第二章 流体静力学
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第二章 流体静力学
2.1 作用在流体上的力
2.2 静止流体的应力特征
2.3 流体静力学的基本方程
2.4 重力场中静止流体的压力分布
2.5 重力场中压力平衡方程的能量意义(自学)
2.6 重力场中静止液体对物面的作用力(自学)
2.7 非惯性坐标系中的静止流体(自学)
2.1 作用在流体上的力
这里所说的力是静力学及动力学均适用的力。作用在流体上的力被分为质量力和表面力两类。
2.1.1 质量力 :
又称体积力,作用于流体的质量上,是一种非接触力。如重力,静电力,电磁力;研究非惯性系统问题时引入惯性力概念,它也是质量力。
对应于某流体微元,其体积为 ,作用于该微元上的质量力为 。在流体力学中,常关心单位质量流体所受的质量力,即 :F f
V
2.1.2 表面力 :
由毗邻的流体质点或其它的物体所直接施加的接触力。
对应于某流体微元表面 , 其面积为 , 其外法线单位向量为 ,作用于该微元表面的表面力为 。我们常关心单位面积所对应的表面力, 即 :
A n
tzyxff
f
V
Ff
V
,,,
lim0
又称为质量力分布密度,在直角坐标系中:
流体团(体积为 V )所受的总值量力 F :
V
VdtzyxfF ,,,
nP
A
PP n
An
0lim
nP
2.2 静止流体的应力特征
本节专门研究静止流体的表面力的特征:
① 静止流体中,只存在法向压应力,即
② 其法向压应力的值 仅仅是空间位置和时间的函数,与所取作用面的方向无关。 特征①可以这样来说明:静止流体,速度处处为零,没有速度梯度,也就没有切应力。此外流体不能承受拉应力。 特征②可引入直角坐标系中二维流体微元来说明。
nn npp
分析z方向力平衡: dx 对应的表面力为 。 ds 对应的表面力在x方向投影为 而 。即 ds 的投影面积为 dx 。微元质量力为
三力平衡有:
忽略高阶小量后,化简,得: 。
同理我们可以得到 。
xdp 2
cos1 sdpxs dd cos
12 pp
31 pp
dzdydx 2
1
02
112 dydxfdxPdxP z
这里的 就是任意方向微元平面上的应力 ,它和该点坐标平面方向的应力 , 相等。三维流体的结论是相同的: = = = 特征②表明静压力是各向同性的。 另外,我们要告诉大家,对于运动的理想流体也具有上述①,②两条应力特征。因为理想流体中没有切应力,动力学问题中的加速度项可以演变为惯性力项,和表面力相比是高阶小量。
1p np
xp zp
zpypxpnp
上表面(对应坐标为z +dz )受力 ( p +dp)dxdy 。 质量力: 。 力平衡方程: 0 dxdydzfdxdydpppdxdy
dxdydzf
z
z
drfdp
pf
y
pf
x
pf
z
pf
dzz
pdp
dz
dpf
yx
z
z
1
11
1
1
同理:
这里
2.4 重力场中静止流体的压力分布
重力场是工程中常常遇到的质量力场,其间的液体压力分布关系式形式简明,特点鲜明。
质量力
液体 不变,积分上式,得 :
由上式知:一种液体静止平衡时, (1) 等压面与等高度面重合;
gfffgkf zyx ,0,即
gdzdp
constgzp
cg
pz
(2) 自由面 与等高度面重合;
若自由面压力为
积分常数 ,代入原方程
表示z点的水深h
表示单位截面积上的液体重量。
是液面传递过来自由面的压力,这可用帕斯卡定理解释(施加于不可压流体表面的压力,以同一数值沿各个方向传递到所有的流体质点)由压力平衡式还可知,两种液体静止平衡的分界面是等压面。
app
azza ppp 0,
0zz
ghpghp a
aa pzzgp
g
pz
g
pz 00 ;
aP
g
Pzc a
0
证明如下:设密度不同的两种液体置于同一容器内,分界面两侧满足平衡方程,
假定液体平衡分界面为某一曲面如图示,在分界面上任取临近两点 AB其向径为 dr, dr在z方向投影为 dz 。
对 液体而言:对 液体而言:
1
;, 2211 gdzdpgdzdp
;11 gdzdp ;22 gdzdp
02
2
1
1
2
1
2
1
dpdp
dp
dp
2
2.5 重力场中压力平衡方程的能量意义
表明:液体平衡时,单位重量液体重力势能与压力能之和为常数,这里显示了机械能守恒的意义。
constg
pz
称测压管水头。是相对压力时,该项又:静水头,当
流体之压力势能;:压力水头,单位重量
流体之重力势能;:位置水头,单位重量
pg
pz
g
p
z
2.6 重力场中静止液体对物面的作用力
为清楚起见,分几个方面说明对物面之作用力: 1. 对竖放平壁面之作用力 : 如图,将 xoy 平面放在自由面上,使x轴与竖放平面垂直,平壁面外法线单位向量为 。
A aA
dAghpnnpdAF
2. 对平放平壁面之作用力 :
可见 含有两部分:F
( 1 ) 为帕斯卡定理传递的自由表面压力作用
( 2 )液体的附加作用力,它等于形心处压力乘以面积
Apa ,
的液柱重量高为为底面积为
则如右图所示:
左图呢
平面为自由面,
HAhgA
AgHpkFkn
AgHpkdAghpkF
kn
pghp
xoy
a
A
aa
a
,
,
.
