INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

APLICACIÓN DE OPCIONES REALES PARA LA EVALUACIÓN DE PROYECTOS DE SUSTENTABILIDAD ECOLÓGICA

T E S I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS (ECONOMÍA FINANCIERA)

P R E S E N T A OSCAR IVÁN HERNÁNDEZ BAUTISTA

DIRECTOR: DR. MIGUEL FLORES ORTEGA CODIRECTOR: DR. FRANCISCO ALMAGRO VÁSQUEZ

MÉXICO D.F., MAYO DE 2010

Agradecimientos

A mis padres y a mis hermanos por el apoyo

incondicional que siempre me han brindado.

Al Dr. Miguel Flores Ortega por sus consejos

y ayuda en la elaboración de la presente tesis.

Al Instituto Politécnico Nacional por su contribución

en mi formación académica y humana.

i

ÍNDICE i

Índice de cuadros, gráficas y tablas iii

Glosario iv

Abreviaturas vi

Resumen vii

Abstract viii

Introducción ix

Capítulo 1. Energía eólica y desarrollo sustentable

1.1 El concepto de desarrollo sustentable 1

1.2 Energías renovables 2 1.3 Energía eólica 3 1.4 Ventajas de un campo eólico 3 1.5 Bonos de carbono 5 1.6 Participantes de los bonos de carbono 5 1.7 Valor de los bonos de carbono 6 1.8 El protocolo de Kioto 6

1.8.1 Historia del protocolo de Kioto 7 1.8.2 Anexos del protocolo de Kioto 8

Capítulo 2. Teoría de opciones financieras y teoría de opciones reales

2.1 Introducción a las opciones financieras 12 2.2 Clasificación y finalidad de los derivados 12 2.3 Tipos de opciones financieras 13 2.4 Opción de compra y opción de venta en la fecha de vencimiento 14 2.5 Delimitación de una opción de compra 16 2.6 Factores y efectos previsibles sobre los precios de las opciones de compra y de venta 17 2.7 Opciones reales 18 2.8 Opciones financieras frente a opciones reales 20 2.9 Proyectos de inversión desde la perspectiva de opciones reales 21 2.10Determinación del precio de una opción real 24

2.10.1 Opción real de expansión 24

ii

2.10.2 Opción real de permanencia 26

2.10.3 Opción real de abandono 26

Capítulo 3. El modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein y el modelo de Black-Scholes para valuar opciones

3.1 El modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein 28 3.2 El modelo binomial para un periodo 29 3.3 Casos de valuación 33

3.3.1 El precio de ejercicio es mayor que el movimiento al alza 33 3.3.2 El precio de ejercicio es menor que el movimiento a la baja 34 3.3.3 El precio de ejercicio se ubica entre los movimientos al alza

y a la baja 34 3.4 El modelo binomial de dos y más periodos 34 3.5 El modelo de Black y Scholes 36

Capítulo 4. Aplicación de la teoría de opciones reales en la valuación de un campo de energía eólica

4.1 Fases de desarrollo del proyecto 41 4.2 Análisis del proyecto 43 4.3 Aplicación del modelo binomial y Black y Scholes 43 4.4 Aportación de los bonos de carbono al proyecto eólico 50 Conclusiones 53

Bibliografía 56

Índice de cuadros Cuadro 2.1.- Posiciones básicas de las opciones 13 Cuadro 2.2.- Flexibilidad directiva 19 Cuadro 2.3.- Variables que determinan el valor de una opción 21 Índice de gráficas Gráfica 2.1.- Opción de compra 15 Gráfica 2.2.- Opción de venta 15 Gráfica 2.3.- Limite superior e inferior de una opción de compra 16 Gráfica 2.4.- Valor de una opción de compra en función del precio

de una acción 18 Gráfica 3.1.- Expansión binomial de un periodo, subyacente y

opción 30 Gráfica 3.2.- Expansión binomial para dos periodos del activo

subyacente 35 Gráfica 3.3.- Rama del segundo árbol binomial 36 Gráfica 4.1.- Valor del proyecto eólico con una opción de abandono 48 Gráfica 4.2.- Valor del proyecto eólico con una opción americana de

expansión 50 Índice de tablas Tabla 1.1.- Impacto ambiental por GWh generado de acuerdo a la tecnología utilizada 4 Tabla 1.2.- Países del anexo B del protocolo de Kioto 9 Tabla 2.1.- Factores sobre los precios de las opciones 17 Tabla 2.2.- Similitudes entre opciones reales y opciones financieras 23 Tabla 4.1.- Parámetros para el modelo binomial 44 Tabla 4.2.- Valor del proyecto eólico con una opción de abandono 47 Tabla 4.3.- Valor del proyecto a 10 años, con el modelo Black y

Scholes 48 Tabla 4.4.- Valores del proyecto eólico con una opción americana de

expansión 49 Tabla 4.5.- Valor presente neto con bonos de carbono 52

iii

Glosario

Activo subyacente. Activo que se toma de referencia y sobre el que se establecen los contratos de futuros y opciones.

Ejercicio de la opción. Se refiere al acto de comprar o vender el activo subyacente vía un contrato de opción.

Fecha de vencimiento. Se refiere a la fecha de madurez de la opción. Después de la fecha pactada la opción pierde vigencia.

Opción. Contrato que da al comprador el derecho, pero no la obligación de comprar o vender un activo llamado subyacente en la fecha y al precio pactado.

Opción americana. Contrato que da el derecho de comprar o vender un activo determinado y el derecho se puede ejercer en cualquier momento entre la suscripción y la fecha de vencimiento.

Opción europea. Contrato que da el derecho de comprar o vender un activo determinado y solo puede ejercerse en la fecha de vencimiento. Opción de abandonar. Corresponde al derecho y no la obligación de abandonar un proyecto en una fecha o en un lapso acordado y el valor de rescate que corresponde al precio de ejercicio de una opción tipo americana.

Opción de ampliación. Corresponde al derecho más no la obligación de ampliar el proyecto, lo que ocurre en el caso de que las condiciones del mercado indiquen un valor mayor que el previsto, se tiene la oportunidad de ampliar el proyecto. Es similar a una opción de compra americana.

Opción de compra. Contrato que da a su tenedor el derecho más no la obligación de comprar un activo a un determinado precio de ejercicio en cierto tiempo tras haber pagado una prima.

Opciones compuestas. Es el derecho más no la obligación de ejecutar más de una opción, es posible ampliar, reducir o abandonar proyectos, es posible

iv

acordar más de un tipo de opción, que permite adaptarse a la nueva información obtenida del mercado. Opciones de crecimiento. Corresponde al derecho de ejecutar proyectos posteriores basados en el proyecto inicial. Opción de diferir. Es el derecho, no la obligación de postergar la ejecución es equivalente a tener una opción de compra en el proyecto.

Opciones secuenciales. Es un derecho en proyectos en los que existe una inversión secuencial, se permite abandonar el proyecto en el caso de que la información se va revelando en el proceso de desarrollo no sea positiva.

Opción de venta. Contrato que da a su tenedor el derecho más no la obligación de vender un activo a un precio de ejercicio en una fecha predeterminada, tras haber pagado una prima que corresponde al precio del contrato.

Precio de ejercicio o precio pactado. Es el precio fijo que establece el contrato de la opción, al cual el tenedor puede comprar o vender el activo subyacente.

Sustentabilidad. Es aquel sistema económico, ecológico y social capaz de sostenerse a si mismo, sin atentar en contra de su existencia futura y/o de las generaciones futuras.

Sustentabilidad ecológica. Es la capacidad de un sistema de mantener su estado en el tiempo, manteniendo para ello los parámetros de volumen, tasas de cambio y circulación invariables o haciéndoles fluctuar cíclicamente entorno a valores promedio.

Sustentabilidad económica. Se liga al concepto de renta de Hicks, que corresponde a la cantidad máxima que un individuo puede consumir en un periodo determinado de tiempo sin reducir su consumo en un periodo futuro.

Sustentabilidad social. Es cuando los costos y los beneficios son distribuidos de manera adecuada tanto en el total de la población actual como en el de la población futura, los agentes sociales y las instituciones desempeñan un papel muy importante en el logro del desarrollo sustentable.

v

Abreviaturas BS: Black y Scholes

CO2: Dióxido de Carbono

CER: Certificado de Emisiones Reducidas

CFE: Comisión Federal de Electricidad

GEI: Gases de Efecto Invernadero

IPCC: Grupo Intergubernamental de Expertos Sobre Cambio Climático

MDL: Mecanismo de Desarrollo Limpio

OCDE: Organización de Cooperación para el Desarrollo Económico

RCE: Reducción Certificadas de Emisiones

ROV: Valor de la Opción Real

RCE: Reducciones Certificadas de Emisión

SENER: Secretaria de Energía

VPN: Valor Presente Neto

vi

Resumen La presente investigación aborda la teoría de opciones reales y analiza la

utilización del modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein para determinar el

valor de las opciones reales de expansión y abandono, que se presentan en

los proyectos de inversión, se realiza la revisión del estado del arte y la teoría

propuesta de Lenos Trigeorgis, por otro lado se parte de los conceptos

fundamentales de sustentabilidad ecológica y los acuerdos suscritos en el

protocolo de Kioto de 1997 como mecanismo de conservación y cuidado del

medio ambiente para establecer la vinculación con los bonos de carbono y

aplicarlos en la valuación de proyectos de inversión sustentables.

La teoría de opciones reales resulta ser una herramienta indispensable para

proyectos de inversión cuando se incorpora el valor de las decisiones durante

la ejecución y operación del proyecto porque representa un valor intrínseco

que la metodología tradicional de valuación de proyectos por medio del valor

presente neto no considera, subvaluando de esta forma la oportunidad de

invertir.

De forma empírica se corrobora la teoría al analizar el caso real de la

valuación de un proyecto de generación eólica de la Comisión Federal de

Electricidad del que se tiene la información, los resultados muestran cómo

cambia el valor del proyecto a lo largo del tiempo conforme cambia el valor

de los parámetros y conforme cambian las condiciones existentes en el

mercado, se destaca como la metodología del valor presente neto

infravalora el proyecto de inversión al no considerar los cambios que

pudiesen sufrir los factores relevantes en la determinación del valor del

proyecto al ejercer las opciones reales a través del tiempo.

vii

Abstract

This research focuses on real option theory and analyzes the use of the

binomial model of Cox-Ross-Rubinstein to determine the value of real options

expansion and abandonment that they have the investment projects, is done

reviewing the state of art and theory proposal Lenos Trigeorgis, on the other

side of the fundamental concepts of ecological sustainability and the

agreements signed in the 1997 Kyoto Protocol as a mechanism of

conservation and environmental care for bonding with carbon credits and

apply them in the valuation of investment projects sustainable.

The real options theory turns out to be an indispensable tool for investment

projects when it incorporates the value of the decisions during implementation

and operation of the project because it represents an intrinsic value that

traditional valuation methodology of projects through the net present value

does not consider thus underestimating the opportunity to invest.

By empirical analysis corroborates the theory to the real case of the valuation

of wind generation project of the Federal Electricity Commission to have the

information, the results show how the project's value changes over time as it

changes the value of the parameters and conditions change in the market,

stands out as the net present value methodology underestimates the

investment project by not considering changes that could suffer the relevant

factors in determining the value of the project to exercise real choices over

time.

viii

Introducción La sustentabilidad es un concepto que al principio de la década de los años

setenta adquiere una significativa relevancia cuando la defensa del medio

ambiente se convirtió en uno de los temas más importantes de las campañas

y agendas políticas en distintos países.

Se conoce como energía renovable aquella cuya fuente de obtención se

renueva constantemente, poniéndose a disposición de forma periódica. Las

energías no renovables son, como su nombre lo indica, las que no se

renuevan o que tienen períodos de renovación relativamente largos, y se

conoce como energía alternativa a cualquier fuente de energía diferente que

sea capaz de suplir a las energías o fuentes energéticas actuales, ya sea por

su menor efecto contaminante o, fundamentalmente, por su posibilidad de

renovación.

El problema central que aborda el trabajo es incorporar la gran incertidumbre

que existe en el mundo real derivada del entorno económico que afecta a la

evaluación de proyectos de inversión y los supuestos que los sustentan, las

metodologías tradicionales para la evaluación de proyectos no permiten

incorporar. La aparición de la teoría de opciones reales abre nuevas

posibilidades en el análisis de proyectos de inversión porque permite

incorporar cambios en el escenario económico a lo largo del tiempo y

condiciones cambiantes y evalúa la toma de decisiones estratégicas a lo

largo de la vida de los proyectos, lo que establece un nuevo paradigma en la

valuación de proyectos de inversión.

El objetivo de este trabajo es probar empíricamente que la aplicación de la

teoría de opciones reales a un caso real permite analizar el efecto de

ix

incorporar en la valuación de proyectos de inversión, decisiones estratégicas

de la aplicación de bonos de carbono para la sustentabilidad ecológica, más

precisamente se incorporan las opciones reales de expansión y abandono en

la valuación del desarrollo de un campo eólico y mostrar la diferencia con

respecto a la valuación de proyectos con el valor presente neto. Se encontró

que el método de opciones reales es una mejor alternativa cuando se

incorporan condiciones cambiantes a lo largo del tiempo que se tiene para

tomar una decisión financieramente más viable como expandir o abandonar

un proyecto de inversión.

La hipótesis busca probar que la aplicación de la teoría de opciones reales

para la valuación de proyectos de inversión es una mejor alternativa ya que

permite incorporan condiciones cambiantes en la evaluación a lo largo de la

vida del proyecto, entonces, la aplicación de la teoría de opciones reales

permite una mayor proximidad a la realidad y, por lo tanto, es una mejor

alternativa para la valuación de proyectos de inversión con flexibilidad en la

toma de decisiones.

La investigación se reporta en cuatro capítulos a los que les precede una

introducción que establece la justificación del tema, el objetivo que se

persigue y la hipótesis que se busca probar, al final se incluye un apartado de

conclusiones donde se destacan las principales observaciones de la

investigación y la aportación del trabajo, así como las recomendaciones para

ampliar el tema.

En el primer capítulo se realiza la revisión conceptual de los aspectos

esenciales de la sustentabilidad y las características que requiere un campo

eólico. En el segundo capítulo se desarrolla el marco teórico de las opciones

financieras y el de las opciones reales para concluir con una comparación y

x

comprensión para su aplicación, el capítulo tres presenta el desarrollo del

modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein para compararlo con el modelo de

Black y Scholes, en el capítulo cuatro se presenta el análisis del proyecto de

inversión en un parque eólico de la Comisión Federal de Electricidad para

mostrar la diferencia en la aplicación de las metodologías estudiadas, por

último se incorpora un apartado de conclusiones destacando las principales

aportaciones del trabajo. El caso de estudio real muestra el efecto del

análisis en la evaluación del campo eólico la Venta III que actualmente está

en proceso de construcción, donde se muestra el efecto de incorporar el

análisis de opciones reales.

xi

1

CAPÍTULO 1. Energía eólica y desarrollo sustentable

El propósito de este capítulo es describir los conceptos teóricos sobre la

sustentabilidad ecológica, las energías alternativas y el valor que tiene la

conservación de los recursos naturales, adicionalmente se analiza la ventaja

que representa el uso de la energía eólica para la producción de electricidad.

1.1 El concepto de desarrollo sustentable

La Comisión de Medio Ambiente de la ONU en 1987 emitió un documento

titulado Nuestro futuro común, conocido con el nombre de Informe Brundtland,

por el apellido de la doctora que encabezó la investigación, en este texto se

define el concepto de desarrollo sustentable, como aquel que satisface las

necesidades actuales sin poner en peligro la capacidad de las generaciones

futuras para satisfacer sus propias necesidades. En la década de los noventa

se extiende el concepto de desarrollo sustentable y se especifican sus tres

principales componentes: ecológico, económico y social. Las cuales se definen

como preservación del mundo natural por sí mismo, eficiencia y satisfacción del

mundo natural por sí mismo y justicia distributiva respectivamente.

Desde el punto de vista académico, el concepto de sustentabilidad se divide en

tres vertientes. La sustentabilidad ecológica: Es la capacidad de un sistema de

mantener su estado en el tiempo, manteniendo para ello los parámetros de

volumen, tasas de cambio y circulación invariables o haciéndoles fluctuar

cíclicamente entorno a valores promedio (Giglo, 1987). La sustentabilidad

económica, se liga al concepto de renta de Hicks (Hicks, 1945), que

corresponde a la cantidad máxima que un individuo puede consumir en un

periodo determinado de tiempo sin reducir su consumo en un periodo futuro

(Hicks, 1945). Por último la sustentabilidad social, es cuando los costos y los

beneficios son distribuidos de manera adecuada tanto en el total de la población

actual como en el de la población futura, los agentes sociales y las instituciones

2

desempeñan un papel muy importante en el logro del desarrollo sustentable

(Cernea, 1993).

La sustentabilidad es un concepto que al principio de la década de los años

setenta adquiere una significativa relevancia cuando la defensa del medio

ambiente se convirtió en uno de los temas más importantes de las campañas y

agendas políticas en distintos países. En junio de 1972, durante la conferencia

de las Naciones Unidas sobre el medio ambiente humano que se celebró en

Estocolmo, Suecia, crece la convicción de que se atraviesa por una crisis

ambiental a nivel mundial, y a partir de esta fecha, donde se reunieron 103

Estados miembros de las Naciones Unidas y más de 400 organizaciones

gubernamentales, se reconoció que el medio ambiente es un elemento

fundamental para el desarrollo humano, y bajo esta perspectiva se iniciaron

programas y proyectos que trabajarían para construir nuevas vías y alternativas

con el objetivo de enfrentar los problemas ambientales y, al mismo tiempo,

mejorar el aprovechamiento de los recursos naturales para las generaciones

presentes y futuras. Este hecho muestra el desarrollo de nuevas tecnologías

para el aprovechamiento integral de la energía y se desarrollan nuevos

mecanismos para la generación de energías, como las renovables.

1.2 Energías renovables

Se conoce como energía renovable aquella cuya fuente de obtención se

renueva constantemente, poniéndose a disposición de forma periódica. Las

energías no renovables son, como su nombre lo indica, las que no se renuevan

o que tienen períodos de renovación relativamente largos. Se conoce como

energía alternativa a cualquier fuente de energía diferente que sea capaz de

suplir a las energías o fuentes energéticas actuales, ya sea por su menor efecto

contaminante o, fundamentalmente, por su posibilidad de renovación.

En México se asume que entre las principales energías renovables se

encuentran la energía solar, la energía eólica, la energía hidráulica, la energía

3

mareomotriz, la energía geotérmica y la energía obtenida de la biomasa. Para

los efectos de la investigación sólo se considera a la energía eólica.

1.3 Energía eólica

La energía eólica es una de las principales energías alternativas, esta se

obtiene de la energía cinética proporcionada por el viento, este viento que se

genera por el calentamiento de la superficie terrestre, que no es uniforme, el

aire caliente se eleva y el aire frío ocupa su lugar en la superficie, generando

así las corrientes de aire que dan principio a la energía eólica, esta tiene una

baja densidad energética, por lo que se requiere de la instalación de un gran

número de generadores de electricidad los cuales en su conjunto dan lugar a lo

que se conoce como un parque eólico o granja de viento.

Los dispositivos que generan electricidad a partir de la energía eólica son los

aerogeneradores, que consisten de equipos mecánicos de rotación provistos de

hélices conectadas al generador eléctrico con el eje alineado al sistema motriz,

el generador eléctrico utilizado es un dinamo o un alternador, la producción es

errática y sigue el comportamiento del viento. Una mejora es cuando se

acumula energía en otra forma, para aprovecharla en los periodos de tiempo sin

viento. La energía eólica se obtiene a partir de la energía mecánica que se toma

del viento y por tanto es directamente utilizable, al terminar la vida útil de un

aerogenerador se puede sustituir y continuar utilizando la infraestructura. Dentro

de sus ventajas es que no contamina, lo cual favorece al medio ambiente, la

generación de energía eléctrica sin utilizar una fuente de combustión, además

de no producir gases tóxicos y no participa en el efecto invernadero, por otro

lado se utiliza una fuente de energía inagotable.

1.4 Ventajas de un campo eólico

Un campo eólico o granja de viento tiene como ventaja que produce energía

eléctrica limpia, no genera contaminantes, y es una alternativa al uso de

4

combustibles fósiles, es una energía renovable, que no se agota porque

siempre habrá viento, no requiere de un proceso de combustión que produce

dióxido de carbono (CO2), por lo que no contribuye al incremento del efecto

invernadero, puede instalarse en espacios no aptos para otros fines, por

ejemplo en zonas desérticas, próximas a la costa, en laderas áridas y muy

empinadas para ser cultivables, puede convivir con otros usos del suelo, por

ejemplo pastizales para uso ganadero o cultivos tradicionales como trigo, maíz,

papa, es utilizable en todo lugar en donde exista un nivel adecuado de viento,

determinado a través de un estudio de la zona. Una ventaja significativa que

adquiere el proyecto de un campo eólico después de firmarse el protocolo de

Kioto, es que al ser un proyecto de energía limpia tiene la posibilidad de obtener

recursos a través de la venta de bonos de carbono. En la tabla 1.1 se presenta

un comparativo del impacto ambiental de acuerdo a las distintas tecnologías de

producir electricidad.

.

Fuente de energía CO2 NO2 SO2 PARTÍCULAS CO HIDROCARBUROS

RESIDUOS NUCLEARES TOTAL

Carbón 1.058,2 2.986 2,971 1,626 0,267 0,102 - 1.066,1

Gas Natural(ciclo combinado) 824 0,251 0,336 1,176 NA NA - 825,8

Nuclear 8,6 0,034 0,029 0,003 0,018 0,001 3,641 12,3

Fotovoltaica 5,9 0,008 0,023 0,017 0,003 0,002 - 5,9

Biomasa 0 0,614 0,154 0,512 11,361 0,768 - 13,4

Geotérmica 56,8 NA NA NA NA NA - 56,8

Eólica 7,4 NA NA NA NA - 7,4

Solar Térmica 3,6 NA NA NA NA NA - 3,6

Hidráulica 6,6 NA NA NA NA NA - 6,6,

Tabla 1.1 Impacto ambiental por GWh generado de acuerdo a la tecnología utilizada para producir electricidad.

Co

Fuente: US Departament of Energy, Council for Renewable Energy Education y AEDENAT. NA: No aplica. Nota: Los valores consideran también las emitidas durante el periodo de construcción de los equipos.

Co

5

1.5 Bonos de carbono

Los bonos de carbono son un mecanismo internacional para reducir las

emisiones contaminantes al medio ambiente y es uno de los tres mecanismos

propuestos en el Protocolo de Kioto para la reducción de emisiones causantes

del calentamiento global o efecto invernadero. El sistema ofrece incentivos

económicos para que las empresas privadas contribuyan a la mejora de la

calidad del medio ambiente. El acuerdo considera regular la emisión generada

por los procesos productivos, el derecho a emitir CO2 como un bien canjeable y

con un precio establecido en el mercado. Un bono de carbono representa el

derecho a emitir una tonelada de dióxido de carbono, en un rango que denota

eficiencia en la producción para mitigar la generación de gases de efecto

invernadero, se beneficia a las empresas nuevas que reducen la emisión de

contaminantes. Cada empresa tiene derecho a una cantidad que puede vender

en el mercado a las empresas que emiten más de lo permitido.

1.6 Participantes de los bonos de carbono

Los países que pueden participar en el mercado de bonos de carbono son

aquellos que firmado el protocolo de Kioto y posteriormente lo ratificaron, estos

países se denominan desarrollados y la lista el acuerdo lo refiere en su anexo,

estos países tienen el derecho a comprar los bonos de emisiones de carbono

para cumplir con su compromiso de reducción de emisiones, los bonos los

compran a los países en vías de desarrollo que cuentan con certificados de

reducción de emisiones de carbono.

EL protocolo permite que participen tanto proyectos públicos como privados en

el mercado de carbono. Las empresas contaminantes compran el permiso de

emisiones hasta un nivel determinado, al superar este nivel, las empresas

deben pagar una multa ó adquirir derechos de emisión a las empresas que han

reducido las emisiones a las que tienen derecho.

6

1.7 Valor de los bonos de carbono

Todas las operaciones de compra y venta en el mercado de bonos de carbono

están regidas por un contrato entre comprador y el vendedor. Es decir, no hay

un valor oficial sobre el precio de una tonelada reducida de CO2 ó no emitida. Y

aún cuando algunas agencias multilaterales han establecido precios para la

reducción de emisiones en proyectos financiados por ellas mismas, por ejemplo

hasta el año del 2005 el Banco Mundial empleaba un precio de US $5 dólares

por tonelada de CO2 equivalente no emitida, el precio de la tonelada de CO2

está sujeto a la oferta y la demanda de bonos de carbono en el mercado.

Existen diferentes esquemas para el comercio de bonos de carbono, y

diferentes sitios en el mundo donde se pueden comprar y vender. De tal

manera, los precios son diferentes por cada tonelada de CO2. Así por ejemplo

se tiene que en el Chicago Climate Exchange que entró en operación desde

diciembre del 2003, el precio ha fluctuado desde $0.90 hasta los $2.10 dólares

por tonelada de CO2 (manual protocolo de Kioto 2006, datos del 2005), y en el

mercado europeo el European Climate Exchange Carbón que entró en

operación desde abril de 2005, el precio ha fluctuado entre $6.40 y $19.70

euros por tonelada de CO2 (datos a junio de 2005).

En el 2009 el metrobús de la Ciudad de México, permitió la reducción de 34,472

toneladas de CO2 y de otros contaminantes, produciendo así reducciones de

emisiones de gases de efecto invernadero y esas reducciones las ha venido

vendiendo el gobierno del D.F., según lo estipulado en el Protocolo de Kioto, del

cual recibió y recibe al año un cheque de 121,000 euros (CNN expansión.com,

12 de octubre de 2009).

