Тема 3 1 Численное интегрирование

xf

x0

dxxfJ

b

a

ba

af

bf

abafI 1

abbfI 2

abba

fI2

3

2

ba

составные формулы прямоугольников

xf

x0 ba

ixf

1ixf

1

0

1

0

1

1

0

1

1n

i

i

n

i

ii

n

i

iiin xfn

abhxfxxxfI

n

i

in xfn

abI

1

2

1

0 21

3n

iin xf

n

abI

ix 1ix... ...

bxxxa nh ...10

погрешность составных формул

IJfR

ii

b

a

n

i

in xxxfdxxffR 1

1

0

1

1

0

11

0

1

1n

i

ni

n

i

ii

x

xfRhxfdxxf

i

i

1

)(1i

i

x

x

ini dxxfxffR

1

)...2

1(

2i

i

x

x

iiiiii dxxfxxxfxxxfxf

раскладываем в ряд Тейлора подынтегральную функцию

1

0

32

1

6

1

2

n

i

iin hfh

xffR

Mxfbax ,

maxпусть справедливо

1...

32

1

2

32

i

i

x

x

ii

ii

xxxf

xxxf

...32

1

2

32h

xfh

xf ii

habM

hhM

fRn

i

n22

1

0

1

получили формулу первого порядка аппроксимации

Составная формула трапеций

xf

x0 ba

af

bf

abbfaf

I2

4

Задание: выяснить порядок погрешности формулы правых прямоугольников и центральных прямоугольников.

1

0

114

2

n

i

iii

n hxfxf

I

1

1

04

2

n

i

in

nn f

ff

n

abI

1ixf

ixf

ix1ix... ...

погрешность формулы трапеций

1

1

0

14

2i

b

a

n

i

iin h

xfxfdxxffR

1

0

4n

i

ni fR

1

)2

( 14i

i

x

x

iini dx

xfxfxffR

1

...2

1(

24i

i

x

x

ni xxxfxxxfxfR

раскладываем в ряд Тейлора подъинтегральную функцию

1,, ii xfxfxf в точке ,2

1ix обозначим xx

i2

1

dx

xxxfxxxfxf

xxxfxxxfxf

ii

ii

)

...2

1

...2

1

2

1

2

11

2

1

0

53

4

12

n

i

in hΟh

xffR

Mxfbax ,

maxпусть справедливо

...5!4

1

32

153

4 xxxf

xxxfR IV

ni

52

3

3

21

826

2hΟ

hhhxf

i

21

0

24

1212h

abMhh

MfR

n

i

n

получили формулу второго порядка аппроксимации

1...

2!4

1

22

142

i

i

x

x

IV xh

xfxh

xf

1

0

1

4 1n

i

x

xin

i

i

dxxLxffR

ii

ii

ii

iii

xx

xxxf

xx

xxxfxL

1

1

1

11

Подъинтегральную функцию заменяем многочленом Лагранжа

112

iii

i xxxxf

xR

hffh

h

fh

h

fdxxL iiii

x

xi

i

i 222

1

2

1

2

1

1

формула трапеции

11

1

1

0

1

0

1

4

2

i

i

i

i

x

xii

n

i

in

i

x

xin dxxxxx

fdxxRfR

Задание: вывести формулу погрешности fRn

4

xLxf i2

формула Симпсона

12

12

1

1

21

12

1

12

1

2

iiii

ii

i

iiii

ii

ii

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxx

xfxL

iiii

ii

i

xxxx

xxxx

xf

12

11

21

1

222

1

21

12

1

2

11

hh

xxxxf

hh

xxxx

fdxxL ii

i

x

x

ii

i

x

xi

i

i

i

i

dx

hh

xxxx

fii

i

2

21

1

dxxxxxi

i

x

xii

1

1

62323

3331

23hhh

x

xxxh

xx

i

iii

1

12

1

i

i

x

xii

dxxxxx

221

hx

i

1283

2

223

331

2

21

3

21 hh

x

xxxh

xx

i

iii

hxi

1

21

i

i

x

x ii dxxxxx

2

hxi

1243223

3331

23hhh

x

xxxhxx

i

iii

2

3

1

3

212

3

212

26

412

21

h

hf

hf

h

hfdxxL iii

x

xi

i

i

12

146

iii fffh

1

1

1

0 210

1

0

12

1

5 426

46

n

i

n

iiin

n

i

iiin ffffn

abfff

hI

погрешность формулы Симпсона

b

a

n

i

iiin fffh

dxxffR1

0

12

1

5 46

1

0

5n

i

ni fR

1

)46

( 12

1

5i

i

x

x

iiini dxxfxfxfh

xffR

Задание: вывести формулу погрешности интегрирования по формуле Симпсона двумя способами: непосредственно вычисляя интеграл (*) и интегрируя погрешность используемой интерполяционной формулы Лагранжа.

xLxf i2

xLxf i2

Третий способ вычисления погрешности формулы Симпсона

1

0

14

2

n

i

iin h

xfxfI

xLxf i1- для формулы трапеций

- для формулы Симпсона

424 hΟChfRn

1

0

53

4

12

n

i

in hΟh

xffR

1

0

12

12

14

22222

n

i

iiii

n

hffhffI

- с шагом h

- с шагом h/2

4

2

4

22

hΟh

CfR n

1

0

11

0

12

12

144

223223

2

3

1

3

4 n

i

iin

i

iiii

nn

ffhffffhII

4244 hΟChIJfR nn

42

4

2

4

24

hΟh

CIJfR nn4

44

2

4 43 hΟIIJ nn

444

23

1

3

4hΟIIJ nn

1

0

12

146

n

i

iii fffh

Задание: доказать, что квадратурная формула Симпсона точна

для любого многочлена 3-ей степени.

2 Квадратурные формулы интерполяционного типа

Рассмотрим

заданная весовая функция

достаточно гладкая функция

где коэффициенты формулы –

Очевидно, формулы

dxxfxJ

b

a

n

k

kk xfcI0

.0, xx.xf

.,, baxc kkn

ijj ji

jn

i

inxx

xxxfxL

,00

dxxx

xxxxfI

b

a

n

ijj ji

jn

i

i

,00

kс

.2,1,0,1 при,,,, 54321 nxIIIII

Замена переменных

в частности

в новых переменных

dxxn

fxdxxLxfxfR

b

an

nb

ann 1

1

!1

tabba

xtbaxk22

,1,1,

tabba

xi22

n

n

nn ttttab

xxxxx ...2

... 0

1

01

1

1,0,0 222

n

ijj ji

jb

a

n

ijj ji

j

i dxtt

ttt

abbaabdx

xx

xxxс

dxtttttabbaab

n

MfR n

n

n

1

10

2

...222!1

Mxf n

bax

1

,max