第二章 直流電路 -...
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2-1 1
電路學
第二章
直流電路
2-1 2
基本電路的認識
電路是由電路元件組合而成電路元件依其特性可以分為只消耗或儲存能量的被動元件以及可以產生能量的主動元件兩種
一個完整的電路必須包括有主動元件(乾電池)和被動元件(燈泡)以及將它們連接在一起的導線通常導線視為沒有電阻的理想導體只負責能量的傳輸而不消耗能量因此也不產生電位的變化除了上述的各成份以外通常還加上一個用來控制電路工作的開關
2-1 3
閉路
整個電路形成一完全閉合的迴路如果電路的元件均良好在此一條件之下電路產生正常的工作電流在電路裡暢流
2-1 4
開路
電路中斷不形成閉合迴路電流不能流通電路停止工作
開路有兩種情況其一為開關沒有關上電源裡的能量無法供應給電路的其他部分
另一種則開關是閉合但電路裡的元件損壞例如燈絲燒斷而使電路產生中斷的現象
當電路產生中斷現象時雖然沒有電流的流通但整個電路的電壓將存在於中斷點的兩端
2-1 5
短路
連接電源之導線直接接通電流不經負載直接回到電源之情況此時整個電路的電阻近似為零而由歐姆定律
在短路時電路裡的電流近似為無限大也就是指在短路情況裡電路會產生過量之電流導致設備損壞或引起火災是為用電時最危險的狀況要特別注意通常使用保險絲來作為短路情況的保護裝置
infin===0V
RVI
2-1 6
基本電路的認識
兩或多個元件連接在一起的共同點稱為節點
兩個節點之間的路徑稱為分支
串聯是指多個元件或分支通過相同電流的情形
並聯是指多個元件或分支具有相同電壓跨於其間的情形
迴路或網目迴路及網目均是指任何兩個以上分支所形成的閉合電路但網目比迴路多一項要求就是在網目所形成的閉合電路內不得包含其他的電路元件在其迴圈中
2-1 7
克希荷夫定律
克希荷夫電流定律(KCL)亦稱為克希荷夫第一定律它指出在任何時刻裡流入某一節點的電流其和必等於自該點流出之電流和即
sumI流入＝sumI流出 (2-1)KCL是根據電荷守恆所得到
克希荷夫電壓定律(KVL)亦稱為克希荷夫第二定律它指出對於任何閉合迴路而言環繞其一週之電壓代數和必為零即迴路內的總電壓升等於總電壓降即
sumV壓升 ＝ sumV壓降 (2-2)KVL則是根據能量守恆所得到
2-1 8
克希荷夫電流定律
在a點處總共有四個電流流入或流出因此對a點而言電流的關係為
－I1－I2＋I3＋I4＝0或 I1＋I2＝I3＋I4對b點而言電流的關係為
－I3－I4＋I2＋I5＝0或 I2＋I5＝I3＋I4比較上述兩關係可發現 I1＝I5電流為正或負是由各人自訂當電路裡有多個節點時若對其中一個節點訂定流入的電流為負而流出的電流為正時則其他的各點也必須遵守此一關係
2-1 9
例2-1
試求電路中的電流IC
[解]對節點a採用KCL可得
IA＝IB＋IC
因此
IC＝IA－IB
＝20mA－5mA＝15[mA]
2-1 10
例2-2
試求電路中的電阻R[解]對電路應用KVL可得
100V＝Vab＋Vbc＋Vcd
其中
Vab＝250Ωtimes5mA＝125[V]Vbc＝1500Ωtimes5mA＝75[V]因此
Vcd＝100V－125V－75V＝9125[V]由歐姆定律可知
]k[251810x2518mA5
V2591mA5VR 3cd Ω=Ω===
2-1 11
例2-3
試求電路中的電壓V及Vcd[解]
由圖上可發現odao構成一閉合迴路因此由KVL可知Vod＋Vda＋Vao＝0其中Vod＝－10VVda＝+6V因此 Vao＝－(Vda＋Vod)＝4[V]今對caoc部分應用KVL可得
Vco＋Voa＋Vac＝0因此
V＝Vco＝－(Voa＋Vac)＝－Voa－Vac＝Vao＋Vca＝4V＋4V＝8[V]
另外對codac部分應用KVL可得Vco＋Vod＋Vda＋Vac＝Vco＋Vod＋Vdc＝0
因此Vcd＝－Vdc＝Vco＋Vod＝8V＋(－10V)＝－2[V]
2-1 12
電阻串聯及並聯電路
電路元件串聯在一起時流過它們的電流是相同的
串聯電路之等效電阻等於各串聯電阻之總和
Req＝R1＋R2＋R3＋helliphellip＋Rn＝ [Ω] (2-3)當兩元件或電路互換其I-V特性不變時則此兩元件或
兩電路稱為是等效
sum=
n
1iiR
2-1 13
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡欲求跨於某一電阻器Rx兩端的電壓Vx時可先利用(2-3)式來求整個串聯電路的等值電阻Req然後利用歐姆定律來求流過其間的電流最後以
(2-4)
來求知跨於Rx兩端的電壓Vx
若每個電阻均相等則跨於每一電阻器的電壓為Vn
]V[VR
RRRVIRV Sn
1ii
xx
eq
Sxx
sum===
=
2-1 14
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡跨於其中某一電阻器兩端的電壓等於該電阻器的電阻值與等效電阻值之比再乘以總電壓或某電阻器其電阻值與串聯電路總電阻之比等於跨於該電阻器兩端的電壓與總電壓之比此一關係稱為分壓器法則利用此一法則可以構成所謂分壓器經由分壓器可以從一高的電壓裡取得較小的電壓
在使用分壓器時有某些情況必須考慮以右圖的分壓器為例總電壓亦即VCO為+90V若三個電阻均相等則理論上VAO＝VBA＝VCB＝+30V但若要從此一電路裡取用30V的電壓時則必須要取用VAO而不能取用VBA或VCB因為VAO有接地而VBA及VCB並沒有接地直接從VBA或VCB處取用電壓則很容易會發生危險
2-1 15
例2-4
有一串聯電路試求(a)電路的等效電阻Req(b)流過電路的總電流I (c)跨於各電阻器之電壓
[解](a)電路的等效電阻
Req＝R1＋R2＋R3＝20Ω＋30Ω＋50Ω＝100[Ω](b)流過電路的總電流
]A[1100
V100RVI
eq
S =Ω
==
2-1 16
例2-4(續)
(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種其一是採用歐姆定律亦即直
接以流過的電流與電阻相乘即
V1＝I1R1＝1Atimes20Ω＝20[V]V2＝I2R2＝1Atimes30Ω＝30[V]V3＝I3R3＝1Atimes50Ω＝50[V]
另一種方法就是利用分壓器法則
]V[20V10010020V
RRV S
eq
11 =times
ΩΩ
==
]V[30V10010030V
RRV S
eq
22 =times
ΩΩ
==
]V[50V10010050V
RRV S
eq
33 =times
ΩΩ
==
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 2
基本電路的認識
電路是由電路元件組合而成電路元件依其特性可以分為只消耗或儲存能量的被動元件以及可以產生能量的主動元件兩種
一個完整的電路必須包括有主動元件(乾電池)和被動元件(燈泡)以及將它們連接在一起的導線通常導線視為沒有電阻的理想導體只負責能量的傳輸而不消耗能量因此也不產生電位的變化除了上述的各成份以外通常還加上一個用來控制電路工作的開關
2-1 3
閉路
整個電路形成一完全閉合的迴路如果電路的元件均良好在此一條件之下電路產生正常的工作電流在電路裡暢流
2-1 4
開路
電路中斷不形成閉合迴路電流不能流通電路停止工作
開路有兩種情況其一為開關沒有關上電源裡的能量無法供應給電路的其他部分
另一種則開關是閉合但電路裡的元件損壞例如燈絲燒斷而使電路產生中斷的現象
當電路產生中斷現象時雖然沒有電流的流通但整個電路的電壓將存在於中斷點的兩端
2-1 5
短路
連接電源之導線直接接通電流不經負載直接回到電源之情況此時整個電路的電阻近似為零而由歐姆定律
在短路時電路裡的電流近似為無限大也就是指在短路情況裡電路會產生過量之電流導致設備損壞或引起火災是為用電時最危險的狀況要特別注意通常使用保險絲來作為短路情況的保護裝置
infin===0V
RVI
2-1 6
基本電路的認識
兩或多個元件連接在一起的共同點稱為節點
兩個節點之間的路徑稱為分支
串聯是指多個元件或分支通過相同電流的情形
並聯是指多個元件或分支具有相同電壓跨於其間的情形
迴路或網目迴路及網目均是指任何兩個以上分支所形成的閉合電路但網目比迴路多一項要求就是在網目所形成的閉合電路內不得包含其他的電路元件在其迴圈中
2-1 7
克希荷夫定律
克希荷夫電流定律(KCL)亦稱為克希荷夫第一定律它指出在任何時刻裡流入某一節點的電流其和必等於自該點流出之電流和即
sumI流入＝sumI流出 (2-1)KCL是根據電荷守恆所得到
克希荷夫電壓定律(KVL)亦稱為克希荷夫第二定律它指出對於任何閉合迴路而言環繞其一週之電壓代數和必為零即迴路內的總電壓升等於總電壓降即
sumV壓升 ＝ sumV壓降 (2-2)KVL則是根據能量守恆所得到
2-1 8
克希荷夫電流定律
在a點處總共有四個電流流入或流出因此對a點而言電流的關係為
－I1－I2＋I3＋I4＝0或 I1＋I2＝I3＋I4對b點而言電流的關係為
－I3－I4＋I2＋I5＝0或 I2＋I5＝I3＋I4比較上述兩關係可發現 I1＝I5電流為正或負是由各人自訂當電路裡有多個節點時若對其中一個節點訂定流入的電流為負而流出的電流為正時則其他的各點也必須遵守此一關係
2-1 9
例2-1
試求電路中的電流IC
[解]對節點a採用KCL可得
IA＝IB＋IC
因此
IC＝IA－IB
＝20mA－5mA＝15[mA]
2-1 10
例2-2
試求電路中的電阻R[解]對電路應用KVL可得
100V＝Vab＋Vbc＋Vcd
其中
Vab＝250Ωtimes5mA＝125[V]Vbc＝1500Ωtimes5mA＝75[V]因此
Vcd＝100V－125V－75V＝9125[V]由歐姆定律可知
]k[251810x2518mA5
V2591mA5VR 3cd Ω=Ω===
2-1 11
例2-3
試求電路中的電壓V及Vcd[解]
由圖上可發現odao構成一閉合迴路因此由KVL可知Vod＋Vda＋Vao＝0其中Vod＝－10VVda＝+6V因此 Vao＝－(Vda＋Vod)＝4[V]今對caoc部分應用KVL可得
Vco＋Voa＋Vac＝0因此
V＝Vco＝－(Voa＋Vac)＝－Voa－Vac＝Vao＋Vca＝4V＋4V＝8[V]
另外對codac部分應用KVL可得Vco＋Vod＋Vda＋Vac＝Vco＋Vod＋Vdc＝0
因此Vcd＝－Vdc＝Vco＋Vod＝8V＋(－10V)＝－2[V]
2-1 12
電阻串聯及並聯電路
電路元件串聯在一起時流過它們的電流是相同的
串聯電路之等效電阻等於各串聯電阻之總和
Req＝R1＋R2＋R3＋helliphellip＋Rn＝ [Ω] (2-3)當兩元件或電路互換其I-V特性不變時則此兩元件或
兩電路稱為是等效
sum=
n
1iiR
2-1 13
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡欲求跨於某一電阻器Rx兩端的電壓Vx時可先利用(2-3)式來求整個串聯電路的等值電阻Req然後利用歐姆定律來求流過其間的電流最後以
(2-4)
來求知跨於Rx兩端的電壓Vx
若每個電阻均相等則跨於每一電阻器的電壓為Vn
]V[VR
RRRVIRV Sn
1ii
xx
eq
Sxx
sum===
=
2-1 14
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡跨於其中某一電阻器兩端的電壓等於該電阻器的電阻值與等效電阻值之比再乘以總電壓或某電阻器其電阻值與串聯電路總電阻之比等於跨於該電阻器兩端的電壓與總電壓之比此一關係稱為分壓器法則利用此一法則可以構成所謂分壓器經由分壓器可以從一高的電壓裡取得較小的電壓
在使用分壓器時有某些情況必須考慮以右圖的分壓器為例總電壓亦即VCO為+90V若三個電阻均相等則理論上VAO＝VBA＝VCB＝+30V但若要從此一電路裡取用30V的電壓時則必須要取用VAO而不能取用VBA或VCB因為VAO有接地而VBA及VCB並沒有接地直接從VBA或VCB處取用電壓則很容易會發生危險
2-1 15
例2-4
有一串聯電路試求(a)電路的等效電阻Req(b)流過電路的總電流I (c)跨於各電阻器之電壓
[解](a)電路的等效電阻
Req＝R1＋R2＋R3＝20Ω＋30Ω＋50Ω＝100[Ω](b)流過電路的總電流
]A[1100
V100RVI
eq
S =Ω
==
2-1 16
例2-4(續)
(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種其一是採用歐姆定律亦即直
接以流過的電流與電阻相乘即
V1＝I1R1＝1Atimes20Ω＝20[V]V2＝I2R2＝1Atimes30Ω＝30[V]V3＝I3R3＝1Atimes50Ω＝50[V]
另一種方法就是利用分壓器法則
]V[20V10010020V
RRV S
eq
11 =times
ΩΩ
==
]V[30V10010030V
RRV S
eq
22 =times
ΩΩ
==
]V[50V10010050V
RRV S
eq
33 =times
ΩΩ
==
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 3
閉路
整個電路形成一完全閉合的迴路如果電路的元件均良好在此一條件之下電路產生正常的工作電流在電路裡暢流
2-1 4
開路
電路中斷不形成閉合迴路電流不能流通電路停止工作
開路有兩種情況其一為開關沒有關上電源裡的能量無法供應給電路的其他部分
另一種則開關是閉合但電路裡的元件損壞例如燈絲燒斷而使電路產生中斷的現象
當電路產生中斷現象時雖然沒有電流的流通但整個電路的電壓將存在於中斷點的兩端
2-1 5
短路
連接電源之導線直接接通電流不經負載直接回到電源之情況此時整個電路的電阻近似為零而由歐姆定律
在短路時電路裡的電流近似為無限大也就是指在短路情況裡電路會產生過量之電流導致設備損壞或引起火災是為用電時最危險的狀況要特別注意通常使用保險絲來作為短路情況的保護裝置
infin===0V
RVI
2-1 6
基本電路的認識
兩或多個元件連接在一起的共同點稱為節點
兩個節點之間的路徑稱為分支
串聯是指多個元件或分支通過相同電流的情形
並聯是指多個元件或分支具有相同電壓跨於其間的情形
迴路或網目迴路及網目均是指任何兩個以上分支所形成的閉合電路但網目比迴路多一項要求就是在網目所形成的閉合電路內不得包含其他的電路元件在其迴圈中
