Bài 3Các phân phối xác suất thường gặp

Phân phối nhị thức

Phép thử BernoulliXét một thí nghiệm chỉ có 2 khả năng xảy ra: “thành công” hoặc “thất bại”.Thành công với xác suất p.Thất bại với xác suất 1-p.

Thí nghiệm như vậy gọi là phép thử Bernoulli, ký hiệu B(1,p).

Phân phối nhị thức

Phép thử Bernoulli – ví dụ.Tung đồng xu: hình / số.Mua vé số: trúng / không trúng.Trả lời ngẫu nhiên 1 câu trắc nghiệm: đúng / sai.Kiểm tra ngẫu nhiên hàng hóa: tốt / xấu.

Phân phối nhị thức

Phân phối nhị thứcThực hiện phép thử Bernoulli B(1,p) n lần độc lập. ĐặtX = “Số lần thành công trong n lần thí nghiệm”X = 0, 1, 2, …, n.X có phân phối nhị thức với tham số p.Ký hiệu: X ~ B(n,p).

Phân phối nhị thức

Công thứcXét X ~ B(n,p)

( ) (10,1, ,

)k k n knP X k C p p

k n

Phân phối nhị thức

Ví dụCho X ~ B(5,0.1)Tính P(X=1)

k n k

1 5 1

4

P(X 1) P (1 P)5! (0.1) (1 0.1)1!(5 1)!

(5)(0.1)(0.9).32805

knC

Phân phối nhị thức

Mean n = 5 P = 0.1

0.2.4.6

0 1 2 3 4 5x

P(x)

n = 5 P = 0.5

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5x

P(x)

0

Hình dạng của phân phối nhị thức sẽ phụ thuộc vào p và n.

n = 5 và P = 0.1

n = 5 và P = 0.5

Phân phối nhị thức

Nếu X ~ B(n,p):

EX np 1) Trung bình

2) Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn2 npq

npq - n: số lần thực hiện thí nghiệm - p: xác suất thành công ở 1 lần thí nghiệm- q = 1- p.

Phân phối nhị thức

n = 5 P = 0.1

n = 5 P = 0.5

Mean

0.2.4.6

0 1 2 3 4 5x

P(x)

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5x

P(x)

0

0.5(5)(0.1)nPμ

0.67080.1)(5)(0.1)(1P)nP(1-σ

2.5(5)(0.5)nPμ

1.1180.5)(5)(0.5)(1P)nP(1-σ

Ví dụ

Phân phối Poisson

Số các biến cố xảy ra trong một khoảng thời gian cho trước.

Số các biến cố trung bình trên một đơn vị là .

Ví dụSố người xếp hàng tính tiền ở siêu thị, số cuộc điện thoại đến bưu điện trong 1 ngày, số máy tính hư trong 1 ngày ở 1 khu vực, …

Phân phối Poisson

Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị từ 0, 1, 2, … gọi là có phân phối Poisson với tham số nếu

k = 0, 1, 2, …

( )!

keP X kk

Phân phối Poisson

Trung bình

Phương sai và độ lệch tiêu chuẩn

μ E(X) λ

λ]σ2 2)[( XE

λσ Với = số biến cố xảy ra trung bình trên 1 đơn vị

Phân phối Poisson

Ví dụTrong một nhà máy dệt, biết số ống sợi bị đứt trong 1 giờ có phân phối Poisson với trung bình là 4. Tính xác suất trong 1 giờ cóa. Đúng 3 ống sợi bị đứt.b. Có nhiều hơn 1 ống sợi bị đứt.

Bảng tra phân phối Poisson

X

0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90

01234567

0.90480.09050.00450.00020.00000.00000.00000.0000

0.81870.16370.01640.00110.00010.00000.00000.0000

0.74080.22220.03330.00330.00030.00000.00000.0000

0.67030.26810.05360.00720.00070.00010.00000.0000

0.60650.30330.07580.01260.00160.00020.00000.0000

0.54880.32930.09880.01980.00300.00040.00000.0000

0.49660.34760.12170.02840.00500.00070.00010.0000

0.44930.35950.14380.03830.00770.00120.00020.0000

0.40660.36590.16470.04940.01110.00200.00030.0000

Ví dụ: Tìm P(X = 2) nếu = .50

( )!

0.50 2e (0.50)2 .07582!keP X

k

Phân phối xác suất Poisson

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0 1 2 3 4 5 6 7

x

P(x)X

=0.50

01234567

0.60650.30330.07580.01260.00160.00020.00000.0000

P(X = 2) = .0758

= .50

Phân phối Poisson

Hình dạng của phân phối Poisson phụ thuộc vào tham số :

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

P(x

)

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0 1 2 3 4 5 6 7

x

P(x)

=0.50 =3.00

Định lý Poisson

Cho X ~ B(n,p)

Dùng phân phối Poisson để xấp xỉ phân phối nhị thức khi n >> p.

