

แกสมการได vB = 1.328 m/s และ vB/A = 1.269 m/s หลกการขางตนเรยกวา “Super positioning” ซงเปนการแยกระบบใหญ

ออกเปนระบบยอยหลายระบบเพอสะดวกตอการวเคราะห กอนนาผลวเคราระหของระบบยอยมารวมกนเปนระบบใหญในภายหลง 2.3.2 Scalar Product (Dot product)

กาหนดเวคเตอร 1 2 3a a i a j a k และ 1 2 3b b i b j b k

เมอ

เปนมมระหวางเวคเตอรทงค ดงรป

การดาเนนการ Dot product ของเวคเตอรใหนยามดงน

a b | a ||b | cos (2.6)

ซงไดขอสรปวา a b 0

เมอ o90 a b 0

เมอ o90 a b 0 เมอ o90

a

b

เวคเตอรแคลคลส

นอกจากนยงสามารถหาคาไดโดยใชวธกระจายพจนดงน

1 2 3 1 2 3

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

a b ︵a i a j a k ︶ ︵b i b j b k ︶

a b ︵i i ︶a b ︵i j ︶a b ︵i k ︶

a b ︵j i ︶a b ︵j j ︶a b ︵j k ︶

a b ︵k i ︶a b ︵k j ︶a b ︵k k ︶

(2.7)

1 1 2 2 3 3a b a b a b

ขอสงเกตของการดาเนนการ Dot product คอ 1) ผล Dot product ของเวคเตอรหนงหนวยในแนวแกนพจารณาไดดงน

i i j j k k 1

และ i j i k j i j k k i k j 0

(เพราะเวคเตอร i j k คาcos 0 )

2) การ Dot ของเวคเตอรจะไดผลลพธเปนปรมาณสเกลารเสมอ 3) การ Dot ของเวคเตอรมคณสมบตการสลบทหรอ a b b a

2.3.3 Vector Product (Cross Product)

กาหนดเวคเตอร 1 2 3a a i a j a k และ 1 2 3b b i b j b k

ทามมกน ดงแสดงในรป

การดาเนนการ Cross product ของเวคเตอรใหนยามดงน

a b a b sin (2.8)

ดงนนเวคเตอรททามมกน 0 หรอ 180 องศา เมอ Cross กนจะไดผลลพธเทากบศนย โดยหาก v a b

เวคเตอรลพธ v ทไดจะตงฉากกบเวคเตอร a และ b และมทศทางเปนไปตามกฏมอขวา ดงแสดงในรป

b

a

v

เวคเตอรแคลคลส

ในทางปฏบตเราคานวณ Cross product โดยใชหลกการหาดเทอมแนนตอนดบสาม (3rd-order determinant) ดงน

1 2 3 1 2

1 2 3 1 2

i j k i jv a b a a a a a

b b b b b

(2.9)

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3

v ︵a b a b ︶i ︵a b a b ︶j ︵a b a b ︶kv i v j v k

โดยท 2 31

2 3

a av

b b , 3 1

23 1

a av

b b , 1 2

31 2

a av

b b

หรอใชวธกระจายพจนไดเปนดงน

1 2 3 1 2 3

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

a b ︵a i a j a k ︶ ︵b i b j b k ︶

a b ︵i i ︶a b ︵i j ︶a b ︵i k ︶

a b ︵j i ︶a b ︵j j ︶a b ︵j k ︶

a b ︵k i ︶a b ︵k j ︶a b ︵k k ︶

(2.10)