2-1 7
克希荷夫定律
克希荷夫電流定律(KCL)亦稱為克希荷夫第一定律它指出在任何時刻裡流入某一節點的電流其和必等於自該點流出之電流和即
sumI流入＝sumI流出 (2-1)KCL是根據電荷守恆所得到
克希荷夫電壓定律(KVL)亦稱為克希荷夫第二定律它指出對於任何閉合迴路而言環繞其一週之電壓代數和必為零即迴路內的總電壓升等於總電壓降即
sumV壓升 ＝ sumV壓降 (2-2)KVL則是根據能量守恆所得到
2-1 8
克希荷夫電流定律
在a點處總共有四個電流流入或流出因此對a點而言電流的關係為
－I1－I2＋I3＋I4＝0或 I1＋I2＝I3＋I4對b點而言電流的關係為
－I3－I4＋I2＋I5＝0或 I2＋I5＝I3＋I4比較上述兩關係可發現 I1＝I5電流為正或負是由各人自訂當電路裡有多個節點時若對其中一個節點訂定流入的電流為負而流出的電流為正時則其他的各點也必須遵守此一關係
2-1 9
例2-1
試求電路中的電流IC
[解]對節點a採用KCL可得
IA＝IB＋IC
因此
IC＝IA－IB
＝20mA－5mA＝15[mA]
2-1 10
例2-2
試求電路中的電阻R[解]對電路應用KVL可得
100V＝Vab＋Vbc＋Vcd
其中
Vab＝250Ωtimes5mA＝125[V]Vbc＝1500Ωtimes5mA＝75[V]因此
Vcd＝100V－125V－75V＝9125[V]由歐姆定律可知
]k[251810x2518mA5
V2591mA5VR 3cd Ω=Ω===
2-1 11
例2-3
試求電路中的電壓V及Vcd[解]
由圖上可發現odao構成一閉合迴路因此由KVL可知Vod＋Vda＋Vao＝0其中Vod＝－10VVda＝+6V因此 Vao＝－(Vda＋Vod)＝4[V]今對caoc部分應用KVL可得
Vco＋Voa＋Vac＝0因此
V＝Vco＝－(Voa＋Vac)＝－Voa－Vac＝Vao＋Vca＝4V＋4V＝8[V]
另外對codac部分應用KVL可得Vco＋Vod＋Vda＋Vac＝Vco＋Vod＋Vdc＝0
因此Vcd＝－Vdc＝Vco＋Vod＝8V＋(－10V)＝－2[V]
2-1 12
電阻串聯及並聯電路
電路元件串聯在一起時流過它們的電流是相同的
串聯電路之等效電阻等於各串聯電阻之總和
Req＝R1＋R2＋R3＋helliphellip＋Rn＝ [Ω] (2-3)當兩元件或電路互換其I-V特性不變時則此兩元件或
兩電路稱為是等效
sum=
n
1iiR
2-1 13
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡欲求跨於某一電阻器Rx兩端的電壓Vx時可先利用(2-3)式來求整個串聯電路的等值電阻Req然後利用歐姆定律來求流過其間的電流最後以
(2-4)
來求知跨於Rx兩端的電壓Vx
若每個電阻均相等則跨於每一電阻器的電壓為Vn
]V[VR
RRRVIRV Sn
1ii
xx
eq
Sxx
sum===
=
2-1 14
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡跨於其中某一電阻器兩端的電壓等於該電阻器的電阻值與等效電阻值之比再乘以總電壓或某電阻器其電阻值與串聯電路總電阻之比等於跨於該電阻器兩端的電壓與總電壓之比此一關係稱為分壓器法則利用此一法則可以構成所謂分壓器經由分壓器可以從一高的電壓裡取得較小的電壓
在使用分壓器時有某些情況必須考慮以右圖的分壓器為例總電壓亦即VCO為+90V若三個電阻均相等則理論上VAO＝VBA＝VCB＝+30V但若要從此一電路裡取用30V的電壓時則必須要取用VAO而不能取用VBA或VCB因為VAO有接地而VBA及VCB並沒有接地直接從VBA或VCB處取用電壓則很容易會發生危險
2-1 15
例2-4
有一串聯電路試求(a)電路的等效電阻Req(b)流過電路的總電流I (c)跨於各電阻器之電壓
[解](a)電路的等效電阻
Req＝R1＋R2＋R3＝20Ω＋30Ω＋50Ω＝100[Ω](b)流過電路的總電流
]A[1100
V100RVI
eq
S =Ω
==
2-1 16
例2-4(續)
(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種其一是採用歐姆定律亦即直
接以流過的電流與電阻相乘即
V1＝I1R1＝1Atimes20Ω＝20[V]V2＝I2R2＝1Atimes30Ω＝30[V]V3＝I3R3＝1Atimes50Ω＝50[V]
另一種方法就是利用分壓器法則
]V[20V10010020V
RRV S
eq
11 =times
ΩΩ
==
]V[30V10010030V
RRV S
eq
22 =times
ΩΩ
==
]V[50V10010050V
RRV S
eq
33 =times
ΩΩ
==
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 4
開路
電路中斷不形成閉合迴路電流不能流通電路停止工作
開路有兩種情況其一為開關沒有關上電源裡的能量無法供應給電路的其他部分
另一種則開關是閉合但電路裡的元件損壞例如燈絲燒斷而使電路產生中斷的現象
當電路產生中斷現象時雖然沒有電流的流通但整個電路的電壓將存在於中斷點的兩端
2-1 5
短路
連接電源之導線直接接通電流不經負載直接回到電源之情況此時整個電路的電阻近似為零而由歐姆定律
在短路時電路裡的電流近似為無限大也就是指在短路情況裡電路會產生過量之電流導致設備損壞或引起火災是為用電時最危險的狀況要特別注意通常使用保險絲來作為短路情況的保護裝置
infin===0V
RVI
2-1 6
基本電路的認識
兩或多個元件連接在一起的共同點稱為節點
兩個節點之間的路徑稱為分支
串聯是指多個元件或分支通過相同電流的情形
並聯是指多個元件或分支具有相同電壓跨於其間的情形
迴路或網目迴路及網目均是指任何兩個以上分支所形成的閉合電路但網目比迴路多一項要求就是在網目所形成的閉合電路內不得包含其他的電路元件在其迴圈中
2-1 7
克希荷夫定律
克希荷夫電流定律(KCL)亦稱為克希荷夫第一定律它指出在任何時刻裡流入某一節點的電流其和必等於自該點流出之電流和即
sumI流入＝sumI流出 (2-1)KCL是根據電荷守恆所得到
克希荷夫電壓定律(KVL)亦稱為克希荷夫第二定律它指出對於任何閉合迴路而言環繞其一週之電壓代數和必為零即迴路內的總電壓升等於總電壓降即
sumV壓升 ＝ sumV壓降 (2-2)KVL則是根據能量守恆所得到
2-1 8
克希荷夫電流定律
在a點處總共有四個電流流入或流出因此對a點而言電流的關係為
－I1－I2＋I3＋I4＝0或 I1＋I2＝I3＋I4對b點而言電流的關係為
－I3－I4＋I2＋I5＝0或 I2＋I5＝I3＋I4比較上述兩關係可發現 I1＝I5電流為正或負是由各人自訂當電路裡有多個節點時若對其中一個節點訂定流入的電流為負而流出的電流為正時則其他的各點也必須遵守此一關係
2-1 9
例2-1
試求電路中的電流IC
[解]對節點a採用KCL可得
IA＝IB＋IC
因此
IC＝IA－IB
＝20mA－5mA＝15[mA]
2-1 10
例2-2
試求電路中的電阻R[解]對電路應用KVL可得
100V＝Vab＋Vbc＋Vcd
其中
Vab＝250Ωtimes5mA＝125[V]Vbc＝1500Ωtimes5mA＝75[V]因此
Vcd＝100V－125V－75V＝9125[V]由歐姆定律可知
]k[251810x2518mA5
V2591mA5VR 3cd Ω=Ω===
2-1 11
例2-3
試求電路中的電壓V及Vcd[解]
由圖上可發現odao構成一閉合迴路因此由KVL可知Vod＋Vda＋Vao＝0其中Vod＝－10VVda＝+6V因此 Vao＝－(Vda＋Vod)＝4[V]今對caoc部分應用KVL可得
Vco＋Voa＋Vac＝0因此
V＝Vco＝－(Voa＋Vac)＝－Voa－Vac＝Vao＋Vca＝4V＋4V＝8[V]
另外對codac部分應用KVL可得Vco＋Vod＋Vda＋Vac＝Vco＋Vod＋Vdc＝0
因此Vcd＝－Vdc＝Vco＋Vod＝8V＋(－10V)＝－2[V]
2-1 12
電阻串聯及並聯電路
電路元件串聯在一起時流過它們的電流是相同的
串聯電路之等效電阻等於各串聯電阻之總和
Req＝R1＋R2＋R3＋helliphellip＋Rn＝ [Ω] (2-3)當兩元件或電路互換其I-V特性不變時則此兩元件或
兩電路稱為是等效
sum=
n
1iiR
2-1 13
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡欲求跨於某一電阻器Rx兩端的電壓Vx時可先利用(2-3)式來求整個串聯電路的等值電阻Req然後利用歐姆定律來求流過其間的電流最後以
(2-4)
來求知跨於Rx兩端的電壓Vx
若每個電阻均相等則跨於每一電阻器的電壓為Vn
]V[VR
RRRVIRV Sn
1ii
xx
eq
Sxx
sum===
=
2-1 14
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡跨於其中某一電阻器兩端的電壓等於該電阻器的電阻值與等效電阻值之比再乘以總電壓或某電阻器其電阻值與串聯電路總電阻之比等於跨於該電阻器兩端的電壓與總電壓之比此一關係稱為分壓器法則利用此一法則可以構成所謂分壓器經由分壓器可以從一高的電壓裡取得較小的電壓
在使用分壓器時有某些情況必須考慮以右圖的分壓器為例總電壓亦即VCO為+90V若三個電阻均相等則理論上VAO＝VBA＝VCB＝+30V但若要從此一電路裡取用30V的電壓時則必須要取用VAO而不能取用VBA或VCB因為VAO有接地而VBA及VCB並沒有接地直接從VBA或VCB處取用電壓則很容易會發生危險
2-1 15
例2-4
有一串聯電路試求(a)電路的等效電阻Req(b)流過電路的總電流I (c)跨於各電阻器之電壓
[解](a)電路的等效電阻
Req＝R1＋R2＋R3＝20Ω＋30Ω＋50Ω＝100[Ω](b)流過電路的總電流
]A[1100
V100RVI
eq
S =Ω
==
2-1 16
例2-4(續)
(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種其一是採用歐姆定律亦即直
接以流過的電流與電阻相乘即
V1＝I1R1＝1Atimes20Ω＝20[V]V2＝I2R2＝1Atimes30Ω＝30[V]V3＝I3R3＝1Atimes50Ω＝50[V]
另一種方法就是利用分壓器法則
]V[20V10010020V
RRV S
eq
11 =times
ΩΩ
==
]V[30V10010030V
RRV S
eq
22 =times
ΩΩ
==
]V[50V10010050V
RRV S
eq
33 =times
ΩΩ
==
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 5
短路
連接電源之導線直接接通電流不經負載直接回到電源之情況此時整個電路的電阻近似為零而由歐姆定律
在短路時電路裡的電流近似為無限大也就是指在短路情況裡電路會產生過量之電流導致設備損壞或引起火災是為用電時最危險的狀況要特別注意通常使用保險絲來作為短路情況的保護裝置
infin===0V
RVI
2-1 6
基本電路的認識
兩或多個元件連接在一起的共同點稱為節點
兩個節點之間的路徑稱為分支
串聯是指多個元件或分支通過相同電流的情形
並聯是指多個元件或分支具有相同電壓跨於其間的情形
迴路或網目迴路及網目均是指任何兩個以上分支所形成的閉合電路但網目比迴路多一項要求就是在網目所形成的閉合電路內不得包含其他的電路元件在其迴圈中
2-1 7
克希荷夫定律
克希荷夫電流定律(KCL)亦稱為克希荷夫第一定律它指出在任何時刻裡流入某一節點的電流其和必等於自該點流出之電流和即
sumI流入＝sumI流出 (2-1)KCL是根據電荷守恆所得到
克希荷夫電壓定律(KVL)亦稱為克希荷夫第二定律它指出對於任何閉合迴路而言環繞其一週之電壓代數和必為零即迴路內的總電壓升等於總電壓降即
sumV壓升 ＝ sumV壓降 (2-2)KVL則是根據能量守恆所得到
2-1 8
克希荷夫電流定律
在a點處總共有四個電流流入或流出因此對a點而言電流的關係為
－I1－I2＋I3＋I4＝0或 I1＋I2＝I3＋I4對b點而言電流的關係為
－I3－I4＋I2＋I5＝0或 I2＋I5＝I3＋I4比較上述兩關係可發現 I1＝I5電流為正或負是由各人自訂當電路裡有多個節點時若對其中一個節點訂定流入的電流為負而流出的電流為正時則其他的各點也必須遵守此一關係
2-1 9
例2-1
試求電路中的電流IC
[解]對節點a採用KCL可得
IA＝IB＋IC
因此
IC＝IA－IB
＝20mA－5mA＝15[mA]
2-1 10
例2-2
試求電路中的電阻R[解]對電路應用KVL可得
100V＝Vab＋Vbc＋Vcd
其中
Vab＝250Ωtimes5mA＝125[V]Vbc＝1500Ωtimes5mA＝75[V]因此
Vcd＝100V－125V－75V＝9125[V]由歐姆定律可知
]k[251810x2518mA5
V2591mA5VR 3cd Ω=Ω===
2-1 11
例2-3
試求電路中的電壓V及Vcd[解]
由圖上可發現odao構成一閉合迴路因此由KVL可知Vod＋Vda＋Vao＝0其中Vod＝－10VVda＝+6V因此 Vao＝－(Vda＋Vod)＝4[V]今對caoc部分應用KVL可得
Vco＋Voa＋Vac＝0因此
V＝Vco＝－(Voa＋Vac)＝－Voa－Vac＝Vao＋Vca＝4V＋4V＝8[V]
另外對codac部分應用KVL可得Vco＋Vod＋Vda＋Vac＝Vco＋Vod＋Vdc＝0
因此Vcd＝－Vdc＝Vco＋Vod＝8V＋(－10V)＝－2[V]
2-1 12
電阻串聯及並聯電路
電路元件串聯在一起時流過它們的電流是相同的
串聯電路之等效電阻等於各串聯電阻之總和
Req＝R1＋R2＋R3＋helliphellip＋Rn＝ [Ω] (2-3)當兩元件或電路互換其I-V特性不變時則此兩元件或
兩電路稱為是等效
sum=
n
1iiR
2-1 13
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡欲求跨於某一電阻器Rx兩端的電壓Vx時可先利用(2-3)式來求整個串聯電路的等值電阻Req然後利用歐姆定律來求流過其間的電流最後以
(2-4)