0

lim !k

k k n knn

pnp

eC p qk

Mô hình Poisson

Mô hình Poisson :+ Xét n phép thử Bernoulli. + Trong đó xác suất thành công là p.+ Các phép thử độc lập với nhau.(Kết quả của phép thử này không ảnh hưởng đến kết

quả của các phép thử kia)+ X – số lần xuất hiện thành công trong n phépthử.+ Trong đó n lớn ( n 100) và p nhỏ (p 0,01và np 20). Khi đó X ~ P().

Mô hình Poisson

Ví dụTrong một đợt tiêm chủng cho 2000 trẻ em ở một khu vực. Biết xác suất 1 trẻ bị phản ứng với thuốc khi tiêm là 0.001. Tính xác suất trong 2000 trẻ có không quá 1 trẻ bị phản ứng khi tiêm thuốc.

Phân phối đều

Tất cả các khả năng có thể xảy ra của biến ngẫu nhiên có phân phối đều có xác suất bằng nhau.

X có phân phối đều trong khoảng [a,b], ký hiệu X ~ U([a,b]).

xmin xmaxx

f(x)

Tổng diện tích miền giới hạn bởi phân phối đều là 1.0

Phân phối đều

Hàm mật độ xác suất của phân phối đều trong đoạn [a,b]

1 neáua x bb a

0 nôi khaùc

f(x) =

vớif(x) = giá trị hàm mật độ tại điểm xa = giá trị nhỏ nhất của xb = giá trị lớn nhất của x

Phân phối đều

Kỳ vọng

Phương sai

a b2EX

22(b-a)

12VarX

Phân phối đều

Ví dụ: Phân phối đều trên khoảng 2 ≤ x ≤ 6

2 6

.25

f(x) = = .25 for 2 ≤ x ≤ 66 - 21

x

f(x) 2 6 42 2a bEX

2 26 2 16 1.33312 12 12b a

VarX

Phân phối mũ

Biến ngẫu nhiên T (t>0) gọi là có phân phối mũ nếu có hàm mật độ xác suất

Với

số biến cố xảy ra trung bình trong một đơn vị thời gian. t số đơn vị thời gian cho đến biến cố kế tiếp. e = 2.71828

Ký hiệu: T ~ exp(t), T là khoảng thời gian giữa 2 lần xảy ra các

biến cố.

λλ tf(t) e vôùi t 0

Phân phối mũ

Hàm phân phối xác suất

Kỳ vọng và phương sai

λ tF(t) 1 e vôùi t>0

1ET

2

1VarT

Phân phối mũVí dụ: Số khác hàng đến một quầy dịch vụ với tỷ lệ là 15 người một giờ. Hỏi xác suất thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến quầy dịch vụ ít hơn 3 phút là bao nhiêu. Trung bình có 15 khách hàng đến trong 1 giờ, do đó

= 15

3 phút = 0.05 giờ

T: thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến quầy.

P(T < .05) = 1 – e- t = 1 – e-(15)(.05) = 0.5276

Vậy có khoảng 52,76% khoảng thời gian giữa 2 khách hàng liên tiếp đến làm dịch vụ tại quầy ít hơn 3 phút.

Phân phối mũ

Ví dụ: Trong một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử, biết tuổi thọ của một mạch điện là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với tuổi thọ trung bình là 6,25 năm. Nếu thời gian bảo hành của sản phẩm là 5 năm. Hỏi có bao nhiêu % mạch điện của nhà máy khi bán ra thị trường phải thay thế trước thời gian bảo hành.

Phân phối chuẩn

Biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong R gọi là có phân phối chuẩn với tham số và 2 nếu hàm mật độ xác suất

Với: EX = và VarX = 2.

Ký hiệu: X ~ N(, 2)

2

2

2 ,1( )2

x

xf x e

Phân phối chuẩn

Dạng như một cái chuông Có tính đối xứng Trung bình = Trung vị = Mode Vị trí của phân phối được xác định bởi kỳ vọng, Độ phân tán được xác định bởi độ lệch tiêu chuẩn, σ Xác định từ + to

Trung bình = Trung vị = Mode

x

f(x)

μ

σ

Phân phối chuẩn

Bằng việc thay đổi các tham số μ và σ, ta nhận được nhiều dạng phân phối chuẩn khác nhau

Phân phối chuẩn

x

f(x)

μ

σ

Thay đổi μ dịch chuyển phân phối qua trái hoặc phải

Thay đổi σ làm tăng hoặc giảm độ phân tán.

