Ingeniería en Energías Renovables

Algebra Lineal

Actividad 2. Regla de Cramer

1.- Indica cuáles fueron las operaciones que realizaste sobre la matriz asociada al sistema en cada uno de los pasos para resolver el problema de la evidencia de la unidad 2 por el método de Gauss-Jordan.

2 x+2 y+z=4.5

4 x+6 y+3 z=12

6 x+9 y+7 z=20

Se multiplica el renglón 1 por ½ 1 1 1/2 9/44 6 3 126 9 7 m

Se suma 4 veces el renglón 1 al renglón 2 1 1 1/2 9/ 40 2 1 36 9 7 m

Se suma -6 veces el renglón 1 al renglón 3

1 1 1 /2 9/ 40 2 1 3

0 3 4 m−272

Se multiplica el renglón 2 por ½

1 1 1 /2 9/ 40 2 1 3

0 3 4 m−272

Se suma -1 vez el renglón 2 al renglón 1

1 0 0 3/ 40 1 1 /2 3/2

0 3 4 m−272

Se suma -3 veces el renglón 2 al renglón 3 1 0 0 3/40 1 1/2 3/20 0 5 /2 m−18

Se multiplica el renglón 3 por el renglón 2/5

1 0 0 3/40 1 1 /2 3/2

0 0 1 25 m−

365

Se suma -1/2 veces el renglón 3 al renglón 2

1 0 0 3/ 4

0 1 0 5110

−15m

0 0 1 25m−

365

Con esto se ha reducido la matriz a su forma escalonada por renglones, por lo tanto, se ha encontrado así la solución múltiple, quedando de la siguiente manera:

1 x₁+0 x₂+0 x₃=3/4

0 x₁+1 x₂+0 x₃=51/10−34m

0 x₁+0 x ₂+1x₃=25m−36

5

Se sustituyen los resultados para un valor de 20 litros y nos resulta:

3/ 4 x₁+0 x₂+0x ₃=3/ 4

0 x₁+11 /10 x ₂+0 x₃=1110

0 x₁+0 x ₂+4 /5 x ₃=45

2.- En un nuevo documento de Word, realiza los determinantes D₁, D₂, D₃ y D, asociados a las incógnitas x₁, x₂, x₃ y la matriz del sistema.

2 x+2 y+z=4.5

4 x+6 y+3 z=12

6 x+9 y+7 z=20

Para trabajar con la regla de Cramer, a partir de una matriz, se deben construir otras matrices, las cuales denotaremos como Ai. Cada Ai es idéntica a A, excepto por la columna i. en cada columna i será reemplazado por la columna b. De esta manera, al obtener los determinantes de cada una de las matrices formadas, podremos aplicar la regla de Cramer.

Ax=b

2 2 14 6 36 9 7

x= x 1x 2x3

b= 4.51220

Sub-matrices:

A1= 4.5 2 112 6 320 9 7

A2= 2 4.5 14 12 36 20 7

A3= 2 2 4.54 6 126 9 20

Determinante de la matriz principal:

A= 2 2 14 6 36 9 7

|A|= 2 2 14 6 36 9 7

M₁₁= 6 39 7 M₁₂

4 36 7 M₁₃

4 66 9

A=

M₁₁ = (6*7) – (9*3) = 42-27 = 15

M₁₂ = (4*7) – (6*3) = 28-18 = 10

M₁₃ = (4*9) – (6*6) = 36-36 = 0

Se obtienen los cofactores correspondientes

A₁₁ = (-1)¹+¹ (|M₁₁|) = (1)² (15) = (1) (15) = 15

A₁₂ = (-1)¹+² (|M₁₂|) = (-1)³ (10) = (-1) (10) = -10

A₁₃ = (-1)¹+³ (|M₁₃|) = (1)⁴ (0) = (1) (0) = 0

Se aplica el método de expansión por cofactores para encontrar la determinante de A

D = |A| = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃D = |A| = 2(15) + 2(-10) + 1(0) = 30+(-20)+0 = 10

D = |A| = 10

Se obtienen las determinantes de las submatrices

D₁ = A1= 4.5 2 112 6 320 9 7

A1 = 4.5 (42-27) – 2 (84-60) +1(108-120) A1 = 67.5-48 + (-12)

A1 = 7.5

D₂ = A2= 2 4.5 14 12 36 20 7

A2 = 2 (84-60) – 4.5 (28-18) + 1 (80-72) A2 = 48 - 45 + 8

A2 = 11

D₃ = A3= 2 2 4.54 6 126 9 20

A3 = 2 (120-108) – 2 (80-72) + 4.5 (36-36) A2 = 24 - 16 + 0

A3 = 0

x1 = A1/A = 7.5/10 = 0.75

x2 = A2/A = 11/10 = 1.1

x3 = A3/A = 0/10 = 0

3.- Contesta la siguiente pregunta: ¿Qué relación existe entre los determinantes que obtuviste en esta ocasión y las operaciones que realizaste en la evidencia de la unidad 2 para resolver el problema por el método de Gauss-Jordan?

Me dio resultados iguales en las dos primeras ecuaciones, en la tercera por método de Gauss-Jordán me dio 0.75 y por regla de Cramer 0 por lo que asumo que son muy similares.

Por lo tanto, considero que el método de Gauss-Jordán es más preciso que por regla de Cramer.