來求知跨於Rx兩端的電壓Vx
若每個電阻均相等則跨於每一電阻器的電壓為Vn
]V[VR
RRRVIRV Sn
1ii
xx
eq
Sxx
sum===
=
2-1 14
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡跨於其中某一電阻器兩端的電壓等於該電阻器的電阻值與等效電阻值之比再乘以總電壓或某電阻器其電阻值與串聯電路總電阻之比等於跨於該電阻器兩端的電壓與總電壓之比此一關係稱為分壓器法則利用此一法則可以構成所謂分壓器經由分壓器可以從一高的電壓裡取得較小的電壓
在使用分壓器時有某些情況必須考慮以右圖的分壓器為例總電壓亦即VCO為+90V若三個電阻均相等則理論上VAO＝VBA＝VCB＝+30V但若要從此一電路裡取用30V的電壓時則必須要取用VAO而不能取用VBA或VCB因為VAO有接地而VBA及VCB並沒有接地直接從VBA或VCB處取用電壓則很容易會發生危險
2-1 15
例2-4
有一串聯電路試求(a)電路的等效電阻Req(b)流過電路的總電流I (c)跨於各電阻器之電壓
[解](a)電路的等效電阻
Req＝R1＋R2＋R3＝20Ω＋30Ω＋50Ω＝100[Ω](b)流過電路的總電流
]A[1100
V100RVI
eq
S =Ω
==
2-1 16
例2-4(續)
(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種其一是採用歐姆定律亦即直
接以流過的電流與電阻相乘即
V1＝I1R1＝1Atimes20Ω＝20[V]V2＝I2R2＝1Atimes30Ω＝30[V]V3＝I3R3＝1Atimes50Ω＝50[V]
另一種方法就是利用分壓器法則
]V[20V10010020V
RRV S
eq
11 =times
ΩΩ
==
]V[30V10010030V
RRV S
eq
22 =times
ΩΩ
==
]V[50V10010050V
RRV S
eq
33 =times
ΩΩ
==
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 6
基本電路的認識
兩或多個元件連接在一起的共同點稱為節點
兩個節點之間的路徑稱為分支
串聯是指多個元件或分支通過相同電流的情形
並聯是指多個元件或分支具有相同電壓跨於其間的情形
迴路或網目迴路及網目均是指任何兩個以上分支所形成的閉合電路但網目比迴路多一項要求就是在網目所形成的閉合電路內不得包含其他的電路元件在其迴圈中
2-1 7
克希荷夫定律
克希荷夫電流定律(KCL)亦稱為克希荷夫第一定律它指出在任何時刻裡流入某一節點的電流其和必等於自該點流出之電流和即
sumI流入＝sumI流出 (2-1)KCL是根據電荷守恆所得到
克希荷夫電壓定律(KVL)亦稱為克希荷夫第二定律它指出對於任何閉合迴路而言環繞其一週之電壓代數和必為零即迴路內的總電壓升等於總電壓降即
sumV壓升 ＝ sumV壓降 (2-2)KVL則是根據能量守恆所得到
2-1 8
克希荷夫電流定律
在a點處總共有四個電流流入或流出因此對a點而言電流的關係為
－I1－I2＋I3＋I4＝0或 I1＋I2＝I3＋I4對b點而言電流的關係為
－I3－I4＋I2＋I5＝0或 I2＋I5＝I3＋I4比較上述兩關係可發現 I1＝I5電流為正或負是由各人自訂當電路裡有多個節點時若對其中一個節點訂定流入的電流為負而流出的電流為正時則其他的各點也必須遵守此一關係
2-1 9
例2-1
試求電路中的電流IC
[解]對節點a採用KCL可得
IA＝IB＋IC
因此
IC＝IA－IB
＝20mA－5mA＝15[mA]
2-1 10
例2-2
試求電路中的電阻R[解]對電路應用KVL可得
100V＝Vab＋Vbc＋Vcd
其中
Vab＝250Ωtimes5mA＝125[V]Vbc＝1500Ωtimes5mA＝75[V]因此
Vcd＝100V－125V－75V＝9125[V]由歐姆定律可知
]k[251810x2518mA5
V2591mA5VR 3cd Ω=Ω===
2-1 11
例2-3
試求電路中的電壓V及Vcd[解]
由圖上可發現odao構成一閉合迴路因此由KVL可知Vod＋Vda＋Vao＝0其中Vod＝－10VVda＝+6V因此 Vao＝－(Vda＋Vod)＝4[V]今對caoc部分應用KVL可得
Vco＋Voa＋Vac＝0因此
V＝Vco＝－(Voa＋Vac)＝－Voa－Vac＝Vao＋Vca＝4V＋4V＝8[V]
另外對codac部分應用KVL可得Vco＋Vod＋Vda＋Vac＝Vco＋Vod＋Vdc＝0
因此Vcd＝－Vdc＝Vco＋Vod＝8V＋(－10V)＝－2[V]
2-1 12
電阻串聯及並聯電路
電路元件串聯在一起時流過它們的電流是相同的
串聯電路之等效電阻等於各串聯電阻之總和
Req＝R1＋R2＋R3＋helliphellip＋Rn＝ [Ω] (2-3)當兩元件或電路互換其I-V特性不變時則此兩元件或
兩電路稱為是等效
sum=
n
1iiR
2-1 13
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡欲求跨於某一電阻器Rx兩端的電壓Vx時可先利用(2-3)式來求整個串聯電路的等值電阻Req然後利用歐姆定律來求流過其間的電流最後以
(2-4)
來求知跨於Rx兩端的電壓Vx
若每個電阻均相等則跨於每一電阻器的電壓為Vn
]V[VR
RRRVIRV Sn
1ii
xx
eq
Sxx
sum===
=
2-1 14
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡跨於其中某一電阻器兩端的電壓等於該電阻器的電阻值與等效電阻值之比再乘以總電壓或某電阻器其電阻值與串聯電路總電阻之比等於跨於該電阻器兩端的電壓與總電壓之比此一關係稱為分壓器法則利用此一法則可以構成所謂分壓器經由分壓器可以從一高的電壓裡取得較小的電壓
在使用分壓器時有某些情況必須考慮以右圖的分壓器為例總電壓亦即VCO為+90V若三個電阻均相等則理論上VAO＝VBA＝VCB＝+30V但若要從此一電路裡取用30V的電壓時則必須要取用VAO而不能取用VBA或VCB因為VAO有接地而VBA及VCB並沒有接地直接從VBA或VCB處取用電壓則很容易會發生危險
2-1 15
例2-4
有一串聯電路試求(a)電路的等效電阻Req(b)流過電路的總電流I (c)跨於各電阻器之電壓
[解](a)電路的等效電阻
Req＝R1＋R2＋R3＝20Ω＋30Ω＋50Ω＝100[Ω](b)流過電路的總電流
]A[1100
V100RVI
eq
S =Ω
==
2-1 16
例2-4(續)
(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種其一是採用歐姆定律亦即直
接以流過的電流與電阻相乘即
V1＝I1R1＝1Atimes20Ω＝20[V]V2＝I2R2＝1Atimes30Ω＝30[V]V3＝I3R3＝1Atimes50Ω＝50[V]
另一種方法就是利用分壓器法則
]V[20V10010020V
RRV S
eq
11 =times
ΩΩ
==
]V[30V10010030V
RRV S
eq
22 =times
ΩΩ
==
]V[50V10010050V
RRV S
eq
33 =times
ΩΩ
==
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 7
克希荷夫定律
克希荷夫電流定律(KCL)亦稱為克希荷夫第一定律它指出在任何時刻裡流入某一節點的電流其和必等於自該點流出之電流和即
sumI流入＝sumI流出 (2-1)KCL是根據電荷守恆所得到
克希荷夫電壓定律(KVL)亦稱為克希荷夫第二定律它指出對於任何閉合迴路而言環繞其一週之電壓代數和必為零即迴路內的總電壓升等於總電壓降即
sumV壓升 ＝ sumV壓降 (2-2)KVL則是根據能量守恆所得到
2-1 8
克希荷夫電流定律
在a點處總共有四個電流流入或流出因此對a點而言電流的關係為
－I1－I2＋I3＋I4＝0或 I1＋I2＝I3＋I4對b點而言電流的關係為
－I3－I4＋I2＋I5＝0或 I2＋I5＝I3＋I4比較上述兩關係可發現 I1＝I5電流為正或負是由各人自訂當電路裡有多個節點時若對其中一個節點訂定流入的電流為負而流出的電流為正時則其他的各點也必須遵守此一關係
2-1 9
例2-1
試求電路中的電流IC
[解]對節點a採用KCL可得
IA＝IB＋IC
因此
IC＝IA－IB
＝20mA－5mA＝15[mA]
2-1 10
例2-2
試求電路中的電阻R[解]對電路應用KVL可得
100V＝Vab＋Vbc＋Vcd
其中
Vab＝250Ωtimes5mA＝125[V]Vbc＝1500Ωtimes5mA＝75[V]因此
Vcd＝100V－125V－75V＝9125[V]由歐姆定律可知
]k[251810x2518mA5
V2591mA5VR 3cd Ω=Ω===
2-1 11
例2-3
試求電路中的電壓V及Vcd[解]
由圖上可發現odao構成一閉合迴路因此由KVL可知Vod＋Vda＋Vao＝0其中Vod＝－10VVda＝+6V因此 Vao＝－(Vda＋Vod)＝4[V]今對caoc部分應用KVL可得
Vco＋Voa＋Vac＝0因此
V＝Vco＝－(Voa＋Vac)＝－Voa－Vac＝Vao＋Vca＝4V＋4V＝8[V]
另外對codac部分應用KVL可得Vco＋Vod＋Vda＋Vac＝Vco＋Vod＋Vdc＝0
因此Vcd＝－Vdc＝Vco＋Vod＝8V＋(－10V)＝－2[V]
2-1 12
電阻串聯及並聯電路
電路元件串聯在一起時流過它們的電流是相同的
串聯電路之等效電阻等於各串聯電阻之總和
Req＝R1＋R2＋R3＋helliphellip＋Rn＝ [Ω] (2-3)當兩元件或電路互換其I-V特性不變時則此兩元件或
兩電路稱為是等效
sum=
n
1iiR
2-1 13
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡欲求跨於某一電阻器Rx兩端的電壓Vx時可先利用(2-3)式來求整個串聯電路的等值電阻Req然後利用歐姆定律來求流過其間的電流最後以
(2-4)
來求知跨於Rx兩端的電壓Vx
若每個電阻均相等則跨於每一電阻器的電壓為Vn
]V[VR
RRRVIRV Sn
1ii
xx
eq
Sxx
sum===
=
2-1 14
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡跨於其中某一電阻器兩端的電壓等於該電阻器的電阻值與等效電阻值之比再乘以總電壓或某電阻器其電阻值與串聯電路總電阻之比等於跨於該電阻器兩端的電壓與總電壓之比此一關係稱為分壓器法則利用此一法則可以構成所謂分壓器經由分壓器可以從一高的電壓裡取得較小的電壓
在使用分壓器時有某些情況必須考慮以右圖的分壓器為例總電壓亦即VCO為+90V若三個電阻均相等則理論上VAO＝VBA＝VCB＝+30V但若要從此一電路裡取用30V的電壓時則必須要取用VAO而不能取用VBA或VCB因為VAO有接地而VBA及VCB並沒有接地直接從VBA或VCB處取用電壓則很容易會發生危險
2-1 15
例2-4
有一串聯電路試求(a)電路的等效電阻Req(b)流過電路的總電流I (c)跨於各電阻器之電壓
[解](a)電路的等效電阻
Req＝R1＋R2＋R3＝20Ω＋30Ω＋50Ω＝100[Ω](b)流過電路的總電流
]A[1100
V100RVI
eq
S =Ω
==
2-1 16
例2-4(續)
(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種其一是採用歐姆定律亦即直
接以流過的電流與電阻相乘即
V1＝I1R1＝1Atimes20Ω＝20[V]V2＝I2R2＝1Atimes30Ω＝30[V]V3＝I3R3＝1Atimes50Ω＝50[V]
另一種方法就是利用分壓器法則
]V[20V10010020V
RRV S
eq
11 =times
ΩΩ
==
]V[30V10010030V
RRV S
eq
22 =times
ΩΩ
==
]V[50V10010050V
RRV S
eq
33 =times
ΩΩ
==
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 8
克希荷夫電流定律
在a點處總共有四個電流流入或流出因此對a點而言電流的關係為
－I1－I2＋I3＋I4＝0或 I1＋I2＝I3＋I4對b點而言電流的關係為
－I3－I4＋I2＋I5＝0或 I2＋I5＝I3＋I4比較上述兩關係可發現 I1＝I5電流為正或負是由各人自訂當電路裡有多個節點時若對其中一個節點訂定流入的電流為負而流出的電流為正時則其他的各點也必須遵守此一關係
2-1 9
例2-1
試求電路中的電流IC
[解]對節點a採用KCL可得
IA＝IB＋IC
因此
IC＝IA－IB
＝20mA－5mA＝15[mA]
2-1 10
例2-2
試求電路中的電阻R[解]對電路應用KVL可得
100V＝Vab＋Vbc＋Vcd
其中
Vab＝250Ωtimes5mA＝125[V]Vbc＝1500Ωtimes5mA＝75[V]因此
Vcd＝100V－125V－75V＝9125[V]由歐姆定律可知
]k[251810x2518mA5
V2591mA5VR 3cd Ω=Ω===
2-1 11
例2-3
試求電路中的電壓V及Vcd[解]
由圖上可發現odao構成一閉合迴路因此由KVL可知Vod＋Vda＋Vao＝0其中Vod＝－10VVda＝+6V因此 Vao＝－(Vda＋Vod)＝4[V]今對caoc部分應用KVL可得
Vco＋Voa＋Vac＝0因此
V＝Vco＝－(Voa＋Vac)＝－Voa－Vac＝Vao＋Vca＝4V＋4V＝8[V]
另外對codac部分應用KVL可得Vco＋Vod＋Vda＋Vac＝Vco＋Vod＋Vdc＝0
因此Vcd＝－Vdc＝Vco＋Vod＝8V＋(－10V)＝－2[V]
2-1 12
電阻串聯及並聯電路
電路元件串聯在一起時流過它們的電流是相同的
串聯電路之等效電阻等於各串聯電阻之總和
Req＝R1＋R2＋R3＋helliphellip＋Rn＝ [Ω] (2-3)當兩元件或電路互換其I-V特性不變時則此兩元件或
兩電路稱為是等效
sum=
n
1iiR
2-1 13
