1.1 matematicas i

Departamento del Ámbito Científico – Tecnológico

ESPA/ESPAD

Matemáticas Nivel 1.1

Centro de Educación de Personas Adultas – GIJÓN

ESPA/ESPAD Nivel 1.1 – Matemáticas I Página | 2

NÚMEROS NATURALES ............................................................................................................................ 7

SÍMBOLOS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL .......................................................................................... 7

VALOR RELATIVO ....................................................................................................................................... 7

NÚMEROS NATURALES ............................................................................................................................... 7

OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES ............................................................................................ 8

Suma de números naturales ............................................................................................................. 8

RESTA DE NÚMEROS NATURALES ................................................................................................................... 8

Propiedades de la resta .................................................................................................................... 8

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES ..................................................................................................... 8

Propiedades de la multiplicación ...................................................................................................... 9

DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES ............................................................................................................... 9

Propiedades de la división ................................................................................................................ 9

POTENCIACIÓN ....................................................................................................................................... 10

Propiedades de las potencias ......................................................................................................... 10

Forma exponencial de escribir un número ...................................................................................... 10

RADICACIÓN .......................................................................................................................................... 11

Propiedades de las raíces ............................................................................................................... 11

JERARQUÍA EN LAS OPERACIONES ......................................................................................................... 11

DIVISORES DE UN NÚMERO ................................................................................................................... 12

MÚLTIPLO DE UN NÚMERO ................................................................................................................... 12

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD .................................................................................................................. 12

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS ...................................................................................................... 13

NÚMEROS DECIMALES ........................................................................................................................... 13

DECIMALES FINITOS Y SU EXPRESIÓN COMO FRACCIÓN DECIMAL ....................................................... 14

DECIMALES INFINITOS, FRACCIONES GENERATRICES ............................................................................ 15

Periódicos puros ............................................................................................................................. 15

Periódicos mixtos: .......................................................................................................................... 15

Decimales Infinitos no periódicos: Irracionales ............................................................................... 15

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES INFINITOS .................................................................... 15

COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES ............................................................................................ 16

NÚMEROS DECIMALES EQUIVALENTES:.......................................................................................................... 16

COMPARAR NÚMEROS DECIMALES CON DIFERENTE PARTE ENTERA ...................................................................... 16

COMPARAR NÚMEROS DECIMALES CON DIFERENTE PARTE DECIMAL .................................................................... 16

APROXIMACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES........................................................................................... 17

APROXIMACIÓN Y REDONDEO: ................................................................................................................... 17

Aproximación por Truncamiento: ................................................................................................... 17

Aproximación por Redondeo .......................................................................................................... 17

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO DECIMAL......................................................................... 18

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES ........................................................................................... 18

SUMA DE NÚMEROS DECIMALES ................................................................................................................. 18

RESTA DE NÚMEROS DECIMALES ................................................................................................................. 18

PRODUCTO DE NÚMEROS DECIMALES ........................................................................................................... 18


Multiplicación de números decimales por la unidad seguida de ceros ............................................ 18

Multiplicación de dos números decimales ...................................................................................... 19

DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES. ............................................................................................................ 19

División de un número decimal por la unidad seguida de ceros ...................................................... 19

El dividendo es un número decimal y el divisor un entero ............................................................... 19

El dividendo es un número entero y el divisor es el número decimal ............................................... 20

Dividendo y divisor son números decimales .................................................................................... 20

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL. ................................................................................................................ 21

UNIDADES DE LONGITUD ........................................................................................................................... 21

UNIDADES DE SUPERFICIE .......................................................................................................................... 22

UNIDADES AGRARIAS: ............................................................................................................................... 22

VOLUMEN Y CAPACIDAD ........................................................................................................................... 23

UNIDADES DE CAPACIDAD ......................................................................................................................... 24

UNIDADES DE MASA................................................................................................................................. 25

RELACIÓN ENTRE UNIDADES DE VOLUMEN, MASA Y CAPACIDAD .......................................................................... 26

EXPRESIÓN DE MEDIDAS EN FORMA COMPLEJA E INCOMPLEJA ........................................................... 27

RECTAS Y ÁNGULOS ............................................................................................................................... 29

PLANO, PUNTO Y RECTA ............................................................................................................................ 29

POSTULADOS DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA ................................................................................................. 29

SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS ...................................................................................................................... 29

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO ....................................................................................... 30

ÁNGULOS ............................................................................................................................................... 30

ELEMENTOS DE UN ÁNGULO ...................................................................................................................... 30

TIPOS DE ÁNGULOS .................................................................................................................................. 31

Según la posición de sus lados ........................................................................................................ 31

Atendiendo al valor de la amplitud de giro ..................................................................................... 32

Clasificación de los ángulos según su posición ................................................................................ 32

SISTEMA SEXAGESIMAL ......................................................................................................................... 34

MEDIDAS DE TIEMPO Y AMPLITUD ............................................................................................................... 34

Expresión de unidades de tiempo en forma decimal y sexagesimal................................................. 35

OPERACIONES CON UNIDADES DE TIEMPO .................................................................................................... 36

Suma de unidades de tiempo: ........................................................................................................ 36

Resta de unidades de tiempo: ........................................................................................................ 36

Multiplicación de unidades de tiempo ............................................................................................ 38

POLÍGONOS............................................................................................................................................ 39

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS .............................................................................................................. 39

TRIÁNGULOS .......................................................................................................................................... 40

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS: ............................................................................................................ 41

Según la longitud de los lados los triángulos se clasifican en: ......................................................... 41

Atendiendo a la amplitud de sus ángulos pueden ser: .................................................................... 41

CUADRILÁTEROS .................................................................................................................................... 42


PARALELOGRAMOS: ................................................................................................................................. 42

Cuadrado: ...................................................................................................................................... 42

Rectángulo: .................................................................................................................................... 42

Rombo: .......................................................................................................................................... 42

Romboide: ...................................................................................................................................... 42

TRAPECIOS: ........................................................................................................................................... 43

Trapecio rectángulo: ...................................................................................................................... 43

Trapecio isósceles:.......................................................................................................................... 43

Trapecio escaleno: ......................................................................................................................... 43

TRAPEZOIDES ......................................................................................................................................... 43

PERÍMETRO Y ÁREA DE UNA FIGURA PLANA ......................................................................................... 44

ÁREAS DE LOS CUADRILÁTEROS............................................................................................................. 44

ÁREA DEL RECTÁNGULO ............................................................................................................................ 44

ÁREA DEL CUADRADO ............................................................................................................................... 44

ÁREA DEL ROMBO ................................................................................................................................... 45

ÁREA DEL ROMBOIDE ............................................................................................................................... 45

EL ÁREA DE UN TRAPECIO .......................................................................................................................... 45

ÁREA DEL TRIÁNGULO .............................................................................................................................. 46

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR ................................................................................................................ 46

LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO ........................................................................................................ 47

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO .............................................................................................. 47

ÁREA DEL CÍRCULO Y LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA.................................................................................... 48

ÁREA CORONA CIRCULAR .......................................................................................................................... 48

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR ....................................................................................................................... 48

ÁREA DE POLÍGONOS IRREGULARES ...................................................................................................... 49

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS COMPUESTAS ........................................................................................... 49

MANEJO CORRECTO DE LOS INSTRUMENTOS Y MATERIALES DE MEDIDA ............................................ 50

TRAZADO DE PARALELAS: .......................................................................................................................... 50

TRAZAR PERPENDICULARES: ....................................................................................................................... 50

TRAZAR POLÍGONOS REGULARES: HEXÁGONO ................................................................................................. 50

DIVIDIR UN SEGMENTO A LA MITAD Y DIBUJAR LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO .......................................................... 51

FRACCIONES ........................................................................................................................................... 53

CONCEPTO DE FRACCIÓN ........................................................................................................................... 53

La fracción como parte de la unidad: .............................................................................................. 53

La fracción como cociente: ............................................................................................................. 53

La fracción como operador: ............................................................................................................ 53

La fracción como razón y proporción .............................................................................................. 54

TIPOS DE FRACCIONES. ............................................................................................................................. 54

Fracción unidad .............................................................................................................................. 54

Fracción propia .............................................................................................................................. 54

Fracción impropia .......................................................................................................................... 54

Fracciones decimales...................................................................................................................... 54

FRACCIONES EQUIVALENTES ....................................................................................................................... 55

Propiedad fundamental de las fracciones equivalentes: ................................................................ 55

Obtención de fracciones equivalentes a una fracción dada............................................................. 55


AMPLIFICAR FRACCIONES: MÉTODO DE LOS PRODUCTOS SUCESIVOS .................................................................... 55

SIMPLIFICAR FRACCIONES: MÉTODO DE DIVISIONES SUCESIVAS........................................................................... 56

REDUCIR A COMÚN DENOMINADOR ............................................................................................................. 56

Método de los productos cruzados ................................................................................................. 56

COMPARACIÓN DE FRACCIONES .................................................................................................................. 57

OPERACIONES CON FRACCIONES .................................................................................................................. 57

SUMA DE FRACCIONES CON EL MISMO DENOMINADOR ..................................................................................... 58

Suma de fracciones con diferente denominador ............................................................................. 58

Suma de un número entero y una fracción: .................................................................................... 58

Resta de fracciones de igual denominador .................................................................................... 59

Resta de fracciones con diferente denominador ............................................................................. 59

Producto de fracciones ................................................................................................................... 59

FRACCIÓN INVERSA .................................................................................................................................. 60

El cociente de dos fracciones .......................................................................................................... 60

LA FRACCIÓN COMO RAZÓN Y OPERADOR: TANTO POR CIENTO............................................................................ 61

FRACCIÓN COMO OPERADOR: TANTO POR CIENTO ........................................................................................... 61

PROPORCIONALIDAD ............................................................................................................................. 63

RAZÓN .................................................................................................................................................. 63

PROPORCIÓN ......................................................................................................................................... 63

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES ......................................................................................... 63

CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD ............................................................................................................ 63

CUARTO PROPORCIONAL........................................................................................................................... 64

CÁLCULO DEL CUARTO PROPORCIONAL ......................................................................................................... 64

PROPORCIONALIDAD DIRECTA .............................................................................................................. 64

APLICACIONES DEL CONCEPTO PROPORCIONALIDAD ......................................................................................... 65

REGLA DE TRES........................................................................................................................................ 65

PORCENTAJES ......................................................................................................................................... 65

PROBLEMAS DE IVA ................................................................................................................................. 67

PROPORCIONALIDAD INVERSA .............................................................................................................. 69

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES ............................................................................................ 69

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA .................................................................................................................. 69

ESTADÍSTICA .......................................................................................................................................... 71

POBLACIÓN, MUESTRA, INDIVIDUO, VARIABLE ESTADÍSTICA ............................................................... 71

TIPOS DE VARIABLES .............................................................................................................................. 71

CUALITATIVAS: ....................................................................................................................................... 71

CUANTITATIVAS: ..................................................................................................................................... 71

Discretas ........................................................................................................................................ 72

Continuas ....................................................................................................................................... 72

RECUENTO DE DATOS ............................................................................................................................ 72

FRECUENCIAS. TABLAS DE FRECUENCIAS ....................................................................................................... 72

FRECUENCIA ABSOLUTA ............................................................................................................................ 73

LA FRECUENCIA RELATIVA .......................................................................................................................... 73


FRECUENCIA RELATIVA EXPRESADA COMO TANTO POR CIENTO............................................................................ 73

MEDIDAS ESTADÍSTICAS: MEDIA ARITMÉTICA, MODA .......................................................................... 74

MODA .................................................................................................................................................. 74

MEDIA ARITMÉTICA ................................................................................................................................. 74

Media aritmética de pocos datos ................................................................................................... 74

Media aritmética de muchos datos y variable expresada con valores discretos .............................. 74

Valores de la variable expresados con intervalos: ........................................................................... 75

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS ....................................................................................................................... 75

DIAGRAMA DE BARRAS ............................................................................................................................. 75

HISTOGRAMAS. ...................................................................................................................................... 76

DIAGRAMA DE SECTORES .......................................................................................................................... 77

OTROS GRÁFICOS: POLÍGONOS DE FRECUENCIAS, PICTOGRAMAS, CARTOGRAMAS ............................ 78

POLÍGONO DE FRECUENCIAS: ..................................................................................................................... 78

CARTOGRAMA ........................................................................................................................................ 78

PIRÁMIDES DE POBLACIÓN ......................................................................................................................... 78

PICTOGRAMAS ....................................................................................................................................... 79

Sistema de numeración decimal


NÚMEROS NATURALES

SÍMBOLOS DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

Los símbolos que se usan actualmente en el sistema decimal de numeración son los siguientes:{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. A estos símbolos básicos se les llama cifras o dígitos.

