ניהול סיכונים

למדידת MERTON (1974)מודל 1.. אשראי סיכון

ן 2. סיכו מדידתתשואה פשוטה ו – "לוג" תשואה1.ההתפלגות הנורמלית2.אי-וודאות3.מרווח מחיר גבוה - נמוך4.

ניהול סיכונים

אשראי Merton (1974)מודל. 1 סיכון למדידת

.למעשה, אנחנו מתחילים מהסוף של הקורס שלה הנכסים סה"כ את הממנת מסויימת חברה קיימת

, נתון לנו: tבאמצעות הון עצמי וחוב. כלומר, בכל זמן A(t)=E(t)+D(t)

:כאשרA(t) סה"כ הנכסים בזמן – t ) ( A(0)>0 E(t) הון עצמי של החברה בזמן – t D(t)) החוב של החברה - אג"ח בודדת שמחזירה קרן + ריבית – K (

t=Tבזמן

אשראי Merton (1974)מודל. 1 סיכון למדידת

מזמןtT בהתאם עולה/יודר החברה של הנכסים שווי ,למשוואה הסוטכסטית הבאה:

:כאשרμA התשואה הממוצעת על הנכסים – σAסטיית התקן של התשואה על הנכסים - dz(t) חוקי לפי המתפלג לבן) רעש (או סוכסטית "טעות" –

). N(0,1) (0 וסטיית תקן 1ההתפלגות הנורמלית עם ממוצע

)()()()( tdztAdttAtdA AA

אשראי Merton (1974)מודל. 1 סיכון למדידת

חלק חלקים: לשתי מתחלקת הסטוכסטית המשוואה "דטרמיניסטי" (קבוע) וחלק "אקראי"

:דוגמאA(0) = 100μ = 10%σ = 35%

Component Random

Component ticDeterminis

)()()()( tdztAdttAtdA AA

אשראי Merton (1974)מודל. 1 סיכון למדידת

אשראי Merton (1974)מודל. 1 סיכון למדידת

) קופון שאינה משלמת אג"ח -0כזכור, החברה מכרה Coupon ומחזירה בזמן (T=t) את הקרן והריבית K .(

:שאלות מה שווי הנכסים וההון העצמי של החברה בזמןt ? מה שווי החוב של החברה בזמןt ? מה ההסתברות לחדלות פירעון בזמןT ?

אשראי Merton (1974)מודל. 1 סיכון למדידת

:נתחיל (שוב פעם) מהסוף בזמןT :שווי הנכסים הכולל של החברה הנו A(T)=E(T)+K

:התקבולים של בעלי המניותE(T) = max(A(T)-K,0) :התקבולים של בעלי האג"חmin(A(T),K)

התקבולים של בעלי המניות דומים לאופציתCall .אירופאית :לעומת זאת, בעלי החוב מקבלים

Min(A(T),K)=K-max(K-A(T),0)

) הקרן+ריבית את מקבלים האג"ח בעלי שוויה Kכלומר, פחות ( אירופאית.Put(בפקיעה) של אופצית

אשראי Merton (1974)מודל. 1 סיכון למדידת

של הנוכחי השווי את לדעת מנת A(t), E(t)על לדעת צריכים אנחנו פירעון, לחדלות וההסתברות הנכסים שווי לפיהם הסטטיסטיים החוקים את (להבין)

מתפתח לאורך זמן. מתפתח החברה של הכולל הנכסים ששווי מניחים אם

סטיית מדידת אז הנומלית, ההתפלגות של החוקים לפי ) הנכסים תשואת של הנה σהתקן המדד והבנת (

המפתח לשאלות שנשאלו מקודם. :עוד קונספטים חשובים

) "תמחור אדיש לסיכון"risk neutral valuation .( .התפלגות אובייקטיבית והתפלגות סוביקטיבית."'כלל "אין ארביטראז

