ANALISIS EN EL PLANO Z DE SISTENAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO

ANALISIS EN EL PLANO Z DE SISTENAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETOUniversitario: Villanueva Mlaga Jos AlejandroDocente: Ing. Germn PalaciosMateria: Sistemas de Control II

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CONTENIDOReconstruccin de Seales Originales a partir de Seales MuestreadasLa Funcin de Transferencia Pulso2

RECOSNTRUCCIN DE SEALES ORIGINALES A PARTIR DE SEALES MUESTREADAS3

TEOREMA DE MUESTREO4

TEOREMA DEL MUESTREOSi la frecuencia de muestreo es suficientemente ALTA, comparada con la componente de mas alta frecuencia que se incluye en la seal de tiempo continuo.Para reconstruir la seal original a partir de una seal muestreada, existe una frecuencia mnima que la operacin de muestreo debe satisfacer.Dicha frecuencia mnima se especifica en el teorema de muestreo.

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TEOREMA DEL MUESTREOSe supondr que la seal en tiempo continuo x(t) tiene un espectro en frecuencia como el que se muestra en la figura 3-10:6

espectro6

TEOREMA DEL MUESTREOSi ws definida como 2p/T (donde T es el periodo de muestreo) y es mayor que 2 w1 :

Donde w1 es la componente de mas alta frecuencia presenta en la seal de tiempo continuo x(t)Entonces la seal x(t) se puede reconstruir completamente a partir de la seal muestreada x*(t) 77

TEOREMA DEL MUESTREOEl teorema implica que si ws > 2w1Entonces, a partir del conocimiento de la seal muestreada, es tericamente posible con exactitud reconstruir la seal en tiempo continuo original. A continuacin, se har uso de un enfoque grfico intuitivo para explicar el teorema del muestreo.88

TEOREMA DEL MUESTREOPara encontrar la validez del teorema de muestreo, se necesita encontrar el espectro en frecuencia de la seal muestreada x*(t).La ecuacin de La Place de x*(t) se obtuvo por las ecuaciones, dependiendo de que x(0+) = 0 o no, estas son:9

jwjw9

TEOREMA DEL MUESTREOSe observa que el espectro en frecuencias de una seal muestreada mediante impulsos se reduce un nmero infinito de veces Se atena en un factor de 1/T10

10

TEOREMA DEL MUESTREODe esta manera, el proceso de modulacin mediante impulsos de una seal en tiempo continuo produce una serie de bandas laterales. Puesto que X*(s) es peridica con un perodo 2p/ws, como se muestra:11

11

En las figuras se muestran las graficas del espectro en frecuencia X*(jw) contra w para dos valores de frecuencia de muestreo ws12

12

TEOREMA DEL MUESTREOCada una de las graficas de:13En el espectro en frecuencia de

1.- Componente primaria

2.- Componentes Complementarias

13

TEOREMA DEL MUESTREO14

wsNO SE TRANSLAPAN

14

TEOREMA DEL MUESTREO15

SUPERPOSICION DE ESPRECTOS15

FILTRO PASO-BAJAS IDEAL16

FILTRO PASO-BAJAS IDEALLa amplitud del espectro en frecuencia de un filtro paso-bajas ideal Gj (jw) se muestra en la figura 3-12.La magnitud del filtro ideal es unitaria sobre el intervalo de frecuencias , y es cero fuera de este intervalo de frecuencias.17

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FILTRO PASO-BAJAS IDEALEl proceso de muestreo introduce un nmero infinito de componentes complementarias adems de la componente primaria. 18

componentes complementarias

FILTRO PASO-BAJAS IDEALEl filtro ideal atenuar todas las componentes complementarias hasta cero y permitir slo el paso de la componente primaria, siempre que la ws sea dos veces mayor que la componente de ms alta frecuencia de la seal en tiempo continuo. Dicho FILTRO IDEAL reconstruye la seal en tiempo continuo representada por las muestras. 19

componente primaria

FILTRO PASO-BAJAS IDEALEn la figura 3-13 se muestran los espectros en frecuencia de las seales antes y despus del filtrado ideal.20

FILTRO PASO-BAJAS IDEALEl espectro en frecuencia a la salida del filtro ideal es 1/T veces el espectro en frecuencia de la seal en tiempo continuo original x(t).21

