Princip inercije

Ako tijelo ostavimo na nekom mjestu ono će

ostati mirovati ili se gibati jednolikom brzinom

po pravcu.

Razvio koncept dinamike

Pretpostavio je da je gibanje tijela nečim

uzrokovano

Definirao tri osnovna zakona gibanja

Gravitacija

Elektro-magnetska sila (Lorentz-ova)

Jaka sila

Slaba sila

+ 38Elektromagnetska sila 10

Gravitacijska sila

proton

elektron

Jaka sila veže

protone

i

neutrone

u atomskoj

jezgri

n

Slaba sila:

Raspad neutrona

+

proton

elektron

Opis gibanja u klasičnoj mehanici uključuje izbor

referentnog sustava.

Uključuje izbor:

◦ Prostorno ishodište,

◦ Prostorne koordinate koje odreĎuju poziciju tijela

◦ Vremensko ishodište – mjerenje vremena.

Dva referentna sustava se mogu razlikovati na više načina

◦ Različita vremenska ishodišta (istovremenost)

◦ Različita prostorna ishodišta i orijentacija osi

◦ Relativna brzina ili akceleracija

Mudar odabir referentnog sustava može jako pomoći pronalaženju

riješenja odreĎenog problema.

Svi referentni sustavi nisu fizikalno ekvivalentni.

◦ Zakoni mehanike mogu biti formulirani u jednostavnoj formi u inercijalnim sustavima.

◦ Zakoni mehanike neovisni su o upotrijebljenom inercijalnom referentnom sustavu.

Masa tijela je mjera inercije, tj. otpor tijela promjeni

brzine (akceleraciji).

Mjerna jedinica (SI): kilogram

Mjerenja mase

◦ Troma masa

◦ Teška (gravitaciona) masa

Inercija (tromost) je tendecija tijela da nastavi s gibanje kakvo je imalo prije promjene

Masa je mjera tromosti, tj. otpor tijela da promjeni stanje svog gibanja uslijed djelovanja sile

Zaštitni pojas

Inercija (tromost) je tendecija tijela da nastavi s gibanje kakvo je imalo prije promjene

Masa je mjera tromosti, tj. Otpor tijela da promjeni stanje svog gibanja uslijed djelovanja sile

Neformalno: mjera djelovanja na tijelo koje uzrokuje njegovo pokretanje.

Formalno: mjera akcije potrebne da se tijelo referentne mase (npr. jedinične mase) pokrene s odreĎenom akceleracijom.

Mjerna jedinica (SI): njutn (N)◦ Newton je definiran kao sila potrebna da ubrza masu jednog

kilograma akceleracijom od 1 m/s2.

2

kg mN

s

“Tijelo će ostati u stanju mirovanja

ili jednolikog gibanja po pravcu ako

na njega ne djeluje niti jedna sila ili

ako je zbroj svih sila koje djeluju na

njega 0”

To u stvari ponavlja Galileovu ideju inercije (tromosti).

Prvi zakon je poznat i kao princip inercije.

“Akceleracija tijela je direktno proporcionalna

ukupnoj sili koja djeluje na to tijelo, a inverzno

proporcionalna njegovoj masi.”

F m a

Demo: povlačenje stolnjaka

stolnjak

vaza s

cvijećem

naglo povući

Zbog svoje tromosti vaza ostaje na mjestu jer skoro nikakva sila ne djeluije na vazu

ako stolnjak povučemo brzo.

TakoĎer se može primijeniti i u 3 - dimezije◦ Akceleracija može takoĎer biti uzrokovana promjenom

smjera brzine

prikazuje vektorsku sumu svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo.

raspisano po komponentama u 3D

Što je veća sila koja djeluje na objekt, veće je

ubrzanje tog objekta.

Sila

mala sila

velika sila

ubrzanje

malo ubrzanje

veliko ubrzanje

Što je veća masa objekta, manje je njegovo ubrzanje,

ako djelujemo na njega istom silom.

mala masa

velika masa

veliko ubrzanje

malo ubrzanje

Newtonov drugi zakon objašnjava zašto teški i laki

predmeti padaju s istim ubrzanjem.

Ubrzanje slobodnog pada

Omjer sile

teže i mase

je uvijek isti

(sila teža

ovisi o masi)

• Svatko može sigurno leći ili sjesti

na krevet od čavala, dok god ima

dovoljno čavala da je sila po čavlu

mala.

