一筆畫圖形

下面這個圖能不能一筆畫完，筆尖不離開紙面，而且每條線都只畫一次不重複呢？

如果你不太懂問題的意思，請看看下面的畫法，這就是一筆畫的圖形。

再試試看下面這幾個圖形！

A→1→B→2→C→4→B→3→C→5→D→6

→E→8→D→7→E→9→F

D→8→I→13→E→12→C→6→B→5→D→ 2

→A→1→ G→3→H→4→D→7→E→15→F

→17→J→16→I →14→L→11→K→10→H→9

→I

A→1→E→2→F→3→A→4→B→5→E→9→D

→12→F→11→C→10→D →8→B→7→C→6

→A

這個圖無法用一筆畫完成。

只要掌握起點和終點的位置，一筆畫的問題並不困難現在讓我們來看看一筆畫的圖形有什麼特別之處。

�線段的交點以大寫英文字母為代號，由交點所連結的線視為其出入路徑。

�若有一點其出入路徑有奇數條，則該點稱為奇數點；又若其出入路徑有偶數條，則該點稱為偶數點。

若某一圖形中恰有兩個奇數點，則可由其中任一奇數點做為起點，另一奇數點做為終點，完成一筆畫的繪圖。

若某一圖形中均為偶數點，則可由任一點做為起點，並以該點做為終點，完成一筆畫的繪圖。(這種圖形又稱為歐拉圖形，Euler graph)

大數學家歐拉在1736年建立了一筆畫的理論。

• 相傳德國有一條河流經過名為柯尼斯堡(Königsberg)的小鎮，小

鎮上有七座橋(如右圖)。

• 有人提出一個有趣的問題：是否可以在每座橋都只走一次的條件下，走完這七座橋？

將小鎮地圖轉化為右圖，你是否已經看出七橋問題是否有解呢？

圖中的四個點均為奇數點，所以柯尼斯堡的七橋問題是不可能完成的！

大數學家歐拉 (L.Euler,1707−1783)

• 歐拉生於瑞士，父親是牧師。15歲進入巴塞爾大學修習神學和希伯來語，並跟隨約翰．伯努力(Johann Bernoulli)研究數學。

• 歐拉17歲時獲得碩士學位；19歲發表船桿方面的理論，並因此得到法國國家科學院的表揚。隨後遠赴俄國聖彼得堡學院教書。

• 在德國腓特烈大帝的邀請下，於1741年前往柏林。一直待到1766年，期間共發表了數百篇的論文。

• 1766年受凱瑟琳大帝之邀返回俄國，不久後雙眼失明，但憑著過人的記憶，仍繼續工作，四百多篇的論文和論著都是在他全盲後完成的。

幾個有趣的問題

�這個圖最少需要幾筆畫才能完成？

這個圖有8個奇數點，每畫一筆最多只能減少2個奇數點，因此最少要4筆才能畫完。

下圖為小兔子家的房間格局圖。圖中1到25號為房門；A到N為房間代號。現在牠位在M號房間，請

幫牠找到一條可以正好走過每個房門一次的路線？

先將有門相通的兩個房間用線連起來。

這樣會更清楚！

16−15 −14 −9 −10 −5 −1 −6 −11 −18 −19 −23

−25 −22 −21 −13 −27 −3 −2 −4 −7 −26 −8 −12

−17 −20 −24

輕鬆一下！讓我們來欣賞幾幅用一筆畫繪成的可愛作品。

歐拉圖的概念可以應用在許多地方

�英國數學家古德(I. J. Good)用歐拉圖設計計算機的儲存器。

�中國管梅谷教授應用在作業研究上，提出了「中國郵差問題」。

�塔克(A. C. Tucker)與包定(L. Bodin)應用在都市的清掃問題。

�徐力行教授、宋定懿教授、何東洋教授、蔡正雄教授及黃正顏先生，則把歐拉圖形應用在互補性氧化金屬半導體元件的布局。

中國郵差問題

�假設下圖是郵差所要送信的地區的街道圖，藍綠色部分為郵差應負責送信的區域，而其中橢圓形的區域為郵局所在：

�我們若用邊來代表每條街道，而用點來表示每個交叉路口，上圖可如下表示：

我們要做的兩件事：

1. 要找一個通過每一條邊的路徑，而且每一條邊只能經過一次。

2. 起點和終點必須相同。

這不就是要找歐拉圖形的問題嗎？

�前述的街道圖，藍點皆為奇數點，所以此圖不是歐拉圖形。

�然而信還是得送，如何才能有效率的完成這件事？顯然有幾條街非得走不只一次才行；為了節省時間，我們當然希望這些重覆走的街道長度愈短愈好。

�我們先考慮一個比較簡單的情況，假設每一條街道的長度都一樣長，那麼剛剛的問題就變成重覆走過的邊數愈少愈好。

�這一類的問題最先是由華裔數學家管梅谷所提出，因此被稱為“中國郵差問題”。

假設下圖是郵差所要送信的地區的街道圖，X

點表郵局所在地，每天郵差必須從X點出發，每條街道至少走過一遍，最後回到郵局。

�圖中有8個奇數點，不可能一筆描繪，所以有些邊必須重複。

�如何找出讓郵差先生走最少距離的歐拉圖形是一道難題。

下圖紅色線代表重複路徑，則郵差先生重複走了16公里。

下圖所示的走法，郵差先生重複走了10公里。

都市道路清掃問題

�掃街車的行走路徑也是一筆畫的問題，但是更複雜些。

�因為有些街道是單向，有些街道是雙向；單行道只能沿着指定方向行駛而雙行道則須要走兩次。

�對於這樣的街道圖，我們就必須用有向圖（directed graph）來描述。

下圖中的四條街有兩條是單行道；兩條是雙向道。

下圖為一個有向圖，是否能依規定的方向一筆畫出此圖？

我們可以在每一個交點，定義出路徑的入次數及出次數，並以數對的方式表示。

其中一個解答如下：

現在我們將下圖視為掃街車的路線圖，X為起點，在掃完所有的街到後，必須回到起點。

下圖綠色路線是掃街車重複走過的最短距離。

一筆畫遊歷問題(Hamiltonian Graph)

�相較於歐拉圖形是指一條通過圖中所有「邊」的封閉路徑，漢米頓圈是指一條通過圖中所有「點」的封閉路徑。

�這個名稱據說是因為愛爾蘭數學家漢米頓在1867年發明了一種環遊世界的遊戲：在正十二面體的二十個頂點填入20個都市，如倫敦、紐約……等，然後讓玩家任意由一個都市出發，在不重覆經過同一都市的條件下走完全部的都市並回到起點。

�決定一個圖中是否存在漢米頓圈是非常困難的問題。

試在下圖中找出一個漢米頓圈。

這是其中的一種解答。

作業

1.試試看能不能用一筆畫分別畫出下面的圖形？

2.以下這些圖是否歐拉圖形？如果是的話，你能找出這條路徑嗎？

3.下面這些圖是否存在漢米頓圈？如果有的話，你能繪出這條迴圈嗎？

4.下圖為咪咪家的房間格局圖。圖中1到25號為房門；A到N為房間代號。現在牠位在A號房間，

請幫牠找到一條可以正好走過每個房門一次的路線？

5. 試著用一筆畫，繪出具有美感的作品吧！

參考資料

• 「沒有數字的數學」徐力行教授著。

• 「數學嘉年華」白啟光著

網址：xserve.math.nctu.edu.tw/people/cpai/carnival

/bridge/index.htm