analisis struktur statis tak tentu dengan metode slope ... · a home base to excellence •tiu :...

a home base to excellence

Analisis Struktur Statis Tak Tentu dengan Metode Slope-Deflection

Pertemuan – 11

Mata Kuliah : Analisis Struktur

Kode : TSP – 202

SKS : 3 SKS

a home base to excellence

• TIU : • Mahasiswa dapat menghitung reaksi perletakan pada struktur statis tak tentu

• Mahasiswa dapat menghitung gaya-gaya dalam pada struktur statis tak tentu

• TIK : • Mahasiswa dapat melakukan analisis struktur balok dengan metode Slope-Deflection

• Sub Pokok Bahasan : • Persamaan Slope-Deflection

• Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

a home base to excellence

Persamaan Slope-Deflection

• Perpindahan(displacement) merupakan variabel utama yang tak diketahui, disebut pula sebagai derajat kebebasan (degree of freedom)

• Jumlah Degree of Freedom yang dimiliki suatu struktur sering juga disebutkan sebagai derajat ketidaktentuan kinematik

• Perpindahan yang dimaksud selain lendutan dapat pula berupa sudut rotasi pada suatu titik

• Selanjutnya disusun pula persamaan kompatibilitas untuk mendapatkan perpindahan dari titik-titik kumpul, dan kemudian dapat digunakan untuk menghitung reaksi tumpuan

• Tiga metode analisis struktur berbasis displacement adalah : slope-deflection, distribusi momen dan metode matriks

a home base to excellence

Persamaan Slope-Deflection

1 DOF

4 DOF

3 DOF

a home base to excellence

Persamaan Slope-Deflection

• Merupakan sebuah persamaan yang menghubungkan antara sudut rotasi (slope) dan lendutan (deflection) dengan beban yang bekerja pada struktur

• Perhatikan balok AB yang merupakan bagian dari struktur balok menerus dengan beban sembarang sebesar q. dan memiliki kekakuan seragam sebesar EI.

• Selanjutnya akan dicari hubungan antara momen ujung MAB dan MBA dengan sudut rotasi qA dan qB serta lendutan D yang mengakibatkan penurunan pada tumpuan B.

• Sesuai dengan perjanjian tanda yang dipakai, maka momen dan sudut rotasi bernilai positif apabila memiliki arah putar searah jarum jam.

• Sedangkan lendutan D dianggap bernilai positif apabila mengakibatkan balok berputar sebesar sudut y searah jarum jam.

a home base to excellence

Persamaan Slope-Deflection

• SMA’ = 0

• SMB’ = 0

(1)

(2)

03

2

2

1

32

1

LL

EI

MLL

EI

M BAAB

03

2

2

1

32

1

L

LL

EI

MLL

EI

MA

ABBA q

a home base to excellence

Persamaan Slope-Deflection

• SMB’ = 0

(3)

032

1

3

2

2

1D

LL

EI

MLL

EI

M

a home base to excellence

Persamaan Slope-Deflection • Dalam uraian sebelumnya telah diturunkan hubungan antara MAB

dan MBA yang bekerja pada titik A dan B dengan perpindahan yang diakibatkan olehnya, yaitu qA, qB dan D.

• Pada kenyataannya perpindahan yang terjadi, baik berupa sudut rotasi maupun lendutan pada balok terjadi bukan disebabkan oleh momen pada titik tersebut, namun disebabkan oleh beban luar yang bekerja pada bentangan balok.

• Supaya beban luar tersebut dapat diakomodasi dalam persamaan slope – deflection, maka beban luar tersebut harus ditransformasi menjadi momen ekuivalen yang bekerja pada titik ujung balok.

• Hal ini dapat dilakukan dengan mudah, yaitu dengan menemukan reaksi momen yang timbul pada kedua ujung balok yang dianggap memiliki tumpuan jepit.

a home base to excellence

Persamaan Slope-Deflection

• Reaksi momen tersebut selanjutnya diistilahkan dengan sebutan Fixed-End Moment (FEM)

• Sesuai dengan perjanjian tanda, maka nilai FEM pada ujung A adalah negatif (berlawanan dengan jarum jam), dan nilai FEM pada ujung B adalah positif (searah jarum jam)

a home base to excellence

Persamaan Slope-Deflection

a home base to excellence

Persamaan Slope-Deflection

a home base to excellence

Persamaan Slope-Deflection

• Selanjutnya persamaan-persamaan 1, 2 dan 3 dapat dijumlahkan beserta beban luar yang bekerja, dan dapat dituliskan menjadi :

• Atau secara umum bentuk persamaan slope-deflection adalah :

(4)

BAABBA

ABBAAB

LL

IEM

LL

IEM

FEM322

FEM322

D

D

qq

qq

NFNN EkM )FEM(322 qq

a home base to excellence

Persamaan Slope-Deflection

• Dengan :

MN adalah momen internal pada ujung dekat

E,k adalah modulus elastisitas dan kekakuan balok k = I/L

qN, qF adalah sudut rotasi pada ujung dekat dan ujung jauh, memiliki satuan radian dan bernilai positif apabila memiliki arah sesuai putaran jarum jam

y adalah rotasi balok akibat adanya penurunan pada tumpuan, y = D/L, besaran ini memiliki satuan radian dan bernilai positif apabila searah jarum jam