• Težina od 100 kg(!?) se distribuira

na preko 300 čavala. Sila po čavlu

je 1/3 kg.

• Trebate 5kg po čavlu da bi

probušitl kožu.

• Jedina stvar koju nikad ne želite

učiniti s krevetom od čavala je

skočiti u krevet!

• Veliko usporavanje znači

veliku silu!!!!

Tijelo se pod djelovanjem sile giba na takav način da je vremenska promjena (derivacija) njegovog momenta jednaka sili.

dpF

dt F

Vektor koji opisuje veličinu i smjer sile

koja djeluje na tijelo

pVector koji opisuje veličinu i smjer

impulsa (momenta) ili “količine

gibanja” tijela.

p mvImpuls ili “količina gibanja”

m Skalarna veličina koja opisuje količinu materije (ili tromost) nekog tijela.

v Vektorska veličina koja opisuje brzinu i smjer gibanja nekog tijela.

Definicija sile je kompletna i točna samo onda kad definiramo što je to “masa”.

drv

dt

rVektorska veličina koja opisuje položaj i udaljenost tijela

relativno prema odabranom ishodištu i osima našeg

referentnog sustava.

Uobičajena formulacija Newtonovog drugog zakona

Pretpostavimo li da je masa, m, tijela konstantna veličina možemo pisati:

dp d dv

F mv mdt dt dt

Uobičajena formulacija Newtonovog drugog zakona:

F ma

dva

dt

Gdje je vektor akceleracije definiran kao

vremenska promjena brzine

a

Uvodimo simboličku pokratu:

drr

dt

F mv

v r

a v

2

2

d rr

dt

Newtonov drugi zakon i mnoge druge veličine mogu biti pisane na slijedeći način:

a r

F mr

F p

Newtonov drugi zakon je vektorska diferencijalna jednadžba

drugog reda.mr F

U jednoj dimenziji reducira se na

x(t) F(t) /mŠto se može integrirati

x(t) 1

mF(t)dt ( ) ( )x t x t dt

Za konstantne sile dobivamo poznate izraze

( ) ( ) oF

v t x t t vm

x(t) F

2mt 2 vot xo

“Ako tijelo A djeluje silom na tijelo B (akcija), tada tijelo B djeluje istom silom na tijelo A ali suprotnog smjera (reakcija). Ove dvije sile su iste veličine ali suprotnog smjera. Ovaj zakon vrijedi u zatvorenom sustavu”

(Budite pažljivi s minus predznakom!

Ovo je vektorska jednadžba!)

A B B AF F

2

1

F12

F12 rF21

n i n’◦ n je normalna sila , sila kojom

stol djeluje na TV

◦ n je uvijek okomita na podlogu

◦ n’ je reakcija - TV djeluje na stol

◦ n = - n’

Fg i Fg’

◦ Fg je sila kojom Zemlja djeluje na tijelo (TV)

◦ Fg’ je sila kojom tijelo djeluje na Zemlju

◦ Fg = -Fg’

Pretpostavimo da dva tijela tvore idealan izolirani sustav.

Pretpostavimo konstantne mase

Akceleracije tih dvaju tijela su u suprotnom smjeru.

Omjer akceleracija jednak je inverznom omjeru masa tih dvaju tijela.

1 2

1 2

F F

dp dp

dt dt

1 1 2 2

1 21 2

d dm v m v

dt dt

dv dvm m

dt dt

m2

m1a1

a2

Mjerimo relativnu akceleraciju tijela nepoznate mase i referentne (jedinične) mase.

Usporedba težina na vagi.

◦ upotrebljavano F= ma & G=mg◦ g je novisno o masi tijela.

◦ ekvivalencija trome i teške mase !!

a1

a2 m2

Pretpostavke

◦ Objekti se ponašaju kao čestice (sva masa je koncentrirana u jednoj točki)

Možemo ignorirati rotaciono gibanje (za sada)

◦ Mase opruga ili niti (njihalo) su zanemarive

◦ Zanimaju nas samo sile koje djeluju na tijelo

Troma masa:

◦ Masa tijela odreĎena akceleracijom koju tijelo dobiva pod djelovanjem vanjske sile.

Teška masa:

◦ Masa odreĎena gravitacionim privlačenjem meĎu tijelima.

Hipoteza da su te dvije mase ekvivalentne naziva se

“princip ekvivalencije”.