Las cifras de un número tienen un valor absoluto, que coincide con el nombre de la cifra, y un valor posicional o relativo.

VALOR RELATIVO

El valor relativo de una cifra depende del lugar que ocupa en el número. Las cifras de un número se ordenan de derecha a izquierda.

MILLONES MILLARES UNIDADES

9ª 8ª 7ª 6ª 5ª 4ª 3ª 2ª 1ª

Centena Decena Unidad Centena Decena Unidad centena decena unidad

CM DM UM cM dM uM c d u

100 000 000 10 000 000 1 000 000 100 000 10 000 1000 100 10 1

Ejemplo: 4321 = 4 uM + 3c + 2d + 1u = 4000 + 300 + 20 + 1

Según indica la Real Academia Española al escribir números de más de cuatro cifras, para facilitar su lectura, se agruparán de tres en tres, empezando por la derecha, y separando los grupos por espacios en blanco: 7 654 321 (y no por puntos o comas). Los números de cuatro cifras se escriben sin espacios de separación: 2458.

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales se utilizan para contar los elementos de un conjunto, número cardinal. La posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto, ordinal, también se expresa con números naturales.

El conjunto de números naturales se le suele designar con la letra n.

n = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}



OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES

Suma de números naturales

Los términos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

Propiedades de la suma

1) Interna: la suma de dos números naturales nos da como resultado otro número natural.

a + b € N

2) Asociativa: la asociación de los sumandos se expresa colocando entre un paréntesis los sumandos que operamos en primer lugar.

(a + b) + c = a + (b + c)

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

5 + 5 = 2 + 8 → 10 = 10

3) Conmutativa: el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.

a + b = b + a

2 + 5 = 5 + 2

7 = 7

4) Elemento neutro: el elemento neutro es el número que sumado a cualquier otro no lo modifica. El elemento neutro para la suma es el cero, 0.

a + 0 = a

3 + 0 = 3

RESTA DE NÚMEROS NATURALES

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia.

Propiedades de la resta

1) No es una operación interna: 2 − 5 N

2) No es conmutativa: 5 − 2 ≠ 2 – 5

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

a · b = c Los términos a y b se llaman factores, multiplicando y multiplicador. El resultado, c, producto.

El multiplicando es el número que se repite. El multiplicador señala las veces que se repite el multiplicando. Ejemplo: 4 x 3 = 4 + 4 + 4



Propiedades de la multiplicación

1) Interna: a · b € N

2) Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)

3) Conmutativa: a · b = b · a

4) Elemento neutro: el elemento neutro del producto es el 1:a · 1 = a

5) Distributiva respecto a la suma y la resta:

a · (b + c) = a · b + a · c a · (b − c) = a · b - a · c

6) Factor común: sacar factor común es consecuencia de la propiedad

distributiva:

a · b + a · c = a · (b + c)→2 · 3 + 2 · 5 = 2 · (3 + 5)

DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES

Los términos que intervienen en una división se llaman dividendo, D; y divisor, d. El resultado, cociente, c.

Dividendo (D) = divisor (d) · cociente ( c)

División entera: la división se llama entera cuando el resto es diferente de cero. La división entera cumple la propiedad:

Dividendo = divisor · cociente + resto D = d · c + r

Propiedades de la división

Entre otras propiedades, la división cumple las siguientes:

1. División exacta: cuando una división es exacta se cumple D = d · c

Ejemplo: 15 : 3 = 5 → 15 = 5 · 3

2. División entera: el resto, r, no es cero. Por tanto D = d · c + r (r = resto)

Ejemplo: 17 : 3 = 5 · 3 + 2

3. Si multiplicamos o dividimos el dividendo y el divisor por un mismo número el resultado de la división no varía:

Ejemplo: 12 : 3 = 4 → 12 · 5 : 3 · 5 = → 60 : 15 = 4

4. No es una operación interna: el resultado de una división pude ser un número no natural.

Ejemplo: 2 : 6 N

5. No cumple la propiedad conmutativa:

Ejemplo: 6 : 2 ≠ 2 : 6

6. No se puede dividir entre 0, no se reparte entre nada. O también: a : 0 = ∞



POTENCIACIÓN

La potenciación indica el producto de un número por sí mismo. La operación potenciación tiene dos términos. Base: es el número que se multiplica. Exponente:

indica la cantidad de veces que se multiplica la base.

Ejemplo: 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 → 2 es la base de la potencia

→ 5 es el exponente

Expresión de la potencia Se lee Resultado

32 tres al cuadrado 3 · 3 = 9

23 dos al cubo 2 · 2 · 2 = 8

24 dos a la cuarta 2 · 2 · 2 · 2 = 16

105 diez a la quinta 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100 000

Propiedades de las potencias

1. La potencia con exponente igual a 0 es la unidad: a0 = 1

2. Todo número se puede expresar como potencia con exponente 1: a = a1

3. Las potencias que tienen la misma base se pueden multiplicar y dividir:

am · an = am + n Ejemplo: 23 · 24 = 23 + 4 = 27

am : an = am − n Ejemplo: 25 : 23 = 25 − 3 = 22

4. La potencia de otra potencia es igual al producto de los exponentes:

Ejemplo: (23)4 = 23 · 4 = 212

5. Producto y el mismo exponente. Ejemplo:32 · 42= (3 · 4)2

6. Cociente y el mismo exponente. Ejemplo: 82 : 42 = (8 : 4)2

Forma exponencial de escribir un número

El valor relativo de cada cifra en un número se puede expresar como potencia de diez 10n, el valor del exponente es igual al lugar que ocupa la cifra menos uno.

Unidad millón C millar D millar U millar Centenas Decenas Unidades

106 105 104 103 102 101 100= 1

Ejemplo. 3 416 027= 3 x 106 + 4 x 105 + 1 x 104 + 6 x 103 + 0 x 102 + 2 x 101 + 7 x 100



RADICACIÓN

La radicación es la operación inversa de la potenciación. Calcular la raíz cuadrada de un número a, que se denomina radicando, es calcular un número b, denominado raíz, tal que se cumpla lo siguiente:

abba 2

Ejemplo: √

De forma semejante se definen la raíz cúbica, cuarta, etc.

Ejemplo: √

Propiedades de las raíces

1) Raíz exacta: Ejemplo: 164416 2

2) Raíz entera: Ejemplo: 1164417 2

JERARQUÍA EN LAS OPERACIONES

Cuando tenemos que realizar operaciones combinadas debemos tener en cuenta la prioridad en el orden para realizar las operaciones que es el siguiente:

Ejemplos: 3 + 4 · 5 = 3 + 20 = 23

12 : 2 + 3 · 5 = 6 + 15 = 21

5 + (4 − 3) = 5 + 1 = 6

4 · (5 + 1) = 4 · 6 = 24

(7 − 3) · (4 − 2) = 4 · 2 = 8

5 · (5 − 2) – 3 · (4 −1) = 5 · 3 – 3 · 3 = 15 – 9 = 6

32 − 22 = 9 − 4 = 5

(7 − 2)2 + 4 · (2 + 1)2 = 52 + 4 · 32 = 25 + 4 · 9 = 25 + 36 = 61

1º Paréntesis y corchetes

2º Raíces y potencias

3º Multiplicaciones y divisiones

4º Sumas y restas



DIVISORES DE UN NÚMERO

Un número natural “a” es divisor de otro número natural “b”, cuando la división “b” entre “a” es exacta.

Si la división entre dos números es exacta decimos que existe entre ellos relación de divisibilidad.

Decir que 7 es divisor de 35 es lo mismo que decir 35 es divisible entre 7.

Algunas propiedades de la divisibilidad de números naturales son las siguientes:

Todos los números son divisibles entre uno. Ejemplo, 4 : 1 = 4

Todo número es divisor de sí mismo. Ejemplo, 7 : 7 = 1

La lista de divisores de un número es limitada: el mayor divisor de un número es el mismo número y el menor divisor es el 1.

MÚLTIPLO DE UN NÚMERO

Se dice que “b” es múltiplo de “a” si la división de “b” entre “a” es exacta.

Si 21 es múltiplo de 3 se cumple: 21:3 = 7 y el resto cero.

Matemáticamente se expresa así:

ab que se lee: “b” es múltiplo de “a”

Todo número es múltiplo de uno, porque cualquier número se puede conseguir

multiplicando uno por ese número: 7 = 1 x 7;

17 7 : 1 = 7

Todo número es múltiplo de sí mismo: 8 = 8 · 1 →

88 → 8 : 8 = 1

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Los criterios de divisibilidad nos permiten averiguar si un número es divisible por otro, sin necesidad de efectuar la división.

Un número es divisible entre 2, si la cifra de las unidades es 0 o cifra par.

El 28 es divisible entre 2, ya que la cifra de las unidades es, 8, par.

Un número es divisible entre 3, si la suma de sus cifras es 3 o un múltiplo de 3.

El 423 es divisible entre tres, ya que 4 + 2 + 3 = 9, y 9 es divisible por 3.

Un número es divisible entre 5, si la cifra de las unidades es 0 ó 5.

El 235 es divisible entre 5, porque acaba en 5.

Un número es divisible entre 10 si su última cifra es 0

20, 140, 1250 son divisibles entre 10.



Un número es divisible entre 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan el lugar par y la suma de las cifras que ocupan el lugar impar da 0, 11 ó múltiplo de 11.

El 45 243 es divisible entre 11.

Sumamos: 4 + 2 + 3 = 9; por otro lado sumamos: 5 + 4 = 9.

Restamos 9 - 9 = 0. Como da 0 podemos afirmar que el número 45 243 es divisible entre 11.

NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Un número primo es sólo divisible entre sí mismo y uno. Ejemplos: 2, 3, 5, 11, 13,… sólo son divisibles entre 1 y entre sí mismos.

Un número es compuesto cuando es divisible por varios números además de él mismo y el uno. Ejemplo: el 12 es compuesto, porque 12 es divisible entre 1, 2, 4, 6, y 12.

Los siguientes números son primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Si quieres determinar los números primos entre 1 y 100, puedes proceder de forma siguiente: escribes todos los números ente 1 y 100; tachas los múltiplos de 2, 3, 5, 7

NÚMEROS DECIMALES

Los números decimales expresan el resultado de las divisiones inexactas. El número decimal expresa el resultado de dividir la unidad o un número natural entre 10, 100, 1000

1 : 10 = 0,1 125 : 10 = 12,5 450 : 10 = 45,0 = 45

1 : 100 = 0,01 125 : 100 = 1,25 450 : 100 = 4,50 = 4,5

1 : 1000 = 0,001 125 : 1000 = 0,125 45 : 1000 = 0,045

El número decimal tiene dos partes separadas por una coma1.

Parte entera: formada por las cifras situadas a la izquierda de la coma.

Parte decimal: cifras situadas a la derecha de la coma.

Las cifras de la parte entera se ordenan de derecha a izquierda.

Las cifras de la parte decimal se ordenan de izquierda a derecha.

1El punto se utiliza para separar la parte entera de la parte decimal de un número cuando

utilizamos una calculadora.



DECIMALES FINITOS Y SU EXPRESIÓN COMO FRACCIÓN DECIMAL

Una división se puede expresar en forma de fracción. La fracción expresa una división sin hacer.

El dividendo será el numerador de la fracción y el divisor, el denominador

División =divisor

dividendo Fracción =

rdenominado

numerador

Todos los números decimales finitos se pueden expresar como una fracción decimal que tiene como denominador la unidad seguida de ceros.

