princip inercije - unizg.hrphy.grf.unizg.hr/.../predavanje-sile-valovi.pdfelektro-magnetska sila...

of 98/98

Post on 28-Feb-2021

1 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • Princip inercije

    Ako tijelo ostavimo na nekom mjestu ono će

    ostati mirovati ili se gibati jednolikom brzinom

    po pravcu.

  • Razvio koncept dinamike

    Pretpostavio je da je gibanje tijela nečim

    uzrokovano

    Definirao tri osnovna zakona gibanja

  • Gravitacija

    Elektro-magnetska sila (Lorentz-ova)

    Jaka sila

    Slaba sila

  • + 38Elektromagnetska sila 10

    Gravitacijska sila

    proton

    elektron

  • Jaka sila veže

    protone

    i

    neutrone

    u atomskoj

    jezgri

  • n

    Slaba sila:

    Raspad neutrona

    +

    proton

    elektron

  • Opis gibanja u klasičnoj mehanici uključuje izbor

    referentnog sustava.

    Uključuje izbor:

    ◦ Prostorno ishodište,

    ◦ Prostorne koordinate koje odreĎuju poziciju tijela

    ◦ Vremensko ishodište – mjerenje vremena.

  • Dva referentna sustava se mogu razlikovati na više načina

    ◦ Različita vremenska ishodišta (istovremenost)

    ◦ Različita prostorna ishodišta i orijentacija osi

    ◦ Relativna brzina ili akceleracija

    Mudar odabir referentnog sustava može jako pomoći pronalaženju

    riješenja odreĎenog problema.

    Svi referentni sustavi nisu fizikalno ekvivalentni.

    ◦ Zakoni mehanike mogu biti formulirani u jednostavnoj formi u inercijalnim sustavima.

    ◦ Zakoni mehanike neovisni su o upotrijebljenom inercijalnom referentnom sustavu.

  • Masa tijela je mjera inercije, tj. otpor tijela promjeni

    brzine (akceleraciji).

    Mjerna jedinica (SI): kilogram

    Mjerenja mase

    ◦ Troma masa

    ◦ Teška (gravitaciona) masa

  • Inercija (tromost) je tendecija tijela da nastavi s gibanje kakvo je imalo prije promjene

    Masa je mjera tromosti, tj. otpor tijela da promjeni stanje svog gibanja uslijed djelovanja sile

  • Zaštitni pojas

    Inercija (tromost) je tendecija tijela da nastavi s gibanje kakvo je imalo prije promjene

    Masa je mjera tromosti, tj. Otpor tijela da promjeni stanje svog gibanja uslijed djelovanja sile

  • Neformalno: mjera djelovanja na tijelo koje uzrokuje njegovo pokretanje.

    Formalno: mjera akcije potrebne da se tijelo referentne mase (npr. jedinične mase) pokrene s odreĎenom akceleracijom.

    Mjerna jedinica (SI): njutn (N)◦ Newton je definiran kao sila potrebna da ubrza masu jednog

    kilograma akceleracijom od 1 m/s2.

    2

    kg mN

    s

  • “Tijelo će ostati u stanju mirovanja

    ili jednolikog gibanja po pravcu ako

    na njega ne djeluje niti jedna sila ili

    ako je zbroj svih sila koje djeluju na

    njega 0”

    To u stvari ponavlja Galileovu ideju inercije (tromosti).

    Prvi zakon je poznat i kao princip inercije.

  • “Akceleracija tijela je direktno proporcionalna

    ukupnoj sili koja djeluje na to tijelo, a inverzno

    proporcionalna njegovoj masi.”

    F m a

  • Demo: povlačenje stolnjaka

    stolnjak

    vaza s

    cvijećem

    naglo povući

    Zbog svoje tromosti vaza ostaje na mjestu jer skoro nikakva sila ne djeluije na vazu

    ako stolnjak povučemo brzo.

  • TakoĎer se može primijeniti i u 3 - dimezije◦ Akceleracija može takoĎer biti uzrokovana promjenom

    smjera brzine

    prikazuje vektorsku sumu svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo.

    raspisano po komponentama u 3D

  • Što je veća sila koja djeluje na objekt, veće je

    ubrzanje tog objekta.

