REDUKCIJA SISTEMA NA PROIZVOLJNO IZABRANU TA KU

PROIZVOLJAN RAVANSKI SISTEM SILA I SPREGOVA

iFAi MFrr

=)(M

= ig FFrr

+= jigA F MMM )(r

= iAgA MM

Redukuje se na redukcionu takusvaka sila koja pripada sistemu

Kada se proizvoljna i-tasila, Sl.3, redukuje na takuA, dobije se njenoekvivalentno dejstvo, Sl.4, koje ine ista takva sila u taki A i spreg ( )iF

rM

koji moe biti izraen prekomomenta sile za redu-iF

r

kcionu taku A:

REZULTANTA PROIZVOLJNOG RAVANSKOG SISTEMA SILA I SPREGOVA

Da bi se proizvoljan ravanskisistem sila i spregova mogao svesti na rezultantu mora glavni vektor da bude razliit od nula vektora 0

rrgF

gRg FFF ==

g

gAR F

hM

=

Napadna linija rezultante, koja je na rastojanju hR od redukcione take, nosi naziv centralna osa ravanskog sistema sila i spregova.

Odreivanje rezultante proizvoljnog ravanskog sistema sila i spregova

Vektor rezultante je istog pravca, smera i intenziteta kao i glavni vektor gR FFrr

=jYiXF gggrrr

+= jYiXF RRRrrr

+= jYiXF iiirrr

+=

== igR FFFrrr

== igR XXX == igR YYY

U cilju dobijanja jednaine centralne ose proizvoljnog ravanskog sistema sila i spregova dobro je prvo izvriti redukciju sistema na taku koordinatnog poetka O i tako dobiti glavni vektor

gFr

i glavni moment MgO.

Dobijanje jednaine centralne ose

y=kx+n

g

gOR F

hOBM

==

g

gO

g

gO

R

XF

hOKn

MM=

=

=

==

cos

cos

g

gO

g

g

Xx

X

Yy

M=

= tank

Jednaina centralne ose zaXg 0

Ako je glavni moment za redukcionu taku jednak nuli a onda rezultanta,0rr

gFima napadnu liniju koja prolazi kroz redukcionu taku.Ako je glavni moment za redukcionu taku razliit od nule a 0

rr=gF onda sistem

nema rezultantu ve se svodi na spreg koji je jednak dobijenom glavnom momentu.

Primer 6.1

U zavisnosti od poznatihveliinaF i a odrediti rezultantui njeno mesto za sistem sila i spregova koji dejstvuje na lakukvadratnu plou (Sl.1).

Podaci su: ,2,5 321 FFFFF ===.2,1,22 2154 FaFaFFF ==== MM

,345cos45cos 050

421 FFFFFXXX igR =+=== ,645sin45sin 05

043 FFFFYYY igR =++===

jFiFFRrrr

63 +=

( ) ( ) FFFFR 5363 22 =+=,32 21532 FaaFaFaFM iOgO =+++== MMM

axy = 2

2=g

g

X

Y

aXg

gO =M

RAVNOTEA PROIZVOLJNOG RAVANSKOG SISTEMA SILA I SPREGOVA

,0rr

=gF 0=gAM ,0,0 == ii YX 0= iAM

Dobijeni uslovi ravnotee su meusobno nezavisni i da dovode do tri nezavisne algebarske jednaine.

to se tie ortogonalnogxykoordinatnog sistema (u cilju pisanja prva dvauslova ravnotee) treba znati da on moe biti usvojen bilo kako. Treba ga takoizabrati da dobijene jednaine budu to jednostavnije za njihovo formiranje i reavanje.

U cilju dobijanja tree (momentne) jednaine treba znati da proizvoljnoizabrana momentna taka moe biti bilo koja taka u ravni, koja moepripadati materijalnom delu tela ili biti ma gde van njega. Treba je izabratitako da dobijena momentna jednaine bude to jednostavnija za njenoformiranje i reavanje. Veoma je est sluaj da se na samom poetku reavanjaproblema pogodnim izborom momentne take dobija momentna jednaina u kojoj figurie samo jedna nepoznata veliina. U takvom sluaju prvo trebareiti tu nepoznatu pa tek zatim pisati preostale jednaine kako bi se na tolaki nain odredile sve tri nepoznate.

