书书书

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第一章数与倍比关系的学与教

学习目标

１．理解数、倍的内涵、形成过程以及“数”所蕴含的十进制、位值制思想。

２．了解数及倍比关系在数学教育中所承载的价值，明确其在小学阶段的教育

价值。了解数感的内涵以及教学中的培养策略。

３．在读懂所使用教材以及了解学生学习基础、难点的基础上，设计能够激发

学生探究愿望、兴趣并能深刻理解数学实质的学习活动。

４．初步掌握分析教材、调研学生、设计有效数学学习活动的基本方法。

第一节　万以内数的认识：整体建构数的概念

学习准备

１．（不同版本）教材上关于“万以内数的认识”的学习都设计了哪些情境？哪些

学习活动？

２．数概念的内涵与实质是什么？“数的认识”教学的核心点是什么？

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３．认识万以内数和认识百、千以内数的教学有何不同？教学起点和教学目标

是什么？

４．阅读本节提供的关于“万以内数的认识”的文章。

自然数的概念学习在小学可分四个阶段：２０以内数的认识、１００以内数的认

识、万以内数的认识、大数的认识。学生在一年级的学习中，已经认识了百以内的

数，二年级分两个部分继续认数学习：认识千以内的数、认识万以内的数。学生在

学习２０以内、百以内和千以内数的时候，已经积累了比较丰富的经验。在教学“万

以内数的认识”时，仍应依靠这些经验，再一次引领学生经历对生活中大数量的抽

象过程，借助直观工具，通过数数理解数的组成，在构建“万”这一计数单位的过程

中，进一步深化对计数单位、数位等概念的理解，形成对位值的深刻感悟。

在数的概念教学中，重要的两个核心点是进位制与位值制。人类在计数更大数

目时，产生了系统化的记数方法。人类历史上形成进位制方法有：二进制（计算机时

代使用）、五进制、十进制、二十进制、六十进制。其中使用最多、世界各国通用的是十

进制，即“满十进一”的十进位记数方法。在此基础上，更关键的一步是“位置值制”

（ｐｏｓｉｔｉｏｎａｌｖａｌｕｅ，简称“位值制”），即相同的记数符号（０～９的印度 阿拉伯数字）由于

所处的位置不同而表示大小不同的数目。例如：１１１１，不同位置上的１代表不同的数

目。有了位值制，就可以用有限的几个数字表示出无限多的自然数。小学数学的

自然数概念的教学中，理解“位值”是很抽象的。在认识万以内的数，甚至对更大的

数的认识，更需要强调理解“十进制”“位值制”思想，才有利于整体上认识把握数概

念。从教学策略上讲，小学生理解抽象的内容最有效的学习方式就是直观化、操作

化。因此，各类教材均会借助形象化的直观教具或模型理解数，如数位筒、计数器、

算盘、第纳斯木块、小棒、点子图、数位顺序表等，实现由直观走向抽象。

自主思考：

１．教材中“数的认识”教学内容通过哪些材料展开教学？

２．试分析不同阶段的“数的认识”在教学上的异同。

自然数的记数法是十进位值制。教材中分多个年级来学习自然数。首先教师

要了解每个年级的具体要求，每一部分都是逐步引导学生进入理解十进位值制的

意义，学生可以借助实物（如手）、直观模型（如小棒、方块、计数器、数轴）等来加深

理解，特别是教学中要鼓励学生操作“直观模型”来加以体会，遵循逐一计数—按群

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计数—初步体会位值和计数单位的十进关系—类比进行“数级”扩充的学习路