NUMERO DECIMAL FRACCIÓN DECIMAL FRACCIÓN DECIMAL

21,05 2105 : 100 = 10

2105 21,05 = 21

100

05

1,25 125 : 100 = 100

125 1,25 = 1

100

25

0,015 15 : 1000 = 1000

15 0,015 =

1000

15

La relación entre un cuarto, un medio y tres cuartos de una unidad dividida en centésimas y su expresión en forma decimal puede representarse así:

1

unidad

1 : 100 = 0,01

0,01 = una centésima

Una centésima = 100

1= 0,01 Un medio =

2

1 = 0,50

Un cuarto = 4

1 = 0,25 Tres cuartos =

4

3 = 0,75



DECIMALES INFINITOS, FRACCIONES GENERATRICES

Los decimales finitos o infinitos con cifras repetidas pueden expresarse como fracción. La fracción que representa al número decimal se llama fracción generatriz

Los números decimales cuyas cifras decimales se repiten son decimales periódicos. Los decimales periódicos se clasifican en dos grupos: puros y mixtos.

Periódicos puros

La cifra o cifras de la parte decimal se repiten inmediatamente después de la coma. La cifra o cifras que se repiten se llaman periodo. Un arco sobre las cifras señala el periodo. Los decimales periódicos tienen fracción generatriz.

Ejemplo: 1,3333… = 3,1

= 9

12

9

113

Periódicos mixtos:

El periodo no empieza inmediatamente después de la coma. Los números decimales periódicos mixtos también tienen fracción generatriz. Ejemplos:

2,13333… = 3,12… =

90

192

90

21213

2,03333… = 3,02… =

90

183

90

20203

Decimales Infinitos no periódicos: Irracionales

Los números que tienen infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente

no se pueden expresar como fracción. Ejemplo: el número pi (que es

el resultado de dividir la longitud de una circunferencia entre su ancho o diámetro. Otro

ejemplo de decimal infinito irracional es el resultado de√ .

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS DECIMALES INFINITOS

Decimales infinitos

Sí tienen fracción generatriz No tienen fracción generatriz

Periódicos No periódicos− Irracionales

Puros Mixtos = 3,141 592…número pi

= 1,618 033…número Fi, áureo

√ = 1,414 213…

e = 2,718 281 8… número Euler - Napier



COMPARACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Dados dos números decimales podemos indicar si son iguales o equivalentes y, en caso contrario, cuál de ellos es el mayor o el menor.

NÚMEROS DECIMALES EQUIVALENTES:

Los números: 4,5 − 4,50 − 4,500 son equivalentes.

5 décimas = 50 centésimas = 500 milésimas.

Por lo tanto, podemos escribir: 4,5 = 4,50 = 4,500

Todo número natural se puede expresar en forma decimal: 12 = 12,00

Cuando utilizamos el formato moneda para indicar los precios; por ejemplo, 4 € se puede escribir, 4,00 €

COMPARAR NÚMEROS DECIMALES CON DIFERENTE PARTE ENTERA

Los números decimales que tienen la parte entera distinta, se ordenan comparando su parte entera. Ejemplo: 3,125 es mayor que 2,925; porque 3 es mayor que 2 (3 > 2).

COMPARAR NÚMEROS DECIMALES CON DIFERENTE PARTE DECIMAL

Para facilitar la percepción de la diferencia entre los números, añadimos ceros para que todos los números a comparar tengan la misma cantidad de cifras decimales.

Ejemplo: comparamos 7,003 – 7,03 – 7,3

Añadimos ceros Valor parte decimal

7,003 7,003 3 milésimas

7,03 7,030 30 milésimas

7,3 7,300 300 milésimas

Como 300 > 30 >3 entonces:

Ordenando de mayor a menor: 7,3 > 7,03> 7,003

Ordenando de menor a mayor: 7,003 < 7,03 < 7,3



APROXIMACIÓN DE NÚMEROS DECIMALES

Aproximar un número decimal es expresarlo con una cantidad de cifras decimales que nos facilite, por ejemplo, operar con el número.

Aproximar un número decimal a las unidades es expresarlo sin cifras decimales.

Aproximar a las décimas, quiere decir que el número tendrá una cifra decimal

Aproximar a las centésimas, quiere decir que el número tendrá dos cifras decimales

APROXIMACIÓN Y REDONDEO:

Aproximación por Truncamiento:

Aproximar por truncamiento es simplemente quitar las cifras decimales.

Cifra a la que se aproxima por truncamiento

Unidades décimas centésimas milésimas

7,43125 7 7,4 7,43 7,431

0,54765 0 0,5 0,54 0,547

5,55972 5 5,5 5,55 5,559

Aproximación por Redondeo

Se suma 1 a la última cifra que se deja si la siguiente, la cifra que se quita, es 5 o mayor de 5. Observa que cuando redondeamos, por ejemplo, a la segunda cifra decimal nos fijamos sólo en la tercera, primera que borramos, para decidir si sumamos uno.

. Cifra a la que se redondea

unidades décimas centésimas milésimas

7,43125 7 7,4 7,43 7,431

0,54765 1 0,5 0,55 0,548

5,55972 6 5,6 5,56 5,560

9,51524 10 9,5 9,52 9,515

9,99845 10 10,0 10,00 9,998



REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN NÚMERO DECIMAL

1 2 2,6 3 4

El número 2,6 está comprendido entre 2 y 3.

Dividimos el segmento comprendido entre 2 y 3 en 10 partes y tomamos 6.

OPERACIONES CON NÚMEROS DECIMALES

SUMA DE NÚMEROS DECIMALES

Para sumar números decimales colocamos sus cifras en columnas. Cada columna debe de estar formada por las cifras de igual orden. Es decir, unidades debajo de unidades; décimas, de décimas; etc.

0,125 + 4,2 + 14,657 =

0,125

4,2

+ 14,657

RESTA DE NÚMEROS DECIMALES

Las cifras de los números se colocan en columnas. Si la parte decimal de los números a restar no tiene la misma cantidad de cifras, se añaden ceros para que minuendo y sustraendo tengan la misma cantidad de cifras decimales.

45,6 – 3,285 = 3,256 – 2, 5 = 56 – 1,75 =

45,600

– 3,285

3,256

– 2,500

56,00

– 1,75

PRODUCTO DE NÚMEROS DECIMALES

Multiplicación de números decimales por la unidad seguida de ceros

Se desplaza la coma del multiplicando hacia la derecha tantas cifras como ceros tiene el multiplicador. Si el multiplicando no tiene cifras decimales suficientes para

desplazar la coma, se añaden ceros. Si añadimos ceros, la coma desaparece.



Ejemplos: desplazamos hacia la derecha la coma. Se añaden ceros si es necesario

4,125 x 100 = 412,5 0,0057 x 100 = 000,57 = 0,57

1,25 x 1000 = 1250 0,07 x 10 000 = 00700 = 700

Multiplicación de dos números decimales

Multiplicamos como si fueran enteros y separamos en el producto cifras decimales

La cantidad de cifras decimales que se separan es igual a la suma de las cifras decimales que tienen los dos factores, multiplicando y multiplicador.

Las cifras se cuentan de derecha a izquierda. Si el producto no tiene cifras suficientes para separar, se añaden ceros más una coma y un cero, 0.

5,82 x 4,3 = 25,026 2 + 1 = 3 cifras decimales separamos en el producto

0,25 x 0,003 = 0,000 75 2 + 3 = 5 cifras decimales separamos en el producto

NOTA: recuerda que al utilizar la calculadora las cifras decimales cero de la derecha en la parte decimal pueden no aparecer. Ejemplo: 2,25 x 0,8 = 1,800 = 1,8

DIVISIÓN DE NÚMEROS DECIMALES.

División de un número decimal por la unidad seguida de ceros

Se desplaza la coma del dividendo hacia la izquierda. Si no hay suficientes en el

dividendo, se añaden ceros más una coma seguida de un cero. Ejemplos:

387,6 : 100 = 3,876 912 : 1000 = 0,912 1,5 : 100 = 0,015 0,7 : 100 = 0,007

El dividendo es un número decimal y el divisor un entero

Dividimos como si fueran números enteros. Después de dividir, separamos en el cociente tantas cifras decimales como cifras decimales tiene el dividendo. Si es necesario se añaden ceros más coma cero.

6998,25 21 1,274 2 0,00384 12

069 333,25 007 0,637 024 0,000 32 068 14 00 052 00 105 000



El dividendo es un número entero y el divisor es el número decimal

Multiplicamos el dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor.

División inicial Número por el que se multiplica División que se hace

34 : 0,2 10 340 : 2

54 : 2,25 100 5400 : 225

Dividendo y divisor son números decimales

Multiplicamos dividendo y divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor.

El dividendo y divisor tienen el mismo número de cifras decimales:

División inicial Número por el que se multiplica División que se hace

3,5 : 0,7 = 10 35 : 7 =

0,18 : 0,04 = 100 18 : 4 =

0,005 : 0,002 = 1000 5 : 2 =

El dividendo tiene más cifras decimales que el divisor:

División inicial Número que multiplica División que se hace manualmente

1,625 : 1,25 = 100 162,5 : 125 =

0,0069 : 0,023 = 1 000 6,9 : 23 =

El divisor tiene más cifras decimales que el dividendo:

División inicial Número que multiplica División que se hace manualmente

67,5 : 2,25 = 100 6 750 : 225

0,04 : 0,025 = 1000 40 : 25 =

0,15 : 0,000 2 = 10 000 1500 : 2 =

Sistema métrico decimal


SISTEMA MÉTRICO DECIMAL.

UNIDADES DE LONGITUD

La unidad de longitud es el metro (m). El perímetro de los polígonos, la altura de las personas, montañas; la distancia entre ciudades, profundidad, el largo o ancho se miden con unidades de longitud.

Metro (m)

UNIDADES DE LONGITUD

NOMBRE Símbolo

MÚLTIPLOS

miriámetro mam

kilómetro km

hectómetro hm

decámetro dam

UNIDAD metro m

DIVISORES

decímetro dm

centímetro cm

milímetro mm

Convertir una unidad mayor a otra menor: se multiplica por 1 seguido de tantos

ceros como lugares bajamos.

Convertir una unidad menor a otra mayor: se divide por 1 seguido de tantos ceros como lugares subimos.

Ejemplo 1: Convertir 75 cm en metros, m: → 75 cm : 100 = 0,75 m

Ejemplo 2: Expresar 75 m en centímetros, cm → 75 x 100 = 7500 cm

Ejemplo 3: Expresar 2500 m en km: → 2500 : 1000 = 2,5 km

Ejemplo 4: Expresar 2,5 km en m: → 2,5 x 1000 = 2500 m



UNIDADES DE SUPERFICIE

El área es la medida de la extensión de una superficie. El cálculo del área de una superficie se suele indicar con una fórmula.

La unidad de superficie para medir el área de una figura geométrica es el metro

cuadrado (m2). Un metro cuadrado es el área de un cuadrado que tiene 1 m de lado.

El área de una superficie rectangular se calcula multiplicando el largo por el ancho. El área de los triángulos, se multiplica la base por la altura y se divide entre dos.

UNIDADES DE SUPERFICIE

NOMBRE Símbolo

MÚLTIPLOS

miriámetro cuadrado mam2

kilómetro cuadrado km2

hectómetro cuadrado hm2

decámetro cuadrado dam2

UNIDAD metro cuadrado m2

DIVISORES

decímetro cuadrado dm2

centímetro cuadrado cm2

milímetro cuadrado mm2

Ejemplo 1: Convertir 5 m2 en cm2 = 5 x 10 000 = 50 000 cm2

Ejemplo 2: Expresar 75 cm2 en m2 = 75 : 10 000 = 0,0075 m2

UNIDADES AGRARIAS:

AGRARIAS Sistema Métrico Decimal

hectárea (ha) = hm2

área (a) = dam2

centiárea (ca) = m2



VOLUMEN Y CAPACIDAD

Volumen

El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. Todo cuerpo ocupa un volumen.

La unidad de volumen es el metro cúbico (m3).

El volumen de los cuerpos geométricos se calcula aplicando una fórmula. En general, multiplicamos el largo por ancho por alto.

Capacidad

La capacidad indica la cantidad o volumen que puede contener un recipiente.

Una bola de billar, un dado o un corcho tienen volumen pero no capacidad.

La capacidad de un recipiente es el volumen del cuerpo que lo llena. La unidad de capacidad es el litro (l, L)

Masa

La masa indica la cantidad de materia de una sustancia o un cuerpo. La unidad de masa es el kilogramo (Kg).