FILTRO PASO-BAJAS IDEALDebido a que el filtro ideal tiene caractersticas de magnitud constante para la regin de frecuencias no hay distorsin en ninguna frecuencia dentro de este intervalo.22

FILTRO PASO-BAJAS IDEALSe debe observar que si la FRECUENCIA DE MUESTREO es menor que el doble de la COMPONENTE DE MAYOR FRECUENCIA de la seal en tiempo continuo original.Debido a que los espectros en frecuencia de la componente primaria y complementarias se traslapan, aun el filtro ideal no puede reconstruir la seal original en tiempo continuo. 23

El filtro paso-bajas ideal no es fsicamente realizableDebido a que el espectro en frecuencia del filtro ideal est dado por:

24

La transformada inversa de Fourier del espectro en frecuencia da como resultado:

El filtro paso-bajas ideal no es fsicamente realizableEn la figura 3-14, ntese que la respuesta se extiende desde t = - hasta t = . Esto implica que existe respuesta para t < 025

-

El filtro paso-bajas ideal no es fsicamente realizableEs decir, la respuesta en el tiempo empieza antes de que se aplique la entrada. Esto no puede ser cierto en el mundo fsico. Por lo tanto, dicho filtro no es fsicamente realizable. 26

El filtro paso-bajas ideal no es fsicamente realizablePuesto que el filtro ideal es irrealizable y debido a que las seales en sistemas de control prcticos, en general tienen componentes de alta frecuencia que no estn limitados en banda de manera ideal, esto no es posible, en la prctica, para reconstruir con exactitud la seal en tiempo continuo a partir de la seal muestreada, no importa qu frecuencia de muestreo se elija. EN OTRAS PALABRAS, desde el punto de vista prctico, no es posible reconstruir con precisin la seal en tiempo continuo en un sistema de control prctico una vez que ste se ha muestreado.27

CARACTERISTICAS DE RESPUESTA ENFRECUENCIAS DE UN RETENEDOR DE ORDEN CERO28

Retenedor de Orden CeroLa funcin de transferencia de un retenedor de orden cero es:29

Para comparar al retenedor de orden cero con el filtro ideal, se obtendrn las caractersticas de respuesta en frecuencia de la funcin de transferencia del retenedor de orden cero. Mediante la sustitucin de jw por s en la anterior ecuacin, se obtiene:

30La amplitud del espectro en frecuencia de Gho(jw) es:

Multiplicando y Dividiendo 2e(1/2)Tjw

Retenedor de Orden CeroLa magnitud se hace cero en la frecuencia igual a la frecuencia de muestreo y en mltiplos enteros de la frecuencia de muestreo.En la figura 3-15a se muestran las caractersticas de respuesta en frecuencia del retenedor de orden cero31

Retenedor de Orden CeroComo se puede observar, existe un pico de ganancia no deseado en las frecuencias de 3ws/2, 5ws/2, etctera.Debido a que la magnitud decrece en forma gradual a medida que la frecuencia se incrementa, las componentes complementarias se atenan gradualmente hasta cero.32

un pico de ganancia no deseado

Retenedor de Orden CeroEn la figura 3-15b se presenta una modificacin de cmo presentar las caractersticas de respuesta en frecuencia del diagrama de la anterior figura.El diagrama que se muestra es el diagrama de Bode del retenedor de orden cero. Se supone que el perodo T de muestreo es de 1 s o T = 1. 33

Retenedor de Orden CeroNtese que la curva de magnitud tiende a - decibeles en puntos de frecuencia que son mltiplos enteros de la frecuencia de muestreo ws = 2p/T = 6.28 rad/s. Las discontinuidades de la curva de fase se presentan en estos puntos de frecuencia.

34

-

Retenedor de Orden CeroDebido a que las caractersticas de magnitud muestran que la magnitud de GhO(jw) es distinta de cero para Excepto en los puntos donde: w =ws , w = 2ws, w = 3ws , etc.

35

Para resumir, el espectro en frecuencia de la salida del retenedor de orden cero incluye las componentes complementarias.