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

︵a b ︶k ︵a b ︶j ︵a b ︶k ︵a b ︶i ︵a b ︶j ︵a b ︶i

︵a b a b ︶i ︵a b a b ︶j ︵a b a b ︶k

ขอสงเกตของการ Cross product คอ 1) การ Cross เวคเตอรหนงหนวยในแนวแกนไดผลดงน

i i 0

; i j k

; i k j

j i k

; j j 0

; j k i

k i j

; k j i

; k k 0

2) การ Cross ของเวคเตอรจะไดผลลพธเปนปรมาณเวคเตอร

+

−

i

k

j

+

เวคเตอรแคลคลส

3) การ Cross ของเวคเตอรไมมสมบตการสลบท หรอ a b b a แต

a b b a

4) การ Cross เวคเตอรไมมสมบตการจดกลม หรอ a ︵b c ︶ ︵a b ︶c

เชน i ︵i j ︶ i k j สวน ︵i i ︶j 0 j 0

ตวอยาง 2.2 ปญหาทางวศวกรรมทใชหลกการ Cross ของเวคเตอร เชน การวเคราะหการเคลอนทของกลไกทมความเรว v และความเรวเชงมม ดงแสดงในรป เมอกาหนดใหกาน AB หมนในทศทางทวนเขมนาฬกาดวยความเรวเชงมม AB 20rad/s จงหาควมเรวเชงมมของกาน BD และ ED ตามลาดบ วธทา แสดงเปนเวคเตอรไดดงน (แกน z พงออกตงฉากกบหนากระดาษ)

เวคเตอรแตละตวแจกแจงพกดไดดงน

ABr 2.00 i 3.50 j

EDr 4.25 i 4.25 j (a)

D/Br 3.00 i 0.75 j

0.75

3.50

2.00 3.00 4.25

AB

A

B D

E

y

ABr

A

B D

E

D/Br

EDr

x

เวคเตอรแคลคลส

เนองจากจด A และ E ถกตรงไวกบท ดงนนจงได

A Ev v 0 (b)

กาน AB หมนในทศทวนเขมนาฬกาดวยความเรวเชงมม AB เนองจากเปนการหมนรอบแกน z ดงนนใชกฏมอขวาจงได

AB ABk 20k rad/s (c)

เนองจากยงไมรวา D/B และ ED หมนในทศทางใด ฉะนนจงสมมตใหมทศทางเดยวกบ AB คอหมนรอบแกน z ในทศทวนเขมนาฬกา จงไดวา

D/B D/Bk และ ED EDk

(d) จากความสมพทธระหวางจด D และ B ของกาน BD จะไดวา

D B D/Bv v v (e)

แทนความสมพนธ v r ลงในสมการ (e) ไดเปน

ED ED AB AB D/B D/Br r r

แทนคาไดเปน ED

D/B

k ︵4.25 i 4.25 j ︶20k ︵2.00 i 3.50 j ︶

k ︵3.00 i 0.75 j ︶

(f)

จากสมการ (f) ทาการ cross เวคเตอรและจดรปไดเปน ED ED D/B D/B4.25 j 4.25 i 40 j 70 i 0.3 j 0.75 i

เทยบองคประกอบสาหรบแตละเวคเตอรไดเปน ทศทาง i : ED D/B4.25 70 0.75 ทศทาง j : ED D/B4.25 40 0.3 แกสมการไดคา D/B 29.3rad/ s และ ED 11.3rad/s

2.3.4 โคไซนแสดงทศทาง (Direction cosines) กาหนดเวคเตอร 1 2 3v v i v j v k

แสดงดงรป โดย 1 และ

2 เปนมมระหวางเวคเตอร v กบแกน 1x และ 2x ตามลาดบ (ในทนจงใจแสดงรปใน 2 มตเพอใหงายตอการทาความเขาใจ ใหนกศกษาคดตอยอดวามนมแกน 3x และ 3 อยดวยเชนกน)

เวคเตอรแคลคลส

จากรปใชความรมธยมศกษาเรองตรโกณมต จะไดความสมพนธดงน

1 1v v cos , 2 2v v cos

, 3 3v v cos (2.11a)

1

1vcos lv

, 22

vcos mv

, 33

vcos nv

(2.11b)

เรยก l, m, n วาโคไซนแสดงทศทางของเวคเตอร v บนแกน 1x , 2x , 3x ตามลาดบ ดงนนจงได

1v v l , 2v v m

, 3v v n (2.11c)

จาก 1 2 3v v i v j v k

แทนคาดวยสมการท (2.11c) ไดเปน v v ︵l i m j nk ︶

(2.11d) ฉะนน vl i m j nk

v

จงเปนรปแบบของเวคเตอรหนงหนวยในทศทาง v

นนเอง ดงนนจงไดวา

2 2 2l m n 1 หรอ 2 2 2l m n 1 (2.11e)