Peso

El peso mide la fuerza con que la Tierra atrae a los cuerpos. El peso de un cuerpo depende de la fuerza de la gravedad. El peso de un cuerpo se calcula multiplicando su masa por la fuerza de la gravedad. P = mg (g = 9,8 m/s2). El peso de un cuerpo se suele expresar en Newton (N). Cuando decimos “Yo peso 66 kilos” estoy diciendo que yo peso 66 kilogramos-fuerza o 66 kilopondios. 1 kilopondio = 9,8 Newton

Densidad

La densidad o densidad absoluta es la magnitud que expresa la relación entre la masa y el volumen de un cuerpo. Su unidad en el Sistema Internacional es el kilogramo por metro cúbico (kg/m3), aunque frecuentemente se expresa en g/cm3.

m3



UNIDADES DE VOLUMEN

NOMBRE Símbolo

MÚLTIPLOS

miriámetro cúbico mam3

kilómetro cúbico km3

hectómetro cúbico hm3

decámetro cúbico dam3

UNIDAD metro cúbico m3

DIVISORES

decímetro cúbico dm3

centímetro cúbico cm3

milímetro cúbico mm3

Ejemplo 1: Expresa 5 m3 en dm3:

5 m3 x 1000 = 5 000 dm3

Ejemplo 2: Expresa 75 dm3 en metros cúbicos, m3:

75 dm3 : 1000 = 0,075 m3

UNIDADES DE CAPACIDAD

Capacidad es la magnitud que indica el volumen que un recipiente puede contener.

Las unidades de capacidad y volumen están estrechamente relacionadas. Se define el litro como la capacidad de un recipiente que tiene 1 dm3 de volumen.

1 litro (L, l) = 1 dm3

El símbolo del litro L se propuso en 1979. Se sigue utilizando la ele minúscula (l).

El litro no es una unidad del Sistema Internacional de medidas. Es una unidad muy utilizada en la vida común pero se recomienda que no se utilice en la ciencia.

El litro es una unidad utilizada con mucha frecuencia para medir volúmenes de líquidos, bombonas de gas, motores, frigoríficos, microondas.



UNIDADES DE CAPACIDAD

NOMBRE Símbolo

MÚLTIPLOS

mirialitro mal

kilolitro kl

hectolitro hl

decalitro dal

UNIDAD litro l , L

DIVISORES

decilitro dl

centilitro cl – cL

mililitro ml – mL

Ejemplos:

Expresamos 45 l en mililitros (mL): 45 x 1000 = 45 000 mL

Convertimos 750 mL en litros; 750 : 1000 = 0,75 litros.

UNIDADES DE MASA

La masa es la magnitud que mide cantidad de materia de los cuerpos. La unidad fundamental de masa en el Sistema internacional (SI) es el kilogramo (kg).

Unidad de masa Sistema Internacional

El kilogramo es un cilindro hecho de una aleación de platino e iridio. El cilindro tiene una altura igual al diámetro de 39 milímetros. Es la única unidad que se define por un objeto patrón y no por una característica física fundamental.

Diferencia entre masa y peso

La masa es una característica del objeto y el peso no lo es, ya que el peso depende de donde esté el objeto. El peso de un objeto en la Luna es 9,8 veces menor que en la Tierra y la masa no cambia.



UNIDADES DE MASA

NOMBRE Símbolo

MÚLTIPLOS

Tonelada = 1000 kg t

Quintal = 100 kg q

Miriagramo = 10 kg mag

kilogramo kg

hectogramo hg

decagramo dag

UNIDAD gramo g

DIVISORES

decigramo dg

centigramo cg

miligramo mg

Ejemplo 1: Convertir 37,8 kg en gramos (g) → 37,8 x 1000 = 37 800 g

Ejemplo 2: Pasar 45 g a kg → 45 : 1000 = 0,045 g

Ejemplo 3: Expresar 2500 kg en toneladas → 2500 kg : 1 000 = 2,5 t

Ejemplo 4: Expresar 4,5 quintales en kilogramos → 4,5 x 100 = 450 kg

RELACIÓN ENTRE UNIDADES DE VOLUMEN, MASA Y CAPACIDAD

El litro es la capacidad de un decímetro cúbico. Un kilogramo es la masa de agua que llena un recipiente que tiene como volumen un decímetro cúbico.

VOLUMEN CAPACIDAD MASA

1m3 = 1kl = t

1 dm3 = 1l (L) = kg

1 cm3= 1ml- mL = 1g



Relación entre unidades de volumen, masa y capacidad; ejemplos:

Volumen Capacidad Masa

12 m3 = 12 kl = 12 t

59 dm3 = 59 l = 59 kg

20 cm3 = 20 ml (mL) = 20 g

EXPRESIÓN DE MEDIDAS EN FORMA COMPLEJA E INCOMPLEJA

Forma incompleja:

Ejemplo: la expresión “Manuel mide 1,83 m”, indica la altura en forma incompleja.

La expresión incompleja de una magnitud sólo utiliza una unidad.

Forma compleja:.

Ejemplo: si decimos “Manuel mide 1 m 8 dm 3 cm”, expresamos la altura de forma compleja.

Una magnitud se expresa en forma compleja cuando se utilizan varias unidades de la magnitud.

Forma compleja Forma incompleja

1m 8 dm 3 cm 1,83 m

1km 5 hm 1500 m

3 t 4 q 3400 kg

Rectas y ángulos: sistema sexagesimal


RECTAS Y ÁNGULOS

PLANO, PUNTO Y RECTA

El plano en geometría es un ente ideal que posee sólo dos dimensiones y contiene

infinitos puntos e infinitas rectas. Un plano puede definirse por una recta y un punto exterior a ella, por tres puntos o por dos rectas.

Un punto es un elemento del espacio que no tiene dimensiones, pero sí posición. Describe una posición en el espacio determinada respecto a un sistema de coordenadas.

Una recta es un conjunto ilimitado de puntos alineados. Al ser un conjunto ilimitado, no se puede representar entera. No posee ni principio ni fin y está constituida por infinitos segmentos.

Las rectas no tienen ni principio ni fin. Por tanto nosotros sólo vemos trozos de ellas, como el canto de una mesa, el trazo de un lápiz, etc.

POSTULADOS DE LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA

Algunos postulados, afirmaciones que se admiten como verdades, de la geometría euclidiana que relacionan puntos y rectas de la geometría son los siguientes:

Por un punto pasan infinitas rectas y planos

Dos puntos determinan una recta y sólo una.

Tres puntos no alineados determinan un único plano.

Una recta contiene infinitos puntos.

Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas.

El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos.

Los planos, rectas y puntos forman los cuerpos geométricos que nos rodean.

SEMIRRECTAS Y SEGMENTOS

Un punto en una recta determina dos semirrectas. En la figura el punto A divide a la recta en dos semirrectas s, t

La parte de una recta comprendida entre dos puntos se llama segmento.

Los segmentos se nombran a partir de los puntos que los determinan.

s A t

A B

AB

Los segmentos se miden con unidades de longitud metro (m) sus múltiplos y divisores



POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO

Los tres elementos básicos de la geometría son el punto, la recta y el plano. Vamos a

observar qué posiciones podemos encontrar entre estos tres elementos.

Paralelas son aquellas que, estando en el mismo plano, no tienen ningún punto en común.

Secantes son aquellas que tienen un punto en común llamado punto de intersección.

Coincidentes: cuando todos los puntos son comunes.

Perpendiculares: dividen el plano en cuatro partes iguales.

ÁNGULOS

Ángulo como giro es la figura geométrica que representa la amplitud del giro de una semirrecta respecto a su origen. La semirrecta que gira se llama semirrecta generatriz. Cuando el giro es en el sentido contrario de las agujas del reloj el ángulo es positivo. Si el giro es en sentido de las agujas del reloj, dextrógiro, el ángulo es negativo.

Ángulo como región del plano: un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas que tienen el mismo origen. Al punto origen de las semirrectas se le llama vértice del ángulo, y a las semirrectas lados.

ELEMENTOS DE UN ÁNGULO

Lados: semirrectas que señalan la amplitud del giro. Se distingue la semirrecta inicial y semirrecta final.

Vértice: punto origen de las semirrectas.

Para nombrar un ángulo se utiliza una letra

mayúscula o tres letras que representan el vértice y dos puntos uno sobre cada lado AOB.



TIPOS DE ÁNGULOS

Según la posición de sus lados

Ángulo nulo

Sus lados son semirrectas coincidentes. El valor de la amplitud del giro es 0º

Ángulo completo

Sus lados son semirrectas coincidentes. El valor de la amplitud del giro es 360º

Ángulo recto

Sus lados son dos semirrectas perpendiculares. El valor de la amplitud del giro es de 90º

Ángulo llano

Sus lados están situados en la misma recta. El valor de su amplitud de giro es 180º

0º



Atendiendo al valor de la amplitud de giro

Teniendo en cuenta el valor de la amplitud de giro expresada en grados los ángulos se clasifican de la siguiente forma:

Ángulo agudo

Su amplitud es menor de 90º.

Ángulo recto

Amplitud igual a 90º.

Ángulo obtuso

Su amplitud es mayor de 90º.

Ángulo convexo

Mide menos de 180º

Ángulo llano

Amplitud igual a180º

Ángulo cóncavo

Mide más de 180º

Clasificación de los ángulos según su posición

Ángulos consecutivos Tienen un lado común.

Ángulos adyacentes Tienen un lado común y los otros dos son semirrectas opuestas. La suma de la amplitud de dos ángulos adyacentes es igual a 180º



Ángulos complementarios

Son dos ángulos consecutivos que forman un ángulo recto, 90º

Ángulos suplementarios

Son dos ángulos consecutivos que forman un ángulo llano, 180º

Ángulos opuestos por el vértice son aquéllos en los que los lados de uno son prolongación de los del otro.

Ángulos comprendidos entre rectas paralelas

Observa los ángulos comprendidos entre las paralelas y la recta que las corta:

Los ángulos opuestos por el vértice son iguales:

130º = 2; 1 = 3; 4 = 6; 5 = 7

Los ángulos alternos internos son iguales:

1 = 7 y 2 = 4

Los ángulos alternos externos son

iguales:

130º = 6 y 3 = 5.

Los ángulos correspondientes son iguales:

130º = 4; 3 = 7; 1 = 5; 6 = 2.



SISTEMA SEXAGESIMAL

El sistema sexagesimal tuvo su origen en la antigua Babilonia y fue utilizado por los árabes. Es el sistema que se utiliza para medir el tiempo (horas, minutos, segundos) y la amplitud de los ángulos (grados, minutos, segundos).

MEDIDAS DE TIEMPO Y AMPLITUD

Las medidas de tiempo se basan en períodos de tiempo relacionados con fenómenos de la naturaleza.

SISTEMA SEXAGESIMAL

TIEMPO ÁNGULOS

UNIDAD EQUIVALENCIA UNIDAD EQUIVALENCIA

Hora (h)= 60 minutos Grado (º) = 60 ′

Minuto (min) = 60 segundos Minuto (′) = 60 ″

Segundo (s) = 1 segundo Segundo (″) = 1 ″



Expresión de unidades de tiempo en forma decimal y sexagesimal

Ejemplo 1: Expresamos 3h 45 min en forma decimal.

¡Atención: 3 h 45 min ≠ 3,45 h

3 h 45 min = 3 h = 3 h

45 min = 45 min : 60 = 0,75 h

Sumando = 3,75 h

3 h 45 min en forma decimal es igual a 3,75 h

Ejemplo 2:

7,6 horas = 7 = 7 h

7,6 – 7 = 0,6 0,6 x 60 = 36 min

7,6 horas = 7h 36 min

7,6 horas en forma sexagesimal = 7 h 36 min

La parte entera, 7, es el valor de la unidad en que se expresa el tiempo: 7, horas.

Restamos del número inicial su parte entera: 7,6 – 7 = 0,6

Multiplicamos por 60 el número que se obtiene después de restar: 0,6 x 60 = 36

El resultado del producto serán minutos, si la unidad inicial es horas, y segundos, si la unidad inicial es minutos.

Ejemplo 3: Un trabajador cobra 50 € por hora trabajada. ¿Calcula cuánto percibirá por tres trabajos cuyos tiempos de ejecución son los siguientes?

