5 proizvoljni sistem sila i spregova u ravni.pdf
Post on 05-Oct-2015
45 Views
Preview:
TRANSCRIPT
-
REDUKCIJA SISTEMA NA PROIZVOLJNO IZABRANU TA KU
PROIZVOLJAN RAVANSKI SISTEM SILA I SPREGOVA
iFAi MFrr
=)(M
= ig FFrr
+= jigA F MMM )(r
= iAgA MM
Redukuje se na redukcionu takusvaka sila koja pripada sistemu
Kada se proizvoljna i-tasila, Sl.3, redukuje na takuA, dobije se njenoekvivalentno dejstvo, Sl.4, koje ine ista takva sila u taki A i spreg ( )iF
rM
koji moe biti izraen prekomomenta sile za redu-iF
r
kcionu taku A:
-
REZULTANTA PROIZVOLJNOG RAVANSKOG SISTEMA SILA I SPREGOVA
Da bi se proizvoljan ravanskisistem sila i spregova mogao svesti na rezultantu mora glavni vektor da bude razliit od nula vektora 0
rrgF
gRg FFF ==
g
gAR F
hM
=
Napadna linija rezultante, koja je na rastojanju hR od redukcione take, nosi naziv centralna osa ravanskog sistema sila i spregova.
Odreivanje rezultante proizvoljnog ravanskog sistema sila i spregova
Vektor rezultante je istog pravca, smera i intenziteta kao i glavni vektor gR FFrr
=jYiXF gggrrr
+= jYiXF RRRrrr
+= jYiXF iiirrr
+=
== igR FFFrrr
== igR XXX == igR YYY
-
U cilju dobijanja jednaine centralne ose proizvoljnog ravanskog sistema sila i spregova dobro je prvo izvriti redukciju sistema na taku koordinatnog poetka O i tako dobiti glavni vektor
gFr
i glavni moment MgO.
Dobijanje jednaine centralne ose
y=kx+n
g
gOR F
hOBM
==
g
gO
g
gO
R
XF
hOKn
MM=
=
=
==
cos
cos
g
gO
g
g
Xx
X
Yy
M=
= tank
Jednaina centralne ose zaXg 0
Ako je glavni moment za redukcionu taku jednak nuli a onda rezultanta,0rr
gFima napadnu liniju koja prolazi kroz redukcionu taku.Ako je glavni moment za redukcionu taku razliit od nule a 0
rr=gF onda sistem
nema rezultantu ve se svodi na spreg koji je jednak dobijenom glavnom momentu.
-
Primer 6.1
U zavisnosti od poznatihveliinaF i a odrediti rezultantui njeno mesto za sistem sila i spregova koji dejstvuje na lakukvadratnu plou (Sl.1).
Podaci su: ,2,5 321 FFFFF ===.2,1,22 2154 FaFaFFF ==== MM
,345cos45cos 050
421 FFFFFXXX igR =+=== ,645sin45sin 05
043 FFFFYYY igR =++===
jFiFFRrrr
63 +=
( ) ( ) FFFFR 5363 22 =+=,32 21532 FaaFaFaFM iOgO =+++== MMM
axy = 2
2=g
g
X
Y
aXg
gO =M
-
RAVNOTEA PROIZVOLJNOG RAVANSKOG SISTEMA SILA I SPREGOVA
,0rr
=gF 0=gAM ,0,0 == ii YX 0= iAM
Dobijeni uslovi ravnotee su meusobno nezavisni i da dovode do tri nezavisne algebarske jednaine.
to se tie ortogonalnogxykoordinatnog sistema (u cilju pisanja prva dvauslova ravnotee) treba znati da on moe biti usvojen bilo kako. Treba ga takoizabrati da dobijene jednaine budu to jednostavnije za njihovo formiranje i reavanje.
U cilju dobijanja tree (momentne) jednaine treba znati da proizvoljnoizabrana momentna taka moe biti bilo koja taka u ravni, koja moepripadati materijalnom delu tela ili biti ma gde van njega. Treba je izabratitako da dobijena momentna jednaine bude to jednostavnija za njenoformiranje i reavanje. Veoma je est sluaj da se na samom poetku reavanjaproblema pogodnim izborom momentne take dobija momentna jednaina u kojoj figurie samo jedna nepoznata veliina. U takvom sluaju prvo trebareiti tu nepoznatu pa tek zatim pisati preostale jednaine kako bi se na tolaki nain odredile sve tri nepoznate.