线①，深入体会位值和计数单位的十进关系。教师在教学中应该观察学生真正的

学习路线是否与教材一致，在此过程是否存在困难。各阶段数概念借助直观模型

的学习分析如下。

对于１０及１０以内数的学习，学生是逐一计数，体现“一一对应”的思想。学生

一个一个地数计数器上的珠子，一根一根地数小棒，在“数直线”时（小学阶段，老师

们以“数直线”替代严格的数轴）一格一格地数，一个一个地数手指头，同时学习１０

及１０以内数的阿拉伯数字表示方法。

２０及２０以内数的认识，学生将正式由逐一计数发展到按群计数，学习“１个１０

相当于１０个１”，教师鼓励学生操作小棒，把十根小棒捆在一起当作“１个１０”，来理

解１５根小棒是１０根一捆和５根小棒，并学习到数的构成“由１个十和５个一组

成”。小棒便于操作成为常用的主观模型。进一步，将１捆小棒对应于计数器上十

位上的１个珠子，使学生初步体会位值。

１００及１００以内数的认识，学生除了要进一步扩充对数位的学习，学习“１０个

十是１００”，还将进一步体会到“同一个数字在不同的数位上表示的意义不同”，例

如，“１１”这个数中两个１表示的意义是否相同成为学生的讨论问题。小棒和计数

器仍然是帮助学生体会十进位值制的直观模型。

万及万以内数的认识，学生进一步学习新的数位———千和万，并且体会到这些

计数单位的十进关系。教材中采取“第纳斯木块”作为直观模型，同时，学习数位顺

序表，将计数单位系统地整理起来。在“千以内数的认识与表达”教学中，教材中先

从实景图到数图，帮助学生建立千以内数的直观认识，然后结合千以内数的读写、

计数器（算盘）上表示千以内的数、千以内数的数位顺序表以及千以内数的组成（由

几个百、几个十、几个一组成），突出了十进制记数法的位值概念，帮助学生初步系

统地建立起对千以内数的认识。然后再通过千以内数的数射线，进一步丰富学生

的数感。教材展示了一个较为完整的对数的认识与表达的过程，给学生提供了一

个足够的空间，使他们的认识从直观到抽象，从认识到表达，最后初步建立起自己

的模型，这对学生的认知也是一个大的促进。

延伸到“万以内数的认识”教学，“万”是什么？对学生来讲，直观地去构造出

“万”，从而认识万，既是教学重点也是难点。突破学生认识“万”的困难和整体认

① 张丹．小学数学教学策略［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１４．

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识大数结构，教学要抓住的核心本质就在于十进制思想和位值制思想。不同版本

教材提供不同方式，但都依据“直观”“操作”原则，总的说来有以下方式途径。

方式一：体育馆的人数图，通过一千一千地数来认识“万”。

方式二：通过用板条块学具、自制计数器或用算盘表示出“万”等实践操作活动。

方式三：用自己熟悉的材料建构出“万”。例如用“千数图”拼出“万”，在具体拼

的过程中得出１０个一千就是一万；通过迁移，让学生用第纳斯木块建构万以内的

数，而且从图中可以清楚看到个、十、百、千、万之间的十进制关系。

在多位数的学习中，学生从“个级”扩充到“万级”“亿级”等，完整地学习了表示所

有自然数的方法，并在此基础上探索数与数之间的关系、数的运算（精确计算和估算）。

学习任务１：如何串联起万以内数的意义、认、读、写等零散知识点？

“万以内数的认识”属于数与代数领域部分，是关于数的认识教学。课标中对

“数的认识”维度的教学要求是：在现实情境中理解万以内数的意义、能认、读、写万

以内的数，能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。因而在认识万以内数的

教学中，学生通过结合生活中熟悉的具体情境和对学具的操作继续学习，发展数的

概念，并且将数的范围从百以内扩展到千以内，然后再扩展到万以内。一方面为后

面进一步学习大数（百万、亿）等做准备，另一方面也可以扩展学生日常生活中对

“数”的实际应用的范围。教师需要思考的是，以什么主线贯穿于数的读、写、认及

比较计算等零散知识点中？对此，北京教育学院石景山分院附属小学赵燕老师在

执教此课时的思考是：以数的认识教学核心的“十进位值制”数学思想串联起上述

知识点，以使学生从真正意义上、从整体上把握理解数。“十进位值制”思想的两个

重点：对计数单位的理解和满十向相邻高位进一。将抽象的计数单位“万”具体化，

以直观模型作为理解的基础，形成计数单位的表象。

学习任务２：如何调研理解学生“万以内数”的已有认识？

学生在认识万以内数之前，已经学习了１～１０的认识、１１～２０各数的认识、百

以内数的认识，接触了“十进”“位值”“计数单位（个、十、百）”等主要的核心概念，也

通过数数、估数等多样化的活动，借助小棒、计数器等直观模型对数概念有了初步

的感悟，那么学生究竟对数理解多少呢？有了认识百以内数的经验，学生能否流畅

计数万以内的数？对数的意义理解多少？在万以内数的读写中遇到的困难和问题

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有哪些？对数之间的相对大小关系的感知如何？教师编制以下测评题目（在学万

以内数的认识之前的）对学生在数的意义、数的关系、数的估计等方面的掌握和认

知情况进行前测。

１．用你自己的方式表示这个数（至少用两种方法）。

二百一十五

２．１个 代表１，下面每个数中的“３”能用哪个图形表示，你能用线连一连吗？

３．读写下列各数。

①２０１８读作：　　 ②３００５读作：　 ③ 一千零三 写作：

４．１８９和２０１大概在数轴上哪个位置？请你用“·”标出来。

首先，请老师思考：在你的教学前进行这些题目的测评，你预设学生可能有的

答案是什么？根据学生作答情况，可以检测教师在教学中哪些“点”没有突破，哪些

直观模型的利用不够充分？下面对这些题目的调研结果进行分析并联系万以内数

的认识教学略做提示。

第１题是多模式表征数，属于数的意义理解维度。学生基本能够将二百一十

图　１

五改写为２１５，而且能用其他模式表示２１５。见图１

（１）用实物符号表示。见图１

这一结果表明，有学生依赖“个”数，以“个”为单位

点数，每一个数与量要一一对应。

（２）具有计数单位意识。见图２

图　２

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从这些解答中可看出，有些学生有计数单位意识，能够借助直观模型如计数器