Hàm phân phối của phân phối chuẩn

Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn với trung bình μ và phương sai σ2 , X~N(μ, σ2), hàm phân phối của X là

)xP(X)F(x 00

x0 x0

)xP(X 0

f(x)

Xác suất của phân phối chuẩn

x

Xác suất X (a,b) đo bởi diện tích giới hạn bởi đường cong chuẩn.

F(a)F(b)b)XP(a

bμa

Xác suất của phân phối chuẩn

xbμa

bμa

bμa

F(a)F(b)b)XP(a

a)P(XF(a)

b)P(XF(b)

Phân phối chuẩn hóa Xét biến ngẫu nhiên X ~ N(, 2). Chuẩn hóa X

bằng cách đặt

Khi đó EZ = 0 và VarZ = 1. Ta nói Z có phân phối chuẩn hóa. Ký hiệu

1)N(0~Z ,

σμXZ

Z

f(Z)

0

1

Phân phối chuẩn hóa

Nếu X có phân phối chuẩn với trung bình là 100 and độ lệch tiêu chuẩn là 50, thì giá trị của Z ứng với X = 200 is

200 100 2.050

XZ

Z100

2.00200 X (μ = 100, σ = 50)

(μ = 0, σ = 1)

Phân phối chuẩn hóa

Hàm mật độ

Hàm phân phối

2

21( )2

( ) :haøm Gaussz

zf z e

20

02

0 ) ( )1( ) (2

haøm Laplace

z t

F z P Z e dtz z

Tính xác suất

a b x

f(x)

σμaF

σμbF

σμbZ

σμaPb)XP(a

σμb

σμa Z

µ

0

Tính xác suất

f(X)

Xμ

0.50.5

1.0)XP(

P(μ X ) 0.5 P( X μ ) 0.5

Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)

Để tìm xác xuất P(X<x0); chuẩn hóa đưa X về Z: tìm xác suất bằng cách tra bảng chuẩn hóa N(0,1).

Z

( )F(a) P(Z a)= a

Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)

P(Z<1.04) = (1.04)= 0.8508

Tra bảng chuẩn hóa N(0,1)

Ví dụ: P(Z < 2.00) = (2.00) = .9772 Z0 2.00

.9772

Do tính đối xứng(-z) = 1 - (z)

Ví dụ: P(Z < -2.00) = (-2.00)= 1 – (2.00) = 1 - 0.9772 = 0.0228 Z0-2.00

Z0 2.00

.9772.0228

.9772

Ví dụ

Giả sử X có phân phối chuẩn với trung bình là 8.0 và độ lệch tiêu chuẩn 5.0. Tìm P(X < 8.6).

X

8.68.0

Ví dụ

Z0.12 0X8.6 8

μ = 8 σ = 10

μ = 0σ = 1

P(X < 8.6) P(Z < 0.12)

8.6 8.0 0.125.0

XZ

Ví dụ

Z

0.12

z (z)

.10 .5398

.11 .5438

.12 .5478

.13 .5517

(0.12) = 0.5478

Tra bảng chuẩn hóa

0.00

= P(Z < 0.12)P(X < 8.6)

Ví dụ

Giả sử X có phân phối chuẩn với trung bình 8.0 và độ lệch tiêu chuẩn 5.0.

Tìm P(X > 8.6)

X8.0

8.6

Ví dụTìm P(X > 8.6)…

Z

0.12 0

Z

0.5478

0

1.000 1.0 - 0.5478 = 0.4522

P(X > 8.6) = P(Z > 0.12) = 1.0 - P(Z ≤ 0.12)

= 1.0 - 0.5478 = 0.4522

0.12

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

Cho X ~ B(n,p). Khi n lớn và p không quá gần 0 và 1.

Tính P(X < c)?Tính P(a < X < b)?

Dùng phân phối chuẩn.

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

Đặt = EX = np2 = VarX = np(1-p)

Tạo biến ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn hóa từ phân phối nhị thức

(1 )X EX X npZVarX np p

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

( ) X np c np c np c npP X c P P Znpq npq npq npq

a np b npP a X b P Znpq npq

b np a npnpq npq

Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

Ví dụTrong một cuộc bầu cử ở một thành phố, biết rằng 40% người dân ủng hộ ứng cử viên A. Chọn ngẫu nhiên 200 người, hỏi xác suất gặp được từ 76 đến 80 người ủng hộ ứng cử viên A là bao nhiêu?

Ví dụ

E(X) = µ = nP = 200(0.40) = 80 Var(X) = σ2 = nP(1 – P) = 200(0.40)(1 – 0.40) = 48

76 80 80 80P(76 X 80) P Z200(0.4)(1 0.4) 200(0.4)(1 0.4)

P( 0.58 Z 0)(0) ( 0.58)

0.5000 0.2810 0.2190