-
Primer 6.2Homogeni tap AB teine P, duine l, nalazi se u ravnotei u horizontalnom poloaju (Sl.1). Na tap dejstvuje spreg momenta M smera datog na slici. tap je u taki A zglobno vezan a u taki B se podupire na laki tap BD koji sa horizontalom gradi ugao od 600. Odrediti reakcije veza u zavisnosti od poznatih veliina M, P i l.
=++= 060sin20MlS
lPM iA
lPS
M
3
32
3
3 =
== 060cos 0SXX Ai
lPXA
M
3
3
6
3 =
=+= 060sin 0SPYY Ai
lPYAM+=
2
1
-
Primer 6.3Homogeni tap AB teine P, duine l, koji sa horizontalom gradi ugao , naslanja se u taki A na gladak vertikalni zid a u taki B na gladak horizontalni pod (Sl.1). Za taku Dtapa vezano je ue ED koje sa horizontalom gradi ugao , kako je to na slici prikazano. Odrediti sve reakcije veza u zavisnosti od poznatih veliina , , P i l.
0cos2
== MKFl
PM AiK
== tancossin llKBMBMK( )
=
=
cos
sin
cos
sincoscossin lllMK
( )==
sin2coscos
2cos PMK
PlFA
== 0cosSFX Ai
( )=
sin2cosP
S
== 0sinSPFY Bi
( )+=
sin2cossinP
PFB
-
Primer 6.4 Homogeni tapAB teineG, duinel, koji sa horizontalom
gradi ugao, vezan je u taki Azglobno a za njegovu taku B
vezano je ueBD koje sahorizontalom gradi ugao (Sl.1).
Na tap dejstvuje i spreg momenta M smera datog na slici. Odreditisve reakcije veza u zavisnosti odpoznatih veliina , , G, M i l.
( ) 0sincos2
=+= MlSl
GM iA ( ) ( )+=
sinsin2cos
l
GS
M
=+= 0cosSXX Ai ( ) ( )+
=
sincos
sin2coscos
l
GX A
M
=+= 0sinSGYY Ai ( ) ( )
=
sinsin
sin2sincos
l
GGYA
M
-
Primer 6.5
Poznatih veliinaG i l
Odrediti ugao i reakcije u uadima
0== QGiD hQhGM
== sin2
3sin lCDhG
( )
+=+= sin21
cos23
60sin 0 llhQ
+= sin21
cos23
43
sin23
GlGl
= cossin3 03033
tan ==
4030cos60cos
43
10
10 GSSGX i ==+=
=++= 030sin60sin43
20
10 SGSGYi 22
GS =
-
Primer 6.6 Homogeni tapAB teineG, duinel, koji sa vertikalom gradiugao, ukleten je u taki A a za
njegovu taku B je vezano uekoje sa vertikalom gradi ugao(Sl.1). Ue je prebaeno preko
idealnog koturaK a na njegovomdrugom kraju je okaen teret
teineQ. Odrediti sve reakcijeveza u zavisnosti od poznatih
veliina , , G, Q i l.Mada to u ovom zadatku ne donosi neku prednost, prvo napiimo momentnu jednainu za momentnu taku A
( ) 0sinsin2
=++= AiA lQl
GM M ( ) += sin2
sinl
GlQAM
Druga dva uslova ravnotee odredie preostale dve nepoznate:
=== sin0sin QXQXX AAi =+= 0cosQGYY Ai = cosQGYA
-
ANALIZA IDEALNOG KOTURA Kotur konanih dimenzija (Sl.1), teine Q, zglobno vezan sa okolinom u taki O, naziva
se idealnim iz razloga to je krunog oblika sa teitem u
centru kruga O i to je zglobno povezan sa okolinom ba u
centru O.
0== RGRGM iO GG =
VARINJONOVA TEOREMA ZA PROIZVOLJAN RAVANSKI SISTEM SILA I SPREGOVA
Suma momenata nekog ravanskog sistema sila i spregova za proizvoljno izabranu taku jednaka momentu njegove rezultante za istu taku.
= iKFK MM Rr
-
Primer 6.7Za dati sistem sila i spregovakoji dejstvuje na laku kvadratnuplou (Sl.1) u zavisnosti odpoznatih veliinaF i a, prvoodrediti rezultantu, a zatim i njenu napadnu linijuneposrednom primenomVarinjonove teoreme. Podaci su: F1=2F, F2=F3=F i M=Fa.
