Propiedades de orden

Dados dosnúmeros ,a y b , exactamenteunade las siguientesafirmaciones es verdadera :

a es me

nor que b

b es menor que a

a es igual a b

Para describir el tamaño relativo de dos números reales, usamos los símbolos de orden ¿ (menor que) y ≤(menor o igual a), las cuales se llaman desigualdades.

Una desigualdad es una expresión a<b, que se lee "a es menor que b “, como b>a , se lee "b es mayor que a "; a≤b , se lee " a es menor o igual que b ", también la desigualdad puede ser de la forma b≥a , lo que se lee" b es mayor o igual que a”.

DEFINICIÓN 1. Si a y b son números reales, entonces

a<bsignificab−aes positivo, esto es b−a>0

a≤b significa a<boa=b

DEFINICIÓN 2. Si a ,b y c son números reales, escribiremos

a<b<c

Cuando a<b y b<c

El teorema anterior se puede explicar en palabras como sigue:

(b) El sentido de una desigualdad no se modifica si el mismo número, se suma o resta de ambos lados de la desigualdad (c) El sentido de una desigualdad no se modifica si ambas partes se multiplican por el mismo número positivo.

(d) pero se invierte el sentido de la desigualdad si se multiplican ambas partes por el mismo número negativo.

(f) Si ambos lados de una desigualdad tiene el mismo signo, entonces el sentido de la desigualdad se invierte, adoptando la inversa de cada lado.

Teorema 1. Sean a ,b , c y dnumeros reales .(a )Si a<b y b<c , entoncesa<c

(b )Sia<b , entoncesa+c<b+c y a−c<b−c

(c )Si a<b , entoncesac<bccuando c>0 (c es positivo )

(d )ac>bc si c<0(ces negativo)

(e )Si a<b y c<d entoncesa+c<b+d

(f) Si a ,b son ambos negativos o ambos positivos y a<b entonces 1a> 1b

.

INTERVALOS

De especial interés son conjuntos de números reales llamados intervalos. Geométricamente un intervalo es un segmento de recta. Por ejemplo, sia<b, entonces el intervalo cerrado de a a b es el conjunto.

{x :a≤ x≤b }

Y el intervalo abierto de a a b es el conjunto.

{x :a<x<b }

Estos conjuntos son mostrados en la Figura 4.

Intervalos cerrados y abiertos se denotan por los símbolos [a ,b ] y (a ,b ) ,respectivamente, por lo que

[a ,b ]= {x :a≤ x≤b }

(a ,b )={x :a<x<b }

Un intervalo puede incluir un punto final y no el otro. estos intervalos se llaman semiabierto (o algunas veces semicerrado). Por ejemplo.

¿= {x :a≤ x<b } semiabierto por la derecha.

¿={x : a<x ≤b } semiabierto por la izquierda.

Un intervalo puede extenderse indefinidamente en cualquiera de las direcciones positiva o negativa, estos intervalos se denotan por

[a ,+∞)={x : x ≥a }

(−∞ ,b ]= {x : x≤b }

Solución de desigualdades .

En los siguientes ejemplos usaremos el teorema que nos describe las propiedades de las desigualdades, las soluciones de las desigualdades se pueden escribir como intervalos o como conjuntos de números.

Ejemplo 1. Resolver 2 x−3<7.

Es decir, encontrar todos los números reales que satisfacen la desigualdad.

Solución. Si x es una solución, entonces

2 x−3<7

2 x<10 [Hemos sumado 3 a ambos lados de la desigualdad.]

x<5 [multiplicamos ambos lados por 12

].

Asique la solución de la desigualdad es el intervalo (−∞ ,5 ) .

Ejemplo 2. Resolver la desigualdad 3+7 x ≤2 x−9 .

Solución

3+7 x ≤2 x−9

7 x≤2 x−12 [Sumamos -3 a ambos lados.]

5 x≤−12 [Sumamos -2xa ambos lados.]

x≤−125

[Se multiplica ambos lados de la desigualdad anterior por 15

]

(−∞,−125 ]

EJEMPLO 3. Resolver 7≤2−5 x<9

Solución

7≤2−5 x<9 [Dada.]

5≤−5 x<7 [sumamos -2 a cada uno de los miembros.]

