ch4.pdf

Κεφαλαιο 4

Απο την Αρχη του D’ Alembertστην Αρχη της Ισοδυναµιας

“Αν στο µνηµα σαςχαραξουν κατι τετοιο,τοτε τα πατε περιφηµα.”

Richard Feynman

Σχηµα 4.1: Το σχεδιο αυτο ειναι χαραγµενο στο µνηµα του φλαµανδου µηχανικου SimonStevin [1548-1620]. Οι καθετες πλευρες του απολυτα λειου κεκλιµενου επιπεδου εχουνλογο 2:1. Το ερ£ωτηµα που τιθεται ειναι αν η αλυσιδα του Σχηµατος θα κινειται αεναως.Σηµερα γνωριζουµε οτι, µολονοτι η αριστερη πλευρα της αλυσιδας εχει διπλασιο βαροςαπο τη δεξια, οι γωνιες ειναι τετοιες £ωστε το συστηµα να βρισκεται σε ισορροπια. Στοκεφαλαιο αυτο θα διευρυνουµε την εννοια της ισορροπιας των δυναµεων ετσι £ωστε ναµπορουµε να περιγραψουµε τη δυναµικη των µηχανικ£ων συστηµατων µε ορους στατι-κης.

4.1 Απο τη δυναµικη στη στατικη

Στη νευτ£ωνεια µηχανικη οι δυναµεις κατεχουν πρωταρχικο ρολο καιθεωρουνται εκ των προτερων γνωστες. Οταν, για παραδειγµα, διατυπ£ω-νουµε το δευτερο νοµο του Νευτωνα που περιγραφει την κινηση ενος σω-µατιδιου

87

88 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. ΑΡΧΗ ΤΟΥ D’ ALEMBERT

θεωρουµε οτι η µαζα, η επιταχυνση αλλα και η δυναµη ειναι εννοιες ανε-ξαρτητες η µια απο την αλλη και οι αριθµητικες τιµες τους, σε καθε πε-Η δυναµη κατα τον

Νευτωνα ριπτωση, συνδεονται µεσω της παραπανω σχεσης. Αν η δυναµη οριζο-ταν µεσω του δευτερου νοµου του Νευτωνα, τοτε ο νοµος αυτος δεν θαηταν τιποτε αλλο παρα ενας ορισµος της εννοιας της δυναµης χωρις κα-νενα ουσιαστικο φυσικο περιεχοµενο. Η δυναµη που ασκειται σε ενα σω-µατιδιο εχει υλικη υποσταση και ειναι ανεξαρτητη απο την επιπτωση πουαυτη εχει στην κινηση του σωµατιδιου. Μεταξυ δυο βαρυτικ£ων σωµατων,για παραδειγµα, ασκειται η ελκτικη δυναµη της βαρυτητας, η οποια ει-ναι υπευθυνη για την κινηση των σωµατων γυρω απο το κεντρο µαζαςτους. Σε ενα µηλο επισης που ισορροπει επανω σε ενα τραπεζι ασκου-νται δυο δυναµεις που αλληλοεξουδετερ£ωνονται : η βαρυτικη ελξη αποτη Γη και η αντιδραση του τραπεζιου, που οφειλεται στην ηλεκτροµαγνη-τικη αλληλεπιδραση των µοριων του µηλου και του τραπεζιου, τα οποιαβρισκονται σε “επαφη”. Εαν σπρ£ωξουµε το µηλο και αυτο αρχισει να κι-νειται επανω στο τραπεζι πιθανοτατα θα ασκηθει σε αυτο επιπλεον κα-ποια δυναµη τρι1ης, η οποια ειναι και αυτη ηλεκτροµαγνητικης φυσεως.Σε καθε περιπτωση το αιτιο της δυναµης θεωρειται γνωστο και δεδοµε-νων των δυναµεων, η κινηση του σ£ωµατος µπορει να περιγραφει πληρωςεαν ειναι γνωστες οι αρχικες συνθηκες της κινησης. Στα παραδειγµαταπου αναφεραµε οι δυναµεις ειναι η βαρυτικη ελξη, οι ηλεκτροµαγνητικεςδυναµεις, που αναπτυσσονται µεταξυ των νεφ£ων των ηλεκτρονιων τωνµοριων του µηλου και του τραπεζιου που πλησιαζουν το ενα το αλλο καιπροκαλουν την αντιδραση που ασκει το τραπεζι στο µηλο καθ£ως και τηδυναµη της τρι1ης που επι1ραδυνει την κινηση του σ£ωµατος, και τελοςη £ωθηση απο το χερι µας. Επισηµαινουµε, ακοµη, οτι ο δευτερος νοµοςτου Νευτωνα αναφερεται σε καποιο αδρανειακο συστηµα αναφορας, ηυπαρξη του οποιου εχει εξασφαλιστει απο τον πρ£ωτο νοµο του Νευτωνα.Περιγραψαµε παραπανω µε αδρες γραµµες το πλαισιο της νευτ£ωνειας

θε£ωρησης συµφωνα µε το οποιο η δυναµη ειναι µια ανεξαρτητη εννοιαπου εχει συγκεκριµενη υλικη προελευση. Εχοντας διευκρινισει ποιο ει-ναι το νοηµα των πραγµατικ£ων δυναµεων, µπορουµε τ£ωρα να κανουµεενα ακοµη βηµα και να ορισουµε νεες ποσοτητες τυπου δυναµης, διχως ναυπαρχει κινδυνος παρανοησης. Υπο αυτο το πρισµα οριζουµε ως ενεργο“δυναµη” την ποσοτητα Με αυτο τον ορισµο ο δευτερος νοµος του Νευτωνα λαµ1ανει τη µορφη η οποια µπορει να θεωρηθει οτι περιγραφει την ισορροπια µεταξυ της α-σκουµενης πραγµατικης δυναµης και της αντιθετης της ενεργου “δυνα-µης”, την οποια καλουµε δυναµη αδρανειας Η παραπανω σχεση εκφραζει στην ουσια την ισορροπια του σ£ωµατος πουαντιλαµ1ανεται ενας παρατηρητης, ο οποιος κινειται µαζι µε το σ£ωµα και

4.2. ΑΡΧΗ ΤΩΝ ∆ΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ 89

δεν ειναι εν γενει αδρανειακος. Αυτη η σχεση ισορροπιας µπορει να επε-κταθει και σε ενα συστηµα σωµατιδιων ! ! "

(4.1)

οπου! ειναι η εκαστοτε πραγµατικη δυναµη που ασκειται στο # -οστο

σωµατιδιο απο το καθε αιτιο $ και ! ! ! ειναι η “δυναµη” αδρα-νειας του # -οστου σωµατιδιου. Αυτη ειναι η αρχη που διατυπωσε ο γαλλοςµαθηµατικος Jean Le Rond D’ Alembert [1717-1783] το 1743. Η αρχη του D’

Alembert : η κινηση

ως “ισορροπια”Οι δυναµεις αδρανειας ενος σωµατιδιου και οι ασκουµενες σεαυτο πραγµατικες δυναµεις βρισκονται σε ισορροπια η ισοδυ-ναµως, η συνισταµενη των δυναµεων που ασκουνται σε ενασωµατιδιο ειναι µηδενικη, αν συµπεριλα1ουµε στις δυναµειςκαι τις δυναµεις αδρανειας.

Η αρχη αυτη δεν προσφερει προς το παρον τιποτε το καινουργιο στηδυναµικη του Νευτωνα, αλλα, οπως θα δουµε, η αλλαγη θε£ωρησης καιαναγωγης του δυναµικου προ1ληµατος σε στατικο προ1ληµα οδηγει σεπολυ ενδιαφερουσες γενικευσεις. Βε1αια, η αρχη του D’ Alembert µετα-τρεπει µονο φορµαλιστικα το δυναµικο προ1ληµα σε προ1ληµα στατικης.Η εκφραση (4.1), µολονοτι ειναι τυπικα συνθηκη ισορροπιας ενος σ£ωµα-τος, περιλαµ1ανει τις “δυναµεις” αδρανειας, οι οποιες ειναι αναλογες τωνεπιταχυνσεων και συνεπ£ως η συνθηκη ισορροπιας δεν ειναι τιποτε αλλοαπο µια διαφορικη εξισωση της κινησης του σ£ωµατος.

4.2 Αρχη των δυνατ£ων εργων

Γνωριζουµε οτι ενα σ£ωµα βρισκεται σε ισορροπια οταν η συνολικηπραγµατικη δυναµη που ασκειται σε αυτο ειναι µηδενικη. Μπορει, οµως,να δοθει µια ακοµη πιο χρησιµη διατυπωση της συνθηκης ισορροπιας. Αςθεωρησουµε ενα σωµατιδιο, το οποιο, εν£ω βρισκεται σε ισορροπια, µετα-τοπιζεται απειροελαχιστα. Το διαφορικο εργο των δυναµεων σε αυτη τηνπεριπτωση θα ειναι µηδενικο. Ετσι, µπορουµε να ορισουµε την κατα- Η αρχη των δυνατ£ων

εργων ως συνθηκη

ισορροπιας

σταση ισορροπιας ενος συστηµατος σωµατιδιων ως την κατασταση κατατην οποια ολες οι απειροστες µετατοπισεις των σωµατιδιων δεν παραγουνεργο. Αυτη η διατυπωση της αρχης της ισορροπιας, που ονοµαζεται αρχητων δυνατ£ων εργων, δοθηκε ουσιαστικα απο τον Stevin το 1586, ο οποιοςκατεληξε σε αυτην ξεκιν£ωντας απο την υποθεση οτι δεν υπαρχει αεναηκινηση που να παραγει εργο, οτι, δηλαδη, δεν υπαρχουν αεικινητα.

Ειναι ευκολο να δειξουµε οτι η αρχη των δυνατ£ων εργων συνεπαγεταικατασταση ισορροπιας στην περιπτωση % σωµατιδιων στα οποια ασκου-νται εξωτερικες δυναµεις αλλα και δυναµεις αλληλεπιδρασης τετοιες£ωστετα σωµατιδια να βρισκονται σε κατασταση ισορροπιας. Εστω οτι σε καθε

σωµατιδιο ασκειται συνολικη δυναµη!, οπου # ο δεικτης του σωµατιδιου


και & ' ! µια απειροστη µετατοπιση αυτου.1 Σε αυτη την περιπτωση η αρχητων δυνατ£ων εργων απαιτει οποιαδηποτε µετατοπιση & ' ! απο την κατα-σταση ισορροπιας να παραγει µηδενικο συνολικο εργο, δηλαδη

&)( +* !-,/. !10 & ' ! "2 (4.2)

Αφου οι µετατοπισεις ειναι ανεξαρτητες µεταξυ τους και αυθαιρετες η354¡ 6/7 498):<;= ><?A@ ;BCD= 8 @E= FHG ;= F C 8 F = ¡ ?)B ”

Σχηµα 4.2: Χαρακτικο του Holzschnitt Mechanics Magazine (London) του 1824 που πα-ριστανει τον Αρχιµηδη να ανυψ£ωνει τη Γη µε ενα µοχλο. Η ισορροπια µεταξυ των δυ-ναµεων του Αρχιµηδη και του υποτιθεµενου “βαρους” της Γης βρισκεται σε συµφωνιαµε την αρχη των δυνατ£ων εργων. Οποιαδηποτε νοητη µετατοπιση του συστηµατος, ειτεπρος τη µια ειτε προς την αλλη κατευθυνση, καταληγει σε µηδενικο συνολικο εργο τωνδυο δυναµεων.

παραπανω αρχη συνεπαγεται οτι η συνολικη δυναµη που ασκειται σε καθεσωµατιδιο πρεπει να µηδενιζεται,! "

(4.3)

για καθε # , διοτι, οταν µετατοπιζεται µονο το # -στο σωµατιδιο, η σχεση(4.2) απαιτει !10 & ' ! " (4.4)

για καθε µετοπιση του σωµατιδιου κατα & ' ! , οποτε η συνολικη δυναµηπου ασκειται στο # -στο σωµατιδιο πρεπει να ειναι µηδενικη. Τουτο ισχυει,αφου συµφωνα µε την σχεση (4.4) το διανυσµα

!ειναι καθετο σε καθε & ' !

και το µονο διανυσµα που ειναι καθετο σε ολα τα διανυσµατα του χ£ωρουειναι το µηδενικο. Επιπλεον, αφου το σωµατιδιο που µετατοπιστηκε ηταν

1Ισως αναρωτιεστε γιατι χρησιµοποιουµε το συµ1ολο IKJL αντι του MJL . Αν και στοσηµειο αυτο η επιλογη δεν εχει ιδιαιτερη σηµασια, αυτη εγινε για να αποφευχθει οποια-δηποτε συγχυση µε την πραγµατικη κινηση των σωµατιδιων. Οι απειροστες µετατοπισειςµε τις οποιες ασχολουµαστε ειναι υποθετικες µετατοπισεις τις οποιες υιοθετουµε στη µε-λετη µας προκειµενου να µετρησουµε το εργο των δυναµεων αν οι µετατοπισεις αυτεςπραγµατοποιουνταν.

4.3. Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΧΑΜΙΛΤΟΝ ΣΕ ∆ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ 91

τυχαιο, συµπεραινουµε οτι η συνολικη δυναµη που ασκειται σε καθε σω-µατιδιο πρεπει να µηδενιζεται για να εχουµε ισορροπια, να ικανοποιειται,δηλαδη, η κλασικη συνθηκη ισορροπιας. Στο σηµειο αυτο ισως συλλογι-στειτε οτι η αναλυση µας ειναι µαλλον ανοητη. Ξεκινησαµε απο κατι πολυαπλο, το µηδενισµο των δυναµεων ως συνθηκη ισορροπιας, για να το επα-ναδιατυπ£ωσουµε στην πολυ πιο συνθετη µορφη : ο µηδενισµος των δυνα-τ£ων εργων αποτελει συνθηκη ισορροπιας. Η πορεια που ακολουθησαµεειναι αντιστροφη απο τη συνηθη διαδροµη που εχουµε µαθει να ακολου-θουµε στη φυσικη

0συνηθως ξεκιν£ωντας απο ενα φαινοµενο

που ειναι πολυ συνθετο προσπαθουµε να διατυπ£ωσουµε αρχες οσο το δυ-νατον πιο απλες που να περιγραφουν την ουσια του φαινοµενου. Προκει-ται, οµως, για µια επαναδιατυπωση που µε την ενσωµατωση των “δυνα-µεων” αδρανειας οδηγει στην αρχη του Χαµιλτον –η οποια, οπως εχουµεδειξει, αποτελει µια αρχη ευρυτερη απο τους νοµους του Νευτωνα– καιεπιπλεον µας δινει τη δυνατοτητα να συµπεριλα1ουµε στο λαγκρανζιανοφορµαλισµο δεσµευµενες κινησεις σωµατιδιων.