1v i

x2

x1

2v j v

1 2

เวคเตอรแคลคลส

หลกการของโคไซนแสดงทศทางมความสาคญตอการวเคราะหพกดและการแปลงพกดมาก ซงถกประยกตใชหลายดานในงานวศวกรรมเครองกล นกศกษาจะไดเรยนรในบทถดไป 2.4 สนามเวคเตอรและสนามสเกลาร

สนามเวคเตอรและสนามสเกลารมกถกอธบายดวยฟงกชนในรปของฟงกชนเวคเตอรและฟงกชนสเกลาร ตามลาดบ

1) ฟงกชนสเกลาร (scalar function) หมายถงปรมาณสเกลารทมคาเปลยนไปตามพกดหรอตวแปรอสระอนทเกยวของ เชน การกระจายอณหภมบนแทงโลหะ ดงแสดงในรปท 2.3

จากรปขอบดานซายของแทงโลหะมอณหภม 100oC ขอบขวาอณหภม 0oC การกระจายอณหภมบนแทงโลหะเรยกวา “โปรไฟลอณหภม” จะมลกษณะเปนเชงเสนตรง โดยมคาเปลยนไปตามพกด x ดงนนอณหภม (ซงเปนปรมาณสเกลาร) จงเปนฟงกชนของพกด x หรอ T=T(x)

รปท 2.3 ตวอยางของฟงกชนสเกลาร

100oC 0oC

L=1 x

100

T(oC)

0

Temperature profile: T=T(x)

x

เวคเตอรแคลคลส

จากรปท 2.3 นกศกษาสามารถหาการแจกแจงของอณหภม T(x) ไดไมยาก โดยหาความชนและสรางเปนสมการเสนตรง ดวน ความชน 2 1

2 1

T TT 0 100m 100x x x 1 0

สมการเสนตรง 1 1T T m ︵x x ︶ T 100 100 ︵x 0 ︶ ดงนน แจกแจงอณหภมอยในรปสมการ T ︵x ︶ 100x 100

2) ฟงกชนเวคเตอร (vector function) หมายถงปรมาณสเวคเตอรทมคาเปลยนไปตามพกดหรอตวแปรอสระอนทเกยวของ เชน ความเรวของรถยนตทเปลยนไปในขณะทวงบนเสนทาง S ดงแสดงในรปท 2.4

จากรปรถยนตออกตวดวยความเรมตนดวยความเรว 40 km/h เพอวงไปตามเสนทาง S ในขณะวงไปความเรวและทศทางของรถยนตกเปลยนไปตามระยะเวลาทวงไป ดงนนความเรว (ซงเปนปรมาณเวคเตอร) จงเปนฟงกชนของเวลา t หรอ 1 2 3v v ︵t ︶ v ︵t ︶, v ︵t ︶, v ︵t ︶

ซงสามารถเขยนกราฟแสดงการเปลยนแปลงความเรวเมอเวลาเปลยนไปไดดงกราฟดานลาง

รปท 2.4 ตวอยางของฟงกชนเวคเตอร ในขณะเดยวกนนกศกษากอาจตงขอสงเกตไดวาเสนทาง S กเปนเวคเตอรไดและเปนฟงกชนทข นอยกบเวลาเชนเดยวกน เพราะมการเปลยนพกดเมอเวลาเปลยนไป หรออยในรป S S ︵t ︶ x ︵t ︶, y ︵t ︶, z ︵t ︶

นนเอง

Path S v (km/h)

40

50

30

20 10

v (km/h)

t (hr)

เวคเตอรแคลคลส

เนองจากเวคเตอรมองคประกอบทข นกบทศทางและเปนอสระตอกน ดงนน การหาการเปลยนแปลงของฟงกชนเวคเตอรจงตองใชหลกการอนพนธยอย เชน การเปลยนแปลงความเรว v ทเวลาเปลยนไปดงแสดงในรป หาการเปลยนแปลงความเรวเทยบกบเวลาไดเปนดงน

t 0v ︵t t ︶v ︵t ︶v v ︵t ︶ limt t

(2.12a)

