Chapter 9Chapter 9

Hypothesis TestingHypothesis TestingKenningaprófKenningapróf

©

Null HypothesisNull Hypothesis NúllkenningNúllkenning

The null hypothesisnull hypothesis is a statement about the population value that will be tested. The null hypothesis null hypothesis is held true unless sufficient evidence to the contrary is obtained.Núllkenning er fullyrðing um gildi á þýðisstika og er prófuð. Núllkenningin er höfð (talin) sönn svo framarlega sem vísbendingar eru ekki til staðar um hið gagnstæða.

Alternative HypothesisAlternative Hypothesis ValtilgátaValtilgáta

The alternativealternative hypothesishypothesis is the hypothesis that includes all population values not covered by the null hypothesis. The alternative hypothesisalternative hypothesis is held true if the null hypothesis is rejected or held false.Valtilgátan alternativealternative hypothesishypothesis er tilgátan sem inniheldur öll þýðisgildi sem ekki teljast til núlltilgátunnar. Valtilgátan telst sönn ef núlltilgátunni er hafnað og öfugt.

Simple and Composite Simple and Composite HypothesesHypotheses

Einfaldar og samsettar Einfaldar og samsettar tilgáturtilgátur

A simple hypothesissimple hypothesis is one that specifies a single value for the population parameter of interest.A composite hypothesiscomposite hypothesis is one that specifies a range of values for the population parameter.Einföld tilgáta er tilgáta sem tiltekur eitt gildi fyrir þýðisstikan sem athygli beinist að.Samsett tilgáta er tilgáta sem tilgreinir bil gilda fyrir þýðisstika.

One-Sided and Two-Sided One-Sided and Two-Sided AlternativesAlternatives

Einhliða og tvíhliða valtilgáturEinhliða og tvíhliða valtilgátur A one-sided alternativeone-sided alternative is an alternative hypothesis involving all possible values of a population parameter on either one side or the other of the value specified by the null hypothesis.A two-sided alternativetwo-sided alternative is an alternative hypothesis involving all possible values of a population parameter other than the value specified by a simple null hypothesis Einhliða valtilgáta er tilgáta sem felur í sér öll gildi þýðisstika öðru hvorum hvorum megin við gildið sem tiltekið er af núlltilgátunni.Tvíhliða valtilgáta two-sided alternativetwo-sided alternative er valtilgáta sem felur í sér öll möguleg gildi önnur en það gildi sem tiltekið er í núlltilgátunni.

States of Nature and Decisions on Null HypothesisStates of Nature and Decisions on Null Hypothesis Ástand og ákvarðanir tengdar núll tilgátunniÁstand og ákvarðanir tengdar núll tilgátunni

(Table 9.1) (Table 9.1) States of Nature ÁstandDecisions on Null

Hypothesis Ákvarðanir er

snerta 0 tilgátuna

Null Hypothesis is True

Null Hypothesis is False

Accept Samþykkt(Fail to Reject)

Correct DecisionProbability = 1 - Rétt ákvörðunLíkur = 1 -

Type II ErrorProbability = Líkur =

RejectHafnað

Type I ErrorProbability = Líkur = ( is called the significance level)marktæknisstig

Correct DecisionRétt ákvörðunProbability = 1 - ((1 - ) is called power)

Type I and Type II ErrorsType I and Type II Errors Villa 1 og villa 2 Villa 1 og villa 2

A Type I ErrorType I Error is the rejection of a true null hypothesis.A Type II ErrorType II Error is the acceptance of a false hypothesis.Villa 1 er að hafna réttri 0 tilgátu.Villa 2 er að samþykkja ranga 0.

Significance LevelSignificance LevelMartktæknistig Martktæknistig

The significance levelsignificance level is the probability of rejecting a null hypothesis that is true. Marktæknistig eru líkurnar á því að hafna réttri 0 tilgátu.This is sometimes expressed as a percentage, so a test of significance level is referred to as a 100 % - level test.

PowerPower Afl Afl

The power of a testpower of a test is the probability of rejecting a null hypothesis that is false. Afl í prófi eru líkurnar á því að hafna 0 tilgátu sem er röng.