Ασκηση 4.1. Συµφωνα µε τη σχεση (4.4) το διανυσµα JNPO ειναι καθετο σε καθε µε- ΑΣΚΗΣΕΙΣτατοπιση IKJL O . (α) ∆ειξτε οτι το µονο διανυσµα που ειναι καθετο σε ολα τα διανυσµαταειναι το µηδενικο. Σε αυτη την περιπτωση το IKJL O ανηκει στον τρισδιαστατο διανυσµα-τικο χ£ωρο. (β) Αν το IKJL O κειται σε ενα επιπεδο (ανηκει σε ενα δισδιαστατο διανυσµατικοχ£ωρο), ειναι δηλαδη IKJL O<Q ISR2JT5U IV7 JW , οπου JT και JW σταθερα µη συγγραµµικα διανυ-σµατα και τα ISR , IV7 λαµ1ανουν πραγµατικες τιµες, τι συµπεραινετε για τη δυναµη JNPO ;Εκφραστε σε αυτη την περιπτωση τη δυναµη συναρτησει των JT και JW . (γ)Τελος, αν το IKJL Oκειται σε µια ευθεια (ανηκει σε ενα µονοδιαστατο χ£ωρο), τι συµπεραινετε για τη δυναµηJNPO ; Ποια ειναι η διασταση του χ£ωρου στον οποιο ανηκει η JNPO ; (δ) Σε καθε περιπτωσηποιο ειναι το αθροισµα των διαστασεων του χ£ωρου στον οποιο ανηκει η JNPO και το IKJL O ανικανοποιειται η (4.4); Μπορειτε να γενικευσετε το συµπερασµα σας οταν η δυναµη καιοι µετατοπισεις ανηκουν σε εναν X -διαστατο χ£ωρο;

4.3 Η αρχη του Χαµιλτον σε δεσµευµενη

κινηση

Σε τουτο το εδαφιο θα βασιστουµε στην αρχη του Χαµιλτον για να πε-ριγραψουµε την εξελιξη ενος µηχανικου συστηµατος, οταν αυτο υποκει-ται σε καποιους δεσµους, εκµεταλλευοµενοι την αρχη τουD’Alembert –ηοποια δεν ειναι τιποτε αλλο απο µια ιδιορρυθµη γραφη του δευτερου νο-µου τουΝευτωνα– και την ακρως “παρανοικη”, σε πρ£ωτη αναγνωση, συν-θηκη ισορροπιας, την αρχη των δυνατ£ων εργων.2

2Η πορεια που θα περιγραψουµε ακολουθει αντιστροφα τα ιστορικα βηµατα του La-grange στην προσπαθεια του να απελευθερ£ωσει τις εξισ£ωσεις του Νευτωνα απο τις δυ-ναµεις που αναπτυσσονται µεταξυ των συνδεσµων. Μολονοτι τα βηµατα του Lagrangeοδηγουν, απο φορµαλιστικης αποψης, στην αρχη του Χαµιλτον, απεχουν πολυ απο το


Ας θεωρησουµε, λοιπον, ενα συστηµα % σωµατιδιων, το καθενα µεµαζα ! , τα οποια αλληλεπιδρουν µεταξυ τους, εν£ω παραλληλα ασκου-νται σε αυτα και εξωτερικες δυναµεις που προερχονται απο διαφορα εξω-τερικα πεδια. Προς το παρον, τα σωµατιδια ειναι ελευθερα να κινουνταιυπο την επιδραση των διαφορων δυναµεων χωρις καµια δεσµευση. Συµ-1ολιζουµε µε Y τη συνολικη δυναµικη ενεργεια του συστηµατος, ετσι£ωστεη δυναµη που ασκειται στο # -οστο σωµατιδιο που βρισκεται στη θεση ' !να ειναι ! Z! Y \[ Y[ ' ! (4.5)

Στο Κεφαλαιο 2 δειξαµε την ισοδυναµια µεταξυ του δευτερου νοµου τουΝευτωνα και της αρχης τουΧαµιλτον, οταν γραψαµε τη µετα1ολη της δρα-σης για το συστηµα των σωµατιδιων σε πρ£ωτη ταξη ως προς την παρεκ-κλιση ως

&)] _^a`cb`ed * !-,/. !gf' ! Z! Y 0 & ' !ihkjmlonAj " (4.6)

µε & ' !ihkjV.Vl & ' !phkjiqSl r. Οι µετατοπισεις & ' ! ειναι οι λεγοµενες νοητες

µετατοπισεις ( virtual displacements) που µετρουν την παρεκκλιση του συ-Εαν το σωµατιδιο δεν

ηταν εδ£ω αλλα ηταν

εκει;

στηµατος απο τη φυσικη διαδροµη και οι οποιες µολονοτι ειναι απειρο-στες δεν εχουν καµια σχεση µε πραγµατικη κινηση του συστηµατος. Οινοητες µετατοπισεις αφορουν σε ακαριαια µετατοπιση των σωµατιδιωνκαι δεν εχουν καποιο χρονικο “παχος”. Προκειται για καθαρα υποθετι-κες µετατοπισεις του φυσικου συστηµατος στο θεσεογραφικο χ£ωρο (con-figuration space). Ο χ£ωρος αυτος ειναι υπο µια εννοια ο φυσικος χ£ωροςΟ θεσεογραφικος

χ£ωρος µεσα στον οποιο εξελισσεται το συστηµα των σωµατιδιων0ειναι ο χ£ωρος

των θεσεων που καταλαµ1ανει το συστηµα καθε χρονικη στιγµη. Αν τοσυστηµα αποτελειται απο ενα µονο σωµατιδιο που κινειται στον τρισδια-στατο χ£ωρο, τοτε ο θεσεογραφικος χ£ωρος του συστηµατος ειναι ο τρισ-διαστατος χ£ωρος των τρι£ων συντεταγµενων που χρειαζονται για να περι-γραψουν τη θεση του σωµατιδιου. Αν, οµως, το συστηµα αποτελειται αποπερισσοτερα σωµατιδια, τοτε ο θεσεογραφικος χ£ωρος εχει τοσες διαστα-σεις οσες και οι συντεταγµενες που χρειαζονται για να περιγραφει η θεσηολων των σωµατιδιων. Το πληθος αυτ£ων των συντεταγµενων καλουνταιβαθµοι ελευθεριας του συστηµατος. Η εξελιξη του συστηµατος, δηλαδηη φυσικη διαδροµη του, µπορει να περιγραφει µε µια καµπυλη στο θεσεο-γραφικο χ£ωρο, καθε σηµειο της οποιας αντιστοιχει στη θεση ολων των σω-µατιδιων που απαρτιζουν το συστηµα τη συγκεκριµενη χρονικη στιγµη.

τελικο δηµιουργηµα του Χαµιλτον, το οποιο κατεχει εξεχουσα θεση στο χ£ωρο των µε-γαλων ιδε£ων της φυσικης. Αυτος ειναι και ο λογος που προτιµησαµε, σε αντιθεση µετα περισσοτερα εγχειριδια που πραγµατευονται το αντικειµενο της αναλυτικης µηχανι-κης, να µην ακολουθησουµε στην παρουσιαση την ιστορικη διαδροµη. Θα πρεπει, οµως,να σηµει£ωσουµε οτι, εκτος απο το τεχνικο ενδιαφερον που παρουσιαζει η ιστορικη κα-τασκευη των εξισ£ωσεων Euler - Lagrange, οι ιδεες που κρυ1ονται πισω απο τον τροποκατασκευης τους εµπεριεχουν το σπορο πολυ πιο γονιµων φυσικ£ων ιδε£ων, πραγµα τοοποιο θα επιχειρησουµε να αναδειξουµε στο παρον κεφαλαιο.


Η καµπυλη αυτη µπορει να παραµετροποιηθει ειτε µεσω του χρονου, ειτεµεσω οποιασδηποτε αλλης παραµετρου, η οποια µετα1αλλεται µονοτονακατα µηκος της καµπυλης, οπως, για παραδειγµα, το ιδιο το µηκος της κα-µπυλης. Παρολο που σε απλες περιπτ£ωσεις ο θεσεογραφικος χ£ωρος ειναιδιαισθητικα προσιτος, σε πιο πολυπλοκες περιπτ£ωσεις ειναι δυσκολο νατον φανταστουµε. Για παραδειγµα, αν θεωρησουµε ενα φυσικο συστηµαπου αποτελειται απο δυο σωµατιδια που βρισκονται στον τρισδιαστατοχ£ωρο, απαιτουνται εξι συντεταγµενες για να προσδιοριστει η θεση του συ-στηµατος, οι

h ' .9VsK.SutD.S ' qvVs)qwutwqSl 0 αν οµως τα σωµατιδια αυτα συνδεονταιµε µια στερεα α1αρη ρα1δο, ο θεσεογραφικος χ£ωρος γινεται πενταδια-στατος, αφου για τον προσδιορισµο της θεσης του συστηµατος απαιτου-νται οι τρεις συντεταγµενες

h ' .9VsK.uutD.Vl του ενος σωµατιδιου και οι δυο γω-νιες x Sy που περιγραφουν την κατευθυνση της ρα1δου.Αν τ£ωρα επικαλεστουµε την αρχη του D’ Alembert, η ποσοτητα εντος

της παρενθεσης στη σχεση (4.6) ειναι το αθροισµα των πραγµατικ£ων δυ-ναµεων και των δυναµεων αδρανειας (εκτος απο ενα συνολικο αρνητικοπροσηµο),

&)] ^ `cb`ed * !-,/. !P ! 0 & ' !phkjmlonAj "z (4.7)

Με βαση τα επιχειρηµατα που παραθεσαµε στο Κεφαλαιο 1, για να ικα-νοποιειται η σχεση (4.7) για καθε δυνατη νοητη µετατοπιση & ' !phkjml , πρεπεισε καθε χρονικη στιγµη

jνα ισχυει* !-,/. !P ! 0 & ' !phkjml 2 (4.8)

Απο την παραπανω σχεση συναγεται οτι, αν εκτελεσουµε καποια νοητηµετατοπιση µονο στο # -οστο σωµατιδιο, η φυσικη τροχια του σωµατιδιουαυτου πρεπει να ικανοποιει τη συνθηκη !P ! | & ' !phkjmlγια καθε απειροστη νοητη µετατοπιση & ' !ihkjml . Οµως, το µονο διανυσµαπου ειναι καθετο σε ολα τα διανυσµατα του χ£ωρου ειναι το µηδενικο δια-νυσµα. Ετσι η αρχη του Χαµιλτον, αν αγνοησουµε το περιεργο φυσικονοηµα των δυναµεων αδρανειας, λαµ1ανει τη µορφη της αρχης των δυ-νατ£ων εργων, οπου η “ισορροπια” του συστηµατος στην οποια οδηγει οµηδενισµος της µετα1ολης της δρασης δεν ειναι τιποτε αλλο απο την εξι-σωση κινησης του συστηµατος !gf' ! ! !

(4.9)

Τι συµ1αινει, οµως, αν τα σωµατιδια δεν ειναι ελευθερα να κινηθουνυπο την επιδραση των δυναµεων που ασκουνται σε αυτα στον τρισδια-στατο χ£ωρο; Θα εξετασουµε στη συνεχεια την περιπτωση κατα την οποιαη κινηση των σωµατιδιων δεσµευεται µε καποιο τροπο

0για παραδειγµα,


τα σωµατιδια µπορει να ειναι αναγκασµενα να κινουνται επανω σε κα-ποια επιφανεια, η οι αποστασεις µεταξυ των σωµατιδιων να πρεπει ναικανοποιουν ορισµενες συνθηκες. Το ερ£ωτηµα που τιθεται ειναι ποιες θαειναι τοτε οι δυναµικες εξισ£ωσεις κινησης των σωµατιδιων;Ας εξετασουµεκατ αρχας την περιπτωση µιας δεσµευσης που περιγραφεται απο τη γε-νικη χρονοεξαρτ£ωµενη σχεση h ' .9 ww ' * mjml 2 (4.10)

Στην περιπτωση αυτη οι νοητες µετατοπισεις του συστηµατος & ' !phkjml δενΟι νοητες µετατοπισεις

πρεπει να σε1ονται

τους επι1αλλοµενους

περιορισµους

µπορει να ειναι εντελ£ως τυχαιες0πρεπει να ειναι τετοιες £ωστε το νοητα µε-

τατοπισµενο συστηµα να εξακολουθει να ικανοποιει καθε χρονικη στιγµητο νοµο του δεσµου (4.10). Συνεπ£ως, η συνθηκη (4.8) που πρεπει να ικα-νοποιειται απο τη φυσικη κινηση του συστηµατος δεν συνεπαγεται την(4.9), αφου οι νοητες µετατοπισεις & ' !ihkjml που υπεισερχονται στην (4.8) δενειναι πλεον αυθαιρετες. Αν εκτελεσουµε την απειροστη νοητη µετατοπιση& ' ! στο εκαστοτε σωµατιδιο, θα πρεπει καθε χρονικη στιγµη να εξακολου-θει να ικανοποιειται ο δεσµος h ' . & ' .9 ww ' * & ' * mjml (4.11)

δεδοµενου οτι οι νοητες µετατοπισεις ειναι εκ κατασκευης µετατοπισειςτων θεσεων των σωµατιδιων που αναφερονται στην ιδια χρονικη στιγµη.Η εξισωση του δεσµου, αν αναπτυχθει κατα Taylor, δινει h ' . & ' .9 ww ' * & ' * mjml h ' .9 ww ' * mjml~ * !-,/. & ' !10 Z! (4.12)

οπου η βαθµιδα τηςυπολογιζεται στο σηµειο

h ' .9 ww ' * mjml . Συνεπ£ως,οι συµ1ατες µε το δεσµο απειροστες νοητες µετατοπισεις πρεπει να ικα-νοποιουν τη συνθηκη * !-,/. Z! 0 & ' ! 2 (4.13)

Ετσι, οταν οι µετατοπισεις υποκεινται σε δεσµευσεις, η συνθηκη στασι-µοτητας της δρασης (4.8)πρεπει να ικανοποιειται για εκεινες τις µετατοπι-σεις που ικανοποιουν την (4.13). Οι συνθηκες (4.8) και (4.13) µπορουν ναγραφουν πιο κοµψα αν ορισουµε τα ακολουθα διανυσµατα σε ενα χ£ωρο % διαστασεων :& ' h & ' .9 ww & ' * l Z Z. ww Z * και % .~ . ww * * Ας ορισουµε επισης το εσωτερικο γινοµενο σε αυτον το χ£ωρο ετσι £ωστε η(4.8) να λα1ει τη µορφη* !-,/. % !10 & ' ! % 0 & '\ (4.14)


και η (4.13) τη µορφη Z 0 & '\"2 (4.15)

Αν θελουµε, λοιπον, να ισχυει η (4.14) για καθε νοητη µετατοπιση πουικανοποιει την (4.15), πρεπει το διανυσµα

% να ειναι καθετο σε ολες τιςµετατοπισεις, οι οποιες µε τη σειρα τους ειναι καθετες στο διανυσµα

Z .