Retenedor de Orden CeroEn la figura 3-16 se muestra la comparacin del filtro ideal y el retenedor de orden cero.Se observa que el retenedor de orden cero es un filtro paso-bajas, aunque su funcin no es muy buena.36

OTROS CONCEPTOS37

DoblamientoEl fenmeno de traslape en el espectro en frecuencia se conoce como doblamiento.En la figura 3-17 se muestran las regiones donde se presenta error de doblamiento.38

DoblamientoLa frecuencia 1/2 ws se denomina frecuencia de doblamiento o frecuencia de Nyquist wN. Esto es:39

En la prctica, las seales en los sistemas de control tienen componentes de alta frecuencia, y casi siempre existe algn efecto de doblamiento. Recuerde que todas las seales con frecuencias mayores a aparecen como seales de frecuencias entre 0 y 1/2 ws , De hecho, en ciertos casos, una seal de frecuencia cero puede aparecer en la salida.

TraslapeEn el espectro en frecuencia de una seal muestreada mediante impulsos x*(t), donde ws < 2w1, como el mostrado en la figura 3-1840

TraslapeConsidere un punto de frecuencia arbitrario w2, que cae en la regin del traslape del espectro en frecuencia, El espectro en frecuencia en w = w2, incluye dos componentes

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La ltima componente viene del espectro en frecuencia centrado en w = ws. Es importante recordar que las seales muestreadas son idnticas si las dos frecuencias difieren por un mltiplo entero de la frecuencia de muestreo ws.

Oscilaciones EscondidasSe debe observar que, s la seal en tiempo continuo x(t) incluye una componente de frecuencia igual a n veces la frecuencia de muestreo ws, (donde n es un entero), entonces la componente puede no aparecer en la seal muestreada. Por ejemplo, si la seal:

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Donde:

Oscilaciones EscondidasSi la frecuencia de muestreo (ws es 3 rad/s), entonces la seal muestreada no mostrar la componente de frecuencia con w = 3 rad/s, la frecuencia es igual a ws.Aun cuando la seal x(t) incluya una oscilacin con w = 3 rad/s , la seal muestreada no muestra esta oscilacin. Dicha oscilacin existente en x(t) entre los periodos de muestreo se denomina oscilacin escondida.

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No muestra oscilacin

LA FUNCIN DE TRANSFERENCIA PULSO45

FUNCIN DE TRANSFERENCIA PULSOLa funcin de transferencia para un sistema continuo relaciona las transformadas de Laplace de la salida en tiempo continua con la correspondiente de la entrada en tiempo continuo.Mientras que la funcin de transferencia pulso relaciona las transformadas z de la salida en los instantes de muestreo con la correspondiente entrada muestreada.Antes de estudiar la funcin de transferencia pulso, es conveniente estudiar la sumatoria de convolucin.

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SUMATORIA DE CONVOLUCIN47

SUMATORIA DE CONVOLUCINConsidere la respuesta de un sistema en tiempo continuo excitado por una seal muestreada mediante impulsos (un tren de impulsos) como se muestra en la figura 3-20.

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Suponga que x(t) = 0 para t < 0. La seal muestreada mediante impulsos x*(t) es la entrada al sistema en tiempo continuo cuya funcin de transferencia es G(s). Se supone que la salida del sistema es una seal en tiempo continuo y(t).

SUMATORIA DE CONVOLUCINSi en la salida hay otro muestreador, sincronizado en fase con el muestreador de la entrada, y ambos operan con el mismo perodo de muestreo, entonces la salida es un tren de impulsos. Se supone que y(t) = 0 para t < O.

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La transformada Z de y(t) es:

SUMATORIA DE CONVOLUCINEn ausencia del muestreador a la salida, si se considera un muestreador ficticio en la salida (sincronizado en fase con el muestreador de entrada y opera al mismo perodo de muestreo) y se observa la secuencia de valores que toma y(t) slo en los instantes t = kT, entonces la transformada z de la salida y*(t) puede tambin estar dada por la anterior ecuacin.Para el sistema en tiempo continuo, es bien conocido el hecho de que la salida del sistema y(t) est relacionada con la entrada x(t) por medio de la integral de convolucin:

50Donde g(t) es la funcin de ponderacin del sistema o la funcin de respuesta impulso del sistema.