(FEM)N adalah Fixed End Moment pada ujung dekat, bernilai positif apabila memiliki arah sesuai putaran jarum jam

a home base to excellence

Persamaan Slope-Deflection

• Persamaan 4 berlaku apabila ujung-ujung balok terjepit, apabila salah satu ujungnya sendi, maka persamaan slope-deflection menjadi :

(5) NNN EkM )FEM(3 q

a home base to excellence

Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

Example 11.1

Gambarkan diagram gaya lintang dan momen lentur untuk balok pada Gambar, asumsikan EI konstan

BBBA

BBAB

NFNN

CB

BC

EIIEM

EIIEM

L

IEM

wL

wL

qq

qq

yqq

20)0(302

82

40)0(3)0(2

82

)FEM(322

deflection-slopepersamaan dari

mkN8,1020

)6(6

20FEM

mkN2,730

)6(6

30FEM

22

22

a home base to excellence

Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

Example 11.1

Dengan meninjau keseimbangan titik B diperoleh :

SMB = 0 MBA + MBC = 0

Akhirnya didapatkan qB = 6,17/EI

Substitusikan qB ke persamaan-persamaan sebelumnya dan diperoleh :

MAB = 1,54 kNm MBA = 3,09 kNm

MBC = 3,09 kNm MCB = 12,86 kNm

8,103

8,10)0(3)0(26

2

2,73

22,7)0(302

62

BBCB

BBBC

EIIEM

EIIEM

qq

qq

a home base to excellence

Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

Example 11.1

Free body diagram :

Ay = - (1,54/8) - (3,09/8) = - 0,579 kN ()

ByL = (1,54/8) + (3,09/8) = 0,579 kN ()

ByR = (3,09/6) - (12,86/6) + (0,5*6*6*2/6) = 4,37 kN ()

Cy = -(3,09/6) + (12,86/6) + (0.5*6*6*4/6) = 13,63 kN ()

a home base to excellence

Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

Example 11.1

Diagram Gaya Geser dan Momen Lentur :

a home base to excellence

Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

Example 11.2

Gambarkan diagram gaya lintang dan momen lentur untuk balok pada Gambar, asumsikan EI konstan

120667,0120)0(3026

2

1203333,0120)0(3)0(26

2

)FEM(322

deflection-slopepersamaan dari

mkN5,2216

)2)(60(3

16

3FEM

mkN12012

)6(40

12FEM

mkN12012

)6(40

12FEM

22

22

BBBA

BBAB

NFNN

BC

BA

AB

EII

EM

EII

EM

L

IEM

PL

wL

wL

qq

qq

yqq

5,225,15,2202

3

)FEM(3

deflection-slopepersamaan gunakan ACbalok Untuk

BBBC

NNN

EII

EM

L

IEM

qq

yq

a home base to excellence

Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

Example 11.2

Dari keseimbangan gaya titik B :

SMB = 0 MBA + MBC = 0

Dan nilai qB = 144/EI.

Substitusikan qB ke persamaan-persamaan sebelumnya guna mendapatkan :

MAB = 135 kNm

MBA = 90 kNm

MBC = 90 kNm

a home base to excellence

Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection Example 11.3 Tentukan momen di A dan B pada balok, apabila tumpuan B mengalami penurunan sebesar 80 mm. E = 200 GPa, I = 5(10)6 mm4

Dari kesetimbangan titik B : SMB = 0 MBA – 8000N(3m) = 0

qB = 0,054 rad

000.30000.000.1

0)02,0(3021025,1)m/N10200(2

000.30000.500

0)02,0(3)0(21025,1)m/N10200(2

m)10(25,14m

mm/m)10(mm)10(5

rad02,04

m08,0

629

629

36441246

B

BBA

B

BAB

AB

BAAB

M

M

L

Ik

q

q

q

q

yy

a home base to excellence

Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

Example 11.4

Tentukan momen internal pada tumpuan balok apabila titik C mengalami penurunan sebesar 30 mm. E = 200 GPa, I = 600(10)6 mm4

36126

36126

36126

22

22

m)10(33,1335,4

1010600

m)10(1006

1010600

m)10(33,832,7

1010600

rad00667,05,4

03,0 rad005,0

6

03,0

mkN4,8612

)2,7(20

12FEM

mkN4,8612

)2,7(20

12FEM

CD

BC

AB

CDBC

BA

AB

k

k

k

wL

wL

yy

a home base to excellence

Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

Example 11.4

0 0

0 0

7,10663,333.530)]00667,0(320][1033,133][10200[2

7,10667,666.1060)]00667,0(302][1033,133][10200[2

: CD Bentang

600000.40000.800)]005,0(32][10100][10200[2

600000.40000.800)]005,0(32][10100][10200[2

: BC Bentang

4,867,666.664,86)]0(302][1033,83][10200[2

4,863,333.334,86)]0(3)0(2][1033,83][10200[2

: AB Bentang

66

66

66

66

66

66

S

S

CDCBC

BCBAB

CCDC

CCCD

BCBCCB

CBCBBC

BBBA

BBAB

MMM

MMM

M

M

M

M

M

M

qq

qq

qqqq

qqqq

qq

qq

qB = 0,00444 rad qC = -0,00345 rad

a home base to excellence

TUGAS : Kerjakan soal dari textbook Bab XI Nomor 11.1 s/d 11.12