    Sila

    mala sila

    velika sila

    ubrzanje

    malo ubrzanje

    veliko ubrzanje

  • Što je veća masa objekta, manje je njegovo ubrzanje,

    ako djelujemo na njega istom silom.

    mala masa

    velika masa

    veliko ubrzanje

    malo ubrzanje

  • Newtonov drugi zakon objašnjava zašto teški i laki

    predmeti padaju s istim ubrzanjem.

    Ubrzanje slobodnog pada

    Omjer sile

    teže i mase

    je uvijek isti

    (sila teža

    ovisi o masi)

  • • Svatko može sigurno leći ili sjesti

    na krevet od čavala, dok god ima

    dovoljno čavala da je sila po čavlu

    mala.

    • Težina od 100 kg(!?) se distribuira

    na preko 300 čavala. Sila po čavlu

    je 1/3 kg.

    • Trebate 5kg po čavlu da bi

    probušitl kožu.

    • Jedina stvar koju nikad ne želite

    učiniti s krevetom od čavala je

    skočiti u krevet!

    • Veliko usporavanje znači

    veliku silu!!!!

  • Tijelo se pod djelovanjem sile giba na takav način da je vremenska promjena (derivacija) njegovog momenta jednaka sili.

    dpF

    dt F

    Vektor koji opisuje veličinu i smjer sile

    koja djeluje na tijelo

    pVector koji opisuje veličinu i smjer

    impulsa (momenta) ili “količine

    gibanja” tijela.

  • p mvImpuls ili “količina gibanja”

    m Skalarna veličina koja opisuje količinu materije (ili tromost) nekog tijela.

    v Vektorska veličina koja opisuje brzinu i smjer gibanja nekog tijela.

    Definicija sile je kompletna i točna samo onda kad definiramo što je to “masa”.

    drv

    dt

    rVektorska veličina koja opisuje položaj i udaljenost tijela

    relativno prema odabranom ishodištu i osima našeg

    referentnog sustava.

  • Uobičajena formulacija Newtonovog drugog zakona

    Pretpostavimo li da je masa, m, tijela konstantna veličina možemo pisati:

    dp d dv

    F mv mdt dt dt

    Uobičajena formulacija Newtonovog drugog zakona:

    F ma

    dva

    dt

    Gdje je vektor akceleracije definiran kao

    vremenska promjena brzine

    a

  • Uvodimo simboličku pokratu:

    drr

    dt

    F mv

    v r

    a v

    2

    2

    d rr

    dt

    Newtonov drugi zakon i mnoge druge veličine mogu biti pisane na slijedeći način:

    a r

    F mr

    F p

  • Newtonov drugi zakon je vektorska diferencijalna jednadžba

    drugog reda.mr F

    U jednoj dimenziji reducira se na

    x(t) F(t) /mŠto se može integrirati

    x(t) 1

    mF(t)dt ( ) ( )x t x t dt

    Za konstantne sile dobivamo poznate izraze

    ( ) ( ) oF

    v t x t t vm

    x(t) F

    2mt 2 vot xo

  • “Ako tijelo A djeluje silom na tijelo B (akcija), tada tijelo B djeluje istom silom na tijelo A ali suprotnog smjera (reakcija). Ove dvije sile su iste veličine ali suprotnog smjera. Ovaj zakon vrijedi u zatvorenom sustavu”

    (Budite pažljivi s minus predznakom!

    Ovo je vektorska jednadžba!)

    A B B AF F

    2

    1

    F12

    F12 rF21

  • n i n’◦ n je normalna sila , sila kojom

    stol djeluje na TV

    ◦ n je uvijek okomita na podlogu

    ◦ n’ je reakcija - TV djeluje na stol

    ◦ n = - n’

  • Fg i Fg’

    ◦ Fg je sila kojom Zemlja djeluje na tijelo (TV)

    ◦ Fg’ je sila kojom tijelo djeluje na Zemlju

    ◦ Fg = -Fg’

  • Pretpostavimo da dva tijela tvore idealan izolirani sustav.