Consequences of Fixing the Consequences of Fixing the Significance Level of a TestSignificance Level of a Test

Afleiðingar þess að festa Afleiðingar þess að festa marktæknistig í prófimarktæknistig í prófi

(Figure 9.1)(Figure 9.1)

Investigator chooses significance level Marktæknistig er fest (Probability of a Type I error)

Decision Rule is EstablishedÁkvörðunar-regla búin til

Probability ofType II error

FollowsLíkur á

villu II fylgja í kjölfarið

A Test of the Mean of a Normal Population: A Test of the Mean of a Normal Population: Population Variance KnownPopulation Variance Known

Próf fyrir vongildi normaldreifð þýðis. Dreifni þekkt. Próf fyrir vongildi normaldreifð þýðis. Dreifni þekkt.Given that we have a random sample of n observations from a normal population with mean and known variance 2. If the observed sample mean is X, the test with significance level of the null hypothesisAð því gefnu að við höfum slembi úrtak n athugana úr normaldreifðu þýði með vongildi og þekkta dreifni 2. Með úrtaksmeðaltalið er hægt að prófa eftirfarandi kenningu með marktæknistigi Þar sem núll tilgátan

against the alternative gagnvart valtilgilátunni

is obtained from the decision rulekenningin er prófuð með ákvörðunarreglunniOr equivalently sem jafngildir

where Z is the number for which þar sem Z er talan sem um gildir

and Z is the standard normal random variable.og Z er standard normal hending.

00 : H

Znσ/-μXZ 0

0 if HReject

01 : H

nZX / if HReject 00

)( ZZP

Interpretation of the Probability value or p-Interpretation of the Probability value or p-valuevalue

Túlkun líkindagildisins eða p-gildisinsTúlkun líkindagildisins eða p-gildisinsThe probability value or p-value is the smallest significance level at which the null hypothesis can be rejected. Consider a random sample of size n observations from a population that has a normal distribution with mean and standard deviation , and the resulting computed sample mean, X. We are asked to test the null hypothesisP gildið er lægsta marktæknistig sem hægt er að hafna 0 tilgátu við. Hugleiðum slembið úrtak n athugana úr normaldreifðu þýði með vongildi og staðalfrávik , með úrtaki má reikna úrtaksmeðaltal Við viljum prófa núlltilgátuna

against the alternative hypothesisgegn valkostinum

The p-value for the test isP- gildi prófsins er

where Zp is the standard normal random value associated with the smallest significance level at which the null hypothesis can be rejected. The p-value is regularly computed by most statistical computer programs and provides more information about the test, based on the observed sample mean. Þar sem Zp er stöðluð normaldreifð hending tengd lægsta marktæknistiginu sem hægt er að hafna 0 tilgátunni við. P-gildið er yfirleitt reiknað í flestum tölfræðihugbúnaðarforritum og ef það er lægra en marktæknistigi er núlltilgátunni hafnað.

00 : H

):|(value-p 000 HZnσ/-μXP p

01 : H

A Test of the Mean of a Normal A Test of the Mean of a Normal Population (Variance Known): Population (Variance Known): Composite Null and Alternative Composite Null and Alternative

HypothesisHypothesisThe appropriate procedure for testing, at significance level , the null hypothesis Viðeigandi aðferð til að prófa við marktæknisstigi , núlltilgátuna

against the alternative hypothesisgagnvart valkostinum

is precisely the same as when the null hypothesis is H0: = 0. In addition, the p-values are also computed in exactly the same way.er nákvæmlega eins og þegar H0: = 0. Því til viðbótar eru p-gildin reiknuð eins.

00 : H

01 : H

A Test of the Mean of a Normal Distribution (Variance A Test of the Mean of a Normal Distribution (Variance Known): Composite or Simple Null and Alternative Known): Composite or Simple Null and Alternative

HypothesisHypothesisThe appropriate procedure for testing, at significance level , the null hypothesis Viðeigandi aðferð til að prófa við marktæknisstigi , núlltilgátuna

against the alternative gagnvart valkostinum

uses the decision rulebyggir á ákvörðunarreglunni

Or equivalently Sem jafngildir

where -Z is the number for whichþar sem -Z er stærð sem eftirfarandi gildir um

and Z is the standard normal random variable.og Z er standard normal dreifð hending.In addition the p-values can also be computed by using the lower tail probabilities.

0000 :: HorH

Znσ/-μXZ 0

0 if HReject

01 : H

nZXX c / if HReject 00

)( ZZP

A Test of the Mean of a Normal Distribution A Test of the Mean of a Normal Distribution Against Two-Sided Alternative: Against Two-Sided Alternative: Known Known

The appropriate procedure for testing, at significance level , the null hypothesis viðeigandi aðferð til að prófa við marktæknisstigi , núlltilgátuna

against the alternative hypothesis

is obtained from the decision rulesem byggir á ákvörðunarreglunni

Equivalently Sem jafngildir

00 : H

2/0

02/0

0 if HReject or if HReject Znσ/-μXZZ

nσ/-μXZ

01 : H

nZXnZX / if HReject or/ if HReject 2/002/00