1. Prvi test principa ekvivalencije izveo je Galileo (Pisa).

2. Newton je razmatrao taj problem koristeći njihala iste duljine imase ali načinjenih od različitih materijala.

3. Recentni eksperimenti daju jednakost do na nekoliko djelova u 1012.

U stvarnosti je nemoguće imati izolirani sistem

ipak…

Treći Newtonov zakon implicira:

1 2

1 2

0

constant

dp p

dt

p p

Implicira zakon očuvanja količine gibanja

Vjeruje se da striktno vrijedi pod svim uvijetima.

Esencijalno se koristi kao postulat/osnova moderne fizike.

Zakoni gibanja imaju smisla samo u inercijalnim referentnim sustavima.

Referentni sustav smatramo inercijalnim ako se u njemu tijelo na koje ne djeluje nikakva vanjska sila giba jednoliko po pravcu ili miruje.

Ako Newtonovi zakoni vrijede u datom referentnom sustavu onda vrijede u bilo kojem referentnom sustavu koji se giba jednolikom brzinom relativno prema prvom sustavu.

Promjena referentnog sustava koja uključuje konstantnu brzinu nemijenja jednadžbe.

( ( ) ) ( )od v t v dv tF m mdt dt

Ovo se naziva Galilejeva invarijantnost ili princip Newtonovske relativnosti

Ne postoji nešto što bi mogli proglasiti

“apsolutnim mirovanjem” ili “apsolutnim

inercijalnim referentnim sustavom”

I prostor i vrijeme se

pretpostavljeju/zahtijevaju da su homogeni.

Drugi zakon za fiksno tijelo:

dpF

dt

d mv dvF m mr

dt dt

( )r r t

Diferencijalna jednadžba drugog reda.Ako znamo F (silu) i početne i rubne uvijete ta jednadžbu možemo integrirati da bismo našli položaj tijela kao funkciju vremena:

Sila općenito može biti funkcija bilo koje kombinacije položaja, brzine

i vremena.

Općenito ju označavamo kao:

Uz podsjetnik:

• Bez vanjske sile tijelo ostaje na miru ili se giba jednoliko po pravcu. Činjenica da je vanjska sila jednaka nuli može takoĎer značiti da je suma svih sila koje djeluju na tijelo jednaka nuli.

• Uz djelovanje vanjske sile tijelo dobiva akceleraciju koja je u smjeru sile i ovisi o masi tijela.

• Svakoj akciji suprostavlja se reakcija jednaka po iznosu ali suprotnog smjera.

, ,F r v t

0ii

F

Fa

m

Neke osnovne informacije

Normalna sila, N:

Kada se primjenjuju Newtonovi zakoni, interesiraju nas samo vanjske sile!

Zašto?Jer, kao što je opisano Newtonovim prvim zakonom, objekt će zadržati svoje

sadašnje kretanje, sve dok na njega ne djeluje neka vanjska sila.

Napetost, T:

Sila reakcije koja reagira na gravitacijsku silu. Njezin

pravac je okomit na površinu tijela.

Sila reakcije opruge na vanjsku silu na nju.

Grafički alat koji je dijagram vanjskih sila na objekt te je

izuzetno koristan analizu snaga i pokreta! Crta se samo na

objektu. Dijagram slobodnog

tijela

45

Dijagram slobodnog tijela• Dijagram sila koje djeluju na tijelo

1. Odaberite točku na objektu (hvatište)

2. Identificirajte sve sile koje djeluju samo na odabrani objekt

3. Definirajte referentni sustav s određenim pozitivnim i negativnim osima

4. Nacrtati strelice koje predstavljaju vektore sila u odabranoj točki

5. Izrazite jednadžbu sila

6. Izrazite sile po komponentama

Što mislite koje sile djeluju na objekt?

Gravitaciona sila Sila otpora koja dolazi od podloge

Koje sile djeluju u dizalu?

Gravitaciona sila Sila kojom dižemo dizalo (napetost)

Što je s paketom u dizalu?Gravitaciona

sila

Normalna

sila

M

gMFG

NFNF

gMFG

TF

gMFG

NF

gmF BG

Me

m

TF

gMFG gmFGB

NF

MeĎusobna privlačna sila izmeĎu bilo koja dva tijela

Izražena Newtonovim zakonom univerzalne

gravitacije:

1 2

2g

m mF G

r

Ne mogu čitati

jer moji nisu

uplatili račun za

gravitaciju

Iznos gravitacione sile koja djeluje na tijelo

mase m u blizini Zemljine površine naziva se

težina tijela G.