Reparación A = 4 horas 20 minutos

Reparación B = 3 horas 35 minutos

Reparación C = 2 horas 20 minutos

Total = 9 h 75 min

75 min : 60 = 1,25 h

Tiempo total expresado en horas 9 h + 1,25 h = 10,25 h x 50 = 512,50 €



OPERACIONES CON UNIDADES DE TIEMPO

Suma de unidades de tiempo:

Ejemplo: 16 h 42 min 36 s + 10 h 30 min 42 s

Se colocan las cantidades a sumar en columnas: horas, minutos, segundos

Se suma cada columna independientemente.

Si en la columna segundos se obtiene 60 o un número mayor, se divide entre 60. El cociente se añade a la columna minutos. El resto se deja en la columna segundos.

Si en la columna minutos se obtiene 60 o una cantidad mayor, se divide entre 60. El cociente se añade a la columna horas. El resto se deja en la columna minutos.

16 h 42 min 36 s

+ 10 h 30 min 42 s

26 h 72 min 78 s 60

+ 1 min 18 s 1 min

73 min 60

+ 1 13 min 1 h

27 h 24 h

3 h 1 día

1 día 3 h 13 min 18 s

Total suma = 1 día 3 h 13 min 18 s

Resta de unidades de tiempo:

Vamos a hacer la siguiente resta. Ejemplo 1: 24 h – 5 horas 27 minutos

Colocamos el minuendo y sustraendo en columnas de unidades semejantes: horas con horas, minutos con minutos, segundos con segundos.

24 h

– 5 h 27 min



Observa que en la columna minutos no hay ninguna cantidad en el sustraendo. Como 24 horas = 23 horas + 60 minutos, completamos la columna minutos

24 h = 23 h 60 min

5 h 27 min = – 5 h 27 min

Ya podemos restar cada columna como si fueran dos restas independientes.

24 h = 23 h 60 min

5 h 27 min = – 5 h 27 min

18 h 33 min

Ejemplo 2: 24 h 10 min – 6 h 40 min 20 s

Colocamos en columnas los dos miembros de la resta

24 h 10 min = 24 h 10 min

6 h 40 min 20 s = – 6 h 40 min 20 s

Las columnas minutos y segundos no se pueden restar: la columna minutos del sustraendo es menor y en la columna segundos no hay ninguna cantidad. Preparamos la resta de la forma siguiente:

24 h 10 min = 23 h 69 min 60 s

6 h 40 min 20 s = – 6 h 40 min 20 s

17 h 29 min 40 s

Observa que se toma una hora para completar las columnas minutos y segundos. En minutos se sumó 59. El minuto no sumado completa la columna segundos.



Multiplicación de unidades de tiempo

Se multiplica cada columna independientemente. Si el resultado del producto es mayor que 60, se procede de forma semejante a la suma: dividimos entre 60, sumamos el cociente a la columna de la unidad inmediata superior y dejamos el resto.

Ejemplo1: (2 h 30 min) x 5 =

2 h 30 min

x 5

10 h 150 60

030 2 h

+ 2

12 h 30 min

(2 h 30 min) x 5 = 12 h 30 min

Ejemplo 2: (2 h 20 min 30 s) x 5 =

2 h 20 min 30 s

x 5

10 100 150 60

+ 2 030 2 m

102 60

042 1

+ 1

11h 42 min 30 s

(2 h 20 min 30 s) x 5 = 11 h 42 min 30 s

Polígonos, circunferencia y círculo: perímetro y áreas


POLÍGONOS

Polígono es la porción de plano delimitada por una línea poligonal cerrada. En un polígono podemos distinguir los siguientes elementos:

Vértice: Cada uno de los extremos de los segmentos que forman la línea poligonal.

Lado: Cada uno de los segmentos que forman la línea poligonal.

Diagonal: Los segmentos que unen dos vértices no consecutivos.

Ángulo interior: Cada uno de los ángulos formados por dos lados consecutivos.

Ángulo exterior: El ángulo formado por un lado y la prolongación del consecutivo.

Perímetro: Es la suma de las longitudes de todos sus lados.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

Según el número de lados podemos clasificar los polígonos de la forma siguiente:

Triángulo

Cuadrilátero

Pentágono

Atendiendo a sus ángulos interiores:

Cóncavo

Convexo

Convexo: Si todos sus ángulos interiores son convexos.



Cóncavo: Cuando tiene al menos un ángulo cóncavo.

Atendiendo a la longitud de sus lados y a la amplitud de sus ángulos.

Polígono regular

Polígono irregular

Regular: Cuando tiene todos sus lados y ángulos iguales.

Irregular: Cuando no tiene todos sus lados y ángulos iguales.

En un polígono regular debemos de tener en cuenta los siguientes elementos:

Centro (c): Es el punto interior a él que está a la misma distancia de todos sus

vértices.

Radio (r): Es la distancia del centro a cualquiera de sus vértices.

Apotema (a): Es el segmento perpendicular desde el centro a uno de sus lados.

TRIÁNGULOS

Los triángulos son polígonos de tres lados. En un triángulo distinguimos:

La base es el lado sobre el que cae perpendicular la altura.

La altura que es siempre perpendicular a la base.

Los tres ángulos interiores de un triángulo suman 180º.

Los triángulos tienen, entre otras, las siguientes propiedades:

La longitud de uno de sus lados no puede ser mayor que la suma de la longitud de los otros dos lados.

La suma de todos los tres ángulos interiores de un triángulo es 180º.



CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS:

Según la longitud de los lados los triángulos se clasifican en:

Equilátero: sus tres lados tienen la misma longitud y sus tres ángulos miden 60º.

Isósceles: tiene dos lados de igual longitud y, los ángulos que se oponen a los lados iguales, la misma amplitud.

Escaleno: la longitud de los tres lados y la amplitud de los tres ángulos tienen

diferentes valores.

Atendiendo a la amplitud de sus ángulos pueden ser:

Acutángulo: todos sus ángulos son menores de 90º.

Rectángulo: tiene un ángulo recto, 90º.

Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º.



CUADRILÁTEROS

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados.

Los cuadriláteros se clasifican en paralelogramos o no paralelogramos.

PARALELOGRAMOS:

Tienen sus lados paralelos dos a dos. Los cuadriláteros paralelogramos son los siguientes:

Cuadrado:

Los cuatro lados iguales.

Sus cuatro ángulos son rectos.

Rectángulo:

Los lados iguales dos a dos.

Sus cuatro ángulos son rectos.

Rombo:

Sus cuatro lados iguales.

Sus ángulos iguales dos a dos.

Romboide:

Sus lados son iguales dos a dos

Sus ángulos iguales dos a dos.



TRAPECIOS:

Son cuadriláteros que sólo tienen dos lados paralelos. Los lados paralelos se llaman bases.

Trapecio rectángulo:

Tiene un ángulo recto.

Se forma si cortamos un triángulo rectángulo paralelamente a su base.

Los lados paralelos de un trapecio son las bases del trapecio.

Trapecio isósceles:

Los dos lados no paralelos tienen la misma longitud.

Se forma al seccionar un triángulo isósceles paralelamente a la base.

Los lados paralelos son las bases del trapecio.

Trapecio escaleno:

La longitud de cada uno de sus lados tienen una longitud diferente.

Se forma al seccionar un triángulo escaleno paralelamente a la base

Los lados paralelos son las bases del trapecio.

TRAPEZOIDES

Son cuadriláteros en los que ninguno de sus cuatro lados es paralelo a otro. El trapecio comparte con los cuadriláteros convexos el que la suma de sus ángulos convexos es 360º. Un ejemplo de trapecio es una cometa.



PERÍMETRO Y ÁREA DE UNA FIGURA PLANA

Perímetro: en un polígono el perímetro es la suma de las longitudes de todos sus lados.

El perímetro se expresa con unidades de longitud (metros, centímetros, etc.).

Área: el área es la medida de una superficie. Las unidades que se utilizan para expresar el área de un polígono son el metro cuadrado, m2 o sus múltiplos o divisores.

El área de una superficie se calcula aplicando una fórmula.

ÁREAS DE LOS CUADRILÁTEROS

Los cuadriláteros son polígonos que tienen cuatro lados. La figura siguiente es un cuadrilátero irregular:

ÁREA DEL RECTÁNGULO

Perímetro: 2b + 2a

Área del rectángulo = base x altura

O también: largo x ancho.

Área = b · h

ÁREA DEL CUADRADO

Perímetro = 4 x lado

El área del cuadrado

Como el cuadrado tiene todos los lados iguales, podemos expresar su área como la longitud del lado al cuadrado.

Área = l2



ÁREA DEL ROMBO

Perímetro = 4 x lado

El área del rombo es el producto de la diagonal mayor por la diagonal menor dividido entre dos:

2

d·DÁrea

ÁREA DEL ROMBOIDE

Perímetro = 2b + 2 x lado

El área del romboide es igual al producto de la base por la altura.

Área = b · h

EL ÁREA DE UN TRAPECIO

Perímetro = suma bases + lados no paralelos

En la figura de la izquierda tenemos un trapecio de base mayor b, menor b’ y altura h. colocamos dos trapecios iguales para que formen un romboide. Aplicando la fórmula del cálculo de la superficie de un romboide tenemos:

h·2

bbS

El área del trapecio es la suma de sus bases por la altura dividido entre dos.

El área del trapecio será la mitad del área del romboide construido.



Recuerda que las bases de un trapecio son los dos lados paralelos y la altura la distancia entre las dos bases.

La fórmula anterior se puede expresar de la forma siguiente:

2

h•b) (B A

B = base mayor b = base menor h = altura

ÁREA DEL TRIÁNGULO

Perímetro = suma de sus lados:

11 cm + 11 cm + 7,5 cm = 29,7 cm

Área del triángulo, equivale a la mitad del área de un cuadrilátero.

El área del triángulo es igual al producto de la base por la altura dividido entre dos.

2cm5,382

77

2

7·11

2

h·bA

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR

Perímetro: numero lados por la longitud de

cada lado.

El área del polígono, matemáticamente se expresa con la fórmula:

2

a·P

2

apotema·PerimetroA



LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO

Circunferencia: se puede definir como un conjunto de puntos que están a la misma distancia de otro llamado centro. La circunferencia es el perímetro de un círculo, no tiene área.

Círculo: es la superficie plana limitada por una circunferencia.

Circunferencia

Círculo

ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Centro: es el punto respecto al que todos los puntos de la circunferencia están a la misma distancia.

Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro: cuerda que pasa por el centro. Su longitud coincide con el ancho del círculo o circunferencia.

Radio: el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia. Su longitud es la mitad del diámetro.

Arco: parte de la circunferencia comprendida ente dos puntos.

Otras figuras ligadas a la circunferencia y el círculo son las siguientes:

Sector circular Segmento circular Semicírculo Corona circular



ÁREA DEL CÍRCULO Y LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA

Perímetro círculo = circunferencia

La circunferencia es una línea, el borde del círculo, tiene longitud no área.

Longitud circunferencia = 2r

Área del círculo como un polígono regular de infinitos lados y cuyo perímetro es la longitud de la circunferencia:

Área círculo = r2

ÁREA CORONA CIRCULAR

El área de la corona circular se calcula restando al área del círculo mayor el área del círculo menor.

Matemáticamente se expresa con la fórmula:

Área corona circular = R2– r

2

ÁREA DEL SECTOR CIRCULAR

Sector circular es la parte de círculo

comprendida entre dos radios y el arco que determinan.

El área del sector circular: se calcula el área del círculo, se divide entre 360 y luego se multiplica por la amplitud del arco del sector expresada en grados.

360

nºr = sector del Área

2



ÁREA DE POLÍGONOS IRREGULARES

Para calcular el área de un polígono irregular lo descomponemos en otros polígonos más sencillos de los que nos resulte fácil calcular el área.

Un primer método consiste en trazar las diagonales de uno de sus vértices, quedando el polígono dividido en triángulos.

En otras ocasiones se puede calcular dividiendo convenientemente una de sus diagonales y trazando desde todos sus vértices perpendiculares a ella, quedando el polígono dividido en triángulos, cuadrados rectángulos, etc.

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS COMPUESTAS

En numerosas ocasiones, para calcular el área de una figura plana, nos resulta más sencillo su cálculo descomponiéndola en otras de las que nos resulta más fácil calcular sus áreas.

La figura compuesta se ha descompuesto en un trapecio, un rectángulo y dos triángulos.