−1≥x>−75

[multiplicamos cada uno de los miembros por −15

]

Nótese que en el paso anterior la desigualdad se invierte, esto se debe a que hemos multiplicado la desigualdad por un número negativo.

−75

< x≤−1

Así que el conjunto de solución es (−75 ,−1 ]

EJEMPLO 16. Resolver ( x+2 ) (x−5 )˃0.

Solución. Las soluciones son los valores de x para los cuales los factores ( x+2 ) y (x−5) tienen el mismo signo. De la figura, vemos que la solución son estos x para los cuales

Vemos que las soluciones son los valores de xpara los cuales

x←2 ,o x>5 , por lo tanto el conjunto solución es (−∞ ,−2 )∪(5 ,+∞)

EJEMPLO 17. Resolver

2x−5x−2

<1

Solución. Reescribimos la desigualdad como

2x−5x−2

−1<0 [Restamos 1 de ambos lados.]

(2x−5 )−( x−2)x−2

<0 [resolvemos la fracción resultante]

x−3x−2

<0 [simplificamos.]

La solución son todos los valores de x para los cuales el cociente x−3x−2 es negativo, esto ocurre si

y solamente si el numerador y el denominador tienen signos opuestos. Esto sucede si y solamente si x esta en el intervalo (2,3).

Ejercicios primera lista

Resolver las siguientes desigualdades y bosquejar la solución en una recta numérica 1. 3 x−2<82. 1

5x+6≥14

3. 4+5 x≤3 x−74. 2 x−1>11 x+9 5.3≤4−2 x<76 . −2≥3−8 x≥−11

7. xx−3

<4.

8. x8−x

≥−2.

9. 3x+1x−2

<1.

10. 12 x−34+x

>1

11. 42−x

≤1

12. 3x−5

≤2

13. ( x−4 )(x+2)>0

14. ( x−3 )( x+4)<0

15. x2−9 x+20≤016. 2−3 x+x2≥0.

17. 2x< 3x−4 .

18. 1x+1

≥3

x−2 .VALOR ABSOLUTO

El siguiente teorema se considera como valido

Algunas propiedades básicas del valor absoluto se enuncian en el siguiente teorema.

DEFINICIÓN El valor absoluto o magnitud de un número real denotado por a es |a| y se define por

|a|=asi a≥0

|a|=−asi a<0

Teorema. Para cualquier número real a

√a2=¿a∨¿

1.2.3 teorema. Sia y b sonnumerosreales , entonces

(a) −|a|≤a≤|a|

(b) |ab|=|a|∨b∨¿

(c) |ab|=|a||b|

1.2.4 TEOREMA Si A y B son puntos en una línea de coordenadas con las coordenadas a y b, respectivamente, entonces la distancia d entre A y B es d=¿b−a∨¿

EJEMPLO 2. Resolver |x−3|= 4.

Solución. Dependiendo de si x−3 es positivo o negativo, la ecuación |x−3 |= 4 se puede escribir como

x−3=4 o− (x−3 )=4 , respectivamente

La solución de estas dos ecuaciones da x=7 y x=−1

EJEMPLO 3. Resolver |x−3 |¿4.

Solución. De la parte (a) del Teorema de valor absoluto la desigualdad puede reescribirse como

−4<x−3<4 sumando 3 a ambos miembros de la desigualdad

obtenemos

−4+3<x<4+3

−1<x<7

Geométricamente, la solución se compone de todos los x

en el intervalo (−1,7)

EJEMPLO 4 Resolver |x+4|≥2.

Solución. De la parte (b) del Teorema anterior de desigualdades de valor absoluto con ≥ en lugar de ¿, la solución se compone de todos los x que satisfacen

1.2.5 TEOREMA Paracualquier numeroreal x , y a y cualquier numero positivo k

(a)|x−a|¿k Si y solo si a−k< x<a+k

(b) ¿ x−a|¿k Si y solo si x<a−k o x>a+k

x+4≤−2o x+4≥2 , por lo tanto

Resolviendo estas desigualdades, obtenemos

x≤−6o x ≥−2

Geométricamente, las soluciones se compone de todos los x en el conjunto (−∞ ,−6 ¿ ∪¿.