เนองจากเวคเตอรความเรวมองคประกอบทงในทศทาง x ,y และ z จงเขยนไดเปน 1 2 3v ︵t ︶[v ︵t ︶, v ︵t ︶, v ︵t ︶]

ดงนน การเปลยนแปลงความเรวจงไดเปน

31 21 2 3

vv vv ︵t ︶[v ︵t ︶, v ︵t ︶, v ︵t ︶] i j kt t t

(2.12b)

ตวอยาง 2.3 วตถเคลอนทไปเปนบนเสนทาง r Rcos t i Rsin t j

เปนระยะเวลา t จงหาความเรว ความเรง ของการเคลอนทดงกลาว วธทา ความเรวหาไดจากการเปลยนแปลงระยะทางเทยบกบเวลา

1 2

rv ︵t ︶ Rsin t i Rcos t jt

v i v j

เมอ 1v Rsin t และ 2v Rcos t ดงนนขนาดความเรวหาไดดงน

2 2 2 21 2

2 2 2

v v v ︵ Rsin t ︶ ︵ Rcos t ︶

︵ R ︶ ︵sin t cos t ︶ R

ความเรงหาไดจากการเปลยนแปลงความเรวเทยบกบเวลา

v ︵t ︶

v ︵t t ︶

เวคเตอรแคลคลส 2 2

2 2

va ︵t ︶ Rcos t i Rsin t jt

︵Rcos t i Rsin t j ︶ r

ขนาดของความเรงหาไดดงน 2 2 2 2

2 2 2 2 2

a ︵ Rcos t ︶ ︵ Rsin t ︶

︵ R ︶ ︵sin t cos t ︶ R

2.5 การดาเนนการทางสนามเวคเตอรและสนามสเกลาร 2.5.1 เกรเดยนต

เกรเดยนตเปนการดาเนนการทางสนามสเกลาร เปนการวเคราะหการเปลยนแปลงของปรมาณสเกลารเทยบกบพกด เชน การกระจายอณหภมบนแทงโลหะ 1 มต ดงแสดงในรปท 2.3 จะเหนวาอณหภมเปลยนตามพกด x ทเปลยนไป หรอ T=T(x) ซงเขยนเปนความสมพนธในทางคณตศาสตรไดเปน

Tx

หรอ (ในทางแคลคลส) dTdx

และเพอใหชดเจนวาการเปลยนแปลงดงกลาวเปนไปในทศทาง x เราจงเขยนกากบดวยเวคเตอรกากบทศทางไดเปน dT i

dx

ในกรณทการเปลยนแปลงเกดขนในหลายมตหรอเทยบตอหลายทศทาง เชน กรณการกระจายความรอนบนกอนโลหะ 3 มต เราจะได T=T(x, y, z) เราจงไดความสมพนธทใชการเปลยนแปลงในรปแบบดงน

dT dT dTi j kdx dy dz

เรยกการดาเนนการรปแบบนวา “เกรเดยนต” เขยนยอเปน grad ︵T ︶หรอ T

ดงนน หากกาหนดให เปนปรมาณสเกลาร เกรเดยนตของ ใหนยามเปนดงน

grad i j k

x y z

(2.13)

เวคเตอรแคลคลส

โดย i j k

x y z

( อานวา nabla หรอ del) เปนตวดาเนนการทาง

เวคเตอร (vector operator) ขอสงเกตเกยวกบเกรเดยนตคอ 1) ตวแปรสเกลารเทานนทสามารถนาไปดาเนนการเกรเดยนตได 2) การดาเนนการเกรเดยนตใหผลลพธเปนปรมาณเวคเตอร ดงนน เกรเดยนตจงใชเพอ “แปลงสนามสเกลารใหเปนสนามเวคเตอร”

