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CHAP 1:자료구조와 알고리즘

C로 쉽게 풀어 쓴 자료구조

C로 쉽게 풀어쓴 자료구조

자료의 특성에 따라서 분류, 구성, 저장, 처리

자료의 효율적 사용

1. 자료구조 개요


Q. 자료구조를 왜 배워야 하는가?

1. 자료구조 개요


자료의 형태에 따른 분류

단순 구조

선형 구조

비선형 구조

파일 구조

2. 자료구조의 분류


Data Abstraction

C 언어의기본자료형 (basic data type) : char, int, float, double

-키워드 : short, long, unsigned

• 자료의그룹화 (composite data type) :배열(array), 구조(structure)

- int list[5] : 정수형배열,

-구조

struct student { char last_name; int student_id; char grade;

}

• 포인터자료형 (pointer) : 정수형, 실수형, 문자형, float형포인터

int i, *pi; float *pf;

• 사용자정의(user-defined) 자료형


알고리즘 성능 분석


알고리즘의성능분석

알고리즘의 성능 평가 (performance evaluation)

수행 시간 측정 (performance measurement)

두 개의 알고리즘의 실제 수행 시간을 측정하는 것

실제로 구현하는 것이 필요

동일한 하드웨어를 사용하여야 함

알고리즘의 복잡도 분석 (performance analysis)

직접 구현하지 않고서도 수행 시간을 분석하는 것

알고리즘이 수행하는 연산의 횟수를 측정하여 비교

일반적으로 연산의 횟수는 n의 함수

시간 복잡도 분석: 수행 시간 분석

공간 복잡도 분석: 수행시 필요로 하는 메모리 공간 분석


수행시간측정

컴퓨터에서 수행시간을 측정하는 방법에는 주로 clock 함수가 사용된다.

clock_t clock(void);

clock 함수는 호출되었을 때의 시스템 시각을 CLOCKS_PER_SEC 단위로 반환

Ex) 수행시간을 측정하는 전형적인 프로그램

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <time.h>

void main( void )

{

clock_t start, finish;

double duration;

start = clock();

// 수행시간을측정하고하는코드....

// ....

finish = clock();

duration = (double)(finish - start) / CLOCKS_PER_SEC;

printf("%f 초입니다.\n", duration);

}

알고리즘의 성능분석


정의

• 공간 복잡도(space complexity)

프로그램을 실행시켜 완료하는데 필요한 공간의 양( amount of memory )

• 시간 복잡도(time complexity)

프로그램을 실행시켜 완료하는데 필요한 컴퓨터 시간의 양 (amount of

computer time)

알고리즘의성능분석

• 복잡도 분석


공간복잡도(Space complexity)

프로그램에필요한공간

1) 고정공간요구 (fixed space requirements) : 프로그램입출력의

횟수나크기와관계없는공간요구

-명령어공간, 단순변수, 고정크기의구조화변수, 상수

2) 가변공간요구 (variable space requirements) : 해당문제의

인스턴스 (I)에의존하는공간

-가변공간, 스택공간

total space requirement S(P)

공간요구량 : S(P) = c + SP(I)

c : constant representing the fixed space requirements

Sp(I) : function of some characteristics of the instance I


Space complexity

Ex

float abc(float a, float b, float c) {

return a+b+b*c+(a+b-c)/(a+b)+4.00;

}

input - three simple variables

ouput - a simple variable

*고정 공간 요구만을 가짐(fixed space requirements only)

⇨ Sabc(I) = 0


Space complexity

Ex [Iterative version] – sum

float sum(float list[], int n) {

float tempsum = 0;

int i;

for(i = 0; i < n; i++)

tempsum += list[i];

return tempsum;

}

• 가변공간요구 : 배열 (크기 n)

- C 경우 : 배열의 첫번째 요소의 주소 전달

. Ssum(n) = 0


really concerned only with the program’s execution

time, Tp

count the number of operations the program performs -> give a machine-independent estimation

• 프로그램 P에의해소요되는시간 : T(P)

T(P) = 컴파일시간 (compile time)

+TP (실행시간 :run or execution time )

시간복잡도분석(Time complexity)



시간 복잡도는 알고리즘을 이루고 있는 연산들이 몇 번이나 수행되는지를 숫자로 표시

알고리즘이 수행하는 연산의 개수를 계산하여 두 개의 알고리즘비교

연산의 수행횟수는 고정된 숫자가 아니라 입력의 개수 n에 대한함수

3n+2

If n=2, 연산의수 = 8

5n2 +6

If n=2, 연산의수 =26

프로그램 A 프로그램 B

워드2005 워드2000


정의 : 프로그램 단계(program step)