Ejemplo 5. Resolver

1|2 x−3|

>5

Solución. Observar en primer lugar que x=32

no es una solución, ya que se traduce en una

división por cero. Con esto en mente, y utilizando las propiedades

|2 x−3|¿15

|2(x−32)|¿15

[Factor fuera del coeficiente dex.]

|2|∨x−32

|¿15

[Teorema ]

¿ x−32∨¿ 110

[Hemos multiplicado por ambos lados 1/|2|=1/2 .]

−110

<x−32< 110

[Teorema]

75< x< 8

5 [Hemos sumado 3/2 en ambos miembros.]

ahora Si elimináramos el valor de x=32

, vemos que la solución se compone de todos los x que

satisfacen 75< x< 3

2 o 32<x< 8

5

Geométricamente. la solución consiste en el conjunto de todos los x en el conjunto compuesto

( 75 , 32 )∪( 32 , 85 )

En los ejercicios 3-10, encontrar todos los valores de x para los que la ecuación dada es verdadera.

3.|x−3|=3−x .4.|x+2|=x+2

5.|x2+9|=x2+9.6.|x2+5 x|=x2+5 x .

7.|3 x2+2 x|=x|3 x+2|.

8.|6−2x|=2|x−3|.

9.√ ( x+5 )2=x+5

10.√(3 x−2 )2=2−3 x

En los Ejercicios resuelve para x.

17.|6 x−2|=7.18.|3−2x|=11 .

19.|6 x−7|=|3+2 x|.20.|4 x+5|=|8 x−3|.

21.|9 x|−11=x22.2 x−7=|x+1|.

23.| x+52−x|=624.|x−3x+4 |=5En los Ejercicios 25-44, resolver para x y expresar la solución en términos de intervalos. Para ejercicios siguientes.

Utilice el hecho de que |a|¿|b|(o≤) si y sólo si a2<b2(o ≤).

TEOREMA 6. Paracualquier numeroreal , a y b , (desigualdad del triangulo)

|a+b|≤|a|+|b|

25.|x+6|<3.26.|7−x|≤5.

27.|2 x−3|≤628.|3 x+1|<4.

29.|x+2|>130.|12 x−1|≥231.|5−2 x|≥432.|7 x+1|>3.

33.1

|x−1|<234. 1

|3x+1|≥5

35.3

|2 x−1|≥436.

2|x+3|

<1

37.|x+3|<|x−8|38.|3x|≤|2x−5|.

39.|4 x|≥|7−6 x|.40.|2x+1|>|x−5|.

41.|x−12x+12

|<142.|3−2 x1+ x |≤4.

43.1

¿ x−4∨¿<1

¿ x+7∨¿¿¿

44.1

¿ x−3∨¿−1

¿ x+4∨¿≥0¿¿

FUNCIONES

Si x es un elemento en el dominio de una función f , entonces el elemento en el contradominio que f asocia con x se denota por el símbolo f (x) (léase “ f of x”) y se llama la imagen f de x, o el valor de f enx .

FUNCIÓN DEFINIDA POR FÓRMULAS

DEFINICIÓN 1. Una función es un conjunto de pares ordenados de números (x , y ) en los que no existen dos pares ordenados diferentes con el mismo primer número. El conjunto de todos los valores posibles de x se llama dominio de la función, y el conjunto de todos los valores resultantes de y se llama contradominio de la función.

La fórmula

f ( x )=x2

Describe una función que asocia el número x2 con el númerox. Así que

f (3 )=32=9 [f asocia 9 con 3]

f (−2 )=(−2)2=4 [f asocia 4 con -2]

f (0 )=02=0 [f asocia 0 con 0]

f (√2 )=¿ [f asocia 2 con √2]

Ejemplo 1 Si f ( x )=3 x−4 , entonces,

f (0 )=3 (0 )−4=−4 f (1 )=3 (1 )−4=−1

f (−3 )=3 (−3 )−4=−13 , f (√5 )=3 (√5 )−4=3√5−4

Ejemplo 2 Si ∅ (x )=2x2−1 , entonces,

∅ (4 )=2¿

∅ (t )=2 t 2−1

∅ (k+1 )=2 (k+1 )2−1=2k2+4 k+1

∅ (k )+1=(2k 2−1 )+1=2k2

Ejemplo 3. Si

h ( x )= 1( x−1 )(x−3)

Hallar el dominio y el rango de h( x) .

entonces h ( x )noestá definido si x=1 o x=3 porque la división por cero no está permitida; de otro modo h( x) tiene un valor real. Así . El dominio de h( x) se compone de todos los reales excepto x=1 y x=3 , así en notación el intervalo del dominio es (−∞ ,1 )∪ (1,3 )∪ (3 ,+∞) .