ตวอยาง 2.4 กาหนดปรมาณสเกลาร 22x yz 3y จงหาเกรเดยนตของ วธทา จากนยามของเกรเดยนต grad i j k

x y z

ดงนนจงไดวา 2 2 2grad ︵2x yz 3y ︶i ︵2x yz 3y ︶j ︵2x yz 3y ︶k

x y z2 i ︵z 6y ︶j yk

2.5.2 ไดเวอรเจนต

ไดเวอรเจนตเปนการดาเนนการทางสนามเวคเตอร เปนการหาการเปลยนแปลงของปรมาณเวคเตอรเทยบกบพกด หากาหนด 1 2 3a a i a j a k

เปนปรมาณเวคเตอร ไดเวอรเจนตของ a เขยนแทนดวย diva หรอ a ให

นยามดงตอไปน

1 2 3

31 2

diva a ︵ i j k ︶ ︵a i a j a k ︶x y zaa a

x y z

(2.14)

ขอสงเกตเกยวกบไดเวอรเจนตคอ 1) ตวแปรเวคเตอรเทานนทสามารถนาไปดาเนนการไดเวอรเจนตได

เวคเตอรแคลคลส

2) การดาเนนการไดเวอรเจนตใหผลลพธเปนปรมาณสเกลาร ดงนน ไดเวอรเจนตจงใชเพอ “แปลงสนามเวคเตอรใหเปนสนามสเกลาร”

ตวอยาง 2.5 กาหนดเวคเตอร 2a 3xz i 3xy j yz k

จงหาไดเวอรเจนตของเวคเตอร a วธทา เทยบรปแบบกบ 1 2 3a a i a j a k

จงได 1a 3xz , 2a 3xy และ 2

3a yz และจากนยามของไดเวอรเจนต 31 2 aa adivax y z

ดงนนจงไดวา 2diva ︵3xz ︶ ︵3xy ︶ ︵ yz ︶x y z

3z 3x 2yz

2.5.3 เครล

กาหนด 1 2 3a a i a j a k เปนปรมาณเวคเตอร เครลของ a หา

ไดจากรปแบบดงน

1 2 3

1 2 3 1 2

curla a ︵ i j k ︶ ︵a i a j a k ︶x y z

i j k i j

x y z x ya a a a a

(2.15)

3 32 1 2 1a aa a a a

︵ ︶i ︵ ︶j ︵ ︶ky z z x x y

ขอสงเกตเกยวกบเครลคอ 1) ตวแปรเวคเตอรเทานนทสามารถนาไปดาเนนการเครลได 2) การดาเนนการเครลใหผลลพธเปนปรมาณเวคเตอร

+

−

เวคเตอรแคลคลส

ตวอยาง 2.6 กาหนดปรมาณเวคเตอร a yz i 3xz j zk จงหาเครลของ a

วธทา เทยบรปกบ 1 2 3a a i a j a k จะได 1a yz , 2a 3xz และ 3a z

ดงนน จากนยามของเครลจงไดวา

1 2 3 1 2

i j k i j

curla 3x i y j 2zkx y z x ya a a a a

ตวอยาง 2.7 แผนดสกกลมหมนทวนเขมนาฬการอบแกน z ดวยความเรวเชงมม จงหาเครลของสนามความเรวของแผนดสก วธทา พกดใดๆ บนแผนดสกกลมคอ r x i y j zk

และเวคเตอรความเรวเชงมม (ตามกฏมอขวา) k

สนามความเรวของการหมนหาไดจาก v r k ︵x i y j zk ︶ y i x j

ดงนน เครลของสนามความเรวของแผนดสกหาไดจาก

1 2 3

i j k i j k

curlv 2 kx y z x y zv v v y x 0

สรปไดวา เครลของสนามความเรวของการหมนจะมทศทางเดยวกบหารหมน และมขนาดเปน 2 เทาของความเรวเชงมมของการหมน บางครงเรยกเคร

+

−

v

x

y

z

r

เวคเตอรแคลคลส

ลของสนามความเรวของการหมน curlv วา rotv (rotation) ซงหลกการนนกศกษาจะไดเรยนในรายวชาดานกลศาสตรของไหล