אשראי Merton (1974)מודל. 1 סיכון למדידת

בכל אופן:) עבור ההון העצמיE(t):(

) עבור החובD(t):(

tTddtT

tTrKTA

d

dKNedNtA

TdATAfKTAeKTAEetE

A

A

tTr

K

tTrQtTr

12

2

1

2)(

1

)()(

,)(

21)(

ln

)()()(

)())(()()()(

)(

)()()()()()( 2

)(1 dN

tA

KedNtAtEtAtD tTr

אשראי Merton (1974)מודל. 1 סיכון למדידת

התשואה לפידיון על האג"ח הנהy בעוד הריבית חסרת ). ולכן, בגלל ש – , rהסיכון הנה (

לריבית לפידיון התשואה בין שהמרווח להראות ניתן ) הנה: credit spreadחסרת הסיכון (

?אבל מה ההסתברות לחדלות פירעון נראה בהמשך כאשר נלמד עוד על תמחור אופציות

KetD tTy )()(

)()(

)(ln

121

)( dNdNK

tAe

tTrys tTr

מדידת הסיכון – סטיית התקן

הסיכון. 2 מדידת

כשהצגנו את מודלMerton (1974) ראינו שהתפתחות חלקים: 2שווי הנכסים מורכבת מ –

(קבוע) חלק דטרמיניסטיחלק אקראי – ניקח מחיר מניה (שווי ההון העצמיS(t):(

- ננתח את את החלק האקראי – ידוע ש .צריך לחשב את סטיית התקן

)(tdzS)1,0()(,)()( Ntdtttdz

)()(

)(tdzdt

tS

tdSSS

2 " " – - לוג. ו פשוטה תשואה הסיכון מדידתתשואה

נכסים מחירי תשואות על מבוסס התקן סטיית חישוב פיננסים ולא מחירם. הסיבה לכך, שהמחירים של נכסים

).Stationaryפיננסים אינם נחשבים ל-"סטסיונרים" (

:"הגדרה של "סטטסיונריותx(t) :הנו "סטטסיונרי" אם

)(),(cov)(),(cov.3

)(.2

)()(.12

ksxktxsxtx

txE

sxtxE

2. " לוג - – " ו פשוטה תשואה הסיכון מדידת תשואה

:דוגמא

:ע"י חישוב ריקורסיבי

:מכאן שהממוצע

:וסטיית התקן

סטיית התקן קיימת אך ורק אם (תהליךAR(1) (

),0()()()1()( )(txNtttxtx

)()0()(1

0jtxtx

t

j

jt

)0()()0()(0

1

0xjtExtxE tt

j

jt

22

221

0

2

1

1)(

tt

j

jtx

1

2 " " – - לוג. ו פשוטה תשואה הסיכון מדידתתשואה

סטיית התקן

ממוצע

9.0

1.1

1.1

9.0

2 " " – - לוג. ו פשוטה תשואה הסיכון מדידתתשואה

:כאמור, התשואות משמשות לחישוב סטיית התקן. כאשר

:כמו-כן

) "המשוואה העליונה מייצגת תשואה "פשוטהsimple return בעוד (המשוואה השניה מייצגת "לוג" תשואה.

)()(

)()(

)(

)(

)(

)(tR

tS

tSttS

tS

tS

tS

tdS

)(

)(ln)(1ln)(

tS

ttStRtr

2 " " – - לוג. ו פשוטה תשואה הסיכון מדידתתשואה

:התשואה הפשוטה:(למשל תשואה יומית) תשואה חד-תקופתית תשואה פשוטה לאורךk :תקופות

:התשואה "הפשוטה" יעילה בעיקר לניתוח תיקי השקעות. שכן

tt

t

t

tt R

S

S

S

SR

1111

)1(...)(1 112

11 R

S

S

S

S

S

SkR t

kt

tindependen

t

t

t

t

kt

ktt

)1(

1

,1,11,

,

1,11,

1,

ti

M

i iti

M

iti

itq

ti

M

iti

itq

RSS

S

SS

S

2 " " – - לוג. ו פשוטה תשואה הסיכון מדידתתשואה

:ה-"לוג" תשואה:בהגדרה

לוג" - תשואה לאורך"k:תקופות

גם כאן, התשואות אינן תלויות זו בזו (אםr(מתפלג נורמלית .ה-"לוג" תשואות עדיפות כשחוקרים תשואות תקופתיות

tttt RSSr 1lnlnln 1

1

012

11

12

11

lnln...ln)(

...ln)(1ln)(

k

jjt

t

t

t

t

kt

ktt

t

t

t

t

kt

kttt

rS

S

S

S

S

Skr

S

S

S

S

S

SkRkr

2 " " – - לוג. ו פשוטה תשואה הסיכון מדידתתשואה

:דוגמאRt(k):במונחים שנתיים

:במקרה של ה – "לוג" תשואה

:כשהנכס מניב דיבידנד

1)1(

11

0

kk

jjtR

k

krt )(

1

1

lnln

1

tttt

t

ttt

SDSr

S

DSR

הנורמלית. – 2 ההתפלגות הסיכון מדידת

פיננסים נכסים על שהתשואות מניחים אנחנו כאמור, זו הנחה (נצדיק הנורמלי ההתפלגות ע"פ מתפלגות

כשנציג את המודל הבינומי לתמחור אופציות). -ה (כמו-כן התקן וסטיית – Skewnessהממוצע וה

Kurtosis:מחושבים באופן הבא (

,

4

,

3

,

22

,

3)()(

0)()(

)()(

)()(

drrfrErK

drrfrErS

drrfrEr

drrfrrE

r

Kr

r

T

rאם נורמלי

הנורמלית. – 2 ההתפלגות הסיכון מדידת

:כאשר

איך נחשב את בהינתן , הממוצע וסטיית התקן?

