caracterizaciondebeal
TRANSCRIPT
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Sobre la caracterizacin de Cinco Ecuaciones generadoras de Tros de trminos
pertenecientes a la conjetura de Beal.
Rodolfo A. Nieves Rivas
Resumen.
En este breve ensayo se presentan Cinco ecuaciones para la representacin cannica de
los trminos correspondientes a casos particulares y obtencin de los tros de la
ecuacin de la conjetura de Beal. Luego se establece su caracterizacin y se concluye
con algunos ejemplos que nos permiten visualizar el comportamiento y sentar las bases
que nos garanticen la resolucin definitiva de dicha conjetura.
Palabras clave: Representacin cannica; Caracterizacin; Tros de Beal.
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On the characterization of five canonical equations generating triples terms
belonging to Beal's Conjecture.
Rodolfo A. Nieves Rivas
Abstract.
We present in this brief article five equations for the canonical representation of the
terms corresponding to particular cases and obtaining the equation triples of the Beal's
conjecture. Then, we establish its characterization and conclude with some examples
that allow us to visualize the behavior and to lay the foundations that guarantee the
ultimate resolution of this conjecture.
Keywords: Canonical representation, characterization, Beal's triples.
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Introduccin:
Desde que se conoce el teorema de Pitgoras con su ecuacin caracterstica y los
diferentes mtodos para la obtencin de sus ternas o tros pitagricos primitivos y luego
con el surgimiento del estudio de las ecuaciones Diofanticas, as como el intento de
generalizacin de la ecuacin de Pitgoras a exponentes mayores que Dos por parte de
Fermat y los resultados presentados por Matiyasevich en lo concerniente al dcimo
problema de Hilbert. Y adems con la solucin presentada por Andrew Wiles con sus
curvas elpticas modulares al teorema de Fermat. Ahora surge otro problema al que hay
que enfrentar y este problema es conocido como: La conjetura de Beal. Dado que fue:
Andrew Beal quien la formulo.
En este breve ensayo se presenta la caracterizacin y representacin cannica de Cinco
ecuaciones de aplicacin general y de resolucin general de esta conjetura. Sentando
las bases que nos garantizan el avance hacia su solucin definitiva.
Planteamiento del problema:
El problema consiste en establecer las condiciones necesarias y suficientes para
demostrar la conjetura de Beal a travs de la caracterizacin y obtencin de todos los
tros de trminos pertenecientes a su ecuacin correspondiente.
Conjetura de Beal:
Si: Ax + B
y = C
z es la Ecuacin de Beal.
Donde: x ; y ; z ; A ; B ; C. Son Nmeros Naturales mayores que Dos.
Entonces: A ; B ; C. Tienen un factor Primo en comn.
Escolio:
Si: A ; B ; C. son coprimos.
Entonces: Al menos uno de los Tres exponentes: x;y;z
es menor o igual que Dos.
-
2
2
de Beal-Nieves:
: B C es la ecuacin de la Conjetura de Beal.
: + . + . B D
y solo si: D = C
todo: (A ; B ; C ; D ;
X Y Z
X Y Z X Y W
W Z
Criterio
Si A
Entonces A B C A
Si
Para
X ; Y; Z ; W) 1
2
2
de Beal-Nieves:
: B C es la ecuacin de la Conjetura de Beal.
: + . + . B - D 0
y solo si: D = C
todo: (A ; B ;
X Y Z
X Y Z X Y W
W Z
Criterio
Si A
Entonces A B C A
Si
Para
C ; D ; X ; Y; Z ; W) 1
-
Primera Caracterizacin:
Teorema 1: Beal-Nieves.
Si: A = B
Cuando: C = A. 1n A
n3
Tal que: 1n A
Entonces la conjetura de Beal: Ax + B
y = C
z Es cierta
Si y solo si: x = n
Y adems: y = (n+1)
Donde: z = n
Y por tanto: An
+ Bn+1
= Cn
Observacion: Este teorema permite demostrar que efectivamente ( A ; B ; C ) Tienen
un factor comun igual a: A como lo establece la conjetura de Beal y el cual puede ser:
Primo o compuesto y si es compuesto entonces el factor comun es un numero primo
perteneciente a la descomposicion factorial de: A .