SUMATORIA DE CONVOLUCINPara sistemas en tiempo discreto se tiene una sumatoria de convolucin:51

Debido a que es un tren de impulsos, la respuesta y(t) del sistema debida a la entrada x*(t) es la suma de las respuestas impulso individuales. Por tanto:

52Si observamos que para un sistema fsico una respuesta no puede preceder a la entrada, tenemos que g(t) = 0 para t < 0 o g(t kT) = 0 para t < kT. En consecuencia, las ecuaciones anteriores se pueden combinar en una sola ecuacin:

53Los valores de la salida y(t) en los instantes de muestreo t = kT (k = 0, 1, 2) estn dados por:

Donde g(kT) es la secuencia de ponderacin del sistema. (La transformada z inversa de G(z) se denomina secuencia de ponderacin) La sumatoria en las ecuaciones anteriores, se conoce como sumatoria de convolucin. Observe que la notacin simplificada:

54Debido a que se supuso que x(t) = 0 para t< 0, se tiene que x(kT- hT) = 0 para h > k. Tambin, debido a que g(kT - hT) = 0 para h > k, se puede suponer que los valores de h en las ecuaciones anteriores se pueden tomar desde 0 hasta ms que desde 0 hasta k sin alterar el valor de la sumatoria. Por tanto, las ecuaciones se pueden rescribir como sigue:

FUNCIN DE TRANSFERENCIA PULSO55

FUNCIN DE TRANSFERENCIA PULSOA partir de la ecuacin:

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Por lo tanto, la transformada z de y(kT) se convierte en:

57Donde m =k-h

FUNCIN DE TRANSFERENCIA PULSOLa ecuacin relaciona la salida pulso Y(z) del sistema y la entrada pulso X(z) Esto proporciona un medio para determinar la transformada z de la secuencia de salida para cualquier secuencia de entrada.

58La G(z) es el cociente entre la salida Y(z) y la entrada X(z), se denomina funcin de transferencia pulso del sistema en tiempo discreto.

FUNCIN DE TRANSFERENCIA PULSOEn la figura se muestra un diagrama de bloques para una funcin de transferencia pulso G(z), junto con la entrada X(z) y la salida Y(z)Como se ve la transformada z, de la seal de salida se puede obtener como el producto de la funcin de transferencia pulso del sistema y la transformada z de la seal de entrada.

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ENTRADASALIDA

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA SEAL QUE INVOLUCRA TANTO TRASNFORMADAS DE LAPLACE ORDINARIAS COMO ASTERISCO60

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA SEALAl analizar los sistemas de control en tiempo discreto, a menudo se encuentra que algunas seales en el sistema son seales asterisco (lo que significa que las seales estn muestreadas mediante impulsos) y otras no lo son. Para obtener las funciones de transferencia pulso y analizar el sistema de control en tiempo discreto, por lo tanto, se debe ser capaz de obtener las transformadas de las seales de salida de los sistemas que contienen operaciones de muestreo en varios lugares en los lazos.

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TRANSFORMADA DE LAPLACE DE LA SEALSuponga que el muestreador mediante impulsos es seguido por un elemento lineal en tiempo continuo, cuya funcin de transferencia es G(s), como se muestra en la figura.

62En el siguiente anlisis se supone que todas las condiciones inciales en el sistema son cero. Entonces, la salida Y(s) es:

Ntese que Y(s) es el producto de X*(s), que es peridica con un perodo de 2p/ws y G(s), no peridica. En lo que se presenta a continuacin se mostrar que al tomar la transformada de Laplace asterisco de la ecuacin (3-45) se puede factorizar X*(s) de manera que:

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Este hecho es muy importante en la obtencin de la funcin de transferencia pulso y tambin en la simplificacin del diagrama de bloques del sistema de control en tiempo discreto.Para obtener la ecuacin, observe que la transformada inversa de Laplace de Y(s) dada por la ecuacin se puede escribr como sigue:

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Entonces la transformada z de y(t) se convierte en:

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Donde m = n - k. De este modo:

Debido a que la transformada z puede entenderse como la transformada de Laplace asterisco con eTs, reemplazada por z, la transformada z se puede considerar una notacin corta para la transformada de Laplace asterisco. De esta manera, la ecuacin anterior se puede expresar como:

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As se ha mostrado que al tomar la transformada de Laplace asterisco en ambos miembros de la ecuacin se obtiene la ecuacin de arriba.

Para resumir lo que se ha obtenido, observe que las ecuaciones establecen que al tomar la transformada de Laplace asterisco de un producto de transformadas, donde algunas son transformadas de Laplace ordinarias y otras son transformadas de Laplace asterisco, las funciones que ya estn en transformadas asterisco se pueden factorizar de la operacin de la transformada de Laplace asterisco.Se debe observar que los sistemas se hacen peridicos bajo la operacin de la transformada de Laplace asterisco. Dichos sistemas peridicos son en general ms complicados de analizar que los sistemas originales que no son peridicos, pero el anterior se puede analizar sin dificultad si se lleva al plano z (esto es, mediante el enfoque de la funcin de transferencia pulso).