Maximum Likelihood של המרכיבים אם :r להתפלגות שייכים הנורמלית, אז:

2)(

2

1

2

1)(

r

rEr

r

erf

Tkttt rrrr ,..,, 1

2

0

2

0

0

2

12ln

2)),(|(ln

ln)),(|(ln

)),(|(

k

j r

jtrrt

jt

k

jrt

k

jjtrt

rErkrErL

rfrErL

rfrErL

פונקציה למקסם

הנורמלית. – 2 ההתפלגות הסיכון מדידת

k

jjtr

r

rt

k

jjt

rt

k

j r

jtrrt

rE

rErk

rErL

rk

rErE

rErL

rErkrErL

r

0

22

0

2

0

2

),(

1

10

)),(|(ln

1)(0

)(

)),(|(ln

2

12ln

2)),(|(lnmax

הנורמלית. – 2 ההתפלגות הסיכון מדידת

:(או השונות) סטיית התקן .מודדת את ממוצע השונות (הריבועית) מהממוצע אי-הוודאות את אומדת התקן סטיית נכונות: יותר (קצת) במילים

סביב הממוצע.

?"סיכון" – ל "אי-וודאות" בין ההבדל מה שאלה:

Knight (1921) :) ההסתברויות uncertainty"אי-וודאות" בו למצב מתייחסת ,(

לתרחישים שונים אינם ידועים לפני מעשה. מצב של "סיכון" הנו מצב בו התרחישים אינם ידועים לפני מעשה, אולם

ההסתברות של אותם תרחישים כן ידועה (בדומה למשחק בקוביה).

הנורמלית. – 2 ההתפלגות הסיכון מדידת

4.0,1.0,

3.0,1.0,

3.0,2.0,

2 - וודאות. – אי הסיכון מדידת

.נרחיב מעט את המושג של אי-וודאות משחק – סיכון עם זאת בכל אבל "אי-וודאות" אפס של מצב

בקוביה. ואי-וודאות. כלומר, בהקשר לעומת זאת, אין מצב של אפס סיכון

המודלים כל ולמעשה, אי-וודאות. של תולדה הוא הסיכון פיננסי, למדידת הסיכון הנם מודלים להכלה של אי-וודאות.

:מומלץ לקרואSchinckus (2009)

“Financial risk models seek to accommodate uncertainty, which is distinct of the notion of risk (Knight, 1921). In other words, they seek to implicitly account for ex-ante unknown future realizations (risk) and their associated probabilities (uncertainty)”, (Tapiero,2013)

2 - וודאות. – אי הסיכון מדידת

?איך נמדדת האי-וודאות:נגדיר את הפונקציה הבאה המודדת מידע

,הפונקציה נותנת משקל רב יותר לתרחישים בהסתברות נמוכה. כלומר I(r)יש יותר מידע חדש שמתגלה כאשר תרחישים אלו מתרחשים. ולכן

מודד את ערך המידע הקשור לתרחיש מסוים. – אפשר גם לומר, שI(r) מודד את אי – הוודאות הקשורה לתרחיש

מסוים. באופן טבעי, אנחנו יודעים יותר על תרחישים בהסתברות גבוה מאשר אלו עם הסתברות נמוכה.

) אם פונקציית הצפיפותf(r) :הנה נורמלית (

)(ln)( rfrI

2)(

2

12ln

2

1ln)(ln

rr

rErrf

2 - וודאות. – אי הסיכון מדידת

:ולכן, אי-הוודאות הממוצעת הנה

התקן מסכמת את אי-הוודאות - והסיכון כלומר, סטיית . rהקשור לתרחישים אפשריים של

של האנטרופיההממוצע למעלה הנו למעשה פונקציית Boltzmann (1878) :ככלל .

erfE r22ln

2

1)(ln

drrfrfrfE )(ln)()(ln

2 - וודאות. – אי הסיכון מדידת

מקסימום אנטרופיה בהינתן , ההתפלגות

) מוטה פחות שהכי ההתפלגות הנה Least Biasedהנורמלית Distribution .ביחס לנתונים הקיימים (

האופטימיזציה לבעיית הפתרון הנה הזו ההתפלגות למעשה, הבאה:

,

22 )()( drrfrErr

drrfrfrHrf

)(ln)()(max)(

drrfrEr

rf

r )()(

1)(

22

drrfrErdrrfdrrfrfL )()()()(ln)( 2

2 - וודאות. – אי הסיכון מדידת

2

2

2

2

2

2

)(

2

2)(22

)1()()1(

)()1(2

2

2

2

1)(ˆ

2

1)(

1)(ˆ

)(ˆ)()1()(ˆln

0)()1()(ˆln)(

)()()()(ln)(

r

rEr

r

r

rErr

rEr

rEr

erf

drerEr

edreedrrf

eerfrErrf

rErrfrf

L

drrfrErdrrfdrrfrfL

1שלב

3שלב

2שלב

4שלב

2 - וודאות. – אי הסיכון מדידת

מיקסום של פונקציית האנטרופיה מאפשר לאמוד אתפונקציית התפלגות במלואה.

כדאי לשים לב, שהפתרון משתנה בהתאם למגבלותהמוגדרות באופטימיזציה של פונקציית האנטרופיה.

:דוגמאות

2 - וודאות. – אי הסיכון מדידת

2 / נמוך. – גבוה מחיר מרווח הסיכון מדידת

,מסוים נכס של התנודתיות לאמידת שונים מדדים קיימים הגבוה המחיר שבין המרווח על מבוסס הנו מהם אחד

נתון מסחר ביום שנצפה כמה והנמוך ישנם שכזה למדד .יתרונות על פני סטיית התקן הסטטיסטית:

.אינו מצריך להניך דבר לגבי התפלגות התשואות של של הנכס הפיננסי מושג הנה פיננסים נכס של תשואות של התנודתיות שכן ביותר! חשוב

) או נסתר. Latent"לטנטי" (“ - מ "סובלות" תשואות של שסדרות ידוע Volatility Clustering .”

שקרו גדולים שינויים אחרי באים הנכס במחיר גדולים "שינויים כלומר: נעלמת מהר. אולם r(t)קודם". כמו כן, האוטוקורלציה בסדרה העטית של

. r(t)^(2| ו – (r(t)אינה נעלמת בסדרה של | מדדים המבוססים על מחירי סגירה מתעלמים מהתליך התוך-יומי של מחיר

הנכס הפיננסי.

2 / נמוך. – גבוה מחיר מרווח הסיכון מדידת

Parkinson (1981)) מתבסס על המחיר הגבוה H ():Lוהנמוך ביותר (

Garman-Klass (1980) מציעים להכליל גם את מחירי ):C) וסגירה (Oהפתיחה (

2ln4

lnˆ

22 ttparkinson

LH

222 ln12ln2ln5.0ˆ ttttGK OCLH

2 / נמוך. – גבוה מחיר מרווח הסיכון מדידת

לב: המדד של – Parkinsonשימו ו Garmann-Klass – ל שווה הנה תשואה "לוג" ה- שבממוצע, 0מניח

)drifteless process את מציעים הבאים החוקרים .(התיקון הנ"ל:

Rogers and Stachell (1991):

ברוב המחקרים מצוין שאומדן תנודתיות המבוסס על המרווח שביןלאומדן בהשוואה פחות ומוטה יותר "יעיל" הנו גבוה/נמוך מחיר

תנודתיות המבוסס על מחירי סגירה.

nnnnnn

t

NtnnnnnnnRS OCOLOLOCOHOH

Nlnln)ln(lnln)ln(

1ˆ 2

2 / נמוך. – גבוה מחיר מרווח הסיכון מדידת

)S&P 500 (לוג-תשואה של ה – r(t)אוטוקורלציה של

2 / נמוך. – גבוה מחיר מרווח הסיכון מדידת

| (לוג-תשואה (בערכים מוחלטים)r(t)|אוטוקרלציה של )S&P 500 של ה –

2 / נמוך. – גבוה מחיר מרווח הסיכון מדידת

2 / נמוך. – גבוה מחיר מרווח הסיכון מדידת

מדידת הסיכון –סטיית התקן הגלומה

הגלומה. – 3 התקן סטיית הסיכון מדידת

בסיס נכס על אופציות נסחרות אחרות מסחר וזירות בבורסה כלשהו (הסבר על כך בשקף הבא)

:סוגים שונים של אופציות) אופציות רכישהCall :( לרכוש את נכס הבסיס במחיר הזכות ולא החובה

מוסכם מראש, בנק' זמן בעתיד.) אופציות מכירהPut :( למכור את נכס הבסיס במחיר הזכות ולא החובה