Ejemplos:
A = 31
n = 5
C = 62
B = 31
Ax + B
y = C
z = 31
5 + 31
6 = 62
5
-
A = 26
n = 3
C = 78
B = 26
Ax + B
y = C
z = 26
3 + 26
4 = 78
3
A = 127
n = 7
C = 254
B = 127
Ax + B
y = C
z = 127
7 + 127
8 = 254
7
A = 63
n = 3
C = 252
B = 63
Ax + B
y = C
z = 63
3 + 63
4 = 252
3
-
Primera Ecuacion canonica generadora de Trios de Beal:
Sea: ( an 1 )n + ( an 1 )n+1 = (( an 1 ).a)n = ( an+1 a )n
Para toda: a2
Y toda: n2
Teorema: 2 de Beal-Nieves.
Sea: Ax + B
y = C
z La ecuacin de la conjetura de Beal.
Para: A = B A B
Cuando: C = c
Si: an + b
n = c
Y adems: x = n
y = n
z = n+1
n3
Entonces: A = (a.c)
Cuando: B = (b.c)
Tal que: (a.c)n + (b.c)
n = c
n+1 Ax + By = Cz
-
Segunda Caracterizacin:
Sea: Ax + B
y = C
z La ecuacin de la conjetura de Beal.
Para: A = B A B
Cuando: C = c
Si: an + b
n = c
Y adems: x = n
y = n
z = n+1
n3
Entonces: A = (a.c)
Cuando: B = (b.c)
Tal que: (a.c)n + (b.c)
n = c
n+1 Ax + By = Cz
Generalizacin:
Sea: [a.( an + b
n)]
n + [b.( a
n + b
n)]
n = [a
n + b
n]
n+1
Cuando: a 2
Y adems: b 2
Para toda: n 2
-
Segunda Ecuacin cannica generadora de tros de Beal:
Sea: (a.c)n + (b.c)
n = c
n+1
Solo cuando: an + b
n = c
Para toda: a1
Para toda: b1
Y toda: n2
Observacin: para todo nmero primo de la forma: 4.m+1 = a2 + b
2 = c
Queda demostrado que: a=1 y adems: A = C = c. As como: b2 = 4.m
Esto est Garantizado por la demostracin de Fermat a la conjetura de: Girard.
Ejemplos:
a = 3
b = 5
n = 3
C = c = 152
A = 456
B = 760
4563 + 760
3 = 152
4 Ax + By = Cz
-
a = 2
b = 3
n = 3
C = c = 35
A = 70
B = 105
703 + 105
3 = 35
4 Ax + By = Cz
a = 1
b = 4
n = 2
C = c = 17
A = 17
B = 68
172 + 68
2 = 17
3 Ax + By = Cz
a = 3
b = 3
n = 4
C = c = 162
A = 486
B = 486
4864 + 486
4 = 162
5 Ax + By = Cz
-
Criterio y Discriminante de Nieves sobre la conjetura de Beal.
Para que sea cierto que: Ax + B
y = C
z
Cuando: Ax + B
y = C
z Es la Ecuacin de Beal.
Solo es necesario y suficiente que:
[A-x
/ C-z
] - [A-x
/ B-y
]= 1
[Cz / A
x] - [B
y / A
x]= 1
[Cz / B
y] - [A
x / B
y]= 1
[Ax / C
z] + [B
y / C
z]= 1
CZ = Ax + BY
300429072 = 962223 + 438
210629382 = 762713 + 177
1222 = 114 + 35
712 = 173 + 27
712 = 34 + 25
132 = 52 + 122
-
Ejemplos:
[1-1
/ 3-2
] - [1-1
/ 2-3
]= 1
[32 / 1
1] - [2
3 / 1
1]= 1
[32 / 2
3] - [1
1 / 2
3]= 1
[11 / 3
2] + [2
3 / 3
2]= 1
Observacin: el ejemplo anterior est relacionado con la conjetura de cataln
presentada por Eugene charles cataln en 1884 y demostrada por Preda Mihailescu
en el 2002.
