ÁREAS DE REGIONES SOMBREADAS

Ejemplo Nº 1Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado y "O" es centro, entonces el área de la región sombreada es:

A

B

D

C

O

Resolución :

A

B

D

C

O

Por trasladode regionessombreadas

4m

4m

R

R

S S

Así tenemos que el área de la región sombreada es un triángulo, que es igual a la cuarta parte del cuadrado.

22

sombm4

4

4

4S

Ejemplo Nº 2Si ABCD es un cuadrado de 6m de lado y además "M" es punto medio, calcular el área de la región sombreada.

A

B

D

C

MResolución: No olvidar:

S S

A

B

CM

BM : Mediana relativaa AC

Área ABM = Área BCM

S S

A

B

C

Área Ssomb =

SS

S S

Área ABC6

G : Baricentro de

ABCG

Del ejemplo tenemos:

A

B

D

C

M

S S

SSS

S

3S

3S 22

sombm3

12

6

12S

www .

.

Matematic

a eP

Ejemplo Nº 3

ABC es un triángulo de 24 m2 de área. Calcular el área de la región sombreada.

A

B

CM3a a

2b

b

P

N

Resolución: No olvidar

P

Q

RT4a a

4SS

4

SS PQT

QTR

Del ejemplo tenemos:

A

B

CM3a a

2b

b

P

N2S

3SS 2S

S23

SS ABM

BCM

2total

m24S8S

2m3S

2somb

m3S

Ejemplo Nº 4

Sabiendo que ABCD es un rectángulo, calcular el área de laregión sombreada.

A

B C

D

6 m

10 m

Resolución:

A

B C

D

6 m

10 m

M

M PP

RRS

S

Área = b h

)MPRS(2Stotal

MPRSSsomb

Luego:

2totalsomb

m302

610

2

SS

Ejemplo Nº 5

Sabiendo que el lado del cuadrado ABCD mide 4 m y queM y N son puntos medios, calcular el área de la regiónsombreada.

A

B

D

CM

N

www .

.

Matematic

a eP

Resolución:

A

B

D

CM

N

S R

S

2 m 2 m

2 m

2 m

4 m

4 m

S = Triángulo rectángulo (cuarta parte del cuadrado ABCD)R = Sector circular (cuarta parte de un círculo)

S = r 2

4( )2S

somb

=4

2

2

24242

2

= 816= 8

Ejemplo Nº 6Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es uncuadrado de 8 m de lado.

A

B

D

C

Resolución:

A

B

D

C

60°

60° 60°

30° 30°8

8

8

8S S

T

88

S = Sector circular (doceava parte del círculo).T = Triángulo equilátero.

4

3LS

2

equilátero

Ssomb= 2S

12

824

38822

2

3

3231664

3

23416

Ejemplo Nº 7Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es uncuadrado de 10 m de lado, y además M, N, P y R son puntosmedios.

A

B

D

C

M

N

P

R

Resolución:

S

S

S

S

S

S

SS

Al hacer traslado de regiones, la figura cuadrada de22 m10010 de área se transforma en una cruz griega,

dividida esta en 5 cuadritos congruentes.

22

totalsomb m20

5

m100

5

SS

Obs. 1: Cuando se intersecta una diagonal y una mediana

el triángulo más pequeño que se forma es12

1del total.

A

B

D

C

Obs. 2: Cuando se intersecta dos medianas, el triángulo

más pequeño que se forma es un20

1del total.

A

B

D

C

www .

.

Matematic

a eP

Ejemplo Nº 8Sabiendo que ABCD es un cuadrado de 4 m de lado y "O"es centro del cuadrado.Calcular el área de la región sombreada.

A

B

D

C

O

Resolución:

A

B

D

C

R

R

4m

4m

Del gráfico:

24R2

22R

S = 2sombra 2

= 2

22 )22(42

832

2m)4(8

Ejemplo Nº 9Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es uncuadrado de 4 m de lado y además "O" es centro.

A

B

D

C

O

Resolución:

A

B

D

C

R

R4 R

2 2

Por Pitágoras:

4 R

2

R 222 2R)R4(

4RR8R16 22 12 = 8R

R2

3

4

9

2

3S

2

somb

Ejemplo Nº 10Calcular el área de la región sombreada, si el diámetro de lacircunferencia mide 40 m y PD = 24 m.("O" : centro del círculo)

O

P

A

C

B

D

Resolución:

O

P

A

C

B

D

53°

37°

53°24

20

20

5 15

20

2somb m50

2

205

2

hbS

www .

.