Συνεπ£ως, τα% και Z πρεπει να ειναι συγγραµικα, δηλαδη να υπαρχει

αριθµος hkjml τετοιος £ωστε % hkjml Z (4.16)

Ο αριθµος3 hkjml που εκφραζει αυτη την αναλογια εχει γραφει ως συναρ-τηση του χρονου, διοτι ενδεχεται να µετα1αλλεται µε το χρονο δεδοµενουοτι οι συνθηκες (4.14) και (4.15), αν ικανοποιουνται ταυτοχρονα σε καθεχρονικη στιγµη, εξασφαλιζουν απλ£ως την παραλληλια των εν λογω δια-νυσµατων. Λαµ1ανοντας τις συνιστ£ωσες της (4.16), καταληγουµε στο συ-µπερασµα οτι καθε σωµατιδιο πρεπει να κινειται συµφωνα µε το δυναµικονοµο !gf' ! !P hkjml Z! (4.17)

Ετσι, εαν η κινηση των σωµατιδιων µπορει να προκυψει απο την αρχη Ο νοµος του Νευτωνα

οταν τα σωµατιδια

δεσµευονται

του Χαµιλτον και επιπλεον υποκειται στο δεσµο

, τοτε το καθε σω-µατιδιο θα κινηθει συµφωνα µε το δυναµικο νοµο (4.17) στον οποιο, πε-ραν των γνωστ£ων δυναµεων που προερχονται απο δυναµικο, εµφανιζο-νται και δυναµεις

% ! που πρερχονται απο το δεσµο. Αυτες οι δυναµειςειναι οι δυναµεις των αντιδρασεων που εµφανιζονται ετσι £ωστε να ικα-νοποιειται η δεσµευση και ειναι καθετες στην επιφανεια του δεσµου (βλ.σχεσεις (4.15) και (4.16)). Η κατευθυνση των δυναµεων των αντιδρασεων,% ! , που προ1λεπεται απο την αρχη του Χαµιλτον ειναι τετοια £ωστε το συ-νολικο δυνατο εργο των δυναµεων αυτ£ων να ειναι µηδενικο ! % !D0 & ' ! . Καταληγουµε ετσι σε µια πιο ενδιαφερουσα διατυπωση της αρχης τωνδυνατ£ων εργων. Συµφωνα µε αυτη το διαφορικο εργο που εκτελειται αποτις πραγµατικες και τις αδρανειακες δυναµεις που ασκουνται σε ενα συ-στηµα σωµατιδιων, οταν το συστηµα µετατοπιζεται νοητα ικανοποι£ωνταςπαραλληλα και τις επι1αλλοµενες δεσµευσεις, ειναι µηδενικο.Εγειρεται ωστοσο το ερ£ωτηµα κατα ποσον οι αντιδρασεις που εµφανι-

ζονται στη φυση παραγουν πραγµατι µηδενικο δυνατο εργο. Αυτο παρα-τηρειται οταν η επαφη µεταξυ των µηχανικ£ων συστηµατων δεν παρουσι-αζει τρι1η και προ¶ποθετει οτι οι επιφανειες επαφης των µηχανικ£ων συ-στηµατων ειναι λειες (frictionless constraints). Στις περιπτ£ωσεις αυτες ηαρχη του Χαµιλτον παραγει τις εξισ£ωσεις κινησης. Προκειται για τις περι-πτ£ωσεις κατα τις οποιες, οπως δειξαµε στο προηγουµενο κεφαλαιο, οι δυ-ναµεις των αντιδρασεων ειναι αποτελεσµα καποιου σκληρου δυναµικου,που για λογικα επιπεδα ενεργει£ων του συστηµατος (θυµηθειτε τις αρχικες

3Το προσηµο στη παραπανω σχεση εχει επιλεγει ετσι £ωστε η R- J να αποκτησειφυσικο νοηµα. Οπως θα δουµε παρακατω αυτη ειναι η δυναµη του συνδεσµου.


συνθηκες που θεωρησαµε για το σωµατιδιο που υποχρεουται να κινειταιστο δαπεδο) επι1αλλει τις συγκεκριµενες δεσµευσεις.Εαν η κινηση του σωµατιδιου, περαν της (4.10), δεσµευεται να ικανο-

ποιει και καποια αλλη εξισωση δεσµου, την h ' .S ww ' * mjml " (4.18)

τοτε, αν χρησιµοποιησουµε το συµ1ολισµοZ Z. ww Z * οι νοητες µετατοπισεις πρεπει εκτος της (4.15) να ικανοποιουν και τηνZ 0 & '\" (4.19)

οπου προφαν£ως η παραγ£ωγιση λαµ1ανεται και παλι στο σηµειοh ' .9 ww ' * mjml . Σε αυτη την περιπτωση για να ισχυει η (4.14) για καθε νοητη µετα-τοπιση που ικανοποιει ταυτοχρονα και την (4.15) και την (4.19), θα πρε-

πει το διανυσµα% να ειναι καθετο σε ολες τις µετατοπισεις, οι οποιες µε

τη σειρα τους ειναι καθετες στα διανυσµαταZ και

Z . Αυτο συµ1αινει

οταν η% ανηκει στο γραµµικο χ£ωρο που σχηµατιζουν τα Z και Z 0 µε

αλλα λογια πρεπει να υπαρχουν hkjml και hkjml τετοια £ωστε% hkjml Z hkjml Z (4.20)

Αναλυοντας το αριστερο σκελος της (4.20), συναγουµε οτι καθε σωµατι-διο πρεπει να κινειται συµφωνα µε το δυναµικο νοµο !gf' ! !P hkjml Z! hkjml Z! (4.21)

Γενικευοντας το παραπανω αποτελεσµα, συµπεραινουµε οτι, αν τα σω-µατιδια υποχρε£ωνονται να ικανοποιουν τις δεσµευσεις

, για ww , τοτε οι εξισ£ωσεις κινησης θα λαµ1ανουν τη µορφη !gf' ! !P ,/. hkjml Z! (4.22)

Αυτο σηµαινει οτι στην περιπτωση διαφορων δεσµευσεων του συστηµα-τος, σε καθε σωµατιδιο ασκουνται εκτος απο τη δυναµη που προερχεταιΗ αντιδραση εξαιτιας

του δεσµου απο το δυναµικο Y και οι δυναµεις των αντιδρασεων! ,/. hkjml Z! Ο δυναµικος νοµος (4.22), µολονοτι προ1λεπει την υπαρξη νεων δυνα-µεων που επι1αλλουν τις δεσµευσεις, προσδιοριζει µονο την κατευθυνσητων αντιδρασεων και οχι το µεγεθος τους. Οπροσδιορισµος του µεγεθουςτων αντιδρασεων απαιτει την επιλυση των δυναµικ£ων εξισ£ωσεων και πα-ραλληλα την ευρεση των τροχι£ων ' !phkjS .S ww l σε παραµετρικη µορφηως προς τα διαφορα hkjml . Οι παραµετροι hkjml προδιοριζονται στησυνεχεια απο την απαιτηση οι θεσεις των σωµατιδιων να ικανοποιουν κα-θε στιγµη τις δεσµευσεις h ' .ghkjS .9 ww lS ww ' * hkjS .S ww lml "2Οι πολλαπλασιαστες hkjml ονοµαζονται πολλαπλασιαστες Lagrange.

4.4. ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ ∆ΕΣΜΕΥΜΕΝΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 97

4.4 Παραδειγµα προσδιορισµου της δεσµευµε-

νης κινησης σωµατιδιου

Για να κατανοησουµε καλυτερα τη διαδικασια προσδιορισµου της κι-νησης και των δυναµεων αντιδρασης απο τους δεσµους, ας θεωρησουµεενα σωµατιδιο που κινειται στο οµογενες πεδιο βαρυτητας, αλλα παραλ-ληλα ειναι υποχρεωµενο να βρισκεται συνεχ£ως στο ισοταχ£ως κινουµενο,παραλληλα µε τον εαυτο του, κεκλιµενο επιπεδο (βλ. Σχηµα 4.3) Ολισθηση σε κινουµενο

κεκλιµενο επιπεδο' s Ht j (4.23)

Θεωρουµε οτι ο αξοναςtεχει κατακορυφη διευθυνση. Θα προσδιορι-

σουµε την κινηση του σωµατιδιου καθ£ως και την αντιδραση που ασκειταιστο σωµατιδιο απο το επιπεδο.Ο δεσµος της κινησης του σωµατιδιου δινεται απο τη συναρτηση h ' mjml "' s Ht¡ ¢j "

(4.24)

οποτε τοZ εχει συνιστ£ωσες

Z h V m£l. Ταυτοχρονα η Λαγκρανζι-

ανη του σωµατιδιου ειναι ¤ ¥¦u§' ¦ q t2εν£ω οι εξισ£ωσεις κινησης του δεσµευµενου σωµατιδιου συµφωνα µε την(4.22) ειναι f'¨ hkjml fs hkjmli© ft hkjmlª (4.25)

Απο τις παραπανω σχεσεις προκυπτει οτι η αντιδραση που ασκειται στοσωµατιδιο απο το κεκλιµενο επιπεδο ειναι hkjml Z hkjmlgh V m£l Παρατηρουµε οτι η αντιδραση ειναι καθετη στο επιπεδο ' s« ¢Ht j

.

O πολλαπλασιαστης hkjml θα προσδιοριστει απο την απαιτηση να ικα-νοποιειται σε καθε χρονικη στιγµη η εξισωση του συνδεσµου (4.24). Εναλ-λακτικα, θα µπορουσαµε να προσδιορισουµε το hkjml επιλυοντας τις εξι-σ£ωσεις κινησης παραµετρικα ως προς hkjml και στη συνεχεια απαιτ£ωνταςτο hkjml να ειναι τετοιο £ωστε η κινηση του σωµατιδιου να ικανοποιει σεκαθε χρονικη στιγµη την (4.24). Οµως, αυτος ο τροπος προσδιορισµουτου hkjml ειναι επιπονος οποτε ειδικα για την εν λογω κινηση του επιπεδουθα εργαστουµε ως εξης : επειδη σε καθε χρονικη στιγµη ισχυει

, θα

ισχυει επισης οτιn 1¬ nAj "

, αλλα καιn q 1¬ nAj q

. Ετσι, οι επιταχυνσειςθα ικανοποιουν παντοτε τη σχεση f' fs ft 2


Σχηµα 4.3: Ενα σωµατιδιο ολισθαινει επανω στο κινουµενο επιπεδο =LU®K¯ U G° Q± U . Π£ως θα κινηθει το σωµατιδιο και ποια θα ειναι η αντιδραση που θα ασκηθει στοσωµατιδιο απο το επιπεδο;

Αντικαθιστ£ωντας τις επιταχυνσεις µεσω των εξισ£ωσεων κινησης (4.25), βρι-σκουµε οτι ο πολλαπλασιαστης Lagrange hkjml ειναι hkjml q q q Σε αυτη την περιπτωση, επειδη η κινηση του επιπεδου ειναι οµαλη, ο πολ-λαπλασιαστης Lagrange ειναι χρονοανεξαρτητος και η αντιδραση του επι-πεδου στο σωµατιδιο ειναι Z q q q h V m£l Παρατηρουµε οτι η αντιδραση ειναι αυτη που θα ειχαµε αν το επιπεδοτου προ1ληµατος µας ηταν ενα σταθερο κεκλιµενο επιπεδο. Μπορειτε ναδ£ωσετε µια εξηγηση γι αυτο; (Σκεφτειτε αν το συστηµα του κεκλιµενουεπιπεδου ειναι αδρανειακο.)

Ασκηση 4.2. Χρησιµοποι£ωντας στοιχει£ωδεις γν£ωσεις νευτ£ωνειας µηχανικη επι1ε-ΑΣΚΗΣΕΙΣ1αι£ωστε τα αποτελεσµατα του παραδειγµατος για την ολισθηση ενος σωµατιδιου στοκεκλιµενο επιπεδο =LU G° Q ± µεσα στο οµογενες πεδιο βαρυτητας.Οπως διαπιστ£ωνουµε, η απαιτηση να προκυπτει η κινηση του σωµα-

τιδιου απο την εφαρµογη της αρχης του Χαµιλτον οδηγησε οχι µονο σε

4.5. ∆ΙΕΥΡΥΜΕΝΗ ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΗΣ ΤΟΥ ΧΑΜΙΛΤΟΝ 99

µια νεα δυναµη, την αντιδραση του συνδεσµου, αλλα και σε συγκεκριµενηµορφη γι αυτη τη δυναµη hkjml Z (4.26)

Με αλλα λογια προκυπτει οτι η αντιδραση ειναι καθετη στη συνθηκη δε-σµευσης

. Θυµηθειτε οτι αυτο προεκυψε απο την απαιτηση οι νοη-

τες µετατοπισεις να ικανοποιουν την εξισωση του δεσµου (4.23), δηλαδηνα εκτελουνται επι του επιπεδου, £ωστε το σωµατιδιο να µην µετακινειταιεκτος του επιπεδου.

4.5 ∆ιευρυµενη διατυπωση της αρχης του

Χαµιλτον

Στο προηγουµενο εδαφιο χειριστηκαµε τους δεσµους του φυσικου συ-στηµατος ως δεσµευσεις στις επιτρεπτες νοητες µετατοπισεις κατα την επι-1ολη της αρχης του Χαµιλτον στο κατα τ αλλα ελευθερο απο δεσµουςφυσικο συστηµα. Στο παρον εδαφιο θα προσπαθησουµε να ενσωµατ£ω-σουµε στην αρχη του Χαµιλτον τους δεσµους κατασκευαζοντας µια νεαΛαγκρανζιανη του συστηµατος. Αν και η τεχνικη αυτη µοιαζει περισσο-τερο µε µαθηµατικο τεχνασµα, ειναι στην ουσια παροµοια µε τη φυσικηµεθοδο που ακολουθησαµε στο προηγουµενο κεφαλαιο οταν κατασκευα-σαµε νεα υποθετικα δυναµικα, τα οποια επε1αλαν µε τεχνητο τροπο τουςδεσµους. (Θυµηθειτε τα σκληρα ελατηρια που αναγκαζαν το σ£ωµα να κι-νειται επι του επιπεδου

t " στο Εδαφιο 3.5!)Ας εξετασουµε αλλη µια φορα το προ1ληµα προσδιορισµου της κινη-

σης % σωµατιδιων υπο την επιδραση δυναµεων, που προερχονται απο τοδυναµικο Y , τα οποια δεσµευονται να ικανοποιουν τις σχεσεις !ih ' .9 ww '² mjml " για # ww (4.27)

Προς τουτο θα χρησιµοποιησουµε τη Λαγκρανζιανη Προσθετοντας στη

Λαγκρανζιανη τους

δεσµους αν£ωδυνα

αλλα εξυπνα

¤ * !-,/. ¥ ! ¦u§' ! ¦ q Y h ' .9 ww ' * l ³ ,/. hkjml (4.28)

η οποια αριθµητικα δεν διαφερει απο τη Λαγκρανζιανη του αδεσµευτουσυστηµατος, αφου εχουµε προσθεσει σε αυτην µηδενικα (βλ. σχεση(4.27)). Ξεχναµε προς το παρον οτι πρεπει να ικανοποιουνται οι δεσµοι(4.27) και θεωρουµε το φυσικο συστηµα που διεπεται απο την περιεργηΛαγκρανζιανη της εκφρασης (4.28), η οποια ειναι συναρτηση των θεσεων' !, των ταχυτητων

§' ! και των νεων µετα1λητ£ων (αλλα οχι των ταχυτη-των µετα1ολης τουτων). Προτεινουµε ως νεα αρχη του Χαµιλτον την ακο-λουθη : η φυσικη κινηση ειναι αυτη που καθιστα τη δραση που παραγε-ται απο τη Λαγκρανζιανη (4.28) στασιµη ως προς ανεξαρτητες µετα1ολεςτων θεσεων των σωµατιδιων ' ! κατα & ' ! και των µετα1λητ£ων hkjml κατα&) hkjml , µε µονη απαιτηση οι µετα1ολες των θεσεων & ' ! να ειναι µηδενικες


στην αρχικη και την τελικη χρονικη στιγµη. Θα δειξουµε οτι αυτη η νεααρχη του Χαµιλτον παραγει τις εξισ£ωσεις κινησης των δεσµευµενων σω-µατιδιων.Πραγµατι, η πρ£ωτης ταξης µετα1ολη της δρασης &)] πρεπει να µηδενι-

ζεται για µετα1ολες των hkjml κατα &) hkjml οποτε η φυσικη κινηση πρεπειΟι εξισ£ωσεις Euler -

Lagrange ως προς ταRw´ παραγουν τουςδεσµους...