Las áreas de estos polígonos serán las siguientes:

2

tra2tri1rectrap

2

tri2

2

tri1

2

rect

2

trap

cm 433 =10075 + 225 + 33

= A A A +A =A

:Afiguralade totalárea El

dm1002

8·25

2

a·bA

dm 75 2

25·6

2

b·a A

dm 225 25·9 b·a A

dm 33 2

9)·3 (13

2

b)·a (B A



MANEJO CORRECTO DE LOS INSTRUMENTOS Y MATERIALES DE MEDIDA

El compás sirve para trazar circunferencias y para trasladar segmentos.

La regla milimetrada sirve para trazar rectas y medir segmentos. Está numerada en centímetros y las divisiones intermedias expresan milímetros. Para poder trabajar con comodidad la longitud de la regla debe estar entre 30 y 50 cm y debe ser de plástico transparente, para permitir ver, a través de ella, lo dibujado. Para trazar rectas es mejor utilizar el borde no graduado de la regla.

La escuadra y el cartabón se pueden usar por separado, aunque resultan

especialmente útiles cuando se emplean conjuntamente.

TRAZADO DE PARALELAS:

Para trazar paralelas basta con deslizar la escuadra sobre el cartabón, sin que se mueva el cartabón, e ir trazando las distintas paralelas a la distancia que nos convenga.

TRAZAR PERPENDICULARES:

Para trazar perpendiculares a las paralelas de la imagen anterior se procede de la forma siguiente. Se gira la escuadra como se muestra en la figura siguiente:

Se mantiene fijo el cartabón y se trazan las perpendiculares a las paralelas

TRAZAR POLÍGONOS REGULARES: HEXÁGONO

Un polígono regular es el que tiene los lados y los ángulos iguales. Los polígonos regulares pueden inscribirse en una circunferencia, llamada circunferencia circunscrita. Los elementos de un polígono regular son:



Centro: es el punto que equidista de todos los vértices. Coincide con el centro

de la circunferencia circunscrita.

Radio: es el segmento que une el centro con un vértice. Mide lo mismo que el

radio de la circunferencia circunscrita.

Apotema: es el segmento que une el centro con el punto medio de un lado.

Materiales: Un compás y una regla.

Procedimiento

Dibujamos una circunferencia de cualquier radio.

A continuación trasladamos ese mismo radio a un punto cualquiera de la circunferencia que la cortará en otro punto, desde este último punto se vuelve a repetir la operación anterior por un total de seis veces.

Para la construcción del hexágono basta con unir esos 6 puntos de corte con segmentos.

DIVIDIR UN SEGMENTO A LA MITAD Y DIBUJAR LA BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

Fracciones


FRACCIONES

CONCEPTO DE FRACCIÓN

Definimos la fracción desde cuatro puntos de vista: como parte de la unidad, cociente, operador y razón.

La fracción como parte de la unidad:

Una fracción tiene dos términos: numerador, a, y denominador, b.

n erad r

den inad r= a

b

“a”, el numerador, señala la cantidad de partes de un todo, unidad, a que nos referimos.

“b” el denominador indica en cuántas partes hemos dividido el todo, la unidad.

El denominador se lee enteros, medios, tercios, cuartos, quintos, sextos, séptimos, octavos, novenos, décimos, onceavos, doceavos, …; centésimos, milésimos…dependiendo de que el número del denominador sea: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , 10, 11, 12, …; 100, 1000…

La fracción como cociente:

Una fracción b

a expresa el cociente entre dos números, a y b. El numerador, a,

equivale al dividendo; y el denominador, b, al divisor de una división.

3 : 7 = 7

3

La fracción como operador:

Una fracción como operador multiplica a cualquier número por el numerador y divide entre el denominador. Ejemplos:

184

72

4

24·324·

4

3

15100

1500

100

300·5300·

100

5

Fracciones


La fracción como razón y proporción

Una razón relaciona dos magnitudes: antecedente y consecuente. El numerador de una fracción puede interpretarse como el antecedente y el denominador, como el consecuente. Si decimos que la proporción entre hombres y mujeres asistentes a una reunión es de 3 a 2, estamos diciendo que por cada 5 asistentes 3 son hombres y 2 mujeres.

La expresión matemática de la razón entre las mujeres y asistentes es 5

2

Los porcentajes son la relación de proporcionalidad que se establece entre un número y 100, tanto por ciento (%), o respecto a mil, tanto por mil (‰).

TIPOS DE FRACCIONES.

Fracción unidad

El numerador y el denominador son iguales. La fracción unidad equivale a 1.

Ejemplos de fracciones unidad: 2

2

7

7

5

5

3

3

Fracción propia

La fracción propia tiene el numerador menor que el denominador. Las fracciones propias representan una cantidad menor a la unidad 1.

Ejemplos de fracciones propias: 2

1

5

2

7

3

Fracción impropia

La fracción impropia tiene el numerador mayor que el denominador. Las fracciones impropias representan cantidades mayores a la unidad 1.

Ejemplos de fracciones impropias: 1

2

10

20

2

8

2

6

Fracciones decimales

Consideramos como fracciones decimales las fracciones que tienen como denominador 10 o potencias de 10.

1000

8

100

6

10

25

1000

28

1000

65

5·2

65

Fracciones


FRACCIONES EQUIVALENTES

Las figuras siguientes representan las fracciones 3

2y

12

8

1 2 3

3

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

12

8

Las dos fracciones son equivalentes. Las dos representan la misma parte de un todo, unidad. Matemáticamente se indica de la forma siguiente:

12

8

3

2

Propiedad fundamental de las fracciones equivalentes:

Dos fracciones equivalentes cumplen la siguiente propiedad:

c·bd·ad

c

b

a

Ejemplo: 12

8

3

2 → 2 · 12 = 3 · 8

Obtención de fracciones equivalentes a una fracción dada

Las fracciones equivalentes se pueden obtener por amplificación o simplificación.

AMPLIFICAR FRACCIONES: MÉTODO DE LOS PRODUCTOS SUCESIVOS

Si multiplicamos el numerador y denominador de una fracción por un mismo número obtenemos fracciones equivalentes:

x·b

x·a

b

a Siendo x un número entero cualquiera

Ejemplo: 60

48

2·30

2·24

30

24

3·10

3·8

10

8

2·5

2·4

5

4 →

60

48

30

24

10

8

5

4

Fracciones


SIMPLIFICAR FRACCIONES: MÉTODO DE DIVISIONES SUCESIVAS

Si dividimos el numerador y denominador de una fracción por el mismo número o por el máximo común divisor del numerador y denominador obtenemos una fracción simplificada.

xb

xa

b

a

:

: Siendo x un divisor o el m. c. d. (a, b)

Ejemplo: 5

4

5:25

5:20

25

20

2·:50

2:40

50

40 →

5

4

25

20

50

40

REDUCIR A COMÚN DENOMINADOR

Reducir a común denominador varias fracciones consiste en hallar fracciones equivalentes a las dadas que cumplan la condición de tener todas ellas el mismo denominador.

Para reducir fracciones a común denominador podemos usar los productos cruzados o calcular el mínimo común múltiplo de los denominadores.

Método de los productos cruzados

Multiplicamos todos los denominadores de las fracciones, el resultado será el denominador de las fracciones reducidas.

Multiplicamos el numerador de cada fracción por los denominadores de todas las demás fracciones, el resultado será el numerador de la fracción cuyo numerador se multiplicó por los denominadores de las otras.

Ejemplo: Reducimos a común denominador las siguientes fracciones:

6

5

4

3

2

1

Multiplicamos todos los denominadores de las fracciones, el resultado será el denominador de todas las fracciones reducidas:

6·4·26·4·2·64·2

Multiplicamos el numerador de cada fracción por el denominador de todas las demás fracciones, el resultado será el numerador de cada fracción reducida.

48

40

48

36

48

24

6·4·2

2·4·5

6·4·2

6·2·3

6·4·2

6·4·1

Se comprueba que las fracciones obtenidas son equivalentes a las iniciales aplicando la definición de equivalencia; o, simplemente haciendo la división que representan.

Fracciones


COMPARACIÓN DE FRACCIONES

Para comparar varias fracciones deben de tener el mismo denominador.

Comparar Fracciones que tienen el mismo denominador:

La fracción mayor es la que tiene mayor numerador; la fracción menor, el menor numerador.

10

2

10

5

10

7 O si las ordenamos de menor a mayor;

10

7

10

5

10

2

Fracciones con diferente denominador y numerador

Primero reducimos a común denominador las fracciones y después las comparamos. Aplicamos el criterio: la mayor es la que tiene mayor numerador y la menor, el menor.

Ejemplo: ordenar de mayor a menor las fracciones siguientes:

5

2,

6

4,

3

1

Reducimos a denominador común utilizando el sistema de productos cruzados

90

36

90

60

90

30

3·6·5

2·3·6,

3·6·5

4·3·5,

3·6·5

1·6·5

Aplicando el criterio de que cuando el denominador es el mismo la fracción mayor es la que tiene el mayor numerador y teniendo en cuenta que 30 > 36 > 60:

3

1

5

2

6

4

OPERACIONES CON FRACCIONES

Para sumar o restar fracciones deben de tener el mismo denominador. Por lo tanto, si queremos sumar o restar fracciones con diferente denominador, antes de operar debemos reducirlas a común denominador.

Los dos métodos para reducir fracciones a común denominador son el procedimiento de productos cruzados o el cálculo del mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones.

Si se utiliza el método de los productos cruzados, simplificar la fracción obtenida puede facilitar las operaciones posteriores o la interpretación del resultado.

Fracciones


SUMA DE FRACCIONES CON EL MISMO DENOMINADOR

El resultado de la suma de fracciones que tienen el mismo denominador es otra facción que tiene el mismo denominador y como numerador la suma de los numeradores de las fracciones que sumamos. Ejemplo:

5

9

5

234

5

2

5

3

5

4

Suma de fracciones con diferente denominador

Reducimos a común denominador, sumamos los numeradores obtenidos.

Ejemplo: la reducción se hace mediante el sistema de productos cruzados:

72

150

72

901248

4·6·3

3·6·54·3·14·6·2

4

5

6

1

3

2

En resumen, para sumar las fracciones se procede de la forma siguiente:

Se multiplican los tres denominadores: el resultado es el denominador de la

fracción suma.

Se aplica el sistema de productos cruzados: cada numerador de las

fracciones se multiplica por todos los denominadores menos el suyo. El resultado sustituye al numerador que se multiplica.

Sumamos los numeradores obtenidos mediante el procedimiento de productos cruzados.

Simplificamos la fracción suma si es posible. La fracción obtenida en nuestro

ejemplo sí lo es.

12

25

36

75

72

150

Suma de un número entero y una fracción:

El resultado es una fracción que tendrá como denominador el denominador de la fracción, el numerador será la suma del numerador de la fracción más el resultado de multiplicar el número entero por el denominador de la fracción.

Recuerda que un número entero se expresa como una fracción con denominador 1.

Ejemplo 1: 5

17

5

215

5

25·3

5

23

Ejemplo 2: 7

59

7

8·738

7

3

Fracciones


Resta de fracciones de igual denominador

Para restar se procede de forma semejante a la suma: debemos reducir a común denominador las fracciones que queremos restar si no tienen igual denominador.

9

3

9

58

9

5

9

8

Resta de fracciones con diferente denominador

Aplicamos el sistema de productos cruzados para reducir a común denominador y restamos las fracciones obtenidas que son equivalentes a las iniciales.

Ejemplo 1:

10

5

50

3540

10·5

5·710·4

10

7

5

4

10

1ndosimplifica

50

5

Ejemplo 2:

39

27

9

330

9

35·6

5

36

Producto de fracciones

Para multiplicar fracciones no es necesario reducirlas a común denominador.

El resultado del producto de dos o más fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores de los factores, y por denominador, el producto de los denominadores.

Ejemplo1:

210

24

6·7·5

3·2·4

6

3·

7

2·

5

4

Ejemplo 2:

7

6

1·7

3·23·

7

2

Fracciones


FRACCIÓN INVERSA

La fracción inversa de una fracción dada es otra fracción que tiene los mismos términos invertidos: el numerador de la fracción inicial será el denominador de la fracción inversa; el denominador de la inicial, el numerador de la fracción inversa.