1.8 El protocolo de Kioto

El protocolo de Kioto tiene como objetivo reducir la emisión de los gases

contaminantes de efecto invernadero que dan origen a un calentamiento

paulatino del planeta, estos gases están delimitados a seis: dióxido de carbono,

7

metano, óxido nitroso, hidrofluorocarbonados, perfluorocarbonados y

hexafluoruro de azufre (Manual sobre el protocolo de Kioto, 2005).

Con la limitación o reducción de los gases que produce el efecto invernadero se

pretende, asegurar que el desarrollo prosiga de manera sostenible de forma tal

que se satisfaga las necesidades del presente sin comprometer las

necesidades de las generaciones futuras, tal y como define el Informe

Brundtland bajo el título “ “Nuestro Futuro Común”.

1.8.1 Historia del protocolo de Kioto

La preocupación mundial sobre el deterioro de la atmósfera se ha reflejado en

una serie de foros, entre los que destacan, el de 1972, la conferencia de las

Naciones Unidas sobre el medio ambiente humano de 1979, la primera

conferencia mundial sobre el Clima, creándose en 1983 la comisión mundial

sobre el medio ambiente y el desarrollo y, en 1988, el grupo intergubernamental

de expertos sobre cambio climático. La convención marco de las Naciones

Unidas sobre el cambio climático, fue la primera medida internacional para

tratar el problema, se adoptó en mayo de 1992 y entró en vigor en marzo de

1994. El acuerdo obligaba a todos sus miembros a establecer programas

nacionales de reducción de las emisiones de GEl y a presentar informes

periódicos sobre el tema, además de exigir a los países industrializados,

aunque no a los países en vías de desarrollo, la estabilización de sus emisiones

de gases de efecto invernadero en el año 2000, a un nivel equivalente al de

1990.

En 1994 se reconoció que los compromisos iniciales de la convención marco de

las Naciones Unidas sobre el cambio climático no bastarían para atajar el

aumento mundial de las emisiones de GEl, por lo que el 11 de diciembre de

1997, los gobiernos dieron un paso más y adoptaron un protocolo en la ciudad

de Kioto. Partieron de la convención marco de las Naciones Unidas sobre el

8

cambio climático, el protocolo de Kioto establece límites jurídicamente

vinculantes a las emisiones de GEl en los países industrializados y, al mismo

tiempo, contempla mecanismos de ejecución innovadores basados en el

mercado, cuyo objeto es mantener los costos de limitar las emisiones tan bajos

como sea posible. El protocolo de Kioto es la continuación o consecuencia de la

convención marco sobre cambio climático, en donde se inscribe, ya una mayor

definición de objetivos, políticas, obligaciones y normas de aplicación.

1.8.2 Anexos del protocolo de Kioto

El protocolo de Kioto se divide en dos anexos. El anexo A se enfoca a los seis

gases de efecto invernadero y a las actividades sujetas al protocolo. Los gases

de efecto invernadero, son el dióxido de carbono, el metano, el óxido nitroso,

los hidrofluocarbonados, los perfluocarbonados y hexafluoruro de azufre. Las

actividades que producen estos gases son prácticamente todas las actividades

industriales, de servicios, agricultura, entre otras, que se describen a

continuación: Las actividades relacionadas con la producción o transformación

de energía, quema de combustibles para la manufactura, construcción,

transporte, combustibles sólidos, petróleo y gas natural, entre otros. Los

procesos industriales son los grandes productores de gases en la extracción y

procesamiento de producto mineral, la industria química, la producción y

manipulación de metales, producción de halocarbononados y hexafluoruro de

azufre, consumo de halocarbonos y hexafluoruro de azufre, entre otros.

Una contaminación importante surge de la utilización de disolventes y otros

productos en la agricultura para la fermentación entérica, el aprovechamiento

del estiércol, el cultivo del arroz, suelos agrícolas, quema en el campo de

residuos agrícolas, entre otros. El manejo de desechos como la eliminación de

sólidos en la tierra, tratamiento de las aguas residuales, incineración de

desechos, entre otros. El anexo B del protocolo de Kioto se refiere a los países

9

y a los compromisos cuantificados de limitación ó reducción de las emisiones en

porcentaje del nivel del año o período base. En total son 38 países, más la

Unión Europea como conjunto. En este anexo figuran los países comprometidos

a una reducción de emisiones de GEI.

Fuente: Manual sobre el protocolo de Kioto (2005).

Para aquellos que no les resulte viable la reducción de emisiones para alcanzar

los valores asignados, cuentan con mecanismos flexibles que les permiten

compensar sus deficiencias como: Los proyectos de aplicación conjunta el cual

es un mecanismo por el que se facilita a países industrializados el cumplimiento

de parte de sus compromisos de reducción de emisiones mediante proyectos

de reducción de emisiones en otros países industrializados sujetos en los

acuerdos de Kioto. Bajo este mecanismo, un país industrializado que pertenece

al acuerdo puede poner en práctica un proyecto de reducción de emisiones por

ejemplo, un plan de eficiencia energética ó de eliminación de emisiones como

un proyecto de reforestación en otro país que suscribió el acuerdo y este

País Objetivo 2008-2012 sobre 1990(*)

U.E. (*), Bulgaria, República Checa, Estonia, Letonia, Liechtenstein, Lituania, Mónaco, Rumania, Eslovaquia, Eslovenia, Suiza. -8%

E.U.A. (***) -7%

Canadá, Hungría, Japón, Polonia -6%

Croacia -5%

Nueva Zelanda, Rusia, Ucrania 0%

Noruega 1%

Australia 8%

Islandia 10%

(*) Los 15 Estados miembros de la UE redistribuyen su objetivo conjunto entre ellos mismos, asumiendo el compromiso de Kioto como una burbuja. (**) Algunos países han tomado como año de referencia o base otro distinto de 1990. (***) E.U.A., ha anunciado que no tiene intención de ratificar el Protocolo.

Tabla No. 1.2 Países del anexo B del protocolo de Kioto.

10

comprometido con los objetivos de emisión, con toda probabilidad esto tendrá

lugar, principalmente, en los países en transición a economías de mercado,

dado que es en estos países donde se ofrece un margen mayor de reducción

de emisiones a menor costo . Mediante este tipo de proyectos se consigue que

un determinado país pueda cumplir sus objetivos obteniendo créditos en otros

países donde el costo o la dificultad de reducir emisiones sean menores,

manteniendo globalmente controlado el nivel de emisiones.

No sólo los gobiernos sino también las empresas y organizaciones privadas

podrán participar directamente en estos proyectos, y se han utilizado a partir del

año 2008. Un mecanismo similar al de aplicación conjunta ofrece a gobiernos y

empresas la posibilidad de obtener créditos con cargo a proyectos de reducción

o supresión de emisiones en otros países. La diferencia fundamental radica en

que, en este mecanismo, los proyectos se desarrollan en países en vías de

desarrollo que son todos aquellos que quedan fuera del Anexo B (países

desarrollados) y que por tanto no están sujetos a objetivos de reducción de

emisiones. Mientras que la aplicación conjunta y el comercio de emisiones giran

entorno a la meta general del 5% impuesta a países industrializados. El

mecanismo para un desarrollo limpio se refiere a las emisiones en países en

desarrollo y que no tienen fijadas metas. La reducción de emisiones deberá ser

certificada por expertos independientes y se ha utilizado a partir del año 2000.

El Comercio de emisiones es un instrumento que faculta a los países

desarrollados a realizar operaciones de compra y venta de los derechos de

emisión a efecto de cumplir sus compromisos, aquellos cuyas emisiones reales

queden por debajo de las que le han sido asignadas, podrá disponer de ellas,

vendiéndolas a quienes excedan las emisiones asignadas a sus propios

permisos. Se trata de un intercambio de permisos, manteniendo la cantidad

total de emisiones asignadas, pero nunca aumentarla.

11

Los proyectos de inversión comúnmente se evalúan mediante la metodología

del valor presente neto, sin embargo este método no muestra la flexibilidad que

tienen algunos proyectos, por lo que se pretende dar una perspectiva distinta de

valuación mediante la teoría de opciones reales, para comprender esta teoría

es necesario introducirse al estudio de las opciones financieras para después

mostrar con una mejor claridad los conceptos y metodología de las opciones

reales.

12

CAPÍTULO 2. Teoría de opciones financieras, y teoría de opciones reales El propósito de este capítulo es analizar y describir los conceptos teóricos de

las opciones financieras y opciones reales, así como los fundamentos para

valuarlas, también se menciona la importancia que estas tienen y las diferencias

relevantes entre ellas.

2.1 Introducción a las opciones financieras

Se le llama producto derivado o derivado financiero a aquellos instrumentos

financieros cuyo valor está en función del precio de otro activo financiero, de ahí

el origen del nombre recibido, y a este activo financiero se le conoce con el

nombre de activo subyacente. Los productos derivados surgen por primera vez

como instrumentos de cobertura ante las fluctuaciones de los precios en

productos agroindustriales, en condiciones de elevada volatilidad, los activos

subyacentes pueden ser acciones, índices bursátiles, tipos de interés, también

materias primas entre otros.

En la investigación se utilizan opciones financieras que se definen como

contratos que otorgan a su propietario el derecho más no la obligación de

comprar o vender un activo a un precio fijo, en una fecha o periodo

determinado, quien vende la opción adquiere un compromiso irrenunciable de

cumplir el acuerdo del contrato a cambio de una prima, es equivalente a un

seguro.

2.2 Clasificación y finalidad de los derivados

Los productos derivados se clasifican de acuerdo a su activo subyacente por

tanto son: financieros, como tasas de interés, inflación, valores cotizados en

bolsa, entre otros y no financieros como el oro, la plata, el maíz, el petróleo,

entre otros, generalmente bienes básicos también llamados commodities.

13

El objetivo de los derivados financieros es cubrir ó eliminar los riesgos

financieros y disminuir la incertidumbre o inseguridad económica. Así bien sí la

principal función de los derivados es servir de cobertura ante fluctuaciones de

precios se puede aplicar a portafolios de inversión para protegerla contra los

efectos de la volatilidad, ó bien pueden utilizarse en las obligaciones

contratadas a tasa variable. Esto es, sirven para protegerse de las variaciones

adversas en las tasas de interés, pagos o cobranzas en moneda extranjera a

cierto plazo. Los derechos y obligaciones que un instrumento derivado otorga a

su tenedor, se cuantifican de acuerdo a las características establecidas en el

propio instrumento derivado y al valor que tome en el mercado el activo

relacionado al momento de la transacción.

2.3 Tipos de opciones financieras

Una opción es un contrato cuyo poseedor tiene derechos aunque no

obligaciones sobre un activo, por ejemplo: derecho a adquirir si corresponde a

una opción de compra y derecho a vender si corresponde a una opción de

venta. La opción fija el precio del activo por un periodo de tiempo definido en el

contrato. El precio que se paga por la opción se denomina prima. La opción,

dentro del ámbito financiero presenta numerosas variantes, tanto por la finalidad

del negocio, como por su utilización simple, o combinada con otros

instrumentos financieros. Existen dos tipos de opciones, la opción de compra y

la opción de venta, cuyas posiciones se observan en el cuadro 2.1.

COMPRADOR VENDEDOR

CALL

Derecho a

comprar

Obligación

de vender

PUT

Derecho a

vender

Obligación

de comprar

Fuente: Elaboración propia

Cuadro 2.1 Posiciones básicas de las opciones

14

De la tabla 2.1 se desprenden cuatro posiciones según se compren o vendan

opciones de compra u opciones de venta. El comprador de una opción de

compra, tiene el derecho, a cambio de una prima, a comprar un activo

subyacente en la fecha de vencimiento cuando se trata de una opción europea

o en cualquier momento si se trata de una opción americana, a cambio de un

precio prefijado en el contrato. El vendedor de una opción de compra, en

consecuencia, a cambio de la percepción de la prima, tiene la obligación de

vender el activo subyacente en la fecha de vencimiento cuando se trata de una

opción europea ó en cualquier momento si se trata de una opción americana. El

vendedor de la opción está obligado a cumplir con el contrato. El comprador de

una opción de venta, tiene derecho, a cambio del pago de una prima, a vender

el activo subyacente, al precio determinado de ejercicio en la fecha de

vencimiento cuando se trata de una opción europea y en cualquier momento si

se trata de una opción americana. El vendedor de una opción de venta tiene la

obligación, a cambio de recibir la prima, a comprar el activo en la fecha de

vencimiento o antes si se trata de una opción americana.

2.4 Opción de compra y opción de venta en la fecha de

vencimiento

La gráfica 2.1 muestra el valor de la opción de compra europea en la fecha de

vencimiento contra el valor de su subyacente, donde si el precio del activo

subyacente es inferior al precio de ejercicio la opción de compra no es

redituable y no tiene valor. Si el precio del subyacente es superior al precio de

ejercicio, la opción de compra es redituable y su valor sube uno a uno con los

incrementos en el precio del activo subyacente.

15

La gráfica 2.2 ubica el valor de una opción de venta para los valores posibles

del activo subyacente, el valor de una opción viene determinado por una serie

de variables fundamentales relacionadas con el activo subyacente, la opción y

los mercados financieros.

Precio de ejercicio

(K)

Valor de la acción al

vencimiento

Gráfica 2.1 Opción de compra.