να ικανοποιει τη σχεση ^ `cbèd ,/. &) hkjml nAj για καθε &) hkjml . Ο µονος τροπος για να ικανοποιειται η παραπανω σχεσηγια καθε &) hkjml ειναι να ικανοποιουνται ολες οι εξισ£ωσεις των δεσµ£ων h ' .S ww ' * mjml " για $ ww Με αλλα λογια η στασιµοτητα της δρασης ως προς τις µετα1ολες των hkjmlεπι1αλλει την ικανοποιηση των δεσµευσεων κατα την κινηση.Ας δουµε τ£ωρα τι συµ1αινει µε τις µετα1ολες των θεσεων των σωµατι-

διων. Η στασιµοτητα της δρασης ως προς αυτες τις µετα1ολες οδηγει στις...και ως προς τις

συντεταγµενες δινουν

τις εξισ£ωσεις κινησης

µαζι µε τις αντιδρασεις

ακολουθες σχεσεις : * !-,/. ^ `cbèdµ ! §' !10 & §' !phkjml< Z! Y 0 & ' !phkjml~ ,/. hkjml Z! 0 & ' !ihkjmli¶anAj * !-,/. ^ `cbèdµ !gf' !/ Z! Y ,/. hkjml Z! ¶0 & ' !phkjmlpnAj

Η τελευταια σχεση προκυπτει, ως συνηθως, κατοπιν ολοκληρωσης καταµερη και εφαρµογης της συνθηκης & ' !ihkjV.Vl & ' !phkjiqSl " 4. Η ικανοποιησητης παραπανω σχεσης για αυθαιρετες νοητες µετατοπισεις,5 & ' ! , οδηγεισε φυσικη κινηση, η οποια ικανοποιει τις εξισ£ωσεις !gf' ! Z! Y ,/. hkjml Z! που δεν ειναι αλλες απο τις εξισ£ωσεις (4.22) που προεκυψαν απο την κλα-σικη Λαγκρανζιανη µε δεσµευµενες νοητες µετατοπισεις. Το αθροισµαπου εµφανιζεται στο δεξιο σκελος της παραπανω εξισωσης ειναι το συ-νολο των αντιδρασεων εξαιτιας ολων των επι µερους δεσµ£ων.Με την εισαγωγη των πολλαπλασιαστ£ων Lagrange στη Λαγκρανζιανη

η διευρυµενη αρχη του Χαµιλτον οδηγει συγχρονως και στην ευρεση τωνεξισ£ωσεων κινησης και των δεσµευσεων που πρεπει να ικανοποιει η κι-νηση. Η τεχνικη αυτη εισηχθη απο τον Lagrange και η εφαρµογη της στην

4Η µη εξαρτηση της Λαγκρανζιανης απο τις ταχυτητες των Rv´ µας επιτρεπει να απο-φυγουµε τη συνηθη απαιτηση ISRw´ Q¸· στην αρχικη και την τελικη χρονικη στιγµη κατατην εφαρµογη της αρχης του Χαµιλτον.

5Προσεξτε οτι τ£ωρα, µε τη νεα Λαγκρανζιανη, οι νοητες µετατοπισεις ειναι απολυτωςελευθερες και δεν οφειλουν να υπακουουν σε κανενα δεσµο.

4.6. ΟΛΟΝΟΜΟΙ ΚΑΙ ΜΗ ΟΛΟΝΟΜΟΙ ∆ΕΣΜΟΙ 101

ευρεση των στασιµων τιµ£ων συναρτησεων και συναρτησοειδ£ων υπο συν-θηκες παρουσιαζεται στο Μαθηµατικο Παραρτηµα. Αξιζει να σηµει£ω-σουµε οτι η τεχνικη αυτη δεν αποτελει απλα ενα κοµψο τεχνασµα, αλλαεχει βαθεια φυσικη σηµασια, οπως συµ1αινει συνηθως µε ολες τις µη τε-τριµµενες µαθηµατικες θεωρησεις. Η τεχνικη αυτη βρισκει εφαρµογη στιςδιαφορες θεωριες πεδιου στις οποιες οι πολλαπλασιαστες Lagrange, , α-ποκτουν φυσικη οντοτητα ως νεα πεδια που απαιτουνται για την ικανο-ποιηση των συµµετρι£ων της φυσης η αλλων επι1ε1ληµενων συνθηκ£ων. Μεαυτη τη µεθοδο µπορουν να εισαχθουν οι πηγες (τα ρευµατα) σε ενα ελευ-θερο ηλεκτροµαγνητικο πεδιο, εν£ωστην υδροδυναµικη των ιδανικ£ωνρευ-στ£ων το πεδιο της πιεσης του ρευστου ειναι ο πολλαπλασιαστης Lagrangeπου πρεπει να εισαχθει ουτως £ωστε να ικανοποιειται ανα πασα στιγµη ηεξισωση συνεχειας του ρευστου.

Ασκηση 4.3. Θεωρηστε ενα µαθηµατικο εκκρεµες στο χ£ωρο. Ηθεση της µαζας του ΑΣΚΗΣΕΙΣεκκρεµους δεσµευεται απο τη συνθηκη¹ L)ºHU¯vº/U ° º Q T)»Η κινηση του εκκρεµους προσδιοριζεται απο δυο βαθµους ελευθεριας στο ρολο των ο-ποιων µπορουµε να επιλεξουµε τη γωνια ¼ που σχηµατιζει το νηµα του εκκρεµους µε τηνκατακορυφο ηµιευθεια που διερχεται απο το σηµειο αναρτησης του εκκρεµους και τηναζιµουθιακη γωνια ½ . Επιλεγοντας ως τριτη συντεταγµενη την αποσταση της µαζας αποτο σηµειο αναρτησης ¾ Q ¹ L)º£U¯vº/U ° º συναγουµε οτι η δεσµευση στην κινηση µπορεινα εκφραστει ως ¾À¿ T QÁ· , εν£ω η κινηση διεπεται απο τη ΛαγκρανζιανηÂQÃ ÄÆÅÇ¾ ºÈ U ¾ º Ç¼ º U ¾ ºKÉÊ ËDº ¼ Ç½ ºpÌ U ÃÍ ¾ÎiÏ É ¼ U R-¾À¿ T »Προσδιοριστε τη δυναµη που ασκειται στη µαζα του εκκρεµους απο το νηµα καθ£ως καιτις εξισ£ωσεις κινησης του εκκρεµους.

4.6 Ολονοµοι και µη ολονοµοι δεσµοι

∆ειξαµε οτι, εαν η κινηση των σωµατιδιων περιοριζεται απο καποιασυναρτησιακη σχεση µεταξυ των συντεταγµενων που οριζουν τη θεση τωνσωµατιδιων στο χ£ωρο, τοτε η φυσικη κινηση τους µπορει να προσδιορι-στει ειτε απο τη Λαγκρανζιανη

¤ ÑÐ Y , οπου η κινητικη και η δυ-ναµικη ενεργεια εκφραζονται ως συναρτηση των ελευθερων συντεταγµε-νων του συστηµατος στις οποιες οµως εχουν ληφθει υποψη οι περιορι-σµοι, ειτε απο την ιδια Λαγκρανζιανη προσαυξηµενη κατα τις συναρτη- Ολονοµοι δεσµοι : οι

συντεταγµενες του συ-

στηµατος συνδεονται

µεταξυ τους µεσω

µιας συναρτησιακης

σχεσης

σεις των δεσµ£ων µεσω καποιων πολλαπλασιαστ£ων Lagrange. ∆εσµοι τηςµορφης

hÓÒ9!ªmjml ", οπου

καποια συναρτηση των συντεταγµενων

Ò9!και

ισως και του χρονου, καλουνται ολονοµοι δεσµοι. Το πληθος των ανε-ξαρτητων συντεταγµενων που απαιτουνται για να προσδιοριστει η θεση


Σχηµα 4.4: To επιπεδο του νοµισµατος ειναι καθετο στο επιπεδο L ¿ ¯ . Το νοµισµα κυ-λιεται χωρις να ολισθαινει επανω στο επιπεδο L ¿ ¯ , κινουµενο στιγµιαια στη διευθυνσητης ευθειας, η οποια σχηµατιζει γωνια Ô µε τον αξονα L . Καθε σηµειο στην περιφερειατου νοµισµατος προσδιοριζεται απο τη γωνια ¼ κατα την οποια εχει περιστραφει συνο-λικα το νοµισµα καθ£ως κυλιεται.

του συστηµατος, αφου εχουν ληφθει υποψη οι περιορισµοι της κινησης,ειναι οι πραγµατικοι βαθµοι ελευθεριας του φυσικου συστηµατος. Ετσιενα ελευθερο σωµατιδιο στο χ£ωρο εχει τρεις βαθµους ελευθεριας

0οταν,

οµως, το σωµατιδιο υποκειται στο δεσµο Õ Ö "×uj(θεωρουµε σφαιρι-

κες συντεταγµενες) µε u× σταθερες, οταν δηλαδη αυτο υποχρε£ωνεται νακινηθει σε µια σφαιρα µετα1αλλοµενης ακτινας, τοτε το σωµατιδιο αυτοεχει µονο δυο βαθµους ελευθεριας, την πολικη και την αζιµουθιακη γωνιαπου προσδιοριζουν σε καθε χρονικη στιγµη τη θεση του επανω στη συγκε-κριµενη σφαιρικη επιφανεια. Ωστοσο δεν ειναι δυνατον ολοι οι δεσµοι ναλα1ουν τετοια µορφη. Υπαρχουν δεσµοι, οι οποιοι δεν µπορουν να γρα-φουν στη µορφη

hÓÒ9!ªmjml Ø, οπως για παραδειγµα εκεινοι που επι1αλ-

λουν σε ενα σωµατιδιο να κινειται στην περιοχηtÙ

. Τετοιου ειδουςδεσµοι καλουνται µη ολονοµοι δεσµοι. Ενα αλλο παραδειγµα µη ολο-νοµου δεσµου εχουµε οταν οι ταχυτητες υποκεινται σε τετοια δεσµευση,£ωστε να µην µπορουν να ολοκληρωθουν οι σχεσεις δεσµευσης των συντε-ταγµενων για να καταληξουν σε µια ολοκληρωτικη σχεση µεταξυ των συ-ντεταγµενων.

Το πιο κοινο παραδειγµα µη ολονοµου δεσµου ειναι η περιπτωση ενοςΤο κυλιοµενο νοµισµα

χαρακτηριστικο

παραδειγµα µη

ολονοµου δεσµου

νοµισµατος που κυλιεται επανω σε επιπεδο δαπεδο (βλ. Σχηµα 4.4). Αςθεωρησουµε οτι ενα νοµισµα ακτινας παραµενει κατακορυφο,6 εν£ω κυ-λιεται επανω στην επιφανεια του δαπεδου χωρις να ολισθαινει. Η θεσητου νοµισµατος προσδιοριζεται γενικα απο το σηµειο επαφης του νοµι-σµατος µε το δαπεδο

h ' Vsl, τη γωνια Ú που σχηµατιζει το κατακορυφο

επιπεδο του νοµισµατος µε τον αξονα ' και τη γωνια κυλισης x γυρω αποτον αξονα του νοµισµατος. Απο τις τεσσερις συντεταγµενες

h ' Vs/ Ú x lπου απαιτουνται για τον προσδιορισµο της θεσης του νοµισµατος µονοδυο ειναι πραγµατικα ανεξαρτητες. Η συνθηκη κυλισης του νοµισµατος

6Η παραδοχη οτι το νοµισµα παραµενει κατακορυφο ειναι προ1ληµατικη, διοτι, εαντο νοµισµα εκτελει καµπυλη τροχια, τοτε για να ισορροπει πρεπει το επιπεδο του να µηνειναι κατακορυφο Û κατι αναλογο συµ1αινει µε το µοτοσυκλετιστη οταν στρι1ει. Το συ-µπερασµα βε1αια, οσον αφορα στο χαρακτηρα του δεσµου, δεν αλλαζει.


συνεπαγεται τις δυο ακολουθες σχεσεις :n 'Á"ÝÜgÞAß Ú n x Àns Ýßmàâá Ú n x (4.29)

Ειναι δυνατον να ολοκληρ£ωσουµε αυτες τις σχεσεις £ωστε να εκφρασουµεδυο οποιεσδηποτε συντεταγµενες συναρτησει των αλλων; Θα αποδειξου-µε στη συνεχεια οτι κατι τετοιο δεν ειναι δυνατον να ισχυει. Εστω οτιυπαρχουν συναρτησειςÚ h ' Vsl και x h ' Vsl Ειναι αδυνατον, οµως, να υπαρξει τετοια συναρτηση h ' Vsl . Για καθεσηµειο επαφης του νοµισµατος µε το δαπεδο µπορουµε να στρεψουµε τοεπιπεδο του νοµισµατος σε οποιαδηποτε γωνια Ú 0 ως εκ τουτου η γωνια Úδεν µπορει να ειναι συναρτηση των ' Vs . Ουτε οµως συναρτηση h ' Vsl δενµπορει να υπαρχει. Για να το αποδειξουµε αυτο, ας θεωρησουµε την κι-νηση του νοµισµατος κατα µηκος της ευθυγραµµης τροχιας Ú Ú<ã µε αρ-χικη γωνια κυλισης x . Το νοµισµα κυλιεται κατα γωνια xwã , σταµατα,στρεφεται γυρω απο την κατακορυφη διαµετρο του κατα ä και επανερχε-ται κυλιοµενο στην αρχικη του θεση, στο σηµειο εκκινησης του. Σε αυτοτο σηµειο το νοµισµα θα εχει περιστραφει κατα γωνια

¥ xwã και ετσι στοιδιο σηµειο θα αντιστοιχουν δυο γωνιες x , η και η ¥ xvã . Συνεπ£ως, δενειναι δυνατον ουτε η x να ειναι συναρτηση των ' Vs .Εν£ω για ολονοµους δεσµους η φυσικη κινηση και οι αντιδρασεις µπο-

ρουν να προκυψουν, οπως ειδαµε, απο τη διευρυµενη αρχη του Χαµιλ-τον µε την επαυξηµενη Λαγκρανζιανη (4.28) στην οποια εµφανιζονται οιδεσµοι σε ολοκληρωµενη µορφη, η διευρυµενη αυτη αρχη δεν µπορει, ενγενει, να εφαρµοστει οταν οι δεσµοι δεν ειναι ολονοµοι. Στην περιπτωση,βε1αια, που το φυσικο συστηµα περιοριζεται απο µη ολονοµους δεσµουςπου δινονται σε διαφορικη µορφη, οπως αυτοι για την κυλιοµενη κινησηανευ ολισθησης (4.29), η διαδικασια που ακολουθησαµε στο εδαφιο 4.3 ει- Για καποιους

µη ολονοµους δεσµους

µπορουµε να κατα-

σκευασουµε

τις εξισ£ωσεις κινησης

ναι δυνατον να οδηγησει σε προσδιορισµο και της κινησης και των αντι-δρασεων. Ας εφαρµοσουµε αυτη τη µεθοδο για να προσδιορισουµε τηνκινηση του κυλιοµενου νοµισµατος.

