4.1 series de fourier
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UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
Series de Fourier:
Varios matemáticos del siglo XVIII, incluyendo a los suizos Leonhard Euler y Daniel Bernoulli sabían quepodía llegarse a una representaciónaproximada de una señal o funciónf(t) mediante una suma finitaponderada de senoides relacionadasarmonicamente.
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
La idea de describir las ondas comouna serie de funciones senoidales esútil para el ingeniero moderno.
Por ejemplo en la experienciacotidiana nos encontramos con sintetizadores de voz o musicales queproducen sonidos vocales o musicales como resultado de la generación de una serie apropiada de señalessenoidales.
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
En 1807, el varón francés Jean Baptiste Joseph Fourier publica la “Teoría del calor” un tratado en el cual introduce unas series trigonométricas, de lo cual una onda o señal periódica podía descomponerseen una serie infinita de senoides queal sumarse, reproducirían la forma exacta de la onda original.En honor a él se debe el nombre de Series de Fourier.
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
Consideremos una señal periódica:
)()( nTtftf
Donde: n: múltiplos enteros: 1,2,3,4,5,…
T: periodo fundamental
f(t): señal de voltaje o corriente.
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
La serie trigonométrica de Fourier viene expresada por:
)()(0
10
tnwoscaatfn
n
)(0
1
tnwsenbn
n
002 fw
Donde:
0
0
1T
f
: frecuenciafundamental
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
Los coeficientes de la Serie de Fourier se calculan mediante la integral:
0
0
)(1
0
tt
t
dttfT
a
a0 representa el Valor Promedio de f(t) en un período fundamental de la señal
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
0
0
)cos()(2
0
tt
tn
dttnwtfT
a
Conocido como: Integral en coseno
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
0
0
)()(2
0
tt
tn
dttnwsentfT
b
Conocido como: Integral en seno
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
Una serie de Fourier es unarepresentación precisa de una señalperiódica y consiste en la suma de senoides múltiplos de la frecuenciafundamental (frecuencias armónicas).El espectro de armónicos es unarepresentación gráfica de la amplitud y fase de los coeficientes de Fourier en términos de la frecuencia fundamental y las frecuencias armónicas.
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
Figure 6.10
Discrete frequency spectrum
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
W.H. Hayt, Jr., J.E. Kemmerly, S.M. Durbin, Engineering Circuit Analysis, Sixth Edition.
Copyright ©2002 McGraw-Hill. All rights reserved.
(a) A waveform showing even symmetry.
(b) A waveform showing odd symmetry.
Simetría de señales periódicas:
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
A periodic signal
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
W.H. Hayt, Jr., J.E. Kemmerly, S.M. Durbin, Engineering Circuit Analysis, Sixth Edition.
Copyright ©2002 McGraw-Hill. All rights reserved.
Two waveforms,
each of which exhibits half-
wave symmetry.
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Ejemplo: Consideremos una señal cuadrada, a la cual le calcularemos la serie y su respectivoespectro de frecuencias de Fourier:
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
Calculando los coeficientes de Fourier:
0} )( )( {21 2
00
wtdVwtdVa
Dada la simetria impar de la señal, es conocidoque su valor medio o promedio es cero !!!
0
0
)(1
0
tt
t
dttfT
a
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
0
} )()cos()()cos( {22 2
0
wtdnwtVwtdnwtVan
Dada la simetria impar de la señal, es conocidoque la integral en coseno (an) es cero !!!