Matematic

a eP

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Si ABCD es un cuadrado de 6 m de lado, entonces elárea de la parte sombreada mide:

A

B C

D

O

a) 8 m2 b) 12 m2 c) 10 m2

d) 18 m2 e) 20 m2

02. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD esun cuadrado de "a" m de lado.

A

B C

D

a)4

a2

2m b)

4

a32

2m

c)2

a2

2m d)

8

a52

2m

e)5

a22

2m

03. Sabiendo que el lado del cuadrado mide 20 m, calcularel área de la región sombreada.

A

B C

D

O

a) 180 m2 c) 200 m2 c) 100 m2

d) 320 m2 e) 240 m2

04. Si el lado del cuadrado ABCD mide 6 metros, entoncesel área de la región sombreada medirá:

A

B C

D

a) 12 m2 b) 16 m2 c) 21 m2

d) 9 m2 e) 20 m2

05. Calcular el área de la región sombreada, si el lado delcuadrado ABCD mide 12 m.

A

B C

D

a) 36 m2 b) 30 m2 c) 42 m2

d) 32 m2 e) 48 m2

06. El lado del cuadrado ABCD mide "a" metros, calcularel área de la región sombreada.

A

B C

D

a)2

2m

5

a3b)

22

m4

a

c)2

2m

2

ad)

22

m3

a

e)2

2m

6

a

07. Calcular el área de la parte sombreada, si el lado delcuadrado es 20 m.

A

B C

D

a) 40 m2 b) 30 m2 c) 36 m2

d) 25 m2 e) 20 m2

08. Si el lado del cuadrado mide m20 , entonces el área

de la región sombreada será:

A

B C

D

a) 3 m2 b) 5 m2 c) 8 m2

d) 10 m2 e) 6 m2

www .

.

Matematic

a eP

09. Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado, entonces elárea de la parte sombreada es:

A

B C

D

a) 2m b)2m

2

c)2m

3

d) 2m

3

2

e) 2m9

4

10. El área del rectángulo ABCD es 48 m2 y "O" es centrodel círculo. Hallar el área del cuadrilátero sombreado.

A

B C

D

O

a) 10 m2 b) 12 m2 c) 15 m2

d) 24 m2 e) 30 m2

11. Si el lado del cuadrado ABCD mide 4 m, calcular elárea de la región sombreada.

A

B C

D

O

a) 2m)1( b) 2m)3(

c) 2m)12( d) 2m)2(

e) 2m)4(

12. En la figura, hallar el área de la región sombreada siABCD es un cuadrado de lado "b".

A

B C

D

a)2

b2

b)7

b32

c)18

b112

d)24

b112

e)24

b132

13. Si el área de la región sombreada mide A, entonces elárea del cuadrado ABCD medirá: ("O" es centro delcuadrado).

A

B C

D

O

a)2

A3b) 2A c)

8

A5

d)3

A8e)

5

A8

14. El cuadrado ABCD fue dividido en 9 cuadraditoscongruentes. Calcular el área de la región sombreada,si el lado del cuadrado mide 6m.

A

B C

D

a) 20 m2 b) 24 m2 c) 18 m2

d) 28 m2 e) 26 m2

15. Sabiendo que el área del rectángulo ABCD mide

120 m2, entonces el área de la región sombreada será:

A

B C

D

a)2

m40 b) 2m45 c) 2m57

d) 2m50 e) 2

m60

16. Si ABCD es un cuadrado de 60 cm de lado, entonces

el área de la región sombreada es :

A

B C

D

a) 2cm4 b) 2

cm3 c) 2cm6

d) 2cm5 e) 2

cm2

www .

.

Matematic

a eP

17. Si la diagonal del cuadrado ABCD mide 8 m, entoncesel área de la región sombreada es:

O

R

A

B

C

D

a) 2m48 b) 2m44

c) 2m116 d) 2m36

e) 2m216

18. Sabiendo que ABCD es un cuadrado y "O" es centrode dicho cuadrado, calcular el área de la regiónsombreada.

A

B C

D

O

2m

2m

6m

a) 2m9 b) 2m,58 c) 2m,59

d) 2m8 e) 2m,57

19. Si ABCD es un cuadrado de 12m de lado, entonces elárea de la parte sombreada será:

A

B C

D

a) 18 b) 6 c) 12d) 48 e) 24

20. Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado, entonces elárea de la región sombreada es:

A

B C

D

O

a) )3(4 b) 34

c) )2(2 d) )4(2

e) )2(4

21. Calcular el área de la región sombreada.Lado del cuadrado : 2m

A

B C

D

O

a) )2(2 b) )4(2

c) )3(6 d) )2(4

e) )2(2

22. Sabiendo que P y Q son puntos medios de los ladosdel cuadrante AOB. El área de la región asignada con

S es 16 m2. El área de las regiones sombreadas en el

interior del cuadrante es:

A

BO

P

S

Q

a) 15 m2 b) 32 m2

c) 16 m2 d) 18 m2

e) 12 m2

23. Hallar el área de la región sombreada:

2

2

a)2

u3

32

b) 2u3

c)2

u2

3 d) 2u2

32

e) 2u2

32

24. ¿Qué parte del área total está sombreada? (ABCD esun paralelogramo)

A

B C

D

www .