מוסכם מראש, בנק' זמן בעתיד..אופציה אירופאית – מימוש החוזה רק במועד הפקיעה של האופציה .אופציה אמריקאית – מימוש החוזה עד מועד הפקיעה של האופציה (אסיאתיות למשל) אופציה אקזוטית – חוזים לא סטנדרטיים

להיות יכולות כך למשל, ספקולטיביות.או הגנתיות אופציות ניתן "לנטרל" חשיפה של תיק השקעות לסיכון מסוים (למשל:

על המדד הכללי. Putסיכון שוק) ע"י רכישה של אופ'

הגלומה. – 3 התקן סטיית הסיכון מדידת

נכס בסיס ונגזרים – יחסי תלות

אופציות חוזים עתידיים + חוזי אקדמה

סחורותמניותאג"ח

מפירעון תקבולים החובות של החברה

וביקוש הצע לסחורות (כמו נפט,

גז, זהב ...)

מזומנים תזרים לבעלי חופשי

המניות בעתיד

הגלומה. – 3 התקן סטיית הסיכון מדידת

:כמה נק' חשובות תלוי האופציה של המחיר כלומר, לעתיד. צופה נכס הנה אופציה

של מחירו העתידי של נכס הבסיס. בציפיות האופציה מחיר כללי, נכס מגלם באופן מחיר של ההתפלגות את

). Tהבסיס העתיד (זמן –

מחיר – נורמלית (לוג) הנה הבסיס הכס מחיר של ההתפלגות אם תלוי במחיר האופציה העתידית תקן) (סטיית לתנודתיות בציפייה הבסיס. – נכס ה נוסחת ע"פ מתומחרת האופציה Blackכלומר, and Scholes .

K

TTTT

K

TTTT

dSSfSKSKETKP

dSSfKSKSETKC

0

)()()0,max(),(

)()()0,max(),(

הגלומה. – 3 התקן סטיית הסיכון מדידת

:נסתקל על הנוסחה מהשקף הקודם

))(1()()(

)()())(1()()(

],1[)()()(

)1(,1)()()1()(

)()()(),(

1

KTK

TT

R

Tt

R

TTKTKTK

TT

R

Tt

T

R

TTK

TT

R

Tt

tTTt

K

R

TTt

TT

R

Tt

K

TTT

RRFRdRRfRSTB

dRRfRRFRRFRdRRfRSTB

RdRRfRdRRfRSTB

SRSS

KRdRRf

S

KdRRfRSTB

dSSfKSTBTKC

K

K

K

KK

KK

הגלומה. – 3 התקן סטיית הסיכון מדידת

,הבסיס נכס מחיר התנהגות לגבי דבר להניח מבלי ב – מיידית ניתן לראות שמחירה של אופציה הנה תלויה

) נכס הבסיס )I"פסודו" תוחלת של תשואה עתידית של תהיה הבסיס נכס של העתידית שהתשואה ובהסתברות

). IIמעל התשואה המוסכמת מראש (

II

I

))(1()()(

)()()(),(

KTK

TT

R

Tt

K

TTT

RRFRdRRfRSTB

dSSfKSTBTKC

K

הגלומה. – 3 התקן סטיית הסיכון מדידת

:אם במקום– משתמשים ב ,

כאשרr מתפלג לוג – נומלית ) ועקרון המרטינגיילMartingale.עומד (

- אז נוסחת הBlack and Scholes:עומדת

)1( TtT RSS TrtT eSS

tTddtT

tTrKS

d

eTBdKNTBdNSTBTTKC

fT

tTrt

f

12

2

1

)(21

,)(

21

ln

)()()()())(,,,,(

הגלומה. – 3 התקן סטיית הסיכון מדידת

כשהנוסחה לתמחור האופציה קיימת (כמוBlack & Scholes (הנוסחה התאמת ע"י הגלומה התקן סטיית את למדוד ניתן

למחיר השוק. הדבר נעשה באמצעות שיטות נומריות שונות. – ה מנוסחת ללמוד כספי B&Sניתן ביטוי נותנת שאופציה

לסיכון. .תזכרו שסטיית התקן הנה מדד לסיכון

למעשה, עבורCall-ו Put : ) הגלומה התקן סטיית Implied Volatility תחזית הנה (

עתידית לגבי תנודתיות מחיר נכס הבסיס. כמו – כן, מודד את "מצב הרוח" של השוק בנק' מסוימת.

Whaley (2000) – Investors fear gauge ?

0,0

PC

הגלומה. – 3 התקן סטיית הסיכון מדידת

- מדד הVIX

LTCM 911

October 2008