Esto es mas fácil de comprender si observamos la grafica de la función. También es mas sencillo interpretar el domio y rango de una función como el ancho de la grafica y la altura de la misma respectivamente, sin embargo no debemos pasar por alto que la grafica que nos proporciona la computadora considera solo un intervalo de los números reales y el lector debe considerar todo el conjunto de los números reales.

Ejemplo 8 La función h ( x )= x2−4x−2

(2 )

tiene un valor real para todo x excepto en x=2 , donde tenemos una división por cero:

h (2 )=22−42−2

=00

Así pues, el dominio de h se compone de todos los x excepto x=2. Sin embargo podemos rescribirlo como

h ( x )= ( x−2 ) ( x+2 )(x−2 )

(3 )

de donde obtenemos

h ( x )=x+2

que se define en x=2 como h (2 )=2+2=4

Asi que nuestra simplificación algebraica ha alterado el dominio de la función, para no alterar el dominio de h debemos restringir el dominio en h y escribir

h ( x )=x+2 , x ≠2.

Ejemplo 9. Determine el dominio de la función g definida por g ( x )=√ x (x−2).

g esta definida cuando x (x−2)≥0, asi el dominio de la función consta de todos los x para los que se satisface la desigualdad anterior. Para esto resolvemos la desigualdad, la cual se cumple cuando

Caso i) si x≥0 y x−2≥0. Esto es

x≥0 y x≥2

Estas ultimas se satisfacen cuando x≥2 , es decir x esta en el intervalo [2 ,+∞ ).

Caso ii) si x≤0 y x−2≤0.Esto es,

x≤0 y x≤2

Las cuales se satisfacen cuando x≤0, es decir x esta en el intervalo (−∞ , 0 ]. Por lo tanto la solución

general de la desigualdad es (−∞ , 0 ]∪ [2 ,+∞ ) . Así el dominio de la función es (−∞ , 0 ]∪ [2 ,+∞ ), la cual es la solución de la desigualdad.

Funciones polinomiales.Muchas de las funciones con las que se trabaja en cálculo se construyen al realizar operaciones aritmeticas sobre funciones potencia. De especial interés son las funciones potencia donde n es un entero no negativo. Para n=0,1,2,3 ,… la función f ( x )=xn se denomina funcion polinomial de un solo término. Al usar las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación es posible construir funciones polinomiales con muchos términos. Por ejemplo, si f 1 ( x )=x3 , f 2 ( x )=x2, f 3 ( x )=x , y f 4 ( x )=1. Entonces

f 1 ( x )−f 2 (x )+ f 3 (x )+ f 4 ( x )=x3−x2+x+1

En general, una funcion polinomial y=f (x ) es una función de la forma

f ( x )=an xn+an−1 x

n−1+…+a0 , donde n es un entero no negativo y los coeficientes a i , parai=0,1,2 ,…,n son numeros reales.

El dominio de cualquier función polinomial f es el conjunto de todos los números reales (−∞,∞).

DESCRIPCION FORMULA GENERAL

Polinomio lineal a0+a1 x (donde a1≠0)

Polinomio Cuadrático a0+a1 x +a2 x2 (donde a2≠0)

polinomio cúbico a0+a1 x +a2 x2 +a3 x

3 (donde a3≠0)

Una función f (x) que se expresa como una razón de dos polinomios f ( x )= P (x)Q(x )

, conQ(x )≠0

se llama función racional.

El dominio de f consta de todos los x donde el denominador es diferente de cero.

Las funciones racionales son parte de una clase más amplia de funciones llamadas funciones algebraicas explícitas. Estas son funciones que pueden evaluarse utilizando un numero finito de operaciones (sumas, restas…). Por ejemplo

f ( x )=x2 /3= 3√¿¿ y g ( x )=(x−3) 4√xx5+√ x2+1

Todas las funciones restantes se dividen en dos categorías, las funciones algebráicas implícitas y función trascendental.