실행 시간이 인스턴스 특성에 구문적으로 또는

의미적으로 독립성을 갖는 프로그램의 단위

a = 2

⇨ 1 step !!

a = 2*b+3*c/d-e+f/g/a/b/c



Ex [Iterative summing of a list of numbers]


float tempsum=0;

count++; /* for assignment */

int i;

for(i = 0; i < n; i++) {

count++; /* for the for loop */

tempsum += list[i];

count++; /*for assignment*/

}

count++; /* last execution of for */

count++; /* for return */

return tempsum;

}

단계의 계산 (방법 1) - 전역 변수 count 의 사용

시간복잡도분석(Time complexity)-1


a simpler program :

- computes the same value for count


float tempsum=0;

int i;

for(i = 0; i < n; i++)

count+=2;

count += 3;

return 0;

}

총 2n + 3 steps



Ex [Recursive summing of a list of numbers]

float rsum(float list[], int n) {

count++;

if (n) {

count++;

return rsum(list,n-1)+list[n-1];

}

count++;

return list[0];

}

n = 0 -> 2 (if, 마지막 return)

n > 0 -> 2 (if, 처음 return) : n회호출

∴ 2n + 2 steps



※ 2n + 3 (iterative) > 2n + 2 (recursive)

⇨ Titerative > Trecursive ??



단계의 계산 (방법 2)

- 테이블 방식(tabular method) : 단계수 테이블

① 문장에 대한 단계수 : steps/execution, s/e

② 문장이 수행되는 횟수 : 빈도수(frequency)

- 비실행 문장의 빈도수 = 0

③ 총 단계수 = 빈도수 × s/e



Ex [Iterative function to sum a list of numbers]

Statem ent s/e Frequency Total steps

float sum (float list[],int n) {

float tem psum =0;

int i;

for(i=0;i<n;i++)

tem psum +=list[i];

return tem psum ;

}

0

1

0

1

1

1

0

0

1

0

n+1

n

1

0

0

1

0

n+1

n

1

0

total 2n+3

Step count table



Ex [Recursive function to sum a list of numbers]

Statement s/e Frequency Total steps

float rsum(float list[],int n) {

if(n)

return rsum(list,n-1)+list[n-1];

return list[0];

}

0

1

1

1

0

0

n+1

n

1

0

0

n+1

n

1

0

total 2n+2

Step count table for recursive summing function



Ex [Matrix addition]

Statement s/e Frequency Total steps

void add(int a[][M_SIZE] ··· ) {

int i,j;

for(i=0;i<rows;i++)

for(j=0;j<cols;j++)

c[i][j] = a[i][j] + b[i][j];

}

0

0

1

1

1

0

0

0

rows+1

rows· (cols+1)

rows·cols

0

0

0

rows+1

rows·cols+rows

rows·cols

0

total 2n+2

Step count table for matrix addition

2rows・cols + 2rows + 1



Asymptotic Notation 점근 표기법


Asymptotic Notation 점근 표기법(O,,)

comparing time complexities

- exist different algorithms for the same task

- which one is faster ?

algorithm 1 algorithm 2task

count

f(n) g(n)


• 단계수 (step count ) : 동일 기능의 두 프로그램의 시간

복잡도 비교 or 인스턴스 특성의 변화에 따른 실행 시간증가 예측

- worst case step count : 최대수행단계수

- average step count : 평균수행단계수

정확한단계의 측정이어렵다.

• 정확한단계의계산 : 무의미

- A의단계수 = 3n + 3, B의단계수 = 100n + 10 ⇨ TA << TB

A ≃ 3n (or 2n), B ≃ 100n (or 80n, 85n) ⇨ TA << TB

Asymptotic Notation 점근 표기법(O,,)


빅오 표기법

자료의 개수가 많은 경우에는 차수가 가장 큰 항이 가장영향을 크게 미치고 다른 항들은 상대적으로 무시될 수 있다.

(예) n=1,000 일 때, T(n)의 값은 1,001,001이고 이중에서 첫 번째 항인 n2의 값이 전체의 약 99%인 1,000,000이고 두 번째 항 n의 값이 1000으로 전체의 약 1%를 차지한다.

따라서 보통 시간복잡도 함수에서 가장 영향을 크게 미치는 항만을 고려하면 충분하다.

빅오표기법: 연산의 횟수를 대략적(점근적)으로 표기한 것

두개의 함수 f(n)과 g(n)이 주어졌을 때,

모든 n≥n0에 대하여 |f(n)| ≤ c|g(n)|을 만족하는 2개의 상수 c와 n0가 존재하면 f(n)=O(g(n))이다.