2.5.4 ลาปลาเชยน ลาปลาเชยนเปนรปแบบการดาเนนการทพบคอนขางบอยในสมการ

ควบคมตางๆ ทางวศวกรรมเครองกล โดยเฉพาะสมการควบคมเกยวกบการแพร เชน สมการควบคมการนาความรอน สมการควบคมการไหลสาหรบพจนการกระจายความหนด เปนตน เปนการดาเนนการทใชสาหรบตวแปรสเกลาร กาหนดให เปนปรมาณหรอสนามสเกลาร ลาปลาเชยนของ ใหนยามดงน

2 2 2

22 2 2x y z

(2.16)

โดย 2 2 222 2 2x y z

(อานวา Laplacian operator) เปนตวดาเนนการ

ทางสเกลาร ขอสงเกตเกยวกบการดาเนนการลาปลาเชยนคอ 1) ตวแปรทสามารถนาไปดาเนนการลาปลาซไดนน ตองเปนตวแปรของปรมาณสเกลารเทานน 2) การดาเนนการลาปลาซจะไดผลลพธเปนปรมาณสเกลาร 3) 2 div ︵grad ︶ ︵ ︶ ︵ i j k ︶ ︵ i j k ︶x y z x y z

2 2 2

2 2 2︵ ︶ ︵ ︶ ︵ ︶x x y y z z x y z

ตวอยาง 2.8 การกระจายอณหภมบนกอนโลหะกอนหนงเปนไปตามสมการ

3T 2x yz 3y จงหาลาปลาเชยนของการกระจายดงกลาว

วธทา จากนยามของลาปลาเชยน 2 2 222 2 2T T TTx y z

ดงนนจงไดวา

เวคเตอรแคลคลส 2 2 22 3 3 32 2 2T ︵2x yz 3y ︶ ︵2x yz 3y ︶ ︵2x yz 3y ︶x y z

0 ︵6 ︶0

แบบฝกหดบทท 2 1. กาหนด a 2 i j 3k

, b i 4k และ c 3 i j 2k

จงหา 1.1) ︵a c ︶b

1.2) a b b c c a

1.3) a b c

2. กาหนดให a b a c จงแสดงวา b c

3. จงหาเวคเตอรหนงหนวยของ a ซงตงฉากกบเวคเตอร 2 i 5 j

4. จงพสจนวา a i j 2k

, b 3 i 4 j k และ c 10 i 2 j 4k

ตงฉาก ซงกนและกน 5. กาหนดให 1a a i 2 j

และ b 3 i 4 j k ตงฉากกน จงหาคา 1a

6. จงพสจนวาเสนตรง 3x 5y 1 ตงฉากกบเสนตรง 10x 6y 7 7. จงหามมระหวางเสนตรง 4x y 2 และ x 4y 3 8. จงหามมระหวางเสนตรง x y 1 และ 2x 3y 0 9. กาหนดให a i j

, b i 2k , c 2 i 3 j k

และ d 5 i 7 j 2k

จงหาคาตอไปน 9.1) ︵b c ︶d

9.2) ︵[ a b ︶c ] d

9.3) ︵a b ︶ ︵c d ︶

10. จงหาเกรเดยนตของฟงกชนตอไปน 10.1) xy 10.2) 2 21 x y

4

10.3) 2 2x y 10.4) x / y

เวคเตอรแคลคลส

10.5) xe siny 10.6) sinxsinhy 10.7) yz zx xy 10.8) 2 21 ln ︵x y ︶2

11. จงหาไดเวอรเจนตของฟงกชนตอไปน 11.1) x i y j zk

11.2) 2 z 2 2y e i x z k

11.3) yz i zx j xyk 11.4) xy yz zxe i e j e k

11.5) cosxcoshy i sinxsinhy j

12. จงหาลาปลาเชยนของฟงกชนตอไปน 12.1) 2 2 2x 4y 9z 12.2) xz / y 12.3) xyze 12.4) sinxcoshy 13. จงหาเครลของฟงกชนตอไปน 13.1) y i 2x j

13.2) siny i cosx j

13.3) xyze ︵i j k ︶ 13.4) xe ︵cosz j sinzk ︶

13.5) 2 2 2y i z j x k