0
0
)cos()(2
0
tt
tn
dttnwtfT
a
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
2
0
} )() ()()() ( {2
2wtdwtnsenVwtdwtnVsenb
n
impar : ; 4
nn
Vbn
0
0
)()(2
0
tt
tn
dttnwsentfT
b
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
Como a0 y an son ceros, la serie de Fourier se simplifica a:
)()(0
1
tnwsenbtvn
n
impar : ; )(4
)(1
nnwtsenn
Vtv
n
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
La Serie de Fourier para una señalcuadrada se expresa entonces como:
n
wtnsenn
Vtv
n
] )12([)12(
4)(
1
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Expandiendo la Serie de Fourier para los primeros 11 armónicos (6 términos impares):
) 3(34
)(4
)( wtsenV
wtsenV
tv
) 7(7
4) 5(
5
4wtsen
Vwtsen
V
...) 11(11
4) 9(
9
4 wtsen
Vwtsen
V
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
Sintetizando la señal original como una suma de c/ude sus componentes armónicos: (por facilidad V=1)
)(4
)( tsenV
tv
: Componente fundamental o primer armónico. (serie con 1 término)
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
) 3(34
)(4
)( wtsenV
wtsenV
tv
fundamental + tercerarmónico:(serie con 2 términos)
1.200422
1.200422
f t( )
2
0 t
0 1.57 3.14 4.71 6.28
1.2
0.6
0.6
1.2
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
) 3(34
)(4
)( wtsenV
wtsenV
tv
) 5(54
wtsenV
fundamental + tercer + quinto armónico:(serie con 3 términos)
1.18834
1.18834
f t( )
2
0 t
0 1.57 3.14 4.71 6.28
1.19
0.59
0.59
1.19
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
) 3(34
)(4
)( wtsenV
wtsenV
tv
) 7(74
) 5(54
wtsenV
wtsenV
fundamental + tercer + quinto + séptimoarmónico:(serie con 4 términos)
1.18416
1.18416
f t( )
2
0 t
0 1.57 3.14 4.71 6.28
1.18
0.59
0.59
1.18
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
) 3(3
4)(
4)( wtsen
Vwtsen
Vtv
) 9(9
4) 7(
7
4) 5(
5
4wtsen
Vwtsen
Vwtsen
V
fundamental + tercer + quinto + séptimo + novenoarmónico (serie con 5 términos)
1.182328
1.182328
f t( )
2
0 t
0 1.57 3.14 4.71 6.28
1.18
0.59
0.59
1.18
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
Sumando hasta el armónico 199(serie con 100 términos)] )12([
)12(
4)(
100
1
wtnsenn
Vtv
n
1.14475
1.14475
f t( )
2
0 t
0 1.57 3.14 4.71 6.28
1.14
0.57
0.57
1.14
UES-FIA-EIE-AEL215 Ciclo II-2007
Sumando hasta el armónico 19,999(serie con 10,000 términos).
Como puede observarse en el gráfico, casi se reproduce la señal cuadrada original.
0.999968
0.999968
f t( )
2
0 t
0 1.57 3.14 4.71 6.28
1
0.5
0.5
1
10,000
1
4 [(2 1) ]( )
(2 1)n
sen n tv t
n
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Gráfica con una sumatoria de 3,000 términos o hasta el armónico 5,999 (por facilidad V=1)
1.27324
1.27324
f t( )
f1 t( )
f3 t( )
f5 t( )
f7 t( )
f9 t( )
f11 t( )
f13 t( )
f15 t( )
f17 t( )
2 0 t
0 1.57 3.14 4.71 6.28
1.27
0.64
0.64
1.27
3,000
1
4 [(2 1) ]( )
(2 1)n
sen n tv t
n
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La magnitud del Espectro de frecuencias:
0.050925
0.055423
0.060621
0.067019
0.074917
0.084915
0.097913
0.115711
0.14159
0.18197
0.25465
0.42443
1.27321
Ann
0.025051
0.026049
0.027147
0.028345
0.029643
0.031141
0.032639
0.034437
0.036435
0.038633
0.041131
0.043929
0.047227
Ann
0.016577
0.017075
0.017473
0.017971
0.018569
0.019067
0.019665
0.020263
0.020961
0.021659
0.022357
0.023155
0.024053
Ann
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El Espectro de frecuencias:Magnitud vrs frecuencia de c/u de los armónicos:
n w0
amplitud
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La distorsión armónica total (THD) de la señal cuadrada de voltaje se calcula por:
% 47.82
%100*1.621140.37076
%100*100
22
1
2
n
n
A
ATHD
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W.H. Hayt, Jr., J.E. Kemmerly, S.M. Durbin, Engineering Circuit Analysis, Sixth Edition.
Copyright ©2002 McGraw-Hill. All rights reserved.
Example:
Several of the infinite number of different waveforms which may be obtained by combining a fundamental and a third harmonic. The fundamental is v1 = 2 cos w0t, and the third harmonic is:
(a) v3a = cos 2w0t;
(b) v3b = 1.5 cos 3w0t;
(c) v3c = sin 3w0t.
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(a) The output of a half-wave rectifier to which a sinusoidal input is applied.
(b) The discrete line spectrum of the waveform in part a.
Example:
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Write the Fourier series for the waveform below.
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Figure 6.11
Example:Square wave and its representation by a Fourier series.(a) Square wave (even function); (b) first three terms;(c) sum of first three terms
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Example:(a) periodic (sawtooth) function(b) spectrum of sawtooth
waveform;(c) approximation of sawtooth
waveform for n = 5
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Example:
(a) Pulse train(b) signal spectrum;(c) approximation obtained using 11 Fourier coefficients
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Figure 6.14
Fourier Transform:Response of a linear system to a phasor input
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A Summary of Some Fourier Transform Pairs
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