Gravitaciona sila daje akceleraciju od g=9.81

m/s2 što znači da je sila oblika

Specijalni slučaj drugog Newtonovog zakona

Primjer: gimnastičarka mase 51kg ima težinu od 500N

(jedinice!!!).

G mg

Težina nije inherentno svojstvo tijela

◦ masa je inherentno svojstvo

Težina ovisi o lokaciji

Bez težine?

• da li stvarno?

(NASA)

Težina djeluje tako kao da joj je hvatište u težištu tijela

Njoj se suprotstavlja normalna sila koja dolazi od podloge.

Da li težina i normalna sila predstavljaju par akcija -

reakcija?

Normalne sile dolaze zbog

odbijanja atoma

Normalne sile su okomite na

površinu

Napetost nit dolazi kod užadi ili

opruga i ovisi o pojedinačnoj

konfiguraciji sila.

Za niti bez mase napetost je

konstantna duž cijele dužine niti.

Pretpostavimo da imamo nit s masom, te je

potrebno u računu uzeti u obzir i njezinu

težinu. U statičkom slučaju:

Zapamtite, težina je sila te je njen smjer

važan!!

1 2 RT T w zašto?

Razbijte problem na

manje dijelove.

Definirajte sile na manjim

dijelovima problema.

Obratite pažnju na parove

akcija – reakcija.

(VAŽNO).

Kolica mase mass m1postavljena su na kosinu

nagiba 15o. Užetom su

vezana s kantom pijeska

kao na slici. Koju masu

pijeska m2 moramo objesiti

da bi se kolica gibala

jednolikom brzinom?

(pretpostavite da nema

trenja)

Primjer dijagrama slobodnog tijela

Problem:

Dijete drži sanjke na snježnoj

padini (nema trenja) kao na

slici. Ako sanjke imaju

težinu od 77.0 N, naĎi

napetost užeta T i normalnu

silu n kojom sanjke pritišću

podlogu.

• Odaberite koordinatni sustav takav da je x – os orijentirana duž kosine, a y-os je okomita na podlogu

• Zamjenite gravitacionu silu s njenim komponentama

Početni podaci:

kut: a=30°

težina: w=77.0 N

Napetost užeta T=?

Normalna sila n=?

1. Uvodimo koordinatni sustav:

Oy: y – okomito na podlogu

Ox: x – duž kosine

NNmgT

mgTFOx x

5.38)30(sin0.77)30(sin

,0sin:

a

0F

NNmgT

mgnFOy y

7.66)30(cos0.77)30(cos

,0cos:

a

Sanduk mase M se nalazi na kosini bez trenja koja je

nagnuta pod kutom q.

a) Odrediti ubrzanje sanduka nakon što je otpušten.

F

Dijagram

Slobodnog

tijelaqx

y

Fg

n

n

F= -MgqPretpostavimo da je sanduk

pušten na vrhu kosine duljine d.

Koliko dugo treba sanduku da

dođe do dna i kolika je njegova

brzina pri dnu?

d

yF

xF

qsingax

qsin

2

g

dt

xfv

x

y

nFg am

xMa gxF qsinMg

yMa gyFn qcosmgn 0

2

2

1tatv xix

2 sin2

1tg q

tav xix q

qsin

2sin

g

dg qsin2dg

qsin2dgvxf

Mikroskopski površine nisu

idealno glatke već se satoje

od neravnina.

Te neravnine uzrokuju trenje.

Koja sila u stvari uzrokuje

trenje?

Metali imaju mnogo

kompliciranije trenje.

Kako površine dolaze u bliski

kontakt atomi podliježu

hladnom varenju. Razbijanje

tih struktura doprinosi trenju.

Broj atoma u kontaktu definira

kako su jako plohe pritisnute

jedna o drugu.

http://www.physics.usyd.edu.au/~gfl/Lecture

Eksperimentalno je otkriveno da je iznos trenja proporcionalan komponenti težine normalnoj (okomitoj) na podlogu.

Statičko trenje: sila trenja opire se sili koja nastoji pomaknuti tijelo.

Kinetičko trenje: Sila trenja koja dolazi zbog gibanja tijela.