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PROCEDIMIENTOS GENERALES PARA OBTENER FUNCIONES DE TRANSFERENCIA PULSO68

Aqu se presentarn procedimientos generales para obtener la funcin de transferencia pulso de un sistema que tiene un muestreador mediante impulsos en una de las entradas del sistema, como se muestra en la figura.

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La funcin de transferencia pulso G(z) del sistema que se muestra en la figura es:

La presencia o ausencia del muestreador mediante impulsos es crucial en la determinacin de la funcin de transferencia pulso del sistema, puesto que, por ejemplo, para el sistema que se muestra en la figura a), la transformada de Laplace de la salida y(t) es:

70Por lo tanto, al tomar la transformada de Laplace asterisco de Y(s), se tiene:

En trminos de la transformada z:

Despus, considere el sistema que se muestra en la figura.

71La funcin de transferencia G(s) est dada por:

Es importante recordar que la funcin de transferencia pulso para este sistema no es Z [G(s)], debido a la ausencia del muestreador mediante impulsos.

Mientras que, para el sistema que se muestra en la figura b), la transformada de Laplace de la salida y(t) es:

72Lo cual da como resultado

En trminos de la transformada z:

La presencia o ausencia del muestreador a la salida del elemento (o el sistema) no afecta la funcin de transferencia pulso, debido a que, si el muestreador no est fsicamente presente en el lado de salida del sistema, es siempre posible suponer que el muestreador ficticio est presente en la salida. Observe que slo para el caso Al estudiar la funcin de transferencia pulso, se supone que existe un muestreador a la entrada del elemento en consideracin. La presencia o donde la entrada al sistema G(s) es una seal muestreada mediante impulsos, la funcin de transferencia pulso est dada por:

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FUNCION DE TRANSFERNCIA PULSO DE ELEMENTOS EN CASCADA79

ELEMENTOS EN CASCADAConsidere el sistema que se muestra en las fig. 3-25a) y b). Los muestreadores estn sincronizados y que tienen el mismo perodo de muestreo.

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ELEMENTOS EN CASCADAConsidere el sistema que se muestra en la figura a).

81A partir del diagrama se obtiene:

ELEMENTOS EN CASCADAPor tanto, al tomar la transformada de Laplace asterisco de cada una de estas dos ecuaciones, se obtiene como resultado

82En consecuencia:

ELEMENTOS EN CASCADAPor tanto, al tomar la transformada de Laplace asterisco de cada una de estas dos ecuaciones, se obtiene como resultado

83En consecuencia:

ELEMENTOS EN CASCADAEn trminos de la notacin de la transformada z:84La funcin de transferencia pulso entre la salida y*(t) y la entrada x*(t) est por tanto dada mediante:

ELEMENTOS EN CASCADADespus, considere el sistema que se muestra en la figura b). A partir del diagrama se encuentra que:85La funcin de transferencia pulso entre la salida y*(t) y la entrada x*(t) est por tanto dada mediante:

ELEMENTOS EN CASCADADonde:86Al tornar la transformada de Laplace asterisco de Y(s), se tiene:

En trminos de la notacin de la transformada z:

ELEMENTOS EN CASCADAY la funcin de transferencia pulso entre la salida y*(t) y la entrada x*(t) es:

87Observe que:

EJEMPLO 3-6Considere los sistemas que se muestran en las figuras a) y b). Obtenga la funcin de transferencia pulso Y(z)/X(z) para cada uno de estos dos sistemas.