[2-5
/ 3-4
] - [2-5
/ 7-2
]= 1
[34 / 2
5] - [7
2 / 2
5]= 1
[34 / 7
2] - [2
5 / 7
2]= 1
[25 / 3
4] + [7
2 / 3
4]= 1
Observacin: El ejemplo anterior permite visualizar una de las condiciones cuando los
tres trminos no tienen un factor comn entonces al menos uno de las exponentes es
igual a: 2 y adems cabe destacar que el termino: Cz = 3
4 puede cambiarse por : C
Z = 9
2
-
Comprobacin de los valores correspondientes a los tros de Beal; en la siguiente
tabla a travs del discriminante o identidad de Nieves.
Transformaciones
de: Cz Cz = AX + By Transformaciones
de: Bz z x y
82= 26=43=641 82 = 391 + 52 52= 251 2;6;3;1 1 2;1
Discriminante o Identidad de Nieves.
[A-x
/ C-z
] - [A-x
/ B-y
]= 1
[Cz / A
x] - [B
y / A
x]= 1
[Cz / B
y] - [A
x / B
y]= 1
[Ax / C
z] + [B
y / C
z]= 1
Comprobacin:
[39-1
/ 8-2
] - [39-1
/ 5-2
]= 1
[82 / 39
1] - [5
2 / 39
1]= 1
[82 / 5
2] - [39
1 / 5
2]= 1
[391 / 8
2] + [5
2 / 8
2]= 1
Transformacin:
[39-1
/ 4-3
] - [39-1
/ 5-2
]= 1
[26 / 39
1] - [5
2 / 39
1]= 1
[43 / 25
1] - [39
1 / 5
2]= 1
[391 / 64
1] + [5
2 / 4
3]= 1
-
Teorema Principal:
Todo nmero impar se puede expresar con la diferencia de Dos cuadrados
12-02 = 1
22-12 = 3
32-22 = 5
42-32 = 7
32-02 = 52-42 = 9
62-52 = 11
72-62 = 13
42-12 = 82-72 = 15
92-82 = 17
102-92 = 19
52-22 = 112-102 = 21
122-112 = 23
52-02 = 132-122 = 25
62-32 = 142-132 = 27
152-142 = 29
162-152 = 31
72-42 = 172-162 = 33
62-12 = 182-172 = 35
192-182 = 37
82-52 = 202-192 = 39
-
Teorema 1:
Todo nmero impar se puede expresar con la diferencia de
Dos cuadrados consecutivos
12-02 = 1
22-12 = 3
32-22 = 5
42-32 = 7
52-42 = 9
62-52 = 11
72-62 = 13
82-72 = 15
92-82 = 17
102-92 = 19
112-102 = 21
122-112 = 23
132-122 = 25
142-132 = 27
152-142 = 29
162-152 = 31
172-162 = 33
182-172 = 35
192-182 = 37
202-192 = 39
Teorema 2:
Dos nmeros consecutivos siempre son coprimos
Teorema 3:
Si Dos nmeros coprimos no dividen la suma de ambos.
Entonces ambos son coprimos a la misma
Teorema 4:
Toda ensima potencia cuya base sea un nmero impar primo o compuesto
siempre es impar
-
Corolario 1:
Si las bases de los tres trminos de la Ecuacin de Beal son coprimos.
Y adems una de dichas bases es un nmero impar.
Entonces al menos uno de los exponentes es igual a Dos
Cz = Ax + By
12 = 1 + 02
22 = 3 + 12
32 = 5 + 22
42 = 7 + 32
52 = 9 + 42 32 = 9
62 = 11 + 52
72 = 13 + 62
82 = 15 + 72
92 = 17 + 82
102 = 19 + 92
112 = 21 + 102
122 = 23 + 112
132 = 25 + 122 52 = 25
142 = 27 + 132 33 = 27
152 = 29 + 142
162 = 31 + 152
172 = 33 + 162
182 = 35 + 172
192 = 37 + 182
202 = 39 + 192
Con este Corolario queda demostrado el teorema principal y el teorema: 1
Y el mismo permite demostrar una de la condiciones de la conjetura de Beal.