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡欲求跨於某一電阻器Rx兩端的電壓Vx時可先利用(2-3)式來求整個串聯電路的等值電阻Req然後利用歐姆定律來求流過其間的電流最後以
(2-4)
來求知跨於Rx兩端的電壓Vx
若每個電阻均相等則跨於每一電阻器的電壓為Vn
]V[VR
RRRVIRV Sn
1ii
xx
eq
Sxx
sum===
=
2-1 14
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡跨於其中某一電阻器兩端的電壓等於該電阻器的電阻值與等效電阻值之比再乘以總電壓或某電阻器其電阻值與串聯電路總電阻之比等於跨於該電阻器兩端的電壓與總電壓之比此一關係稱為分壓器法則利用此一法則可以構成所謂分壓器經由分壓器可以從一高的電壓裡取得較小的電壓
在使用分壓器時有某些情況必須考慮以右圖的分壓器為例總電壓亦即VCO為+90V若三個電阻均相等則理論上VAO＝VBA＝VCB＝+30V但若要從此一電路裡取用30V的電壓時則必須要取用VAO而不能取用VBA或VCB因為VAO有接地而VBA及VCB並沒有接地直接從VBA或VCB處取用電壓則很容易會發生危險
2-1 15
例2-4
有一串聯電路試求(a)電路的等效電阻Req(b)流過電路的總電流I (c)跨於各電阻器之電壓
[解](a)電路的等效電阻
Req＝R1＋R2＋R3＝20Ω＋30Ω＋50Ω＝100[Ω](b)流過電路的總電流
]A[1100
V100RVI
eq
S =Ω
==
2-1 16
例2-4(續)
(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種其一是採用歐姆定律亦即直
接以流過的電流與電阻相乘即
V1＝I1R1＝1Atimes20Ω＝20[V]V2＝I2R2＝1Atimes30Ω＝30[V]V3＝I3R3＝1Atimes50Ω＝50[V]
另一種方法就是利用分壓器法則
]V[20V10010020V
RRV S
eq
11 =times
ΩΩ
==
]V[30V10010030V
RRV S
eq
22 =times
ΩΩ
==
]V[50V10010050V
RRV S
eq
33 =times
ΩΩ
==
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 9
例2-1
試求電路中的電流IC
[解]對節點a採用KCL可得
IA＝IB＋IC
因此
IC＝IA－IB
＝20mA－5mA＝15[mA]
2-1 10
例2-2
試求電路中的電阻R[解]對電路應用KVL可得
100V＝Vab＋Vbc＋Vcd
其中
Vab＝250Ωtimes5mA＝125[V]Vbc＝1500Ωtimes5mA＝75[V]因此
Vcd＝100V－125V－75V＝9125[V]由歐姆定律可知
]k[251810x2518mA5
V2591mA5VR 3cd Ω=Ω===
2-1 11
例2-3
試求電路中的電壓V及Vcd[解]
由圖上可發現odao構成一閉合迴路因此由KVL可知Vod＋Vda＋Vao＝0其中Vod＝－10VVda＝+6V因此 Vao＝－(Vda＋Vod)＝4[V]今對caoc部分應用KVL可得
Vco＋Voa＋Vac＝0因此
V＝Vco＝－(Voa＋Vac)＝－Voa－Vac＝Vao＋Vca＝4V＋4V＝8[V]
另外對codac部分應用KVL可得Vco＋Vod＋Vda＋Vac＝Vco＋Vod＋Vdc＝0
因此Vcd＝－Vdc＝Vco＋Vod＝8V＋(－10V)＝－2[V]
2-1 12
電阻串聯及並聯電路
電路元件串聯在一起時流過它們的電流是相同的
串聯電路之等效電阻等於各串聯電阻之總和
Req＝R1＋R2＋R3＋helliphellip＋Rn＝ [Ω] (2-3)當兩元件或電路互換其I-V特性不變時則此兩元件或
兩電路稱為是等效
sum=
n
1iiR
2-1 13
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡欲求跨於某一電阻器Rx兩端的電壓Vx時可先利用(2-3)式來求整個串聯電路的等值電阻Req然後利用歐姆定律來求流過其間的電流最後以
(2-4)
來求知跨於Rx兩端的電壓Vx
若每個電阻均相等則跨於每一電阻器的電壓為Vn
]V[VR
RRRVIRV Sn
1ii
xx
eq
Sxx
sum===
=
2-1 14
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡跨於其中某一電阻器兩端的電壓等於該電阻器的電阻值與等效電阻值之比再乘以總電壓或某電阻器其電阻值與串聯電路總電阻之比等於跨於該電阻器兩端的電壓與總電壓之比此一關係稱為分壓器法則利用此一法則可以構成所謂分壓器經由分壓器可以從一高的電壓裡取得較小的電壓
在使用分壓器時有某些情況必須考慮以右圖的分壓器為例總電壓亦即VCO為+90V若三個電阻均相等則理論上VAO＝VBA＝VCB＝+30V但若要從此一電路裡取用30V的電壓時則必須要取用VAO而不能取用VBA或VCB因為VAO有接地而VBA及VCB並沒有接地直接從VBA或VCB處取用電壓則很容易會發生危險
2-1 15
例2-4
有一串聯電路試求(a)電路的等效電阻Req(b)流過電路的總電流I (c)跨於各電阻器之電壓
[解](a)電路的等效電阻
Req＝R1＋R2＋R3＝20Ω＋30Ω＋50Ω＝100[Ω](b)流過電路的總電流
]A[1100
V100RVI
eq
S =Ω
==
2-1 16
例2-4(續)
(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種其一是採用歐姆定律亦即直
接以流過的電流與電阻相乘即
V1＝I1R1＝1Atimes20Ω＝20[V]V2＝I2R2＝1Atimes30Ω＝30[V]V3＝I3R3＝1Atimes50Ω＝50[V]
另一種方法就是利用分壓器法則
]V[20V10010020V
RRV S
eq
11 =times
ΩΩ
==
]V[30V10010030V
RRV S
eq
22 =times
ΩΩ
==
]V[50V10010050V
RRV S
eq
33 =times
ΩΩ
==
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 10
例2-2
試求電路中的電阻R[解]對電路應用KVL可得
100V＝Vab＋Vbc＋Vcd
其中
Vab＝250Ωtimes5mA＝125[V]Vbc＝1500Ωtimes5mA＝75[V]因此
Vcd＝100V－125V－75V＝9125[V]由歐姆定律可知
]k[251810x2518mA5
V2591mA5VR 3cd Ω=Ω===
2-1 11
例2-3
試求電路中的電壓V及Vcd[解]
由圖上可發現odao構成一閉合迴路因此由KVL可知Vod＋Vda＋Vao＝0其中Vod＝－10VVda＝+6V因此 Vao＝－(Vda＋Vod)＝4[V]今對caoc部分應用KVL可得
Vco＋Voa＋Vac＝0因此
V＝Vco＝－(Voa＋Vac)＝－Voa－Vac＝Vao＋Vca＝4V＋4V＝8[V]
另外對codac部分應用KVL可得Vco＋Vod＋Vda＋Vac＝Vco＋Vod＋Vdc＝0
因此Vcd＝－Vdc＝Vco＋Vod＝8V＋(－10V)＝－2[V]
2-1 12
電阻串聯及並聯電路
電路元件串聯在一起時流過它們的電流是相同的
串聯電路之等效電阻等於各串聯電阻之總和
Req＝R1＋R2＋R3＋helliphellip＋Rn＝ [Ω] (2-3)當兩元件或電路互換其I-V特性不變時則此兩元件或
兩電路稱為是等效
sum=
n
1iiR
2-1 13
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡欲求跨於某一電阻器Rx兩端的電壓Vx時可先利用(2-3)式來求整個串聯電路的等值電阻Req然後利用歐姆定律來求流過其間的電流最後以
(2-4)
來求知跨於Rx兩端的電壓Vx
若每個電阻均相等則跨於每一電阻器的電壓為Vn
]V[VR
RRRVIRV Sn
1ii
xx
eq
Sxx
sum===
=
2-1 14
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡跨於其中某一電阻器兩端的電壓等於該電阻器的電阻值與等效電阻值之比再乘以總電壓或某電阻器其電阻值與串聯電路總電阻之比等於跨於該電阻器兩端的電壓與總電壓之比此一關係稱為分壓器法則利用此一法則可以構成所謂分壓器經由分壓器可以從一高的電壓裡取得較小的電壓
在使用分壓器時有某些情況必須考慮以右圖的分壓器為例總電壓亦即VCO為+90V若三個電阻均相等則理論上VAO＝VBA＝VCB＝+30V但若要從此一電路裡取用30V的電壓時則必須要取用VAO而不能取用VBA或VCB因為VAO有接地而VBA及VCB並沒有接地直接從VBA或VCB處取用電壓則很容易會發生危險
2-1 15
例2-4
有一串聯電路試求(a)電路的等效電阻Req(b)流過電路的總電流I (c)跨於各電阻器之電壓
[解](a)電路的等效電阻
Req＝R1＋R2＋R3＝20Ω＋30Ω＋50Ω＝100[Ω](b)流過電路的總電流
]A[1100
V100RVI
eq
S =Ω
==
2-1 16
例2-4(續)
(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種其一是採用歐姆定律亦即直
接以流過的電流與電阻相乘即
V1＝I1R1＝1Atimes20Ω＝20[V]V2＝I2R2＝1Atimes30Ω＝30[V]V3＝I3R3＝1Atimes50Ω＝50[V]
另一種方法就是利用分壓器法則
]V[20V10010020V
RRV S
eq
11 =times
ΩΩ
==
]V[30V10010030V
RRV S
eq
22 =times
ΩΩ
==
]V[50V10010050V
RRV S
eq
33 =times
ΩΩ
==
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 11
例2-3
試求電路中的電壓V及Vcd[解]
由圖上可發現odao構成一閉合迴路因此由KVL可知Vod＋Vda＋Vao＝0其中Vod＝－10VVda＝+6V因此 Vao＝－(Vda＋Vod)＝4[V]今對caoc部分應用KVL可得
Vco＋Voa＋Vac＝0因此
V＝Vco＝－(Voa＋Vac)＝－Voa－Vac＝Vao＋Vca＝4V＋4V＝8[V]
另外對codac部分應用KVL可得Vco＋Vod＋Vda＋Vac＝Vco＋Vod＋Vdc＝0
因此Vcd＝－Vdc＝Vco＋Vod＝8V＋(－10V)＝－2[V]
2-1 12
電阻串聯及並聯電路
電路元件串聯在一起時流過它們的電流是相同的
串聯電路之等效電阻等於各串聯電阻之總和
Req＝R1＋R2＋R3＋helliphellip＋Rn＝ [Ω] (2-3)當兩元件或電路互換其I-V特性不變時則此兩元件或
兩電路稱為是等效
sum=
n
1iiR
2-1 13
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡欲求跨於某一電阻器Rx兩端的電壓Vx時可先利用(2-3)式來求整個串聯電路的等值電阻Req然後利用歐姆定律來求流過其間的電流最後以
(2-4)
來求知跨於Rx兩端的電壓Vx
若每個電阻均相等則跨於每一電阻器的電壓為Vn
]V[VR
RRRVIRV Sn
1ii
xx
eq
Sxx
sum===
=
2-1 14
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡跨於其中某一電阻器兩端的電壓等於該電阻器的電阻值與等效電阻值之比再乘以總電壓或某電阻器其電阻值與串聯電路總電阻之比等於跨於該電阻器兩端的電壓與總電壓之比此一關係稱為分壓器法則利用此一法則可以構成所謂分壓器經由分壓器可以從一高的電壓裡取得較小的電壓
在使用分壓器時有某些情況必須考慮以右圖的分壓器為例總電壓亦即VCO為+90V若三個電阻均相等則理論上VAO＝VBA＝VCB＝+30V但若要從此一電路裡取用30V的電壓時則必須要取用VAO而不能取用VBA或VCB因為VAO有接地而VBA及VCB並沒有接地直接從VBA或VCB處取用電壓則很容易會發生危險
2-1 15
例2-4
有一串聯電路試求(a)電路的等效電阻Req(b)流過電路的總電流I (c)跨於各電阻器之電壓
[解](a)電路的等效電阻
Req＝R1＋R2＋R3＝20Ω＋30Ω＋50Ω＝100[Ω](b)流過電路的總電流
]A[1100
V100RVI
eq
S =Ω
==
2-1 16
例2-4(續)
(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種其一是採用歐姆定律亦即直
接以流過的電流與電阻相乘即
V1＝I1R1＝1Atimes20Ω＝20[V]V2＝I2R2＝1Atimes30Ω＝30[V]V3＝I3R3＝1Atimes50Ω＝50[V]
另一種方法就是利用分壓器法則
]V[20V10010020V
RRV S
eq
11 =times
ΩΩ
==
]V[30V10010030V
RRV S
eq
22 =times
ΩΩ
==
]V[50V10010050V
RRV S
eq
33 =times
ΩΩ
==
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 12
電阻串聯及並聯電路
電路元件串聯在一起時流過它們的電流是相同的
串聯電路之等效電阻等於各串聯電阻之總和
Req＝R1＋R2＋R3＋helliphellip＋Rn＝ [Ω] (2-3)當兩元件或電路互換其I-V特性不變時則此兩元件或
兩電路稱為是等效
sum=
n
1iiR
2-1 13
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡欲求跨於某一電阻器Rx兩端的電壓Vx時可先利用(2-3)式來求整個串聯電路的等值電阻Req然後利用歐姆定律來求流過其間的電流最後以
(2-4)
來求知跨於Rx兩端的電壓Vx
若每個電阻均相等則跨於每一電阻器的電壓為Vn
]V[VR
RRRVIRV Sn
1ii
xx
eq
Sxx
sum===
=
2-1 14