Η λαγκρανζιανη συναρτηση του νοµισµατος ειναι¤ ¥1å ã §x q ¥1å . §Ú q ¥ çæ §' q §s qVè (4.30)

οπουå ã ειναι η ροπη αδρανειας του νοµισµατος γυρω απο τον αξονα συµ-

µετριας καθετα στο επιπεδο του νοµισµατος,å .η ροπη αδρανειας αυτου

για περιστροφες γυρω απο µια διαµετρο του, η µαζα του νοµισµατοςκαι

h ' Vsl οι συντεταγµενες του κεντρου του νοµισµατος. Οι γωνιες x καιÚ ειναι αυτες που παρουσιαζονται στο Σχηµα 4.4. Η εκφραση της παρα-πανω Λαγκρανζιανης ειναι η εκφραση της συνολικης κινητικης ενεργειαςτου νοµισµατος που ειναι το αθροισµα της µεταφορικης κινητικης ενερ-γειας του κεντρου µαζας και της περιστροφικης κινητικης ενεργειας τουνοµισµατος.


Ησυνθηκη στασιµοτητας της δρασης που προκυπτει απο τη Λαγκραν-ζιανη (4.30) για νοητες µετατοπισεις & ' , & s , &Dx και &EÚ ειναιå ã fxé&Dx å . fÚ¢&EÚ f' & ' fs & s " (4.31)

και συµφωνα µε αυτη το διανυσµα των νοητ£ων µετατοπισεωνh &Dx &EÚ & ' & sl ειναι καθετο στο διανυσµα h å ã fx å . fÚ f' fsPl , δηλαδηh å ã fx å . fÚ f' fsPl h &Dx &EÚ & ' & sl (4.32)

Οι νοητες µετατοπισεις, οµως, πρεπει να ικανοποιουν τις συνθηκες (4.29)& ' ÝÜgÞAß ÚÆ&Dx " & s2 Ýßmàâá Ú¢&Dx (4.33)

οι οποιες επι1αλλουν στις νοητες µετατοπισειςh &Dx &EÚ & ' & sl να ειναι κα-

θετες στα διανυσµαταhi ÝÜgÞAß Ú l και hi Ýßmàâá Ú l (4.34)

Συνεπ£ως, αφου το διανυσµαh å ã fx å . fÚ f' fsPlικανοποιει την (4.32) για καθε νοητη µετατοπιση συµ1ατη µε τους δεσµουςτης κυλισης, πρεπει να ανηκει στον υποχ£ωρο που σχηµατιζεται απο ταδιανυσµατα της εκφρασης (4.34). ∆ηλαδη, πρεπει να ειναιh å ã fx å . fÚ f' fsPl hi ÝÜgÞAß Ú lH hi Ýßmàâá Ú lοποτε οι εξισ£ωσεις κινησης διαµορφ£ωνονται ως εξης :å ã fx ÝÜgÞAß Ú Ýßmàâá Ú (4.35)å . fÚ

(4.36) f'¨ (4.37) fs (4.38)

Για να προσδιορισουµε την κινηση του νοµισµατος διαιρουµε τις εκφρα-σεις (4.29) µε τον απειροστο χρονο στον οποιο πραγµατοποιουνται οι απει-ροστες µετα1ολες των συντεταγµενων, οποτε λαµ1ανουµε τις σχεσειςÝÜgÞAß Ú §' ¬ §x και Ýßmàâá Ú §s ¬ §x (4.39)

Εαν αντικαταστησουµε αυτες τις εκφρασεις στην εξισωση κινησης (4.35)και χρησιµοποιησουµε και τις εξισ£ωσεις (4.37, 4.38), καταληγουµε στηνεξισωση å ã §x fx §' §s h §' f' §s fsPl (4.40)

Η διαφορικη εξισωση (4.40) ολοκληρ£ωνεται αµεσως και δινει τη διατη-ρηση της ποσοτητας ¥/å ã §x q ¥ çæ §' q §s qVè "ê .

(4.41)


κατα την κινηση του νοµισµατος. Απο τη συνθηκη κυλισης (4.39) συνα-γουµε επιπλεον οτι §' q §s q q §x q οποτε η (4.41) µετατρεπεται στην ακολουθη σχεση :¥ æ å ã \ qSè §x q ê . Η εξισωση αυτη συνεπαγεται οτι το νοµισµα κυλιεται µε σταθερη γωνιακηταχυτητα,

§x ìë , οποτε η γωνια κυλισης ειναιx hkjml ë j~ x h l Απο την (4.36) προκυπτει οτι η γωνιακη ταχυτητα περιστροφης γυρω αποτην κατακορυφο διαµετρο ειναι επισης σταθερη§Ú "íκαι συνεπ£ως Ú hkjml "í j Ú h l Εχοντας προσδιορισει την εξελιξη των γωνι£ων στροφης, προσδιοριζουµεαµεσως την κινηση του κεντρου µαζας ολοκληρ£ωνοντας τις σχεσεις (4.39) Το νοµισµα

κυλαει διαγραφοντας

εναν κυκλο' hkjml ' h l~ ëí"î ßmàâá h Ú h l~ í jml< ßmàâá h Ú h lmlªï«s£hkjml s£h l£ ëí"î ÜgÞAß h Ú h lmlo ÜgÞAß h Ú h l~ í jmlªï

H τροχια, λοιπον, που διαγραφει το κεντρο µαζας ειναι κυκλικηh ' hkjml< ' ã l q "hÓs£hkjml<s ã l q " q ë qí q µε κεντρο το σηµειο

h ' ã Vs ã l , οπου' ã ' h l< ëí ßmàâá h Ú h lmlÀs ã s£h l£ ëí ÜgÞAß h Ú h lmlκαι ακτινα )ë ¬ í . Η κυκλικη αυτη τροχια διαγραφεται µε σταθερη γωνι-ακη ταχυτητα í .Απο τις (4.37) και (4.38) µπορουµε τ£ωρα να υπολογισουµε και τους

πολλαπλασιαστες και , οι οποιοι προσδιοριζουν τις αντιδρασεις πουυποχρε£ωνουν το νοµισµα να εκτελει κυκλικη κινηση. Οι αντιδρασεις ει-ναι \)ë5í\ßmàâá î Ú h l~ í jªïH \)ë5í\ÜgÞAß î Ú h l~ í jªï Οι αντιδρασεις αυτες ειναι οι συνιστ£ωσες της κεντροµολου δυναµης ηοποια ειναι καθετη στην ταχυτητα του νοµισµατος. Αυτη η φυγοκεντροςδυναµη ασκειται απο το δαπεδο και ειναι υπευθυνη για το γεγονος οτι τονοµισµα δεν ολισθαινει στην κατευθυνση την καθετη στην κυκλικη τουτροχια. Η ιδια η κυλιση του νοµισµατος, για να πραγµατοποιηθει, δεναπαιτει καµια δυναµη και εξασφαλιζεται απο τη µορφη της κινησης, αφουη ταχυτητα µε την οποια διαγραφεται η κυκλικη τροχια ισουται µε τη γω-νιακη ταχυτητα κυλισης επι την ακτινα του νοµισµατος.


Ασκηση 4.4. Εξειδικευστε και προσδιοριστε την κινηση του νοµισµατος και τηνΑΣΚΗΣΕΙΣαντιδραση που ασκειται σε αυτο, οταν (i) το νοµισµα κυλιεται αλλα δεν περιστρεφεταιγυρω απο τον κατακορυφο αξονα ( ð Q"· ) και (ii) οταν περιστρεφεται γυρω απο τονκατακορυφο αξονα αλλα δεν κυλιεται ( B Q\· ).4.7 Φαινοµενες δυναµεις σε ενα επιταχυνοµενο

συστηµα αναφορας και η αρχη της

ισοδυναµιας

Οπως αναφεραµε και σε προηγουµενο εδαφιο η ιδεα του D’ Alem-bert οδηγησε τον Lagrange µεσω της αρχης των δυνατ£ων εργων στις εξι-σ£ωσεις Euler - Lagrange. Η µετατροπη ενος προ1ληµατος δυναµικης σεενα προ1ληµα στατικης, τουλαχιστον φορµαλιστικα, δεν φαινεται να πε-ρικλειει τιποτε βαθυτερο απο µια απλη επαναδιατυπωση του δυναµικουνοµου του Νευτωνα µε τη µορφη της αρχης του Χαµιλτον. ∆εν µπορουµεβε1αια να παρα1λεψουµε τη σπουδαιοτητα αυτης της αρχης, την οποιαεχουµε αναλυσει εκτεν£ως, οσον αφορα στη νεα θε£ωρηση της φυσικης πουαυτη εισαγει. Προκειται για ενα επιτευγµα, η σηµασια του οποιου ανα-γνωριστηκε αρκετα αργοτερα, απο τονHamilton.7 Περα οµως απο αυτο ηιδεα οτι σε ενα σωµατιδιο ασκειται µια νεα “δυναµη”, η δυναµη της αδρα-νειας, η οποια δρα οπως ολες οι πραγµατικες δυναµεις µε αποτελεσµαολες οι δυναµεις, πραγµατικες και αδρανειακες, που ασκουνται στο σω-µατιδιο να βρισκονται σε ισορροπια, κρυ1ει κατι επαναστατικο.

Η αρχη του D’ Alembert δεν αναφερεται σε καποιο συγκεκριµενο συ-στηµα αναφορας

0ισχυει σε ολα τα συστηµατα αναφορας. Απο την αλλη

πλευρα στη διατυπωση της αρχης του D’ Alembert η δυναµη της αδρα-νειας οριστηκεως προς καποιο αδρανειακο συστηµα αναφορας ñ και επο-µενως εξαρταται απο το συστηµα αναφορας. Αν θεωρησουµε ενα επιτα-χυνοµενο συστηµα αναφορας ñÝò , το οποιο κινειται µε ταχυτητα ó hkjml ωςπρος το αρχικο αδρανειακο συστηµα ñ , ετσι £ωστε η θεση των σωµατιδιωνÕôò να δινεται απο τη σχεσηÕ hkjml çÕ ò hkjml~ ^ `ó hkõ1lpnAõÁη δυναµη αδρανειας που θα αποδιδεται στο σ£ωµα στο συστηµα ñ ò θα ειναιÁ ò f Õ ò Á

7Σηµειωτεον οτι απο την εποχη του Lagrange εως την εποχη του Hamilton η νεα µε-θοδος αποτελεσε απλ£ως µια τεχνικη βελτιωσης των εξισ£ωσεων του Νευτωνα, αφου δεναπαιτουσε καµια αναφορα στις δυναµεις των συνδεσµων.

4.7. Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΙΣΟ∆ΥΝΑΜΙΑΣ 107

οπου | n ó ¬ nAj η στιγµαια επιταχυνση του ñ5ò ως προς το ñ . Αν η αρχητου D’ Alembert στο αρχικο συστηµα ñ επε1αλλε την “ισορροπια” στο νεο συστηµα ñÝò η “ισορροπια” θα αποκτουσε τη µορφη y Á ò (4.42)

οπου y Η σχεση “ισορροπιας” (4.42) στο νεο συστηµα αναφορας ñÝò επιδεχε-

ται δυο ερµηνειες. Συµφωνα µε την πρ£ωτη ερµηνεια ο παρατηρητης ει-ναι αποµονωµενος και δεν γνωριζει οτι κινειται σε ενα επιταχυνοµενο συ-στηµα αναφορας οποτε µε βαση την επιταχυνση του σωµατιδιου που µε-τρα θα υπολογισει τη δυναµη αδρανειας

ò και θα θεωρησει οτι στοσωµατιδιο ασκουνται εξωτερικα οι πραγµατικες δυναµεις

ì y£ωστε να

ικανοποιειται η σχεση “ισορροπιας” (4.42)h yHl~ ò εκλαµ1ανοντας ως πραγµατικη δυναµη και τη φαινοµενη δυναµη

y. Για

τον αποµονωµενο παρατηρητη, ο οποιος δεν γνωριζει τη µη αδρανειακο-τητα του συστηµατος αναφορας του, οι φαινοµενες δυναµεις εχουν πραγ-µατικη υποσταση και δεν υπαρχει τροπος να τις διαχωρισει απο τις πραγ-µατικες δυναµεις.

Σχηµα 4.5: Ο παρατηρητης βρισκεται µεσα σε εναν ανελκυστηρα, ο οποιος ειναι ακι-νητος στην επιφανεια της Γης. Μια µπαλα και ενα κλαδι εκτελουν ελευθερη πτ£ωση καιεπιταχυνονται προς το εδαφος µε επιταχυνση Í . Υποθετουµε οτι ο ανελκυστηρας ειναικενος και δεν υπαρχει αντισταση.