-
Aplicacin de los teoremas anteriores:
Cz = Ax + By
42 = 71 + 32
252 = 72 + 242
1722 = 73 + 1712
12012 = 74 + 12002
Demostracin:
Ax = Cz - By
71 = 42 - 32
72 = 252 - 242
73 = 1722 - 1712
74 = 12012 - 12002
Dado que: Ax siempre es impar si: A es impar para toda: x Entonces por el
teorema principal la Conjetura de Beal es Cierta por el teorema: 5
CZ = Ax + BY
300429072 = 962223 + 438
210629382 = 762713 + 177
1222 = 114 + 35
712 = 173 + 27
712 = 34 + 25
132 = 52 + 122
-
Transformaciones de trminos:
CZ = Ax + BY z x y
12 = 11 + 02 2 1 2
22 = 31 + 12 2 1 2
32 = 51 + 22 2 1 2
42 = 71 + 32 2 1 2
32 = = 32 + 02 2 2 2
62 = 111 + 52 2 1 2
72 = 131 + 62 2 1 2
42 = = 151 + 12 2 1 2
92 = 171 + 82 2 1 2
102 = 191 + 92 2 1 2
52 = = 211 + 22 2 1 2
122 = 231 + 112 2 1 2
132 = 52 + 122 2 2 2
62 = = 33 + 32 2 3 2
152 = 291 + 142 2 1 2
162 = 311 + 152 2 1 2
72 = = 331 + 42 2 1 2
182 = 351 + 172 2 1 2
192 = 371 + 182 2 1 2
82 = = 391 + 52 2 1 2
Anlisis de las transformaciones posibles en general:
Transformaciones de: CZ CZ = Ax + BY z x y
12 = 11 + 02 2 1 2
22 = 31 + 12 2 1 2
32 = 51 + 22 2 1 2
42 = 24 = 161 42 = 71 + 32 2 1 2
32 = = 32 + 02 2 2 2
62 = 111 + 52 2 1 2
72 = 131 + 62 2 1 2
42 = 24 42 = = 151 + 12 2 1 2
92 = 34 = 811 92 = 171 + 82 2 1 2
102 = 191 + 92 2 1 2
52 = = 211 + 22 2 1 2
122 = 231 + 112 2 1 2
132 = 52 + 122 2 2 2
62 = = 33 + 32 2 3 2
152 = 291 + 142 2 1 2
162 = 44 = 28 162 = 311 + 152 2 1 2
72 = = 331 + 42 2 1 2
182 = 351 + 172 2 1 2
192 = 371 + 182 2 1 2
82= 26=43=641 82 = = 391 + 52 2 1 2
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Transformacin con ejemplos triviales:
CZ CZ CZ = Ax + BY
12 = 11 + 02
22 = 31 + 12
32 = 51 + 22
42 = 71 + 32
32 = 91 + 02
62 = 111 + 52
72 = 131 + 62
42 = 151 + 12
92 = 171 + 82
102 = 191 + 92
52 = 211 + 22
122 = 231 + 112
52 = = 251 + 02
62 = 271 + 32
152 = 291 + 142
162 = 311 + 152
72 = 331 + 42
62 = 351 + 12
192 = 371 + 182
82 = 391 + 52
Cz = Ax + By
12 = 1 + 02
22 = 3 + 12
32 = 5 + 22
42 = 7 + 32
52 = 9 + 42
62 = 11 + 52
72 = 13 + 62
82 = 15 + 72
92 = 17 + 82
102 = 19 + 92
112 = 21 + 102
122 = 23 + 112
132 = 25 + 122
142 = 27 + 132
152 = 29 + 142
162 = 31 + 152
172 = 33 + 162
-
Transformaciones:
Cz = Ax + By
12 = 1 + 02
22 = 3 + 12
32 = 5 + 22
42 = 7 + 32
52 = 32 + 42
62 = 11 + 52
72 = 13 + 62
82 = 15 + 72
92 = 17 + 82
102 = 19 + 92
112 = 21 + 102
122 = 23 + 112
132 = 52 + 122
142 = 33 + 132
152 = 29 + 142
162 = 31 + 152
172 = 33 + 162
Tercera Caracterizacin:
Teorema 3: Beal-Nieves.
Si: Ax es un Nmero Impar.
Cuando: A es un Nmero Impar: Primo o compuesto.
Para toda: x1
Entonces la conjetura de Beal: Ax + B
y = C
z es cierta
Si y solo si: By = [(A
x - 1) / 2]
2
Y adems: Cz = [(A
x + 1) / 2]
2
Entonces: Ax
+ By = C
z Ax + [(Ax - 1) / 2]2 = [(Ax + 1) / 2]2
-
Tercera Ecuacin cannica generadora de tros de Beal:
Sea:
Ax + [(A
x - 1) / 2]
2 = [(A
x + 1) / 2]
2
Para todo Nmero Impar Primo o compuesto: A
Y toda: x1
Cuando: y = 2
Y adems: z = 2
Tal que: Ax
+ By = C
z Ax + [(Ax - 1) / 2]2 = [(Ax + 1) / 2]2
Teorema 5: Todo nmero par que no sea el doble de cualquier nmero impar.
Siempre se puede expresar con la diferencia de Dos cuadrados
Cz = Ax + By
2
22 = 4 + 02
6
32 = 8 + 12
10
42 = 12 + 22
14
52 = 16 + 32
18
62 = 20 + 42
22
72 = 24 + 52
26
82 = 28 + 62
30
92 = 32 + 72
34
-
Transformaciones:
Cz = Ax + By
2
22 = 22 + 02
6
32 = 23 + 12
10
42 = 12 + 22
14
52 = 24 + 32
18
62 = 20 + 42
22
72 = 24 + 52
26
82 = 28 + 62
30
92 = 25 + 72
34
Cuarta Caracterizacin:
Teorema Beal-Nieves 4:
Si: Ax es un Nmero par.
Cuando: A es un Nmero par
Para toda: x1
Entonces la conjetura de Beal: Ax + B
y = C
z es cierta
Si y solo si: By = [(A
x - 4) / 4]
2
Y adems: Cz = [(A
x + 4) / 4]
2
Entonces: Ax + B
y = C
z Ax+ [(Ax - 4) / 4]2 = [(Ax + 4) / 4]2
-
Cuarta Ecuacin cannica generadora de tros de Beal:
Sea: Ax + [(A
x - 4) / 4]
2 = [(A
x + 4) / 4]
2
Para todo Nmero par: A
Y toda: x1
Cuando: y = 2
Y adems: z = 2
Tal que: Ax
+ By = C
z Ax + [(Ax - 4) / 4]2 = [(Ax + 4) / 4]2
Observacin: Si: Ax
es un nmero par Cuando: A es un nmero par
Y adems sea: A igual a: 2.n Para toda: n = 2.m+1
Entonces: solo cuando: x = 1
Para toda: m mayor o igual que cero
Esta caracterizacin no se cumple
por la condicin establecida por el teorema 5.
-
Demostracin del teorema 5:
Dado que: 4.n = (n+1)2 (n-1)2
Para toda: n mayor e igual que: 1
Entonces: 4.n + (n-1)2 = (n+1)
2
Visualizacin general:
CZ
- BY
= AX
22
- 02
= 4
= 22
32
- 12 = 8
= 2
3
42
- 22 = 12 =
52
- 32 = 16 = 2
4 = 4
2
62
- 42 = 20 =
72
- 52 = 24 =
82
- 62 = 28 =
92
- 72 = 32 = 2
5
102 - 8
2 = 36 =
= 6
2
112 - 9
2 = 40 =
122 - 10
2 = 44 =
132 - 11
2 = 48 =
142 - 12
2 = 52 =
152 - 13
2 = 56 =
162 - 14
2 = 60 =
172 - 15
2 = 64 = 2
6 = 4
3 =
= 8
2
182 - 16
2 = 68 =
192 - 17
2 = 72 =
202 - 18
2 = 76 =
212 - 19
2 = 80 =
(n+1)2 (n-1)2 = 4.n
Teorema 6: Toda potencia cuya base sea un entero positivo y adems su exponente
correspondiente sea un entero positivo par.
Esta potencia siempre se puede expresar con un entero positivo como
base y un exponente igual a Dos.
-
Quinta caracterizacin de Beal.
Teorema 5 de Beal-Nieves:
Si: Ax = N
2
Cuando: x=Par
Para toda: A1
Dado que: (Ax/m
)m
= Ax
Entonces: (Ax/m
)m
= N2
Si y solo si: mx (m: divide a: x)
Cuando: m= 2
Y adems: Ax/2
= N
Por lo tanto: (Ax/2
)2 = N
2
Quinta ecuacin cannica generadora de Tros de Beal:
Sea: Ax + B
y = C
z La Ecuacin de la conjetura de Beal.
Para todo entero positivo: A1
Cuando: x=Par
Entonces: (Ax/2
)2
= N2
Dado que: mx Porque: (2: divide a: x)
Cuando: m=2
Entonces: Ax/2
= N
Y como: (Ax/2
)2 = A
x
Entonces: (Ax/2
)2
= N2
Por lo tanto: Ax = N
2
Entonces: Ax + B
y = C
z N2 + By = Cz
-
Resultados:
En la Ecuacin perteneciente a la conjetura de Beal Necesariamente al menos una de
las bases de los Tres trminos es un Nmero Impar Primo o compuesto.Y dado que si la
suma es par necesariamente los otros Dos Trminos o son ambos Impares o ambos
pares y si son ambos pares el factor comn es Dos y si son ambos impares o al menos
uno es impar la suma es par o impar respectivamente y si es impar. Entonces la
conjetura de Beal es cierta por todo lo anterior.
Conclusin:
Y como los cuatro criterios anteriores son identidades esto permite la generalizacin de
los resultados conducindonos hacia la demostracin definitiva de la conjetura de Beal
y asegurar que la misma es cierta.
Recomendaciones:
Cabe destacar que una de las principales aplicaciones a la que nos conducen todos los
resultados anteriores es la posibilidad de disear un test o prueba de primalidad con un
algoritmo fundamentado el siguiente enunciado como criterio bsico para su ejecucin y
determinacin en tiempo polinomial.
Criterio de Primalidad de Nieves:
Todo nmero primo impar se puede expresar de forma nica con la diferencia de
Dos cuadrados consecutivos
-
Referencias:
[1] K. raja rama Gandhi; Reuven tint. Proof of Beals conjeture; Bulletin of
mathematical sciences & applications, vol. 2 ;N 3. Estados Unidos 2013.pp.61-64.
[2] Nieves R. Rodolfo Demostracin de una conjetura presentada en el quinto congreso
internacional de matemticas en 1.912. Memorias XIX jornadas tcnicas de
investigacin y III de postgrado. Ed, Horizontes.Venezuela,2011.pp.123-128.
[3] Nieves R. Rodolfo Prueba de primalidad.Memorias de las XVIII jornadas tcnicas
de investigacin y II de postgrado;Unellez.Ed, Horizontes.Venezuela,2009.pp.216-220.
[4] Nieves R. Rodolfo Dos criterios y su aplicacin a un problema NP-completo.
Memorias de las XX jornadas tcnicas de investigacin y IV de postgrado; Unellez.Ed,
Horizontes.Venezuela, 2013.
[5] Yuri Matiyasevich , Enumerable sets are Diophantine , Soviet Mathematics , 1970 ,
No. 2 Pp.354 -357.
[6] Quintero Roy. El ultimo teorema de Fermat Universidad de los Andes Mrida
Venezuela; Consejo de publicaciones.2007.
Consulta bibliogrfica de Internet:
[7] http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-
Mathematics%20and%20Applied%20Mathematics/Download/5102
(Consultada el 12/10/2013)
[8] http://gsjournal.net/Science-Journals
Papers/Author/1435/Rodolfo%20A.,%20Nieves%20Rivas
(Consultada el 12/10/2013)