    Pretpostavimo konstantne mase

    Akceleracije tih dvaju tijela su u suprotnom smjeru.

    Omjer akceleracija jednak je inverznom omjeru masa tih dvaju tijela.

    1 2

    1 2

    F F

    dp dp

    dt dt

    1 1 2 2

    1 21 2

    d dm v m v

    dt dt

    dv dvm m

    dt dt

    m2

    m1a1

    a2

  • Mjerimo relativnu akceleraciju tijela nepoznate mase i referentne (jedinične) mase.

    Usporedba težina na vagi.

    ◦ upotrebljavano F= ma & G=mg◦ g je novisno o masi tijela.

    ◦ ekvivalencija trome i teške mase !!

    a1

    a2 m2

  • Pretpostavke

    ◦ Objekti se ponašaju kao čestice (sva masa je koncentrirana u jednoj točki)

    Možemo ignorirati rotaciono gibanje (za sada)

    ◦ Mase opruga ili niti (njihalo) su zanemarive

    ◦ Zanimaju nas samo sile koje djeluju na tijelo

  • Troma masa:

    ◦ Masa tijela odreĎena akceleracijom koju tijelo dobiva pod djelovanjem vanjske sile.

    Teška masa:

    ◦ Masa odreĎena gravitacionim privlačenjem meĎu tijelima.

    Hipoteza da su te dvije mase ekvivalentne naziva se

    “princip ekvivalencije”.

  • 1. Prvi test principa ekvivalencije izveo je Galileo (Pisa).

    2. Newton je razmatrao taj problem koristeći njihala iste duljine imase ali načinjenih od različitih materijala.

    3. Recentni eksperimenti daju jednakost do na nekoliko djelova u 1012.

  • U stvarnosti je nemoguće imati izolirani sistem

    ipak…

    Treći Newtonov zakon implicira:

    1 2

    1 2

    0

    constant

    dp p

    dt

    p p

    Implicira zakon očuvanja količine gibanja

    Vjeruje se da striktno vrijedi pod svim uvijetima.

    Esencijalno se koristi kao postulat/osnova moderne fizike.

  • Zakoni gibanja imaju smisla samo u inercijalnim referentnim sustavima.

    Referentni sustav smatramo inercijalnim ako se u njemu tijelo na koje ne djeluje nikakva vanjska sila giba jednoliko po pravcu ili miruje.

    Ako Newtonovi zakoni vrijede u datom referentnom sustavu onda vrijede u bilo kojem referentnom sustavu koji se giba jednolikom brzinom relativno prema prvom sustavu.

    Promjena referentnog sustava koja uključuje konstantnu brzinu nemijenja jednadžbe.

    ( ( ) ) ( )od v t v dv tF m mdt dt

    Ovo se naziva Galilejeva invarijantnost ili princip Newtonovske relativnosti

  • Ne postoji nešto što bi mogli proglasiti

    “apsolutnim mirovanjem” ili “apsolutnim

    inercijalnim referentnim sustavom”

    I prostor i vrijeme se

    pretpostavljeju/zahtijevaju da su homogeni.

  • Drugi zakon za fiksno tijelo:

    dpF

    dt

    d mv dvF m mr

    dt dt

    ( )r r t

    Diferencijalna jednadžba drugog reda.Ako znamo F (silu) i početne i rubne uvijete ta jednadžbu možemo integrirati da bismo našli položaj tijela kao funkciju vremena:

  • Sila općenito može biti funkcija bilo koje kombinacije položaja, brzine

    i vremena.

    Općenito ju označavamo kao:

    Uz podsjetnik:

    • Bez vanjske sile tijelo ostaje na miru ili se giba jednoliko po pravcu. Činjenica da je vanjska sila jednaka nuli može takoĎer značiti da je suma svih sila koje djeluju na tijelo jednaka nuli.

    • Uz djelovanje vanjske sile tijelo dobiva akceleraciju koja je u smjeru sile i ovisi o masi tijela.

    • Svakoj akciji suprostavlja se reakcija jednaka po iznosu ali suprotnog smjera.