.

Matematic

a eP

a)4

1b)

5

2c)

6

1

d)8

1e)

3

1

25. Si el cuadrado ABCD tiene longitudes en metros,entonces el área de la región sombreada es:

A

B C

D

2 m 2 m 2 m

2 m 2 m 2 m

a) 2 m2 b) 2,5 m2

c) 3,5 m2 d) 3 m2

e) 4 m2

26. Si el cuadrado ABCD tiene longitudes en metros,entonces el área de la región sombreada es:

A

B C

D

2m 2m 2m

2m 2m 2m

a) 2 m2 b) 2,5 m2

c) 3,5 m2 d) 3 m2

e) 4 m2

27. En la figura, hallar el área de la región sombreada.

Si: 2ACDABC

m100SS

A B

C

D

M

a) 100 m2 b) 40 m2

c) 70 m2 d) 80 m2

e) 50 m2

28. ABCD es un cuadrado de "a"cm de lado, calcular elárea de la región sombreada.

A

B C

D

a)20

a2

b)12

a2

c)8

a2

d)24

a72

e)12

a72

29. ¿Qué parte del área del cuadrado ABCD estásombreada?

A

B C

D

a)2

1b)

5

2c)

5

3

d)4

1e)

4

3

30. Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado, calcular elárea de la región sombreada.

A

B C

D

a) 512 b) 916

c)9

2512 d) 714

e)9

2516

31. ¿Qué fracción del área total está sombreada?

a

3a

a)10

1b)

20

7c)

20

5

d)5

3e)

21

8

32. Las circunferencias que se muestran a continuacióntienen el mismo radio (r = 4 m). Calcular el área de laregión sombreada. (R, S y T son puntos de tangencia).

r r

r

R

S

T

www .

.

Matematic

a eP

a) 328 b) 238

c) 38 d) 324

e) 342

33. Si el lado del cuadrado ABCD mide "a"metros, entoncesel área de la región sombreada será :

A

B C

D

a)2

2m

6

ab)

22

m8

a

c) 22

m12

a d) 22

m15

a

e) 22

m10

a

34. Calcular el área del círculo sombreado.

A B

R R

O4m 4m

a)2m

25

9b)

2m16

9c)

2m9

16

d)2m

25

16e)

2m125

64

35. Hallar la suma de las áreas de los dos cuadradossombreados.

Si: cm6AB

A B

C

D

N

P

a) 6 cm2 b) 9 cm2 c) 4 cm2

d) 16 cm2 e) 13 cm2

36. Calcular el área de la región sombreada, si es uncuadrado.

2

5

a) 20 m2 b) 40 m2 c) 36 m2

d) 64 m2 e) 50 m2

37. En la figura DA y CB son tangentes a lasemicircunferencia de centro "O".

Si: m4DA y m1CB , calcular el área de la región

sombreada.

A B

C

D

E

O

a) )35(2 2

m b) )4(2 2

m

c) )5(2 2m d) )4(2 2

m

e) )5(2 2

m

38. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un

cuadrado de lado m2a

A

B C

D

a) 22

m22

a b) 22

m24

a

c) 22m2a d) 2

2m2

8

a

e) 26

a2

39. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un

rectángulo. ("O" es centro del rectángulo).

A

B C

D

OP2

8

6

M 2

www .

.

Matematic

a eP

a) 11 m2 b) 8 m2 c) 12 m2

d) 6 m2 e) 10 m2

40. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es uncuadrado cuyo lado mide 12 m.

A

B C

D

a) 3653 b) 3252

c) 3853 d) 353

e) 343

41. Calcular el área de la región sombreada.

4

6 16

a) 13644 b) 832

c) 43256 d) 20642

e) )1372(4

42. Sabiendo que P es punto medio del arco AB, hallar el

área de la región sombreada. ( AB : diámetro)

A B

P

8m

a) 2m b) 2m3 c) 2m

3

2

d)2

m2 e) 2m2

43. En la figura, "O" es centro del cuadrante y OB es

diámetro de la circunferencia. Si: m8OB , hallar el

área de la región sombreada.