来表征不同位值上的数（图２左一），甚至有意识将已学分数的意义迁移到个与十、

百与十的关系（十分之一）表征上（图２右一），这些学生能够从结构上认识数。教

师在万以内数认识教学时，应考虑学生的已有认识扩展直观模型，再从数结构上加

以巩固、强化和发展。

（３）阿拉伯数字表示：完全写对２１５；错写为２０１５。

写对的学生对位值思想理解比较好，写错的学生对位值的意义理解得还不够

清晰，抽象化还不足。在认识万以内数时，仍需借助位值的直观模型强化认知。

第２题是考查对数的意义理解，学生对５７３中的３表示“３个一”没有问题，对

３０６和２３０中的“３个百”和“３个十”混淆。这主要由于教材中只呈现过表示３个一

和３个十的小正方体模型，在认识百的时候，并没有呈现小正方体模型。这个结果

提醒教师在“万以内数的认识”教学时应注意“百”“千”“万”直观模型的应用以及计

数单位之间的进制关系，仍然突出直观模型达到对数结构的把握。

第３题是关于数的正确读写的测试，从测试结果中可以看出学生存在一定的

读写数的问题，主要错误是落写计数单位“百”“十”等。但是，通过个别学生的访谈

发现，这些错误大部分能口头纠正。学生对于含有０的数的读写比较困难，特别是

０的占位思想学生并不能充分理解。学生虽然能够用不同方式表征数，在表示数

时，计数单位的意识明显，但是在读写数时，却大量出错，这正是口语计数中的“乘

法分群计数系统”与书写数中的“印度 阿拉伯十进位值制计数法”有区别，会读数

却不一定能够写正确，写正确的学生又不一定能够读正确，在教学中既要重视“读

数”又要重视“写数”，并将二者进行对比，在熟练运用中进一步理解“十进位值制”，

理解数的意义。

第４题考查学生对数的相对大小关系的感悟能力，属于数的关系理解维度。

题目给了“数轴”半抽象数模型来考查学生对数的大小关系的感觉，这就是所谓的

“数感”。由于数轴上的数以“２５”为最小间隔单位分布，因此，学生需要估计１８９和

２０１离２００的位置远近，并寻找估计方法，如利用１８９和２０１与２００之间差的大小

判断这两个数在数轴上的大致位置。因此，培养数感需要有合适情境，有“估”的需

求，进而有“估”的方法。在万以内数及之后的大数认识，需要教师思考，以怎样的

合理情境来让学生感知大数，这一点是学习大数较为重要的内容。

从四道前测题目的调查结果来看，学生初步形成“计数单位”的概念，但对“位

值”理解不够深刻。“个”与“十”的满十进一较为熟悉，但“十”与“百”，甚至“百”与

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“千”之间满十进一的十进制理解不够透彻，在“万”的认识上，教师应当突出与“千”

“百”间的关系。尽管之前有百以内数的认识为基础，但计数单位和背后所蕴含的

“位值”思想在二年级学生学习万以内数的认识之前依然是学生的困难所在，需要

在万以内数的认识再加以巩固强化。具体教学活动设计参考学习任务４。

学习任务３：分析“数”的概念实质与教育价值

在数概念的教学中，从数学意义上如何理解数的概念本质？数的本质结构就

是“计数单位与其个数乘积的累加”①。自然数记数系统首先是“十进制”，所以计

数单位是一（个）、十、百、千、万……不同计数与其个数乘积的累加就构成了全部的

自然数。在“万以内数的认识”教学中，位数由百以内扩展到万以内，位数扩大到四

位，学生应逐渐认识“千”“万”的计数单位及其构成数的“位值”功能，同时加深计数

单位之间的十进关系的认知。在实际教学中，学生如何理解计数单位由百到千、万

的过渡？同样，将抽象的计数单位走向具体化，仍需借助直观模型，同时考虑设计

活动过程，使学生感受到相邻两个计数单位的进率是１０。

关于数的认识教学，承载了数学核心素养或数学关键能力中“数感”的培养。

《义务教育数学课程标准（２０１１年版）》（以下简称《数学课程标准》）给出了义务教

育阶段数学内容所涉及的最重要的十个核心概念，十个核心概念之首就是数感，其

解释是：数感主要指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立

数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。

数感培养的重要途径之一是采用多种方式进行数的表征。在“万以内数的认识”教

学中，赵燕老师提供了多种方式，包括用第纳斯木块的模型表示数、用实物表示数、

用自己制作的计数器表示数、用纸制计数器表示数、用古埃及的象形文字表示数、

用十进位值制记数法表示数（参见学习任务４）。其次，数在现实世界中的意义，借

助“量”感知数，因此赵燕老师用了１００粒绿豆和万人礼堂的现实模型感知数，对数

感强调的是一种感悟。在小学数学教学活动中，不仅要让学生感悟“数是对数量的

抽象”，还应当反过来，让学生感悟“抽象出来的数与数量是有联系的”。抽象的核

① 刘加霞．小学数学课堂的有效教学［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１４．

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心是舍去现实背景，联系的核心是回归现实背景①。例如，同样是１００这个抽象了