    , ,F r v t

    0ii

    F

    Fa

    m

  • Neke osnovne informacije

    Normalna sila, N:

    Kada se primjenjuju Newtonovi zakoni, interesiraju nas samo vanjske sile!

    Zašto?Jer, kao što je opisano Newtonovim prvim zakonom, objekt će zadržati svoje

    sadašnje kretanje, sve dok na njega ne djeluje neka vanjska sila.

    Napetost, T:

    Sila reakcije koja reagira na gravitacijsku silu. Njezin

    pravac je okomit na površinu tijela.

    Sila reakcije opruge na vanjsku silu na nju.

    Grafički alat koji je dijagram vanjskih sila na objekt te je

    izuzetno koristan analizu snaga i pokreta! Crta se samo na

    objektu. Dijagram slobodnog

    tijela

  • 45

    Dijagram slobodnog tijela• Dijagram sila koje djeluju na tijelo

    1. Odaberite točku na objektu (hvatište)

    2. Identificirajte sve sile koje djeluju samo na odabrani objekt

    3. Definirajte referentni sustav s određenim pozitivnim i negativnim osima

    4. Nacrtati strelice koje predstavljaju vektore sila u odabranoj točki

    5. Izrazite jednadžbu sila

    6. Izrazite sile po komponentama

    Što mislite koje sile djeluju na objekt?

    Gravitaciona sila Sila otpora koja dolazi od podloge

    Koje sile djeluju u dizalu?

    Gravitaciona sila Sila kojom dižemo dizalo (napetost)

    Što je s paketom u dizalu?Gravitaciona

    sila

    Normalna

    sila

    M

    gMFG

    NFNF

    gMFG

    TF

    gMFG

    NF

    gmF BG

    Me

    m

    TF

    gMFG gmFGB

    NF

  • MeĎusobna privlačna sila izmeĎu bilo koja dva tijela

    Izražena Newtonovim zakonom univerzalne

    gravitacije:

    1 2

    2g

    m mF G

    r

  • Ne mogu čitati

    jer moji nisu

    uplatili račun za

    gravitaciju

  • Iznos gravitacione sile koja djeluje na tijelo

    mase m u blizini Zemljine površine naziva se

    težina tijela G.

    Gravitaciona sila daje akceleraciju od g=9.81

    m/s2 što znači da je sila oblika

    Specijalni slučaj drugog Newtonovog zakona

    Primjer: gimnastičarka mase 51kg ima težinu od 500N

    (jedinice!!!).

    G mg

  • Težina nije inherentno svojstvo tijela

    ◦ masa je inherentno svojstvo

    Težina ovisi o lokaciji

  • Bez težine?

    • da li stvarno?

    (NASA)

  • Težina djeluje tako kao da joj je hvatište u težištu tijela

    Njoj se suprotstavlja normalna sila koja dolazi od podloge.

    Da li težina i normalna sila predstavljaju par akcija -

    reakcija?

    Normalne sile dolaze zbog

    odbijanja atoma

    Normalne sile su okomite na

    površinu

  • Napetost nit dolazi kod užadi ili

    opruga i ovisi o pojedinačnoj

    konfiguraciji sila.

    Za niti bez mase napetost je

    konstantna duž cijele dužine niti.

  • Pretpostavimo da imamo nit s masom, te je

    potrebno u računu uzeti u obzir i njezinu

    težinu. U statičkom slučaju:

    Zapamtite, težina je sila te je njen smjer

    važan!!

    1 2 RT T w zašto?

  • Razbijte problem na

    manje dijelove.

    Definirajte sile na manjim

    dijelovima problema.

    Obratite pažnju na parove

    akcija – reakcija.

    (VAŽNO).

  • Kolica mase mass m1postavljena su na kosinu

    nagiba 15o. Užetom su

    vezana s kantom pijeska

    kao na slici. Koju masu

    pijeska m2 moramo objesiti

    da bi se kolica gibala

    jednolikom brzinom?

    (pretpostavite da nema

    trenja)

  • Primjer dijagrama slobodnog tijela

  • Problem:

    Dijete drži sanjke na snježnoj

    padini (nema trenja) kao na

    slici. Ako sanjke imaju

    težinu od 77.0 N, naĎi

    napetost užeta T i normalnu

    silu n kojom sanjke pritišću

    podlogu.