Kako se tijelo ne giba → nema sile

gdje je s koeficijent statičkog trenja

Sila trenja Ff uravnotežuje vanjsku silu do trenutka kad je F=Ff.

Empirijska formula

Sila otpora koja djeluje na tijelo sve do neposredno prije početka gibanja

Što nam kaže

ova formula? Sila trenja raste dok ne dosegne

neku graničnu vrijednost!!!

Kinetičko trenje suprostavlja se gibanju tijela

gdje je K koeficijent kinetičkog trenja

Za razliku od statičkog trenja, kinetičko trenje ima fiksnu

vrijednost i ne ovisi o vanjskoj sili.

(Da li je to stvarno točno?)

Izvan granične vrijednosti, nema više statičkog trenja, već imamo kinetičko trenje

(trenje gibanja).

Općenito, s je veći od K (npr. čelik - čelik; s=0.74 and K=0.57)

Nema

relativnog

gibanja

Relativno gibanje

Nema klizanja

Samo što nije došlo do klizanja Klizanje

y

O Nf

G mg

q

x

sin

cos 0

x

y

F mx mg f

F my N mg

q

q

ali f N

N mgcosq

sin cosmx mg mgq q

x g sinq cosq

x g sinq cosq t

x 1

2g sinq cosq t 2

Početni položaj x(0) = 0

Početna brzina v(0) = 0

Konj tvrdi da “zbog trećeg Newtonovog zakona kako god ja jako vukao kola i kola

će mene vući istom silom. Kako uopće ja mogu povući kola?!?”

Sila na

sanjke

kojom vuče

čovjek

Sila kojom

sanjke

djeluju na

čovjeka

Sila trenja

na sanjke

zbog

podloge

Sila trenja na

čovjeka zbog

podloge

Sila na

podlogu

zbog

sanjki

Sila na

čovjeka

zbog

podloge

Newtonovi zakoni djeluju savršeno u inercijalnim sustavima

Za promatrače koji miruju ili se gibaju jednolikom brzinom u odnosu na situaciju koju promatraju svi Newtonovi zakoni su isti premda su neke veličine koje opisujemo (npr. brzina) relativne.

Ako pretpostavimo da imamo akcelerirajuće (ili rotirajuće) sustave (neinercijalne) tada Newtonovi zakoni više ne vrijede!!!

ALI mi možemo učiniti da Newtonovi zakoni vrijede i u neinercijalnim sustavima ako izmislimo fiktivne sile koje u stvari ne postoje (pod time smatramo da ne postoji fizikalni izvor sile).

Tako u rotirajućim sustavima možemo dodati centrifugalnu silu da uravnotežimo centripetalnu silu!

Općenito sile nisu konstantne. Primjer toga je Hooke-ov zakon za oprugu, gdje je sila dana izrazom:

- k je konstanta opruge

Da bi izračunali Newtonove zakone s ne-konstantnim silama, potrebno je integrirati

razne vektorske veličine što je pipkav posao. U slijedećim predavanjima vidjeti ćemo da

se takvi problemi mnogo jednostavnije rješavaju koristeći koncepte rada i energije.

Elastična svojstva tijela

sila naprezanjaModulu elastičnosti

deformacija

Mi smo do sada pretpostavljali da tijela ne mijenjaju svoj oblik kada na njih

djeluju vanjske sile. Dali je to realno?

NE. U stvarnosti, tijela se deformiraju kako vanjske sile djeluju na njih, iako se

unutrašnje sile odupiru deformaciji.

Deformaciju tijela možemo promatrati kao:

Naprezanje i deformaciju

Naprezanje: veličina proporcionalna sili uzrokuje

deformacije.

Deformacija: Mjera za stupanj deformacije

To je empirijski poznato da je za mala naprezanja, deformacija proporcionalna sili naprezanja

Konstante proporcionalnosti se zovu moduli

elastičnosti

Tipovi modula elastičnosti1. Young-ov modul: mjeri elastičnost u jednoj

dimenziji (duljina)

2. Shear-ov modul: mjeri elastičnost u ravnini

3. Volumni modul elastičnosti

Young-ov modul elastičnosti

Vlačno naprezanje exF

A

Uzmimo šipku površine poprečnog presjeka A i početne duljine Li.

Fex=Fin

Young-ov modul definiran

je kao

Koja je jedinica Youngovog modula?