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡跨於其中某一電阻器兩端的電壓等於該電阻器的電阻值與等效電阻值之比再乘以總電壓或某電阻器其電阻值與串聯電路總電阻之比等於跨於該電阻器兩端的電壓與總電壓之比此一關係稱為分壓器法則利用此一法則可以構成所謂分壓器經由分壓器可以從一高的電壓裡取得較小的電壓
在使用分壓器時有某些情況必須考慮以右圖的分壓器為例總電壓亦即VCO為+90V若三個電阻均相等則理論上VAO＝VBA＝VCB＝+30V但若要從此一電路裡取用30V的電壓時則必須要取用VAO而不能取用VBA或VCB因為VAO有接地而VBA及VCB並沒有接地直接從VBA或VCB處取用電壓則很容易會發生危險
2-1 15
例2-4
有一串聯電路試求(a)電路的等效電阻Req(b)流過電路的總電流I (c)跨於各電阻器之電壓
[解](a)電路的等效電阻
Req＝R1＋R2＋R3＝20Ω＋30Ω＋50Ω＝100[Ω](b)流過電路的總電流
]A[1100
V100RVI
eq
S =Ω
==
2-1 16
例2-4(續)
(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種其一是採用歐姆定律亦即直
接以流過的電流與電阻相乘即
V1＝I1R1＝1Atimes20Ω＝20[V]V2＝I2R2＝1Atimes30Ω＝30[V]V3＝I3R3＝1Atimes50Ω＝50[V]
另一種方法就是利用分壓器法則
]V[20V10010020V
RRV S
eq
11 =times
ΩΩ
==
]V[30V10010030V
RRV S
eq
22 =times
ΩΩ
==
]V[50V10010050V
RRV S
eq
33 =times
ΩΩ
==
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 13
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡欲求跨於某一電阻器Rx兩端的電壓Vx時可先利用(2-3)式來求整個串聯電路的等值電阻Req然後利用歐姆定律來求流過其間的電流最後以
(2-4)
來求知跨於Rx兩端的電壓Vx
若每個電阻均相等則跨於每一電阻器的電壓為Vn
]V[VR
RRRVIRV Sn
1ii
xx
eq
Sxx
sum===
=
2-1 14
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡跨於其中某一電阻器兩端的電壓等於該電阻器的電阻值與等效電阻值之比再乘以總電壓或某電阻器其電阻值與串聯電路總電阻之比等於跨於該電阻器兩端的電壓與總電壓之比此一關係稱為分壓器法則利用此一法則可以構成所謂分壓器經由分壓器可以從一高的電壓裡取得較小的電壓
在使用分壓器時有某些情況必須考慮以右圖的分壓器為例總電壓亦即VCO為+90V若三個電阻均相等則理論上VAO＝VBA＝VCB＝+30V但若要從此一電路裡取用30V的電壓時則必須要取用VAO而不能取用VBA或VCB因為VAO有接地而VBA及VCB並沒有接地直接從VBA或VCB處取用電壓則很容易會發生危險
2-1 15
例2-4
有一串聯電路試求(a)電路的等效電阻Req(b)流過電路的總電流I (c)跨於各電阻器之電壓
[解](a)電路的等效電阻
Req＝R1＋R2＋R3＝20Ω＋30Ω＋50Ω＝100[Ω](b)流過電路的總電流
]A[1100
V100RVI
eq
S =Ω
==
2-1 16
例2-4(續)
(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種其一是採用歐姆定律亦即直
接以流過的電流與電阻相乘即
V1＝I1R1＝1Atimes20Ω＝20[V]V2＝I2R2＝1Atimes30Ω＝30[V]V3＝I3R3＝1Atimes50Ω＝50[V]
另一種方法就是利用分壓器法則
]V[20V10010020V
RRV S
eq
11 =times
ΩΩ
==
]V[30V10010030V
RRV S
eq
22 =times
ΩΩ
==
]V[50V10010050V
RRV S
eq
33 =times
ΩΩ
==
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 14
電阻串聯及並聯電路
在串聯電路裡跨於其中某一電阻器兩端的電壓等於該電阻器的電阻值與等效電阻值之比再乘以總電壓或某電阻器其電阻值與串聯電路總電阻之比等於跨於該電阻器兩端的電壓與總電壓之比此一關係稱為分壓器法則利用此一法則可以構成所謂分壓器經由分壓器可以從一高的電壓裡取得較小的電壓
在使用分壓器時有某些情況必須考慮以右圖的分壓器為例總電壓亦即VCO為+90V若三個電阻均相等則理論上VAO＝VBA＝VCB＝+30V但若要從此一電路裡取用30V的電壓時則必須要取用VAO而不能取用VBA或VCB因為VAO有接地而VBA及VCB並沒有接地直接從VBA或VCB處取用電壓則很容易會發生危險
2-1 15
例2-4
有一串聯電路試求(a)電路的等效電阻Req(b)流過電路的總電流I (c)跨於各電阻器之電壓
[解](a)電路的等效電阻
Req＝R1＋R2＋R3＝20Ω＋30Ω＋50Ω＝100[Ω](b)流過電路的總電流
]A[1100
V100RVI
eq
S =Ω
==
2-1 16
例2-4(續)
(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種其一是採用歐姆定律亦即直
接以流過的電流與電阻相乘即
V1＝I1R1＝1Atimes20Ω＝20[V]V2＝I2R2＝1Atimes30Ω＝30[V]V3＝I3R3＝1Atimes50Ω＝50[V]
另一種方法就是利用分壓器法則
]V[20V10010020V
RRV S
eq
11 =times
ΩΩ
==
]V[30V10010030V
RRV S
eq
22 =times
ΩΩ
==
]V[50V10010050V
RRV S
eq
33 =times
ΩΩ
==
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 15
例2-4
有一串聯電路試求(a)電路的等效電阻Req(b)流過電路的總電流I (c)跨於各電阻器之電壓
[解](a)電路的等效電阻
Req＝R1＋R2＋R3＝20Ω＋30Ω＋50Ω＝100[Ω](b)流過電路的總電流
]A[1100
V100RVI
eq
S =Ω
==
2-1 16
例2-4(續)
(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種其一是採用歐姆定律亦即直
接以流過的電流與電阻相乘即
V1＝I1R1＝1Atimes20Ω＝20[V]V2＝I2R2＝1Atimes30Ω＝30[V]V3＝I3R3＝1Atimes50Ω＝50[V]
另一種方法就是利用分壓器法則
]V[20V10010020V
RRV S
eq
11 =times
ΩΩ
==
]V[30V10010030V
RRV S
eq
22 =times
ΩΩ
==
]V[50V10010050V
RRV S
eq
33 =times
ΩΩ
==
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 16
例2-4(續)
(c)跨於各電阻器之電壓求法有兩種其一是採用歐姆定律亦即直
接以流過的電流與電阻相乘即
V1＝I1R1＝1Atimes20Ω＝20[V]V2＝I2R2＝1Atimes30Ω＝30[V]V3＝I3R3＝1Atimes50Ω＝50[V]
另一種方法就是利用分壓器法則
]V[20V10010020V
RRV S
eq
11 =times
ΩΩ
==
]V[30V10010030V
RRV S
eq
22 =times
ΩΩ
==
]V[50V10010050V
RRV S
eq
33 =times
ΩΩ
==
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 17
例2-5
有一串聯電路如圖所示(a)試以分壓器法則求跨於各電阻的電壓(b)電源所供應的功率及各電阻所消耗的功率為多少
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 18
例2-5(續)
[解](a)跨於各電阻器之電壓分別為
]V[510010V50
70201010V50V1 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[1010020V50
70201020V50V2 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
]V[3510070V50
70201070V50V3 =times=
Ω+Ω+ΩΩ
times=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 19
例2-5(續)
(b)流過此一電路的電流為
電源所供應的功率為
Pi＝50Vtimes05A＝25[W]各電阻消耗的功率為
PR1＝I2timesR1＝(05A)2times10Ω＝25[W]PR2＝I2timesR2＝(05A)2times20Ω＝50[W]PR3＝I2timesR3＝(05A)2times70Ω＝175[W]
]A[50100
V50702010
V50RRR
VI321
S =Ω
=Ω+Ω+Ω
=++
=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 20
電阻串聯及並聯電路
當元件並聯在一起時跨於它們兩端的電壓是相等的
在並聯電路裡其等效電阻可以表示為
(2-5)
(2-6)
在並聯電路裡以電導來表示比較方便
(2-7)
sum=
=++++=n
1i in321eq
]S[R1
R1
R1
R1
R1
R1
][
R1
R1
R1
R1
1R
n321
eq Ω++++
=
]S[GGGGG i
n
1in21eq sum
=
==+++=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 21
電阻串聯及並聯電路
若並聯電路中各電阻器的電阻均相等則其等效電阻為
[S]或
(2-8)若以等效電導來表示則
Geq＝nGi[S] (2-9)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ieq R1n
R1
][nRR i
eq Ω=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 22
電阻串聯及並聯電路
若只有兩個電阻器R1與R2並聯時則等效電阻可以表示為
(2-10)
若某一電阻R與另一個電阻(Rn)並聯時其等效電阻可以表示為
(2-11)
][RR
RRR21
21eq Ω
+=
][n1
RReq Ω+
=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 23
電阻串聯及並聯電路
在並聯電路裡流過某一分支電阻器Rx的電流等於該分支電導與等效電導之比乘以總電流或某分支之電導與總電導之比等於流過該分支之電流與總電流之比此一關係稱為分流器法則
]A[IGGI
G
GIGGGG
GIeq
xn
1ii
x
n321
xX ==
++++=
sum=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 24
電阻串聯及並聯電路
在只有兩個電阻器並聯的情況下則電流的分配為
可知電阻大者所流過的電流較小電阻較小者可流過的電流較大
]A[IRR
RI21
21 +=
]A[IRR
RI21
12 +=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 25
電阻串聯及並聯電路
若在並聯電路中各電阻均相等則
就是各電流均相等分別等於總電流的1n
]A[nI
)R1(n
IR1
Ix ==
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 26
例2-6
試求電路的(a)總電阻(b)總電流(c)各分支電流
[解] (a)電路的總電阻亦即等效電阻為
Req=2[Ω]
]S[21
121
61
41
R1
R1
R1
R1
321eq
=++=++=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 27
例2-6(續)
(b)流過電路的總電流為
(c)由分流器法則可得
]A[62
12RVI ===
]A[36
2141
IGGI
eq
11 =times== ]A[26
2161
IGGI
eq
22 =times==
]A[16
21
121
IGGI
eq
33 =times==
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 28
例2-6(續)
另一為利用歐姆定律
由此可知兩種方法所得到的結果是相同的同時可發現如前所述電阻愈大的分支流過的電流愈小
]A[34
12RVI
11 === ]A[2
612
RVI
22 ===
]A[11212
RVI
33 ===
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 29
串並聯電路
在實際應用的電路裡元件並不是單純的串聯或並聯而是同時串並聯也就是將多個元件串聯在一起構成一分支然後再與其他分支並聯或者將多個元件並聯在一起然後再與其他分支串聯無論先串後並或先並後串只要依照既定的處理程序來求解即可此一既定的處理程序為(1)由離電源最遠的地方著手先將電阻依串聯或並聯來合併一直到電源端變成一個等效電阻Req為止
(2)將電源與等效電阻以歐姆定律來處理以求得流過等效電阻的電流也就是流入電路的總電流以及跨在等效電阻兩端的電壓
(3)最後利用KVLKCL分壓器法則或分流器法則算出流過每個電阻器的電流跨在每個電阻器的電壓以及它們所消耗的功率
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 30
例2-7
試求下圖電路由AB端看入的等效電阻
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 31
例2-7(續)