  • • Odaberite koordinatni sustav takav da je x – os orijentirana duž kosine, a y-os je okomita na podlogu

    • Zamjenite gravitacionu silu s njenim komponentama

    Početni podaci:

    kut: a=30°

    težina: w=77.0 N

    Napetost užeta T=?

    Normalna sila n=?

    1. Uvodimo koordinatni sustav:

    Oy: y – okomito na podlogu

    Ox: x – duž kosine

    NNmgT

    mgTFOx x

    5.38)30(sin0.77)30(sin

    ,0sin:

    a

    0F

    NNmgT

    mgnFOy y

    7.66)30(cos0.77)30(cos

    ,0cos:

    a

  • Sanduk mase M se nalazi na kosini bez trenja koja je

    nagnuta pod kutom q.

    a) Odrediti ubrzanje sanduka nakon što je otpušten.

    F

    Dijagram

    Slobodnog

    tijelaqx

    y

    Fg

    n

    n

    F= -MgqPretpostavimo da je sanduk

    pušten na vrhu kosine duljine d.

    Koliko dugo treba sanduku da

    dođe do dna i kolika je njegova

    brzina pri dnu?

    d

    yF

    xF

    qsingax

    qsin

    2

    g

    dt

    xfv

    x

    y

    nFg am

    xMa gxF qsinMg

    yMa gyFn qcosmgn 0

    2

    2

    1tatv xix

    2 sin2

    1tg q

    tav xix q

    qsin

    2sin

    g

    dg qsin2dg

    qsin2dgvxf

  • Mikroskopski površine nisu

    idealno glatke već se satoje

    od neravnina.

    Te neravnine uzrokuju trenje.

    Koja sila u stvari uzrokuje

    trenje?

  • Metali imaju mnogo

    kompliciranije trenje.

    Kako površine dolaze u bliski

    kontakt atomi podliježu

    hladnom varenju. Razbijanje

    tih struktura doprinosi trenju.

    Broj atoma u kontaktu definira

    kako su jako plohe pritisnute

    jedna o drugu.

  • http://www.physics.usyd.edu.au/~gfl/Lecture

    Eksperimentalno je otkriveno da je iznos trenja proporcionalan komponenti težine normalnoj (okomitoj) na podlogu.

    Statičko trenje: sila trenja opire se sili koja nastoji pomaknuti tijelo.

    Kinetičko trenje: Sila trenja koja dolazi zbog gibanja tijela.

  • Kako se tijelo ne giba → nema sile

    gdje je s koeficijent statičkog trenja

    Sila trenja Ff uravnotežuje vanjsku silu do trenutka kad je F=Ff.

    Empirijska formula

    Sila otpora koja djeluje na tijelo sve do neposredno prije početka gibanja

    Što nam kaže

    ova formula? Sila trenja raste dok ne dosegne

    neku graničnu vrijednost!!!

  • Kinetičko trenje suprostavlja se gibanju tijela

    gdje je K koeficijent kinetičkog trenja

    Za razliku od statičkog trenja, kinetičko trenje ima fiksnu

    vrijednost i ne ovisi o vanjskoj sili.

    (Da li je to stvarno točno?)

    Izvan granične vrijednosti, nema više statičkog trenja, već imamo kinetičko trenje

    (trenje gibanja).

  • Općenito, s je veći od K (npr. čelik - čelik; s=0.74 and K=0.57)

    Nema

    relativnog

    gibanja

    Relativno gibanje

  • Nema klizanja

    Samo što nije došlo do klizanja Klizanje

  • y

    O Nf

    G mg

    q

    x

    sin

    cos 0

    x

    y

    F mx mg f

    F my N mg

    q

    q

    ali f N

    N mgcosq

    sin cosmx mg mgq q

    x g sinq cosq

    x g sinq cosq t

    x 1

    2g sinq cosq t 2

    Početni položaj x(0) = 0

    Početna brzina v(0) = 0

  • Konj tvrdi da “zbog trećeg Newtonovog zakona kako god ja jako vukao kola i kola

    će mene vući istom silom. Kako uopće ja mogu povući kola?!?”