Συµφωνα µε τη δευτερη ερµηνεια της καταστασης “ισορροπιας” τουσ£ωµατος στο ñ ò , ο παρατηρητης, γνωριζοντας οτι κινειται σε επιταχυνο-µενο συστηµα, αντιλαµ1ανεται οτι οι δυναµεις αδρανειας στο επιταχυνο-µενο συστηµα πρεπει να διορθωθουν και προσθετει στη δυναµη αδρα-νειας του σωµατιδιου τη δυναµη αδρανειας του επιταχυνοµενου συστη-µατος αναφορας οποτε η κατασταση “ισορροπιας” ερµηνευεται ως "h y Á ò l z


Σχηµα 4.6: Ο ανελκυστηρας τ£ωρα βρισκεται µακρια απο ολα τα σ£ωµατα και δεν ασκει-ται σε αυτον καµια βαρυτικη δυναµη. Επιταχυνεται, οµως, µε επιταχυνση Í σε αντιθετηκατευθυνση απο αυτη της βαρυτητας στο προηγουµενο πειραµα. Ο παρατηρητης, οοποιος βρισκεται µεσα στον ανελκυστηρα, δεν µπορει απο τις κινησεις των σωµατων ναδιακρινει αν στο εσωτερικο του ανελκυστηρα ασκειται βαρυτικη δυναµη προς τα κατω,η αν ο ανελκυστηρας επιταχυνεται προς τα πανω. Θεωρουµε οτι οι ανελκυστηρες καιστα δυο Σχηµατα ειναι µικροσκοπικοι σε µεγεθος. Αν υποθεσουµε οτι δεν συµ1αινει κατιτετοιο, µπορειτε να προτεινετε εσεις ενα πειραµα µε το οποιο να ειναι σε θεση ο παρατη-ρητης να αντιληφθει αν βρισκεται στο πεδιο βαρυτητας της Γης η σε ενα επιταχυνοµενοσυστηµα;

Ας συγκρινουµε στη συνεχεια αυτες τις δυο ερµηνειες στην περιπτωσητης ελευθερης πτ£ωσης ενος σ£ωµατος µεσα σε οµογενες βαρυτικο πεδιο.Συµφωνα µε την αρχη του D’ Alembert ενας αδρανειακος παρατηρητης(βλ. Σχηµα 4.5) γραφει τη σχεση “ισορροπιας” ως ακολουθως :Βαρος συν δυναµη

αδρανειας z(4.43)

Αυτη η σχεση οµως επιδεχεται, οπως ειδαµε, και αλλη ερµηνεια (βλ. Σχη-µα 4.6). Ας εξαφανισουµε τη βαρυτικη δυναµη και ας επιταχυνουµε µεεπιταχυνση

τον παρατηρητη που παρακολουθει την κινηση του σ£ωµα-τος. Ηεπιταχυνση που επιλεξαµε ειναι ιση και αντιθετη µε την επιταχυνσητης βαρυτητας. Η “ισορροπια” του σ£ωµατος γι αυτον τον παρατηρητη θαλα1ει τη µορφη∆υναµη αδρανειας

µονο hi l~ Á ò z (4.44)

Αν το πεδιο βαρυτητας ηταν απολυτα οµογενες –πραγµα που θα ισχυεαν ειχαµε θεωρησει ενα πολυ µικρο εργαστηριο– ενας παρατηρητης κλει-σµενος στο εργαστηριο δεν θα µπορουσε να διακρινει αν στο σωµατιδιοασκειται η δυναµη της βαρυτητας (πραγµατικη δυναµη) η αν το εργαστη-ριο του επιταχυνεται στην αντιθετη κατευθυνση και αυτο που “βλεπει” ωςβαρυτητα του σωµατιδιου ειναι µια δυναµη αδρανειας, αφου και στις δυοπεριπτ£ωσεις (4.43, 4.44) η δυναµη αδρανειας που µετραει ειναι ιδιαÁ ò

4.7. Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΙΣΟ∆ΥΝΑΜΙΑΣ 109

λογω κοινης επιταχυνσης του σ£ωµατος και για τους δυο παρατηρητες. Βε-1αια, ολα οσα αναφεραµε παραπανω ισχυουν επειδη η βαρυτικη δυναµηειναι αναλογη της µαζας του σ£ωµατος που δεχεται τη βαρυτικη δυναµη,οπως ακρι1£ως συµ1αινει και µε τις δυναµεις αδρανειας.

Ισοδυναµως, ενας παρατηρητης που βρισκεται µεσα σε ενα εργαστη-ριο που εκτελει ελευθερη πτ£ωση µεσα σε ενα βαρυτικο πεδιο δεν αισθανε-ται τη δυναµη της βαρυτητας. Αυτο συµ1αινει διοτι η φαινοµενη δυναµηκατα την “ισορροπια” D’ Alembert ειναι ιση και αντιθετη µε τη δυναµητης βαρυτητας και τα αποτελεσµατα οποιουδηποτε φυσικου πειραµατοςπου θα εκτελουταν σε αυτο το συστηµα αναφορας ειναι πανοµοιοτυπα µεεκεινα που θα λαµ1ανονταν αν το πειραµα εκτελουταν σε ενα αδρανειακοσυστηµα στο οποιο ισχυουν οι νοµοι του Νευτωνα. Αυτο ακρι1£ως συµ1αι-νει σε πειραµατα, τα οποια εκτελουνται µεσα σε ενα διαστηµοπλοιο πουβρισκεται σε τροχια γυρω απο τη Γη. Το διαστηµοπλοιο, επειδη βρισκε-ται σε ελευθερη πτ£ωση µεσα στο πεδιο βαρυτητας, ειναι κατα προσεγγιση8

ενα αδρανειακο συστηµα αναφορας.9 Συνεπ£ως, ενα οµαλ£ως επιταχυνο-µενο συστηµα αναφορας στο οποιο δεν ασκειται η δυναµη της βαρυτη-τας και ενα µη επιταχυνοµενο συστηµα αναφορας στο οποιο ασκειται ηδυναµη της βαρυτητας, µε ενταση ιση µε την επιταχυνση του προηγου-µενου συστηµατος, ειναι ισοδυναµα. Απο τη στιγµη, λοιπον, που αυτοπου εχουµε συνηθισει να θεωρουµε ως αδρανειακο συστηµα, υπο την πα-ρουσια ενος πεδιου βαρυτητας ειναι ισοδυναµο µε ενα επιταχυνοµενο συ-στηµα σε εναν χ£ωρο διχως βαρυτητα, τα αδρανειακα συστηµατα, οπως ταεχουµε συνηθισει στη νευτ£ωνεια µηχανικη, παυουν να ειναι πλεονεκτικα.Καταλληλοτερο, ως αδρανειακο συστηµα, θα ηταν εκεινο, το οποιο πα-ρουσια καποιου βαρυτικου πεδιου θα επεφτε ελευθερα µεσα σε αυτο τοπεδιο. Σεενα τετοιο συστηµα τα αλλα σ£ωµατα που πεφτουν αποκλειστικαεξαιτιας του πεδιου θα αιωρουνται διπλα στον παρατηρητη η θα κινου-νται ως ελευθερα σ£ωµατα µε σταθερη ταχυτητα ως προς αυτον. Η ιδεατης απουσιας βαρυτητας σε ενα συστηµα που πεφτει ελευθερα ηταν, οπωςσυνηθιζε να λεει ο Albert Einstein [1879-1955], “η ευτυχεστερη σκεψη τηςζωης του” και ηταν αυτη που τον οδηγησε υστερα απο αγωνι£ωδη και πο-λυετη προσπαθεια στη διατυπωση της Γενικης Θεωριας της Σχετικοτη-τας. Προκειται για τη λεγοµενη αρχη της ισοδυναµιας που εισηγαγε αρ-χικα ο Einstein το 1916 για να εξηγησει τη δυναµη της βαρυτητας προτουδιατυπ£ωσει τη Γενικη Θεωρια της Σχετικοτητας. Η αρχη του D’ Alem-bert υπηρξε, σε επιπεδο αρχ£ων βε1αια, ο προποµπος της αρχης της ισο-δυναµιας συµφωνα µε την οποια η δυναµη της βαρυτητας ειναι µια φαι-νοµενη δυναµη.

Οµως, η ισοδυναµια επιταχυνοµενων συστηµατων αναφορας και βα-ρυτητας ειναι, οπως αναφεραµε, δυνατη επειδη η βαρυτικη µαζα ö –ηµαζα που υπεισερχεται στο νοµο της Παγκοσµιας Ελξης– ειναι ιδια µετην αδρανειακη µαζα που υπεισερχεται στο δευτερο νοµο τουΝευτωνα.

8Η προσεγγιση ειναι τοσο ακρι1εστερη, οσο µικροτερο ειναι το διαστηµοπλοιο η οσοπιο µακρια βρισκεται αυτο απο τη Γη,£ωστε το βαρυτικο πεδιο εντος αυτου να µπορει ναεκληφθει ως οµογενες.

9Βλ. το βι1λιο των Taylor&Wheeler, Spacetime Physics, εδαφιο 1.2.


Πραγµατι, για την κινηση του σωµατιδιου µεσα σε οµογενες πεδιο βαρυ-τητας ο δευτερος νοµος του Νευτωνα απαιτειö~και αφου υποθετουµε οτιΙσοτητα βαρυτικης

αδρανειακης µαζας ÷ö συναγουµε οτι ø

(4.45)

Η ισοτητα αυτη αποτελει το κλειδι στη διατυπωση της αρχης της ισοδυ-ναµιας.

Η ισοτητα βαρυτικης και αδρανειακης µαζας στο πλαισιο της νευτ£ω-νειας θεωριας για τη βαρυτητα ειναι ακρως αξιοπεριεργη και απασχολησεκαι τον ιδιο το Νευτωνα οταν διατυπωνε το νοµο της Παγκοσµιας Ελ-ξης. Θελοντας, µαλιστα, να ελεγξει ο ιδιος την ακρι1εια αυτης της ισοτη-τας προτεινε το ακολουθο πειραµα :10 Κατασκευασε ενα εκκρεµες αποτε-λουµενο απο ενα κουφιο σφαιριδιο µεσα στο οποιο τοποθετουσε διαφορασ£ωµατα ιδιας µαζας αλλα απο διαφορετικο υλικο καθε φορα. Με αυτοτον τροπο προσπαθησε να µετρησει τις διαφορες στην περιοδο του εκ-κρεµους, εν£ω το εξωτερικο σφαιρικο κελυφος του εξασφαλιζε οτι η αντι-σταση απο τον αερα θα ηταν καθε φορα η ιδια. Ο Νευτωνας δεν µπο-ρεσε να εντοπισει καµια διαφορα µεταξυ αδρανειακης και βαρυτικης µα-ζας. Αργοτερα, το 1889 και το 1922, ο ουγγρος πειραµατικος φυσικοςRoland von Eotvos [1848-1919] πραγµατοποιησε αναλογα πειραµατα µεζυγο στρεψης βελτι£ωνοντας την ακρι1εια συµπτωσης των δυο µαζ£ων αποτο vKùú που ειχε επιτυχει ο Νευτωνας στο ûÝü vùý . Η ακρι1εια αυτ£ων τωνπειραµατων σηµερα εχει ξεπερασει το vKù .q !Μια τετοιας ακρι1ειας συµπτωση δυο τοσο διαφορετικ£ωνφυσικ£ωνπο-

σοτητων πρεπει να κρυ1ει κατι πολυ πιο βαθυ. Αυτη η σκεψη αποτελεσετη βασικη ιδεα που £ωθησε τον Einstein να αντικαταστησει τη νευτ£ωνειαθε£ωρηση για τη βαρυτητα µε αυτη της Γενικης Θεωριας της Σχετικοτη-τας. Συµφωνα µε τη νεα θε£ωρηση µια µαζα παραµορφ£ωνει το χ£ωρο

10Το περιφηµο πειραµα του Γαλιλαιου στον πυργο της Πιζας, στοχος του οποιου ηταννα αποδειξει οτι ολα τα σ£ωµατα, ανεξαρτητως της µαζας τους, πεφτουν στη Γη σε ιδιοχρονο, ηταν στην ουσια αποδειξη της ισοτητας µεταξυ βαρυτικης και αδρανειακης µα-ζας. Ο Γαλιλαιος, βε1αια, επιθυµουσε να επι1ε1αι£ωσει πειραµατικα, οπως εκανε και µεκεκλιµενα επιπεδα και βολες, οτι η επιταχυνση της βαρυτητας ειναι η ιδια για ολα τα σ£ω-µατα σε αντιθεση µε την επικρατουσα αντιληψη του Αριστοτελη, ο οποιος στο εργο τουΦυσικα IV, 8 216a 12-16, υποστηριζε οτι τα βαρυτερα σ£ωµατα πρεπει να φτανουν στηνεπιφανεια της Γης γρηγοροτερα απ ο,τι τα ελαφροτερα. Ο Γαλιλαιος ειχε εκλογικευσειτην παρατηρηση του οτι ο χρονος που απαιτειται ειναι ανεξαρτητος απο τη µαζα τουσ£ωµατος µε τον εξης ενδιαφεροντα συλλογισµο : ας υποθεσουµε οτι δυο σ£ωµατα, το εναελαφρυ και το αλλο βαρυ, πεφτουν µε διαφορετικη επιταχυνση. Αν δεσουµε αυτα ταδυο σ£ωµατα µαζι, θα πρεπει λογικα να πεφτουν µε µια ενδιαµεση επιταχυνση, πραγµατο οποιο ερχεται σε αντιθεση µε τον ισχυρισµο οτι το συσσωµατωµα, οντας βαρυτερο καιαπο τα δυο σ£ωµατα, θα πεφτει ακοµη πιο γρηγορα απο το καθε σ£ωµα χωριστα.

4.8. ΤΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΤΩΝ ΠΑΛΙΡΡΟΙΩΝ 111

(και το χρονο) γυρω της µε τετοιο τροπο £ωστε ολα τα σ£ωµατα που βρι-σκονται µεσα στο πεδιο της µαζας να κινουνται µεσα στον παραµορ-φωµενο αυτο χ£ωρο ακολουθ£ωντας τις συντοµοτερες διαδροµες, ανεξαρ-τητως της µαζας που εχει το καθενα απο αυτα. Ετσι, αυτο που εκλαµ-1ανουµε εµεις ως βαρυτικη δυναµη ειναι η µεταφραση της κατα τα αλλααπλουστατης γεωδαισιακης τροχιας των σωµατων σε συµ1ατικες ευκλει-δειες συντεταγµενες που λανθασµενα θεωρουµε οτι περιγραφουν το χ£ωροπου µας περι1αλλει. Επειδη, λοιπον, παρακολουθουµε ολα τα σ£ωµατα νακινουνται µε τον ιδιο τροπο µεσα στο βαρυτικο πεδιο και η δυναµη πουθεωρουµε ως αιτιο της µη οµαλης φαινοµενης κινησης των σωµατων ει-ναι ιση µε τη µαζα του εκαστοτε σ£ωµατος επι την επιταχυνση αυτου, θεω-ρουµε υπευθυνη για την επιταχυνοµενη κινηση του σ£ωµατος µια δυναµηη οποια ειναι αναλογη της αδρανειακης του µαζας. Αυτο εξηγει και τηνισοτητα βαρυτικης και αδρανειακης µαζας.