最遠端的電阻開始處理由圖上可知R9與R10為串聯因此可得
R11＝R9＋R10＝1kΩ＋2 kΩ＝3[kΩ]此一R11與R8為並聯因R11(3kΩ)等於R8(6kΩ)的一半由(2-11)式可知n＝2因此
通常在分析過程裡以||來表示並聯R12與R6為串聯因此可得
R13＝R12＋R6＝10kΩ＋2kΩ＝12[kΩ]
]k[23k6
21RRRR 8
11812 Ω=Ω
=+
==
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 32
例2-7(續)
R13與R7為並聯因R7(6kΩ)等於R13(12kΩ)的一半由
(2-11)式可知n＝2因此
R14與R3為串聯因此可得
R15＝R14＋R3＝4kΩ＋2kΩ＝6[kΩ]R15(6kΩ)與R4(6kΩ)為並聯因兩者相等因此
]k[43k12
21RRRR 13
13714 Ω=Ω
=+
==
]k[32k6
2R
2RR 415
16 Ω=Ω
===
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 33
例2-7(續)
R16與R5為串聯因此可得
R17＝R16＋R5＝3kΩ＋9kΩ＝12[kΩ]R17(12kΩ)與R2(4kΩ)為並聯因此可得
因此最後的等效電阻為
Req＝RAB＝R1＋R18＝2kΩ＋3kΩ＝5[kΩ]
]k[3k4k12
)k4)(k12(RR
RRR217
21718 Ω=
Ω+ΩΩΩ
=+
=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 34
例2-8
試求跨於下圖電路四個電阻器的電壓
[解]電路具有兩個並聯分支每一分支上有兩個串聯的電阻器因此其等效電阻為
][842096
128128128
)48()44(Req
Ω==+times
==
++=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 35
例2-8(續)
流過電路的總電流為5A因此跨於每一分支的電壓為
V＝5Atimes48Ω＝24[V]由分壓器法則可知跨於左邊分支兩個電阻器的電壓分別為
而跨於右邊分支兩個電阻器的電壓分別為
]V[12V2444
4V1R =times
+= ]V[12V24
444V
2R =times+
=
]V[16V2484
8V3R =times
+= ]V[8V24
844V
4R =times+
=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 36
例2-8(續)
此一電路也可以先用分流器法則來求得流過每一分支的電流然後再利用歐姆定律來求知跨於每一電阻器的電壓 流過左邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電壓為
]A[352012
5)48()44(
)48(I1
=times=
times+++
+=
]V[124A3V1R =Ωtimes=
]V[124A3V2R =Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 37
例2-8(續)
流過右邊分支的電流為
因此跨於此一分支兩個電阻器的電流為
可知兩種方法所得到的結果完全相同
]A[25208
5)48()44(
)44(I2
=times=
times+++
+=
]V[168A2V3R =Ωtimes=
]V[84A2V4R =Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 38
例2-9
試求流過下圖電路各電阻器的電流以及跨於它們的電壓
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 39
例2-9(續)[解]它是一個先由兩個電阻器R2及R3並聯在一起然後與R1串聯並以2A電流源來驅動的電路如圖2-20(a)所示電路的等效電阻
圖2-20
][4464642
RRRRRR
32
321eq Ω=
+times
+=+
+=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 40
例2-9(續)
由圖2-20(b)的結果可知跨於電流源兩端的電壓等於
Vs＝2Atimes44Ω＝88V由圖2-20(c)的等效電路可知跨於電阻器R1以及並聯分支的電壓分別為
因R2及R3為並聯所以跨於它們的電壓均相等也就是
V2＝V3＝48[V]由圖2-20(b)的等效可知整個電路是與2A電流源串聯所以電路的總電流為2A也就是指流過R1的電流為2A而流過並聯分支的總電流也是2A因此可由分流器法則來求知流過
]V[444
288V1 =times= ]V[84444288V4 =times=
]A[21
41
61
41
2I2 =+
times= ]A[80
41
61
61
2I3 =+
times=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 41
例2-10
試求下圖電路中各電阻之電壓電流及功率
[解]由電源看入之等效電阻為
流入電路的總電流為
][10555)1010(5)]10()46[(Req Ω=+=+=++=
]A[1010
V100IS =Ω
=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 42
例2-10(續)
流過5Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I5Ω＝IS＝10[A] V5Ω＝I5Ωtimes5Ω＝10Atimes5Ω＝50[V]P5Ω＝(I5Ω)2times5Ω＝(10A)2times5Ω＝500[W]
因10Ω與(6Ω＋4Ω)兩分支為並聯且兩分支的電阻相等因此由分流器法則得知流過兩分支的電流相等且等於流入電流的一半亦即(10A2)＝5[A]因此流過10Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I10Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V10Ω＝I10Ωtimes10Ω＝5Atimes10Ω＝50[V]P10Ω＝(I10Ω)2times10Ω＝(5A)2times10Ω＝250[W]
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 43
例2-10(續)
流過6Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V6Ω＝I6Ωtimes6Ω＝5Atimes5Ω＝30[V]P6Ω＝(I6Ω)2times6Ω＝(5A)2times6Ω＝150[W]流過4Ω電阻的電流跨於其上的電壓及它所消耗的功率分別為
I4Ω＝I6Ω＝(IS2)＝(10A2)＝5[A]V4Ω＝I4Ωtimes4Ω＝5Atimes4Ω＝20[V]P4Ω＝(I4Ω)2times4Ω＝(5A)2times4Ω＝100[W]
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 44
立體式電阻器連接
立體式電阻器連接法當電路上每一個電阻均相等時其為一對稱結構由A點流入的電流分流向三個完全相同的分支亦則流向R1R2及R3的電流均等於(13)I流過R1的電流在到達a點時將分流向兩個完全相同的分支也就是指流向R4與R5電流為(16)I同理可知在此一電路裡流過R1R2R3R10R11及R12的電流為(13) I而流過R4R5R6R7R8及R9的電流為(16) I因為是對稱所以由A點以任何一分支流向B點所得到的結果均相等AB兩點之間的電壓VAB為
在AB兩點間流動的總電流為I因此
]V[IR65IR
31IR
61IR
31V 1151AB =++=
][R65
IVR AB
AB Ω==
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 45
電橋電路
R1R4＝R2R3電橋電路的平衡條件
達到平衡狀態時跨於電阻R1兩端的電壓Vac與跨於電阻R2兩端的電壓Vad相等因此c點與d點之間的電位差為零電流不會流過R5R5視同開路電路如同是具有兩分支的並聯電路每一分支有兩個電阻串聯在一起
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 46
例2-11
試求流過下圖電路各部分的電流及其等效電阻
[解]電路是電橋電路其R1＝2ΩR2＝4ΩR3＝3Ω及R4＝6Ω因此
R1R4＝R2R3= 2times6＝4times3=12 電路是平衡
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 47
例2-11(續)
當符合平衡條件的要求時電流不流過R5因此R5可視同為開路如圖2-26所示但因c點的電壓與d點的電壓相等因此它也可以視同為短路如圖2-27所示無論視同開路或短路對流過電路各部分的電流及等效電阻均不會產生影響
圖2-26 R5視同為開路的情形 圖2-27 R5視同為短路的情形
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 48
例2-11(續)
對開路狀況而言(圖2-26)其等效電阻為
流過各部分的電流為
][333)64()32(
)64)(32(Req Ω=Ω+Ω+Ω+ΩΩ+ΩΩ+Ω
=
]A[2)32(
V10I1 =Ω+Ω
=
]A[1)64(
V10I2 =Ω+Ω
=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 49
例2-11(續)
對短路狀況而言(圖2-27)其等效電阻為
流過電路的總電流為
流過各電阻的電流分別為
][3333
109
1868
6363
4242Req Ω=Ω=Ω+Ω=
Ω+ΩΩtimesΩ
+Ω+ΩΩtimesΩ
=
]A[3)310(
V10I =Ω
=
]A[2A324
4I1 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A324
2I2 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[2A336
6I3 =timesΩ+Ω
Ω=
]A[1A336
3I4 =timesΩ+Ω
Ω=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 50
Y-Δ變換法
][RRR
RRR321
32A Ω
++= ][
RRRRRR
321
13B Ω
++= ][
RRRRRR
321
21C Ω
++=
][R
RRRRRRRA
ACCBBA1 Ω
++= ][
RRRRRRRR
B
ACCBBA2 Ω
++= ][
RRRRRRRR
C
ACCBBA3 Ω
++=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 51
Y-Δ變換法
ΔrarrYY形電路任一臂之電阻等於其相鄰兩Δ形電路臂
的電阻值之乘積除以Δ形電路三個電阻值之和
YrarrΔ任一Δ形電路臂的電阻值等於Y形電路中兩電
阻相乘之和除以相對於離此Δ形電阻臂最遠之Y形電路臂之電阻值
若Y形或Δ形電路之三電阻均相等亦即
R1＝R2＝R3＝RΔ及RA＝RB＝RC＝RY則
RΔ＝3RY[Ω]及
][R31R Y Ω= Δ
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 52
例2-12
試求下圖電路的等效電阻
[解]在此一電橋裡兩相對邊的電阻之乘積分別為(3times2＝6)及(4times5＝20)兩者並不相等所以其為不平衡電橋電路因此必須使用Y-Δ變換法來求解
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 53
例2-12(續)
首先將上半部abc節點所組成的Δ形連接轉變成Y形連接如圖2-30所示
圖2-30 Δ形連接轉變成Y形連接
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 54
例2-12(續)
Y形連接的各個電阻可以求得為
將e節點設為Y形連接的中心即可得到如圖2-31所示的等效電路
][071653)5)(3(
RRRRRR
321
32A Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][291653)6)(3(
RRRRRR
321
13B Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
][142653)6)(5(
RRRRRR
321
21C Ω=
Ω+Ω+ΩΩΩ
=++
=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 55
例2-12(續)
圖2-31 最後的等效電路
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 56
例2-12(續)
在此一等效電路裡可知ebd分支及ecd分支的電阻分別為
Rebd＝Reb＋Rbd＝129Ω＋4Ω＝529[Ω]Recd＝Rec＋Rcd＝214Ω＋2Ω＝414[Ω]
這兩分支是為並聯它們合成的電阻Red為
電路的總等效電阻為
Req＝Rae＋Red＝107Ω＋232Ω＝339[Ω]
][322144295RRR ecdebded Ω=ΩΩ==
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 57
重疊原理
考慮下圖的電路並求跨於R2電阻器的電壓V2此一電路雖然十分簡單但因它同時存在有電壓源及電流源兩種不同形式的電源因此無法直接利用分流器法則及分壓器法則來求解
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 58
重疊原理
直接對電路應用KCLKVL及歐姆定律可得
V1＝I1R1 (2-31)V2＝I2R2 (2-32)－V1＋V2＋VS＝0 (2-33)－IS＋I1＋I2＝0 (2-34)
將(2-31)及(2-32)式代入(2-34)式可得