  • Sila na

    sanjke

    kojom vuče

    čovjek

    Sila kojom

    sanjke

    djeluju na

    čovjeka

    Sila trenja

    na sanjke

    zbog

    podloge

    Sila trenja na

    čovjeka zbog

    podloge

    Sila na

    podlogu

    zbog

    sanjki

    Sila na

    čovjeka

    zbog

    podloge

  • Newtonovi zakoni djeluju savršeno u inercijalnim sustavima

    Za promatrače koji miruju ili se gibaju jednolikom brzinom u odnosu na situaciju koju promatraju svi Newtonovi zakoni su isti premda su neke veličine koje opisujemo (npr. brzina) relativne.

    Ako pretpostavimo da imamo akcelerirajuće (ili rotirajuće) sustave (neinercijalne) tada Newtonovi zakoni više ne vrijede!!!

    ALI mi možemo učiniti da Newtonovi zakoni vrijede i u neinercijalnim sustavima ako izmislimo fiktivne sile koje u stvari ne postoje (pod time smatramo da ne postoji fizikalni izvor sile).

    Tako u rotirajućim sustavima možemo dodati centrifugalnu silu da uravnotežimo centripetalnu silu!

  • Općenito sile nisu konstantne. Primjer toga je Hooke-ov zakon za oprugu, gdje je sila dana izrazom:

    - k je konstanta opruge

    Da bi izračunali Newtonove zakone s ne-konstantnim silama, potrebno je integrirati

    razne vektorske veličine što je pipkav posao. U slijedećim predavanjima vidjeti ćemo da

    se takvi problemi mnogo jednostavnije rješavaju koristeći koncepte rada i energije.

  • Elastična svojstva tijela

    sila naprezanjaModulu elastičnosti

    deformacija

    Mi smo do sada pretpostavljali da tijela ne mijenjaju svoj oblik kada na njih

    djeluju vanjske sile. Dali je to realno?

    NE. U stvarnosti, tijela se deformiraju kako vanjske sile djeluju na njih, iako se

    unutrašnje sile odupiru deformaciji.

    Deformaciju tijela možemo promatrati kao:

    Naprezanje i deformaciju

    Naprezanje: veličina proporcionalna sili uzrokuje

    deformacije.

    Deformacija: Mjera za stupanj deformacije

    To je empirijski poznato da je za mala naprezanja, deformacija proporcionalna sili naprezanja

    Konstante proporcionalnosti se zovu moduli

    elastičnosti

    Tipovi modula elastičnosti1. Young-ov modul: mjeri elastičnost u jednoj

    dimenziji (duljina)

    2. Shear-ov modul: mjeri elastičnost u ravnini

    3. Volumni modul elastičnosti

  • Young-ov modul elastičnosti

    Vlačno naprezanje exF

    A

    Uzmimo šipku površine poprečnog presjeka A i početne duljine Li.

    Fex=Fin

    Young-ov modul definiran

    je kao

    Koja je jedinica Youngovog modula?

    Eksperimentalna

    zapažanja

    1. Za fiksne vanjske sile, promjena u dužini je proporcionalna

    samoj dužine

    2. Sila potrebne za generiranje deformacije proporcionalna je

    površini poprečnog presjeka

    Li

    površina poprečnog presjeka

    Vlačno naprezanje

    Lf=Li+DLFex Nakon rastezanja Fex

    Vlačna deformacija Vlačna deformacijai

    L

    L

    D

    Sila po površini

    Koristi se za

    karakterizaciju

    deformacije štapa

    ili žice kad ih

    rastežemo ili

    komprimiramo

    Granica elastičnosti : Najveće naprezanje koje se može primijeniti na tijelo prije

    nego što se trajno deformira

    YVlačno naprezanje

    Vlačna deformacija

    i

    ex

    LL

    AF

    D

  • i) Razumijevanje osobine valnog gibanja, posebice sinusne valove i jednostavna

    harmonička gibanja, te razumjeti matematički opis takvih valova;

    ii) Razumijevanje važnosti jednostavnog harmoničkog gibanja u velikom broju

    različitih fizikalnih situacija;

    iii) Razumijevanje principa linearne superpozicije valova i što se podrazumijeva

    pod konstruktivnom ili destruktivnom interferencijom; koherencija;

    iv) rješavanje jednostavnih problema putujućih valova.

    Ciljevi:

  • • Mehanički valovi (vidi http://library.thinkquest.org/27948/waves.html):

    • Mehanički val je poremećaj koji putuje kroz neki materijal.

    • Čestica se u mediju giba na način koji ovisi o vrsti vala.

    • Transverzalni val: pomaci okomito (poprečno) na smjer putovanja vala, tj. val

    na niti.

    • Longitudinalni val: pomaci su u istom smjeru kao i smjer putovanja vala, tj.

    valovi u plinu (zvuk).

    •Plin u ravnoteži – nema poremećaja

    http://library.thinkquest.org/27948/waves.html

  • Zajedničke značajke valova:

    dobro definiran uvjet ravnoteže (npr. opruga ispružena u ravnoj liniji ili plin u

    cijevi ima konstantnu gustoću)

    Medij kao cjelina se ne miče: poremećaj putuje s dobro definiranom brzino v,

    brzina vala.

    mora se primijeniti energija na sustav da bi se generirao poremećaj.

    Poremećaj prenosi energiju iz jedne pozicije na drugu.

    Periodički valovi:

    Periodički valovi se generiraju ako se sila koja djeluje varira u vremenu na

    periodičan način. Oni imaju dobro definiranu:

    a) Frekvencija f: broj puta koliko seu sekundi uzorak ponavlja. (Jedinica: 1

    Hertz = 1 ciklus / s = 1 s-1)

    b) kružna frekvencija: (rad / s)

    c) Period: vrijeme izmeĎu ponavljajućih uzoraka.

    1 2 (s)T

    f

    f 2

  • Kada je x pozitivan

    F je negativna

    Kada je u ravnoteži (x = 0)

    F = 0;

    Kada je x negativna,

    F je pozitivna

    F kx

    QuickTime™ and aAnimation decompressor

    are needed to see this picture.

  • xF kx

    • Hooke-ov zakon: Sila opruge je proporcionalna produljenju ili kompresiji opruge od

    ravnotežnog položaja (za male x).

    ravnotežni

    položaj

    FX = 0 x

    x=0

    gdje je x pomak iz

    položaja ravnoteže i k

    konstanta

    proporcionalnosti.

    (konstanta opruge)

  • zamislite gibanje objekta (bez trenje) obješenog na idealnu

    oprugu (ona koja se ponaša u skladu sa Hookeovim zakonom).

    Kako se pomak, brzina i ubrzanje objekta mijenjaju s

    vremenom?

    Analogija:

    jednostavno harmoničko gibanje duž x

    ↔ x komponenta jednolikog kružnog gibanja

  • A : amplituda (duljina, m)T : period (vrijeme, s)

    A

    T

  • Sinusni valovi: kontinuirani slijed transverzalnih

    sinusoidalnih poremećaja.

    Valna duljina (l): duljina periodičnog oblika (m).

    Točka se pomiče gore-dolje uz period T, a križić

    pomaknut za t - x/v. To znači da križić ima isti obrazac kao

    u ranije vrijeme t - x/v.

    Marker se pomiče uzduž osi za udaljenost l u vremenu T.

    Prema tome brzina vala:

    Mi ćemo pretpostaviti da se v ne mijenja s l i f. Ovo ne vrijedi

    i za svjetlost koja putuje kroz medij jer brzina ovisi o frekvenciji

    (disperzije svjetlosti).

    fT

    v

    Primjer: Kolika je valna duljina zvučnog vala, ako je

    frekvencija f = 262 Hz (srednji C na glasoviru)?

    Brzina zvuka = 344 m / s m

    s

    ms

    f

    v31.1

    262

    3441

    1

  • Amplituda: A

    Period: T

    Frekvencija: f = 1/T

    Kutna frekvencija:

    A

    T

    x Acost

    T 2

    T 2

    , f

    2

  • Transverzalni valovi:

    Vertikalni pomak vala varira s vremenom.