Fuente: Elaboración propia

Gráfica 2.2 Opción de venta

Valor de la acción al

vencimiento

Valor de la opción

al vencimiento

Precio de ejercicio

(K)

Fuente: Elaboración propia

Valor de la opción

al vencimiento

16

2.5 Delimitación del valor de una opción de compra

El límite inferior del precio de una opción de compra corresponde a la diferencia

entre el valor del precio de mercado y precio de ejercicio del activo subyacente

o cero cuando la diferencia es negativa, ya que cualquier otro precio provocaría

ganancias de arbitraje.

Esto se muestra suponiendo que el precio del activo subyacente es S y el

precio de ejercicio es Sk, el valor mínimo de la opción debe ser de S-Sk, sin

embargo si se supone que el valor de la opción es (S-Sk)-λ, λ>0 se podría

comprar la opción y ejercerla con lo que se tendría un gasto de S-λ luego se

puede vender el activo subyacente a su valor de mercado que es S con lo que

se obtiene una ganancia de λ unidades, esto provocaría una fuerte demanda de

estas opciones por lo que su precio aumentaría al menos hasta esta unidad que

se gana. El límite superior, es decir lo más que podría valer una opción de

compra, es el precio spot del activo subyacente ya que nadie pagaría por el

derecho de comprar un activo en un futuro, cuando éste pude comprar hoy a un

valor menor, es decir, nadie compra una opción por S+λ si se puede comprar el

propio activo por S. La gráfica 2.3 muestra el límite superior e inferior de una

opción de compra.

Valor del activo antes de

la fecha de vencimiento

Valor de la opción de

compra antes de la fecha de vencimiento

Limite = precio del

Superior activo

Limite = precio del - precio de

Inferior activo ejercicio

Precio de ejercicio

(K)

Fuente: Ross S., Westerfield, Jaffe (2005)

Gráfica 2.3 límite superior e inferior de una opción de compra

17

2.6 Factores y efectos previsibles sobre los precios de las

opciones de compra y de venta

La tabla 2.1 muestra cómo se comporta el precio de una opción de compra y

una opción de venta ante un cambio en los factores que determinan su precio.

Factor Valor de opción de

compra

Valor del opción de

venta

Aumento del activo

subyacente

Aumenta Disminuye

Aumento del precio de

ejercicio

Disminuye Aumenta

Aumento de la

volatilidad del activo

subyacente

Aumenta Aumenta

Aumento del tiempo

hasta la expiración

Aumenta Aumenta

Aumento de los tipos de

interés

Aumenta Disminuye

Aumento de los

dividendos pagados

Disminuye Aumenta

Fuente: Elaboración propia

Dado los factores de la tabla 2.2 se observa en la gráfica 2.4 que el aumento

del activo subyacente provoca un aumento en el valor de la opción de compra,

esto es el precio de la opción de compra se relaciona en forma positiva con el

precio del activo subyacente. Además el cambio en el precio de la opción de

compra, dado un cambio en el precio del activo, es mayor cuando el activo tiene

un precio alto que cuando su precio es bajo.

Tabla 2.1 Factores sobre los precios de las opciones.

18

2.7 Opciones reales

Una opción real consiste en el derecho más no la obligación de realizar una

acción, como postergar al inicio de un proyecto, expandir, contratar o

abandonar, a un costo predeterminado y durante un periodo determinado algún

proyecto o un activo físico real. Además la teoría de opciones reales aplica la

metodología de las opciones financieras a la gestión de activos reales, esto es,

a la valuación de inversiones productivas o empresariales. Una de las ventajas

del uso de la teoría de opciones reales frente a los métodos tradicionales es

que mientras el valor presente neto induce a una decisión basada en las

expectativas actuales sobre una información futura, la valuación mediante

opción reales permite la flexibilidad de tomar decisiones en el futuro, en función

de una mayor información.

Valor de la opción de

compra antes de la fecha

de vencimiento

Valor del activo antes de

la fecha de vencimiento

Precio de ejercicio (K)

Límite superior

de la opción de compra

Límite inferior de la

opción de compra

Valor de la opción de

compra en función del

activo subyacente

Gráfica 2.4 Valor de una opción de compra como función del precio de una acción.

Fuente: Ross S., Westerfield, Jaffe (2005)

19

Por tanto los métodos basados en la valuación de opciones incorporan en el

valor del proyecto el efecto de la flexibilidad, mientras que el método basado en

el valor presente neto no lo hace. El valor de un proyecto que incorpore

decisiones optativas basadas en opciones siempre será mayor que el que se

apoye en decisiones basadas en el valor presente neto.

El cuadro 2.2 muestra cuando es útil la flexibilidad directiva.

Una de las diferencias entre una opción financiera y una opción real radica en

que el activo subyacente en el caso de la opción financiera es un activo como

una acción, o un indicador, mientras que el activo subyacente de la opción real

es la decisión de realizar una acción.

Valor de la

flexibilidad

moderado

Valor de la

flexibilidad elevado

Valor de la

flexibilidad bajo

Valor de la

flexibilidad

moderado

1. Existe gran incertidumbre sobre el futuro. Es muy probable que se

reciba información nueva a medida que transcurre el tiempo.

2. Hay un margen amplio para la

flexibilidad directiva. Permite que la dirección responda de forma

adecuada a esta información nueva.

+ 3. El valor actual neto sin flexibilidad

es próximo a cero. Si un proyecto

no es claramente bueno o malo, es más probable que se recurra a la

flexibilidad para cambiar la

tendencia y, por tanto, tenga más valor.

▼

En estas condiciones, la diferencia entre el valor que ofrece el método de valoración de

opciones frente a otras herramientas de

decisión es sustancial.

En todos los escenarios, el valor de la flexibilidad es máximo cuando el valor de proyecto sin flexibilidad está próximo al

punto de equilibrio.

Baja Incertidumbre Alta Ca

p

ac

i

da

d

d

e

r

e

sp

u

es

t

a

Fuente: T. Copeland, T. Coller, and J. Murrin (2000).

Cuadro 2.2 Flexibilidad directiva.

20

2.8 Opciones financieras frente a opciones reales

A partir de los años 80, se han utilizado los métodos de valuación de opciones

reales para incorporar la flexibilidad asociada con inversiones físicas, ha esta

extensión se le conoce como opciones reales, sin embargo Lenos Trigeorgis

presenta que la flexibilidad operativa y las estrategias para tomar decisiones al

interactuar en el cambio de dirección de una compañía define lo que es una

opción real. La oportunidad de invertir en un proyecto de una empresa es una

opción real y es similar a la opción de invertir en acciones de la empresa que

corresponde a opciones financieras, en ambos casos se tiene el derecho más

no la obligación de adquirir un activo a cambio del pago de una cantidad de

dinero en un tiempo determinado.

Con algunas limitaciones las soluciones de opciones financieras se pueden

aplicar en un contexto de inversiones reales al realizar adaptaciones relevantes.

Sin embargo, no se puede aplicar directamente la teoría de opciones

financieras a la teoría de opciones reales, porque hay importantes diferencias

(Yeo, K.T. y Qui F., 2003).

Las principales diferencias que se presentan entre las opciones financieras y las

opciones reales, son que las opciones financieras tienen una vida corta (menor

a un año), mientras que las opciones reales tienen una vida larga y a veces

perpetua. Las opciones financieras se emiten sobre activos financieros que

cotizan en mercados de valores y los activos negociados no pueden tener un

valor negativo. En las opciones reales el activo subyacente no es un activo que

cotice en bolsa y es posible que llegue a un valor negativo. Las opciones

financieras tienen un precio de ejercicio único, en las opciones reales puede

variar el precio de ejercicio conforme transcurre el tiempo y pueden existir

varias opciones reales sobre el mismo activo subyacente.

21

El valor de la opción real y el momento óptimo para su ejercicio puede ser

influenciado por la posición de la empresa en el mercado. Si la competencia es

imperfecta podría ser óptimo ejercer la opción tan pronto como sea posible para

evitar la respuesta de los competidores y tomar ventaja de todas las

oportunidades futuras de crecimiento.

El cuadro 2.3 muestra las variables que determinan el valor de una opción real.

2.9 Proyectos de inversión desde la perspectiva de opciones

reales

Las opciones reales involucran seis variables fundamentales. El valor del activo

subyacente, que corresponde al valor del proyecto, y equivale al valor presente

de los flujos de caja esperados del proyecto de inversión. El precio de ejercicio,

que es la cantidad que se invierte para ejercer la opción, que en el proyecto son

Plazo hasta el vencimiento

Un plazo más largo permitirá aprender más

Sobre la incertidumbre y, por tanto, aumentará

El valor de la opción.

Incertidumbre (volatilidad) acerca del valor

Actual

En un entorno de flexibilidad de gestión, una mayor

Incertidumbre aumentará el valor de la opción

Costo de la inversión

Un mayor costo de inversión reducirá

el valor actual neto, VAN, (sin flexibilidad) y también pr tanto, el

valor de la opción.

Cash flow perdidos de competidores

absolutamente comprometidos.

Aumentar los cash flow perdidos a favor de los competidores reducirá claramente

el valor de la opcón.

Tipo libre de riesgo

Un aumento en la tasa libre de riesgo

aumentará el valor de la opción, puesto que también incrementará la ventaja temporal

del valor del dinero al aplazar el coste

asociado de la inversión.

Valor actual previsto de los cash flow de

la inversión

Un aumento en el valor actual del proyecto

aumentará el valor actual neto (sin

flexibilidad) y, por tanto, también el valor

de la opción.

Fuente: T. Copeland, T. Coller, and J. Murrin (2000).

Cuadro 2.3 Variables que determinan el valor de una opción.

22

los costos fijos. El tiempo de expiración de la opción, que es el tiempo de

espera durante el cual la oportunidad de inversión en el proyecto es válida. La

desviación estándar del valor del activo, que es el riesgo que incurre el proyecto

de inversión. La tasa de interés libre de riesgo sobre la opción, que en este

caso es similar al rendimiento de un activo libre de riesgo, con un periodo de

madurez equivalente a la opción. Los dividendos que se puedan llegar a pagar

por el subyacente, esto es los flujos de caja durante la vida del proyecto, es

decir los costos de mantener el proyecto o bien los flujos de caja perdidos

cuando un competidor toma la delantera.

Las opciones reales adquieren una especial importancia cuando el grado de

incertidumbre es alto y cuando los gerentes tienen la flexibilidad necesaria para

responder a la incertidumbre. El valor de las opciones reales respecto al valor

presente neto es alto cuando el valor presente neto es cercano a cero, esto es

cuando se toman decisiones difíciles, y el valor adicional de la flexibilidad hace

la diferencia.

Al comparar la inversión de un proyecto y una opción financiera de compra

sobre una acción, se observa que, el inversionista tiene el derecho pero no la

obligación de comprar el activo subyacente que es la acción y corresponde al

valor presente de los flujos de caja del proyecto que es el precio de ejercicio, en

el caso de la opción real corresponde al costo de la inversión durante un

periodo de tiempo limitado.

La tabla 2.2 muestra las similitudes existentes entre las opciones financieras y

las opciones reales.

23

Características del proyecto Opción de compra

Valor presente del proyecto Precio de la acción

Inversión necesaria para emprender el

proyecto

Precio de ejercicio

Tiempo durante el cual podemos realizar la

inversión

Tiempo de expiración

Riesgo del proyecto, medido como la

volatilidad de los rendimientos esperados

Volatilidad de los rendimientos de la acción

Tipo libre de riesgo Tipo libre de riesgo

Los modelos basados en la metodología de opciones reales, permiten evaluar

proyectos, que aunque inciertos, tienen flexibilidad gerencial, es decir, el

inversionista a lo largo de la vida del proyecto, y a través de sus decisiones

puede variar el resultado obtenido de la inversión según recibe nueva

información.

La opción real que se emplee está en función del proyecto que se analiza, así

por ejemplo si se tiene una opción de aplazamiento los cálculos son distintos

que si se tiene una opción de abandono o alguna otra opción, y cada escenario

u opción con la que se cuente dará un valor presente distinto. Si se tiene un

proyecto sin flexibilidad, con una inversión inicial I0, un flujo de efectivo C, una

tasa r y un tiempo t, se tendría un valor actual como la ecuación 2.1.

0

0 0,)1(t

tr

CIMAXVAN

(2.1)

Tabla 2.2 Similitudes entre las opciones financieras y las opciones reales.

Fuente: Elaboración propia.

24

Si se tiene un proyecto con una opción de aplazamiento de un año se tendrá un

valor del proyecto de acuerdo a la expresión 2.2 donde u es el valor que puede

tomar si es un flujo mayor que C y d es el valor que tiene si es un flujo menor

que C.

1

0

10,

0 0],11

[)1(]0,11

[t

tt

tr

d

r

IMAXp

r

u

r

IMAXpVAN

(2.2)

Se observa que el valor del proyecto es más alto por tener flexibilidad, la teoría

establece que por cada opción real que exista se debe realizar un

planteamiento distinto al contar con distintas decisiones.