4.8 Το φαινοµενο των παλιρροι£ων

Τοφαινοµενο των παλιρροι£ων εµφανιζεται σε εκτεταµενα σ£ωµατα πουβρισκονται µεσα σε βαρυτικα πεδια και ειναι συνεπεια µιας καταπληκτι-κης ιδιοτητας του βαρυτικου νοµου συµφωνα µε την οποια η βαρυτικηελξη µεταξυ δυο σωµατων ειναι αναλογη των αδρανειακ£ων µαζ£ων τωνσωµατων. Αντιλαµ1ανοµαστε, λοιπον, οτι η παλιρρο°κη δυναµη αποτε-λει καθηµερινη εκφανση της αρχης της ισοδυναµιας.Ας θεωρησουµε ενα ουρανιο σ£ωµα, για παραδειγµα τη Γη, που για λο-

γους απλουστευσης θα υποθεσουµε οτι εχει σφαιρικο σχηµα. Το ερ£ωτηµαπου τιθεται ειναι ποια δυναµη ασκειται σε καθε σηµειο του σ£ωµατος αυ-του απο καποιο αλλο σφαιρικο ουρανιο σ£ωµα, οπως για παραδειγµα τηΣεληνη η τον Ηλιο. Απο το καταπληκτικο θε£ωρηµα του Νευτωνα γνωρι-ζουµε οτι η δυναµη που ασκειται απο το µακρινο σ£ωµα σε ενα τµηµα τηςΓης ειναι éþ Õ

| Õ |ú (4.46)

οπου ειναι η µαζα του µακρινου σφαιρικου σ£ωµατος του οποιου το κε-ντρο βρισκεται στη θεση

και ειναι η µαζα του εν λογω τµηµατος της

Γης που βρισκεται στη θεση Õ (ολες οι θεσεις θεωρουµε οτι µετρ£ωνται αποτο κεντρο της Γης). Θελουµε να υπολογισουµε τη δυναµη που ασκειταιστην επιφανεια της Γης, η οποια προσδιοριζεται απο την εξισωση

¦ Õ ¦ ,λαµ1ανοντας ως αρχη των αξονων το κεντρο της Γης. Σε ολοκληρη τη Γηασκειται βε1αια µια δυναµη ã þ Γ

||ú

µε αποτελεσµα ολοκληρη η Γη να επιταχυνεται προς το ουρανιο σ£ωµα µετην αντιστοιχη επιταχυνση. Ο παρατηρητης που βρισκεται επανω στη Γηκαι κινειται µαζι µε αυτη θεωρει οτι σε καθε µαζα ασκειται η φαινοµενη


δυναµη éþ ||ú

οποτε στο επιταχυνοµενο, λογω τροχιακης κινησης, συστηµα της Γης σεκαθε µαζα φαινεται να ασκειται η συνολικη δυναµη

π éþ µ Õ

| Õ |ú

||ú ¶

(4.47)

Η δυναµη αυτη ειναι η παλιρρο°κη δυναµη. Ας υπολογισουµε το µεγεθοςαυτης της δυναµης στην επιφανεια της Γης

¦ Õ ¦ ³, υπο την προ¶πο-

θεση οτι το ουρανιο σ£ωµα ειναι αρκετα µακρια απο τη Γη, £ωστε η ακτινατης Γης να ειναι πολυ µικροτερη απο την αποσταση των δυο σωµατων( ÿ¡ÿ |

|) και ως εκ τουτου να µπορουµε να αµελησουµε στον υπολογι-

σµο της δυναµης ορους ταξης q ¬ ¦ ¦ q . Για να αντιληφθουµε την ακρι1ειαµιας τετοιας προσεγγισης αρκει να αναφερουµε οτι η ακτινα της Γης ειναι ü v)ú km εν£ω η αποσταση Γης-Σεληνης ειναι ü v km µεαποτελεσµα ο λογος ¬ | | να ειναι ταξης h vKù q l . Στην περιπτωση τηςπαλιρρο°κης δυναµης που προκαλειται απο τον Ηλιο, επειδη η τροχιατης Γης γυρω απο τον Ηλιο εχει ακτινα A ü v km ο αντιστοιχος λο-γος ειναι ¬ | | h vKù l . Αν ορισουµε τη διανυσµατικη συναρτηση þ

||ú

τοτε η παλιρρο°κη δυναµη ειναι απλ£ως η διαφοραπ Õ (4.48)

Οταν¦ Õ ¦ ÷ÿ¡ÿ |

|, η µετα1ολη της συναρτησης

που παρουσιαζε-

ται στην εκφραση (4.48) προσεγγιζεται µε πολυ µεγαλη ακρι1εια απο τονπρ£ωτο ορο ταξης

¦ Õ ¦ της σειρας Taylor της h Õ lπ Õ 0 Z h q ¬ ¦ ¦ q l (4.49)

οπουZειναι η βαθµιδα ως προς τη µετα1λητη

. Συνεπ£ως, η παλιρρο°κη

δυναµη σε πρ£ωτη ταξη ως προς ¬ | | ειναιπ éþ Õ 0 Z _ ú þ Õ 0 Z (4.50)

Για να υπολογισουµε την (4.50) θα χρειαστουµε αφενος τη βαθµιδαZ

του µετρου του διανυσµατος θεσης || 0 _

η οποια προκυπτει (βλ. Μαθηµατικο Παραρτηµα) οτι ειναι το µοναδιαιοακτινικο διανυσµα Z


και αφετερου την τιµη της εκφρασης Õ 0 Z _που υπολογιζεται ευκολα αν χρησιµοποιησουµε δεικτες. Επειδη η # -οστησυντεταγµενη του παραπανω διανυσµατος βασει της αθροιστικης συµ1α-σης ειναι Õ [ ![ Õ & ! Õ !£θα εχουµε Õ 0 Z _ øÕ Συνοψιζοντας τα προηγουµενα αποτελεσµατα καταληγουµε στο συµπε-ρασµα οτι η παλιρρο°κη δυναµη (4.50) ειναι

π éþ Õ ú þ h Õ 0 ¡l þ h Õ 0 ¡l q Õ

(4.51)

Τι ακρι1£ως µορφη δυναµης περιγραφει µια τετοια εκφραση; Για να κατα-νοησουµε την παραπανω εκφραση θα υπολογισουµε την παλιρρο°κη δυ-ναµη που ασκειται στην περιφερεια της Γης σε ενα επιπεδο, το οποιο δι-ερχεται απο το κεντρο της Γης και το µακρινο σ£ωµα. Αν γνωριζουµε τηδυναµη που ασκειται επανω σε αυτο το µεγιστο κυκλο, τοτε γνωριζουµεκαι τη δυναµη που ασκειται σε καθε σηµειο της επιφανειας της Γης, αρ-κει να περιστρεψουµε το προηγουµενο επιπεδο γυρω απο τον αξονα πουσυνδεει τα κεντρα των δυο ουρανιων σωµατων. Ας ονοµασουµε ' τη δι-ευθυνση απο το κεντρο της Γης προς το µακρινο ουρανιο σ£ωµα και

tτην

καθετη σε αυτη διευθυνση επι του εν λογω επιπεδου. Τοτε µε αρχη το κε-ντρο του πλανητη το µακρινο σ£ωµα βρισκεται στη θεση

, οπου ειναι το µοναδιαιο διανυσµα στη διευθυνση ' , εν£ω τα σηµεια της περι-

φερειας της Γης βρισκονται στις θεσειςÕ h ÜgÞAß x ßmàâá x l οπου

ειναι το µοναδιαιο διανυσµα στη διευθυνση t και ειναι η ακτινατης Γης. Η παλιρρο°κη, λοιπον, δυναµη (4.51) που ασκειται στην περιφε-ρεια της Γης δινεται απο την εκφραση

π þ q h ¥ ÜgÞAß x ßmàâá x l

και εχει σχεδιαστει στο Σχηµα 4.7 σε διαφορες θεσεις. Κατ αρχας παρα-

τηρουµε οτι η δυναµηπ εχει µεγεθος µικροτερο κατα τον παραγοντα

¬ απ ο,τι η αµεση βαρυτικη δυναµη

þ ¬ q που ασκειται απο το µακρινοουρανιο σ£ωµα στη µαζα . Επειδη οµως η συνολικη παλιρρο°κη δυναµηειναι αναλογη της µαζας του µακρινου σ£ωµατος, ουρανια σ£ωµατα µεγα-λης µαζας που ειναι πολυ αποµακρυσµενα ασκουν παλιρρο°κη δυναµη


Σχηµα 4.7: Η παλιρρο°κη δυναµη σε διαφορετικα σηµεια στην επιφανεια της Γης. Τοσ£ωµα που ασκει την παλιρρο°κη δυναµη βρισκεται επι του αξονα L .συγκρισιµη µε εκεινη που ασκουν αλλα ουρανια σ£ωµατα µικροτερης µα-ζας που βρισκονται εγγυτερα. Ας υπολογισουµε το λογο της παλιρρο°κηςδυναµης που ασκει ο Ηλιος στη Γη µε την παλιρρο°κη δυναµη που ασκειη Σεληνη στη Γη. Επειδη η µαζα του Ηλιου ειναι Η A ü v)ú ã kg,εν£ω η µαζα της Σεληνης Σ ûü v qªq kg, ο λογος των παλιρρο°κ£ωνδυναµεων που ασκουν τα δυο σ£ωµατα στη Γη ειναι περιπου

(Η)π(Σ)π P

Αυτο σηµαινει οτι, παρολο που η κυρια παλιρρο°κη δυναµη προερχεταιαπο τη Σεληνη, ο Ηλιος επηρεαζει και αυτος σηµαντικα τα παλιρρο°καφαινοµενα στη Γη. Η συµ1ολη του Ηλιου στη δηµιουργια των παλιρ-ροι£ων ειναι σηµαντικη και λαµ1ανεται πολυ σο1αρα υποψη στη ναυσι-πλο²α. Η µετα1ολη επισης του πλατους των παλιρροι£ων αναλογα µε τηθεση του Ηλιου αξιοποιειται απο τους επιστηµονες στον υπολογισµο τηςηλικιας των απολιθωµατων και συναγονται πολυ χρησιµες πληροφοριεςγια το παλαιοκλιµα της Γης.

Ασκηση 4.5. Ποτε αναµενονται εντονοτερα παλιρρο°κα φαινοµενα, οταν εχουµεΑΣΚΗΣΕΙΣνεα Σεληνη, µισο φεγγαρι, η οταν ειναι πανσεληνος; Σκεφθειτε τη σχετικη θεση Ηλιου-Γης-Σεληνης.

Λαµ1ανοντας το εσωτερικο γινοµενο της παλιρρο°κης δυναµης µε τοµοναδιαιο ακτινικο διανυσµα, βρισκουµε οτι η ακτινικη συνιστ£ωσα τηςπαλιρρο°κης δυναµης ειναι

π þ \ ú h ¥ ÜgÞAß q x ßmàâá q x l þ \ ú ÜgÞAß ¥ x¥ Απο το προσηµο της ακτινικης συνιστ£ωσας της δυναµης, παρατηρουµεοτι η παλιρρο°κη δυναµη εχει την ταση να δηµιουργει αµπωτη στα πλατη


για τα οποια ειναι ÜgÞAß ¥ x ÿ , δηλαδη για τις περιοχες ¥ û "! x !û (η γωνια x µετριεται απο τον αξονα ' ) 0 στις υπολοιπες περιοχες ηδυναµη εχει θετικη ακτινικη συνιστ£ωσα και οι υδατινες µαζες εχουν τηνταση να κινηθουν σε αυτες τις περιοχες δηµιουργ£ωντας πληµµυριδα. Αξι-ζει επισης να παρατηρησουµε οτι η παλιρρο°κη δυναµη εξαρταται απο τοÜgÞAß ¥ x , οποτε ειναι συµµετρικη ως προς τον αξονα περιστροφης της Γης,αν θεωρησουµε ως αξονα

tτον αξονα περιστροφης της Γης (αγνο£ωντας

τη µικρη λοξωση του αξονα της Γης), αφου και η Σεληνη και ο Ηλιος βρι-σκονται περιπου στο επιπεδο το καθετο σε αυτον. Αυτο εχει ως συνεπεια,καθ£ως περιστρεφεται η Γη και παρασυρει τις υδατινες µαζες, η παλιρροιανα εµφανιζει δυο φορες πληµµυριδα και δυο φορες αµπωτη ανα εικοσιτε-τραωρο. Με αλλα λογια, οι παλιρροιες εχουν περιοδο σχεδον11 12 £ωρες.Η εξηγηση αυτη για την περιοδο των παλιρροι£ων δοθηκε για πρ£ωτη φορααπο τον Νευτωνα και αποτελεσε συγκλονιστικη αποδειξη των δυνατοτη-των της νεας δυναµικης θεωριας που εισηγαγε.

Ασκηση 4.6. Υπολογιστε την παλιρρο°κη δυναµη που δεχεται το σ£ωµα ενος ανθρ£ω- ΑΣΚΗΣΕΙΣπου οταν αυτος βρισκεται ορθιος επανω σε ενα σφαιρικο βαρυτικο σ£ωµα σαν αυτο τουΗλιου. Yποθεστε τ£ωρα οτι ο Ηλιος αρχιζει να συρρικν£ωνεται διατηρ£ωντας τη µαζατου. Σε τι διαστασεις θα πρεπει να φτασει ο Ηλιος £ωστε ο ανθρωπος να αρχισει να αι-σθανεται εντονη δυσφορια λογω της διαφορας των παλιρρο°κ£ων δυναµεων που ασκου-νται στο κεφαλι και τα ποδια του; Η αληθεια ειναι οτι, πολυ πριν ο Ηλιος φτασει σεαυτες τις διαστασεις, η βαρυτικη δυναµη θα εχει γινει τοσο µεγαλη, £ωστε τα ποδια τουανθρ£ωπου θα εχουν ηδη υποστει ανεπανορθωτες βλα1ες. Ποση θα επρεπε να ειναι ηµαζα του Ηλιου και η ακτινα του £ωστε οι παλιρρο°κες δυναµεις να γινουν τοσο µεγα-λες για να αρχισει ο ανθρωπος να αισθανεται δυσφορια, προτου η ιδια η βαρυτητα γινειεπικινδυνη;

Προτου εγκαταλειψουµε την αναλυση του φαινοµενου των παλιρροι£ων,ας βε1αιωθουµε οτι αντιλαµ1ανοµαστε το λογο για τον οποιο η παλιρρο-°κη δυναµη στον Ισηµερινο της Γης εχει θετικη ακτινικη διευθυνση (προςτα εξω) και στο σηµειο που βρισκεται πλησιεστερα στο µακρινο ουρανιοσ£ωµα x " αλλα και στο αντιδιαµετρικο του σηµειο x ä που βρισκεταιστη µακρινοτερη αποσταση απο αυτο. Εχουµε ηδη αναφερει οτι λογωτης αρχης της ισοδυναµιας σε µια στοιχει£ωδη µαζα ασκουνται δυο δυνα-µεις, η ελκτικη δυναµη του µακρινου σ£ωµατος και η φαινοµενη δυναµηεξαιτιας του γεγονοτος οτι η Γη επιταχυνεται προς το µακρινο σ£ωµα. Ητελευταια δυναµη ειναι ιση και αντιθετη µε αυτην που θα ασκουταν στηµαζα αν η µαζα βρισκοταν στο κεντρο της Γης. Στην πρ£ωτη περιπτωση,οταν x " , η ελκτικη δυναµη ειναι µεγαλυτερη απο τη φαινοµενη δυναµηµε αποτελεσµα η παλιρρο°κη δυναµη να εχει διευθυνση προς το µακρινο

11Για την ακρι1εια η περιοδος ειναι± Ä£ωρες και # Ä λεπτα διοτι η Σεληνη περιστρεφε-

ται και αυτη γυρω απο τη Γη µε την ιδια φορα που περιστρεφεται και η Γη γυρω αποτον εαυτο της, οποτε χρειαζεται λιγο παραπανω χρονος απο τις 12£ωρες για να βρεθει οαντιποδας ενος σηµειου του Ισηµερινου ακρι1£ως “κατω” απο τη Σεληνη.