60°

A

BO

a) 33

8 b) 333

8

c) 33

16 d) 323

16

e) 343

16

44. ABCD es un paralelogramo. El área de la región

sombreadaes12m2. Hallar el área del triángulo ABM.

Si: BN = 3NM

A

B C

DM

N

a) 40 m2 b) 16 m2 c) 24 m2

d) 36 m2 e) 28 m2

45. Hallar el área del paralelogramo ABCD, si la diferenciade las áreas de las 2 regiones sombreadas es "k".

A

B C

D

a) 4k b) 5k c) 6kd) 7k e) 8k

46. Si ABCD es un paralelogramo de "A"2

cm de área.Calcular el área de la parte sombreada en centímetros.

a)12

Ab)

30

Ac)

24

A

d)10

Ae)

36

A

47. Sabiendo que: BE = 3ED; CF = 3FE y AD = 3DF; y

además el área de la región sombreada mide2

m4 .Calcular el área del triángulo ABC.

www .

.

Matematic

a eP

A

B

C

EF

D

a) 2m80 b) 2

m200 c) 2m100

d) 2m68 e) 2

m481

48. Sabiendo que ABCD es un cuadrado de 13 m de lado.

Calcular el área de la región sombreada.

A

B C

D

a

a

a

a

2a

2a

2a

2a

a)2

m26 b)2

m9 c)2

m11

d) 2m13 e) 2m

13

25

49. Según la figura: 221

m16SS , calcular : "r"

A

B

CO

S1S2r

a) 8 m b 2 m c) 16 m

d) 4 m e) 6 m

50. Hallar el área del triángulo equilátero sombreado.

Si: m8BP .

MN

PA

B

C

a) 2m33 b) 2

m32

c)2

m2

3d)

2m

2

33

e) 2m3

51. Calcular el área de la región sombreada, si el lado delcuadrado mide 30 m y además M, N y P son puntosmedios.

M P

N

Q

a)2

m140 b)2

m90 c) 2m180

d)2

m100 e) 2m120

52. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es uncuadrado de lado 2 cm.

A

B C

D

a) 2cm2

b)2cm

3

c)

2cm3

2

d) 2cm4

e) 2cm6

53. Hallar el área de la región sombreada, si el lado delcuadrado ABCD es 4 m.

A

B C

D

a)9

64b)

25

2c)

9

25

d)25

64e)

64

25

www .

.

Matematic

a eP

54. Sabiendo que ABCD es un rectángulo RS//BC, TS//AC,

calcule

2

1

S

Ssiendo

1S y

2S las áreas de las regiones

sombreadas.

A

B C

D

S1

S2

R S

T

a) 1 : 1 b) 1 : 2 c) 3 : 4d) 2 : 3 e) 1 : 3

55. Si el área del triángulo ABC mide 224 m2, entonces elárea de la parte sombreada es:

A

B

C

a

a

a

a

c c c c

b

b

b

b

a)2

m144 b) 2m130

c) 2m164 d)

2m128

e) 2m156

56. Calcular el área de la región sombreada, si el ancho delrectángulo ABCD mide 12 cm y MAD es un sectorcircular cuyo ángulo central mide 60º.

A

B C

D

M

12

a) )3(48 b) )3(32

c) )32(32 d) )3(24

e) 3216

57. Si ABCD es un cuadrado y L es su lado, entonces elárea de la región sombreada será :

A

B C

D

a)8

L2

b)2

L2

c)6

L2

d)12

L2

e)4

L2

58. En la figura mostrada, P, Q, R y T son puntos medios,además:

24221

m12SSSS

Hallar: "S"

S

S1

S3

S4

S2

P

Q

R

T

a) 10 m2 b) 16 m2 c) 12 m2

d) 24 m2 e) 15 m2

59. Hallar el área de la región sombreada.

30 m

20 m

40 m

30 m

a) 2m300 b) 2

m600

c) 2m400 d)

2m240

e) 2m200

60. Calcular el área de la región sombreada, si el área

(ABCD) = 42 cm2 y1

G ,2

G son baricentros (ABCD

es paralelogramo).

A

B C

D

G1

G2

a) 2cm3

40 b) 2cm3

20

c) 2cm01 d) 2

cm02

e) 2cm7

www .

.

Matematic

a eP

ClavesClavesd

c

b

c

b

e

b

a

b

b

d

d

d

a

b

e

e

b

b

e

a

c

d

a

d

b

e

d

d

e

b

a

c

c

b

b

e

a

a

a

e

a

e

b

c

a

e

d

a

e

b

d

d

b

d

e

c

c

a

e

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

www .

.

Matematic

a eP