(2-35)
聯解(2-33)及(2-35)以消除V1可得
]A[RV
RVI
2
2
1
1S +=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 59
重疊原理
由上式發現V2包含有兩部分其中一部分是由電流源IS所產生另一部分是由電壓源VS所產生兩者互不干擾由此可知若將電壓源關閉亦即VS＝0時可得到純由電流源IS所形成的結果同樣的若將電流源關閉亦即IS＝0時可得到純由電壓源VS所形成的結果
上式所說明的就是重疊原理
]V[RR
RV)RR(I)R1()R1(
)RV(IV21
2S21S
21
1SS2 +
minus=+
minus=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 60
重疊原理
重疊原理所指的是在一具有多電源的線性電路裡任一元件或部份電路之電壓或電流為各電源單獨作用時產生於該元件或部份電路之電壓或電流之代數和當單獨考慮某一電源的作用時其他電源必須關閉也就是指不產生作用之電壓源視為短路而不產生作用之電流源視為開路
重疊原理只能用在線性電路裡的線性項對於非線性電路或線性電路裡的非線性項例如功率的計算則重疊原理不適用
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 61
例2-13
試求跨於圖2-33電路上3Ω電阻器的電壓
圖2-33[解]電路共有三個電源分別為4A及5A的電流源以及一
個6V的電壓源
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 62
例2-13(續)
首先考慮4A電流源的作用此時將5A電流源及6V電壓源關閉也就是將5A電流源視為開路及6V電壓源視為短路此時電路的結構如圖2-34所示
圖2-34 只有4A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 63
例2-13(續)
在圖2-34的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後再與1Ω電阻器及4A電流源並聯應用分流器法則可得
因此跨於3Ω電阻器的電壓為
]A[32
11
321
321
4I =+
+
+times=
]V[23A32V4 =Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 64
例2-13(續)
只考慮5A電流源工作而4A電流源及6V電壓源為關閉的情形此時電路如圖2-35所示
圖2-35 只有5A電流源工作而其他電源為關閉的情形
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 65
例2-13(續)
在圖2-35的電路裡2Ω電阻器及3Ω電阻器是串聯在一起然後與1Ω電阻器及5A電流源並聯可先利用分流器法則來求知流過各分支的電流然後再利用分壓器法則來求知跨於3Ω電阻器的電壓
比較圖2-34及圖2-35可發現雖然這兩電路相似但電流源流動的方向相反所以在同一電阻器(3Ω)上所形成的電壓極性相反
]V[5232
31)32(1)32(5V5 =
+times
++times+
times=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 66
例2-13(續)
圖2-36所示為只有6V電壓源工作時所得到的情形此時三個電阻器是與6V電壓源串聯因此經由分壓器法則就可以得知跨於3Ω電阻器的電壓為
因此由重疊原理可知跨於3Ω電阻器兩端的電壓為
V＝V4＋V5＋V6＝2V－25V＋3V＝25[V]
圖2-36 只有6V電壓源工作而其他電源為關閉的情形
]V[3321
36V6 =++
times=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 67
例2-14在圖2-37的電路裡欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零時則電流源IS的大小為多少
圖2-37[解]10V電壓源在4Ω電阻器上所形成的電壓為
此一電壓的正極在上方負極在下方
]V[333642
410V10 =++
times=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 68
例2-14(續)
因電流源所產生的電壓為
此一電壓的極性與V10相反也就是指正極在下方負極在上方欲使跨於4Ω電阻器的電壓為零則
V10＝VIs333＝267timesIS
IS＝125[A]
]V[I672264)26(4IV SSIS=
+++
times=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 69
例2-15
試求流經圖2-38電路中6Ω電阻器之電流以及它所消耗的功率
圖2-38[解]首先考慮36V電壓源的工作此時電路如圖2-39所示
圖2-39 只考慮36V電壓源的情形
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 70
例2-15(續)
由圖2-39可知3Ω電阻器沒有工作因此流過6Ω電阻器的電流為I1=36(12+6)=2[A]
今考慮9A電流源的工作此時電路如圖2-40所示圖2-40 只考慮9A電流源的情形由分流器法則可知流過6Ω電阻器的電流為
I2=9times[12(12+6)]=6[A]因此流經6Ω電阻器之總電流為
I＝I1+I2＝2+6＝8[A]
圖2-40 只考慮9A電流源的情形
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 71
例2-15(續)
所消耗的功率為P＝I2R＝(8)2times6＝384[W]
若以重疊原理來計算功率則P1＝I2R＝(2)2times6＝24[W]P2＝I2R＝(6)2times6＝216[W]
而 Prsquo＝P1＋P2＝24＋216＝240[W] ne 384[W]因為實際上總功率為
P＝I2R＝(I1＋I2)2R＝I12R＋2I1I2R＋I2
2R[W]與Prsquo＝(I1
2R＋I22R)相差2I1I2R的大小
以本例題為例2I1I2R＝2times2times6times6＝144[W]
恰巧等於P與Prsquo之差384－140＝144[W]
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 72
戴維寧與諾頓等效電路
所謂戴維寧等效電路是將圖2-41電路除了RL以外電路其餘部分以圖2-42的電路來替代其中VT稱為戴維寧電壓它等於將RL移走後存在於電路ab兩端的開路電壓而Req等於當RL移走後將所有電源視為零時由ab兩端看入電路所求得到的等效電阻亦稱為戴維寧等效電阻RTh
圖2-41 含有可變RL的電路 圖2-42 戴維寧等效電路
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 73
戴維寧與諾頓等效電路以圖2-43的電路來說明戴維寧等效電路的求法此一電路的負載為RL＝5Ω因此所要求的部分是由ab端往左方看入電路的部分
圖2-43 以戴維寧等效電路來替代ab端往左方看入電路的部分
首先將RL移走使ab兩點之間成為開路求此兩點之間的開路電壓因有三個電源存在所以必須採用重疊原理首先使電流源為零亦即使它開路此時電路呈現兩個電壓源(50V及10V)以及三個電阻器(10Ω10Ω及20Ω)串聯的情形由此可知通過20Ω電阻器的電流為IV=(50－10)(10＋10＋20)=1[A]
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 74
戴維寧與諾頓等效電路
然後將電壓源關閉亦即是使它們短路單獨由電流源(15A)所產生而流過20Ω電阻器的電流為
因此流過20Ω電阻器的總電流為
I＝IV＋II＝1＋0375＝1375[A]所以跨於ab兩點之間的開路電壓為
VOC＝VTh＝20times1375＝275[V]
]A[3750
101
20101
20101
51II =+
+
+times=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 75
戴維寧與諾頓等效電路
在求等效電阻時首先使所有的電源為零使電路如圖2-44所示
由ab兩點看入的等效電阻為
因此所得到的戴維寧等效電路如圖2-45所示它是由一個275V的電壓源以及一個10Ω電阻器串聯所成
圖2-44 將電源關閉所得到的結果 圖2-45 戴維寧等效電路
][102020)1010(20RR eqTh Ω==+==
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 76
戴維寧與諾頓等效電路
諾頓等效電路與戴維寧等效電路為對偶關係戴維寧等效電路是等效電壓源與等效電阻器串聯而諾頓等效電路是以等效電流源與等效電阻器並聯所形成
諾頓等效電路電流源的電流等於負載兩端點短路時通過短路導體之短路電流而並聯等效電阻RN與戴維寧等效電阻RTh相同
若將戴維寧等效電路以電壓源與電流源互換之規則加以互換就可得到諾頓等效電路
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 77
戴維寧與諾頓等效電路
比較戴維寧等效電路與諾頓等效電路可發現
VTh＝INRN[V]對任何線性電路其輸出特性曲線與電壓軸的交點即Iout＝0的點即為戴維寧或開路電壓VTh而與電流軸的交點即Vout＝0的點即為諾頓或短路電流IN特性曲線的斜率等於等效電阻倒數的負值
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 78
例2-16試求圖2-48電路由ab兩端點看入左側之(a)戴維寧等效電路及(b)諾頓等效電路[解](a)首先將ab兩端點右側之電阻器R4移走並將電壓源關閉亦即使它成為短路使電路呈現如圖2-49所示的結果
圖2-48 圖2-49 R4移走及電壓源關閉所得到的結果
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 79
例2-16(續)
由ab兩端點看入左側的等效電阻為
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω]接上電壓源如圖2-50所示可得跨於ab兩端點的開路電壓為
VTh=V[R2(R1+R2)][V] 因此可得到如圖2-51所示的戴維寧等效電路
圖2-50 RL移走但電壓源 圖2-51 戴維寧等效電路
存在時的電路情形
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 80
例2-16(續)
(b)諾頓電路的等效電阻與戴維寧電路的相似即
RTh=Req=R3+(R1||R2)[Ω] 欲求等效電流源時只需將R4移走並使ab兩端點短路亦即使電路呈現如圖2-52所示的情形此時可用分流器法則求出流過R3 的電流此一電流即短路電流為
因此可得到如圖2-53所示的諾頓等效電路
]A[VRRRRRR
RII323121
2NSC ++==
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 81
例2-16(續)
圖2-52 求等效電流源 圖2-53 諾頓等效電路
的電路結構
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 82
例2-17
利用戴維寧等效電路來求圖2-54電橋電路裡的電流IL
[解]首先將RL移走由ab端看入電路具有如圖2-55的架構
圖2-54 例2-17的電路 圖2-55 移走RL由ab端看入的電路架構
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 83
例2-17(續)
因IA=V(RA+RD)[A]及IB=V(RB+RC)[A] 因此戴維寧電壓可以表示為
將V視為短路可得如圖2-56的結構由此可求得等效電阻為
整個等效電路如圖2-57所示因此電流IL可以表示為
]V[)]RR)(RR[(
)RRRR(VRIRIVCBDA
CADBBBAATh ++
minus=+minus=
][)RR(
RR)RR(
RRRCB
CB
DA
DATh Ω
++
+=
]A[)RR(
VILTh
ThL +=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 84
例2-17(續)
圖2-56 V視為短路的結構 圖2-57 整個等效電路
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 85
最大功率轉移
在理想狀況之下電源所產生功率會全部轉移至負載但在實際情形裡因電源有內電阻會消耗部分功率所以電源轉移多少功率至負載視其內電阻及負載電阻之大小而定通常電源的內電阻為定值而負載電阻為可變若將電源以戴維寧等效電路來替代則等效電阻可視為電源的內電阻也稱為電源的輸出電阻或輸出阻抗當負載電阻增加時電源所提供的電流會減少但它所轉移至負載電阻的功率卻會增加在RL＝Req時所轉移的功率為最大若負載電阻繼續增加則電流與所轉移的功率兩者都會減少由此可知某一負載電阻若其電阻值與電源內電阻相等時可得到最大的功率轉移
當最大功率轉移發生時兩電路(其中之一為電源電路另一為負載電路)之間存在有阻抗匹配的現象最大功率亦稱為有效功率Pav
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 86
最大功率轉移
設Req及RL分別表示電源的內電阻及負載電阻當 Req =RL[Ω]時電源所提供的電流及功率分別為
]A[R2V
RRVI
eqLeq
=+
= ]W[R4VR
R4VRIP
eq
2
eqeq
2
L2
max ===
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 87
例2-18
在圖2-59的電路裡RL需為多少才能得到最大功率轉移此一最大功率為多少若RL＝2kΩ時其功率為多少
圖2-59 例2-18的電路
[解]欲得到最大功率轉移則RL＝4[kΩ] 此一最大功率為
當RL＝2kΩ時所得到的功率為