Primer 6.2Homogeni tap AB teine P, duine l, nalazi se u ravnotei u horizontalnom poloaju (Sl.1). Na tap dejstvuje spreg momenta M smera datog na slici. tap je u taki A zglobno vezan a u taki B se podupire na laki tap BD koji sa horizontalom gradi ugao od 600. Odrediti reakcije veza u zavisnosti od poznatih veliina M, P i l.

=++= 060sin20MlS

lPM iA

lPS

M

3

32

3

3 =

== 060cos 0SXX Ai

lPXA

M

3

3

6

3 =

=+= 060sin 0SPYY Ai

lPYAM+=

2

1

Primer 6.3Homogeni tap AB teine P, duine l, koji sa horizontalom gradi ugao , naslanja se u taki A na gladak vertikalni zid a u taki B na gladak horizontalni pod (Sl.1). Za taku Dtapa vezano je ue ED koje sa horizontalom gradi ugao , kako je to na slici prikazano. Odrediti sve reakcije veza u zavisnosti od poznatih veliina , , P i l.

0cos2

== MKFl

PM AiK

== tancossin llKBMBMK( )

=

=

cos

sin

cos

sincoscossin lllMK

( )==

sin2coscos

2cos PMK

PlFA

== 0cosSFX Ai

( )=

sin2cosP

S

== 0sinSPFY Bi

( )+=

sin2cossinP

PFB

Primer 6.4 Homogeni tapAB teineG, duinel, koji sa horizontalom

gradi ugao, vezan je u taki Azglobno a za njegovu taku B

vezano je ueBD koje sahorizontalom gradi ugao (Sl.1).

Na tap dejstvuje i spreg momenta M smera datog na slici. Odreditisve reakcije veza u zavisnosti odpoznatih veliina , , G, M i l.

( ) 0sincos2

=+= MlSl

GM iA ( ) ( )+=

sinsin2cos

l

GS

M

=+= 0cosSXX Ai ( ) ( )+

=

sincos

sin2coscos

l

GX A

M

=+= 0sinSGYY Ai ( ) ( )

=

sinsin

sin2sincos

l

GGYA

M

Primer 6.5

Poznatih veliinaG i l

Odrediti ugao i reakcije u uadima

0== QGiD hQhGM

== sin2

3sin lCDhG

( )

+=+= sin21

cos23

60sin 0 llhQ

+= sin21

cos23

43

sin23

GlGl

= cossin3 03033

tan ==

4030cos60cos

43

10

10 GSSGX i ==+=

=++= 030sin60sin43

20

10 SGSGYi 22

GS =

Primer 6.6 Homogeni tapAB teineG, duinel, koji sa vertikalom gradiugao, ukleten je u taki A a za

njegovu taku B je vezano uekoje sa vertikalom gradi ugao(Sl.1). Ue je prebaeno preko

idealnog koturaK a na njegovomdrugom kraju je okaen teret

teineQ. Odrediti sve reakcijeveza u zavisnosti od poznatih

veliina , , G, Q i l.Mada to u ovom zadatku ne donosi neku prednost, prvo napiimo momentnu jednainu za momentnu taku A

( ) 0sinsin2

=++= AiA lQl

GM M ( ) += sin2

sinl

GlQAM

Druga dva uslova ravnotee odredie preostale dve nepoznate:

=== sin0sin QXQXX AAi =+= 0cosQGYY Ai = cosQGYA

ANALIZA IDEALNOG KOTURA Kotur konanih dimenzija (Sl.1), teine Q, zglobno vezan sa okolinom u taki O, naziva

se idealnim iz razloga to je krunog oblika sa teitem u

centru kruga O i to je zglobno povezan sa okolinom ba u

centru O.

0== RGRGM iO GG =

VARINJONOVA TEOREMA ZA PROIZVOLJAN RAVANSKI SISTEM SILA I SPREGOVA

Suma momenata nekog ravanskog sistema sila i spregova za proizvoljno izabranu taku jednaka momentu njegove rezultante za istu taku.

= iKFK MM Rr

Primer 6.7Za dati sistem sila i spregovakoji dejstvuje na laku kvadratnuplou (Sl.1) u zavisnosti odpoznatih veliinaF i a, prvoodrediti rezultantu, a zatim i njenu napadnu linijuneposrednom primenomVarinjonove teoreme. Podaci su: F1=2F, F2=F3=F i M=Fa.