FFFXXX igR 232 =+=== FFYYY igR 21 ====
,22 jFiFFRrrr
+= ( ) ( ) FFFFR 2222 22 =+=
0451arctanarctan ===R
R
X
Y
M= aFOHFR 2= iOFO MM Rr
aOH22=
aOH
OA =
=cos
-
RAVNOTEA RAVANSKOG SISTEMA KRUTIH TELA
Preostale reakcije S i FB predstavljaju reakcije unutranjih veza, poto njima meusobno dejstvuju komponente celine izmeu sebe.
Kod problema iz sistema krutih tela uvek senamee pitanje Kojim redosledom najlake odrediti sve nepoznate veliine u zavisnosti od poznatih?
Od svih tih reakcija, one u zglobovima A i E (to su: XA, YA, XE i YE) predstavljaju reakcije spoljanjih veza, poto njimadejstvuje okolina na komponente sistema.
-
Primer 6.8
Odrediti sve reakcije veza i Poznate veliine:P, G, a, M=Ga/4
DK
GF
GFY
E
Ei
2
045sin 0
=
==
GFFFX KEKi === 045cos 0
40
2
aDKDKF
aGM KiE === M
02
22
2
24 == AEFaPaSM EiA
aAE 2=GP
S2
2
2+=
0=+= SFXX KAi
22
2 PGGX A =
Sl.4
Sl.3
Sl.2
GPYGPYY AAi +=== 0
-
Primer 6.9 Poznate veliine: P, G, R i Odrediti sve reakcije veza?
Sl.3 0sin == GFY Ei
=== cot0cos GFFFX DEDiSl.4
0sin2
=+= AEiA AEFl
PM M
2cot
= RAE
2cot
sinsin
2
+= GRPlAM
Sl.2==+= cot0 GXFXX ADAi
GPYGPYY AAi +=== 0
=
sinG
FE
-
Primer 6.10
Poznate veliine: P, G, F, a i bOdrediti uglove i i reakcije veza?
Sl.4
0cos2sin =+= bFbGM iA
cos1
.........b G
F2tan =
GYGYY AAi === 0FXFXX AAi ==+= 0
Sl.3
+= sin2sin aYaPM AiO
GP
F
aaX A 2
2tan
cos
10cos2
+=
=+
Sl.2FXFXX OOi ==+= 0
GPYGPYY OOi +=== 0
-
Primer 6.11Poznate veliine: P, G, F i aOdrediti reakcije veza u A i B ?
Sl.2 = 0iAM
02323
2=++ aYaFaPaG B
FPG
YB 2
3
4
3
4+=
Sl.3 = 0iCM
( )12
63 FPGX A
++=
032
=+ aXaYaG AA
0=+= PGYYY BAiF
PGYA 2
3
44
3 ++=
Sl.2 0=+= FXXX BAi( )
12
63 FPGX B
++=
-
ANALIZA LAKOG TAPA
U sluaju da su tela povezana lakim krivolinijskim tapom na ijim su krajevima zglobovi, istim postupkom se dokazuje da laki krivolinijski tap dejstvuje na tela koja povezujereakcijama istog pravca (i to pravca koji prolazi kroz krajnje take - zglobove), istog intenziteta a suprotnog smera.
00 == BAi YM00 == Ai YY
ABi XXX == 0
Sl.3
-
RAVANSKI SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVAJedna koordinatna osa (na primer y) je paralelna silama dok je osa x upravna na njih.
jYF iirr
= jYF RRrr
=
= iR YY
Za analitiko nalaenje napadne linije rezultante pogodna je Varinjonova teorema
Nezavisnih uslova ravnotee ravanskog sistema paralelnih sila i spregova ima dva i to:
,0,0 == iAi MY
s obzirom da je ona trea = 0iX identiki zadovoljena.
-
Primer 6.12Poznate veliine:G, P i lOdrediti sile u uadima AD i BE?
024 2
=+= lSl
Gl
PM iA
422PG
S +=
021 =++= SSGPYiP
GS
43
21+=
-
== 0GPiA hGhPM
( ),60cos 0 = lhG ( ) = 060cos2cos2 llhP
( )[ ] ( )= 00 60cos60cos2cos22 GlllG( )= 060cos5cos4
+= sin2
3cos
2
15cos4
426195
3arctan
5
3tan 0 ==
Primer 6.13
tap BD je dva puta dui i dva puta tei od tapa AB. Odrediti koliki ugao u ravnotenom poloaju gradi tap BD sa horizontalom?
Uvedimo da je G teina a 2l duina tapa AB. Shodno tome, teina dueg tapa BD je P=2G a duina mu je 4l.
-
Primer 6.14
U zavisnosti od poznatih veliinaFi a odrediti rezultantu i njeno mestoza zadat sistem paralelnih sila i spregova koji dejstvuje na lakuplou (Sl.1)?
Podaci su: ,121 FFF ==.1,2,2 2143 FaFaFFF ==== MM
FFFFFYY iR 44321 =++== FFR 4= jFFRrr
4=
Za nalaenje mesta rezultante (rastojanja hR) koristimo Varinjonovu teoremuza taku A.
Ona daje jednainu:
21432 42 MM +++= aFaFaFhF RR ahR 3=
= AiFA MM Rr
-
Rezultanta dveju paralelnih sila i i poloaj njenenapadne linijeu sluaju: 1) da su sile istih smerova i 2) da su sile razliitih smerova, neka jeF1>F2
1Fr
2Fr
1)
2)
21 FFFR +=
21 FA
FA
FA MMM
R
rrr
+=
qFpF += 210
1
2
F
F
q
p =
Ovde je napadna linija rezultante blia napadnoj liniji sile veeg intenziteta
21 FFFR =Ovde se napadna linija rezultante nalazi se blie sili veeg intenziteta ali ne izmeu napadnih linija sila
qFpFMMM FBFB
FB
R =+= 21021rrr
1
2
F
F
q
p =
-
VARIJANTE NEZAVISNIH USLOVA RAVNOTEE ZA RAVANSKE PROBLEMEPROZVOLJAN SISTEM SILA I SPREGOVA
,0,0 == ii YX 0= iAM
,0 =iX ,0= iAM 0= iBM
,0= iAM ,0= iAM 0= iCMTrea varijanta
Druga varijanta
Prva varijanta
Primer 6.16 Poznate veliine:P, l i . Odrediti sve reakcije veza?
-
==+= sin2
0sin2
PSlS
lPM iA
=== cot20cos
PXSXX AAi
20sin
PYSPYY AAi ==+=
Trea varijanta
Druga varijanta
== sin2
0P
SM iA
20
2
PYlY
lPM AAiB ===
== cot20
PXX Ai
,sin2
0
==P
SM iA 20
PYM AiB ==
== 02l
PADXM AiD == cot
2tan2
PPX A
Koriena Varinjonovateorema za
lSlS
MMM
y
SA
SA
SA
yx
=+==+=sin0
rrr
SAMr
Prva varijanta
-
PARALELAN SISTEM SILA I SPREGOVA,0 =iY 0= iAM
,0= iAM 0= iBMDruga varijanta
Prva varijanta
Primer 6.17
Reiti primer 6.12 u varijanti korienja samo momentnih uslova ravnotee
0= iAM 422PG
S +=
024
31 =++=
lGlPlSM iB P
GS
4
3
21+=
SUELJAN SISTEM SILA
Prva varijanta
Druga varijanta
Trea varijanta
== 0,0 ii YX,0 =iX 0= iAM
,0= iAM 0= iBM
-
Primer 6.18Poznate veliine , i GOdrediti sile u uadima AC i BC
Reimo zadatak analitiki u varijantama u kojima se koriste i momentni uslovi ravnotee.
Trea varijanta
( ) 0sinsin2 =+= CKGCKSM iK ( )+=
sin
sin2
GS
( ) 0sinsin 1 =+= CMSCMGM iM ( )+=
sin
sin1
GS
Druga varijanta
0= iKM 2S0sinsin 21 =+= SSX i 1S
-
STATIKA ODREENOST I NEODREENOST
Dva puta satatiki neodreen proizvo-ljan ravanski sistem sila i spregova
Paralelan ravanski sistem sila koji je jednom satatiki neodreen
Dva puta satatiki neodreen sueljan ravanski sistem sila
Problemi ravnotee u kojima je broj nepoznatih veliina vei odbroja nezavisnih uslovaravnotee su statiki neodreeni.
Problem je onoliko puta statikineodreen kolika je razlika izmeubroja nepoznatih veliina i brojanezavisnih uslova ravnotee.
top related