    U odreĎenom vremenu, val ima dobro definiran profil a pomaka je različit za

    različite čestice.

    Amplituda A je maksimalni pomak u smjeru y (m)

    Matematički opis valova

    tAtT

    Atxy

    sin2

    sin),0(

    y

    T3T/4T/2T/4 t

    - A

    A x=0

    Vertikalni pomak s vremenom. Profil vala u t = 0.

    kxAtxy sin)0,(

    y

    l3l/4l/2l/4 x

    - A

    At=0v

    Valni dijagram (val s lijeva na desno):

    Sinusoidalni val je najjednostavniji primjer periodičnog kontinuiranog vala i može se koristi za

    konstrukciju složenijih valova

  • Definiramo valni broj k: (radian/m)

    2k

    )sin(),( kxtAtxy

    Valna funkcija (val putuje s desna na lijevo):

    Vremenski pomak je t + x/v.

    Dakle, valna funkcija je:

    Faza valne je: (u radijanima)

    )sin(2sinsin),( kxtAx

    T

    tA

    v

    xtAtxy

    kxt

    Valna funkcija (val putuje s lijeva na desno):

    Općenito valna funkcija ovisi o x i t:

    y = y (x, t)

    U trenutku t, čestica je pomaknuta od x = 0 za t-x/v

    x

    T

    tA

    v

    xtAtxytAtxy 2sinsin),(sin),0(

  • Valna funkcija

    pretpostavlja da je vertikalni pomak y nula u x = 0 i t = 0, a na to ne mora biti slučaj.

    Ako nije, izražavamo općenitu valnu funkciju u obliku

    Često se faza φ uključuje da se brijeg (vrh) vala prebaci vremenu:

    sin( )y A kx t

    sin( )y A kx t

    Faza od 90-stupnjeva mijenja sinus u kosinus

    cos t

    2

    sin t

  • Kad je ubrzanje objekta proporcionalno njegovom pomaku iz ravnotežnog

    položaja i usmjereno je u smjeru suprotnom od pomaka, objekt se giba

    jednostavnim harmoničkim gibanjem.

    Položaj x jednostavnog harmonijskog oscilatora mijenja periodično u

    vremenu prema izrazu

    cos( )x A t

    22

    2

    2 2

    sin( )

    cos( )

    dxv A t

    dt

    dv d xa A t

    dt dt

    v A x

    • Brzina i ubrzanje jednostavnog harmoničkog oscilatora su:

  • a

    x

    v Brzina je 90° “izvan faze” s

    x: Kad je x u maksimumu, v

    je u minimumu ....

    Ubrzanje je 180° “izvan

    faze” s x

    F ka x

    m m

    T

    T

    T

  • kx ma

    kAcost mamax cost

    amax Ak

    m

    x Acost

    v vmax sint

    a amax cost

    Nađite vmax pomoću zakona očuvanja E

    Nađite amax koristeći II Newtonov zakon F = ma

    1

    2kA2

    1

    2mvmax

    2

    vmax Ak

    m

  • kružno gibanje sa stalnom

    kutnom brzinom

    Jednostavno

    harmoničko gibanje

    Projekcija na os

  • f 1

    T

    2 f 2

    T

    x Acos(t )

    v Asin(t )

    a 2A(cost )

    k

    m

  • • Progresivni val giba se u odreĎenom smjeru i pritom se energija prenosi sa

    čestice na česticu.

    • Stojni val je takav val kod kojeg neke čestice titraju, a neke stalno miruju.

    Suprotno progresivnom valu, pri stojnom se valu energija ne širi prostorom.

    • Valni paket je valno gibanje ograničeno na odreĎeni dio prostora Dx.

    • Dok čestica napravi jedan puni titraj, val prevali odreĎeni put koji zovemo

    valna duljina .

    • Fazna brzina vala (njom se širi odreĎena faza vala) povezana je s valnom

    duljinom i frekvencijom, v=f.• Brzina vala ovisi o osobinama sredstva kroz koje prolazi. Brzina i valna

    duljina se mijenjaju, ali frekvencija ostaje ista.

    • Brzina širenja energije zove se grupna brzina.