2.10 Determinación del precio de una opción real

Existen múltiples opciones reales y, por lo tanto, distintos precios. A

continuación se muestra cómo se determina el precio de las principales

opciones reales. Considérese que el precio del proyecto sigue un movimiento

browniano, por lo que el valor presente de los flujos de efectivo esperados por

el proyecto se considera que en cada tiempo t, es St, que se calcula con la

ecuación 2.3 y se considera que la volatilidad y la tendencia son diferentes de

cero.

𝑑𝑆𝑡 = 𝜇 𝑆𝑡 , 𝑡 𝑑𝑡 + 𝜎 𝑆𝑡 , 𝑡 𝑑𝑊𝑡 (2.3) Donde:

µ(St,t) : La tendencia. σ(St,t) : La volatilidad.

2.10.1 Opción real de expansión

Una empresa que tiene la capacidad de expandir su mercado se evalúa por el

valor presente de los flujos de efectivo esperados del proyecto en una

proporción α. Por ejemplo mediante el incremento en el nivel de precios o

capacidad de producción, para lo cual se requiere invertir la cantidad K´ en el

25

tiempo T. Esta posibilidad estratégica de tomar la decisión de expansión

corresponde a una opción asociada al subyacente existente. Si (1+α)ST- K es el

valor presente neto aumentado en la proporción α menos el costo de la

inversión adicional K´ al tiempo T, el valor intrínseco de esta opción viene dado

por la ecuación 2.4.

𝑐𝑒 𝑆𝑇 , 𝑇; ∝, 𝐾´ = 𝑚𝑎𝑥 1+∝ 𝑆𝑇 − 𝐾´, 𝑆𝑇

= 𝑆𝑇 + 𝑚𝑎𝑥 ∝ 𝑆𝑇 − 𝐾´, 0

= 𝑆𝑇+∝ 𝑚𝑎𝑥 𝑆𝑇 − 𝐾, 0

= 𝑆𝑇+∝ 𝑐 𝑆𝑇 , 𝑇; 𝐾 (2.4)

Donde K=K´/α y c(ST,T;K) es el valor intrínseco de la opción de compra. Si el

valor presente de los flujos de efectivo esperados es conducido por un

movimiento geométrico browniano neutral al riesgo, que representa la ecuación

2.5.

𝑑𝑆𝑇 = 𝑟𝑆𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑡𝑑𝑊𝑡 (2.5)

Donde:

r: tasa de interés libre de riesgo.

σ>0: volatilidad instantánea.

El valor de la opción real de expansión en el tiempo t se calcula con la ecuación

2.6, para incorporar el efecto en el valor de la aportación de la expansión.

𝑐𝑒 𝑆𝑡 , 𝑡 = 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)𝐸 𝑆𝑇+∝ max 𝑆𝑇 − 𝐾, 0 | ℱ𝑡

= 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡) 𝑆𝑇+∝ max(𝑆𝑇 − 𝐾, 0) ∞

−∞𝑓𝑆𝑇 |𝑆𝑡

𝑠 𝑆𝑡 𝑑𝑠

= 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)𝐸 𝑆𝑇|𝑆𝑡 +∝ 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡) (𝑠 − 𝐾)∞

𝐾𝑓𝑆𝑇 |𝑆𝑡

(𝑠|𝑆𝑡)𝑑𝑠

= 𝑆𝑡+∝ 𝑐𝐵𝑆(𝑆𝑡 , 𝑡) (2.6)

26

2.10.2 Opción real de permanencia

En los proyectos de etapas múltiples se pasa de una etapa a la siguiente sí el

beneficio es positivo, en el caso de no tener un beneficio no se invierte en la

siguiente etapa y por consiguiente en las subsecuentes. De esta manera, en

cada etapa en que se invierte también se adquiere una opción de permanecer

en el proyecto en la próxima etapa, que corresponde a una opción europea de

compra para permanecer en el proyecto si el valor presente de los flujos de

efectivo esperados del proyecto ST, es mayor que el costo de inversión K. El

valor intrínseco, está dado por la ecuación 2.7.

𝑐𝑝 𝑆𝑇 , 𝑇; 𝐾 = max(𝑆𝑇 − 𝐾, 0) (2.7)

2.10.3 Opción real de abandono

El valor de mercado de una empresa en el tiempo T puede, en algunos casos

exceder el valor presente de los flujos de efectivo esperados en T, ST. En este

caso surge la opción de vender la empresa ya que su valor de mercado excede

el valor presente de los flujos de efectivo esperados. El valor intrínseco para

esta opción real está dado por la ecuación 2.8.

𝑐𝑎 𝑆𝑇 , 𝑇 = 𝑚𝑎𝑥 𝑆𝑇 , 𝑉𝑇 (2.8)

Si VT > ST la opción se ejerce. Si VT es constante, como, Vt = K, la opción sólo

se ejerce en T, y entonces se tiene:

𝑐𝑎 𝑆𝑇 , 𝑇 = max 𝑆𝑇 , 𝐾 = max 𝑆𝑇 − 𝐾, 0 + 𝐾

27

En este caso el valor de la opción se calcula como:

𝑐𝑎 𝑆𝑡 , 𝑡 = [max 𝑠 − 𝐾, 0 + 𝐾]∞

0𝑓𝑆𝑇 |𝑆𝑡

𝑠 𝑆𝑡 = 𝑐𝐵𝑆 𝑆𝑡 , 𝑡 + 𝐾 (29)

Para calcular el valor de las opciones reales es necesario conocer la

metodología de aplicación del modelo binomial y el modelo de Black y Scholes,

los cuales se trataran con detalle en el capítulo 3.

28

CAPÍTULO 3. El modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein y el modelo de Black y Scholes para valuar opciones

El propósito de este capítulo es analizar el desarrollo intuitivo y la formulación

matemática del modelo de Cox-Ross-Rubinstein y el modelo de Black y

Scholes en la valuación de opciones financieras y opciones reales para realizar

la comparación de los modelos y las consideraciones utilizadas en cada

modelo.

3.1 El modelo binomial de Cox-Ross-Rubinstein

La teoría para valuar opciones parte del trabajo publicado por Fisher Black y

Myron Scholes en 1973, a los que se añaden los de Robert Merton (1973), John

C. Cox, Stephen, A Ross y Mark Rubinstein (1973).

El modelo binomial para valuar opciones desarrollado en 1979 por Cox, Ross y

Rubinstein, se basa en la formulación del movimiento de los precios de las

acciones, las cuales en cualquier periodo sólo tiene dos alternativas para

moverse hacia arriba, o hacia abajo, conformando un árbol binomial.

En la literatura el modelo binomial se denomina modelo de Cox-Ross-

Rubinstein, las ramas del árbol binomial representan las posibles trayectorias

que puede tomar el precio del activo subyacente durante la vida de la opción y

el supuesto esencial sobre el cual descansa el modelo es que no existen

oportunidades de arbitraje lo que significa que si hay dos alternativas de

inversión libres de riesgo, ambas producen el mismo rendimiento, esto es que

no hay una oportunidad de obtener una ganancia libre de riesgo en la toma de

decisiones.

29

3.2 El modelo binomial para un periodo

En la propuesta para la construcción del modelo binomial de Cox-Ross-

Rubinstein se parte de la construcción de un portafolio que contiene al activo

subyacente y una opción, sobre este activo la idea es que al final del periodo

de inversión el portafolio proporciona el mismo rendimiento para todas las

posibles trayectorias que puede tomar el precio del activo subyacente.

En la formación del portafolio se incorporan w1 unidades de una acción y w2

unidades de una opción sobre dicha acción para producir el mismo flujo de

efectivo, la vida de la opción corresponde al intervalo [t,T], también se

considera que t es el momento en que inicia el contrato y T es la fecha en que

vence. El valor del portafolio al inicio del contrato, es decir en (𝛱𝑡 ) corresponde

a la ecuación 3.1.

𝛱𝑡 = 𝑤1𝑆𝑡 + 𝑤2𝑐𝑡 (3.1)

Donde:

𝑆𝑡 : el precio de acción.

𝑐𝑡 : el precio de opción

en t respectivamente. Se parte del supuesto de que en la fecha de vencimiento

del contrato el activo subyacente puede tomar dos valores posibles, 𝑢𝑆𝑡 y 𝑑𝑆𝑡 ,

donde 0<d<1<u. Si el precio del activo tiene un movimiento hacia arriba se

presenta el valor 𝑢𝑆𝑡 y si el precio tiene un movimiento hacia abajo se presenta

el valor 𝑑𝑆𝑡 , tal como se muestra en la gráfica 3.1.

30

El primer valor del portafolio en T es determinado con la ecuación 3.2.

𝛱𝑇(𝑢)

= 𝑤1𝑢𝑆𝑡 + 𝑤2𝑐𝑢 (3.2)

Donde:

𝑐𝑢 = max(𝑢𝑆𝑡 − 𝐾, 0)

En donde 𝑐𝑢 es el valor de la opción dado un movimiento hacia arriba y K es el

precio de ejercicio de la opción. En el segundo caso cuando se presenta un

movimiento hacia abajo, el valor del portafolio en T, está determinado por la

ecuación 3.3.

𝛱𝑇(𝑑)

= 𝑤1𝑑𝑆𝑡 + 𝑤2𝑐𝑑 (3.3)

Donde: 𝑐𝑑 = max(𝑑𝑆𝑡 − 𝐾, 0)

Se supone una valuación neutral al riesgo, se pueden obtener 𝑤1 y 𝑤2 de tal

forma que el portafolio proporcione el mismo rendimiento en las dos posibles

trayectorias del activo subyacente y este rendimiento debe coincidir con el que

se obtendría de un depósito inicial de monto П𝑡 , esto es:

(St,ct)

(uSt, cuT) p

(dSt, cdT) 1-p

Gráfica 3.1 Expansión binomial para un periodo, subyacente y opción

Fuente: Venegas Martínez, F. (2006)

31

П𝑇(𝑢)

= П𝑡𝑒𝑟(𝑇−𝑡) (3.4)

П𝑇(𝑑)

= П𝑡𝑒𝑟(𝑇−𝑡) (3.5)

Lo significativo es que se puede elegir 𝑤1 y 𝑤2 de tal forma que П𝑇(𝑢)

= П𝑇(𝑑)

, el

efecto de igualar las ecuaciones (3.4) y (3.5) se tiene que:

𝑤1𝑢𝑆𝑡 + 𝑤2𝑐𝑢 = 𝑤1𝑑𝑆𝑡 + 𝑤2𝑐𝑑 (3.6)

Ya que la ecuación (3.6) nos conduce a infinitas soluciones, se fija w2=1, lo cual

se obtiene de la ecuación 3.7.

𝑤1 ≡ −∆= −𝑐𝑢−𝑐𝑑

𝑆𝑡(𝑢−𝑑) (3.7)

Esto es que este portafolio consiste en adquirir una opción de compra y vender

una acción. Esta selección de w1 y w2 hace que П𝑇(𝑢)

= П𝑇(𝑑)

.

Considérese el valor del portafolio de la ecuación (3.1) con w2=1 y w1= -∆, se

tiene que:

− 𝑐𝑢−𝑐𝑑

𝑆𝑡(𝑢−𝑑) 𝑑𝑆𝑡 + 𝑐𝑑 𝑒

−𝑟(𝑇−𝑡) = − 𝑐𝑢−𝑐𝑑

𝑆𝑡(𝑢−𝑑) 𝑆𝑡 + 𝑐𝑡 (3.8)

Despejando se obtiene.

𝑐𝑡 = 𝑒𝑟(𝑇−𝑡)−𝑑

𝑢−𝑑 𝑐𝑢 +

𝑢−𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)

𝑢−𝑑 𝑐𝑑 𝑒

−𝑟(𝑇−𝑡) (3.9)

32

Si se denota.

𝑝 =𝑒𝑟(𝑇−𝑡)−𝑑

𝑢−𝑑 (3.10)

Se obtiene.

1 − 𝑝 =𝑢−𝑒𝑟(𝑇−𝑡)

𝑢−𝑑 (3.11)

Así se obtiene el valor de la opción en el tiempo t:

𝑐𝑡 = 𝑝𝑐𝑢 + (1 − 𝑝)𝑐𝑑 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡) (3.12)

De los cálculos anteriores se nota que p es siempre positivo, pero puede darse

el caso de que p>1, dependiendo de los valores de u, d, r, y T-t, en cuyo caso

1-p<0. Las cantidades p y 1-p reciben el nombre de precios de estado y, por

razones obvias, no siempre pueden ser vistas como probabilidades.

Si se pide que se satisfaga la condición.

𝑑 < 𝑒𝑟(𝑇−𝑡) < 𝑢 (3.13)

Entonces 0<p <1, se puede notar que d, u y r (T-t) son variables que no están

relacionadas entre sí, razón por la cual siempre es posible escogerlas de tal

forma que se cumpla 3.13. En este caso, p y 1-p pueden interpretarse en forma

natural como probabilidades. Si se define a 𝑆𝑇 como una variable aleatoria,

junto con su probabilidad, P, de tal forma que.