88

Para el sistema de la figura 3-26 a). Las dos funciones de transferencia G(s) y, H(s) estn separadas por un muestreador. Se supone que los dos muestreadores que se presentan estn sincronizados y tienen el mismo perodo de muestreo. La funcin de transferencia pulso para este sistema es:

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Para el sistema de la figura 3-26 a). Las dos funciones de transferencia G(s) y, H(s) estn separadas por un muestreador. Se supone que los dos muestreadores que se presentan estn sincronizados y tienen el mismo perodo de muestreo. La funcin de transferencia pulso para este sistema es

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Para el sistema que se muestra en la figura 3-26b), la funcin de transferencia pulso Y(z)/x(z) se obtiene como sigue:

91

Claramente, se ve que las funciones de transferencia pulso de los dos sistemas son diferentes; esto es,92

Por tanto, se debe tener el cuidado de observar si hay o no un muestreador entre los dos elementos en cascada

FUNCION DE TRANSFERNCIA PULSO DE SISTEMAS EN LAZO CERRADO93

LAZO CERRADOEn un sistema en lazo cerrado, la existencia o no de un muestreador de salida en el lazo hace que el comportamiento del sistema sea diferente. (Si existe un muestreador fuera del lazo, no habr ninguna diferencia en la operacin del lazo cerrado.)Considere el sistema de control en lazo cerrado que se muestra en la figura.

94

LAZO CERRADOEn este sistema, el error actuante est muestreado. A partir del diagrama de bloques:95

LAZO CERRADOPor lo tanto:96

Entonces, al tomar la transformada de Laplace asterisco, se obtiene:

LAZO CERRADOPuesto que:97Se obtiene:

LAZO CERRADOEn trminos de la notacin de la transformada z, la salida puede darse mediante:98La transformada z inversa de esta ltima ecuacin da los valores de la salida en los instantes de muestreo. [Observe que la salida real c(t) del sistema es una seal en tiempo continuo. La transformada z inversa de C(z) no dar la seal de salida en tiempo continuo c(t) ] La funcin de transferencia pulso para este sistema en lazo cerrado es:

En la tabla se muestran cinco configuraciones tpicas para sistemas de control en tiempo discreto en lazo cerrado. Aqu, los muestreadores estn sincronizados y tienen el mismo perodo de muestreo. Para cada configuracin se muestra la salida correspondiente C(z). 99

100

FUNCIN DE TRANSFERENCIA PULSO DE UN CONTROL DIGITAL101

CONTROL DIGITALLa funcin de transferencia pulso de un controlador digital se puede obtener a partir de las caractersticas entrada-salida requerida del controlador digital.Suponga que la entrada al controlador digital es e(k) y la salida es m(k). En general, la salida m(k) puede estar dada mediante el siguiente tipo de ecuacin en diferencias:

102

CONTROL DIGITALLa transformada z de la ecuacin da como resultado:103

CONTROL DIGITALLa funcin de transferencia pulso GD(z) del controlador digital puede entonces estar dada mediante:104

El uso de la funcin de transferencia pulso GD(z) en la forma de la ecuacin habilita al lector para analizar los sistemas de control digital en el plano z.

FUNCIN DE TRANSFERENCIA PULSO EN LAZO CERRADO DE UN SISTEMA DE CONTROL DIGITAL105

LAZO CERRADO DE UN SISTEMA DE CONTROL DIGITALEn la figura se muestra un diagrama de bloques de un sistema de control digital.106

LAZO CERRADO DE UN SISTEMA DE CONTROL DIGITALAqu, el convertidor A/D, el controlador digital, el retenedor de orden cero y el convertidor D/A producen una seal de control u(t) en tiempo continuo para ser alimentada la planta. 107

LAZO CERRADO DE UN SISTEMA DE CONTROL DIGITALEn la figura se muestran las funciones de transferencia de los bloques involucrados en el sistema.108

LAZO CERRADO DE UN SISTEMA DE CONTROL DIGITALLa funcin de transferencia del controlador digital se muestra como GD*(s), est dada mediante la funcin de transferencia pulso GD(z)109

CONTROLADOR DIGITAL

LAZO CERRADO DE UN SISTEMA DE CONTROL DIGITALEn el presente sistema la seal de salida c(t) se alimenta de regreso para ser comparada con la seal de entrada r(t).110

LAZO CERRADO DE UN SISTEMA DE CONTROL DIGITALLa seal de error e(t) = r(t)-c(t) se muestrea, y la seal analgica se convierte en digital a travs de un dispositivo A/D.111

e(t) = r(t)-c(t)

LAZO CERRADO DE UN SISTEMA DE CONTROL DIGITALLa seal digital e(kT) se alimenta al controlador digital, el cual opera sobre la secuencia muestreada e(kT) de una manera adecuada para producir la seal m(kT)112

LAZO CERRADO DE UN SISTEMA DE CONTROL DIGITALEsta relacin conveniente entre las secuencias m(kT) y e(kT) se especifica mediante la funcin de transferencia pulso GD(z) del controlador digital. 113

Refirindose a la figura, se define:114

En trminos de la notacin de la transformada z:115

Puesto que:Se tiene:

La ecuacin da la funcin de transferencia pulso en lazo cerrado del sistema de control digital que se muestra en la figura.A continuacin, se considerar slo un caso sencillo, donde la funcin de transferencia pulso GD(z) es del tipo PID (proporcional ms integral ms derivativo).