的数，但１００粒绿豆与１００匹马给人的现实感觉是很不一样；再如，对商品价格的

感知，去市场买菜，带１００元钱就差不多了，但要购买房子，１００元钱是远远不够

的。因此，对于现实生活的许多情况，人们需要感悟数与现实背景之间的联系，从

而感悟并且判断在日常生活和科学研究中的数据所提供的信息。有了这些对数和

数量的感悟，学生就能在现实生活中比较合理地把握数以及数的运算。例如，合理地

估计教室里同学的数量，估计一堆苹果的数量。再如，知道１０００步大概有多长，知道

１０００名同学做广播体操大概需要多大的场地等。通过以上讨论，培养学生的“数

感”，不仅是学习数学的需要，而且有助于培养学生认识和解释现实事物的能力。

除了最根本的“数感”培养，在情感态度价值观方面，让学生体会到马克思评价

十进位值制记数法为“最妙的发明之一”。因其表达数目简洁明确，无论是在表达

数还是数的运算中，十进位值制具有无可比拟的便利性，成为全世界科学及社会生

活中的选择。同时也让学生明白数学的发展就是不断优化算法、不断优化概念的

历史发展过程，这是我们理解数学、发展数学的重要视角和方向。

学习任务４：核心教与学活动及其设计意图

下面是北京教育学院石景山分院附属小学赵燕老师执教“万以内数的认识”所

设计的学习活动以及意图分析。

活动一：在数一数的活动中感受产生新的计数单位的必要性

（１）出示正方体，让学生数一数这个大正方体里有多

少个小正方体？提问怎样数？

（２）学生回答：先一个一个地数，数出一排，再一排一

排地数，数出一面，再一面一面地数，数出这个大正方体里

面有多少个小正方体。

（３）演示：按照学生方式边数边演示。

（一个一个地数，１０个一是十）

① 史宁中主编．基本概念与运算法则———小学数学教学中的核心问题［Ｍ］．北京：高等教育出版社，

２０１６．

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（十个十个地数：１０，２０，３０，４０，５０，６０，７０，８０，９０，１００，１０个十是一百）

（一百一百地数：１００，２００，３００，４００，５００，６００，７００，…，１０００，１０个一百是一

千）

（４）板书记录：１０个一是十；１０个十是一百；１０个一百是一千。

【设计意图】　首先为学生提供了第纳斯木块作为直观模型，组成一个大正方

体的小木块有１０００个。在“数（ｓｈù）是数（ｓｈǔ）出来的”的朴素数观念下，调动先前

学习百以内、千以内数概念学习经验，教师先组织学生分别以“一”“十”“百”为单位

进行计数，经历了三次满十为一个新单位的数数过程。这既巩固了计数单位个、

十、百，再次体会１０个一是十，１０个十是一百，为学生理解相邻两个计数单位间的

十进关系积累经验，也为引入新计数单位“万”以及本节课贯穿的“计数单位整体结

构和特征认识”教学主线做好铺垫。

活动二：利用多模型认识、感受“万”

１第纳斯模型

（１）继续数数：如果一千一千地数，你会数吗？师生一起数（出示课件）。

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（学生共同数数：１０００，２０００，３０００，…，９０００，１００００）

（２）认识计数单位：刚才经过数数，九个１０００后再添一个１０００，是１００００。总

结以上方式，数数可以怎样数？

生：一个一个地数、十个十个地数、一百一百地数、一千一千地数。

师：今天学习后，我们还可以一万一万地数。那么这些用来数数用的单位就叫

作计数单位。

（３）感受数的大小：提问对于１００００这个数有什么感觉？

生１：实在太多了。

生２：数不过来。

【设计意图】　借助直观模型，认识新的计数单位“万”，并感受计数单位之间的

十进关系。引导学生感知数的大小，为后面数感的渗透做好铺垫。

２绿豆模型

初步模糊感受：一粒绿豆很小，那么一万粒绿豆有多少呢？

生１：这么多（用手比画）。

生２：一大把。

师：老师给你们提供一些工具，一起想办法数数一万粒绿豆。昨天老师数了数

１００粒绿豆大约一小瓶盖，１０００粒绿豆大约一小烧杯，下面你打算选择哪个容器数

出大约１００００粒绿豆？