FFFXXX igR 232 =+=== FFYYY igR 21 ====

,22 jFiFFRrrr

+= ( ) ( ) FFFFR 2222 22 =+=

0451arctanarctan ===R

R

X

Y

M= aFOHFR 2= iOFO MM Rr

aOH22=

aOH

OA =

=cos

RAVNOTEA RAVANSKOG SISTEMA KRUTIH TELA

Preostale reakcije S i FB predstavljaju reakcije unutranjih veza, poto njima meusobno dejstvuju komponente celine izmeu sebe.

Kod problema iz sistema krutih tela uvek senamee pitanje Kojim redosledom najlake odrediti sve nepoznate veliine u zavisnosti od poznatih?

Od svih tih reakcija, one u zglobovima A i E (to su: XA, YA, XE i YE) predstavljaju reakcije spoljanjih veza, poto njimadejstvuje okolina na komponente sistema.

Primer 6.8

Odrediti sve reakcije veza i Poznate veliine:P, G, a, M=Ga/4

DK

GF

GFY

E

Ei

2

045sin 0

=

==

GFFFX KEKi === 045cos 0

40

2

aDKDKF

aGM KiE === M

02

22

2

24 == AEFaPaSM EiA

aAE 2=GP

S2

2

2+=

0=+= SFXX KAi

22

2 PGGX A =

Sl.4

Sl.3

Sl.2

GPYGPYY AAi +=== 0

Primer 6.9 Poznate veliine: P, G, R i Odrediti sve reakcije veza?

Sl.3 0sin == GFY Ei

=== cot0cos GFFFX DEDiSl.4

0sin2

=+= AEiA AEFl

PM M

2cot

= RAE

2cot

sinsin

2

+= GRPlAM

Sl.2==+= cot0 GXFXX ADAi

GPYGPYY AAi +=== 0

=

sinG

FE

Primer 6.10

Poznate veliine: P, G, F, a i bOdrediti uglove i i reakcije veza?

Sl.4

0cos2sin =+= bFbGM iA

cos1

.........b G

F2tan =

GYGYY AAi === 0FXFXX AAi ==+= 0

Sl.3

+= sin2sin aYaPM AiO

GP

F

aaX A 2

2tan

cos

10cos2

+=

=+

Sl.2FXFXX OOi ==+= 0

GPYGPYY OOi +=== 0

Primer 6.11Poznate veliine: P, G, F i aOdrediti reakcije veza u A i B ?

Sl.2 = 0iAM

02323

2=++ aYaFaPaG B

FPG

YB 2

3

4

3

4+=

Sl.3 = 0iCM

( )12

63 FPGX A

++=

032

=+ aXaYaG AA

0=+= PGYYY BAiF

PGYA 2

3

44

3 ++=

Sl.2 0=+= FXXX BAi( )

12

63 FPGX B

++=

ANALIZA LAKOG TAPA

U sluaju da su tela povezana lakim krivolinijskim tapom na ijim su krajevima zglobovi, istim postupkom se dokazuje da laki krivolinijski tap dejstvuje na tela koja povezujereakcijama istog pravca (i to pravca koji prolazi kroz krajnje take - zglobove), istog intenziteta a suprotnog smera.

00 == BAi YM00 == Ai YY

ABi XXX == 0

Sl.3

RAVANSKI SISTEM PARALELNIH SILA I SPREGOVAJedna koordinatna osa (na primer y) je paralelna silama dok je osa x upravna na njih.

jYF iirr

= jYF RRrr

=

= iR YY

Za analitiko nalaenje napadne linije rezultante pogodna je Varinjonova teorema

Nezavisnih uslova ravnotee ravanskog sistema paralelnih sila i spregova ima dva i to:

,0,0 == iAi MY

s obzirom da je ona trea = 0iX identiki zadovoljena.

Primer 6.12Poznate veliine:G, P i lOdrediti sile u uadima AD i BE?

024 2

=+= lSl

Gl

PM iA

422PG

S +=

021 =++= SSGPYiP

GS

43

21+=

== 0GPiA hGhPM

( ),60cos 0 = lhG ( ) = 060cos2cos2 llhP

( )[ ] ( )= 00 60cos60cos2cos22 GlllG( )= 060cos5cos4

+= sin2

3cos

2

15cos4

426195

3arctan

5

3tan 0 ==

Primer 6.13

tap BD je dva puta dui i dva puta tei od tapa AB. Odrediti koliki ugao u ravnotenom poloaju gradi tap BD sa horizontalom?