빅오는 함수의 상한을 표시한다. (예) n≥5 이면 2n+1 <10n 이므로 2n+1 = O(n)

입력의 개수 n

연산의 횟수 ))(( nfO

)(nf

0n

n=1000인 경우

T(n)= n2 + n + 1

99% 1%


Asymptotic Notation 점근 표기법

정의 [Big "oh"] f(n) = Ο(g(n))

f(n)=Ο(g(n)) iff ∃c,n0 > 0, s.t f(n) ≤ cg(n) ∀n, n≥n0


Asymptotic Notation

n0 n

g(n)

f(n)

• 예제

n ≥ 2, 3n + 2 ≤ 4n ⇨ 3n + 2 = Ο(n)

n ≥ 3, 3n + 3 ≤ 4n ⇨ 3n + 3 = Ο(n)

n ≥ 10, 100n + 6 ≤ 101n ⇨ 100n + 6 = Ο(n)

n ≥ 5, 10n2

+ 4n + 2 ≤ 11n2⇨ 10n

2+ 4n + 2 = Ο(n

2)

n ≥ 4, 6*2n

+ n2

≤ 7*2n⇨ 6*2

n+ n2 = Ο(2

n)

n ≥ 2, 3n + 3 ≤ 3n2⇨ 3n + 3 = Ο(n

2)

n ≥ n0인모든 n과임의의상수 c에대해

3n + 2 ≤ c 가 false인경우가존재하면 3n+2≠Ο(1)

10n2

+ 4n + 2 ≠ Ο(n)


※ Ο(1)<Ο(log n)<Ο(n)<Ο(n log n)<Ο(n2)<Ο(n

3)<Ο(2

n)

※ f(n) = Ο(g(n))

- n ≥ n0인모든 n에대해 g(n) 값은 f(n)의상한값

- g(n)은조건을만족하는가장작은함수여야함

Asymptotic Notation


Practical Complexities

class of time complexities O(1): constant

O(log2n): logarithmic

O(n): linear

O(n·log2n): log-linear

O(n2): quadratic

O(n3): cubic

O(2n): exponential

O(n!): factorial

polynomial

time

exponential

time

실용적인복잡도tractable

problem

Intractable

(hard)

problem


빅오 표기법의 종류

O(1) : 상수형

O(logn) : 로그형

O(n) : 선형

O(nlogn) : 로그선형

O(n2) : 2차형

O(n3) : 3차형

O(nk) : k차형

O(2n) : 지수형

O(n!) : 팩토리얼형


Practical Complexities

function value

instance characteristic n

time name 1 2 4 8 16 32

1

log n

n

n log n

n2

n3

constant

logarithmic

linear

log linear

quadratic

cubic

1

0

1

0

1

1

1

1

2

2

4

8

1

2

4

8

16

64

1

3

8

24

64

512

1

4

16

64

256

4096

1

5

32

160

1024

32768

2n

n!

exponential

factorial

2

1

4

2

16

24

256

40326

655536

20922789888000

4294967296

263131033


빅오 표기법이외의 표기법

.

빅오메가 표기법

모든 n≥n0에 대하여 |f(n)| ≥ c|g(n)|을만족하는 2개의 상수 c와 n0가 존재하면f(n)=Ω(g(n))이다.

빅오메가는 함수의 하한을 표시한다.

(예) n ≥ 5 이면 2n+1 <10n 이므로 n = Ω(n)

빅세타 표기법

모든 n≥n0에 대하여 c1|g(n)| ≤ |f(n)| ≤ c2|g(n)|을 만족하는 3개의 상수 c1, c2와n0가 존재하면 f(n)=θ(g(n))이다.

빅세타는 함수의 하한인 동시에 상한을 표시한다.

f(n)=O(g(n))이면서 f(n)= Ω(g(n))이면f(n)= θ(n)이다.

(예) n ≥ 1이면 n ≤ 2n+1 ≤ 3n이므로2n+1 = θ(n)

입력의 개수 n

연산의 수

))(( nf

))(( nfO

)(nf

상한

하한

0n


최선, 평균, 최악의 경우

알고리즘의 수행시간은 입력 자료 집합에 따라 다를 수 있다.

(예) 정렬 알고리즘의 수행 시간은 입력 집합에 따라 다를 수 있다.