ουρανιο σ£ωµα. Στη δευτερη περιπτωση, οταν x ä , η ελκτικη δυναµη ει-ναι µικροτερη απο τη φαινοµενη δυναµη µε αποτελεσµα να εµφανιζεταικαι παλι ταση για πληµµυριδα.Για να επιστρεψουµε στη σχεση της αρχης της ισοδυναµιας µε τη βα-

ρυτητα και να κλεισουµε µε αυτην το παρον κεφαλαιο, σηµει£ωνουµε οτι οιπαλιρροιες αποτελουν µια ξεχωριστη εκφανση της βαρυτητας, περα αποτην εκδηλωση της βαρυτητας που µπορουµε να εξαφανισουµε πεφτονταςελευθερα µεσα στο βαρυτικο πεδιο (βλ. εδαφιο 4.7). Αυτη η λεπτη διαφο-ροποιηση της βαρυτητας, η οποια εκδηλ£ωνεται µεσω της περιεργης ιδι-οτητας της να ωθει τα σ£ωµατα να αποµακρυνονται σε µια κατευθυνσηκαι να πλησιαζουν σε κατευθυνσεις καθετες στην πρ£ωτη, ειναι δυνατοννα περιγραφει µε µια αναλογη καµπυλωση του χ£ωρου που δεν µπορουµεµε κανενα τροπο να εξαλειψουµε µολονοτι ο καµπυλωµενος αυτος χ£ω-ρος περιγραφεται τοπικα πολυ καλα απο εναν επιπεδο χ£ωρο. Ο Einsteinηταν αυτος που πρ£ωτος αντιληφθηκε οτι η µορφη των παλιρρο°κ£ων δυ-ναµεων επι1αλλει την περιγραφη της βαρυτητας µε γεωµετρικους ορουςκαµπυλωσης. Σηµερα, παντως, οπου η Γενικη Θεωρια της Σχετικοτηταςοχι απλ£ως ειναι γενικ£ως αποδεκτη, αλλα και εχει ελεγχθει οσον αφορα σεπολλες απο τις προ1λεψεις της, βρισκοµαστε πολυ κοντα στην παρατη-ρησιακη επι1ε1αιωση µιας απο τις σπουδαιοτερες προ1λεψεις αυτης τηςθεωριας : της υπαρξης βαρυτικ£ων κυµατων. Τα βαρυτικα κυµατα µετα-φεροντας ως διαταραχη την ουσια της ιδιας της βαρυτητας δεν ειναι τι-ποτε αλλοπαρα εγκαρσια κυµατα παλιρρο°κ£ων δυναµεων που, καθ£ως δια-διδονται, συστελλουν και διαστελλουν το χ£ωρο καθετα στη διευθυνση δια-δοσης τους, εν£ω η συστολη και η διαστολη συµ1αινουν σε συγκεκριµενεςκαθετες διευθυνσεις σε αυτο το επιπεδο.12 Οι συγκεκριµενες αυτες διευ-θυνσεις ειναι το αναλογο των διευθυνσεων πολωσης των ηλεκτροµαγνη-τικ£ων κυµατων.

12Αξιζει να δια1ασετε την περιγραφη των φαινοµενων αυτ£ων απο τον Kip Thorne στοβι1λιο του (ιδιαιτερα τα Κεφ. 2 και 10): Μαυρες τρυπες και Στρε1λ£ωσεις του Χρονου,εκδ. Κατοπτρο.

4.9. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 117

4.9 Προ1ληµατα

1. Η Λαγκρανζιανη ενος συστηµατος ειναι

¤ $ ! hÓÒAl §Ò9! §Ò (υπονοει-

ται η αθροιστικη συµ1αση). Να δειχθει οτι ο πινακας $ ! µπορει ναληφθει ως συµµετρικος και οτι η

¤του συστηµατος διατηρειται κατα

την κινηση. Να δειχθει περαιτερω οτι για καθε συναρτηση, η h ¤ l

και η

¤οδηγουν στην ιδια φυσικη κινηση. Στις περιπτ£ωσεις αυτες

οι δυναµικες εξισ£ωσεις µπορουν να παραχθουν απο µια πολυ γενι-κευµενη κλαση Λαγκρανζιαν£ων.

2. Θεωρουµε ενα συστηµα % ελευθερων σωµατιδιων που δεν αλληλε-πιδρουν µεταξυ τους. Τα σωµατιδια δεσµευονται µε

% σκληρο-νοµους ολονοµους δεσµους (δηλαδη, υπαρχουν

% σχεσεις τηςµορφης

!ph ' .9 ' qw ww l , µε # ¥ ww % )13. Μπορουµε

τοτε να ορισουµεσυντεταγµενες

ÒE.9VÒgqw ww VÒ , οι οποιες αρκουν

για να προσδιοριστουν οι αρχικες % συντεταγµενες µεσω σχεσεων

της µορφης : ' ! ' !phÓÒE.SVÒgqv ww VÒ l . Να δειχθει οτι η Λαγκρανζιανηδινεται απο την

¤ &$ ! hÓÒAl §Ò9! §Ò (υπονοειται η αθροιστικη συµ1αση).

Η Λαγκρανζιανη αυτη δεν ειναι τιποτε αλλο παρα η εκφραση τηςκινητικης ενεργειας στις γενικευµενες συντεταγµενες

Ò. ∆ειξτε οτι ο

πινακας $ ! ειναι συµµετρικος. ∆ειξτε οτι κατα την κινηση διατη-ρειται η ενεργεια

¤.

Για οσους αρεσκονται να αντιµετωπιζουν τα προ1ληµατα απο µιαπιο µαθηµατικη σκοπια : Ας ορισουµε στο χ£ωρο που οριζεται αποτις συντεταγµενες

Ò(tonεσεογραφικο χ£ωρο του φυσικου συστηµα-

τος) το διαφορικο µηκος καµπυλης ωςn' ( $ ! hÓÒAlpnÒ9!knÒ Μπορειτε να σκεφτειτε γιατι επιλεξαµε αυτη την εκφραση (σε µαθη-µατικη γλ£ωσσα θα λεγαµε αυτη τη µετρικη) για το διαφορικο µηκος;Σε αυτο το θεσεογραφικο χ£ωρο, γεωδαισιακες γραµµες ειναι οι κα-µπυλες

Ò hkõ1l, οπου

õκαποια παραµετρος, οι οποιες καθιστουν το

µηκος µεταξυ δυο δοσµενων σηµειων του χ£ωρου αυτου ακροτατο.∆ειξτε οτι η τροχια της φυσικης κινησης µεταξυ δυο σηµειων τουθεσεογραφικου χ£ωρου ταυτιζεται µε τη γεωδαισιακη που τα εν£ω-νει και οτι το µετρο της ταχυτητας

n' ¬ nAõειναι σταθερο κατα την κι-

νηση. Με τον τροπο αυτο γενικευουµε την κινηση ελευθερου σωµα-τιδιου σε οποιονδηποτε χ£ωρο.

3. Υπολογιστε για τη µηχανη του Atwood που περιγραψαµε στο Προ-1ληµα 4 του Κεφαλαιου 3 την ταση του νηµατος χρησιµοποι£ωνταςπολλαπλασιαστες Lagrange.

4. Κυκλικος δακτυλιος κυλιεται χωρις να ολισθαινει επανω σε ενα κε-κλιµενο επιπεδο που σχηµατιζει γωνια µε το οριζοντιο επιπεδο

13Σκληρονοµος ονοµαζεται ενα δεσµος ο οποιος δεν εχει χρονικη εξαρτηση.


µεσα στο οµογενες κατακορυφο πεδιο βαρυτητας. Γραψτε τη λα-γκρανζιανη συναρτηση και την εξισωση κινησης του δακτυλιου. Υ-πολογιστε µε λαγκρανζιανο φορµαλισµο τη δυναµη που προερχεταιαπο την επι1ολη της συνθηκης µη ολισθησης. Τι συµ1αινει στη δυ-ναµη αυτη, οταν Ö

; Μπορειτε να δ£ωσετε µια φυσικη εξηγησηστο αποτελεσµα σας;

5. Μια χαντρα µαζας δυναται να ολισθαινει σε λειο συρµα που εχειτη µορφηελικας και βρισκεται µεσα σε οµογενες βαρυτικο πεδιο πουειναι παραλληλο µε τον αξονα της ελικας. Η εξισωση της ελικαςσε κυλινδρικες συντεταγµενες ειναι : ) σταθ ut y

. Γραψτετη Λαγκραζιανη της χαντρας και υπολογιστε την εξισωση κινησηςτης, θεωρ£ωντας οτι για

j Ø η χαντρα ειναι ακινητη. Με τη βοη-θεια των πολλαπλασιαστ£ων Lagrange υπολογιστε τις δυναµεις πουασκουνται στη χαντρα εν£ω αυτη ολισθαινει επανω στη συρµατινηελικα. Στη συνεχεια επιχειρηστε να επιλυσετε το ιδιο προ1ληµα µενευτ£ωνεια αντιµετ£ωπιση. Π£ως θα σχεδιαζατε σε αυτη την περιπτω-ση τις δυναµεις; Αντιλαµ1ανεστε τ£ωρα την ευκολια που σας προ-σφερει στην επιλυση προ1ληµατων η λαγκρανζιανη αντιµετ£ωπιση;

6. Επιλυστε µια υπερ1ατικη εξισωση µε κανονα και ...αλυσιδα : Υπο-θεστε πως κρατατε τα δυο ακρα µιας αλυσιδας µηκους

¥ ¤στο ιδιο

οριζοντιο επιπεδο σε αποσταση

¤το ενα απο το αλλο. Η αλυσιδα

αποκτα καταλληλο καµπυλο σχηµα προσπαθ£ωντας να “χαµηλ£ωσει”το κεντρο βαρους της οσο το δυνατον περισσοτερο. Κατασκευαστετη διαφορικη εξισωση, την οποια πρεπει να ικανοποιει η συναρτησητου σχηµατος της αλυσιδας προκειµενου να επιτευχθει αυτος ο στο-χος, υπο την προ¶ποθεση οτι το µηκος της αλυσιδας παραµενει στα-θερο. Τη συνθηκη αυτη µπορειτε να την εισαγαγετε µεσω ενος πολ-λαπλασιαστη Lagrange. ∆ειξτε οτι η συναρτηση :s£h ' l î ÜgÞAß+* h ' ¤ ¬ ¥ l< ÜgÞAß+* h ¤ ¬ ¥ lªïικανοποιει τη διαφορικη εξισωση στην οποια καταληξατε και διερ-χεται απο τη θεση των ακρων της αλυσιδας ( '\" '\ ¤ ). Σε συν-δυασµο µε τη σχεση που δινει το µηκος της αλυσιδας υπολογιστε τηριζα της υπερ1ατικης εξισωσηςßmàâá,* h ' l ¥ 'εκτελ£ωντας το πειραµα µε µια αλυσιδα και µετρ£ωντας το

sστο µεσο

αυτης.

7. Ενας δορυφορος ακτινας Õ εκτελει οµαλη κυκλικη κινηση γυρωαπο καποιο κεντρικο πλανητη, το κεντρο του οποιου βρισκεται σεαποσταση

απο το κεντρο του δορυφορου. ∆υο ισες µαζες, ,

τοποθετηµενες αντιδιαµετρικα στο δορυφορο συνδεονται µε ρα1δοµηκους

¥ Õ που διαπερνα το δορυφορο. Ο δορυφορος περιφερεταιγυρω απο το πλανητη αλλα δεν περιστρεφεται γυρω απο τον εαυτο

4.9. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 119

του. Ετσι η ρα1δος κατα την περιφορα του δορυφορου γυρω αποτον πλανητη σχηµατιζει γωνια µε την επι1ατικη ακτινα του δορυφο-ρου η οποια µετα1αλλεται γραµµικα µε το χρονο. Αγνοηστε τη βα-ρυτικη ελξη του ιδιου του δορυφορου στις µαζες και υποθεστε οτι ηρα1δος δεν κινειται ως προς το δορυφορο. Προσδιοριστε την τασητης ρα1δου συναρτησει του χρονου. Αν αντικαταστησετε τη ρα1δοµε ενα ελατηριο σταθερας

και µε συντελεστη αποσ1εσης

, σε ποια

γωνια ελατηριου-επι1ατικης ακτινας οι µαζες θα βρισκονται στη µε-γαλυτερη δυνατη αποσταση µεταξυ τους;Μπορειτε βασισµενοι σταπαραπανω αποτελεσµατα να εξηγησετε γιατι το µεγιστο των παλιρ-ροι£ων δεν συµ1αινει στο σηµειο της Γης στο οποιο η Σεληνη βρισκε-ται ακρι1£ως στο ζενιθ της ;

8. Ενα τραπεζι µπιλιαρδου εχει κυκλικο σχηµα. Μια µπαλα ξεκινααπο την περιφερεια του τραπεζιου µε ταχυτητα µετρου ó και υστερααπο % ελαστικες κρουσεις καταληγει παλι στο σηµειο εκκινησης της.(α) Υποθεστε οτι η µπαλα κτυπαει στο τοιχωµα του µπιλιαρδουπρ£ωτα στο σηµειο Α και επειτα στο Β. Αποδειξτε οτι η ελαχιστηδραση για το διαστηµα αυτο επιτυγχανεται οταν η µπαλα κινειταιµε σταθερη ταχυτητα επι της ευθειας ΑΒ. (β)Αν η µπαλα διαγραψειενα κανονικο % -γωνο µε σταθερη ταχυτητα ó , υπολογιστε τη δρασηπου αντιστοιχει στην τροχια αυτη συναρτησει της ακτινας του µπι-λιαρδου Õ , της ταχυτητας ó , και της γωνιας y ¥ ä ¬ % . (γ) Εστωτ£ωρα µια µη φυσικη κινηση $ . $ q ww+$²$ . (οπου $ . $ q ww+$² µη κα-νονικο % -γωνο), κατα την οποια στον ιδιο συνολικο χρονο µε τητροχια (β) το σωµατιδιο εκτελει τη διαδροµη $ . $ q ww+$²$ . , µε δια-φορετικες οµως ταχυτητες στο καθε τµηµα. Αποδειξτε, κανονταςχρηση των πολλαπλασιαστ£ων Lagrange, οτι η δραση καθισταται στα-σιµη στην περιπτωση (β) δηλαδη οταν το $ . $ q ww+$²$ . ειναι κα-νονικο πολυγωνο και οταν το µετρο της ταχυτητας ειναι σταθερο.Θα µπορουσατε να καταληξετε σε καποιο συµπερασµα οσον αφοραστην ελαστικη κρουση σωµατιδιου πανω σε µια καµπυλη επιφανειακατ αντιστοιχια µε αυτο που συµ1αινει κατα την ελαστικη κρουσησε επιπεδη επιφανεια;

ch4.pdf

Documents