AghApihdAgiAipdAghpipdAiF ca
A A
aa
A
3. 对任意曲面之作用力
对于 ,若所有的微元面积投影正负号相同。(工程中许多曲面满足此条件),则 的求解与竖放平壁面相同。可用求投影面积 及其形心深度 的方法来解算。 亦然。
zF xA
xch yF
A
zaz
A
yay
A
xax
zyx
zyx
zyx
A
a
dAghPF
dAghPF
dAghPF
dAdAdAdA
kdAjdAidAkdAznjdAynidAsndAn
kznjynisnknjninn
dAghPnF
面积向三个坐标平面的投影为,,
,cos,cos,cos
,cos,cos,cos
zF
对于 是 dA对应的至水面的柱体体积。zz dAhF ,
A
z AhdA是 曲面对应的至水面的柱体体积,工程上称之为压力体
A zghdA 是压力体对应的液体重量。帕斯卡定理传递的压
力很容易计算;水的附加作用力,可用上述工程方法计算,压力体内可能真有液体,也可能并没有液体
4. 物体的浮力:
完全浸没或部分浸没在液体中的物体受到液体的作用力,其合力为物体所受的浮力。分析完全浸没的物体。
如图,对于 ,可用物体向 yoz 平面投影的方法求解,得到两个投影面 其形状相同,正负号相反,分别对应于左右两个曲面,故 合力为零,同理 合力亦为零。
2.7 非惯性坐标系中的静止流体
若坐标系本身作变速运动,则此坐标系中的物体将承受附加惯性力。两类典型的非惯性系: (1) 直线等加速运动的坐标系。 (2) 等角速度旋转的坐标系。 研究其间静止流体的压力分布规律。
2.7.1 直线等加速运动坐标系:
基本关系式仍为 ,注意 应包含单位质量的惯性力。 在重力场中,若动坐标系加速度为 。
特性: 1 )等压面为斜平面
等压面方程
drfdp f
a
czgaxap
aaa
czgayaxap
dzadyadxadp
kgajaiagkaf
zx
zxy
zyx
zyx
yx
;0,0,0
最常见之简化情况:
积分得:
则
ga
a
constxga
azconstzgaxa
z
x
z
xzx
斜率:
,
与惯性系中结论相比,方程的形式相同,但重力加速度项有变化。 (3) 两种液体相对平衡的分界面是斜平面。(证明从略)
2 )自由面为斜平面
若坐标原点在自有面上
由此可得自有面方程,即令 app
zxga
agapzgaxapp
pc
pp
z
xzazxa
a
axy
则
00
hgapp
zhzz
zzgappxga
az
za
zaz
x
点的液体深度即为5
55
2.7.2 等角速度旋转坐标系
是向心加速度, 柱坐标系中沿r增加的方向的单位向量( 不变) 相邻任意两点的向径:
re2rea r
z,
zrz geergeagkaf 2
cgzr
dzerdedregere
drfdp
dzerdedredr
zxrzr
zxr
2/22
2
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