Definición: operaciones con funciones

Si f y g son dos funciones, entonces la suma f +g , la diferencia f−g, el producto fg

y el cociente f /g se definen como sigue:

( f +g ) (x )=f ( x )+g (x )

( f−g ) ( x )=f ( x )−g ( x )

( fg ) ( x )=f (x ) g ( x )

( fg ) ( x )= f (x )g (x)

,con g (x)≠0

. Por tanto, el dominio de las funciones f +g , f−g , y f . g es el conjunto de numeros reales que son comunes a ambos dominios; es decir, el dominio es la intersección del dominio de f con el dominio de g . En el caso del cociente f /g, el dominio también es la interseccion de los dos dominios, pero tambien es necesario excluir cualquier valor de x para que el denominador g ( x )sea cero. En otras palabras, si el dominio de f es el conjunto D1 y el dominio de g es el conjunto D2, entonces el dominio de f +g , f−g , y f . g es D1∩D2, y el dominio de f /g es

{x │xϵ D1∩D2 , g (x)≠0}

En los Ejercicios 5-22, busque el dominio de la función dada.

5. f ( x )= 1x−3

6. f ( x )= 15 x+7

.

7.g ( x )=√x2−38. g ( x )=√x2+3 .

9.h ( x )=√ x−1x+2

10.h ( x )=√x−3 x2 .

11.∅ (x )= x|x|+1

.12.∅ ( x )=√3√ x

13.F ( x )=√ x−5+√8−x .

14.F ( x )=3√x−√x2−4.

15.G ( x )=√x2−2 x+5 .

16.G ( x )=√ x2−4x−4

.

17. f ( x )= x|x|

.18. f ( x )= x2−1x+1

.

19.g ( x )=sin√x 20.g ( x )=cox1x.

21.h ( x )= 11−sin x

22.h ( x )= 32−cosx

En los Ejercicios 23-36, encontrar el dominio y el rango de la función dada.

23. f ( x )=√3−x .24. f ( x )=√3 x−2.

En los Ejercicios 41-48, encontrar todos los valores de x para que f (x)=a .

41. f (x )=√3 x−2 ;a=2

42. f (x )= 1x+3

; a=5.

43. f (x )= x2+5 ;a=7.

44. f (x )= x

x2+3;a=1

4.

45. f (x )=cosx ;a=1.

46. f (x )=sin 1x;a=1.

En los Ejercicios 54-60, simplificar la función de cancelación de factores, pero asegúrese de no alterar el dominio.

54. f ( x )= x2−4x+2

55. f ( x )=( x+2 ) (x2−1 )(x+2 ) ( x+1 )

56. f ( x )= x2+1x

57. f ( x )= x+1+√x+1√ x+1

58. f ( x )= x2−9x−3

59. f ( x )= x3+2 x2−3 x( x−1 ) (x+3 )

60. f ( x )= x+√x√x

Definición. Composición de funciones

Si f y g son dos funciones, la composición de f y g denotada por f ∘ g, es la función definida por ( f ∘ g ) (x )=f (g ( x )), de forma análoga La composición de de g y f es la función definida por (g∘ f ) (x )=g ( f ( x ))

Ejemplo: Dos composiciones si f ( x )=x2+3 x g ( x )=2 x2+1.

encuentre

a) ( f ∘ g ) (x )=f (g ( x ))

b) (g∘ f ) (x )=g ( f ( x ))

Solución

a) Para hacer énfasis se sustituye x por el conjunto de paréntesis () y f se escribe en la forma f ( x )=()2+3 () . Entonces, para evaluar ( f ∘ g ) (x ), cada conjunto de paréntesis se llena con g(x ). Obtenemos.

( f ∘ g ) (x )=f (g ( x ) )=f (2 x2+1)

¿(2x2+1)2+3(2x2+1)

¿4 x4+4 x2+1+3.2 x2+3.1

¿4 x4+10 x2+4

b) En este caso, g se escribe en la forma g ( x )=2()2+1 . Así

(g∘ f ) (x )=g ( f ( x ) )=g(x2+3 x)

¿2(x2+3 x)2+1

¿2 (x4+6 x3+9 x2)+1

¿2 x4+12x3+18 x2+1

Dominio de una composiciónPara evaluar la composición ( f ∘ g ) (x )=f (g ( x ) ) el numero g(x ) debe estar en el dominio de f . Por ejemplo, el dominio de f ( x )=√x es[0 , ∞), y el dominio de g ( x )=x−2 es el conjunto de numeros reales (−∞ ,∞ )