최선의 경우(best case): 수행 시간이 가장 빠른 경우

평균의 경우(average case): 수행시간이 평균적인 경우

최악의 경우(worst case): 수행 시간이 가장 늦은 경우

최악의 경우

최선의 경우

평균적인 경우

A B C D E F G입력 집합

수행시간

100

50

최선의 경우: 의미가 없는 경우가 많다.

평균적인 경우: 계산하기가 상당히어려움.

최악의 경우: 가장 널리 사용된다. 계산하기 쉽고 응용에 따라서 중요한 의미를 가질 수도 있다.

(예) 비행기 관제업무, 게임, 로보틱스


최선, 평균, 최악의 경우

(예) 순차탐색 최선의 경우: 찾고자 하는 숫자가

맨앞에 있는 경우∴ O(1)

최악의 경우: 찾고자 하는 숫자가맨뒤에 있는 경우

∴ O(n)

평균적인 경우: 각 요소들이 균일하게 탐색된다고 가정하면

(1+2+…+n)/n=(n+1)/2

∴ O(n)


자료 구조의 C언어 표현방법

자료구조와 관련된 데이터들을 구조체로 정의

연산을 호출할 경우, 이 구조체를 함수의 파라미터로 전달

(예)

// 자료구조 스택과 관련된 자료들을 정의typedef int element;typedef struct {

int top;element stack[MAX_STACK_SIZE];

} StackType;

// 자료구조 스택과 관련된 연산들을 정의void push(StackType *s, element item){

if( s->top >= (MAX_STACK_SIZE -1)){stack_full();return;

}s->stack[++(s->top)] = item;

}

자료구조의 요소

관련된 데이터를 구조체로 정의

연산을 호출할때 구조체를함수의 파라미터로 전달


자료구조 기술규칙

상수 대문자로 표기(예) #define MAX_ELEMENT 100

변수의 이름 소문자를 사용하였으며 언더라인을 사용하여 단어와 단어를 분리(예) int increment; int new_node;

함수의 이름 동사를 이용하여 함수가 하는 작업을 표기(예) int add(ListNode *node) // 혼동이 없는 경우

int list_add(ListNode *node) //혼동이 생길 우려가 있는 경우

typedef의 사용 C언어에서 사용자 정의 데이터 타입을 만드는 경우에 쓰이는 키워드

(예) typedef int element; typedef struct ListNode {

element data; struct ListNode *link;

} ListNode;

typedef <새로운 타입의 정의> <새로운 타입 이름>;


시간복잡도함수 n2

+ 10n + 2 를빅오표기법으로나타내면?

빅오표기법을수행시간이적게걸리는것부터나열하면?

Ο(1) Ο(n) Ο(log n) Ο(n2) Ο(n log n) Ο(n!) Ο(2

n)

다음프로그램의시간복잡도를빅오표기법으로나타내면?

for (i=n-1 ; i!=0 ; i/=2 ) k++;

Review


질의 및 토의


프로그래밍프로젝트 1장 - 2번 (책부록 CD)

Homework 1

[수행 시간 측정] 1부터 n까지의 합을 구하는 프로그램을 다음과 같이 3가지방법으로 알고리즘을 만들어보고 각 알고리즘들을실제로 구현하여 각 알고리즘의 실제수행 시간을 측정하여 이론적인 분석과 같게 나오는지를 조사해보라.

1. 알고리즘 A: sum = n(n + 1)/2공식사용

2. 알고리즘 B: sum = 1 + 2+ … + n

3. 알고리즘 C: sum = (1) + (1 + 1) + (1 + 1 + 1) + …, (1 + 1 + … + 1)

수행 시간측정을 쉽게 하기 위하여 n을 상당히 크게 하고 중간에 고의적인 시간지연함수를 넣거나 같은 합산을 여러 번 반복하라. 각 n값에 대하여 수행 시간을 측정하여 표로 나타내라.


실습:수행시간 측정 함수 테스트

수행 시간을 측정하는 전형적인 프로그램 작성해 보세요

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <time.h>

void main( void )

{

clock_t start, finish;

double duration;

int n, sum;

printf(“Add up to some number \n Enter a num for n:”);

scanf(“%d”, &n);

start = clock();

sum=n*(n+1)/2;

finish = clock();

duration = (double)(finish - start) / CLOCKS_PER_SEC;

printf(“sum=%d \n”, sum);

printf("%f 초입니다.\n", duration);

}


flow chart를이용한 2차방정식해를구하는알고리즘작성

Homework 2

1. Flow chart 구성 요소를 공부한다.

2. 2차 방정식의 해를 구하는 알고리즘을 flow chart를 이용하여 작성한다.

chap 1:자료구조와알고리즘 -...

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