116

FUNCIN DE TRANSFERENCIA PULSO DE UN CONTROL PID DIGITAL117

CONTROL PID DIGITALEl esquema de control PID analgico ha sido usado en muchos sistemas de control industrial. El principio bsico del esquema de control PID es que acta sobre la variable a ser manipulada travs de una apropiada combinacin de las tres acciones de control. La accin de control PID en controladores analgicos est dada por: Accin de control proporcionalLa accin de control integralLa accin de control derivativa118

CONTROL PID DIGITALAccin de control proporcional donde la accin de control es proporcional a la seal de error actuante, la cual es la diferencia entre la entrada y la seal de realimentacin. La accin de control integral donde la accin de control es proporcional a la integral de la seal de error actuante. La accin de control derivativa donde la accin de control es proporcional a la derivada de la seal de error actuante.119

CONTROL PID DIGITALLa accin de control PID en controladores analgicos est dada por:120

Donde:e(t) es la entrada al controlador (seal de error actuante)m(t) es la salida del controlador (la seal manipulada) K es la ganancia proporcionalTi es el tiempo integral (o tiempo de reajuste) Td es el tiempo derivativo (o tiempo de adelanto).

CONTROL PID DIGITALPara obtener la funcin de transferencia pulso del controlador PID digital, se puede discretizar la ecuacin.Al aproximar el trmino integral mediante la sumatoria trapezoidal y el trmino derivativo mediante la diferencia de dos puntos, se obtiene:121

CONTROL PID DIGITALEn la figura se muestra la funcin122

CONTROL PID DIGITALEntonces la transformada z de la ecuacin da como resultado:123

Esta ltima ecuacin se puede rescribir como sigue:

CONTROL PID DIGITALDonde:124

De ah:

CONTROL PID DIGITALLa funcin de transferencia pulso para el controlador PID digital se convierte en:125La funcin de transferencia pulso del controlador PID digital dada por la ecuacin se conoce comnmente como forma posicional del esquema de control PID.

CONTROL PID DIGITALLa otra forma por lo regular utilizada en el esquema de control PID digital es el esquema conocido como forma de velocidad. En el diagrama de bloques de la figura se muestra la realizacin de un esquema de control PID digital en forma de velocidad:126

CONTROL PID DIGITALPara obtener la ecuacin del control PID en la forma de velocidad, se considera la diferencia hacia atrs en m(kT), esto es, la diferencia entre m(kT) y m((k - 1)T). Con algunas suposiciones y manipulaciones, se obtiene:127

Note que en la ecuacin slo el trmino del control integral incluye la entrada R(z). Por lo tanto, el trmino integral no se puede excluir del controlador digital si ste se utiliza en la forma de velocidad.

CONTROL PID DIGITALLas ventajas del esquema de control PID en la forma de velocidad son:Que no es necesaria la inicializacin cuando se conmuta de operacin manual a automtica. Que es til en la supresin de correcciones excesivas en sistemas de control de procesos. Los controladores PID para los sistemas de control de procesos como sistemas de control de temperatura, sistemas de control de presin y sistemas de control de nivel de lquidos se sintonizan normalmente en forma experimental. De hecho, en el control PID de cualquier planta industrial, donde su dinmica no es bien conocida o no est bien definida, las variables del controlador (KP, KI y KD) se deben determinar de forma experimental.

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CONTROL PID DIGITALPara los controladores PID digitales utilizados para sistemas de control de procesos, el perodo de muestreo se debe elegir de manera apropiada. La eleccin del periodo de muestreo (perodo de muestreo T = 2 p/ws, donde ws, es la frecuencia de muestreo) en sistemas de control de procesosPara sistemas de control de temperatura el perodo de muestreo debe ser de 10 a 30 segundosPara sistemas de control de presin de 1 a 5 segundos Para sistemas de control de nivel de lquidos de 1 a 10 segundos.

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