𝑃 𝑆𝑇 = 𝑢𝑆𝑡 = 𝑝 𝑦 𝑃 𝑆𝑇 = 𝑑𝑆𝑡 = 1 − 𝑝

33

El valor esperado del valor intrínseco de la opción, en T, está dado por:

𝐸 max 𝑆𝑇 − 𝐾, 0 𝑆𝑡] = 𝑃 𝑆𝑇 = 𝑢𝑆𝑡 𝑐𝑢 + 𝑃{𝑆𝑇 = 𝑑𝑆𝑡}𝑐𝑑

= 𝑝𝑐𝑢 + (1 − 𝑝)𝑐𝑑 (3.14) y su valor presente es el precio de la opción ct.

Conviene mencionar que los valores de u y d implícitos en el modelo están

determinados como.

𝑢 = 𝑒𝜎 (𝑇−𝑡) 𝑛 y 𝑑 = 𝑒−𝜎 (𝑇−𝑡) 𝑛

3.3 Casos de valuación

En este punto se estudian algunos casos de la fórmula de valuación binomial

obtenida de la ecuación 3.12, para una opción de compra sobre una acción,

considerando como el precio de ejercicio a K y la fecha de vencimiento como T.

3.3.1 El precio de ejercicio es mayor que el movimiento al alza

Primero si se supone que uSt < K, entonces esto implica que dSt < K, de lo cual

se deduce:

cu = cd = ct = 0 (3.15)

En este caso no tiene sentido entrar en un contrato de opción ya que existe

siempre la posibilidad de conseguir el subyacente en el mercado a un precio

más barato.

34

3.3.2 El precio de ejercicio es menor que el movimiento a la baja

Ahora se supone que K < dSt, entonces esto implica que K < uSt, de lo cual se

deduce.

𝑐𝑡 = [𝑝 𝑢𝑆𝑡 − 𝐾 + 1 − 𝑝 𝑑𝑆𝑡 − 𝐾 ]𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)

= (𝑝𝑢𝑆𝑡 − 𝑝𝐾 + 𝑑𝑆𝑡 − 𝑝𝑑𝑆𝑡 − 𝐾 + 𝑝𝐾)𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)

= 𝑝 𝑢 − 𝑑 𝑆𝑡 + 𝑑𝑆𝑡 − 𝐾 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡) > 0 (3.16)

Esto garantiza una prima positiva cuando el precio de ejercicio es menor que un

movimiento a la baja.

3.3.3 El precio de ejercicio se ubica entre los movimientos a la

alza y a la baja

En este caso si se supone que dSt < K < uSt, entonces cd = 0, de lo cual se

deduce.

𝑐𝑡 = 𝑝 𝑢𝑆𝑡 − 𝐾 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡) > 0 (3.17)

Y así la prima de la opción es positiva.

3.4 El modelo binomial de dos y más periodos

El modelo binomial se puede extender a dos periodos, cada uno de longitud

(T-t)/2. Se desea encontrar el valor de la opción real en t como se ilustra en la

grafica 3.2.

35

Al igual que en el caso anterior también se repite el procedimiento del árbol

binomial para un periodo, para cada una de las ramas del segundo periodo, y

se obtienen las siguientes ecuaciones.

𝑐𝑢 = 𝑝𝑐𝑢𝑢 + 1 − 𝑝 𝑐𝑑𝑢 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)/2 (3.18)

𝑐𝑑 = 𝑝𝑐𝑑𝑐 + 1 − 𝑝 𝑐𝑑𝑑 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)/2 (3.19)

En la gráfica 3.3 se ilustra una de las ramas del segundo árbol. Esta rama es

una replica de la primera, excepto que aparece una u de más en todos los

nodos, ya sea como subíndice o como variable. En tal caso se aplica

completamente la metodología en el primer árbol, justo como en las ecuaciones

(3.18) y (3.19).

tS

tuS

tdS

tSu2

tSd2

tudS

p

p

p

1-p

1-p

1-p

Gráfica 3.2 Expansión binomial para dos periodos del activo subyacente

Fuente: Venegas Martínez, F. (2006)

36

Al sustituir las ecuaciones (3.18) y (3.19) en el valor de la opción real en t, dado

en (3.10), se obtiene la siguiente expresión.

𝑐𝑡 = 𝑝2𝑐𝑢𝑢 + 2𝑝 1 − 𝑝 𝑐𝑑𝑢 + (1 − 𝑝)2𝑐𝑑𝑑 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)/2 (3.20)

Cuando el modelo se extiende a n periodos queda de la siguiente forma.

𝑐𝑡 = 𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)

𝑛 𝑛𝑘

𝑛𝑘=1 𝑝𝑘(1 − 𝑝)𝑛−𝑘𝑐𝑢𝑘 𝑑𝑛−𝑘 (3.21)

3.5 El modelo de Black y Scholes

El modelo de Black y Scholes permite calcular el precio de una opción, bajo el

supuesto de que el activo con riesgo sigue un movimiento geométrico

browniano. En este modelo el valor de una opción depende de cinco variables:

el valor del activo, la volatilidad, la tasa de interés, el precio de ejercicio y el

tiempo de maduración, así el precio se calcula en función de los parámetros de

interés.

1-p

p

),( ut cuS ),( 2

uut cSu

),( dut cduS

Gráfica 3.3 Rama del segundo árbol binomial.

Fuente: Venegas Martínez, F. (2006)

37

𝑐 𝑆, 𝐾, 𝑇 − 𝑡, 𝜎𝑠 , 𝑟 = 𝑐 𝑆, 𝑡 (3.22)

Donde:

S: el precio spot.

K: el precio de ejercicio.

T-t: el tiempo.

𝜎𝑠: la varianza del activo.

r: la tasa de interés libre de riesgo.

Para calcular el precio de la opción bajo el principio de no arbitraje, se utiliza la

propiedad de que el cambio en el valor de la opción está perfectamente

correlacionado con el cambio del valor del activo con riesgo, esto es un punto

importante en el precio de una opción, ya que se puede construir un portafolio

que consista de una cantidad de opciones y una cantidad de activos de modo

de eliminar totalmente la incertidumbre de ese portafolio. Este portafolio sin

riesgo debe de pagar una tasa libre de riesgo, por lo tanto, sabiendo esto se

forma un portafolio que tenga una posición larga en la opción y una posición

corta en una cantidad delta: ∆ en el activo con riesgo, si se denota a π como el

valor del portafolio se tiene:

п = 𝑐 𝑆, 𝑡 − ∆𝑆 (3.23)

Si el activo con riesgo sigue un movimiento browniano se denota como:

𝑑𝑆

𝑆= µ𝑠𝑑𝑡 + 𝜎𝑠𝑑𝑧 (3.24)

El cambio del portafolio se denota como:

𝑑п = 𝑑𝑐 𝑆, 𝑡 − ∆𝑑𝑆 (3.25)

Utilizando el Lema de Ito se sabe que el activo con riesgo sigue un movimiento

browniano, el derivado también lo sigue y por lo tanto el cambio en el valor de la

opción de compra (call) puede escribirse como:

38

𝑑𝑐 𝑆, 𝑡 = 𝑐𝑡𝑑𝑡 + 𝑐𝑠𝑑𝑆 +1

2𝑐𝑠𝑠(𝑑𝑆)2

= 𝑐𝑡𝑑𝑡 + 𝑐𝑠𝑆 µ𝑠𝑑𝑡 + 𝜎𝑠𝑑𝑧 +1

2𝑐𝑠𝑠𝑆

2𝜎𝑠2𝑑𝑡

= 𝑐𝑡 + 𝑐𝑠𝑆µ𝑠 +1

2𝑐𝑠𝑠𝑆

2𝜎𝑠2 𝑑𝑡 + 𝑐𝑠𝑆𝜎𝑠𝑑𝑧 (3.26)

Lo que implica que el cambio en el portafolio sigue el siguiente movimiento

browniano.

𝑑 п = 𝑐𝑡𝑑𝑡 + 𝑐𝑠𝑆 µ𝑠𝑑𝑡 + 𝜎𝑠𝑑𝑧 +1

2𝜎𝑠

2𝑆2𝑐𝑠𝑠𝑑𝑡 − ∆𝑆(µ𝑠𝑑𝑡 + 𝜎𝑠𝑑𝑧)

= 𝑐𝑡 + 𝑐𝑠𝑆µ𝑠 +1

2𝜎𝑠

2𝑆2𝑐𝑠𝑠 − ∆𝑆µ𝑠 𝑑𝑡 + 𝑐𝑠𝑆𝜎𝑠 − ∆𝑆𝜎𝑠 𝑑𝑧 (3.27)

Para obtener el precio de la opción de compra (call), elegimos ∆ tal que elimina

el riesgo del portafolio, esto es ∆= cs.

Una vez eliminado el riesgo, el portafolio en el tiempo debe ser igual, por el

principio de no arbitraje, a colocar la misma cantidad de dinero en un

instrumento con tasa libre de riesgo.

𝑐𝑡𝑑𝑡 +1

2𝜎2𝑆2𝑐𝑠𝑠𝑑𝑡 = 𝑟 𝑐 𝑆, 𝑡 − 𝑐𝑠𝑆 𝑑𝑡 (3.28)

Si el retorno del portafolio fuera mayor, entonces todos los individuos pedirían

préstamos en el banco, y reinvertirían en este portafolio. Estos movimientos de

capitales terminarían con la oportunidad de arbitraje, haciendo que finalmente

los precios se ajusten eliminando la oportunidad de arbitraje. Si el retorno del

portafolio fuese menor el razonamiento es análogo.

Reescribiendo la ecuación 3.28 se obtiene la ecuación diferencial parcial que

una vez resuelta obtiene el valor del derivado al tiempo t.

𝑐𝑡 +1

2𝜎2𝑆2𝑐𝑠𝑠 + 𝑟𝑆𝑐𝑠𝑠 − 𝑟𝑐 = 0 (3.29)

39

Note que en la ecuación no aparece la tendencia de la acción, es decir del

activo (µ) sino solo aparece la tasa libre de riesgo (r), esto es porque una vez

que se hizo la cobertura delta se pudo eliminar el riesgo perfectamente, no hay

necesidad de tomar riesgo y así la tendencia desaparece con el término dS.

Cuando se habla de calcular el precio de la opción usando la solución de Black

y Scholes, se está refiriendo a dos cosas; la ecuación diferencial parcial y la

fórmula de Black y Scholes.

La ecuación diferencial parcial se puede usar con cualquier condición terminal

para encontrar numéricamente el precio de una opción, mientras que la fórmula

es una solución dada bajo ciertas condiciones particulares.

La fórmula de Black y Scholes es la solución a la ecuación diferencial, dadas

las condiciones terminales de una opción de compra europea, para describirla

se asume que: el activo con riesgo sigue un movimiento geométrico browniano,

la tasa libre de riesgo es conocida, no existen dividendos, el delta de la

cobertura es dinámico y continuo, no existen costos de transacción, no existen

oportunidades de arbitraje.

La derivación de la ecuación diferencial de Black-Scholes fue hecha en

términos de una opción de compra (call) en las condiciones terminales, por

tanto dicho procedimiento es válido para cualquier tipo de opción, esto es para

encontrar el precio de una opción de compra y una opción de venta,

estableciendo dichas condiciones terminales como las que se muestran

enseguida.

Para una opción de compra.

Call = Max (S – K, 0)

Para una opción de venta.

Put = Max (K – S. 0)

40

El resultado de una opción de compra una vez resuelta la ecuación diferencial

está dado por la expresión (3.30).

𝑐 𝑆, 𝑇 − 𝑡 = 𝑆𝑁 𝑑1 − 𝐾𝑒−𝑟(𝑇−𝑡)𝑁(𝑑2) (3.30)

Donde:

𝑑1 ={ln

𝑆𝐾 + 𝑟 +

12 𝜎2 𝑇 − 𝑡 }

𝜎 𝑇 − 𝑡

𝑑2 = 𝑑1 − 𝜎( 𝑇 − 𝑡)

y el resultado para una opción de venta (put) está dada por la expresión (3.31).

𝑃 𝑆, 𝑇 − 𝑡 = −𝑆𝑁 −𝑑1 + 𝐾𝑒−(𝑇−𝑡)𝑁(−𝑑2) (3.31)

41

CAPÍTULO 4. Aplicación de la teoría de opciones reales en la valuación de un campo de energía eólica En el capítulo se presenta la valuación de un campo de energía eólica mediante

la metodología de opciones reales, se aplica el modelo binomial de Cox-Ross-

Rubinstein y el modelo de Black y Scholes y se comparan los resultados. La

información que se utilizó para el desarrollo se obtuvo del documento del

proyecto eólico la Venta 3 de CFE, que fue realizado por el banco mundial en

junio de 2006.

4.1 Fases de desarrollo del proyecto

Los datos necesarios para la valuación del proyecto corresponden a las

siguientes variables.

PV.- El valor actual de los flujos de caja esperados del proyecto.

σ.- La volatilidad esperada del rendimiento del proyecto.

r .- El tipo de interés determinado para el proyecto.

I.- El costo de la inversión para el lanzamiento del proyecto.

k´.- El costo de las inversiones intermedias.

La valuación del proyecto se realizó para un periodo de vida útil de 20 años y el

comportamiento estocástico de las expectativas se modela con ayuda de un

proceso de difusión binomial para determinar el valor esperado del proyecto

referido al valor presente.