Uvedimo da je G teina a 2l duina tapa AB. Shodno tome, teina dueg tapa BD je P=2G a duina mu je 4l.

Primer 6.14

U zavisnosti od poznatih veliinaFi a odrediti rezultantu i njeno mestoza zadat sistem paralelnih sila i spregova koji dejstvuje na lakuplou (Sl.1)?

Podaci su: ,121 FFF ==.1,2,2 2143 FaFaFFF ==== MM

FFFFFYY iR 44321 =++== FFR 4= jFFRrr

4=

Za nalaenje mesta rezultante (rastojanja hR) koristimo Varinjonovu teoremuza taku A.

Ona daje jednainu:

21432 42 MM +++= aFaFaFhF RR ahR 3=

= AiFA MM Rr

Rezultanta dveju paralelnih sila i i poloaj njenenapadne linijeu sluaju: 1) da su sile istih smerova i 2) da su sile razliitih smerova, neka jeF1>F2

1Fr

2Fr

1)

2)

21 FFFR +=

21 FA

FA

FA MMM

R

rrr

+=

qFpF += 210

1

2

F

F

q

p =

Ovde je napadna linija rezultante blia napadnoj liniji sile veeg intenziteta

21 FFFR =Ovde se napadna linija rezultante nalazi se blie sili veeg intenziteta ali ne izmeu napadnih linija sila

qFpFMMM FBFB

FB

R =+= 21021rrr

1

2

F

F

q

p =

VARIJANTE NEZAVISNIH USLOVA RAVNOTEE ZA RAVANSKE PROBLEMEPROZVOLJAN SISTEM SILA I SPREGOVA

,0,0 == ii YX 0= iAM

,0 =iX ,0= iAM 0= iBM

,0= iAM ,0= iAM 0= iCMTrea varijanta

Druga varijanta

Prva varijanta

Primer 6.16 Poznate veliine:P, l i . Odrediti sve reakcije veza?

==+= sin2

0sin2

PSlS

lPM iA

=== cot20cos

PXSXX AAi

20sin

PYSPYY AAi ==+=

Trea varijanta

Druga varijanta

== sin2

0P

SM iA

20

2

PYlY

lPM AAiB ===

== cot20

PXX Ai

,sin2

0

==P

SM iA 20

PYM AiB ==

== 02l

PADXM AiD == cot

2tan2

PPX A

Koriena Varinjonovateorema za

lSlS

MMM

y

SA

SA

SA

yx

=+==+=sin0

rrr

SAMr

Prva varijanta

PARALELAN SISTEM SILA I SPREGOVA,0 =iY 0= iAM

,0= iAM 0= iBMDruga varijanta

Prva varijanta

Primer 6.17

Reiti primer 6.12 u varijanti korienja samo momentnih uslova ravnotee

0= iAM 422PG

S +=

024

31 =++=

lGlPlSM iB P

GS

4

3

21+=

SUELJAN SISTEM SILA

Prva varijanta

Druga varijanta

Trea varijanta

== 0,0 ii YX,0 =iX 0= iAM

,0= iAM 0= iBM

Primer 6.18Poznate veliine , i GOdrediti sile u uadima AC i BC

Reimo zadatak analitiki u varijantama u kojima se koriste i momentni uslovi ravnotee.

Trea varijanta

( ) 0sinsin2 =+= CKGCKSM iK ( )+=

sin

sin2

GS

( ) 0sinsin 1 =+= CMSCMGM iM ( )+=

sin

sin1

GS

Druga varijanta

0= iKM 2S0sinsin 21 =+= SSX i 1S

STATIKA ODREENOST I NEODREENOST

Dva puta satatiki neodreen proizvo-ljan ravanski sistem sila i spregova

Paralelan ravanski sistem sila koji je jednom satatiki neodreen

Dva puta satatiki neodreen sueljan ravanski sistem sila

Problemi ravnotee u kojima je broj nepoznatih veliina vei odbroja nezavisnih uslovaravnotee su statiki neodreeni.

Problem je onoliko puta statikineodreen kolika je razlika izmeubroja nepoznatih veliina i brojanezavisnih uslova ravnotee.