Al finalizar la sesin, el estudiante resuelve problemas vinculados a gestin e ingeniera a partir de Ecuaciones Diferenciales (ED) con una condicin inicial, usando el clculo de antiderivadas inmediatas y las reglas bsicas de integracin indefinida. Logros de Aprendizaje

Departamento de CienciasLa Antiderivada y La Integral Indefinida

CASO 01:Encontrar la velocidad y la posicin de una partcula en cualquier instante t si sta se mueve en lnea recta con una aceleracin dada por si adems la velocidad y la posicin en el instante t = 1 sg. Son v = 7/6 m/sg y s = 1 m.

DistanciaVelocidadIngresosIngresos MarginalesCostoCosto MarginalPoblacinRazn de Crecimiento de la poblacinDerivadaAntiderivada

Esquema

Ejemplo 1:Son antiderivadas1. Antiderivada

Significado geomtrico: si es una antiderivada de en I , cualquier otra antiderivada de f en I es una curva paralela al grfico de Si F es una antiderivada de f sobre un intervalo I, entonces la antiderivada ms general de f sobre I es:2. Interpretacin GeomtricaTeorema Donde:C es una constante

Miembros de la familia de Antiderivadas de dees

Dando valores a la constante C, obtenemos una familia de funciones cuyas grficas son traslaciones verticales de una a otra .Del Ejemplo 1, la antiderivada ms general

Para resolver la ecuacin: Reescribirla:Donde:3. Integral Indefinida

4. Propiedad de la LinealidadLas constantes pueden salir y entrar fuera del signo de la integral indefinida.La integral indefinida de una suma (resta) de dos funciones es la suma (resta) de las integrales indefinidas.

5. Reglas Bsicas de Integrales Inmediatas

Encontrar las siguientes Integrales:EJEMPLOS:

6. Ecuacin Diferencial (ED)Una ED en x e y, es una ecuacin que involucra a x, y y a la derivada de y.Ejemplo:Ecuacin DiferencialCondicin Inicial

Un tanque con rea seccional constante de 50 m2 y un agujero de un rea seccional constante de 0.05 m2, localizado en la parte inferior del tanque.

El tanque se llena con agua hasta una altura de h metros y se deja vaciar, la altura del agua disminuye a razn:Determinar la altura del agua en cualquier instante t. Vaciado de un TanqueEcuacin DiferencialSi su altura es de 5 metros.Condicin Inicial

Pasos para Resolver la ED: