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Sobre la caracterización de Cinco Ecuaciones generadoras de Tríos de términos pertenecientes a la conjetura de Beal. Rodolfo A. Nieves Rivas [email protected] Resumen. En este breve ensayo se presentan Cinco ecuaciones para la representación canónica de los términos correspondientes a casos particulares y obtención de los tríos de la ecuación de la conjetura de Beal. Luego se establece su caracterización y se concluye con algunos ejemplos que nos permiten visualizar el comportamiento y sentar las bases que nos garanticen la resolución definitiva de dicha conjetura. Palabras clave: Representación canónica; Caracterización; Tríos de Beal.

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  • Sobre la caracterizacin de Cinco Ecuaciones generadoras de Tros de trminos

    pertenecientes a la conjetura de Beal.

    Rodolfo A. Nieves Rivas

    [email protected]

    Resumen.

    En este breve ensayo se presentan Cinco ecuaciones para la representacin cannica de

    los trminos correspondientes a casos particulares y obtencin de los tros de la

    ecuacin de la conjetura de Beal. Luego se establece su caracterizacin y se concluye

    con algunos ejemplos que nos permiten visualizar el comportamiento y sentar las bases

    que nos garanticen la resolucin definitiva de dicha conjetura.

    Palabras clave: Representacin cannica; Caracterizacin; Tros de Beal.

  • On the characterization of five canonical equations generating triples terms

    belonging to Beal's Conjecture.

    Rodolfo A. Nieves Rivas

    [email protected]

    Abstract.

    We present in this brief article five equations for the canonical representation of the

    terms corresponding to particular cases and obtaining the equation triples of the Beal's

    conjecture. Then, we establish its characterization and conclude with some examples

    that allow us to visualize the behavior and to lay the foundations that guarantee the

    ultimate resolution of this conjecture.

    Keywords: Canonical representation, characterization, Beal's triples.

  • Introduccin:

    Desde que se conoce el teorema de Pitgoras con su ecuacin caracterstica y los

    diferentes mtodos para la obtencin de sus ternas o tros pitagricos primitivos y luego

    con el surgimiento del estudio de las ecuaciones Diofanticas, as como el intento de

    generalizacin de la ecuacin de Pitgoras a exponentes mayores que Dos por parte de

    Fermat y los resultados presentados por Matiyasevich en lo concerniente al dcimo

    problema de Hilbert. Y adems con la solucin presentada por Andrew Wiles con sus

    curvas elpticas modulares al teorema de Fermat. Ahora surge otro problema al que hay

    que enfrentar y este problema es conocido como: La conjetura de Beal. Dado que fue:

    Andrew Beal quien la formulo.

    En este breve ensayo se presenta la caracterizacin y representacin cannica de Cinco

    ecuaciones de aplicacin general y de resolucin general de esta conjetura. Sentando

    las bases que nos garantizan el avance hacia su solucin definitiva.

    Planteamiento del problema:

    El problema consiste en establecer las condiciones necesarias y suficientes para

    demostrar la conjetura de Beal a travs de la caracterizacin y obtencin de todos los

    tros de trminos pertenecientes a su ecuacin correspondiente.

    Conjetura de Beal:

    Si: Ax + B

    y = C

    z es la Ecuacin de Beal.

    Donde: x ; y ; z ; A ; B ; C. Son Nmeros Naturales mayores que Dos.

    Entonces: A ; B ; C. Tienen un factor Primo en comn.

    Escolio:

    Si: A ; B ; C. son coprimos.

    Entonces: Al menos uno de los Tres exponentes: x;y;z

    es menor o igual que Dos.

  • 2

    2

    de Beal-Nieves:

    : B C es la ecuacin de la Conjetura de Beal.

    : + . + . B D

    y solo si: D = C

    todo: (A ; B ; C ; D ;

    X Y Z

    X Y Z X Y W

    W Z

    Criterio

    Si A

    Entonces A B C A

    Si

    Para

    X ; Y; Z ; W) 1

    2

    2

    de Beal-Nieves:

    : B C es la ecuacin de la Conjetura de Beal.

    : + . + . B - D 0

    y solo si: D = C

    todo: (A ; B ;

    X Y Z

    X Y Z X Y W

    W Z

    Criterio

    Si A

    Entonces A B C A

    Si

    Para

    C ; D ; X ; Y; Z ; W) 1

  • Primera Caracterizacin:

    Teorema 1: Beal-Nieves.

    Si: A = B

    Cuando: C = A. 1n A

    n3

    Tal que: 1n A

    Entonces la conjetura de Beal: Ax + B

    y = C

    z Es cierta

    Si y solo si: x = n

    Y adems: y = (n+1)

    Donde: z = n

    Y por tanto: An

    + Bn+1

    = Cn

    Observacion: Este teorema permite demostrar que efectivamente ( A ; B ; C ) Tienen

    un factor comun igual a: A como lo establece la conjetura de Beal y el cual puede ser:

    Primo o compuesto y si es compuesto entonces el factor comun es un numero primo

    perteneciente a la descomposicion factorial de: A .

    Ejemplos:

    A = 31

    n = 5

    C = 62

    B = 31

    Ax + B

    y = C

    z = 31

    5 + 31

    6 = 62

    5

  • A = 26

    n = 3

    C = 78

    B = 26

    Ax + B

    y = C

    z = 26

    3 + 26

    4 = 78

    3

    A = 127

    n = 7

    C = 254

    B = 127

    Ax + B

    y = C

    z = 127

    7 + 127

    8 = 254

    7

    A = 63

    n = 3

    C = 252

    B = 63

    Ax + B

    y = C

    z = 63

    3 + 63

    4 = 252

    3

  • Primera Ecuacion canonica generadora de Trios de Beal:

    Sea: ( an 1 )n + ( an 1 )n+1 = (( an 1 ).a)n = ( an+1 a )n

    Para toda: a2

    Y toda: n2

    Teorema: 2 de Beal-Nieves.

    Sea: Ax + B

    y = C

    z La ecuacin de la conjetura de Beal.

    Para: A = B A B

    Cuando: C = c

    Si: an + b

    n = c

    Y adems: x = n

    y = n

    z = n+1

    n3

    Entonces: A = (a.c)

    Cuando: B = (b.c)

    Tal que: (a.c)n + (b.c)

    n = c

    n+1 Ax + By = Cz

  • Segunda Caracterizacin:

    Sea: Ax + B

    y = C

    z La ecuacin de la conjetura de Beal.

    Para: A = B A B

    Cuando: C = c

    Si: an + b

    n = c

    Y adems: x = n

    y = n

    z = n+1

    n3

    Entonces: A = (a.c)

    Cuando: B = (b.c)

    Tal que: (a.c)n + (b.c)

    n = c

    n+1 Ax + By = Cz

    Generalizacin:

    Sea: [a.( an + b

    n)]

    n + [b.( a

    n + b

    n)]

    n = [a

    n + b

    n]

    n+1

    Cuando: a 2

    Y adems: b 2

    Para toda: n 2

  • Segunda Ecuacin cannica generadora de tros de Beal:

    Sea: (a.c)n + (b.c)

    n = c

    n+1

    Solo cuando: an + b

    n = c

    Para toda: a1

    Para toda: b1

    Y toda: n2

    Observacin: para todo nmero primo de la forma: 4.m+1 = a2 + b

    2 = c

    Queda demostrado que: a=1 y adems: A = C = c. As como: b2 = 4.m

    Esto est Garantizado por la demostracin de Fermat a la conjetura de: Girard.

    Ejemplos:

    a = 3

    b = 5

    n = 3

    C = c = 152

    A = 456

    B = 760

    4563 + 760

    3 = 152

    4 Ax + By = Cz

  • a = 2

    b = 3

    n = 3

    C = c = 35

    A = 70

    B = 105

    703 + 105

    3 = 35

    4 Ax + By = Cz

    a = 1

    b = 4

    n = 2

    C = c = 17

    A = 17

    B = 68

    172 + 68

    2 = 17

    3 Ax + By = Cz

    a = 3

    b = 3

    n = 4

    C = c = 162

    A = 486

    B = 486

    4864 + 486

    4 = 162

    5 Ax + By = Cz

  • Criterio y Discriminante de Nieves sobre la conjetura de Beal.

    Para que sea cierto que: Ax + B

    y = C

    z

    Cuando: Ax + B

    y = C

    z Es la Ecuacin de Beal.

    Solo es necesario y suficiente que:

    [A-x

    / C-z

    ] - [A-x

    / B-y

    ]= 1

    [Cz / A

    x] - [B

    y / A

    x]= 1

    [Cz / B

    y] - [A

    x / B

    y]= 1

    [Ax / C

    z] + [B

    y / C

    z]= 1

    CZ = Ax + BY

    300429072 = 962223 + 438

    210629382 = 762713 + 177

    1222 = 114 + 35

    712 = 173 + 27

    712 = 34 + 25

    132 = 52 + 122

  • Ejemplos:

    [1-1

    / 3-2

    ] - [1-1

    / 2-3

    ]= 1

    [32 / 1

    1] - [2

    3 / 1

    1]= 1

    [32 / 2

    3] - [1

    1 / 2

    3]= 1

    [11 / 3

    2] + [2

    3 / 3

    2]= 1

    Observacin: el ejemplo anterior est relacionado con la conjetura de cataln

    presentada por Eugene charles cataln en 1884 y demostrada por Preda Mihailescu

    en el 2002.

    [2-5

    / 3-4

    ] - [2-5

    / 7-2

    ]= 1

    [34 / 2

    5] - [7

    2 / 2

    5]= 1

    [34 / 7

    2] - [2

    5 / 7

    2]= 1

    [25 / 3

    4] + [7

    2 / 3

    4]= 1

    Observacin: El ejemplo anterior permite visualizar una de las condiciones cuando los

    tres trminos no tienen un factor comn entonces al menos uno de las exponentes es

    igual a: 2 y adems cabe destacar que el termino: Cz = 3

    4 puede cambiarse por : C

    Z = 9

    2

  • Comprobacin de los valores correspondientes a los tros de Beal; en la siguiente

    tabla a travs del discriminante o identidad de Nieves.

    Transformaciones

    de: Cz Cz = AX + By Transformaciones

    de: Bz z x y

    82= 26=43=641 82 = 391 + 52 52= 251 2;6;3;1 1 2;1

    Discriminante o Identidad de Nieves.

    [A-x

    / C-z

    ] - [A-x

    / B-y

    ]= 1

    [Cz / A

    x] - [B

    y / A

    x]= 1

    [Cz / B

    y] - [A

    x / B

    y]= 1

    [Ax / C

    z] + [B

    y / C

    z]= 1

    Comprobacin:

    [39-1

    / 8-2

    ] - [39-1

    / 5-2

    ]= 1

    [82 / 39

    1] - [5

    2 / 39

    1]= 1

    [82 / 5

    2] - [39

    1 / 5

    2]= 1

    [391 / 8

    2] + [5

    2 / 8

    2]= 1

    Transformacin:

    [39-1

    / 4-3

    ] - [39-1

    / 5-2

    ]= 1

    [26 / 39

    1] - [5

    2 / 39

    1]= 1

    [43 / 25

    1] - [39

    1 / 5

    2]= 1

    [391 / 64

    1] + [5

    2 / 4

    3]= 1

  • Teorema Principal:

    Todo nmero impar se puede expresar con la diferencia de Dos cuadrados

    12-02 = 1

    22-12 = 3

    32-22 = 5

    42-32 = 7

    32-02 = 52-42 = 9

    62-52 = 11

    72-62 = 13

    42-12 = 82-72 = 15

    92-82 = 17

    102-92 = 19

    52-22 = 112-102 = 21

    122-112 = 23

    52-02 = 132-122 = 25

    62-32 = 142-132 = 27

    152-142 = 29

    162-152 = 31

    72-42 = 172-162 = 33

    62-12 = 182-172 = 35

    192-182 = 37

    82-52 = 202-192 = 39

  • Teorema 1:

    Todo nmero impar se puede expresar con la diferencia de

    Dos cuadrados consecutivos

    12-02 = 1

    22-12 = 3

    32-22 = 5

    42-32 = 7

    52-42 = 9

    62-52 = 11

    72-62 = 13

    82-72 = 15

    92-82 = 17

    102-92 = 19

    112-102 = 21

    122-112 = 23

    132-122 = 25

    142-132 = 27

    152-142 = 29

    162-152 = 31

    172-162 = 33

    182-172 = 35

    192-182 = 37

    202-192 = 39

    Teorema 2:

    Dos nmeros consecutivos siempre son coprimos

    Teorema 3:

    Si Dos nmeros coprimos no dividen la suma de ambos.

    Entonces ambos son coprimos a la misma

    Teorema 4:

    Toda ensima potencia cuya base sea un nmero impar primo o compuesto

    siempre es impar

  • Corolario 1:

    Si las bases de los tres trminos de la Ecuacin de Beal son coprimos.

    Y adems una de dichas bases es un nmero impar.

    Entonces al menos uno de los exponentes es igual a Dos

    Cz = Ax + By

    12 = 1 + 02

    22 = 3 + 12

    32 = 5 + 22

    42 = 7 + 32

    52 = 9 + 42 32 = 9

    62 = 11 + 52

    72 = 13 + 62

    82 = 15 + 72

    92 = 17 + 82

    102 = 19 + 92

    112 = 21 + 102

    122 = 23 + 112

    132 = 25 + 122 52 = 25

    142 = 27 + 132 33 = 27

    152 = 29 + 142

    162 = 31 + 152

    172 = 33 + 162

    182 = 35 + 172

    192 = 37 + 182

    202 = 39 + 192

    Con este Corolario queda demostrado el teorema principal y el teorema: 1

    Y el mismo permite demostrar una de la condiciones de la conjetura de Beal.

  • Aplicacin de los teoremas anteriores:

    Cz = Ax + By

    42 = 71 + 32

    252 = 72 + 242

    1722 = 73 + 1712

    12012 = 74 + 12002

    Demostracin:

    Ax = Cz - By

    71 = 42 - 32

    72 = 252 - 242

    73 = 1722 - 1712

    74 = 12012 - 12002

    Dado que: Ax siempre es impar si: A es impar para toda: x Entonces por el

    teorema principal la Conjetura de Beal es Cierta por el teorema: 5

    CZ = Ax + BY

    300429072 = 962223 + 438

    210629382 = 762713 + 177

    1222 = 114 + 35

    712 = 173 + 27

    712 = 34 + 25

    132 = 52 + 122

  • Transformaciones de trminos:

    CZ = Ax + BY z x y

    12 = 11 + 02 2 1 2

    22 = 31 + 12 2 1 2

    32 = 51 + 22 2 1 2

    42 = 71 + 32 2 1 2

    32 = = 32 + 02 2 2 2

    62 = 111 + 52 2 1 2

    72 = 131 + 62 2 1 2

    42 = = 151 + 12 2 1 2

    92 = 171 + 82 2 1 2

    102 = 191 + 92 2 1 2

    52 = = 211 + 22 2 1 2

    122 = 231 + 112 2 1 2

    132 = 52 + 122 2 2 2

    62 = = 33 + 32 2 3 2

    152 = 291 + 142 2 1 2

    162 = 311 + 152 2 1 2

    72 = = 331 + 42 2 1 2

    182 = 351 + 172 2 1 2

    192 = 371 + 182 2 1 2

    82 = = 391 + 52 2 1 2

    Anlisis de las transformaciones posibles en general:

    Transformaciones de: CZ CZ = Ax + BY z x y

    12 = 11 + 02 2 1 2

    22 = 31 + 12 2 1 2

    32 = 51 + 22 2 1 2

    42 = 24 = 161 42 = 71 + 32 2 1 2

    32 = = 32 + 02 2 2 2

    62 = 111 + 52 2 1 2

    72 = 131 + 62 2 1 2

    42 = 24 42 = = 151 + 12 2 1 2

    92 = 34 = 811 92 = 171 + 82 2 1 2

    102 = 191 + 92 2 1 2

    52 = = 211 + 22 2 1 2

    122 = 231 + 112 2 1 2

    132 = 52 + 122 2 2 2

    62 = = 33 + 32 2 3 2

    152 = 291 + 142 2 1 2

    162 = 44 = 28 162 = 311 + 152 2 1 2

    72 = = 331 + 42 2 1 2

    182 = 351 + 172 2 1 2

    192 = 371 + 182 2 1 2

    82= 26=43=641 82 = = 391 + 52 2 1 2

  • Transformacin con ejemplos triviales:

    CZ CZ CZ = Ax + BY

    12 = 11 + 02

    22 = 31 + 12

    32 = 51 + 22

    42 = 71 + 32

    32 = 91 + 02

    62 = 111 + 52

    72 = 131 + 62

    42 = 151 + 12

    92 = 171 + 82

    102 = 191 + 92

    52 = 211 + 22

    122 = 231 + 112

    52 = = 251 + 02

    62 = 271 + 32

    152 = 291 + 142

    162 = 311 + 152

    72 = 331 + 42

    62 = 351 + 12

    192 = 371 + 182

    82 = 391 + 52

    Cz = Ax + By

    12 = 1 + 02

    22 = 3 + 12

    32 = 5 + 22

    42 = 7 + 32

    52 = 9 + 42

    62 = 11 + 52

    72 = 13 + 62

    82 = 15 + 72

    92 = 17 + 82

    102 = 19 + 92

    112 = 21 + 102

    122 = 23 + 112

    132 = 25 + 122

    142 = 27 + 132

    152 = 29 + 142

    162 = 31 + 152

    172 = 33 + 162

  • Transformaciones:

    Cz = Ax + By

    12 = 1 + 02

    22 = 3 + 12

    32 = 5 + 22

    42 = 7 + 32

    52 = 32 + 42

    62 = 11 + 52

    72 = 13 + 62

    82 = 15 + 72

    92 = 17 + 82

    102 = 19 + 92

    112 = 21 + 102

    122 = 23 + 112

    132 = 52 + 122

    142 = 33 + 132

    152 = 29 + 142

    162 = 31 + 152

    172 = 33 + 162

    Tercera Caracterizacin:

    Teorema 3: Beal-Nieves.

    Si: Ax es un Nmero Impar.

    Cuando: A es un Nmero Impar: Primo o compuesto.

    Para toda: x1

    Entonces la conjetura de Beal: Ax + B

    y = C

    z es cierta

    Si y solo si: By = [(A

    x - 1) / 2]

    2

    Y adems: Cz = [(A

    x + 1) / 2]

    2

    Entonces: Ax

    + By = C

    z Ax + [(Ax - 1) / 2]2 = [(Ax + 1) / 2]2

  • Tercera Ecuacin cannica generadora de tros de Beal:

    Sea:

    Ax + [(A

    x - 1) / 2]

    2 = [(A

    x + 1) / 2]

    2

    Para todo Nmero Impar Primo o compuesto: A

    Y toda: x1

    Cuando: y = 2

    Y adems: z = 2

    Tal que: Ax

    + By = C

    z Ax + [(Ax - 1) / 2]2 = [(Ax + 1) / 2]2

    Teorema 5: Todo nmero par que no sea el doble de cualquier nmero impar.

    Siempre se puede expresar con la diferencia de Dos cuadrados

    Cz = Ax + By

    2

    22 = 4 + 02

    6

    32 = 8 + 12

    10

    42 = 12 + 22

    14

    52 = 16 + 32

    18

    62 = 20 + 42

    22

    72 = 24 + 52

    26

    82 = 28 + 62

    30

    92 = 32 + 72

    34

  • Transformaciones:

    Cz = Ax + By

    2

    22 = 22 + 02

    6

    32 = 23 + 12

    10

    42 = 12 + 22

    14

    52 = 24 + 32

    18

    62 = 20 + 42

    22

    72 = 24 + 52

    26

    82 = 28 + 62

    30

    92 = 25 + 72

    34

    Cuarta Caracterizacin:

    Teorema Beal-Nieves 4:

    Si: Ax es un Nmero par.

    Cuando: A es un Nmero par

    Para toda: x1

    Entonces la conjetura de Beal: Ax + B

    y = C

    z es cierta

    Si y solo si: By = [(A

    x - 4) / 4]

    2

    Y adems: Cz = [(A

    x + 4) / 4]

    2

    Entonces: Ax + B

    y = C

    z Ax+ [(Ax - 4) / 4]2 = [(Ax + 4) / 4]2

  • Cuarta Ecuacin cannica generadora de tros de Beal:

    Sea: Ax + [(A

    x - 4) / 4]

    2 = [(A

    x + 4) / 4]

    2

    Para todo Nmero par: A

    Y toda: x1

    Cuando: y = 2

    Y adems: z = 2

    Tal que: Ax

    + By = C

    z Ax + [(Ax - 4) / 4]2 = [(Ax + 4) / 4]2

    Observacin: Si: Ax

    es un nmero par Cuando: A es un nmero par

    Y adems sea: A igual a: 2.n Para toda: n = 2.m+1

    Entonces: solo cuando: x = 1

    Para toda: m mayor o igual que cero

    Esta caracterizacin no se cumple

    por la condicin establecida por el teorema 5.

  • Demostracin del teorema 5:

    Dado que: 4.n = (n+1)2 (n-1)2

    Para toda: n mayor e igual que: 1

    Entonces: 4.n + (n-1)2 = (n+1)

    2

    Visualizacin general:

    CZ

    - BY

    = AX

    22

    - 02

    = 4

    = 22

    32

    - 12 = 8

    = 2

    3

    42

    - 22 = 12 =

    52

    - 32 = 16 = 2

    4 = 4

    2

    62

    - 42 = 20 =

    72

    - 52 = 24 =

    82

    - 62 = 28 =

    92

    - 72 = 32 = 2

    5

    102 - 8

    2 = 36 =

    = 6

    2

    112 - 9

    2 = 40 =

    122 - 10

    2 = 44 =

    132 - 11

    2 = 48 =

    142 - 12

    2 = 52 =

    152 - 13

    2 = 56 =

    162 - 14

    2 = 60 =

    172 - 15

    2 = 64 = 2

    6 = 4

    3 =

    = 8

    2

    182 - 16

    2 = 68 =

    192 - 17

    2 = 72 =

    202 - 18

    2 = 76 =

    212 - 19

    2 = 80 =

    (n+1)2 (n-1)2 = 4.n

    Teorema 6: Toda potencia cuya base sea un entero positivo y adems su exponente

    correspondiente sea un entero positivo par.

    Esta potencia siempre se puede expresar con un entero positivo como

    base y un exponente igual a Dos.

  • Quinta caracterizacin de Beal.

    Teorema 5 de Beal-Nieves:

    Si: Ax = N

    2

    Cuando: x=Par

    Para toda: A1

    Dado que: (Ax/m

    )m

    = Ax

    Entonces: (Ax/m

    )m

    = N2

    Si y solo si: mx (m: divide a: x)

    Cuando: m= 2

    Y adems: Ax/2

    = N

    Por lo tanto: (Ax/2

    )2 = N

    2

    Quinta ecuacin cannica generadora de Tros de Beal:

    Sea: Ax + B

    y = C

    z La Ecuacin de la conjetura de Beal.

    Para todo entero positivo: A1

    Cuando: x=Par

    Entonces: (Ax/2

    )2

    = N2

    Dado que: mx Porque: (2: divide a: x)

    Cuando: m=2

    Entonces: Ax/2

    = N

    Y como: (Ax/2

    )2 = A

    x

    Entonces: (Ax/2

    )2

    = N2

    Por lo tanto: Ax = N

    2

    Entonces: Ax + B

    y = C

    z N2 + By = Cz

  • Resultados:

    En la Ecuacin perteneciente a la conjetura de Beal Necesariamente al menos una de

    las bases de los Tres trminos es un Nmero Impar Primo o compuesto.Y dado que si la

    suma es par necesariamente los otros Dos Trminos o son ambos Impares o ambos

    pares y si son ambos pares el factor comn es Dos y si son ambos impares o al menos

    uno es impar la suma es par o impar respectivamente y si es impar. Entonces la

    conjetura de Beal es cierta por todo lo anterior.

    Conclusin:

    Y como los cuatro criterios anteriores son identidades esto permite la generalizacin de

    los resultados conducindonos hacia la demostracin definitiva de la conjetura de Beal

    y asegurar que la misma es cierta.

    Recomendaciones:

    Cabe destacar que una de las principales aplicaciones a la que nos conducen todos los

    resultados anteriores es la posibilidad de disear un test o prueba de primalidad con un

    algoritmo fundamentado el siguiente enunciado como criterio bsico para su ejecucin y

    determinacin en tiempo polinomial.

    Criterio de Primalidad de Nieves:

    Todo nmero primo impar se puede expresar de forma nica con la diferencia de

    Dos cuadrados consecutivos

  • Referencias:

    [1] K. raja rama Gandhi; Reuven tint. Proof of Beals conjeture; Bulletin of

    mathematical sciences & applications, vol. 2 ;N 3. Estados Unidos 2013.pp.61-64.

    [2] Nieves R. Rodolfo Demostracin de una conjetura presentada en el quinto congreso

    internacional de matemticas en 1.912. Memorias XIX jornadas tcnicas de

    investigacin y III de postgrado. Ed, Horizontes.Venezuela,2011.pp.123-128.

    [3] Nieves R. Rodolfo Prueba de primalidad.Memorias de las XVIII jornadas tcnicas

    de investigacin y II de postgrado;Unellez.Ed, Horizontes.Venezuela,2009.pp.216-220.

    [4] Nieves R. Rodolfo Dos criterios y su aplicacin a un problema NP-completo.

    Memorias de las XX jornadas tcnicas de investigacin y IV de postgrado; Unellez.Ed,

    Horizontes.Venezuela, 2013.

    [5] Yuri Matiyasevich , Enumerable sets are Diophantine , Soviet Mathematics , 1970 ,

    No. 2 Pp.354 -357.

    [6] Quintero Roy. El ultimo teorema de Fermat Universidad de los Andes Mrida

    Venezuela; Consejo de publicaciones.2007.

    Consulta bibliogrfica de Internet:

    [7] http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-

    Mathematics%20and%20Applied%20Mathematics/Download/5102

    (Consultada el 12/10/2013)

    [8] http://gsjournal.net/Science-Journals

    Papers/Author/1435/Rodolfo%20A.,%20Nieves%20Rivas

    (Consultada el 12/10/2013)