El proceso se desarrolla en las siguientes fases: La metodología utilizada en

crear el proceso de difusión del valor del proyecto por medio de un árbol

binomial sin flexibilidad, que debe de ser igual al valor determinado con el

método del valor presente neto.

Cálculo del valor de la opción real. A partir del caso base se incorpora en forma

individual la opción de abandonar y la opción de expansión que se calcula por

42

un proceso de difusión hacia atrás a partir de los datos del caso base, el valor

presente neto al compararlo con el caso base determina el efecto de contar con

la opción real.

El proceso de difusión del valor del proyecto se basa en los movimientos de

subida u y de bajada d del valor del proyecto en un proceso binomial hacia

delante y se repite cada periodo durante la vida del proyecto, al mismo tiempo

se determina el árbol binomial.

Al comparar el valor presente del proyecto cuando se incorpora la opción real

con el valor del caso base se determina si se amplía el proyecto, o se

abandona. La opción de abandono del proyecto permite determinar de forma

anticipada cuando las condiciones de rentabilidad son negativas y entonces se

abandona recuperando un determinado valor de rescate, en todo momento se

elige el valor máximo entre el valor obtenido por el proyecto y el valor de

rescate. Para determinar el valor de la opción real en cada periodo se ajusta

hacia atrás a partir del caso base y solo se ejerce cuando tiene un valor

superior. .

PVu

PVd

PV

2PVu

2PVd

PVud

Fuente: Elaboración propia.

43

En el caso de una opción de abandono.

k´: Valor de rescate.

4.2 Análisis del proyecto

Los datos del estudio del banco mundial que público Comisión Federal de

Electricidad (CFE) del costo de implementación de un campo eólico en el

estado de Oaxaca son con los que se trabajaran posteriormente. Este estudio

utiliza la metodología del valor presente neto, además de que proporciona los

datos necesarios para realizar la valuación mediante opciones reales, como no

se obtuvo la información de la volatilidad del proyecto, esta corresponde a la

volatilidad de un proyecto similar hecho en España.

4.3 Aplicación del modelo binomial y el modelo de Black y

Scholes

Para calcular los parámetros del modelo binomial, se recopila la información del

proyecto y se aplican las formulas descritas en el capítulo 3, en un principio se

cuenta con la siguiente información: el tiempo de vida del proyecto que es de 20

años, la delta del proyecto (T-t) de un 1 año, la tasa de libre de riesgo de 8%, la

´,max2

kPVu

´,max kPVud

´,max2

kPVd ROV2=[ )*(2 },max*´,max*{ tTrekPVdqkPVudp ,k´]

ROV1=[ )*(2 },max*´,max*{ tTrekPVudqkPVup ,k´]

)(

21 }**{ tTreROVqROVpROV

Fuente: Elaboración propia.

44

volatilidad del 30%, el costo del proyecto es de 120 millones de dólares y el

valor actual de los flujos que son de 127,300,523 dólares.

Se calcula el parámetro de subida u:

𝑢 = 𝑒0.30 1

20

= 1.3498

Se calcula el parámetro de bajada d:

𝑑 = 𝑒−0.30 1/20 = 0.7408

Se calculan las probabilidades.

𝑝 =𝑒0.08(1) − 0.7408

1.3498 − 0.7408

1 − 𝑝 =1.3498 − 𝑒0.08(1)

1.3498 − 0.7408

Una vez calculados los parámetros, se crea el modelo binomial, utilizando los

datos de la tabla 4.1 para el desarrollo del árbol binomial y la implementación

de las opciones reales.

So 127300523

σ 0.3

r 0.08

delta t 1

u 1.34985881

d 0.74081822

vida del proyecto 20

p 0.74937394

1-p 0.25062606

VPN descontado a una tasa de 18% 7300523

Inversión inicial 120000000

valor presente de los flujos 127300523

Tabla No. 4.1 Parámetros para el modelo binomial.

Fuente: Elaboración propia.

45

Para el desarrollo del modelo binomial, se aplican los parámetros de subida y

bajada, partiendo del valor presente de los flujos de caja del proyecto.

1 2 3 4 5 6

127300523 171837732 231956676 313108762 422652621 570521363 770123286

94306546.9 127300523 171837732 231956676 313108762 422652621

69864008.3 94306546.9 127300523 171837732 231956676

51756530.3 69864008.3 94306546.9 127300523

38342180.7 51756530.3 69864008.3

28404586.1 38342180.7

21042634.9

7 8 9 10 11 12 13

1039557701 1403256118 1894197631 2556899355 3451453115 4658974386 6288957609

570521363 770123286 1039557701 1403256118 1894197631 2556899355 3451453115

313108762 422652621 570521363 770123286 1039557701 1403256118 1894197631

171837732 231956676 313108762 422652621 570521363 770123286 1039557701

94306546.9 127300523 171837732 231956676 313108762 422652621 570521363

51756530.3 69864008.3 94306546.9 127300523 171837732 231956676 313108762

28404586.1 38342180.7 51756530.3 69864008.3 94306546.9 127300523 171837732

15588767.4 21042634.9 28404586.1 38342180.7 51756530.3 69864008.3 94306546.9

11548442.9 15588767.4 21042634.9 28404586.1 38342180.7 51756530.3

8555296.92 11548442.9 15588767.4 21042634.9 28404586.1

6337919.84 8555296.92 11548442.9 15588767.4

4695246.5 6337919.84 8555296.92

3478324.16 4695246.5

2576805.91

14 15 16 17 18 19 20

8489204818 1.1459E+10 1.5468E+10 2.088E+10 2.8185E+10 3.8046E+10 51356696405

4658974386 6288957609 8489204818 1.1459E+10 1.5468E+10 2.088E+10 28185152578

2556899355 3451453115 4658974386 6288957609 8489204818 1.1459E+10 15468339700

1403256118 1894197631 2556899355 3451453115 4658974386 6288957609 8489204818

770123286 1039557701 1403256118 1894197631 2556899355 3451453115 4658974386

422652621 570521363 770123286 1039557701 1403256118 1894197631 2556899355

231956676 313108762 422652621 570521363 770123286 1039557701 1403256118

127300523 171837732 231956676 313108762 422652621 570521363 770123286.2

69864008.3 94306546.9 127300523 171837732 231956676 313108762 422652620.7

38342180.7 51756530.3 69864008.3 94306546.9 127300523 171837732 231956676.3

21042634.9 28404586.1 38342180.7 51756530.3 69864008.3 94306546.9 127300523

11548442.9 15588767.4 21042634.9 28404586.1 38342180.7 51756530.3 69864008.3

6337919.84 8555296.92 11548442.9 15588767.4 21042634.9 28404586.1 38342180.7

3478324.16 4695246.5 6337919.84 8555296.92 11548442.9 15588767.4 21042634.92

1908944.77 2576805.91 3478324.16 4695246.5 6337919.84 8555296.92 11548442.9

46

1414181.07 1908944.77 2576805.91 3478324.16 4695246.5 6337919.842

1047651.1 1414181.07 1908944.77 2576805.91 3478324.158

776119.026 1047651.1 1414181.07 1908944.772

574963.116 776119.026 1047651.103

425943.153 574963.1162

315546.4485

Una vez modelado el valor del proyecto en el tiempo, se procede a incluir las

opciones existentes. Y se resuelve el modelo binomial siguiendo las reglas de

maximización.

El primer objetivo es valorar el proyecto con una opción de abandono en el año

diez y con un valor de recuperación del 70% de su valor original, para esto se

hace uso del modelo binomial, y muestra el valor que el proyecto alcanza si se

considera esta opción, el cual asciende a $130,244,167.7 dólares, como se

muestra en la tabla 1 del anexo. Sin embargo si la opción se pudiese ejercer a

lo largo de su vida y no sólo en la mitad de la misma, el valor del proyecto es de

$133,265,765.67 dólares, como se observa en la tabla 2 del anexo.

La tabla 4.1 muestra el desarrollo del valor del proyecto, de acuerdo al

porcentaje de recuperación que éste pudiese obtener de su valor original, si se

decidiera abandonarlo en cualquier momento de su vida.

47

La gráfica 4.1 muestra el cambio del valor del proyecto, conforme cambia el

porcentaje de su valor de recuperación relacionado con su costo original.

porcentaje del valor valor del proyecto

de recuperación

0% 127,300,523.00

5% 127,301,465.96

10% 127,313,468.26

15% 127,351,645.63

20% 127,435,767.48

25% 127,569,298.68

30% 127,756,271.98

35% 128,065,510.61

40% 128,424,316.05

45% 128,902,773.53

50% 129,516,748.12

55% 130,150,487.84

60% 131,009,425.56

65% 132,137,595.62

70% 133,265,765.67

75% 134,397,297.80

80% 135,820,054.31

85% 137,775,870.20

90% 139,731,686.09

95% 141,697,415.28

100% 143,672,633.44

Tabla 4.2 Valor del proyecto eólico con una opción de abandono.

Fuente: Elaboración propia.

48

Si el proyecto considera la opción de expandirse en la mitad de su vida, un 20%

con un costo adicional de 24 millones de dólares, el proyecto se valoraría en

$143, 328,988 de dólares utilizando el modelo binomial, valor que se observa

en la tabla 3 en el anexo, y mediante el modelo de Black y Scholes el proyecto

se valora en $143,139,598.89 dólares.

Black Scholes

d1 1.336839048

d2 0.38815575

Valor del proyecto 143,139,598.89

evolución del valor del proyecto

115,000,000.00

120,000,000.00

125,000,000.00

130,000,000.00

135,000,000.00

140,000,000.00

145,000,000.00

0% 10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

porcentaje de recuperación

valor del proyecto

Gráfica 4.1 Valor del proyecto eólico con una opción de abandono.

Fuente: Elaboración propia.

Tabla. 4.3 Valor del proyecto a 10 años, con el modelo Black y Scholes.

Fuente: Elaboración propia.

49

Si el proyecto considera la opción de expandirse un 20%, con un costo de 24

millones de dólares en cualquier año de su vida, éste se valora entonces en

$148,527,717 dólares, según el modelo binomial que se presenta en la tabla 4

del anexo.

La tabla 4.2 muestra el comportamiento del valor del proyecto, con una opción

de expansión, considerando el porcentaje que se amplia y el costo que la

expansión conlleva.

Los valores de la tabla se muestran en la gráfica 4.2.

porcentaje costo valor del proyecto

0% 0 127,300,523

5% 6000000 132,607,322

10% 12000000 137,914,120

15% 18000000 143,220,919

20% 24000000 148,527,717

25% 30000000 153,834,516

30% 36000000 159,141,315

35% 42000000 164,448,113

40% 48000000 169,754,912

45% 54000000 175,061,711

50% 60000000 180,368,509

55% 66000000 185,675,308

60% 72000000 190,982,106

65% 78000000 196,288,905

70% 84000000 201,595,704

75% 90000000 206,902,502

80% 96000000 212,209,301

85% 102000000 217,516,099

90% 108000000 222,822,898

95% 114000000 228,129,697

100% 120000000 233,436,495

Tabla 4.4. Valores del proyecto eólico con una opción americana de expansión

Fuente: Elaboración propia.

50

4.4 Aportación de los bonos de carbono al proyecto eólico

El nuevo enfoque de los proyectos de inversión debe incluir el efecto del

beneficio o deterioro del medio ambiente, una forma de incluir esto es

incorporar los preceptos del protocolo de Kioto que se detallan en el artículo 12.

El mecanismo de cooperación entre países desarrollados y países emergentes

busca promover el desarrollo sostenible en base a energías limpias, para lo cual

se promueven los proyectos que reduzcan las emisiones de CO2, por medio del

otorgamiento de recursos económicos a cambio de la certificación de la

reducción de gases contaminantes, que se denominan bonos de carbono.

Entre los sectores que mayor potencial tiene para la utilización de los beneficios

de los bonos de carbono son los proyectos de energías renovables que es el

caso de los proyectos de energía eólica. Es importante destacar que el precio

Expanción del proyecto

0

50,000,000

100,000,000

150,000,000

200,000,000

250,000,000

0% 15%

30%

45%

60%

75%

90%

porcentaje del costo

valor del proyecto

Gráfica 4.2. Valor del proyecto eólico con una opción de expansión.

Fuente: Elaboración propia.

51

de los bonos de carbono está sujeto a la oferta y la demanda que determinan

los países industrializados los cuales cuentan con recursos para adquirir los

certificados y reducir el efecto de sus emisiones a fin de cumplir con los

acuerdos suscritos en el protocolo de Kioto.

Para efectos de análisis en la investigación se asume un promedio conservador

de un precio de cinco dólares por tonelada de carbono que corresponde a un

certificado o bono, la ventaja de utilizar un valor conservador es que cualquier

incremento mejora las conclusiones obtenidas.