Eksperimentalna

zapažanja

1. Za fiksne vanjske sile, promjena u dužini je proporcionalna

samoj dužine

2. Sila potrebne za generiranje deformacije proporcionalna je

površini poprečnog presjeka

Li

površina poprečnog presjeka

Vlačno naprezanje

Lf=Li+DLFex Nakon rastezanja Fex

Vlačna deformacija Vlačna deformacijai

L

L

D

Sila po površini

Koristi se za

karakterizaciju

deformacije štapa

ili žice kad ih

rastežemo ili

komprimiramo

Granica elastičnosti : Najveće naprezanje koje se može primijeniti na tijelo prije

nego što se trajno deformira

YVlačno naprezanje

Vlačna deformacija

i

ex

LL

AF

D

i) Razumijevanje osobine valnog gibanja, posebice sinusne valove i jednostavna

harmonička gibanja, te razumjeti matematički opis takvih valova;

ii) Razumijevanje važnosti jednostavnog harmoničkog gibanja u velikom broju

različitih fizikalnih situacija;

iii) Razumijevanje principa linearne superpozicije valova i što se podrazumijeva

pod konstruktivnom ili destruktivnom interferencijom; koherencija;

iv) rješavanje jednostavnih problema putujućih valova.

Ciljevi:

• Mehanički valovi (vidi http://library.thinkquest.org/27948/waves.html):

• Mehanički val je poremećaj koji putuje kroz neki materijal.

• Čestica se u mediju giba na način koji ovisi o vrsti vala.

• Transverzalni val: pomaci okomito (poprečno) na smjer putovanja vala, tj. val

na niti.

• Longitudinalni val: pomaci su u istom smjeru kao i smjer putovanja vala, tj.

valovi u plinu (zvuk).

•Plin u ravnoteži – nema poremećaja

http://library.thinkquest.org/27948/waves.html

Zajedničke značajke valova:

dobro definiran uvjet ravnoteže (npr. opruga ispružena u ravnoj liniji ili plin u

cijevi ima konstantnu gustoću)

Medij kao cjelina se ne miče: poremećaj putuje s dobro definiranom brzino v,

brzina vala.

mora se primijeniti energija na sustav da bi se generirao poremećaj.

Poremećaj prenosi energiju iz jedne pozicije na drugu.

Periodički valovi:

Periodički valovi se generiraju ako se sila koja djeluje varira u vremenu na

periodičan način. Oni imaju dobro definiranu:

a) Frekvencija f: broj puta koliko seu sekundi uzorak ponavlja. (Jedinica: 1

Hertz = 1 ciklus / s = 1 s-1)

b) kružna frekvencija: (rad / s)

c) Period: vrijeme izmeĎu ponavljajućih uzoraka.

1 2 (s)T

f

f 2

Kada je x pozitivan

F je negativna

Kada je u ravnoteži (x = 0)

F = 0;

Kada je x negativna,

F je pozitivna

F kx

QuickTime™ and aAnimation decompressor

are needed to see this picture.

xF kx

• Hooke-ov zakon: Sila opruge je proporcionalna produljenju ili kompresiji opruge od

ravnotežnog položaja (za male x).

ravnotežni

položaj

FX = 0 x

x=0

gdje je x pomak iz

položaja ravnoteže i k

konstanta

proporcionalnosti.

(konstanta opruge)

zamislite gibanje objekta (bez trenje) obješenog na idealnu

oprugu (ona koja se ponaša u skladu sa Hookeovim zakonom).

Kako se pomak, brzina i ubrzanje objekta mijenjaju s

vremenom?

Analogija:

jednostavno harmoničko gibanje duž x

↔ x komponenta jednolikog kružnog gibanja

A : amplituda (duljina, m)T : period (vrijeme, s)

A

T

Sinusni valovi: kontinuirani slijed transverzalnih

sinusoidalnih poremećaja.

Valna duljina (l): duljina periodičnog oblika (m).

Točka se pomiče gore-dolje uz period T, a križić

pomaknut za t - x/v. To znači da križić ima isti obrazac kao

u ranije vrijeme t - x/v.

Marker se pomiče uzduž osi za udaljenost l u vremenu T.

Prema tome brzina vala:

Mi ćemo pretpostaviti da se v ne mijenja s l i f. Ovo ne vrijedi

i za svjetlost koja putuje kroz medij jer brzina ovisi o frekvenciji

(disperzije svjetlosti).

fT

v

Primjer: Kolika je valna duljina zvučnog vala, ako je

frekvencija f = 262 Hz (srednji C na glasoviru)?

Brzina zvuka = 344 m / s m

s

ms

f

v31.1

262

3441

1

Amplituda: A

Period: T

Frekvencija: f = 1/T

Kutna frekvencija:

A

T

x Acost

T 2

T 2

, f

2

Transverzalni valovi:

Vertikalni pomak vala varira s vremenom.

U odreĎenom vremenu, val ima dobro definiran profil a pomaka je različit za

različite čestice.

Amplituda A je maksimalni pomak u smjeru y (m)

Matematički opis valova

tAtT

Atxy

sin2

sin),0(

y

T3T/4T/2T/4 t

- A

A x=0

Vertikalni pomak s vremenom. Profil vala u t = 0.

kxAtxy sin)0,(

y

l3l/4l/2l/4 x

- A

At=0v

Valni dijagram (val s lijeva na desno):

Sinusoidalni val je najjednostavniji primjer periodičnog kontinuiranog vala i može se koristi za

konstrukciju složenijih valova

Definiramo valni broj k: (radian/m)

2k

)sin(),( kxtAtxy

Valna funkcija (val putuje s desna na lijevo):

Vremenski pomak je t + x/v.

Dakle, valna funkcija je:

Faza valne je: (u radijanima)

)sin(2sinsin),( kxtAx

T

tA

v

xtAtxy

kxt

Valna funkcija (val putuje s lijeva na desno):

Općenito valna funkcija ovisi o x i t:

y = y (x, t)

U trenutku t, čestica je pomaknuta od x = 0 za t-x/v

x

T

tA

v

xtAtxytAtxy 2sinsin),(sin),0(

Valna funkcija

pretpostavlja da je vertikalni pomak y nula u x = 0 i t = 0, a na to ne mora biti slučaj.

Ako nije, izražavamo općenitu valnu funkciju u obliku

Često se faza φ uključuje da se brijeg (vrh) vala prebaci vremenu:

sin( )y A kx t

sin( )y A kx t

Faza od 90-stupnjeva mijenja sinus u kosinus

cos t

2

sin t

Kad je ubrzanje objekta proporcionalno njegovom pomaku iz ravnotežnog

položaja i usmjereno je u smjeru suprotnom od pomaka, objekt se giba

jednostavnim harmoničkim gibanjem.

Položaj x jednostavnog harmonijskog oscilatora mijenja periodično u

vremenu prema izrazu

cos( )x A t

22

2

2 2

sin( )

cos( )

dxv A t

dt

dv d xa A t

dt dt

v A x

• Brzina i ubrzanje jednostavnog harmoničkog oscilatora su:

a

x

v Brzina je 90° “izvan faze” s

x: Kad je x u maksimumu, v

je u minimumu ....

Ubrzanje je 180° “izvan

faze” s x

F ka x

m m

T

T

T

kx ma

kAcost mamax cost

amax Ak

m

x Acost

v vmax sint

a amax cost

Nađite vmax pomoću zakona očuvanja E

Nađite amax koristeći II Newtonov zakon F = ma

1

2kA2

1

2mvmax

2

vmax Ak

m

kružno gibanje sa stalnom

kutnom brzinom

Jednostavno

harmoničko gibanje

Projekcija na os

f 1

T

2 f 2

T

x Acos(t )

v Asin(t )

a 2A(cost )

k

m

• Progresivni val giba se u odreĎenom smjeru i pritom se energija prenosi sa

čestice na česticu.

• Stojni val je takav val kod kojeg neke čestice titraju, a neke stalno miruju.

Suprotno progresivnom valu, pri stojnom se valu energija ne širi prostorom.

• Valni paket je valno gibanje ograničeno na odreĎeni dio prostora Dx.

• Dok čestica napravi jedan puni titraj, val prevali odreĎeni put koji zovemo

valna duljina .

• Fazna brzina vala (njom se širi odreĎena faza vala) povezana je s valnom

duljinom i frekvencijom, v=f.• Brzina vala ovisi o osobinama sredstva kroz koje prolazi. Brzina i valna

duljina se mijenjaju, ali frekvencija ostaje ista.

• Brzina širenja energije zove se grupna brzina.