Ejemplo 1: la fracción inversa de 5

4 es

4

5

La fracción inversa de un número entero es una fracción con numerador 1. Recuerda que un número entero se expresa como una fracción con denominador 1.

Ejemplo 2: la fracción inversa del número entero 5 es 5

1

El cociente de dos fracciones

La división de fracciones la convertimos en la multiplicación de la primera fracción por la inversa de la segunda fracción.

¿Por qué? Porque interpretamos la división como el producto inverso de los términos que dividimos.

Observa cómo convertimos la división inicial en una multiplicación por el inverso del divisor:

43

12

3

1·12

3

1·123:12

Ejemplos de divisiones:

9

14

3

7·

3

2

7

3:

3

2

18

5

3

1·

6

53:

6

5

5 : 100

4= 5 ·

4

100=

4

500

72

10

6·4·3

1·5·2

6

1·

4

5·

3

26:

5

4:

3

2

Fracciones


LA FRACCIÓN COMO RAZÓN Y OPERADOR: TANTO POR CIENTO

El tanto por ciento, por ejemplo 4 %, puede ser expresado como una fracción decimal con denominador igual a 100.

El 100 en el tanto por ciento representa al todo.

4 % = 100

4

FRACCIÓN COMO OPERADOR: TANTO POR CIENTO

Si aplicamos una fracción como operador a un número, el numerador multiplica a ese número y el denominador divide al resultado de esa multiplicación.

El tanto por ciento es un operador que divide siempre entre 100. El tanto por mil, un operador que divide entre 1000.

Ejemplo 1: Calcula la cantidad que me descuentan en un artículo cuyo precio es 300 €, si me aplican el 20% de descuento.

Solución interpretando el tanto por ciento como una fracción aplicada como operador sobre el precio inicial:

€60100

300·20300·

100

20

Ejemplo 2: Calcula cuánto tengo que pagar por un artículo cuyo precio es 300 € si me hacen un descuento del 20%.

Si por lo que cuesta 100 € pago 80, quiere decir que el precio final es el 80% del precio inicial. Para calcular el precio final aplico el tanto por ciento como operador:

€240100

000 24

100

300·80300·

100

80 Precio final del artículo

Ejemplo 3: Calcular el precio final de un artículo al que se le aplica un IVA del 21% si el precio inicial es 500 €.

€105100

500 10

100

500·21500·

100

21

500 + 105 = 605 € preci final

Otra forma de hacer el ejercicio es razonar así:

100

121

inicialprecio100

IVAelaplicandofinalprecio121 → €605

100

500 60

100

500·121500·

100

121

Fracciones


Proporcionalidad


PROPORCIONALIDAD

RAZÓN

La razón es la relación entre dos magnitudes. La razón se expresa como cociente entre las magnitudes.

econsecuent

eantecedent

b

a

El término a se llama antecedente y el b, consecuente. La razón se lee: “a es a b”

PROPORCIÓN

La igualdad entre dos o más razones es una proporción.

d

c

b

a “a es b, como c es a d.”

Los términos a y d son los extremos; los términos b y c, los medios.

Ejemplo de proporción:

12

3 =

3

9

Extremos 12 y 9 Medios: 3 y 36

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES

En toda proporción “el producto de medios es igual al producto de extremos”. En general:

c·bd·ad

c

b

a

La proporción 9

36

3

12 cumple la propiedad fundamental: 12 · 9 = 3 · 36

CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD

La constante de proporcionalidad es el resultado de dividir el valor del consecuente entre el valor del antecedente.

Ejemplo: La constante de proporcionalidad de la proporción siguiente es 4:

12

3 =

3

9= 4

Proporcionalidad


CUARTO PROPORCIONAL

Cuarto proporcional es el término desconocido de una razón. El cuatro proporcional se representa con una de las siguientes letras: x, y, z. Ejemplo:

60

x

12

2

CÁLCULO DEL CUARTO PROPORCIONAL

Para calcular el cuarto proporcional se procede de la forma siguiente:

1. Se aplica la propiedad fundamental de las proporciones:

12 · x = 2 · 60

2. Se despeja la x:

x = 1012

60·2

El cálculo del cuarto proporcional fundamenta la regla de tres como método para solucionar problemas en los que aparecen datos relacionados proporcionalmente.

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

La relación entre dos magnitudes es directamente proporcional cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra magnitud relacionada con ella queda multiplicada o dividida por el mismo número.

Dicho de otra forma, si a un aumento o disminución del antecedente le corresponde un aumento o disminución de su consecuente, la relación entre las dos magnitudes es directamente proporcional. “La relación es de más a más o de menos a menos”.

Ejemplos:

La relación entre la cantidad de un artículo y el precio a pagar. La relación entre distancia recorrida y consumo de combustible.

La relación entre la velocidad y la distancia recorrida, relación entre el espacio y el tiempo. La relación entre la fuerza que se aplica a un objeto y la aceleración que adquiere.

Proporcionalidad


APLICACIONES DEL CONCEPTO PROPORCIONALIDAD

REGLA DE TRES

La regla de tres simple nos permite solucionar situaciones en las que intervienen magnitudes proporcionalmente relacionadas.

Para resolver una regla de tres, inicialmente determinamos tres pasos a seguir:

1º. Plantear la proporción.

2º. Aplicar la propiedad fundamental de las proporciones.

3º. Despejar la x, cuarto proporcional.

Ejemplo: Tres botellas de leche nos han costado 0,90 €. Calcule lo que nos costará una docena de botellas.

1º. Plantear la proporción.

3 botellas → 0,90 €

12

3

x

0,90

12 botellas → x


3x = 0,90 · 12


€3,60

3

12·0,90x

PORCENTAJES

Definimos porcentaje como la razón que relaciona una cantidad con un todo representado por 100.

El porcentaje nos permite comparar conjuntos con diferente cantidad de elementos.

Ejemplo 1: El 20% de los 70 coches vendidos durante este mes son de color blanco. ¿Cuántos coches blancos se han vendido?

Solución interpretando el tanto por ciento como una fracción con denominador 100 que se aplica como operador:

coches1470·100

20x

Solución del problema interpretando el porcentaje como razón.

Proporcionalidad


1. Planteamos la proporción, la razón primera es la tiene el término x:

100 vendidos → 20 blancos

70 vendidos → x →

70

100

x

20

2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones : 100x = 20 · 70

3. Despejamos la x:

14100

1400

100

70·20 x Coches blancos

Ejemplo 2: Si 6 de los 30 encuestados prefieren los coches de gasolina, calcula el tanto por ciento de encuestados que prefieren un coche de gasolina.

1. Planteamos la proporción, la razón primera es la que tiene el término x:

Si de 30 encuestados → 6 prefieren gasolina →

100

30

x

6

Si fueran 100 → x“ “

2. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones: 30x = 6· 100

3. Despejamos la x:

2030

6·100x → 20% de los encuestados prefieren coches de gasolina.

Solución utilizando el procedimiento de reducción a la unidad:

20100·30

6x %

Ejemplo 3: He pagado 158 euros después de hacerme un 20% de descuento ¿Cuál era el precio inicial del artículo?

80 precio final 100 precio inicial

158

80

x

100

€197,50

80

158x100x

158 x

Proporcionalidad


Ejemplo 4: Juan colocó 225 cajas de las 500 que tenía que colocar. Pedro colocó 264 de las 600 que le correspondían. ¿Cuál de los dos trabajó más eficazmente? Razónalo.

Calculamos el porcentaje que ha colocado cada uno. Utilizamos el sistema de reducción a la unidad:

45%100·500

225 Juan

44%100·600

264 Pedro.

Juan trabajó con más eficacia. El porcentaje nos indica que si las cajas a colocar fueran 100, Juan habría colocado 45 y Pedro, 44.

PROBLEMAS DE IVA

Ejemplo 1: Calcula el IVA de un artículo cuyo precio inicial es 600 €. El tipo de IVA aplicado es el 21%.

Si el precio inicial es 100 → 21 € paga s de IVA

por 600 → x pagaremos “ “

Aplicando los tres pasos a seguir para solucionar una regla de tres, procedemos de la forma siguiente:

1. Proporción 2. Propiedad fundamental 3. Despejamos la x

600

100

x

21 100x = 21 · 600 €126

100

600·21x

Solución interpretando el tanto por ciento como una fracción aplicada como operador:

IVAde€126600·100

21x

Para calcular el precio final, con el IVA añadido al precio inicial:

600 + 126 = 72 € preci final

Proporcionalidad


Segunda interpretación del IVA: Si el precio inicial es de 100 €, el precio final, su precio después de aplicar el IVA, será 121 €.

Precio inicial Precio final

600

100

x

121

100

600·121x = 726 €

100 → 121 €

600 → x

NOTA: el precio final de un artículo se calcula, sin hacer la regla de tres, multiplicando el precio inicial por 1,00 + % IVA. Es decir, si el IVA es el 21%, multiplicamos el precio inicial por 1,21. Si fuera el 8% de IVA, multiplicaríamos el precio inicial por 1,08.

Ejemplo: Hemos pagado 605 € por un artículo después de aplicarle el 21%. IVA Calcula el precio inicial y el IVA.

Pagamos 121 € → 100 € preci inicial

Si pagamos 605 → x

1º. Planteamos la proporción:

605

121

x

100

2º. Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones:

121x = 100 · 605

3º. Despejamos la x:

€500121

605·100x Precio sin IVA

605 – 500 = 105 € supuso el IVA

El grafico siguiente resume los tres pasos aplicados en la regla de tres simple directa: observa que el número en diagonal con la x es el que divide al producto de los otros dos.

A

C·Bx

A B

C X

Proporcionalidad


PROPORCIONALIDAD INVERSA

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

La relación entre dos magnitudes es inversamente proporcional cuando al multiplicar o dividir la primera por un número la segunda queda dividida o multiplicada por el

mismo número.

Dicho de forma: dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando a un aumento o disminución de una le corresponde una disminución o aumento de la relacionada proporcionalmente.

Ejemplos

“La relación entre la velocidad y el tiempo en recorrer una determinada distancia.”

“La relación entre trabajadores y el tiempo en terminar la misma tarea.”

“La relación entre la densidad y el volumen.”

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA

Para solucionar la regla de tres inversa aplicamos los tres pasos utilizados en la regla de tres directa. La diferencia radica en que al escribir la proporción, invertimos los términos de la razón que no contiene la incógnita.

Ejemplo 1: Dos trabajadores tardan 24 días en hacer una tapia. ¿Cuánto tardarán en hacer el mismo trabajo 6 trabajadores?

1º. Plantear la proporción. Invertimos la razón que no tiene la incógnita:

A + trabajadores – días.

2 trabajadores → 24 días

2

6

x

24

6 → x


6 · x = 24 · 2


días 8

6

48

6

2•24 x

Proporcionalidad


Ejemplo 2: Manuel circulando a una velocidad media de 75 km/h tardó 4 horas en llegar a su destino. Calcula el tiempo que emplearía si llevara una velocidad media de 50 km/h

Inversa: a – le corresponde +

75 km/h → 4 horas

50 “ → x

Aplicamos los tres pasos para solucionar cualquier regla de tres simple:

1. Proporción 2. Propiedad fundamental 3. Despejamos la x

75

50

x

4 50x = 4 · 75 horas6

50

75·4x

El grafico siguiente resume los tres pasos aplicados en la regla de tres inversa: observa que el número que está a la altura y frente a la x es el que divide al producto de los otros dos.

C

B·Ax

A B

C X

Estadística


ESTADÍSTICA

La Estadística es la ciencia que se ocupa de recoger y ordenar datos referidos a diversos fenómenos, para su posterior análisis e interpretación.

POBLACIÓN, MUESTRA, INDIVIDUO, VARIABLE ESTADÍSTICA

Población es el conjunto formado por todos los elementos del estudio

estadístico. Los elementos presentan una característica común.

Muestra es la parte de la población que estudiamos y que nos sirve para deducir características de la población. La muestra se toma cuando la población es muy grande o no puede realizarse un estudio con todos sus miembros.

Individuo es cada uno de los elementos de la población o la muestra.

Tamaño de la muestra: el número de individuos que componen una muestra.

Variable estadística es cualquier cualidad que estudiamos en los individuos de la muestra o la población.