El caso de estudio del proyecto eólico de CFE denominado la Venta 3

corresponde a una capacidad instalada de 100 MW, se parte del dato utilizado

por el banco mundial de un factor de planta del 42%, por lo que la producción

anual esperada de electricidad es de 367,929 MWh, el efecto de sustitución en

caso de producir con energías contaminantes representa un ahorro de

emisiones de 147,168 toneladas de CO2, que al convertirse en bonos de

carbono representa un monto anual de $735,840 dólares al año a valor

corriente y el acuerdo durante 20 años, de lo anterior se calcula el valor

presente neto que corresponde a un ahorro de $14,535,473 dólares si se utiliza

la misma tasa de descuento del proyecto de 18%, cuyo efecto es significativo

en el análisis y evaluación del proyecto porque mejora la viabilidad de la

inversión y es inmune a la sensibilidad de cambios en el precio del proyecto y el

incremento de la tasa de descuento hasta en cuatro puntos porcentuales como

se observa en la tabla 4.5.

52

EL Análisis sin considerar los bonos de carbono indica que el proyecto deja de

ser rentable con una tasa de descuento de 20%, a la que se encuentra un VPN

negativo de $2,262,510 dólares, cuando se consideran los beneficios que se

obtienen de la venta de bonos de carbono el proyecto se hace más atractivo, y

la tasa de descuento de equilibrio corresponde al 22.5%.

tasa de descuento VPN CO2 VPN inicial VPN total

0.18 $ 14,576,252 $ 7,300,523 $ 21,876,775

0.2 $ 14,558,549 -$ 2,262,510 $ 12,296,039

0.22 $ 14,540,179 -$ 11,964,898 $ 2,575,280

0.225 $ 14,535,473 -$ 14,188,377 $ 347,096

0.23 $ 14,530,720 -$ 16,332,173 -$ 1,801,452

0.24 $ 14,530,720 -$ 20,395,644 -$ 5,864,924

Fuente: Elaboración propia

Tabla 4.5. Valor presente neto con bonos de carbono.

53

Conclusiones Cuando se valúa el proyecto mediante el método de valor presente neto, se

deja a un lado la flexibilidad que existe en el proyecto de energía eólica y no

toma en cuenta el hecho de que el precio de la energía eólica pudiera cambiar

en un futuro en forma considerable así como la posibilidad de recibir

financiamiento de los bonos de carbono que hace mención el protocolo de

Kioto, y estos recursos y las opciones existentes en el proyecto incrementan el

valor del mismo significativamente.

El valor actual neto infravalora el proyecto, ya que no tiene en cuenta la

flexibilidad en la toma de decisiones a lo largo de la vida del proyecto. El valor

actual neto considera que una vez puesto en marcha el proceso de inversión,

es irreversible y en ningún caso habrá estados del mercado desfavorables, o

más favorables de lo previsto, para la continuación del proyecto.

El proyecto de generación eólica La Venta 3 de CFE fue evaluado mediante el

método del valor presente neto con una tasa de descuento del 18% que llega a

un valor de $127,300,523 dólares que se asumió como el caso de referencia

para el análisis comparativo, los parámetros utilizados para el análisis realizado

se encuentran reportados en el documento del Banco Mundial, el análisis del

estudio sirvió de base para establecer los criterios de comparación

fundamentado en moneda referida a 2006.

Al incorporar la posibilidad de abandonar el proyecto cuando el entorno

económico es desfavorable y evaluar la opción de abandono tipo europeo con

fecha de ejercicio en el año 10 y un valor de recuperación del 70% de la

inversión inicial se determina que el valor del proyecto con la opción de

abandono es de $130,224,167.7 dólares, lo que representa un incremento de

$2,943,645 que corresponde al 2.31% del valor original del proyecto.

54

Cuando se repitió el análisis con la opción de abandono tipo americano que

corresponde a incorporar el derecho de ejercer la opción a lo largo de la vida

del proyecto el valor crece a $133,265,765.67 dólares que representa una

diferencia de $5,965,242.67 dólares lo que representa el 4.68% por lo que el

diferencial del valor corresponde al derecho de cambiar de opinión cuando las

condiciones del proyecto no son las esperadas.

Al incorpora la posibilidad de expandir el proyecto en un 20% con un costo de

$24 millones de dólares cuando el entorno económico es favorable,

corresponde a la opción de expansión que es equivalente a una opción

americana de compra, en esta condición el proyecto alcanza un valor de

$148,527,717 dólares que al deducirlo del valor del proyecto sin opción de

expansión representa un valor presente $21,227,194.4, que es inferior a la

inversión original por lo que la opción no se ejerce.

Cuando se incorpora el efecto de los ingresos provenientes de los bonos de

carbono para producir energía limpia se tiene un ingreso de $735,840 dólares

anuales a valor corriente, incrementa el valor presente neto del proyecto en

$14,575,252, lo que hace significativamente más rentable invertir en esta clase

de proyectos, esto significa un rendimiento adicional de 14.12% sobre la

inversión más del doble del rendimiento evaluado originalmente por CFE, por lo

tanto se puede aseverar que la incorporación de los bonos de carbono en este

tipo de proyectos los hace altamente competitivos con cualquier tipo de

tecnología.

A partir de los datos reportados en el estudio del Banco Mundial sobre el

proyecto de comisión federal de electricidad se determinó que el factor de

planta asociado al proyecto corresponde al 42%, esto significa que por las

condiciones del viento la producción máxima que se debe esperar del proyecto

55

es equivalente a que los generadores operen diez horas diarias a plena carga.

Desde el punto de vista financiero el efecto de la incorporación de los bonos de

carbono hace sensible el proyecto ante grandes cambios en la tasa de

descuento, el proyecto sigue siendo viable aun si la tasa de descuento crece al

22.5%, esto es de gran valor para la propuesta analizada.

Por ultimo se concluye que en un proyecto de energía eólica crece

enormemente en valor cuando se tomo en cuenta el efecto de los bonos de

carbono y la posibilidad de asumir decisiones estratégicas a lo largo de la vida

del proyecto.

56

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58

Anexo Tabla 1. Opción de abandono en el año 10

1 2 3 4 5 6

130244167.7 173568409 232798641 313412481 422714120 570521363 770123286

99368648.3 130502268 173531406 232629370 313260974 422652621

78279391.9 100054986 130628149 173307104 232333400

65199519.5 79816357.4 100654706 130453238

58827678.8 68233043.5 81525378

57938618.5 64140053.8

60996519.1

7 8 9 10

1039557701 1403256118 1894197631 2556899355

570521363 770123286 1039557701 1403256118

313108762 422652621 570521363 770123286

172770126 231956676 313108762 422652621

100911664 129608199 171837732 231956676

72132755.8 83246984.2 100018052 127300523

66076740.3 71580078.3 77541773.1 84000000

66076740.3 71580078.3 77541773.1 84000000

71580078.3 77541773.1 84000000

77541773.1 84000000

84000000

59

Tabla 2. Opción americana de abandono

1 2 3 4 5 6

133,265,765.67 175144072 233736016 314024323 423093716 570714694 770197264

104822833 133197777 175065368 233656008 313952100 423036075

88315552.8 104755673 133105773 174960136 233551309

84000000 88267529.3 104663156 132979831

84000000 84000000 88200348.6

84000000 84000000

84000000

7 8 9 10 11 12 13

1039580877 1403261410 1894198293 2556899355 3451453115 4658974386 6288957609

570674684 770173850 1039569947 1403257757 1894197631 2556899355 3451453115

313860838 422967131 570630775 770151489 1039561757 1403256118 1894197631

174818250 233414009 313746612 422887185 570585954 770133326 1039557701

104533732 132805054 174625179 233234008 313606329 422799585 570546211

84000000 88104562.7 104349200 132558454 174359900 232999346 313440578

84000000 84000000 84000000 87964657.4 104079673 132203362 173992054

84000000 84000000 84000000 84000000 84000000 87753769.1 103673397

84000000 84000000 84000000 84000000 84000000 84000000

84000000 84000000 84000000 84000000 84000000

84000000 84000000 84000000 84000000

84000000 84000000 84000000

84000000 84000000

84000000

14 15 16 17 18 19

8489204818 11459227894 15468339700 20880074583 28185152578 38045976451

4658974386 6288957609 8489204818 11459227894 15468339700 20880074583

2556899355 3451453115 4658974386 6288957609 8489204818 11459227894

1403256118 1894197631 2556899355 3451453115 4658974386 6288957609

770123286 1039557701 1403256118 1894197631 2556899355 3451453115

422714120 570521362.6 770123286.2 1039557701 1403256118 1894197631

232698910 313260974.1 422652620.7 570521362.6 770123286.2 1039557701

131678916 173479215.3 232333400.5 313108762.4 422652620.7 570521362.6

87421999.1 103034242.5 130879214.8 172770125.6 231956676.3 313108762.4

84000000 84000000 86867478.14 101965958.7 129608199.4 171837732.2

84000000 84000000 84000000 84000000 85856365.94 100018052.4

84000000 84000000 84000000 84000000 84000000 84000000

84000000 84000000 84000000 84000000 84000000 84000000

84000000 84000000 84000000 84000000 84000000 84000000

84000000 84000000 84000000 84000000 84000000 84000000

84000000 84000000 84000000 84000000 84000000

84000000 84000000 84000000 84000000

84000000 84000000 84000000

60

84000000 84000000

84000000

20

51356696405

28185152578

15468339700

8489204818

4658974386

2556899355

1403256118

770123286.2

422652620.7

231956676.3

127300523

84000000

84000000

84000000

84000000

84000000

84000000

84000000

84000000

84000000

84000000

61

Tabla 3. Opción de expansión en el año 10

1 2 3 4 5 6

143,328,988.00 195386081 266155375 362208714 492375967 668537954 906720367

103724113 141647153 193400137 263904528 359750803 489755568

74741171.7 102112940 139623634 190987001 261187659

53798528.5 73353162 100204918 137141519

38913561.9 52814467 71819612.8

28459608.6 38448181.5

21042634.9

7 8 9 10

1228590172 1663455891 2250882364 3044279226

665746566 903696492 1225314449 1659907342

356851446 486731694 662470843 900147943

187987592 257896561 353575723 483183145

97915062.6 133946100 184050486 254348012

51960740.7 70257419.3 95064452.8 128760628

28404586.1 38342180.7 51756530.3 69864008.3

15588767.4 21042634.9 28404586.1 38342180.7

11548442.9 15588767.4 21042634.9

8555296.92 11548442.9

6337919.84

62

Tabla 4. Opción de expansión americana

1 2 3 4 5 6

148527717 201420976 272993303 369790126 500642680 677468026 916349888

108837860 147798742 200584070 272048170 368738339 499486324

79494668.8 108108830 146941624 199596110 270930581

57860435.1 78791468.3 107256708 145932206

41980115.5 57214745.3 77979282.2

30396231.4 41425459.6

22010826.4

7 8 9 10 11 12 13

1238998438 1674721148 2263082837 3057495331 4130061683 5578114244 7533040113

676207998 914984328 1237521854 1673124609 2261355103 3055624208 4128034720

367495131 498122109 674725225 913380878 1235790064 1671252324 2259328139

198427243 269606267 366023637 496512218 672981537 911500047 1233760223

106260056 144740622 197040015 268032566 364279295 494612919 670934243

56484996.7 77043411.9 105093076 143328988 195386081 266155375 362208714

29960975.8 40821657 55667953.2 75968679.6 103724113 141647153 193400137

15985526 21709282.2 29516231.1 40180197.1 54766715.8 74741171.7 102112940

11673969.5 15810573.7 21432631.3 29086449.7 39526630.7 53798528.5

8581017.63 11596379.9 15678008.6 21208568.1 28712716.3

6339993.31 8559291.45 11556138.4 15603592.6

4695246.5 6337919.84 8555296.92

3478324.16 4695246.5

2576805.91

14 15 16 17 18 19 20

1.0172E+10 1.3735E+10 1.8545E+10 2.5037E+10 3.3802E+10 45633016949 61604035686

5575918461 7530661449 1.017E+10 1.3732E+10 1.8542E+10 25033934707 33798183094

3053428425 4125656056 5573341686 7527870062 1.0167E+10 13728918680 18538007640

1669056541 2256949476 3050851649 4122864669 5570317812 7524594338 10163045782

909297142 1231381560 1666479765 2254158088 3047827775 4119588945 5566769263

492375967 668537954 906720367 1228590172 1663455891 2250882364 3044279226

263904528 359750803 489755568 665746566 903696492 1225314449 1659907342

139623634 190987001 261187659 356851446 486731694 662470842.8 900147943.4

73353162 100204918 137141519 187987592 257896561 353575722.6 483183144.8

38913561.9 52814467 71819612.8 97915062.6 133946100 184050486.3 254348011.5

21071195.8 28459608.6 38448181.5 51960740.7 70257419.3 95064452.77 128760627.6

11548442.9 15588767.4 21042634.9 28404586.1 38342180.7 51756530.32 69864008.3

6337919.84 8555296.92 11548442.9 15588767.4 21042634.9 28404586.08 38342180.7

3478324.16 4695246.5 6337919.84 8555296.92 11548442.9 15588767.36 21042634.92

1908944.77 2576805.91 3478324.16 4695246.5 6337919.84 8555296.92 11548442.9

63

1414181.07 1908944.77 2576805.91 3478324.16 4695246.5 6337919.842

1047651.1 1414181.07 1908944.77 2576805.914 3478324.158

776119.026 1047651.1 1414181.069 1908944.772

574963.116 776119.0264 1047651.103

425943.1527 574963.1162

315546.4485