熱・統計力学における幾何学的考察 · 7th sep. 2007...

熱・統計力学における幾何学的考察

2007.9.7田中恵理子お茶の水女子大学大塚隆巧近畿大学

7th Sep. 2007 基研熱場の量子論とその応用 2

目的

1. 熱力学・統計力学を幾何学的な言葉で理解したい。

ex) Finsler幾何 or contact幾何で記述.

2. 非平衡系・不可逆過程の熱力学への応用Finsler (河口) 幾何はこういったdynamicsを追うのに適している

3. 相対論・重力多体系等、通常の熱力学の範疇を超える系への応用


“幾何学的”とは？

舞台(多様体）とものさし（長さ概念）

ex）リーマン幾何

Finsler幾何

contact幾何

最低限、これだけ。

幾何学的オブジェクトのみを用いて理論を作る

Coordinate Free!


Finsler 幾何～定義～

A Finsler manifold is a pair consisting of a manifold and a Lagrangian horizontal 1-form or Finsler function

on such that satisfies homogeneity condition,

The distance (Finsler length) is measured by

γ

1h

1h

方向によって距離(かかった時間)が違う


Finsler 幾何～reparametrization invariant～

フィンスラー距離はパラメトリゼーションに依存しない

Homogeneity cond.


接触幾何

A contact manifold is a pair consisting of a -dimensional manifold and a Poincare-Cartan or

contact 1-form on such that is a non-vanishing top form on .

The distance is measured by

Finsler / 接触幾何は共にRiemann幾何の自然な拡張.

Finsler幾何

接触幾何

Lagrange形式

Hamilton形式


何故Finsler/contact幾何 ?(1)

古典力学の観点からConfiguration space together with a Lagrangian forms a Finsler space by the following extension.

The Action integrated over a curve γ is reparameterization invariant.

This also gives a “length” to the curve γ!

All Lagrange mechanics should be rewritten by the words of Finsler, as to let them understood as coordinate independent theories.

extended configuration space

Finsler function

Finsler-Lagrange Formalism


何故Finsler/contact幾何 ?(2)While Lagrange mechanics should be understood by Finsler geometry, the Hamiltonian formalism should be understood by Contact geometry. The transform of Finsler-Lagrangian to Hamiltonian formalism is given by,

This arises a constraint due to the homogeneity condition of Finsler function, and prescribes a submanifold .The action integral on this submanifold is given by,

and the is a contact 1-form (Poincare-Cartan form) on the submanifold . So the set forms a contact manifold.

Contact-Hamilton Formalism


何故Finsler/contact幾何 ?(3)

量子力学の経路積分描像からFinsler Path integralFinsler geometry could give a geometric measure for the Feynman’s path integral, by the introduction of indicatrix and indicatrix body. (E.Tanaka, T.Ootsuka, L.Tamassy, 2006)

Indicatrix: 単位長を図るものさし

Indicatrix body: ものさしで測られた領域y


何故Finsler/contact幾何 ?(4)Example

potential V中の粒子

LagrangianFinsler function

Indicatrix

Indicatrix body


何故Finsler/contact幾何 ?(5)Indicatrix body as a integral measure

s’ s’’s

Set the measure as


何故Finsler/contact幾何 ?(6)Lee-Yang項問題の自然な解決.

幾何学的なメジャーを用いることによって、経路積分の座標によらない定義を与えることが出来る。また、Finsler関数を

使うため、正準形式の量子化から完全に独立。


Finsler/接触幾何による熱力学の記述可逆な熱力学系

Finsler-Lagrange 形式

The entropy variation of this system by the terms of Finsler Geometry could be given by,

Contact-Hamilton形式

Similar to the classical mechanics case, we change to Hamiltonian formalism.The covariant variables are,

These yields state equation (constraint), which defines a submanifold , and together with a contact structure

, is described by a contact manifold .

熱力学的状態空間はFinsler幾何 !!

熱力学的状態相空間は接触幾何 !!


相対論的統計力学（1）

古典統計力学の確率分布: Consider ideal gas. The distribution function of the particle with mass m becomes Maxwellianin the stationary state, when one assume the momentum

as a stochastic variable.

相対論的統計力学の確率分布：Take an invariant measure which is a proper hyperarea of the hypersurface and consider the probability distribution

is an timelike inverse temperature vector, and is .Y.Suzuki(1961,1970)



分配関数：By taking hyperbolic coordinates and time axis parallel to the inverse temperature vector, partition function could be described by a Modified Bessel function.

相対論的Maxwell分布



相対論的 Fokker-Planck方程式

相対論的 Langevin方程式

：2-form random gauge field.


まとめ・課題

非平衡・不可逆な熱力学系への拡張

Finsler・接触幾何を用いた統計力学への拡張

相対論的な多体粒子系の統計力学

重力相互作用をする粒子系(非相対論・相対論)への応用

熱・統計力学における幾何学的考察 · 7th sep. 2007...

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