]mW[156k44)V50(
R4VP
2
L
2
max =Ωtimes
==
]mW[1392)24(
V50RIP2
2L =Ωtimes⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Ω+Ω
==
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 88
例2-19
標準汽車電池的開路電壓為126V其短路電流約為300A試求此一電池的有效功率為多少
[解]電池的輸出電阻為
其有效功率為
][0420300
612IVR
N
Theq Ω===
]W[94504204)612(
R4VP
2
eq
2Th
av =times
==
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 89
節點電壓分析法
節點電壓分析法是根據KCL所得到此時針對電路各獨立節點來寫出其KCL方程式然後聯解這些方程式在此一方法裡所謂獨立節點是指其電壓不能由其他節點來求知的節點通常在此一方法裡接地點並不視為是獨立節點
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 90
節點電壓分析法
在求解電路以前首先要決定何者為基準節點在電路裡連接導線較多的節點通常被視為是基準節點並以r來表示
在此一電路裡存在有三個節點其中一個為基準接點另兩個為獨立節點因為要求存在於這兩個獨立節點的電壓所以必須要有兩個方程式
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 91
節點電壓分析法
存在於a點及b點的電壓分別為Va及Vba點共有三個電流分支其中之一是由5A電流源所產生另一個是流過2Ω電阻器的電流此一電流是因跨於2Ω電阻器兩端的電壓差Va－Vr所產生而最後一個是因在3Ω電阻器兩端存在有Va－Vb電壓差所產生設a的電壓較b點為高亦即Va＞Vb同時假設Vr＝0對a點應用KCL可得
表示的是指流過2Ω及3Ω電阻器的電流是流出a點而5A電流源的電流是流入a點相似的對b點而言應用KCL可得
052
0V3
VV aba =minusminus
++
04
0V3
VV6 bba =minus
+minus
minus
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 92
節點電壓分析法
節點電流方程式可表示為
聯解此一方程式可得知
Va=244[V] 及 Vb=－889[V]因此跨於3Ω電阻器的電壓為
V3Ω=Va－Vb=244V－(－889V)=113[V]
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
minus=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛minus
=minus⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
6V41
31V
31
5V31V
21
31
ba
ba
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 93
節點電壓分析法
通常節點電壓分析法是針對電路中全部是電流源來考量但若電路中存在有電壓源時則必須要慎重考慮最簡單的方法是將電壓源轉變成為電流源然後就可以用節點電壓法來分析之
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 94
節點電壓分析法
也可以採用所謂的抑制節點觀念而不經電源轉變手續來求解在電路裡共有三個節點分別為基準節點r以及a和b兩個獨立節點10V電壓源是存在於a點與基準節點r之間若基準點的電壓為0V則a點的電壓必定為10V因此對此一電路而言只有Vb為未知所以只需要建立一個方程式即可此一方程式可以寫為
若電壓源的一端並不是接地則其中一端的電壓必須等於另一端的電壓與電壓源之和或差視電壓源的極性來定
015
0V6
10V bb =minusminus
+minus
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 95
例2-20
試求在圖2-62的電路裡4Ω電阻器所產生的功率
圖2-62 a及b兩節點間存在有6V電壓源的電路
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 96
例2-20(續)
[解]在此一電路裡除了基準節點以外還有三個節點ab及c但a與b並非獨立因為它們之間存在有一個6V的電壓源所以只要求知其中一點的電壓再加上(或減去)6V即可得知另一點的電壓因此在求解此一電路之前首先要求知a點與b點的關係對r經由a點到b點再回到r點的迴路應用KVL可得
Vra＋6＋Vbr＝0或 －Va＋6＋Vb＝0因此 Vb＝Va－6設Va為未知並對c點應用KCL得
074
)6V(V5
0V acc =+minusminus
+minus
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 97
例2-20(續)
另對a點應用KCL此時將a點及b點兩點視為一超級節點則它所得到的方程式為
聯解上述兩式可得
Va=－275[V]Vb=－875[V]及Vc=－204[V]因此流過4Ω電阻器的電流為
它所產生的功率為
P＝I2R＝(292)2times4＝34[W]
024
VV3
0V cba =minusminus
+minus 02
4V)6V(
30V caa =minus
minusminus+
minus
]A[9224
)420()758(4
VVI cb =minusminusminus
=minus
=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 98
迴路電流分析法
迴路電流分析法是根據KVL來寫出方程式其變數是在迴路裡環繞的電流
在寫出有關的方程式之前必須要先決定電路的獨立迴路所謂獨立迴路是指任何一個其電流沒有流過電流源的迴路
對任何一電路其獨立迴路數m可以由電路的分支數b與節點數b來求知為
m＝b－(j－1)
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 99
迴路電流分析法
對這兩個迴路應用KVL可知在左邊的迴路裡其關係為I1(1)＋(I1－I2)(2)＝7－6
在上式裡等號左邊所表示的是電阻器所產生的總電壓降而等號右邊即為電壓源所形成的總電壓升其中左邊第一項是因電流I1流過1Ω電阻器所引起的電壓降而第二項表示2Ω電阻器所產生的電壓降對此一電阻器而言同時有兩個電流流過於其間兩電流的方向相反因為在此一迴路裡是以I1作為基準故I1所產生的為電壓降而I2所產生的為電壓升或可以說電流流過2Ω電阻器所引起的總電壓降為(I1－I2)(2)在等號的右邊相對於I1而言7V電壓源所產生的為電壓升而6V電壓源所形成的為電壓降
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 100
迴路電流分析法
利用相同的方式也可以寫出右邊迴路的KVL關係為I2(3)＋I2(4)＋(I2－I1)(2)＝6－9
對右邊的迴路而言其基準電流為I2所有的電壓升或降均是相對於此一電流來加以考量因此對電路可以寫出有兩個未知數的兩聯立方程式
(1＋2)I1－(2)I2＝1－2I1＋(3＋4＋2)I2＝－3
聯解上述兩式可得I1＝013[A]及I2＝0304[A]
而流過2Ω電阻器的電流為I1－I2＝013A－(－0304A)＝0434[A]
因此跨於2Ω電阻器的電壓為(I1－I2)2＝0434times2＝0868[V]
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 101
迴路電流分析法
在前面的討論裡並沒有考慮電流源若電路中存在有電流源則在使用迴路電流法時必須作某些修正今考慮下的電路並求此一電路裡的兩迴路電流I1及I2因電流源存在於兩迴路之間因此I2－I1＝2[A]但因有兩個未知數所以必須再建立一方程式此時可考慮外環的迴路此一外環迴路的KVL關係為5I1－8I2＝10[A]聯解上述兩式可得I1＝0462[A]及I2＝1538[A]
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 102
例2-21
試求圖2-64電路裡流過R4的電流
圖2-64[解]在求解電路之前首先要決定其獨立迴路數在此一電路裡共有四個節點(ABC及D)以及六個分支(ABACADCDBC及BD)因此 m＝b－(j－1)＝6－(4－1)＝3 也就是指在此一電路有三個獨立迴路設三個迴路的電流分別為I1I2及I3同時假設其流動方向如圖上所示
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 103
例2-21(續)
應用KVL於各獨立迴路可得上方之迴路I1(R1＋R2＋R3)－I2R2－I3R3＝－V1下方左邊之迴路－I1R2＋I2(R2＋R4)－I3R4＝V2－V3下方右邊之迴路－I1R3＋I2R4＋I3(R3＋R4＋R5)＝V3將各已知值代入可得
(2＋5＋5)I1－5I2－5I3＝－10－5I1＋(5＋2)I2－2I3＝20－8＝12
－5I1－2I2＋(5＋2＋1)I3＝8聯解此三方程式可得
I1＝295[A]I2＝5[A]I3＝41[A]流過R4的電流為I2及I3但兩者的方向相反若以I2的方向為準則流過R4的電流為
I2－I3＝5－41＝09[A]
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 104
特立勤定理
特立勤定理是指在一個具有n個分支的網路裡若每一個分支電壓Vk(k＝1simn)均滿足KVL其相對應的分支電流Ik(k＝1simn)均滿足KCL(此一電流的方向參考於電壓方向由正電壓端流入從負電壓端流出)則此網路每一分支上的電壓與電流的乘積和必為零亦即
同理若有一組分支電壓Vk滿足KVL其相對應的分支電流Ik滿足KCL而另有一組分支電壓滿足KVL其相對應的分支電流也滿足KCL則
0IVn
1kkk =sum
=
sum ==sum=sum=sum====
n
1kkkk
n
1kk
n
1kkk
n
1kkk 0IVIVIVIV
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 105
例2-22
圖2-66的電路裡包含有六個元件其中V1＝5VV2＝2VV6＝12VI1＝3AI2＝2A及I3＝05A試以此一電路來證明特立勤定理
圖2-66[解]在此一電路裡k＝6因此必須決定六個電壓及六個電流由圖上可知
V3＝V1－V2＝5V－2V＝3[V]
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 106
例2-22(續)
同時V4＝V6－V2＝12V－2V＝10[V]
及V5＝V3－V4＝3V－10V＝－3[V]
在節點A裡I6＝－(I1＋I2)＝－(3A＋2A)＝－5[A]
在節點B裡I4＝I2－I3＝2A－05A＝15[A]
在節點C裡I5＝I4＋I6＝15A－5A＝－35[A]
因此由(2-43)式可知V1I1＋V2I2＋V3I3＋V4I4＋V5I5＋V6I6
＝[5Vtimes3A]＋[2Vtimes2A]＋[3Vtimes05A]＋[10Vtimes15A]＋ [(－7V)times(－ 35)A]＋[12Vtimes(－5)A]
＝15＋4＋15＋15＋245－60＝0
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 107
密爾曼定理
密爾曼定理主要是以一個等效電源來替代多個並聯的電壓源或多個串聯的電流源若每一個電壓源的電壓為Vi(i＝1simn)且其內阻為Ri則經由
]V[GGGG
GVGVGVGVVn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
][G1
GGGG1RRRRR
eqn321n321eq Ω=
+sdotsdotsdotsdot+++=sdotsdotsdotsdot=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 108
密爾曼定理
相似的若是多個電流源串聯在一起每一個電流源的電流為Ii及其並聯內阻為Ri則同樣可用單一的等效電流源來替代其中等效電流Ieq及其等效電阻Req為
]A[RRRR
RIRIRIRIIn321
nn332211eq +sdotsdotsdotsdot+++
+sdotsdotsdotsdot+++=
sum=
Ω=+sdotsdotsdotsdot+++=n
1iin321eq ][RRRRRR
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 109
例2-23
利用密爾曼定理求圖2-69電路的電流IL
圖2-69[解]由密爾曼定理可知
]V[9140)151()101()51(
)151)(V90()101)(V50()51)(V20(Veq =Ω+Ω+Ω
Ω+Ω+Ω=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 110
例2-23(續)
而
因此電路可改為如圖2-70所示由此可求得IL為
圖2-70 經密爾曼定理轉變的等效電路
][73215105Req Ω=ΩΩΩ=
]A[6582732
V9140IL =Ω+Ω
=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 111
例2-24
利用密爾曼定理求圖2-71電路的電流IL
圖2-71[解]由密爾曼定理可知
]A[62376
)7)(A5()6)(A2(Ieq =Ω+Ω
Ω+Ω=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=
2-1 112
例2-24(續)
而 Req＝6Ω＋7Ω=13[Ω]路可改為如圖2-72所示由分壓器法則可求得IL為
圖2-72 經密爾曼定理轉變的等效電路
]A[942313
13A623IL =Ω+Ω
Ωtimes=