Ejemplo: Los habitantes de Gijón son aproximadamente 280 000. Para realizar un estudio estadístico sobre su peso, altura y edad, se seleccionan 300 personas que viven en Gijón.

- Población: los 280 000 habitantes de la ciudad.

- Muestra: los 300 habitantes seleccionados.

- Individuo: cada habitante de la ciudad.

- Tamaño de la muestra: 300 habitantes.

- Variables estadísticas: el peso, la altura y la edad.

TIPOS DE VARIABLES

CUALITATIVAS:

Los valores de la variable no son números, sino cualidades. Ejemplos: sexo (mujer,

hombre); canal de TV más visto, deporte favorito.

Estilo de música → Cualitativa: no toma valores numéricos.

Estilo = {rock, pop, indie, jazz, clásica, …}

CUANTITATIVAS:

Los valores que toma la variable son números. Ejemplos: estatura, edad, número de veces que se va al cine, número de llamadas telefónicas al día, peso al nacer.

Las variables cuantitativas se clasifican en:

Estadística


Discretas

En cada tramo, la variable solo puede tomar un número determinado de valores expresados con números enteros. Ejemplos: número de páginas de un libro, puede tener 200 o 210 pero no 210,5 ni 210,3; número de veces que se va al cine.

Lugar que se ocupa en una fila → Cuantitativa discreta: toma valores numéricos, y en cada tramo solo toma un número determinado de valores.

Lugar en una fila = {1, 2, 3, 4,…}

Continuas

En cada tramo, la variable puede tomar infinitos valores. Toma valores enteros y no enteros.

Ejemplos: altura; entre 1,70 y 1,80 m. La altura puede ser 1,71 m; 1,715; 1,767m…

Peso al nacer → Cuantitativa continua: toma valores numéricos y, en cada tramo, puede tomar infinitos valores. Peso al nacer = {2,50 kg, 3 kg, 3,22 kg…}

RECUENTO DE DATOS

FRECUENCIAS. TABLAS DE FRECUENCIAS

En un estudio estadístico, después de recoger los datos hay que contarlos y agruparlos.

Si la variable es cuantitativa, se ordenan los valores en orden creciente y se anota el número de veces que aparece cada uno.

Si es cualitativa, se escribe cada valor (xi) y se anota el número de veces que aparece cada uno de ellos, (fi).

Ejemplo 1: Anotamos el número de hermanos que tienen las 50 personas de una muestra.

Nº de hermanos Recuento

Nº hermanos xi Frecuencia fi

1 3 1 4 2

1 2 1 3 2 0 6

2 1 3 1 0 2 3 2 1 1 1 16

3 2 0 4 2 1 0 1 2 3 2 15

1 1 4 2 1 3 1 2 3 2 3 10

0 1 0 2 3 2 1 0 3 2 4 3

Estadística


Ejemplo 2: Después de preguntar a 40 personas sobre su deporte favorito, obtenemos estos resultados

F = fútbol B = baloncesto Bm= balonmano T = tenis A = atletismo

Deporte favorito Recuento

xi fi

F F F B

B T T Bm F 8

A B B B Bm T A F B 12

F B B Bm A Bm B B T 6

F F T A A A A A A 10

T A B B A F B T Bm 4

FRECUENCIA ABSOLUTA

La frecuencia absoluta de un dato estadístico es el número de veces que se repite.

Se representa por fi que es la frecuencia absoluta de un valor xi. Ejemplo: ffútbol = 8

LA FRECUENCIA RELATIVA

La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número total

de datos. Se representa por hi.

FRECUENCIA RELATIVA EXPRESADA COMO TANTO POR CIENTO

Si multiplicamos la frecuencia relativa de un dato por 100, obtenemos el porcentaje o tanto por ciento.

Ejemplo: En la tabla siguiente, aparece la frecuencia absoluta, relativa y tanto por ciento de los datos que se han obtenido al preguntar el número de hermanos a 50 personas.

xi fi hi %

0 6 6/50 = 0,12 12 %

1 16 16/50 = 0,32 32 %

2 15 15/50 = 0,30 30 %

3 10 10/50 = 0,20 20 %

4 3 3/50 = 0,06 6 %

Totales = 50 1 100 %

Estadística


MEDIDAS ESTADÍSTICAS: MEDIA ARITMÉTICA, MODA

MODA

La moda es el valor o valores que más se repiten. En el ejemplo 1, número de hermanos, la moda es 1. En el ejemplo de deportes, baloncesto.

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Una distribución puede tener más de una moda; es decir, puede ser bimodal o multimodal.

MEDIA ARITMÉTICA

Media aritmética de pocos datos

Para calcular la media aritmética sumamos el valor de cada dato y dividimos entre la cantidad de datos.

Ejemplo: Calcular la nota media conseguida después de haber realizado cinco exámenes. Las notas son las siguientes: 7, 6, 8, 9, 6

Media aritmética de muchos datos y variable expresada con valores discretos

La forma más sencilla es distribuir los datos es una tabla.

Ejemplo: En la tabla aparecen los datos obtenidos después de haber preguntado a 50 personas por el número de hermanos que tiene cada una. En la columna 3, se ha multiplicado la frecuencia de cada variable por su valor.

El resultado final es igual a la suma de todos los productos dividida entre el número total, 50, de personas que respondieron.

xi fi fi · xi

1,7650

88x

0 6 0

1 16 16

2 15 30

3 10 30

4 3 12

Totales = N = 50 88

Estadística


La fórmula siguiente expresa matemáticamente como calcular la media aritmética cuando tenemos muchos datos y la variable es cuantitativa discreta.

N

x·Σfx ii

Valores de la variable expresados con intervalos:

En la tabla aparecen los valores de la variable distribuidos en intervalos que tienen una amplitud de 10. Para calcular la media aritmética, utilizamos el valor medio de cada intervalo que recibe el nombre de marca de clase:

Intervalo marca de clase

xi

Frecuencia absoluta

fi

xi · fi

69,450

3.470x

[45, 55) 50 6 300

[55, 65) 60 10 600

[65, 75) 70 19 1330

[75, 85) 80 11 880

[85, 95) 90 4 360

N = 50 3470

GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Otra forma de organizar los datos son las representaciones gráficas. Los gráficos nos permiten captar de inmediato las características más relevantes de un estudio estadístico.

DIAGRAMA DE BARRAS

Se utiliza cuando queremos representar frecuencias de variables que tomen pocos valores.

En el eje horizontal representamos los valores de la variable. xi

En el eje vertical, las frecuencias. fi

La frecuencia que corresponde a cada dato se representa con una barra. Las alturas de las barras son proporcionales a las correspondientes frecuencias.

Cuando la variable es cuantitativa, los extremos superiores de las barras se pueden unir mediante líneas, obteniendo una línea poligonal que se llama polígono de frecuencias.

Estadística


Ejemplo: Diagrama de barras que representa la respuesta dada por cincuenta personas a las que se les preguntó qué deporte practican.

xi Futbol Baloncesto Tenis Atletismo Natación

fi 18 12 6 10 4

HISTOGRAMAS.

Los histogramas se utilizan para representar situaciones en las que los valores de la variable xi son continuos.

Ejemplo: En la tabla siguiente aparecen las alturas de los jugadores de varios equipos de baloncesto. Están dados en internavos de 10 en 10 cm.

18

12

6

10

4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

Futbol Baloncesto Tenis Atletismo Natación

Fre

cue

nci

a a

bso

luta

; fi

Valores de la variable, xi

Gráfico: frecuencia absoluta

0

5

10

15

20

25

30

35

[160 - 170) [170 - 180) [180 - 190) [190 - 200) [200 - 210)

Frec

uen

ica

ab

solu

ta

Estatura distribuida en intervalos

Histograma

Altura Jugadores

[160 - 170) 18

[170 - 180) 20

[180 - 190) 30

[190 - 200) 25

[200 - 210) 7

Estadística


DIAGRAMA DE SECTORES

El diagrama de sectores se puede utilizar para cualquier tipo de variable.

Los datos se representan en un círculo, dividido en sectores. Cada sector representa un valor de la variable.

La amplitud de un sector, su ángulo, es proporcional a la frecuencia del dato que representa.

El ángulo de un sector circular se obtiene aplicando la siguiente fórmula:

100

360º·(%)cientoporTantoÁngulo

Ejemplo: En la tabla siguiente aparecen los datos sobre el deporte que practican 50 personas: deporte, frecuencia absoluta y tanto por ciento.

xi fi tanto por ciento % Nº grados

Futbol 18 (18 : 50) · 100 = 36 36 · 360/100 = 129,6º

Baloncesto 12 (12 : 50) · 100 = 24 24· 360/100 = 86,4º

Tenis 6 (6 : 50) · 100 = 12 12 · 360/100 = 43,2º

Atletismo 10 (10 : 50) ·100 = 20 20 · 360/100 = 72º

Natación 4 4 : 50 = · 100 = 8 8 · 360/100 = 28,8º

Total 50

El 100% es el círculo completo. El 50%, la mitad del círculo. El 25%, la cuarta parte.

Futbol 36%

Baloncesto 24%

Tenis 12%

Atletismo 20%

Natación 8%

Diagrama de sectores

Estadística


OTROS GRÁFICOS: POLÍGONOS DE FRECUENCIAS, PICTOGRAMAS, CARTOGRAMAS

POLÍGONO DE FRECUENCIAS:

Los polígonos de frecuencias se obtienen uniendo el punto medio de la columna que representa el valor de cada variable. Los polígonos de frecuencias se construyen con gráficos de columnas e histogramas.

CARTOGRAMA

Los cartogramas utilizan los colores para representar los datos obtenidos en un estudio estadístico. El cartograma de la imagen siguiente representa los datos obtenidos al estudiar la población de España en el año 2005

PIRÁMIDES DE POBLACIÓN

Estadística


PICTOGRAMAS

Representan los datos utilizando imágenes cuya cantidad o tamaño es directamente proporcional al valor que representan. Ejemplos:

Ejemplo 2 de pictograma

El coche de la derecha representará el doble de la cantidad que representa el coche de la izquierda, porque su tamaño es el doble del coche de la izquierda.

30000 25000 20000 15000 10000 5000 0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

0-4

10-14

20-24

30-34

40-44

50-54

60-64

70-74

80 a más

Cantidad de personas

Ed

ad

Pirámide de población

Hombres Mujeres

8

12

6

10

4

F B T A Bm

0

2

4

6

8

10

12

14

Estadística


POLÍGONO NOMBRE FORMA ÁREA Á

RE

AS

DE

LA

S

F

IGU

RA

S

P

LA

NA

S

TRIÁNGULOS Triángulo rectángulo

2

h·bA

CU

AD

RIL

ÁT

ER

OS

PA

RA

LE

LO

GR

AM

OS

(lados p

ara

lelo

s

dos

a d

os)

Cuadrado

A = l · l = l2

Rectángulo

A = b· h

Rombo

2

d·DA

Romboide A = b· h

TR

AP

EC

IOS

(Tie

nen

dos la

dos

pa

rale

los)

Trapecio rectángulo

h·2

bBA

Trapecio isósceles

Trapecio escaleno

TR

AP

EZ

OID

ES

(No t

ienen

nin

gún lado

para

lelo

)

Trapezoide

Se divide en triángulos

POLÍGONOS DE n LADOS Polígonos regulares

Circunferencia Círculo Corona circular Sector circular

Longitud = 2πr Área A = Área =

CUERPOS AREA LATERAL

ÁREA TOTAL VOLUMEN

ORTOEDRO

Área lateral = Perímetro base x altura

Área total = A lateral + 2 · área base

área base · altura

largo · ancho · alto

a · b · c

CUBO

Área lateral = 4 · lado2 = 4l

2

Área total = 6 · lado2 = 6l

2

área base · altura

lado3 = l

3

PRISMAS

Área lateral = Perímetro base · altura (h)

Área total = Área lateral + 2 · área base Área Base · altura

CILINDRO

Área lateral = 2πrh

Área total = 2πr·h + 2πr2

Área base · altura

r2 h

PIRAMIDE

Área lateral =2

· piramideapotemabasePerimetro

Área total= Área lateral + área base 3

alturabaseArea ·

CONO

Área lateral = πr · generatriz = πrg

Área total = πrg + πr2

3

alturabaseArea ·

ESFERA

A = 4 π r2

Área · radio /3

3

rπ43

3

hπr2

1.1 matematicas i

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